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UNIDADE

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Equações e sistemas de equações

Fotografia de 3 carros táxis estacionados em frente à uma edificação.
Fila de motoristas com seus táxis, aguardando passageiros para uma corrida, cujo preço pode ser calculado por meio de uma equação.

Agora vamos estudar...

  • equação do 1º grau com uma incógnita;
  • equação fracionária;
  • equação do 1º grau com duas incógnitas;
  • sistemas de equação do 1º grau com duas incógnitas;
  • equação do 2º grau do tipo a x 2 = c .

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Equação do 1º grau com uma incógnita

Na unidade anterior, estudamos expressões algébricas, fórmulas e equações. Nesta unidade, vamos retomar o conceito de equações e aprofundá-lo. Relembre o que é uma equação.

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido. Cada letra é uma incógnita da equação.

Analise a seguinte situação.

O dobro da idade de Tiago mais 10 anos é igual a 38 anos. Qual é a idade de Tiago?

Para responder a essa pergunta, podemos escrever uma equação e resolvê-la. Indicando por x a idade em anos de Tiago, escrevemos a equação a seguir.

Esquema. Equação. 2 x mais 10 corresponde ao primeiro membro. Igual a 38 que corresponde ao segundo membro.

Atenção!

Em uma equação, cada lado em relação ao sinal de igual é chamado membro.

Essa equação é um exemplo de equação do 1º grau com uma incógnita.

Uma equação do 1º grau com uma incógnita x é uma sentença matemática que pode ser escrita na forma a x = b , sendo a e b números reais, com a não nulo.

Vamos resolver a equação 2 x + 10 = 3 8 , ou seja, obter o valor desconhecido da incógnita.

Esquema. Resolução de uma equação. Primeira linha: 2 x mais 10 igual a 38. Segunda linha: 2 x mais 10 menos 10 igual a 38 menos 10. Há uma seta com a indicação: 'subtraímos 10 unidades em cada membro da equação'. Terceira linha: Início de fração, numerador: 2 x, denominador: 2, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 28, denominador: 2, fim de fração. Há uma seta com a indicação: 'dividimos os dois membros da equação por 2 para que em um dos membros fique apenas x'. Quarta linha: x igual a 14.

Assim, x = 1 4 . Portanto, Tiago tem 14 anos.

Ilustração de uma mulher dizendo: 'Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número nos dois membros de uma equação e a igualdade se mantém. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros por um mesmo número diferente de zero'.

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Acompanhe outra situação.

Os pratos da balança representada a seguir estão em equilíbrio. Sabendo que todas as latas de leite em pó têm a mesma medida de massa, podemos obter a medida da massa de cada lata escrevendo e resolvendo uma equação.

Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há 6 latas de leite em pó e um bloco retangular de 500 gramas. No prato da direita há uma lata de leite em pó e 5 blocos retangulares de 500 gramas cada.

Atenção!

Como a balança está em equilíbrio, a medida da massa em um prato é igual à medida da massa em outro prato.

Indicando por x a medida da massa, em quilogramas, de uma lata de leite em pó, temos:

6 x + 500 = x + 5 50 0

Resolvendo a equação, obtemos:

Esquema. Resolução de uma equação. Primeira linha: 6 x mais 500 igual a x mais 5 vezes 500. Segunda linha: 6 x mais 500 igual a x mais 2500. Terceira linha: 6 x mais 500 menos 500 igual a x mais 2500 menos 500. Há uma seta com a indicação: 'subtraímos 500 unidades em cada membro da equação'. Quarta linha: 6 x igual a x mais 2000. Há uma seta com a indicação: 'subtraímos x em cada membro da equação'. Quinta linha: 6 x menos x igual a x mais 2000 menos x. Sexta linha: 5 x igual a 2000. Sétima linha: Início de fração, numerador: 5 x, denominador: 5, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 2000, denominador: 5, fim de fração. Há uma seta com a indicação: 'dividimos os dois membros da equação por 5 para que em um dos membros fique apenas x'. Oitava linha: x igual a 400.

Portanto, a massa de cada lata de leite em pó mede 400   g .

Questão 1. As balanças representadas em cada item estão em equilíbrio. Em seu caderno escreva e resolva uma equação que possibilite determinar a medida da massa da:

A. Lata vermelha.

Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há 3 latas vermelhas e um peso de 250 gramas. No prato da direita há duas latas vermelhas, um peso de 1 quilograma e um peso de 500 gramas.

B. Lata azul.

Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há 4 latas azuis e cinco pesos de 100 gramas. No prato da direita há uma lata azul, dois pesos de 500 gramas e um peso de 250 gramas.

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Podemos simplificar e resolver a equação 4 ( x 5 ) + x 6 = 16 2 x , procedendo da seguinte maneira:

Esquema. Resolução de uma equação. Primeira linha: 4 vezes abre parênteses, x menos 5, fecha parênteses, mais x menos 6 igual a 16 menos 2 x. Segunda linha: 4 x menos 20 mais x menos 6 igual a 16 menos 2 x. Há uma seta com a indicação: 'eliminamos os parênteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicação'. Terceira linha: 5 x menos 26 igual a 16 menos 2 x. Quarta linha: 5 x menos 26 mais 2 x igual a 16 menos 2 x mais 2 x. Há uma seta com a indicação: 'adicionamos 2 x em cada membro da equação'. Quinta linha: 7 x menos 26 igual a 16. Sexta linha: 7 x menos 26 mais 26 igual a 16 mais 26. Há uma seta com a indicação: adicionamos 26 unidades em cada membro da equação. Sétima linha: 7 x igual a 42. Oitava linha: Início de fração, numerador: 7 x, denominador: 7, fim de fração, igual a, início de fração, numerador:42, denominador: 7, fim de fração. Há uma seta com a indicação: 'dividimos os dois membros da equação por 7 para que em um dos membros fique apenas x'. Nona linha: x igual a 6.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Júlia comprou um vestido e uma saia por R$ 149,95. Sabendo que a saia custou R$ 60,00, qual das equações a seguir permite obter o preço do vestido?

a) x + 149 , 95 = 6 0

b) x 60 = 149 , 9 5

c) x + 60 = 149 , 9 5

d) x = 149 , 95 + 6 0

2. Resolva a equação da atividade anterior e obtenha o preço do vestido.

3. Resolva no caderno as equações a seguir.

a) 7 x = 4 9

b) x + 10 = 1 8

c) 2 x 7 = 1 5

d) 3 x + 2 = 1

e) 6 x + 12 = 5 4

f) 5 x 14 = 3 1

g) 3 ( x + 4 ) + 8 = 2 + x

h) 7 ( x 14 ) + 20 = 5 ( x + 3 ) 1 5

4. Bruna expressou um procedimento matemático.

Ilustração de uma mulher dizendo: 'Pensei em um número e multipliquei-o por 3. Ao resultado, adicionei 12 e obtive 36'.

a) Qual das equações a seguir permite obter o número pensado por Bruna?

