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UNIDADE

10

Polígonos e circunferência

Fotografia do topo de um prédio, semelhante à um polígono de 5 lados iguais com ângulos de mesma medida. Há árvores na região central e ruas nos seus arredores.
Vista aérea do Pentágono, em Washington, nos Estados Unidos, em 2019, que lembra um polígono de cinco lados.

Agora vamos estudar...

  • polígonos e seus elementos;
  • diagonais de um polígono convexo;
  • figuras congruentes;
  • pontos notáveis de um triângulo;
  • quadriláteros;
  • circunferência, círculo e seus elementos;
  • polígonos inscritos e circunscritos na circunferência;
  • medida do comprimento da circunferência.

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Diagonais de um polígono

Em anos anteriores, apresentamos o conceito de polígono, que é toda linha fechada no plano, formada por segmentos de reta que não se cruzam, de maneira que dois segmentos consecutivos não são parte de uma mesma reta. Cada segmento de reta é um lado do polígono. Exceto quando dito o contrário, nesta coleção apresentaremos os polígonos com suas regiões internas coloridas, conforme as imagens desta página.

Com base em algumas características, podemos classificar os polígonos em convexos ou não convexos.

Polígono convexo: quando qualquer reta que passa por seu interior corta seus lados em somente dois pontos. Analise os exemplos.

Ilustração de um polígono de cinco lados e uma reta o cruzando, passando em dois pontos, cada um em lados diferentes.
Ilustração de um polígono de quatro lados e uma reta o cruzando, passando em dois pontos, cada um em lados diferentes.

Polígono não convexo: quando existe pelo menos uma reta que passa por seu interior cortando seus lados em mais de dois pontos. Analise os exemplos.

Ilustração de um polígono de cinco lados e uma reta o cruzando, passando em quatro pontos, cada um em lados diferentes.
Ilustração de um polígono de sete lados e uma reta o cruzando, passando em quatro pontos, cada um em lados diferentes.

As diagonais de um polígono convexo são os segmentos de reta que ligam dois vértices e não são lados desse polígono. No polígono convexo A B C D , temos os seguintes elementos.

  • Vértices: A, B, C e D.
  • Lados: A B , B C , C D e A D .
  • Diagonais: A C e B D .
  • Medida dos ângulos internos: a ˆ , b ˆ , c ˆ e d ˆ .
  • Medida dos ângulos externos: e ˆ , f ˆ , g ˆ e h ˆ .
Ilustração de um polígono de quatro lados: A maiúsculo, B maiúsculo, C maiúsculo, D maiúsculo, com respectivos ângulos internos, em sentido anti-horário, a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo, d minúsculo, e respectivos ângulos externos e minúsculo, f minúsculo, g minúsculo, h minúsculo. Há dois segmentos de reta, um ligando os vértices A e C, outro ligando os vértices B e D, denominados diagonais.

Analise nas figuras a seguir a quantidade de diagonais que partem de um único vértice em alguns polígonos convexos.

Ilustração de um polígono de quatro lados. Há 1 diagonal desenhada, ligando dois vértices distintos.
Quadrilátero

4 lados

1 diagonal

Ilustração de um polígono de seis lados. Há 3 diagonais desenhadas, todas partindo de um único vértice.
Hexágono

6 lados

3 diagonais

Ilustração de um polígono de oito lados. Há 5 diagonais desenhadas, todas partindo de um único vértice.
Octógono

8 lados

5 diagonais

Questão 1. Ícone atividade oral. Com base nos polígonos anteriores, quantas diagonais partem de um único vértice de um polígono convexo de 10 lados?

Questão 2. Ícone atividade oral. O que você pode perceber em relação à quantidade de diagonais que partem de um único vértice de cada um desses polígonos?

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Ao analisar os polígonos convexos ao final da página anterior, percebemos que a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de cada um deles é igual à quantidade de lados ou vértices do polígono menos 3.

