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UNIDADE

7

Cálculo algébrico

Fotografia de um foguete espacial, ao lado de uma torre de ferro vertical, e, na extremidade inferior, uma plataforma horizontal ao qual ele está apoiado
Foguete Space Launch System, projetado para missão não tripulada ao redor da Lua, em plataforma estadunidense da Flórida, em 2022.

Agora vamos estudar...

  • expressões algébricas;
  • valor numérico de expressões algébricas;
  • monômios e polinômios;
  • operações com monômios e com polinômios.

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Expressões algébricas

Em algumas situações, a inclusão de letras para generalizar uma situação foi importante para o desenvolvimento da Matemática e, consequentemente, de suas aplicações na resolução de problemas de todas as áreas de conhecimento.

Em Matemática, a área que estuda a representação de letras no lugar de números é chamada álgebra. Esse nome surgiu da expressão al-jabr, do livro Al-Jabr wa'l mugabalah, publicado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi por volta de 830.

As letras podem aparecer em expressões algébricas, fórmulas e equações.

No livro Al-Jabr wa'l mugabalah, Al-Khowarizmi utilizava um método de resolução de equações parecido com o que utilizamos hoje; a diferença é que em seu método todos os números e símbolos eram expressos por palavras.

Pintura a óleo de um homem, Al-Khowarizmi, visto da cintura pra cima. Ele está usando turbante, tem pele branca, bigode e barba, com a cabeça inclinada para a esquerda. Está sentado com uma caneta na mão. Na sua frente uma mesa com papéis e um livro.
Al-Khowarizmi (780-850).

Questão 1. Ícone atividade oral. Faça uma pesquisa sobre as contribuições de Al-Khowarizmi para a Matemática.

A seguir, apresentamos um exemplo em que podemos usar letras para representar números.

João tem certa quantia em reais, Fernando tem R$ 7,00 a mais do que João e Amanda tem o dobro da quantia de Fernando. Para representar a quantia que cada um deles tem, vamos escrever expressões algébricas. Para isso, vamos chamar de x a quantia que João tem.

João: x

Fernando: x + 7

Amanda: 2 ( x + 7 )

No exemplo, a letra x pode assumir valores como R$ 10,00 e R$ 15,00, entre outros.

Expressões que apresentam letras e números são chamadas expressões algébricas. As letras que aparecem nas expressões algébricas são chamadas variáveis, pois podem assumir diversos valores. A seguir, apresentamos alguns exemplos de expressões algébricas.

3 x 4

x + y

2 x 2 y

Atenção!

Em geral, para representar uma expressão algébrica, não utilizamos o símbolo ou × entre o número e as variáveis.

Questão 2. Uma caneta custa x reais, e um caderno, y reais. Em seu caderno, escreva uma expressão algébrica para representar o valor a ser pago ao se comprar duas canetas e três cadernos.

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Valor numérico de uma expressão algébrica

Em algumas situações é necessário obter o valor numérico de uma expressão algébrica. Nesse caso, substituímos as letras, ou seja, as variáveis da expressão, por números.

A seguir, apresentamos um exemplo de como obter o valor numérico de uma expressão algébrica.

A fileira a seguir foi construída utilizando dois modelos de cubos, cuja medida do comprimento das arestas é diferente.

Atenção!

Os cubos de mesma cor têm arestas de mesma medida de comprimento. A variável x representa uma medida em metros.

Ilustração de uma fila com 9 cubos, sendo cinco deles de comprimento x e quatro deles com 1 metro de comprimento. A fila está com a demarcação abaixo, pegando toda a extensão da fileira, escrito: 'Comprimento da fileira'.

Para representar a medida do comprimento dessa fileira, em metros, podemos escrever uma expressão algébrica e, em seguida, simplificá-la.

Esquema com expressões. Na primeira linha: x mais x mais x mais 1 mais 1 mais 1 mais 1 mais x mais x. Na segunda linha: 3 x mais 4 mais 2 x. Há uma correspondência entre os termos da primeira linha e os termos da segunda linha. x mais x mais x corresponde a 3 x; 1 mais 1 mais 1 mais 1 corresponde a 4; x mais x corresponde a 2 x; Na terceira linha, 5 x mais 4. Há uma correspondência entre os termos da segunda linha e os termos da terceira linha. 3 x mais 2 x corresponde a 5 x; o 4 da segunda linha corresponde ao 4 da terceira linha.

Assim, a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da fileira de cubos, em metros, é 5 x + 4 .

Se o comprimento da aresta do cubo verde medisse 3   m , ou seja, se x = 3 , qual seria a medida do comprimento dessa fileira, em metros?

Para responder a essa pergunta, podemos realizar o seguinte cálculo:

5 x + 4

5 3 + 4 = 15 + 4 = 1 9

Portanto, a medida do comprimento dessa fileira seria 19   m .

Atenção!

Quando simplificamos uma expressão algébrica, escrevemos uma expressão algébrica equivalente, mas de maneira mais simples.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No caderno, associe cada frase a uma das expressões algébricas. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

A. A metade de x mais 2.

B. O dobro de x mais o quadrado de x.

C. O triplo de x menos 7, mais a quinta parte do dobro de x.

1. 2 x + x 2

2. 3 x 7 + 2 x 5

3. x 2 + 2

2. Escreva no caderno uma expressão algébrica para representar cada frase.

a) O triplo do número x mais 4.

b) O quadrado do número a mais o dobro desse número.

c) A metade do número m menos 5.

d) O quíntuplo do número b mais a oitava parte desse número menos 3.

e) A quarta parte do número n menos 4, mais o quadrado de n .

Em seu caderno, elabore e escreva duas frases semelhantes às apresentadas. Depois, solicite a um colega que escreva as expressões algébricas de variável x para representar as frases escritas. Por último, peça a ele que calcule o valor numérico de cada expressão, dado um valor estipulado por você para a variável. Por fim, verifiquem se as respostas estão corretas.

3. Analise a expressão algébrica a seguir, a qual foi associada a uma frase.

2 x x 3

O dobro de um número menos sua terça parte.

Escreva no caderno uma frase associada a cada expressão algébrica a seguir.

a) 3 x + 5

b) x 2 4 x

c) x 2 3

d) x 3 2 x

4. Uma sequência de figuras foi desenhada na malha quadriculada a seguir. A partir da 2ª, cada figura tem 1 quadradinho a mais do que a figura anterior.

Ilustração de uma malha quadriculada com 4 polígonos. O polígono 1 tem a forma da letra L, com dois quadradinhos de base e um em cima do primeiro quadradinho da esquerda. O polígono 2 tem a forma da letra L, com dois quadradinhos de base e dois em cima do primeiro quadradinho da esquerda. O polígono 3 tem a forma da letra L, com dois quadradinhos de base e três em cima do primeiro quadradinho da esquerda. O polígono 4 tem a forma da letra L, com dois quadradinhos de base e quatro quadradinhos em cima do primeiro quadradinho da esquerda

a) Quantos quadradinhos tem a figura 2? E a figura 4?

b) Ao continuar essa sequência, quantos quadradinhos terá a figura 6?

c) Escreva no caderno uma expressão algébrica que, de acordo com a sequência, represente a quantidade de quadradinhos para uma figura na posição x .

d) De acordo com a expressão algébrica que você escreveu, efetue os cálculos e determine quantos quadradinhos terá:

  • a figura 10;
  • a figura 16;
  • a figura 27.

5. Ícone desafio. Simplifique as expressões algébricas.

a) 2 x + x + x

b) 5 x + 1 + x

c) 7 x ( 16 x : 4 ) + 5

d) 5 x + 3 ( 2 x + 1 ) 7

e) 5 ( 2 x ) + 4

f) ( 12 x 21 ) : 3 + 6 x + 1 1

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Monômios

Um professor de Matemática do 8º ano pediu aos estudantes que escrevessem uma expressão algébrica para cada problema a seguir.

Imagem de uma lousa. Nela estão  escritas três perguntas: '1 Um pastel é vendido a 4 reais e 30 centavos em uma lanchonete. Qual é o preço de x pastéis nessa lachonete?'.'2 O comprimento de certo retângulo mede 6 a, e sua largura, 3 a. Qual é a medida da área desse retângulo?'. Ao lado direito da pergunta 2 há um retângulo 6 a unidades de comprimento e 3 a unidades de altura. '3 A distância média percorrida pelo carro de Fabiano com 1 litro de etanol mede n quilômetros. Qual é a medida da distância média percorrida por esse carro com 42 litros de etanol?'.

Podemos escrever expressões algébricas para cada problema apresentado.

1. 4 , 3 x

2. 1 8 a 2

3. 42 n

A essas expressões algébricas dá-se o nome de monômio.