I) 12 3 x = 3 6

II) 36 + 12 = 3 x

III) 3 x 12 = 3 6

IV) 3 x + 12 = 3 6

b) Determine o número pensado por Bruna.

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5. No caderno, associe cada situação a seguir a uma das equações.

A.

Letícia pensou em um número, multiplicou-o por 5, adicionou 17 unidades ao produto e obteve 82 como resultado. Em que número Letícia pensou?

B.

O triplo da idade de Gustavo é igual a 78 anos. Qual é a idade de Gustavo?

C.

O dobro da quantia em reais que eu tenho menos R$ 63,00 é igual a R$ 153,00. Quantos reais eu tenho?

1. 3 x = 7 8

2. 5 x + 17 = 8 2

3. 2 x 63 = 15 3

6. Resolva no caderno as equações da atividade anterior e determine a resposta de cada situação.

7. Geraldo tem um jardim com formato retangular cujo perímetro mede 38   m . A medida do comprimento desse jardim é 5   m maior do que a medida de sua largura.

Ilustração de um retângulo. com x mais 5 de comprimento; e x de largura.

a) Calcule, em metro, a medida da largura e do comprimento desse jardim.

b) Calcule a medida da área desse jardim.

8. Junte-se a um colega e escrevam no caderno uma equação para representar a situação a seguir. Em seguida, resolvam essa equação e deem a resposta da situação.

A sequoia é considerada a espécie de árvore mais alta do mundo. Ao multiplicarmos a medida da altura que uma sequoia pode atingir por 2 e adicionarmos 96   m ao resultado, obtemos 330   m . Qual é a medida da altura que essa árvore pode atingir?

9. Escreva no caderno a equação correspondente a cada situação. Depois, resolva as equações e dê a resposta de cada situação.

a) Paguei a conta da lanchonete com uma cédula de R$ 50,00 e recebi R$ 22,00 de troco. Qual foi o valor da conta?

b) O dobro da quantia que recebi, adicionado a R$ 69,00, resulta em R$ 195,00. Qual foi a quantia que recebi?

c) O triplo da idade de André mais 18 anos é igual a 108 anos. Qual é a idade de André?

d) Pensei em um número e multipliquei-o por 6. Ao resultado adicionei 32 e obtive 116. Em que número pensei?

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Equações fracionárias

Na unidade anterior, você estudou frações algébricas, ou seja, expressões algébricas escritas na forma de fração, que têm variáveis no denominador. Usando frações algébricas, podemos escrever equações fracionárias.

Equação fracionária é uma equação que tem pelo menos uma fração com letras no denominador. Essas letras são as incógnitas da equação.

Considere o problema a seguir.

Agnaldo produz 5   kg de queijo com certa quantidade de litros de leite. Utilizando a mesma receita, para produzir 20   kg de queijo ele precisa acrescentar 30   L de leite. Quantos litros de leite ele usa para fazer 5   kg de queijo? E para fazer 20   kg de queijo?

Para resolver o problema apresentado, escrevemos, inicialmente, uma equação que o represente, indicando por x a quantidade de litros de leite necessária para produzir 5   kg de queijo.

5 x = 20 x + 30

Atenção!

Na equação escrita, x + 3 0 indica a quantidade de litros de leite necessária para produzir 20   kg de queijo.

Para que essa equação seja possível, o denominador de cada fração deve ser diferente de zero. Nesse caso, tem-se x 0 e x 3 0 .

Acompanhe a resolução dessa equação fracionária.

Inicialmente, determinamos o mmc ( x , x + 30 ) , que é x ( x + 30 ) . Depois, multiplicamos cada membro da equação pelo mmc para eliminar os denominadores.

5 x = 20 x + 30

x ( x + 30 ) 5 x = 20 x + 30 x ( x + 30 )

5 ( x + 30 ) = 20 x

Em seguida, eliminamos os parênteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

5 ( x + 30 ) = 20 x 5 x + 150 = 20 x

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Na sequência, resolvemos a equação e obtemos o valor de x .

5 x + 150 = 20 x

5 x + 150 150 = 20 x 15 0

5 x = 20 x 15 0

5 x 20 x = 20 x 150 20 x

15 x = 15 0

15 x 15 = 150 15

x = 1 0

Por último, verificamos se o valor obtido para a incógnita x não anula algum dos denominadores da equação e se mantém verdadeira a igualdade.

5 x = 20 x + 30

5 10 = 20 10 + 30

5 10 = 20 40

1 2 = 1 2

Nesse caso, o valor obtido para a incógnita x não anulou os denominadores das frações e manteve verdadeira a igualdade. Assim, x = 1 0 é a solução dessa equação fracionária.

Portanto, para fazer 5   kg de queijo Agnaldo utiliza 10   L de leite ( x = 10 ) , e para fazer 20   kg ele utiliza 40   L de leite ( x + 30 = 10 + 30 = 40 ) .

Agora, acompanhe a resolução da seguinte equação fracionária.

Esquema. Resolução de uma equação. Primeira linha: início de fração, numerador: 2, denominador: x menos 2, fim de fração, mais 3, igual a início de fração, numerador: x, denominador: x menos 2. Segunda linha: abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, riscado, vezes, início de fração, numerador: 2, denominador: x menos 2, fim de fração, denominador riscado, mais 3, vezes abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, igual a início de fração, numerador: x, denominador: x menos 2, fim de fração, denominador riscado, vezes, abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses, riscado. Há uma seta com a indicação: 'multiplicamos os dois membros da equação por x menos 2 para eliminar os denominadores. Terceira linha: 2 mais 3, vezes abre parênteses, x menos 2, fecha parênteses igual a x. Quarta linha: 2 mais 3 x menos 6 igual a x. Quinta linha: 3 x menos 4 igual a x. Sexta linha: 3 x menos 4 mais 4 igual a x mais 4. Sétima linha: 3 x igual a x mais 4. Oitava linha: 3 x menos x igual a x mais 4 menos x. Nona linha: 2 x igual a 4. Décima linha: início de fração, numerador: 2 x, denominador: 2, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 4, denominador: 2, fim de fração. Décima primeira linha: x igual a 2.

Atenção!

Para tornar possível a equação anterior, devemos considerar o denominador de cada fração diferente de zero, ou seja, x 2 .

Como vimos anteriormente, ao resolver uma equação fracionária, é preciso garantir que o valor obtido para a incógnita não anule algum dos denominadores da equação e que ele mantenha verdadeira a igualdade. Quando uma dessas situações não ocorre, a equação não tem solução.

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Verificamos então o valor x = 2 na equação fracionária:

2 2 2 + 3 = 2 2 2 2 0 + 3 = 2 0

Assim, x = 2 não pode ser solução dessa equação, pois esse valor anula o denominador e não existe divisão por zero.