  • Quadrilátero: 4 3 = 1
  • Hexágono: 6 3 = 3
  • Octógono: 8 3 = 5

Utilizando o mesmo raciocínio em um heptágono convexo, temos:

Ilustração de um polígono de sete lados A B C D E F G. Há 4 diagonais desenhadas, todas  partindo do vértice A.
Esquema com igualdade: 7 menos 3 igual a 4. Está indicado que 7 corresponde à quantidade de vértices ou lados do heptágono. Está indicado que 3 corresponde à quantidade de vértices não ligados ao vértice A por diagonais ('vértices A, B e G'). Está indicado que 4 corresponde à quantidade de diagonais que partem de um único vértice do heptágono.

Analise todas as diagonais do heptágono convexo apresentado na imagem a seguir.

Podemos calcular a quantidade total de diagonais desse polígono da seguinte maneira.

Inicialmente, multiplicamos a quantidade de diagonais que partem de um único vértice pela quantidade de vértices ou lados desse polígono.

Ilustração de um polígono de sete lados A B C D E F G. De cada um de seus vértices partem quatro diagonais, ligando vértices distintos.
Esquema com igualdade. Abre parênteses 7 menos 3 fecha parênteses vezes 7 igual a 28. Está indicado que a expressão dentro dos parênteses corresponde à quantidade de diagonais que partem de um único vértice. Está indicado que a multiplicação por 7 corresponde à quantidade de vértices ou lados do heptágono.

Os segmentos de reta A C e C A , por exemplo, representam uma mesma diagonal, e isso acontece com todos os segmentos de reta que ligam vértices não consecutivos do heptágono. Para que cada diagonal não seja contada duas vezes, dividimos o resultado anterior por 2.

28 : 2 = 1 4

Assim, o heptágono convexo tem 14 diagonais ao todo.

Em um polígono convexo de n lados ou vértices, a quantidade D de diagonais é calculada por:

D = ( n 3 ) n 2

Questão 3. Ícone atividade oral. Qual polígono convexo não tem diagonal? Justifique sua resposta.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Classifique cada figura em polígono convexo, polígono não convexo ou não polígono.

A. Ilustração de um polígono de oito lados, cujo formato tem duas pontas, uma à esquerda e outra na direita, de forma que ao traçar uma reta na horizontal superiormente, a mesma cruza quatro lados distintos do polígono.
B. Ilustração de um polígono de nove lados. Seu formato se aproxima de um círculo
C. Ilustração de uma figura, semelhante a junção de um triângulo à esquerda e um semicírculo à direita, cujo diâmetro coincide com um dos lados do triângulo.
D. Ilustração de um polígono de sete lados, semelhante à um retângulo com um triângulo vazado na parte superior.

2. Determine a palavra ou o número que substitui cada adequadamente.

a) Um polígono que tem 6 lados tem vértices.

b) Um polígono tem no mínimo lados.

c) Um polígono convexo de 12 lados tem diagonais.

d) O convexo tem diagonais.

3. Determine quantas diagonais partem de um único vértice de cada polígono convexo a seguir.

A. Ilustração de um polígono convexo de 7 lados.
B. Ilustração de um polígono convexo de 12 lados.

4. Determine a quantidade de diagonais de um polígono convexo que tem:

a) 5 lados;

b) 13 lados;

c) 20 lados;

d) 15 lados.

5. Quantas diagonais faltam em cada polígono a seguir para que sejam traçadas todas as diagonais?

A. Ilustração de um polígono convexo de 11 lados. Há 8 diagonais desenhadas, todas  partindo de um único vértice.
B. Ilustração de um polígono convexo de 10 lados. Há 5 diagonais desenhadas.

6. Certa figura geométrica espacial é formada por 12 faces com formato de pentágono e 20 faces com formato de hexágono.

Ao traçar todas as diagonais de cada face, quantas diagonais traçaremos ao todo?

7. Ícone desafio. No interior do polígono amarelo foi desenhado um polígono rosa. Sabendo que os segmentos destacados em vermelho representam diagonais desses polígonos, responda os itens.