Monômio é toda expressão algébrica formada por um único termo. Esse termo pode ser constituído de um número ou variável apenas ou do produto de um número por uma ou mais variáveis, que apresentam somente expoentes naturais. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

  • 4 x

  • 8 x 2

  • b c

  • 1 2 x 2 y

  • 1 7

  • 10 x y 3

  • 4 m 2

  • 21 a b c

Em um monômio, o número é chamado coeficiente, e as variáveis, parte literal, como apresentado nos exemplos a seguir.

Esquema com a expressão 7x. Está indicado que 7 é o coeficiente. Está indicado que x é a parte literal.
Esquema. Expressão menos 7 a elevado ao cubo y elevado ao quadrado. Está indicado que menos 7 é o coeficiente. Está indicado que, a, ao cubo, y, ao quadrado, é a parte literal.

Quando o coeficiente de um monômio é 1, indicamos apenas as variáveis. No caso de ser 1 , indicamos o sinal de menos seguido das variáveis. Já nos monômios formados apenas por um número, podemos escolher uma letra para representar a variável, e sua parte literal é essa variável com expoente zero. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Esquema com a expressão menos x y. Saem duas setas desta expressão com as seguintes indicações: coeficiente: menos 1. Parte literal: xy.
Esquema com a expressão x y ao quadrado. Desta expressão saem duas setas, uma indicando: coeficiente um e outra indicando parte literal: xy ao quadrado.
Esquema com a expressão menos 2. Está indicado que menos 2 é o coeficiente. Está indicado que x elevado a zero é a parte literal.

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Monômios que apresentam a mesma parte literal são chamados monômios semelhantes. Apresentamos a seguir alguns exemplos.

  • Monômios semelhantes
    • 2 x e 5 x
    • 4 x y e 2 3 x y
    • 2 , 4 x 2 y e 1 0 x 2 y
    • x y 3 z e 7 x y 3 z
  • Monômios não semelhantes
    • 8 e 2 x
    • 4 x y e 4 x y 2
    • 3 y 4 z e 5 8 y 2 z
    • x y 4 z 2 e 7 y 4 z

Indicamos o grau de um monômio adicionando os expoentes das variáveis. O monômio 2 x y 2 z 3 , por exemplo, tem grau 6, pois 1 + 2 + 3 = 6 . Analise mais dois exemplos.

4 x y z

Monômio de grau 3 ou de 3º grau, pois 1 + 1 + 1 = 3 .

1 4 a 2 b 2

Monômio de grau 4 ou de 4º grau, pois 2 + 2 = 4 .

O grau de um monômio de coeficientes não nulos é dado pela soma dos expoentes das variáveis. Um monômio representado apenas por um número não nulo tem grau zero.

Questão 3. Escreva em seu caderno um monômio de 5º grau com três variáveis.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. Escreva no caderno o coeficiente e a parte literal do monômio indicado em cada item.

a) 16 p q

b) 2 a 3 b 2 c

c) m n p

d) 2 2 x 5

e) 4 , 2 w 3 z

f) 2 3 p q

g) 0 , 021 c

h) 10 0 g 8 h

i) 18

7. Em seu caderno, escreva o grau de cada monômio da atividade anterior.

8. Escreva no caderno o monômio:

a) de coeficiente 2 e parte literal x ;

b) de coeficiente 1 e parte literal y ;

c) de coeficiente 1 e parte literal x 2 .

9. Separe no caderno os monômios a seguir em grupos, de modo que em cada grupo tenha somente monômios semelhantes.

  • 8 x y
  • 1 7 x 2 y
  • 9 x 2
  • 4 x
  • x
  • 1 2 x 2 y
  • 1 0 x 2 y
  • 21 x y
  • 3 x y
  • 5 x 2
  • 10 x

10. Escreva no caderno três monômios semelhantes ao monômio 4 m n 2 .

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11. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo o valor numérico de uma expressão algébrica, identificação de monômios, bem como seu grau, área e perímetro. Para essa produção, considere o retângulo apresentado a seguir.

Ilustração de um retângulo com 13 unidades de comprimento e 6 q unidades de largura. Os seus quatro ângulos retos estão demarcados.

Agora, peça a um colega que resolva o problema e, depois, verifiquem se as respostas estão corretas.

12. Os gregos já empregavam letras para designar números e até mesmo objetos. Os gregos também deixaram os primeiros vestígios do cálculo aritmético efetuado sobre letras. Diofanto de Alexandria (300 a.C.) empregava as letras com abreviação. Em geral, os gregos representavam as quantidades por linhas, determinadas por uma ou duas letras, e raciocinavam como em geometria.

Os cálculos sobre letras são mais numerosos nos autores hindus do que nos gregos. Os árabes do Oriente empregavam símbolos algébricos a partir da publicação da Aljebr walmukâbala de Alkarismí (século IX), e os árabes do Ocidente, a partir do século XII; no século XV, Alcalsâdi introduziu novos símbolos.

A álgebra moderna só adquiriu caráter próprio, independente da aritmética, a partir de Viète, que sistematicamente substituiu a álgebra numérica pela álgebra dos símbolos. Viète não empregava o termo álgebra, e sim análise, para designar essa parte da ciência Matemática em que brilha seu nome.

Outrora, atribuía-se à origem da palavra álgebra ao nome do matemático árabe Geber; na realidade, essa origem estava presente na operação que os árabes denominavam aljebr.

Pintura a óleo de um homem, François Viète, visto dos ombros pra cima. Ele tem cabelo ondulado, bigode e barba compridos, com a cabeça inclinada para a direita.
François Viète (1540-1603).

Fonte de pesquisa: LISBOA, Almeida. O emprego das letras no cálculo. In: SOUZA, Júlio César de Mello e. Matemática divertida e curiosa. 2. ed. Rio de Janeiro: Record, 1991. p. 48-49.

a) De que maneira Diofanto de Alexandria expressava seus cálculos aritméticos?

b) Como os gregos expressavam seus cálculos aritméticos?

c) Com base nas informações apresentadas, qual foi a contribuição de Viète para a álgebra?

d) Em seu caderno, escreva um texto expressando sua opinião a respeito da importância de atribuir letras e números para representar expressões, equações e fórmulas.

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Operações com monômios

Adição e subtração de monômios

A seguir estão representados três paralelepípedos retos retângulos.

Ilustração. Três paralelepípedos, cada um deles é reto retângulo, lado a lado. O Paralelepípedo A tem 4 unidades de comprimento, 2 unidades de largura e, a, unidades de altura. O Paralelepípedo B tem 3 unidades de comprimento, a, unidades de largura e 2 unidades de altura. O Paralelepípedo C tem 2 unidades de comprimento, a, unidades de largura e 7 unidades de altura.

Com base nas medidas indicadas, qual é a medida do volume dos três paralelepípedos retos retângulos juntos?

Para responder a essa pergunta, vamos determinar inicialmente a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo.

V A = 2 4 a = 8 a

V B = a 3 2 = 6 a

V C = a 2 7 = 14 a

Em seguida, adicionamos as medidas dos volumes obtidos.

V A + V B + V C = 8 a + 6 a + 14 a

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, simplificamos a expressão algébrica obtida.

V A + V B + V C = 8 a + 6 a + 14 a = ( 8 + 6 + 14 ) a = 28 a

Portanto, a soma das medidas dos volumes dos três paralelepípedos retos retângulos é 28 a .

Quando uma expressão algébrica apresenta monômios semelhantes, podemos simplificá-la, adicionando ou subtraindo os coeficientes dos monômios e mantendo a parte literal. Exemplos:

10 a b + 7 a b + 5 a b = ( 10 + 7 + 5 ) a b = 22 a b

22 x y 2 8 x y 2 + x y 2 = ( 22 8 + 1 ) x y 2 = 15 x y 2

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Simplifique a expressão algébrica em cada item para obter um monômio.

a) 5 a b + 2 a b a b

b) 1 2 x 2 y 4 x 2 y 2 x 2 y

c) 20 , 5 a 3 b 2 7 , 3 a 3 b 2

d) x 5 y 5 x 5 y + 6 x 5 y

e) ( 2 + 3 ) y z 4 y z 4

14. Escreva no caderno um monômio para representar a medida do perímetro de cada figura.

A. Ilustração de um retângulo com 3 a b unidades de comprimento e 2 a b unidades de largura. Os seus quatro ângulos retos estão demarcados.
B. Ilustração de um polígono composto por 2 retângulos, no formato da letra L. O lado horizontal inferior tem 5 x unidades de comprimento. O lado horizontal superior tem 3 x unidades de comprimento. O lado vertical da esquerda tem 5 x unidades de comprimento. O lado vertical da direita tem 2 x unidades de comprimento.
C. Ilustração de um polígono composto por 3 retângulos, no formato da letra U. O lado horizontal inferior mede 4 w unidades de comprimento. O lado horizontal interno mede 2 w unidades de comprimento. Os lados horizontais acima tem 1 w unidades de comprimento. O lado vertical externo mede 3 w unidades de comprimento. O lado vertical interno mede 2 w unidades de comprimento.