Logo, essa equação não tem solução.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

10. Resolva as equações quando possível.

a) 6 x 12 x = 3 5 , com x 0 .

b) 3 x + 6 3 x = 1 5 , com x 0 .

c) 4 x 4 + 5 = x x 4 , com x 4 .

d) 9 x x 3 6 x + 3 = 9 x 2 + 102 ( x 3 ) ( x + 3 ) , com x 3 e x 3 .

e) 16 x 5 x 2 = 9 x , com x 0 e x 2 .

f) 4 12 x + 5 x = 1 2 , com x 0 .

11. Escreva no caderno uma equação que possibilite resolver cada um dos problemas apresentados. Depois, resolva a equação e obtenha a solução do problema.

A.

Um automóvel, a certa medida de velocidade média, percorre 170   km em x horas. Para percorrer 255   km mantendo a mesma medida de velocidade média, esse automóvel gasta 1 hora a mais. Quanto tempo esse automóvel leva para percorrer os 170   km ?

B.

Em uma indústria, diariamente certa quantidade de funcionários produzia 300 peças. A produção diária dessa indústria passou para 420 peças após a contratação de mais 30 funcionários. Considerando que os funcionários têm a mesma produtividade, quantos funcionários trabalhavam nessa indústria antes da contratação? E após a contratação?

Atenção!

Indique por x a quantidade de funcionários e por x + 30 a quantidade de funcionários depois da contratação.

12. Ícone desafio. Marta pagou R$ 150,00 na compra de x cadernos e R$ 225,00 na compra de x 2 livros. Todos os cadernos que Marta comprou têm o mesmo preço e todos os livros também têm o mesmo preço. Sabendo que cada livro custa o dobro de cada caderno, calcule quantos cadernos e quantos livros Marta comprou.

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Equações do 1º grau com duas incógnitas

Sabrina fez uma pergunta a Lucas.

Ilustração de uma menina dizendo: 'Pensei em dois números cuja soma é 7. Quais são esses possíveis números?'.
Ilustração de um menino com a mão no queixo, pensando e há um balão de pensamento com um ponto de interrogação.

Indicando um dos números por x e o outro por y , podemos escrever a equação x + y = 7 para representar o que Sabrina está perguntando.

Vamos calcular alguns dos possíveis valores de x e y .

Análise de alguns valores de x e y para uma equação

x

y

x + y

0

7

0 + 7 = 7

1

6

1 + 6 = 7

2 , 5

4 , 5

2 , 5 + 4 , 5 = 7

3

4

3 + 4 = 7

Análise de alguns valores de x e y para uma equação

x

y

x + y

4

3

4 + 3 = 7

9 2

5 2

9 2 + 5 2 = 7

6

1

6 + 1 = 7

8

1

8 + ( 1 ) = 7

Os valores de x e y em cada linha são alguns dos possíveis valores que satisfazem a equação, ou seja, são alguns dos possíveis números em que Sabrina pensou.

A equação escrita que representa o questionamento de Sabrina é um exemplo de equação do 1º grau com duas incógnitas.

Uma equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y, é uma sentença matemática que pode ser escrita na forma a x + b y = c , sendo a, b e c números reais, com a e b não nulos.

Acompanhe outros exemplos de equações do 1º grau com duas incógnitas.

  • 2 x + 5 y = 1 2
  • 5 t + w = 1
  • 3 z = 5 y + 4

As soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas são pares ordenados ( x , y ) . Algumas soluções da equação x + y = 7 são ( 0 , 7 ) , ( 1 , 6 ) , ( 9 2 , 5 2 ) e ( 8 , 1 ) .

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Representação geométrica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

É possível demonstrar que a representação geométrica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma reta.

Acompanhe a seguir as etapas necessárias para realizar essa representação no plano cartesiano.

1. Atribua valores para x e calcule o valor correspondente para y, a fim de obter algumas soluções da equação.

2. Em seguida, represente esses pontos (soluções) no plano cartesiano.

3. Por fim, trace a reta que passa por esses pontos.

Agora, utilizando as etapas indicadas, vamos representar a equação 2 x y = 5 no plano cartesiano.

1.

Análise de alguns valores de x para uma equação

x

y

Solução

1

2 ( 1 ) y = 5 y = 7

( 1 , 7 )

0

2 0 y = 5 y = 5

( 0 , 5 )

1

2 1 y = 5 y = 3

( 1 , 3 )

2

2 2 y = 5 y = 1

( 2 , 1 )

3

2 3 y = 5 y = 1

( 3 , 1 )

Atenção!

Como a representação gráfica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma reta, basta determinar duas soluções da equação.

2. Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde estão marcados os pontos de coordenadas: menos 1 e menos 7; 0 e menos 5; 1 e menos 3; 2 e menos 1; 3 e 1.
Representação das soluções obtidas no quadro.
3. Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta passando pelos pontos de coordenadas: menos 1 e menos 7; 0 e menos 5; 1 e menos 3; 2 e menos 1; 3 e 1.
Reta que passa pelas soluções obtidas no quadro.

Questão 2. Construa um plano cartesiano em uma malha quadriculada. Em seguida, obtenha a representação geométrica das equações a seguir.

a) x y = 1

b) x + y = 1

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Em quais itens estão apresentadas equações do 1º grau com duas incógnitas?

A.

5 x + 8 = 1 8

B.

12 x = 8 y 5 6

C.

6 x 4 = 8

D.

7 y + 5 x = 3 1

E.

4 x + 9 = 3 x 5

F.

8 a + 3 b = 3 0

G.

2 z + 15 z = 1 7

H.

8 t + 48 = 2 t

I.

6 m 51 = 9 r

J.

10 c + 6 d + 2 d = 6 0

K.

3 s 49 = 4 s

L.

7 j + 8 j = 9 k 8 7

14. Escreva no caderno uma equação para representar cada situação a seguir.

a) O dobro da minha idade mais o triplo da idade do meu filho é igual a 84 anos.

b) Paguei R$ 6,50 por 2 salgados e 1 suco.

c) A diferença entre o preço de 1 par de tênis e de 1 par de sapatos é R$ 48,00.

d) Comprei 3 kg de tomate e 4 kg de batata por R$ 16,53.

Atenção!

Utilize as letras x e y para representar as incógnitas.

15. Mariana pensou em dois números cuja diferença é 12. Sabendo que um dos números é maior do que 20 e menor do que 23, determine todos os possíveis pares de números em que Mariana pode ter pensado.

16. Em qual dos itens é indicada a representação geométrica da equação 1 2 x + 2 y = 0 ?

A. Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta passando pelos pontos de coordenadas: menos 1 e 4; 0 e 0; 1 e menos 4.
B. Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta passando pelos pontos de coordenadas: menos 4 e 1; 0 e 0; 4 e menos 1.
C. Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta passando pelos pontos de coordenadas: menos 4 e menos 1; 0 e 0; 4 e 1.

17. Represente geometricamente as equações de cada item. Para isso, use uma malha quadriculada.

a) y x = 0

b) 2 x + 3 y = 4

c) x + 3 y = 3

d) 4 x y = 4

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Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Em um final de semana, foi realizada uma partida entre os times do 8º ano A e 8º ano B pelo campeonato de futebol da escola.