Ilustração de dois polígonos, cada um de 8 lados, um dentro do outro. De cada um dos vértices do polígono maior partem cinco diagonais, ligando vértices distintos. Algumas delas passam pelo polígono menor, sendo que 8  delas coincidem com as diagonais do polígono menor.

a) Quantas diagonais do polígono amarelo não representam diagonais do polígono rosa?

b) Quantas diagonais faltam no polígono rosa para que sejam traçadas todas as diagonais?

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Ângulos em um polígono convexo

Analise como podemos calcular a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos convexos a seguir.

Ilustração de um polígono convexo de quatro lados, semelhante a um trapézio retângulo, E F G H.
Ilustração de um polígono convexo de cinco lados: I J K L M.
Ilustração de um polígono convexo de 6 lados: N O P Q R S.

Decompomos cada polígono em triângulos traçando todas as diagonais a partir de um único vértice.

Ilustração de um polígono convexo de quatro lados E F G H, semelhante a um trapézio retângulo, com a diagonal ligando os vértices F e H traçada.
2 triângulos
Ilustração de um polígono convexo de cinco lados I J K L M. Com 2 diagonais traçadas. Uma ligando os vértices J e M, outra ligando os vértices K e M.
3 triângulos
Ilustração de um polígono convexo de 6 lados N O P Q R S. Com 3 diagonais traçadas. Uma ligando os vértices N e R, outra ligando os vértices O e R e outra ligando os vértices P e R.
4 triângulos

Atenção!

Note que cada triângulo obtido é formado por exatamente 3 vértices do polígono.

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 ° , multiplicamos 180 ° pela quantidade de triângulos obtida em cada polígono para obter a soma das medidas dos ângulos internos de cada um deles.

  • Quadrilátero: 2 180 ° = 360 °
  • Pentágono: 3 180 ° = 540 °
  • Hexágono: 4 180 ° = 720 °

O quadro a seguir apresenta a quantidade de lados e de triângulos obtidos em cada polígono, bem como a soma das medidas dos ângulos internos deles.

Características de alguns polígonos convexos

Nome do polígono convexo

Quantidade de lados

Quantidade de triângulos obtidos

Soma das medidas dos ângulos internos

Quadrilátero

4

2

2 180 ° = 360 °

Pentágono

5

3

3 180 ° = 540 °

Hexágono

6

4

4 180 ° = 720 °

Note que a quantidade de triângulos obtidos em cada polígono é igual à quantidade de lados menos 2, ou seja, em um polígono convexo de n lados são obtidos n 2 triângulos, traçando todas as diagonais partindo de um único vértice.

A soma S i das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é calculada por:

S i = ( n 2 ) 180 °

Questão 4. Ícone atividade oral. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um retângulo?

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Agora, analise de maneira experimental como podemos obter a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo por meio de recortes.

A.
Passo 1
Ilustração de uma folha de papel com o desenho de um quadrilátero. Seus lados estão prolongados em uma direção e os ângulos externos estão demarcados. Há uma tesoura cortando a folha exatamente sobre os lados do quadrilátero.
Passo 2
Ilustração do desenho de um quadrado, recortado de uma folha de papel. Nos pedaços recortados da folha estão destacados os ângulos externos do quadrado.
Passo 3
Ilustração de quatro recortes de uma folha com os ângulos externos do quadrado. Os ângulos recortados estão unidos, formando um ângulo de 360 graus.
B.
Passo 1
Ilustração de uma folha de papel com o desenho de um polígono de 5 lados iguais e ângulos de mesma medida. Seus lados estão prolongados em uma direção e os ângulos externos estão demarcados. Há uma tesoura cortando a folha exatamente sobre os lados do polígono.
Passo 2
Ilustração de um polígono de 5 lados iguais e ângulos de mesma medida, recortado de uma folha de papel. Nos pedaços recortados da folha estão destacados os ângulos externos do polígono.
Passo 3
Ilustração de cinco recortes de uma folha com os ângulos externos do polígono de 5 lados iguais e ângulos de mesma medida. Os ângulos recortados estão unidos, formando um ângulo de 360 graus.