15. Copie no caderno as sentenças substituindo cada pelo monômio adequado.

a) 11 a b 2 + = 20 a b 2

b) 7 x 3 y 2 + = 3 x 3 y 2

c) 14 m n 3 = 9 m n 3 +

d) 7 a b c + 2 a b c = 18 a b c

16. Junte-se a um colega e determinem o monômio que representa a medida da área total das figuras em cada item, sabendo que os monômios indicados representam a medida da área das partes dessas figuras.

A. Ilustração de um polígono composto por 5 retângulos, no formato de uma cruz. O retângulo do centro, o à esquerda e o à direita dele tem, cada um, 10 x y unidades de área. O retângulo acima e abaixo do retângulo do centro têm, cada um, 8 x y unidades de área. O retângulo que está acima e o que está à esquerda estão com dois ângulos retos demarcados: o ângulo superior à esquerda e o ângulo inferior à direita. O retângulo que está abaixo e o que está à direita estão com dois ângulos retos demarcados: o ângulo superior à direita e o ângulo inferior à esquerda.
B. Ilustração de um polígono composto por um retângulo abaixo e um triângulo acima, ambos com base de mesmo comprimento. O retângulo tem 8 a b unidades de área. O triângulo tem 4 a b unidades de área. Estão demarcados dois ângulos retos do retângulo, o ângulo superior à direita e inferior à esquerda.

17. Junte-se a um colega e escrevam no caderno o que se pede em cada item.

a) Uma adição de monômios cujo resultado seja 18 x y 3 .

b) Uma subtração de monômios cujo resultado seja 3 a 2 b 4 .

c) Uma adição de 3 monômios cujo resultado seja 9 n 5 m 3 .

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Multiplicação de monômios

Antônio comprou um terreno com formato retangular cuja medida do comprimento é o dobro da medida da largura. Na figura estão indicadas as medidas das dimensões dele.

Ilustração de um retângulo com 2 x unidades de comprimento e x unidades de altura. Os ângulos superior à esquerda e inferior à direita estão com seus ângulos retos demarcados.

De acordo com a figura, qual é a medida da área do terreno que Antônio comprou?

Para responder a essa pergunta, precisamos multiplicar os monômios que representam as medidas do comprimento e da largura do terreno.

A = x 2 x = 2 x x = 2 x 2

Portanto, a medida da área do terreno que Antônio comprou é 2 x 2 .

Em uma multiplicação de monômios, calculamos o produto dos coeficientes e o produto das partes literais. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

2 x 3 x = 2 3 x x = 6 x 2 = 6 x 2

3 x y 4 x = 3 4 x x y = 12 x 2 y = 1 2 x 2 y

3 x 2 y 5 x y 3 = 3 5 x 2 x y y 3 = 15 x 3 y 4 = 1 5 x 3 y 4

8 x y z 8 x 2 z = 8 8 x x 2 y z z = 64 x 3 y z 2 = 6 4 x 3 y z 2

Atenção!

Simplificamos as expressões usando a propriedade comutativa da multiplicação e a propriedade da multiplicação de potências de mesma base.

Divisão de monômios

Aurélio fez a seguinte pergunta para Paula.

Ilustração de uma menina e um menino conversando. Balão de fala para o menino, que faz a seguinte pergunta à menina: 'Qual é o monômio que, ao ser multiplicado por 2 x ao cubo 3 , tem como resultado 12 x à quinta?'. Balão de fala para a menina, que responde o seguinte: '6 x ao quadrado'.

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Será que a resposta de Paula está correta?

Para verificar, vamos utilizar a operação inversa da multiplicação, ou seja, a divisão.

2 x 3 = 1 2 x 5

Esquema com igualdades: 12 x à quinta dividido por 2 x ao cubo é igual a 6 x ao quadrado. Está indicado que 6 corresponde ao resultado da divisão de 12 por 2. E x ao quadrado corresponde ao resultado da divisão de x à quinta por x ao cubo que é igual a x elevado a 5 menos 3, que é igual a x ao quadrado.

O monômio que satisfaz as condições mencionadas é 6 x 2 . Portanto, a resposta de Paula está correta.

Em uma divisão de monômios, dividimos os coeficientes e dividimos as partes literais. A seguir, apresentamos um exemplo.

2 x 2 y : 2 x y = ( 2 : 2 ) ( x 2  : x ) ( y : y ) = 1 x 2 1 y 1 1 = 1 x 1 y 0 = x

Esse cálculo também pode ser representado da seguinte maneira.

2 x 2 y 2 x y = 2 2 x 2 x y y = 1 x 2 1 y 1 1 = 1 x 1 y 0 = x

Atenção!

Simplificamos a expressão usando a propriedade da divisão de potências de mesma base.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. Efetue no caderno as multiplicações dos monômios de cada item. Depois, simplifique os produtos obtidos.

a) 7 x 4 y 3 x y 2

b) 1 1 x 2 y 3 7 x y 2 z x 5 y z 2

c) 2 x 2 3 x y 2 ( x y )

d) 1 3 x 5 2 x 4 y 2 5 y 5 z

e) 4 x z 5 ( 2 x 2 y 3 ) x z ( 3 x 4 y 8 )

f) 5 x 2 z x y 3 ( 2 x 2 y 2 ) x z

19. Escreva no caderno o monômio que representa a medida da área de cada figura.

A. Ilustração de um quadrado com 8 z unidades de comprimento. Os quatro ângulos retos estão demarcados.
B. Ilustração de um polígono em formato de L. O polígono é composto por um quadrado com 3 v unidades de comprimento e um retângulo com 2 v unidades de comprimento e 5 v unidades de largura. Os quatro ângulos retos do quadrado e do retângulo estão demarcados.
C. Ilustração de uma figura composta por 3 retângulos, um ao lado do outro. O primeiro da esquerda tem 2 x unidades de comprimento e 3 x y unidades de largura. O do centro tem 2 x unidades de comprimento e 2 x y unidades de largura. O da direita tem 2 x unidades de comprimento e 4 x y unidades de largura.

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20. Determine o valor das letras p, q, r, s, t, w e v indicadas nos expoentes, de modo que os resultados dos cálculos estejam corretos.

a) 7 x 4 3 x p = 2 1 x 6

b) 1 0 x 4 6 y q 2 x = 12 0 x r y 6

c) 4 x 4 y 2 6 x 2 x s y 5 = 4 8 x 8 y t

d) 1 3 x 4 y w ( 2 x 4 y w ) = 2 6 x v y 1 0

21. Efetue as divisões de cada item. Em seguida, simplifique os resultados obtidos.

a) 1 5 x 4 : 5 x 3

b) 1 2 a 2 : 3 a 2

c) 3 0 x 5 y : 1 0 x 2

d) 1 8 a 2 b 3 : 2 a b

e) 2 0 y 7 z 2 : 1 0 y 5 z

f) 3 2 a 5 b 6 : 8 a 2 b 3

22. Com base nas medidas dos comprimentos dos lados dos retângulos apresentados, calcule quantas vezes a medida da área do retângulo verde corresponde à medida da área do retângulo laranja.

Ilustração. Dois retângulos, um ao lado do outro. O da esquerda tem 3 x unidades de largura e 12 x y unidades de comprimento. O da direita tem x unidades de largura e 4 x y unidades de comprimento.

23. Junte-se a um colega e respondam às questões a seguir.

a) Que monômio multiplicado por 3 x 2 resulta em 9 x 9 ?

b) Que monômio dividido por 2 x 2 resulta em 5 x ?

c) Que monômio multiplicado por y 4 resulta em 4 y 8 ?

d) Que monômio dividido por 5 y resulta em 6 y 4 ?

24. A imagem representa um retângulo cuja área mede 1 8 y 5 . Que monômio representa a medida A?

Ilustração de um retângulo com A unidades de comprimento e 6 y unidades de largura.

25. Copie no caderno as sentenças a seguir, substituindo cada pelo monômio adequado.

a) 6 x 2 : = 2 x

b) x 5 y : = x 3 y

c) : 8 x 2 y 5 = 2 x 7 y

d) : 9 x 2 y z 3 = 5 x y z 3

e) : 2 x y 3 z 2 = 4 x y z

f) 1 2 x 7 y 9 z : = 4 x 2 y 3 z

26. Ícone desafio. Nos cálculos a seguir, as letras A, B, C e D representam monômios. Sabendo que as letras iguais indicam o mesmo monômio, determine o monômio correspondente a cada letra.