Durante a partida, foram marcados 8 gols. A diferença entre a quantidade de gols marcados pelo time do 8º ano A e a de gols marcados pelo time do 8º ano B foi 2 gols.

De acordo com essas informações, quantos gols marcou cada time nessa partida?

Para responder a essa pergunta, podemos escrever duas equações, uma para representar o total de gols marcados durante a partida e outra para representar a diferença entre a quantidade de gols marcados na partida pelos dois times.

Vamos indicar por x a quantidade de gols marcados pelo 8º ano A e por y a quantidade de gols marcados pelo 8º ano B. Assim:

Equação: x mais y, igual a 8. Está indicado que essa equação é o 'total de gols'.
Equação: x menos y, igual a 2. Está indicado que essa equação é a 'diferença entre a quantidade de gols marcados pelos times'.

Para representar essa situação, temos duas equações com duas incógnitas em cada uma delas.

Nesse caso, temos o seguinte sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

{ x + y = 8 x y = 2

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. Represente cada uma das situações apresentadas nos itens a seguir por meio de um sistema de equações.

a) Em uma caixa, foram colocadas bolinhas vermelhas e amarelas, chegando a um total de 12 bolinhas. A caixa tem 2 bolinhas vermelhas a mais do que amarelas.

b) Certo tipo de doce é vendido em embalagens do tipo x e y. Duas embalagens do tipo x e três embalagens do tipo y totalizam 19 doces. Já três embalagens do tipo x e duas embalagens do tipo y totalizam 21 doces.

c) Em uma sala de aula há 31 estudantes, entre meninos e meninas. Nela, há 5 meninas a mais do que meninos.

Atenção!

Utilize as letras x e y para representar as incógnitas.

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Solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Neste tópico, vamos estudar alguns métodos para obter a solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Antes disso, devemos saber que:

Uma solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é um par ordenado que é solução das duas equações simultaneamente.

Método da substituição

Raul gastou R$ 220,00 na compra de 2 calças e 1 camisa.

Ilustração de um homem segurando duas calças, uma em cada mão e uma camiseta apoiada em seu ombro.

Quantos reais custou cada peça de roupa, sabendo que as calças custaram o mesmo preço e a camisa custou R$ 26,00 a menos que a calça?

Nesse caso, indicando por x o preço de cada calça e por y o preço da camisa escrevemos as seguintes equações:

Equação: 2 x mais y, igual a 220. Está indicado que essa equação é o 'preço das duas calças e da camisa'.
Equação: x menos y, igual a 26. Está indicado que essa equação é a 'diferença entre o preço de uma calça e de uma camisa'.

Assim, temos o seguinte sistema de equações: { 2 x + y = 22 0 x y = 26 .

Acompanhe como podemos resolvê-lo utilizando o método da substituição.

Inicialmente, escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas. Nesse caso, escolhemos a 2ª equação e isolamos x no 1º membro.

x y = 2 6

x y + y = 26 + y

x = 26 + y

Depois, substituímos x por 26 + y na outra equação e resolvemos a equação obtida.

2 x + y = 22 0

2 ( 26 + y ) + y = 22 0

52 + 2 y + y = 22 0

52 + 3 y = 22 0

52 + 3 y 52 = 220 5 2

3 y = 16 8

3 y 3 = 168 3

y = 5 6

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Para obter o valor de x , basta substituir y por 56 na equação x = 26 + y .

x = 26 + y = 26 + 56 = 8 2

Portanto, uma calça custou R$ 82,00, e uma camiseta, R$ 56,00.

Agora, vamos resolver o sistema { x y 10 = 2 x 5 y + 1 = 1 5 .

Efetuando os cálculos, obtemos:

x y 10 = 2 x = 2 ( y 10 ) = 2 y 2 0

x 5 y + 1 = 1 5 5 ( x 5 ) = y + 1 y = 5 x 2 6

Sendo assim, o sistema inicial é equivalente ao sistema { x = 2 y 2 0 y = 5 x 2 6 .

Substituindo x = 2 y 2 0 em y = 5 x 2 6 , obtemos:

5 ( 2 y 20 ) 26 = y

10 y 100 26 = y

10 y 126 y + 126 = y y + 12 6

9 y = 12 6

9 y 9 = 126 9

y = 1 4

Sabendo que y = 1 4 , calculamos o valor de x.

x = 2 14 20 = 28 20 = 8

Portanto, a solução do sistema é ( 8 , 14 ) .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Use o método de substituição para resolver, em seu caderno, os sistemas de equações apresentados nos itens a seguir.

a) { x = y 5 x + 14 y = 1 6

b) { 2 y = 4 x x + 2 y = 1 5

c) { x y = 1 8 x + y = 4

d) { 3 x + y = 1 2 4 x + y = 20

e) { 10 x 8 y = 1 4 x + y = 4

f) { 3 x + y = 6 5 x 2 y = 10

Página 171

20. Marcos e Otávio são pintores. Ao todo, eles receberam R$ 980,00 por um trabalho que realizaram. Sabendo que Marcos recebeu R$ 228,00 a menos do que Otávio, calcule quantos reais cada um deles recebeu.

Atenção!

Indique por x a quantia, em reais, recebida por Marcos e por y a quantia recebida por Otávio. Em seguida, escreva no caderno um sistema de equações e resolva-o.

21. Os Jogos Olímpicos de Tóquio 2020 foram realizados de 23 de julho de 2021 a 8 de agosto de 2021.

Fotografia de várias pessoas se apresentando em volta do símbolo das olimpíadas.
Cerimônia de abertura dos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020, no Japão em 2021.

O Brasil participou dessa edição em 35 modalidades esportivas, com 302 atletas ao todo. O número de homens participantes foi maior do que o de mulheres, com diferença de 22 atletas.

Fonte de consulta: COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL (COB). Time Brasil. Disponível em: https://oeds.link/2fLqW5. Acesso em: 2 maio 2022.

Quantos homens e quantas mulheres compuseram a delegação de atletas do Brasil nessa edição?

22. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.

a) Relacionem no caderno cada problema a seguir ao sistema de equações que permite resolvê-lo.

A.

Solange e Gabriel têm juntos R$ 776,00. A quantia que Solange tem é o triplo da quantia de Gabriel. Quantos reais cada um deles tem?

B.

O dobro da quantidade de figurinhas que Marcos tem adicionado ao quíntuplo da quantidade de figurinhas que Renata tem é igual a 125 figurinhas. A diferença entre as quantidades de figurinhas que eles têm é igual a 10 figurinhas. Quantas figurinhas cada um deles tem, sabendo que Marcos tem mais figurinhas do que Renata?

C.

Em um estacionamento há carros e motos, totalizando 250 veículos. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento, sabendo que o dobro da quantidade de carros é igual ao triplo da quantidade de motos?

D.