  • A + A = 8 x 6

  • A B = 1 2 x 7

  • A : C = 2 x

  • C : B = D

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Polinômios

Juliano separou algumas partes de sua chácara, com formato de retângulo, para o plantio de hortaliças orgânicas.

No esquema estão representadas as medidas das dimensões de cada uma dessas partes.

Ilustração de uma figura composta por 3 retângulos, um ao lado do outro. O primeiro da esquerda tem  x unidades de comprimento, x unidades de largura e em seu interior está escrito 'Plantio de alface'. O retângulo do meio tem y unidades de comprimento, x unidades de largura e em seu interior está escrito 'Plantio de couve'. O retângulo da direita tem y unidades de comprimento, y unidades de largura e em seu interior está escrito 'Plantio de repolho'.

Com base nas indicações do esquema, qual expressão algébrica representa a medida da área total que Juliano reservou para o plantio de hortaliças orgânicas?

Para responder a essa pergunta, vamos determinar inicialmente a medida da área de cada parte.

A   alface = x x = x 2

A   couve = x y = x y

A   repolho = y y = y 2

Agora, adicionamos as medidas das áreas e obtemos a expressão algébrica que representa a medida da área dos três plantios.

A   alface + A   couve + A   repolho = x 2 + x y + y 2

A expressão algébrica que representa a medida da área total reservada para o plantio de hortaliças orgânicas é chamada polinômio.

Polinômio é uma adição algébrica de monômios. Cada monômio que o compõe é chamado termo do polinômio. Acompanhe alguns exemplos.

  • 5 y

  • 3 x 2 + 2 x y

  • 4 x 2 x

  • x + y

  • 4 x y 4 5 + x y 4 4

  • 2 x 5 7 x + 1 2

Quando um polinômio tem termos que são monômios semelhantes, podemos simplificá-lo. Para exemplificar, vamos simplificar o polinômio a seguir, que apresenta essas características.

3 ( y + 2 x y ) + 2 x 2 y y + 5 x 2 y

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Primeiro, eliminamos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

3 ( y + 2 x y ) + 2 x 2 y y + 5 x 2 y = 3 y + 6 x y + 2 x 2 y y + 5 x 2 y

Em seguida, organizamos os monômios semelhantes lado a lado e efetuamos as adições e subtrações entre eles.

Esquema, com expressões numéricas. Na primeira linha, 3 y menos y mais 6 x y mais 2 x ao quadrado y mais 5 x ao quadrado y. Na segunda linha, 2 y mais 6 x y mais 7 x ao quadrado y. Está indicado por dois traços que o 3 y menos y da primeira linha corresponde ao 2 y da segunda linha. Está indicado por um traço que o 6 x y da primeira linha corresponde ao 6 x y da segunda linha. Está indicado por dois traços que o 2 x ao quadrado y mais 5 x ao quadrado y da primeira linha corresponde ao 7 x ao quadrado y da segunda linha.

Dizemos que o polinômio 2 y + 6 x y + 7 x 2 y está na forma reduzida.

Podemos classificar um polinômio escrito na forma reduzida de acordo com a quantidade de termos.

São chamados binômios os polinômios que têm 2 termos.

Por exemplo: y + x e 2 x y .

São chamados trinômios os polinômios que têm 3 termos.

Por exemplo: 2 y + z w + 7 e 7 x 2 y 2 + x 3 .

Os monômios também são polinômios, porém com um único termo.

Os polinômios com quatro termos ou mais não recebem nomes particulares.

Também podemos definir o grau de um polinômio. Para definir, por exemplo, o grau do polinômio reduzido 2 x 4 x y 2 + 3 x 2 y 4 , determinamos inicialmente o grau de cada um de seus termos.

2 x 4

4º grau

x y 2

3º grau, pois 1 + 2 = 3

3 x 2 y 4

6º grau, pois 2 + 4 = 6

Em seguida, verificamos o termo com maior grau. Nesse caso, o termo 3 x 2 y 4 é o de maior grau. Portanto, esse polinômio é do 6º grau ou de grau 6.

O grau de um polinômio de coeficientes não nulos escrito na forma reduzida é dado pelo termo de maior grau. Dizemos que um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. O grau do polinômio nulo não é definido.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Os polinômios a seguir estão na forma reduzida. Separe-os em 3 grupos: no grupo 1, os monômios; no grupo 2, os binômios; e no grupo 3, os trinômios.

A. 7 x 3 y 4 + x y 5

B. a 5 b 3 5 a b 2 4 b 2

C. x 3 x 2

D. 3 x 2 y 4

E. 6 a 2 b 5 + 3 a 2 2 b

F. x y 1 2 + x 2 + 2 3 x y

G. 3 a 3 b + 7 10 a 2

H. a b 3

I. a 2 b 2 + 4 a 2

J. x y 4

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28. Volte à atividade anterior e determine o grau do polinômio de cada item.

29. De acordo com os valores de x e y , calcule o valor numérico de cada polinômio.

A. 2 x y y 2

x = 2 ; y = 7

B. x 2 y 3 + x 3 y

x = 5 ; y = 2

30. Simplifique cada polinômio deixando-o na forma reduzida.

a) 2 x 3 + 5 x 3 x 2 + x 6 + 2 x 2

b) a b 2 + 5 a 2 3 b a b 2 + 3 a 2 + 1

c) 2 ( x y + 3 ) x 2 + 4 x y + 5 x 2

31. Escreva no caderno um polinômio na forma reduzida que represente a medida do perímetro da figura a seguir.

Ilustração de um polígono composto por 2 retângulos, no formato da letra L. O lado horizontal inferior tem 3 x unidades de comprimento. O lado horizontal do meio tem x unidades de comprimento. O lado horizontal superior tem 6 unidades de comprimento. O lado vertical da esquerda tem 2 x mais 5 unidades de comprimento. O lado vertical da direita tem x mais 4 unidades de comprimento. O lado vertical do meio tem x mais 1 unidades de comprimento.

32. Em uma partida de basquetebol, é usado o jargão "cestinha" para o jogador que fez mais pontos. Carlos foi o "cestinha" em uma partida de basquetebol da escola. Ele acertou x cestas de 1 ponto, y cestas de 2 pontos e z cestas de 3 pontos.

a) Escreva no caderno o polinômio que representa a quantidade total de pontos que Carlos fez nessa partida.

b) Sabendo que Carlos fez 15 pontos nessa partida, atribua valores para x , y e z e determine 3 possibilidades diferentes de cestas que ele pode ter feito nessa partida.

c) No caderno, elabore um problema envolvendo polinômios, semelhante ao apresentado anteriormente, e peça a um colega que o resolva. Depois, verifiquem se as respostas estão corretas.

33. Para realizar um trabalho escolar, Ana recortou de uma cartolina com formato retangular 2 pedaços também retangulares, como mostra a figura.

Ilustração de uma folha de papel em formato retangular, com y unidades de comprimento e x unidades de largura. Há uma tesoura recortando um quadrado demarcado na folha na parte superior à esquerda. Há um retângulo demarcado na folha na parte superior à direita.
Figura 1: cartolina com as indicações de recorte.
Ilustração de uma folha de papel em formato retangular. Dela foram recortados um quadrado de lado a, da parte superior à esquerda, e um retângulo de comprimento a e largura b, da parte superior à direita.
Figura 2: cartolina após os recortes.

a) Com base nas imagens e nas suas indicações de medida, escreva um polinômio na forma reduzida que represente a medida da área do pedaço de cartolina que sobrou.

b) Qual é o grau do polinômio que você escreveu no item a?

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Operações com polinômios

Adição de polinômios

Analise os polinômios indicados nas fichas a seguir.

A. x y + y 2 + 2 y

B. 3 x y + 2 y 2 + 5 y

C. 2 x y + 4 y 2 + 3 y

Podemos calcular a adição dos polinômios A e B da seguinte maneira.

Esquema com expressões numéricas. Na primeira linha, A mais B. Na segunda linha, abre parênteses x y mais y ao quadrado mais 2 y fecha parênteses mais abre parênteses 3 x y mais 2 y ao quadrado mais 5 y fecha parênteses. Está indicado por um traço que o A da primeira linha corresponde ao abre parênteses x y mais y ao quadrado mais 2 y fecha parênteses da segunda linha. Está indicado por um traço que o B da primeira linha corresponde ao abre parênteses 3 x y mais 2 y ao quadrado mais 5 y fecha parênteses da segunda linha.

Inicialmente, eliminamos os parênteses e organizamos os termos semelhantes lado a lado. Depois, efetuamos as adições.

x y + y 2 + 2 y + 3 x y + 2 y 2 + 5 y =

= x y + 3 x y + y 2 + 2 y 2 + 2 y + 5 y =

= ( 1 + 3 ) x y + ( 1 + 2 ) y 2 + ( 2 + 5 ) y =

= 4 x y + 3 y 2 + 7 y

Portanto, o resultado da adição dos polinômios A e B é o polinômio 4 x y + 3 y 2 + 7 y .

Questão 4. Determine no caderno o resultado da adição dos polinômios B e C.

Ao adicionar um polinômio ao outro e obter o polinômio nulo como resultado, chamamos esses polinômios de opostos. Para obter um polinômio oposto a outro, reescrevemos ele trocando o sinal de cada um de seus termos. O oposto do polinômio 2 x + y 5 x y , por exemplo, é 2 x y + 5 x y , pois:

( 2 x + y 5 x y ) = 2 x y + 5 x y

Ao adicionarmos 2 x + y 5 x y a seu oposto, obtemos o polinômio nulo.

( 2 x + y 5 x y ) + ( 2 x y + 5 x y ) =

= 2 x + y 5 x y 2 x y + 5 x y =

= 2 x 2 x + y y 5 x y + 5 x y =

= ( 2 2 ) x + ( 1 1 ) y + ( 5 5 ) x y =

= 0 x + 0 y + 0 x y = 0

Questão 5. Escreva no caderno o polinômio oposto ao obtido na questão 4.

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Subtração de polinômios

Para calcular a subtração ( 4 x + 3 y + 7 x y ) ( x 2 y + 5 x y ) , adicionamos o 1º polinômio ao oposto do 2º polinômio.

( 4 x + 3 y + 7 x y ) ( x 2 y + 5 x y ) = ( 4 x + 3 y + 7 x y ) + ( x + 2 y 5 x y )   oposto de   x 2 y + 5 x y

Agora, finalizamos o cálculo.

4 x + 3 y + 7 x y x + 2 y 5 x y =

= 4 x x + 3 y + 2 y + 7 x y 5 x y =

= ( 4 1 ) x + ( 3 + 2 ) y + ( 7 5 ) x y =

= 3 x + 5 y + 2 x y

Portanto, o resultado da subtração é o polinômio 3 x + 5 y + 2 x y .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Copie no caderno as expressões dos quadros A, B, C e D, substituindo cada figura pelo polinômio correspondente. Depois, simplifique o polinômio.

: x + 4

: x 2 y

: 3 x + 4 y + 1 2

: 2 x 2 + x y 1 5

A. +

B. 20 +

C. 2 + 3 + 2

D. 3 2 + 5

35. Em seu caderno, determine o polinômio que, ao ser adicionado ao indicado em cada item, resulta no polinômio nulo.

a) 3 , 2 x 3 + 17 x + 14 y 9 x y 1

b) 3 5 x 7 4 x + 3 x y 9

c) 7 z 3 + 9 x z + 14 x y 2 1

36. Escreva no caderno o polinômio reduzido que representa a diferença entre as medidas dos perímetros dos retângulos I e II indicados em cada item.

A. Retângulo I

Ilustração de um retângulo com 4 x ao quadrado y menos 3 z unidades de comprimento e y mais z unidades de largura. Os ângulos superior à esquerda e inferior à direita estão com seus ângulos retos demarcados.

Retângulo II

Ilustração de um retângulo com y unidades de comprimento e x ao quadrado y mais 2 z unidades de largura. Seus ângulos retos, superior à esquerda e inferior à direita, estão demarcados.

B. Retângulo I

Ilustração de um retângulo com, menos 3 a b mais 9, unidades de comprimento e 7 a b ao cubo c menos 8 unidades de largura. Ele está inclinado à direita. Seus ângulos retos, superior à direita e inferior à esquerda, estão demarcados.

Retângulo II

Ilustração de um retângulo com, a b, unidades de comprimento e, 3 a, b, ao cubo, c, menos 3, unidades de largura. Ele está inclinado à esquerda. Seus ângulos retos, superior à esquerda e inferior à direita, estão demarcados.

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37. A seguir, estão representados alguns paralelepípedos retos retângulos, cujas medidas das dimensões estão indicadas em metro.

A. Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com 8 unidades de comprimento, x unidades de largura e x y unidades de altura.
B. Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com 2 x unidades de comprimento, 2 x unidades de largura e 5 y unidades de altura.
C. Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com 3 x y unidades de comprimento, y unidades de largura e 3 x unidades de altura.

Foram montadas as seguintes pilhas utilizando alguns paralelepípedos retos retângulos como esses.

1. Ilustração. Quatro paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Há dois paralelepípedos iguais de cor verde, cada um com 2 x unidades de comprimento, 2 x unidades de largura e 5 y unidades de altura. Ao lado há um laranja com 3 x y unidades de comprimento, y unidades de largura e 3 x unidades de altura e, acima deste, há um roxo com 8 unidades de comprimento, x unidades de largura e x y unidades de altura.
2. Ilustração. Quatro paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Há dois paralelepípedos iguais de cor roxa, cada um com 8 unidades de comprimento, x unidades de largura e x y unidades de altura. Ao lado há um laranja, com 3 x y unidades de comprimento, y unidades de largura e 3 x unidades de altura. Acima dos paralelepípedos roxos há um verde com 2 x unidades de comprimento, 2 x unidades de largura e 5 y unidades de altura.
3. Ilustração. Quatro paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Abaixo há dois paralelepípedos iguais de cor laranja, ambos com 3 x y unidades de comprimento, y unidades de largura e 3 x unidades de altura. Acima deles há um roxo, com 8 unidades de comprimento, x unidades de largura e x y unidades de altura e um verde, com 2 x unidades de comprimento, 2 x unidades de largura e 5 y unidades de altura.

a) Qual polinômio representa a medida do volume total de cada pilha montada?

b) Supondo x = 0 , 75   m e y = 2 , 4   m , calcule a medida do volume total de cada pilha.

38. Em seu caderno, desenhe a representação de um polígono com até seis lados e indique a medida do comprimento de cada um de seus lados por meio de monômios e binômios. Depois, elabore um problema envolvendo essa figura, polinômios e valor numérico de polinômios. Por fim, peça a um colega que o resolva.

Versão adaptada acessível

38. Junte-se a um colega, desenhem a representação de um polígono com até seis lados e indiquem a medida do comprimento de cada um de seus lados por meio de monômios e binômios. Depois, elaborem um problema envolvendo essa figura, polinômios e valor numérico de um polinômio. Por fim, peçam a outra dupla que o resolva.

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Multiplicação de polinômios

Usando resina, a artesã Rosana confeccionou uma peça com formato que lembra um paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas das dimensões estão indicadas na imagem.

Ilustração de um paralelepípedo reto retângulo, com as dimensões: x de comprimento, 3 x de largura e x mais 4 de altura.

Qual polinômio representa a medida do volume da peça que Rosana confeccionou?

Podemos responder a essa pergunta multiplicando as medidas do comprimento, da largura e da altura da caixa.

Esquema, com três expressões numéricas. Na primeira linha, 3x vezes x vezes abre parênteses x mais 4 fecha parênteses. Na segunda linha, 3 x ao quadrado vezes abre parênteses x mais 4 fecha parênteses. Há duas setas saindo do 3 x ao quadrado e apontando para o x e para o 4. Ao lado direito da segunda linha está escrito: Neste passo, vamos eliminar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Na terceira linha, 3 x ao cubo mais 12 x ao quadrado.

Portanto, o polinômio que representa a medida do volume dessa peça é 3 x 3 + 1 2 x 2 .

Agora, analise as medidas dos lados do retângulo a seguir. Podemos obter a medida da área total desse retângulo de duas maneiras diferentes.

Ilustração de um retângulo. Uma parte de seu comprimento está demarcada com 6 unidades e a outra parte está demarcada com x unidades. Uma parte de sua largura está demarcada com 4 unidades e a outra parte está demarcada com y unidades.

1ª maneira

Dividimos o retângulo em outros quatro retângulos menores. Em seguida, obtemos a medida da área de cada um deles e as adicionamos.

Ilustração de um retângulo, dividido em quatro outros retângulos, dois acima e dois abaixo. Uma parte de seu comprimento está demarcado com 6 unidades e a outra parte está demarcada com x unidades. Uma parte de sua largura está demarcada com 4 unidades e a outra parte está demarcada com y unidades. Dentro do retângulo posicionado superiormente à esquerda está escrito 24. Dentro do retângulo posicionado superiormente à direita está escrito 4 x. Dentro do retângulo posicionado inferiormente à esquerda está escrito 6 y. Dentro do retângulo posicionado inferiormente à direita está escrito x y.