A soma da idade de Carlos com o dobro da idade de Lúcia é igual a 125 anos. Qual é a idade de Carlos e a de Lúcia, sabendo que Lúcia tem o dobro da idade de Carlos?

I. { 2 x + 5 y = 12 5 x y = 10

II. { x + y = 25 0 2 x = 3 y

III. { x + y = 77 6 x = 3 y

IV. { x + 2 y = 12 5 y = 2 x

b) Resolvam no caderno os sistemas e determinem a resposta de cada problema.

Página 172

23. Em certa escola estudam meninos e meninas, totalizando 2.500 estudantes. Quantos meninos e quantas meninas estudam nessa escola, sabendo que o triplo da quantidade de meninos é igual ao dobro da quantidade de meninas?

24. Ícone desafio. A diferença entre a idade de Marcela e a de Augusto é igual a 28 anos. Há 6 anos, a idade de Marcela era o triplo da idade de Augusto. Qual é a idade atual de cada um deles?

25. Certa marca vende suco em embalagens do tipo x e do tipo y. Juntas, 4 embalagens do tipo x e 2 do tipo y contêm 5 . 200   mL . Já 1 embalagem do tipo x e 6 do tipo y contêm 7 . 900   mL . Qual é a medida da capacidade de cada tipo de embalagem?

26. Em uma sessão de cinema foram arrecadados R$ 2.720,00 com a venda das entradas. Cada uma custa R$ 16,00 e estudantes pagam meia-entrada. Com a venda das entradas inteiras, arrecadou-se R$ 800,00 a mais do que o triplo do valor arrecadado com a venda das meias-entradas. Quantas pessoas ao todo pagaram para assistir a essa sessão?

27. No último fim de semana, Adriana fez uma viagem com seu carro. Ela partiu de Londrina com destino a Maringá, ambas cidades no Paraná. Porém, no caminho, Adriana resolveu passar por Astorga, também no Paraná, antes de ir a Maringá, o que aumentou o trajeto em 58   km .

Ilustração de dois mapas. Ao lado esquerdo está o mapa do Paraná, com destaque para 3 pontos, que estão detalhados no mapa da direita, que representam as cidades de Londrina, Astorga e Maringá. Este segundo mapa apresenta um trajeto de Londrina a Astorga e depois até Maringá.

Fonte de consulta: ATLAS geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

Atenção!

Indique por a a medida da distância entre Londrina e Astorga e por b a medida da distância entre Astorga e Maringá.

a) Sabendo que Adriana percorreu um total de 1 59   km , qual é a medida da distância entre Londrina e Maringá, sem passar por Astorga?

b) A distância entre Londrina e Astorga mede 21 , 8   km a menos do que a distância entre Astorga e Maringá. Sabendo disso, calcule a medida da distância entre:

Londrina e Astorga;

Astorga e Maringá.

28. Com exatamente R$ 120,00 e sem receber troco, Raquel pode comprar 4 bolas de futebol e 1 de voleibol ou 2 bolas de futebol e 2 de voleibol. Qual é o preço unitário de cada bola?

Página 173

Método da adição

Em uma sala de aula, há 36 estudantes entre meninos e meninas. A diferença entre a quantidade de meninos e de meninas é 6 estudantes. Quantos meninos e quantas meninas há nessa turma, sabendo que há mais meninos do que meninas?

Ilustração de alunos em suas carteiras em uma sala de aula.

Indicando por x a quantidade de meninos e por y a quantidade de meninas, podemos escrever as seguintes equações:

Equação: x mais y, igual a 36. Está indicado que essa equação é o 'total de meninos e meninas'.
Equação: x menos y, igual a 6. Está indicado que essa equação é a 'diferença entre a quantidade de meninos e a quantidade de meninas'.

Assim, temos o seguinte sistema de equações: { x + y = 3 6 x y = 6 .

Acompanhe como podemos resolvê-lo utilizando o método da adição.

As duas equações apresentam termos opostos ( y na 1ª equação e y na 2ª equação). Nesse caso, vamos adicioná-las.

Algoritmo da adição de duas equações. Primeira linha: x mais y igual a 36. Segunda linha: x menos y igual a 6. Na linha abaixo o resultado: 2 x mais zero y igual a 42. Nessa linha há uma seta com a indicação: 'cancelamos menos y com mais y e, assim, eliminamos a incógnita y'. Na linha de baixo: 2 x igual a 42.

Agora, resolvemos a equação 2 x = 4 2 e obtemos o valor de x .

2 x = 4 2

2 x 2 = 42 2

x = 2 1

Por fim, obtemos o valor de y . Para isso, substituímos x por 21 em uma das equações do sistema, por exemplo, na 1ª equação.

Esquema formado pelas equações: x mais y, igual a 36. Na segunda linha a equação: 21 mais y, igual a 36. O valor x da primeira equação está relacionado com o 21 da segunda. Na terceira linha: 21 mais y menos 21, igual a 36 menos 21. Na quarta e última linha: y igual a 15.

Portanto, nessa sala de aula há 21 meninos e 15 meninas.

Página 174

Considere o sistema de equações { x + 4 y = 9 3 x + 2 y = 7 . Vamos resolvê-lo utilizando o método da adição.

Note que as duas equações desse sistema não têm termos opostos. Assim, não podemos eliminar uma das incógnitas apenas adicionando as duas equações. Em casos semelhantes a esse, com o objetivo de obter termos opostos nas equações, multiplicamos uma ou as duas por números escolhidos convenientemente.

Agora, vamos resolver o sistema.

1º. A 1ª equação tem o termo x e a 2ª equação tem o termo 3 x . Assim, basta multiplicar todos os termos da 1ª equação por 3 para obter uma equação equivalente e com o termo 3 x , oposto ao termo 3 x .

{ x + 4 y = 9 3 x + 2 y = 7 { 3 x 12 y = 2 7 3 x + 2 y = 7

2º. Adicionamos as duas equações.

Algoritmo da adição de duas equações. Primeira linha: menos 3 x menos 12 y, igual a menos 27. Segunda linha: 3 x mais 2 y, igual a 7. Na linha abaixo o resultado: 0 x menos 10 y, igual a menos 20. Na linha de baixo: menos 10 y, igual a menos 20.

3º. Resolvemos a equação obtida e calculamos o valor de y .

10 y = 2 0

10 y 10 = 20 10

y = 2

4º. Obtemos o valor de x. Para isso, substituímos y por 2 em uma das equações do sistema, por exemplo, na 1ª equação.

Esquema formado pelas equações: x mais 4 y, igual a 9. Na segunda linha  a equação: x mais 4 vezes 2, igual a 9. O valor 4 y da primeira equação está relacionado com o 2 da segunda. Na terceira linha: x mais 8, igual a 9. Na quarta linha: x mais 8 menos 8, igual a 9 menos 8. Na quinta e última linha: x igual a 1.

Portanto, a solução do sistema é ( 1 , 2 ) .

Questão 3. No sistema { 3 x + 4 y = 1 . 2 x 5 y = 1 6 , as equações também não têm termos opostos. Utilizando o método apresentado nesta página, resolva esse sistema em seu caderno.