4 x + 6 y + x y + 2 4

2ª maneira

Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura do retângulo. Depois, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e obtemos a medida da área total.

Ilustração de um retângulo. Uma parte de seu comprimento está demarcada com 6 unidades e a outra parte está demarcada com x unidades. O comprimento também está demarcado como 6 mais x unidades. Uma parte de sua largura está demarcada com 4 unidades e a outra parte está demarcada com y unidades. A largura também está demarcada com 4 mais y unidades.
Esquema. Na primeira linha, abre parênteses 6 mais x fecha parênteses vezes abre parênteses 4 mais y fecha parênteses igual. Há duas setas saindo do 6 dentro do primeiro parênteses e apontando para os termos 4 e y que estão dentro do segundo parênteses. Há duas setas saindo do x dentro do primeiro parênteses e apontando para os termos 4 e y que estão dentro do segundo parênteses. Na segunda linha, igual 24 mais 6 y mais 4 x mais x y igual. Na terceira linha, 4 x mais 6 y mais x y mais 24.

Página 148

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Efetue os cálculos no caderno e determine o polinômio que representa a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo a seguir.

Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com x mais 8 unidades de comprimento, 4 x unidades de largura e 4 x unidades de altura.

40. Supondo x = 2   cm , calcule a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo da atividade anterior.

41. Efetue os cálculos a seguir no caderno e obtenha um polinômio na forma reduzida.

a) 7 x ( x + 5 )

b) x 2 ( x 7 )

c) 1 1 x 2 ( 2 x + 1 )

d) 6 x ( x 2 + 3 )

e) 5 x 2 ( x 2 2 x )

f) 4 x 3 ( 2 x 2 + 10 )

42. Escreva no caderno um polinômio na forma reduzida para representar a medida da área de cada retângulo.

A. Ilustração de um retângulo. Uma parte de seu comprimento está demarcado com x unidades e a outra parte está demarcada com 4 unidades. Uma parte de sua largura está demarcada com x unidades e a outra parte está demarcada com 7 unidades.
B. Ilustração de um retângulo. Uma parte de seu comprimento está demarcado com y unidades e a outra parte está demarcada com 1 unidade. Uma parte de sua largura está demarcada com y unidades e a outra parte está demarcada com 5 unidades.

43. Ícone desafio. Escreva no caderno o produto de um monômio pelo polinômio x + 2 cujo resultado seja:

a) 3 x y + 6 y

b) x y 2 y

c) x 2 y + 2 x y

d) 4 x 4 y + 8 x 3 y

44. Copie as sentenças a seguir no caderno, substituindo cada pelo termo adequado.

a) Esquema com igualdade. Abre parênteses 4x mais 4 fecha parênteses vezes abre parênteses y menos 1 fecha parênteses igual 4 x y menos 4 x mais lacuna para resposta menos 4. Há duas setas saindo do 4 x que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o y e 1 que estão dentro do segundo parênteses. Há duas setas saindo do 4 que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o y e 1 que estão dentro do segundo parênteses.
b) Esquema com igualdade. Abre parênteses x ao quadrado menos y fecha parênteses vezes abre parênteses y menos 10 fecha parênteses igual x ao quadrado y menos 10 x ao quadrado menos y ao quadrado mais lacuna para resposta. Há duas setas saindo do x ao quadrado que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o y e 10 que estão dentro do segundo parênteses. Há duas setas saindo do y que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o y e 10 que estão dentro do segundo parênteses.
c) Esquema com igualdade. Abre parênteses menos x mais 5 fecha parênteses vezes abre parênteses 2 y mais 1 fecha parênteses igual lacuna para resposta menos x mais 10 y mais lacuna para resposta. Há duas setas saindo do x que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o 2 y e 1 que estão dentro do segundo parênteses. Há duas setas saindo do 5 que está dentro do primeiro parênteses e apontando para o 2 y e 1 que estão dentro do segundo parênteses.
d) Esquema. Na primeira linha, abre parênteses x mais 2 fecha parênteses vezes abre parênteses 7 y menos x mais 3 fecha parênteses igual. Há três setas saindo do x dentro do primeiro parênteses e apontando para os termos 7 y, x e 3 que estão dentro do segundo parênteses. Há três setas saindo do 2 dentro do primeiro parênteses e apontando para os termos 7 y, x e 3 que estão dentro do segundo parênteses. Na linha de baixo, igual, lacuna para resposta, menos x ao quadrado mais 3 x mais, lacuna para resposta, menos 2 x mais 6.

45. Ícone desafio. Entre os polinômios a seguir, qual é o único que não representa a medida da área do retângulo?

Ilustração de um retângulo. Seu comprimento está demarcado em três partes, da esquerda para a direita, com y unidades, x unidades e x unidades. Sua largura está demarcada do lado esquerdo em três partes, de cima para baixo, no lado esquerdo: 1, 1 e 2 y, e demarcada em três partes do lado direito, de cima para baixo, no lado direito: y, y e 2.

A. 8 x + 2 y 2 + 2 y

B. 4 x y + 8 x + 2 y 2

C. 8 x y + 4 y 2

D. 4 x y + 4 x + 4 y 2

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Divisão de polinômio por monômio

Assim como dividimos monômio por monômio, dividimos polinômio por monômio. Acompanhe, por exemplo, como podemos resolver ( 8 x 3 4 x 2 ) : 2 x , com x 0 .

Atenção!

Nos exemplos e atividades envolvendo divisão nesta página e nas seguintes, estamos considerando o denominador diferente de zero, pois não existe divisão por zero.

Esquema com igualdade. Na primeira linha, abre parênteses 8 x ao cubo menos 4 x ao quadrado fecha parênteses dividido por 2 x igual abre parênteses 8 x ao cubo dividido por 2 x fecha parênteses menos abre parênteses 4 x ao quadrado dividido por 2 x fecha parênteses. Na segunda linha, 4 x ao quadrado menos 2 x. Está indicado por um traço que o abre parênteses 8 x ao cubo dividido 2 x fecha parênteses da primeira linha corresponde ao 4 x ao quadrado da segunda linha. Está indicado por um traço que o parênteses 4 x ao quadrado dividido por 2 x fecha parênteses da primeira linha corresponde ao 2 x da segunda linha.

Também podemos realizar esse cálculo escrevendo a expressão em forma de fração e dividir cada termo pelo monômio.

( 8 x 3 4 x 2 ) : 2 x = 8 x 3 4 x 2 2 x = 8 x 3 2 x 4 x 2 2 x = 4 x 2 2 x

Portanto, o resultado de ( 8 x 3 4 x 2 ) : 2 x é o polinômio 4 x 2 2 x .

Em uma divisão de um polinômio por um monômio não nulo, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Acompanhe um exemplo.

Esquema com igualdade. Na primeira linha, abre parênteses 12 x ao cubo menos 4 x ao quadrado mais 8 x fecha parênteses dividido por 4 x igual abre parênteses 12 x ao cubo dividido por 4 x fecha parênteses menos abre parênteses 4 x ao quadrado dividido por 4 x fecha parênteses mais abre parênteses 8 x dividido por 4 x fecha parênteses. Na segunda linha, 3 x ao quadrado menos x mais 2. Está indicado por um traço que o abre parênteses 12 x ao cubo dividido por 4 x fecha parênteses, da primeira linha, corresponde ao 3 x ao quadrado da segunda linha. Está indicado por um traço que o abre parênteses 4 x ao quadrado dividido por 4 x fecha parênteses, da primeira linha, corresponde ao x da segunda linha. Está indicado por um traço que o abre parênteses 8 x dividido por 4 x fecha parênteses, da primeira linha, corresponde ao 2 da segunda linha.

O cálculo anterior também pode ser representado da seguinte maneira.

( 1 2 x 3 4 x 2 + 8 x ) : 4 x = 1 2 x 3 4 x 2 + 8 x 4 x = 1 2 x 3 4 x 4 x 2 4 x + 8 x 4 x = 3 x 2 x + 2

Questão 6. Em seu caderno, escreva uma divisão de um polinômio por um monômio não nulo cujo quociente seja igual a 3 y + 2 .

Questão 7. Ícone atividade oral. Qual é o grau do polinômio e do monômio que você escreveu no item anterior?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Efetue no caderno a divisão de polinômio por monômio em cada item e obtenha um polinômio na forma reduzida.

a) ( 5 x 4 + 1 5 x 7 10 x ) : 5 x

b) 1 6 y 5 2 0 y 7 1 2 y 3 4 y 3

c) ( 1 8 a 5 6 a 1 0 3 a 2 + 9 a 4 ) : 3 a 2

d) 2 0 b 3 1 2 b 8 + 1 0 b 5 8 b 4 6 b 2

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47. Nos itens a seguir, cada figura corresponde a um dos polinômios indicados nas fichas. Efetue os cálculos no caderno e determine qual polinômio cada figura representa.

a) : = 2 x 4 5

b) : = x 2 + 4 x

c) : = 3 x + 5

Atenção!