Página 175

Atividades

Faça as atividades no caderno.

29. Resolva em seu caderno os sistemas de equações a seguir por meio do método da adição.

a) { x + 5 y = 2 5 x + 3 y = 9

b) { 5 x 6 y = 2 0 5 x + 14 y = 2 0

c) { 4 x + 3 y = 5 2 x 3 y = 7

d) { x + 2 y = 1 6 x 2 y = 2

e) { 2 x + 8 y = 7 x 8 y = 14

f) { 3 x 4 y = 3 2 x + 4 y = 4

30. A soma de dois números é igual a 12 e a diferença entre eles é igual ao único número primo que é par. Quais são esses números?

31. A soma das idades de Júlia e André é igual a 34 anos. A diferença entre as idades deles é igual a 8 anos. Qual é a idade de Júlia e a de André, sabendo que André é mais novo do que Júlia?

32. Participaram de uma excursão x homens e y mulheres, sendo a maioria homens. A soma das quantidades de homens e de mulheres é igual a 130 pessoas e a diferença entre a quantidade de homens e a de mulheres é igual a 12 pessoas. Quantos homens e quantas mulheres participaram dessa excursão?

33. Acompanhe o que Rafael e Fábio estão dizendo.

Ilustração de um homem dizendo: 'O dobro da medida da massa de Rafael menos a medida de minha massa é igual a 78 quilogramas'.
Fábio.
Ilustração de um homem dizendo: 'O dobro da medida da minha massa adicionado à medida da massa de Fábio é igual a 222 quilogramas'.
Rafael.

Calcule a medida da massa de cada um deles.

34. Elabore um problema envolvendo um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida está correta.

Página 176

35. Com base nas informações apresentadas em cada item, determine x e y, em graus.

a) A diferença entre x e y é igual a 15 ° .

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 105 graus; x; e y.

b) y é o dobro de x.

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: x; x; e y.

c) A adição de x e y é igual a 140 ° .

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: x menos 10 graus; y menos 5 graus; e y.

d) A diferença entre x e y é igual a 40 ° .

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 2 y; x menos y; e 2 x.

Atenção!

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 ° .

36. Use o método da adição para resolver, em seu caderno, os sistemas de equação a seguir.

a) { 5 x + 2 y = 1 1 x + y = 1

b) { 3 x + 5 y = 4 7 x + 10 y = 74

c) { 5 x + 7 y = 2 2 10 x + y = 96

d) { 2 x + 6 y = 1 6 x 2 y = 1 3

e) { 2 x 8 y = 2 4 3 x 5 y = 2 2

f) { 6 x + 3 y = 1 5 2 x + 4 y = 16

g) { 5 x 3 y = 6 3 x + 5 y = 44

h) { 3 x + 7 y = 5 7 x + 3 y = 1

37. (Unifor-CE-2005) Em uma barraca na praia, um grupo de turistas pagou R$ 23,40 pelo consumo de 6 cocos verdes e 12 pastéis, enquanto outro grupo pagou R$ 21,30 por 7 cocos verdes e 9 pastéis.

Nessa barraca, 1 coco verde e 1 pastel custam, juntos:

a) R$ 2,10

b) R$ 2,30

c) R$ 2,50

d) R$ 2,70

e) R$ 2,90

38. (Obmep-2007) Juliana tem 8 cartões de papel retangulares iguais. Se ela enfileirar todos os cartões juntando lados de mesma medida, ela pode obter um retângulo de perímetro 236   cm ou um retângulo de perímetro 376   cm .

Qual é a área de cada cartão?

a) 66   cm 2

b) 132   cm 2

c) 198   cm 2

d) 264   cm 2

e) 330   cm 2

Página 177

Análise da solução de um sistema de equações por meio da representação geométrica

Neste tópico, vamos representar geometricamente alguns sistemas de equações. Para isso, representaremos em um mesmo plano cartesiano cada uma das equações que os compõem.

• Considere o sistema { 2 x + y = 1 x + y = 2 .

As retas que representam as equações são concorrentes, ou seja, cruzam-se em um único ponto, nesse caso, em ( 1 , 3 ) . Portanto, ( 1 , 3 ) é a solução desse sistema.

Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que se cruzam passando pelo ponto de coordenadas menos 1 e 3; e que correspondem as funções 2 x mais y igual a 1 e x mais y igual a 2.

Questão 4. Utilizando qualquer um dos métodos apresentados anteriormente, resolva em seu caderno o sistema { 2 x + y = 1 x + y = 2 e verifique se, de fato, sua solução é ( 1 , 3 ) .

O sistema estudado é um exemplo de sistema possível e determinado.

Um sistema de equações é possível e determinado quando tem uma única solução. As retas que representam as equações de um sistema possível e determinado são concorrentes.

• Considere o sistema { x + y = 2 x + y = 3 .

Como não existem números que adicionados resultem em 2 e 3, simultaneamente, tal sistema não tem solução. Além disso, como não há pontos que satisfazem as duas equações simultaneamente, as retas que as representam são paralelas, ou seja, estão em um mesmo plano e não se cruzam.

Página 178

Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que correspondem as funções x mais y igual a 2 e x mais y igual a 3. Elas não se cruzam.

O sistema estudado é um exemplo de sistema impossível.

Um sistema de equações é impossível quando não tem solução. As retas que representam as equações de um sistema impossível são paralelas.

• Considere o sistema { x + y = 3 2 x + 2 y = 6 .

Note que as equações são equivalentes, pois ao multiplicarmos cada termo da primeira equação por 2 obtemos a segunda equação. Nesse caso, as equações têm as mesmas soluções e, consequentemente, o sistema apresenta infinitas soluções. As retas que representam as equações são coincidentes, ou seja, estão sobrepostas.

Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta que corresponde as funções 2 x mais 2 y igual a 6 e x mais y igual a 3

O sistema estudado é um exemplo de sistema possível e indeterminado.

Um sistema de equações é possível e indeterminado quando tem infinitas soluções. As retas que representam as equações de um sistema possível e indeterminado são coincidentes.

Página 179

Instrumentos e softwares

Equações do primeiro grau com o GeoGebra

Com o GeoGebra, é possível representar graficamente equações do 1º grau e analisar a solução de um sistema. Execute o passo a passo a seguir.

1º. Clique com o botão direito sobre a Janela de visualização, habilite a opção Mostrar Eixos e, na aba Malha, escolha a opção Malha principal.

2º. Represente graficamente cada equação digitando-a no campo Entrada... e pressionando Enter, uma por vez, por exemplo, 2 x + y = 2 e x y = 2 .

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: r, 2 x mais y igual a 2 e s, x menos y igual a menos 2.  Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que correspondem as funções 2 x mais y igual a 2 e x menos y igual a menos 2.

3º. Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e clique nas duas retas para verificar se elas são concorrentes, coincidentes ou paralelas.