Nas divisões indicadas, os divisores são monômios não nulos.

  • 4 x 5 10 x

  • 5 x

  • 2 x

  • x

  • 1 5 x 2 + 25 x

  • x 3 + 4 x 2

48. Em cada retângulo está indicada a medida do comprimento de um de seus lados e a medida de sua área A. Efetue os cálculos no caderno e determine a medida do comprimento do outro lado.

A. Ilustração de um retângulo com x unidades de comprimento e um ponto de interrogação na medida de sua largura. Dentro dele está escrito: A igual 2 x ao quadrado mais 3 x.
B. Ilustração de um retângulo com 3 y unidades de comprimento e um ponto de interrogação na medida de sua largura. Dentro dele está escrito: A igual 6 y ao quadrado menos 6 y.

Atenção!

Nesta atividade, utilize a operação inversa da multiplicação, ou seja, a divisão.

49. Copie no caderno as sentenças a seguir substituindo cada pelo polinômio adequado.

a) ( 4 x 3 + 6 x 2 ) : 2 x =

b) 3 x = 9 x 4 3 x 3

c) 1 0 x 6 : = 5 x

d) : 7 x 2 = 2 x + 7

50. Analise os paralelepípedos retos retângulos representados e resolva o que se pede.

1. Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com 2 x unidades de comprimento, 3 x unidades de largura e um ponto de interrogação na medida da sua altura.
2. Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo com 2 x mais 4 unidades de comprimento, 3 x unidades de largura e 2 x unidades de altura.

a) Sabendo que a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo 1 é 1 8 x 3 , qual polinômio representa a medida de sua altura?

b) De acordo com as medidas indicadas no paralelepípedo reto retângulo 2 e sabendo que x = 5   cm , calcule a medida de seu volume.

Página 151

Fatoração de polinômios

Vamos estudar uma maneira de fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios. Essa maneira consiste em colocar um fator comum em evidência.

Atenção!

Existem outras maneiras de fatorar um polinômio. Elas serão estudadas no próximo volume.

Considere, por exemplo, o polinômio 3 y 2 + 5 y . Para fatorar esse polinômio, inicialmente decompomos cada um de seus termos em um produto de fatores.

3 y 2 + 5 y = 3 y y + 5 y

No exemplo, o fator y é comum aos dois termos do polinômio. Por isso, podemos escrever esse fator multiplicando os outros fatores que não são comuns. Nesse caso, dizemos que y foi colocado em evidência.

3 y y + 5 y = y ( 3 y + 5 )

Portanto, a forma fatorada de 3 y 2 + 5 y é y ( 3 y + 5 ) .

Mínimo múltiplo comum de polinômios

Neste tópico, vamos aprender a calcular o mínimo múltiplo comum ( mmc ) de polinômios.

Vamos calcular, por exemplo, o mmc de 1 2 x 4 y e 4 x 3 y 2 .

Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos monômios.

1 2 x 4 y = 2 2 3 x 4 y

4 x 3 y 2 = 2 2 x 3 y 2

Depois, efetuamos o produto de todos os fatores de 1 2 x 4 y e 4 x 3 y 2 considerando apenas os de maior expoente. O mmc é o produto desses fatores:

mmc ( 1 2 x 4 y , 4 x 3 y 2 ) = 2 2 3 x 4 y 2 = 1 2 x 4 y 2

De maneira semelhante à apresentada, vamos determinar o mmc de 2 4 a 2 e 1 8 a 2 18 a b .

Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos polinômios.

2 4 a 2 = 2 3 3 a 2

1 8 a 2 18 a b = 2 3 2 a ( a b )

Efetuamos o produto de todos os fatores dos polinômios, considerando apenas os de maior expoente. O mmc é o produto desses fatores:

mmc ( 2 4 a 2 , 1 8 a 2 18 a b ) = 2 3 3 2 a 2 ( a b ) = 7 2 a 2 ( a b )

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Para obter o mmc de dois ou mais polinômios, fatoramos inicialmente os coeficientes dos polinômios. Depois, multiplicamos todos os fatores dos polinômios fatorados, considerando apenas os de maior expoente.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Esquema, com igualdade. Na primeira linha, m m c abre parênteses 6 x à quinta vírgula 9 x ao quadrado y fecha parênteses igual a 2 vezes 3 ao quadrado vezes x à quinta vezes y igual 18 x à quinta y. Na segunda linha, 2 vezes 3 vezes x à quinta 3 ao quadrado vezes x ao quadrado vezes y. Está indicado por um traço que o 6 x à quinta da primeira linha, antes do primeiro igual, corresponde ao 2 vezes 3 vezes x à quinta da segunda linha. Está indicado por um traço que o 9 vezes x ao quadrado vezes y da primeira linha, antes do primeiro igual, corresponde ao 3 ao quadrado vezes x ao quadrado vezes y da segunda linha.
Esquema, com igualdade. Na primeira linha, m m c abre parênteses 6 a ao quadrado b vírgula 5 a mais a b à quarta fecha parênteses igual a 2 vezes 3 vezes a ao quadrado vezes b abre parênteses 5 mais b à quarta fecha parênteses igual 6 a ao quadrado b abre parênteses 5 mais b à quarta fecha parênteses. Na segunda linha, 2 vezes 3 vezes a ao quadrado vezes b a abre parênteses 5 mais b à quarta fecha parênteses. Está indicado por um traço que o 6 a ao quadrado b da primeira linha, antes do primeiro igual, corresponde ao 2 vezes 3 vezes a ao quadrado vezes b da segunda linha. Está indicado por um traço que o 5 a mais a b à quarta da primeira linha, antes do primeiro igual, corresponde ao a abre parênteses 5 mais b à quarta fecha parênteses da segunda linha.
Esquema, com igualdade. Na primeira linha, m m c abre parênteses 8 a ao quadrado b ao cubo vírgula 3 a ao quadrado mais 2 a b fecha parênteses igual a 2 ao cubo vezes a ao quadrado vezes b ao cubo abre parênteses 3 a mais 2 b fecha parênteses igual a 8 a ao quadrado b ao cubo abre parênteses 3 a mais 2 b fecha parênteses. Na segunda linha, 2 ao cubo vezes a ao quadrado vezes b ao cubo, a, abre parênteses 3 a mais 2 b fecha parênteses. Está indicado por um traço que o termo 8 a ao quadrado b ao cubo localizado dentro do m m c na primeira linha, corresponde ao 2 ao cubo vezes, a, ao quadrado vezes, b, ao cubo da segunda linha. Está indicado por um traço que o 3 a ao quadrado mais 2 a b da primeira linha, antes do primeiro igual, corresponde ao, a, abre parênteses 3 a mais 2 b fecha parênteses da segunda linha.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

51. Desenvolva os cálculos para obter o mmc dos polinômios.

a) mmc ( x 5 y 4 , x 4 y 5 )

b) mmc ( 5 a 3 b , 15 a b 2 )

c) mmc ( 2 0 y 3 , 4 x 2 y 6 )

d) mmc ( a 3 b 7 , 8 a b 2 )

e) mmc ( 1 2 x 3 , 4 x 2 6 x )

f) mmc ( 9 a b 5 , 2 a 2 b 2 + 4 a b )

52. Efetue os cálculos mentalmente e determine qual deve ser o valor de cada figura para que o mmc esteja correto.

a) mmc ( 5 x , 2 5 x 2 ) = 2 5 x 6

b) mmc ( 7 x y 2 , 4 x ) = 2 8 x 3 y 2

c) mmc ( 6 a 2 b , 8 a b ) = 2 4 a 7 b

d) mmc ( 1 6 x y 2 z , 4 x y z 3 ) = 1 6 x 5 y 8 z 4

53. No caderno, associe os polinômios ao mmc correspondente.

A. 8 x 2 y 4

B. 12 x y 2

C. 1 8 x 6 y

D. 2 0 x 3 y 4

E. 2 x 3 + 4 x 2

F. 1 6 x 2 + 8 x y

1. mmc ( , ) = 3 6 x 6 y 2

2. mmc ( , ) = 4 0 x 3 y 4 ( 2 x + y )

3. mmc ( , ) = 8 x 2 y 4 ( x + 2 )

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Frações algébricas

Em uma fábrica, uma máquina A produz 1.840 peças em t minutos. Que expressão algébrica representa a produção dessa máquina em 1 minuto?

Para responder a essa pergunta, podemos escrever a expressão algébrica a seguir.

1 . 840 : t , t 0 ou 1840 t , t 0

Essa expressão é chamada fração algébrica.

Fração algébrica é uma expressão algébrica escrita em forma de fração e que apresenta variáveis no denominador.

Em uma fração algébrica, o denominador representa um número diferente de zero.

Acompanhe alguns exemplos.

  • 2 x y , y 0

  • 5 x 2 + 3 y x y + 1 , x y 1

  • a + b a b , a b

  • 2 x y + y 2 6 x , x 0

  • 1 y , y 0

  • y y + 2 , y 2

Atividades

Faça as atividades no caderno.

54. Entre as expressões algébricas a seguir, quais são frações algébricas?

A. 2 x + y 3

B. 5 x , x 0

C. 2 x 3 + y x 1 , x 1

D. x 2 + 3 y x y , x y 0

E. x + 7 y + 1 12

F. 9 x + 12 y + 5 2 y , y 0

55. Com base nas informações apresentadas no início desta página, responda às questões a seguir.

a) Nessa mesma fábrica, uma máquina B demora 12   min a mais para produzir a mesma quantidade de peças da máquina A. Que fração algébrica representa a produção da máquina B em 1   min ?

b) Sabendo que a máquina A produz as 1.840 peças em 80   min , qual é a quantidade de peças que ela produz por minuto? E qual é a quantidade de peças que a máquina B produz por minuto?

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56. Para cada frase, escreva no caderno uma fração algébrica.

a) A adição de um número a com 3 dividido por um número b.

b) O produto entre 2 x e 5 y dividido pela adição de x e y.

c) A diferença entre os números 6 a e 2 b 2 dividido por 5 b .

d) Um número y dividido pelo produto entre 2 e x 2 .

e) A diferença entre o quadrado de 2 x + 1 e 5, dividido pelo triplo de y.

f) A quinta parte de x adicionada a y, dividido pelo dobro de z.

57. Silas tem x revistas em quadrinhos em sua coleção. Dessa coleção, y revistas são repetidas. Sabendo que Silas distribuiu igualmente as revistas não repetidas em z prateleiras, que fração algébrica representa a quantidade de revistas que ele vai colocar em cada prateleira?

58. Junte-se a um colega e, utilizando as sentenças apresentadas a seguir, escrevam no caderno 3 frações algébricas diferentes. Depois determinem o valor numérico de cada fração algébrica que vocês escreveram considerando x = 2 e y = 5 .

  • 5 x 2 + 3 y

  • x y 2

  • x y 7

  • x 3 y 2 1 5

  • y + 5

  • 4 x + y

  • 2 x 2 y

59. Considere a frase apresentada a seguir.

Ilustração de uma anotação com a escrita: A diferença entre o quadrado de um número x e seu triplo, dividido pelo quadrado de x.

Escreva no caderno uma fração algébrica para representar essa frase.

60. As despesas da festa de final de ano em uma empresa foram de R$ 1.350,00. Esse total seria dividido entre todos os funcionários, porém, na última hora, 3 deles desistiram de ir à festa.

Considere p a quantidade de funcionários da empresa e resolva os itens a seguir.

a) Escreva no caderno a fração algébrica que representa a quantia que cada funcionário pagaria se não houvesse a desistência dos 3 funcionários.

b) Que expressão algébrica representa a quantidade de funcionários que de fato pagaram a festa?

c) Que fração algébrica representa a quantia que cada funcionário pagou?

d) Calcule a quantia que cada funcionário deveria pagar, antes e depois de 3 deles desistirem, para p = 3 0 , ou seja, considerando que a empresa tem 30 funcionários.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Escreva em uma folha de papel avulsa as expressões algébricas que representam as situações a seguir.

a) A medida da área de um quadrado cujo comprimento do lado mede x.

b) A quantidade de figurinhas de José, sabendo que Paulo tem n figurinhas e José tem 5 figurinhas a mais do que Paulo.

c) O preço de x quilogramas de tomate, sabendo que o preço por quilograma é R$ 5,48.

2. (Obmep-2006) A figura representa parte de uma régua graduada de meio em meio centímetro, onde estão marcados alguns pontos. Qual deles melhor representa o número 2 x + 1 ?

Ilustração de uma parte de uma régua graduada de meio em meio centímetro, onde estão marcados os pontos x, R, S, T, U e V. Os pontos x e R estão, nessa ordem, marcados na régua entre 0,5 centímetro e 1 centímetro. O ponto S está marcado entre 1,5 centímetro e 2 centímetros. O ponto T está marcado entre 2 centímetros e 2,5 centímetros. O ponto U está marcado entre 3 centímetros e 3,5 centímetros. O ponto V está marcado entre 4,5 centímetros e 5 centímetros.

a) R

b) S

c) T

d) U

e) V

3. Em uma balança foram colocadas uma penca de bananas e três maçãs, como representado na imagem a seguir.

Ilustração de uma balança digital. Acima dela há uma penca de bananas e três maçãs. Em seu visor está marcando 1 ponto 500 quilograma.

a) Se a medida da massa da penca de bananas é x   k g , escreva a expressão algébrica que representa a medida da massa das 3 maçãs, em quilogramas.

b) Escreva a expressão algébrica que representa a medida da massa aproximada de uma maçã.

4. Em certo plano telefônico é cobrada uma taxa fixa de R$ 69,90 por mês mais R$ 0,17 por minuto em ligações locais.

a) Representando a medida do tempo em minutos por t , escreva em uma folha de papel avulsa uma expressão algébrica que permita calcular o gasto mensal de um cliente que usa esse plano e faz somente ligações locais.

b) Quantos reais esse cliente gastou em um mês em que utilizou 200 minutos em ligações locais?

5. Certa funcionária recebe um salário fixo de R$ 1.255,00 e mais 3% do valor de todas as vendas que efetuar no mês.

a) Qual será o salário da funcionária no mês em que ela vender R$ 20.000,00 em produtos? E se ela vender R$ 30.000,00?

b) Sendo x o valor das vendas realizadas no mês, escreva em uma folha de papel avulsa uma expressão algébrica que represente o salário da funcionária.

6. Larissa tem x livros. Eduarda tem y livros, que são 6 livros a mais do que Larissa, e Bruno tem z livros, que é o triplo da quantidade de Eduarda.

a) Qual é a quantidade de livros de Eduarda? E a de Bruno?

b) Qual é a quantidade de livros de Larissa? E a de Eduarda?

c) Se Eduarda tem 14 livros, qual é a quantidade de livros de Larissa? E a de Bruno?

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7. (Enem-2010) Uma professora realizou uma atividade com seus estudantes utilizando canudos de refrigerantes para montar figuras, em que cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos ( C ) de cada figura depende da quantidade de quadrados ( Q ) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Figura 1
Ilustração de um quadrado.
Figura 2
Ilustração. Figura composta por dois quadrados iguais com um lado em comum, um ao lado do outro.
Figura 3
Ilustração. Figura composta por três quadrados iguais lado a lado.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

a) C = 4 Q

b) C = 3 Q + 1

c) C = 4 Q 1

d) C = Q + 3

e) 4 Q 2

8. Qual é a medida do volume de um cubo cuja aresta mede 2 x ?

9. Certo retângulo cujas medidas do comprimento e da largura são c e l, respectivamente, tem seu perímetro medindo 2 ( c + l ) .

a) A expressão algébrica que representa a medida do perímetro é um monômio?

b) É possível expressar a medida do perímetro de um quadrado, cujo comprimento do lado mede l , por um monômio? Em caso afirmativo, escreva em uma folha de papel avulsa esse monômio.

10. Escreva em uma folha de papel avulsa os polinômios na forma reduzida de cada item. Depois, classifique-os em monômio, binômio ou trinômio.

a) 4x8y+3(xx8y)+6x-(3x8y+9x)

b) 3 x 2 y + 4 2 y 2 3 x 2 y + 4 y 2 + 2

c) 3 ( 5 a b + 2 ) + a 2 2 3 a b 4 a 2

11. O polinômio x 2 + 2 x y + y 2 assume maior valor numérico para x = 2 e y = 0 ou para x = 6 e y = 5 ? Qual é esse valor?

12. A figura a seguir é formada por dois quadrados e um retângulo. Escreva em uma folha de papel avulsa um polinômio que represente a medida da área dessa figura. Depois, calcule a medida da área para a = 2   m e b = 4   m .

Ilustração de um polígono composto por dois retângulos parcialmente sobrepostos. Um retângulo está na vertical e o outro na horizontal, sobrepostos justapostos por um vértice. As partes que não se sobrepõem forma 2 quadrados, um de lado, b, e outro de lado, a.

13. Que fração algébrica representa um número x dividido pela adição de um número y com 4?