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: r, 2 x mais y igual a 2, s, x menos y igual a menos 2 e interseção: ponto A com coordenadas 0 e 2.  Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que correspondem as funções 2 x mais y igual a 2 e x menos y igual a menos 2.

Atenção!

Para mostrar a equação que a reta representa, clique sobre ela com o botão direito e, em Exibir Rótulo, habilite a opção Valor.

Ilustração de opções de demarcações: Exibir rastro, exibir rótulo e fixar objeto. OA segunda e a terceira opção estão selecionadas e a segunda também possui opção de escolher valor.

Nesse exemplo, como a interseção entre as retas é um ponto, elas são concorrentes, então o sistema é possível e determinado.

Página 180

Analise outros exemplos:

{ x + y = 2 x y = 1

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: r, menos x mais y igual a 2 e s, x menos y igual a 1, interseção e um ponto de interrogação.  Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que correspondem as funções menos x mais y igual a 2 e x menos y igual a 1.

Como as retas são paralelas, não existe interseção entre elas. Assim, o sistema é impossível. Para esse tipo de sistema, o GeoGebra indica a interseção com uma interrogação (?).

{ 4 x 2 y = 6 2 x y = 3

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: r, menos 4 x menos 2 y igual a 6 e s, menos 2 x menos y igual a 3, interseção e um ponto de interrogação.  Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado uma reta que corresponde as funções menos 4 x menos 2 y igual a 6 e menos 2 x menos y igual a 3.

Note que, como as retas são coincidentes, elas estão sobrepostas. Assim, o sistema é possível e indeterminado. Note que para esse tipo de sistema, o GeoGebra também indica a interseção com uma interrogação (?).

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Represente cada um dos sistemas geometricamente.

a) { 2 x y = 3 3 x + 2 y = 1 0

b) { x y = 3 2 x 2 y = 2

c) { x + 2 y = 0 2 x + 4 y = 0

d) { x y = 0 2 x y = 1

Página 181

40. A imagem mostra a representação geométrica do sistema { x y = 1 3 x + 2 y = 3 .

Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas concorrentes que se cruzam no ponto de coordenadas 0 e 1.

a) O sistema apresentado é possível e determinado, impossível ou possível e indeterminado? Justifique sua resposta.

b) Caso a resposta do item a seja possível e determinado, determine a solução do sistema.

41. A imagem mostra a representação geométrica de um sistema de equações.

Gráfico. Há um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada, onde está traçado duas retas que se cruzam no ponto de coordenadas menos 1 e 0; uma reta também passa pelo ponto de coordenadas 0 e 2; a outra reta também passa pelo ponto de coordenadas 0 e menos 1.

Entre os sistemas de equações a seguir, determine aquele que está representado geometricamente.

a) { x y = 1 3 x 3 y = 3

b) { 2 x + y = 2 x 3 y = 3

c) { 2 x y = 2 3 x 3 y = 3

d) { x + y = 2 x y = 3

42. Classifique cada uma das afirmações em verdadeira ou falsa. Depois, reescreva as falsas em seu caderno, corrigindo-as.

a) As retas que representam um sistema possível e determinado são paralelas.

b) As retas que representam as equações de um sistema possível e indeterminado são coincidentes.

c) Um sistema de equações é possível e determinado quando tem uma única solução.

43. Artur é 8 anos mais velho do que sua irmã Isadora. Adicionando suas idades, obtemos 26 anos.

a) Escreva um sistema de equações que possibilite determinar a idade de cada um dos irmãos.

b) Ao representar geometricamente o sistema escrito por você no item a, obteremos retas concorrentes, paralelas ou coincidentes?

c) Qual é a idade de cada um dos irmãos?

44. Ícone uso de instrumentos Escreva um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Em seguida, peça a um colega que represente esse sistema utilizando o GeoGebra. Por fim, desafie-o a classificar as retas obtidas em concorrentes, paralelas ou coincidentes.

45. Elabore um problema envolvendo o sistema apresentado a seguir.

{ x + 2 y = 2 8 x 4 y = 4

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Página 182

Equação do 2º grau do tipo a x 2 = c

Antônio foi desafiado a determinar a medida do comprimento do lado de um quadrado com área medindo 81   mm 2 . Analise o que ele está dizendo.

Ilustração de um homem dizendo: 'Na resolução desse desafio vou escrever uma equação. Para isso, vou indicar por x a medida do comprimento do lado do quadrado'. Ele ainda diz: 'Assim, a medida da área do quadrado será x elevado a 2'.

A equação escrita por Antônio está apresentada a seguir.

Ilustração de um pedaço de papel com a escrita: x ao quadrado igual a 81.

Atenção!

Note que essa equação pode ser escrita na forma a x 2 = c , em que a = 1 e c = 8 1 .

No caso apresentado, temos um exemplo de equação do 2º grau com uma incógnita.

Para resolver essa equação, Antônio precisava descobrir quais são os números que, elevados ao quadrado, resultam em 81. Como resposta, ele obteve os seguintes valores para x.

Ilustração de um pedaço de papel com a escrita: x igual a 9 ou x igual a menos 9.
Ilustração de um homem dizendo: 'Como x corresponde à medida do comprimento do lado do quadrado, que não pode ser expressa por um número negativo, desconsidero o menos 9'.

Portanto, Antônio concluiu que a medida do comprimento do lado do quadrado deve ser 9 mm .

Utilizando uma calculadora, é possível determinar o número positivo que, elevado ao quadrado, resulte em 81. Para isso, basta digitar a seguinte sequência de teclas:

Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 8 Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 1. Ilustração de uma tecla de calculadora com a indicação de raiz quadrada. Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual.

Ilustração do visor de uma calculadora com o número 9.
Resultado obtido no visor da calculadora ao executar a sequência de teclas apresentada.

Questão 5.Ícone atividade oral.Ícone uso de instrumentos Utilizando uma calculadora, determine o número positivo que, elevado ao quadrado, resulte aproximadamente em:

a) 125.

b) 69.

c) 42,25.

d) 5,76.

Página 183

Instrumentos e softwares

Equações do tipo a x 2 = c com o GeoGebra

Com o GeoGebra, é possível resolver equações do tipo a x 2 = c , com a diferente de zero. Vamos resolver, por exemplo, a equação 2 x 2 = 8 . Para isso, execute o passo a passo a seguir.

1º. No campo Entrada..., da Janela Álgebra, digite a equação 2 x 2 = 8 .

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e na aba de entrada está a equação 2 x ao quadrado, igual a 8.

Atenção!

Para escrever o x 2 , digite x ^ 2 .

Após realizar o 1º passo, a equação fica armazenada na Janela Álgebra, conforme apresentado a seguir.

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: e q 1, 2 x ao quadrado, igual a 8.

2º. Na linha correspondente a eq1, clique com o botão esquerdo do mouse em . Em seguida, selecione a opção Resolver.

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: e q 1, 2 x ao quadrado, igual a 8. Ao lado, estão as opções de seleção: resolver, duplicar entrada, apagar e configurações. A primeira está selecionada.

Na Janela Álgebra, serão exibidas as soluções da equação (l1=Resolver(eq1)).

Ilustração de uma página de computador com o software Geogebra. Há vários botões de ferramentas e está fixo na janela: e q 1, 2 x ao quadrado, igual a 8. Abaixo está: I 1 , igual a resolver e q 1, x igual a menos 2, x igual a 2.

Página 184

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Em quais itens as equações apresentadas são do 2º grau do tipo a x 2 = c ?

a) x 2 = 9

b) x = 8

c) x 2 + x = 1

d) x 2 = 4

e) x = 7

f) x 2 = 2 2

g) 7 x = 2 1

h) 2 x 2 = x

i) 2 x 2 = 8

j) 4 x 2 6 x = 5

k) 5 x 2 = 12 5

l) x = 8

47. Em cada item, escreva uma equação que possibilite resolver o problema. Em seguida, resolva a equação e determine a solução do problema.

a) O quadrado de um número é igual a 9. Que número é esse?

b) O dobro do quadrado de um número é igual a 800. Que número é esse?

c) O triplo do quadrado de um número é igual a 1.875. Que número é esse?

d) O dobro do quadrado de um número é igual a 392. Que número é esse?

e) O triplo do quadrado de um número é igual a 3.675. Que número é esse?

48. Calcule a medida da área de cada quadrado.

a) Ilustração de um quadrado com 20 metros de medida de comprimento do lado.

b) Ilustração de um quadrado com 26 metros de medida de comprimento do lado.

49. Leia o problema a seguir.

Roberto comprou 40 placas de vidro em formato quadrado para instalar em sua casa. A medida da área total que ele comprou foi de 16 . 000   cm 2 . Qual é a medida do comprimento do lado de cada placa?

a) Escreva uma equação do tipo a x 2 = c que represente a situação.

b) Ícone uso de instrumentos Utilizando o GeoGebra, resolva o problema apresentado.

50. Ícone uso de instrumentos Utilizando pedaços de retalhos com formato de quadrado de dimensões de mesma medida, Marcos confeccionou o tapete apresentado a seguir.

Ilustração de um retângulo formado por vários retalhos quadrados. Há 4 linhas e 7 colunas.

Sabendo que a área desse tapete mede 5 . 488   cm 2 , determine a medida de comprimento do lado de cada um dos pedaços de retalho. Resolva esse problema utilizando uma calculadora.

51. Elabore um problema envolvendo equações do 2º grau do tipo a x 2 = c e a imagem apresentada a seguir.

Ilustração de um espaço, visto de cima, cercado e composto por árvores, dois pequenos lagos, ponte.

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Atenção!

Se considerar necessário, utilize uma calculadora ou o GeoGebra para resolver o problema proposto.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. As balanças a seguir estão em equilíbrio. Nelas, caixas de mesma cor têm a mesma medida de massa.

Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há uma caixa vermelha, um peso de 2 quilogramas e um peso de 500 gramas. No prato da direita, há um peso de 2 quilogramas, 3 pesos de 500 gramas e um peso de 250 gramas.
Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda há 4 caixas vermelhas. No prato da direita há 2 caixas azuis.

Qual é a medida da massa de uma caixa vermelha, em gramas? E de uma caixa azul?

2. Qual é o número cujo quádruplo adicionado a 46 resulta em 118?

3. Lauro comprou 2 caixinhas de leite a R$ 3,50 cada uma delas e 5 pães. Pagou a compra com a cédula a seguir e recebeu R$ 5,50 de troco.

Fotografia de uma cédula de 20 reais.

Quanto custou cada pão?

4. Carla nasceu 4 anos antes de seu irmão. Em certo momento, ela tinha o triplo da idade do irmão. Qual era a idade do irmão nesse momento?

5. Em uma folha de papel avulsa, associe cada informação a uma equação.

A. A divisão de x + 1 5 por x é igual a 7 2 .

B. A divisão de 3 por x é igual à divisão de 9 por 2 x + 4 .

C. A divisão de 8 por x é igual a 4 dividido por 2 x 3 .

1. 3 x = 9 2 x + 4

2. 8 x = 4 2 x 3

3. x + 15 x = 7 2

6. Resolva as equações da atividade anterior em uma folha de papel avulsa.

7. Em uma marcenaria eram produzidas 2 estantes por dia. Essa produção aumentou para 3 estantes por dia após a contratação de 3 funcionários.

Quantos passaram a ser os funcionários dessa marcenaria após as contratações, sabendo que todos mantiveram o mesmo ritmo de trabalho?

8. Resolva os sistemas de equações a seguir.

a) { x + y = 1 0 x y = 2

b) { x + y = 1 4 x y = 4

c) { x + y = 2 1 x y = 1

d) { x + y = 1 2 x y = 2

e) { x + 1 = y x + y = 1 5

f) { x 6 = y x + y = 1 8

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9. Em cada item a seguir, é apresentada a mesma balança em equilíbrio em momentos diferentes. Em uma folha de papel avulsa, escreva e resolva um sistema que possibilite determinar os valores de x e y.

A. Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há uma caixa x e uma caixa y. No prato da direita, há um peso de 5 quilogramas, 2 pesos de 2 quilogramas e um peso de 3 quilogramas.
Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há uma caixa x. No prato da direita, há um peso de 5 quilogramas, um peso de 3 quilogramas e uma caixa y.
B. Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há uma caixa x e um peso de 3 quilogramas. No prato da direita, há uma caixa y.
Ilustração de uma balança de pratos em equilíbrio. No prato da esquerda, há uma caixa x e uma caixa y. No prato da direita, há um peso de 5 quilogramas, 2 pesos de 3 quilogramas e 2 pesos de 2 quilogramas.

10. Em uma sala de aula há 42 estudantes. Sabendo que há mais meninas do que meninos na turma e que a diferença entre a quantidade de meninas e a de meninos é 4, quantas meninas e quantos meninos há nessa sala de aula?

11. Ao serem distribuídas 40 balas entre certo número de crianças, cada uma delas recebe a mesma quantidade de balas que receberia se fossem distribuídas 50 balas entre esse número de crianças mais 1 criança. Quantas balas cada criança recebe?

12. Leandro pagou R$ 119,00 na compra de 1 calça e 1 camiseta. Sabendo que a camiseta custou R$ 25,00 a menos do que a calça, qual é o preço da calça?

13. Para um espetáculo de teatro, foram colocados à venda ingressos com dois preços distintos. Esses ingressos, dependendo do preço, apresentavam cores diferentes: azul e branco. Observando duas pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis e 2 brancos e gastou R$ 140,00; a segunda comprou 2 ingressos azuis e 3 brancos e gastou R$ 180,00. Qual era o preço de cada ingresso?

14. Um mosaico é formado por 700 quadrados de mesma medida de área. Se a medida da área total desse mosaico é de 437 . 500   cm 2 , qual é a medida do comprimento do lado de cada quadrado?