Com base nas imagens, notamos que a soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero e de um pentágono convexos é 360 ° .

A seguir, vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é igual a 360 ° .

Podemos obter a soma das medidas de todos os ângulos internos ( S i ) e todos os ângulos externos ( S e ) de um polígono convexo multiplicando a quantidade de lados n por 180 ° . Nesse caso, podemos escrever S i + S e = n 180 ° .

Atenção!

Os ângulos interno e externo de cada vértice de um polígono convexo são suplementares.

Como S i = ( n 2 ) 180 ° , temos:

( n 2 ) 180 ° S i + S e = n 180 °

n 180 ° 2 180 ° + S e = n 180 °

S e = n 180 ° n 180 ° + 2 180 °

S e = 360 °

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é 360 ° .

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Analise agora o polígono convexo a seguir, que tem ângulos internos de mesma medida e lados de mesma medida de comprimento. Um polígono com essas características é chamado polígono regular.

Ilustração de um polígono de seis lados de mesma medida e ângulos internos de mesma medida. Os ângulos externos também tem mesma medida.
Hexágono regular.

As medidas dos ângulos externos de um polígono regular também são iguais.

Atenção!

Quando dois ângulos têm medidas iguais, dizemos que eles são congruentes. No polígono apresentado, os ângulos congruentes estão indicados com a mesma quantidade de "tracinhos". Nas próximas páginas deste capítulo, os "tracinhos" também serão utilizados para indicar a congruência dos lados.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de cada polígono.

A. Ilustração de um polígono convexo de 7 lados.
B. Ilustração de um polígono convexo de 9 lados.
C. Ilustração de um polígono convexo de 11 lados.
D. Ilustração de um polígono convexo de 8 lados.

9. Determine a medida de cada ângulo interno dos polígonos regulares a seguir.

A. Ilustração de um polígono regular de 6 lados.
B. Ilustração de um polígono regular de 8 lados.
C. Ilustração de um polígono regular de 10 lados.
D. Ilustração de um polígono regular de 12 lados.

10. Determine a medida do ângulo interno desconhecida em cada polígono.

A. Ilustração de um polígono de quatro lados A B C D. O ângulo do vértice C mede 90 graus. O ângulo do vértice D mede 106 graus. O ângulo do vértice B mede 116 graus. Não está indicado a medida do ângulo de vértice A.
B. Ilustração de um polígono de 6 lados J K L M N O. O ângulo do vértice: J mede 126 graus, K mede 82 graus, L mede 144 graus, M mede 119 graus, O, mede 127 graus. Não está indicado a medida do ângulo de vértice N.
C. Ilustração de um polígono de 5 lados E F G H I. O ângulo do vértice: E mede 90 graus, F mede 135 graus, G mede 72 graus, I mede 112 graus. Não está indicado a medida do ângulo de vértice H.

11. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tenha:

a) 2 diagonais.

b) 5 diagonais.

c) nenhuma diagonal.

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12. Efetue os cálculos e determine o valor de x e a medida de cada ângulo interno do polígono.

Ilustração de um polígono de 4 lados D E F G. O ângulo do vértice: D mede 2 x mais 6 graus, do vértice, E, mede 3 x mais 16 graus, do vértice. F, mede 3 x menos 10 graus, do vértice ,G, mede 6 x menos 86 graus.

13. Existem vários tipos de piso para revestimento utilizados na construção ou reforma de um imóvel, entre eles pisos de borracha, de porcelana, de cerâmica e de concreto.

Fotografia de um piso, formado com combinações de quadrados e polígonos regulares de 8 lados.
Piso pré-moldado de peças de concreto, também chamado paver.

a) Quais são os nomes dos polígonos que lembram o formato dos pisos indicados na imagem?

b) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de cada um dos polígonos que você citou no item anterior? E a soma das medidas dos ângulos externos?

c) Sabendo que esses polígonos são regulares, qual é a medida de cada ângulo interno deles?

d) Quantas diagonais cada um desses polígonos tem?

14. Determine a quantidade de lados de um polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos seja:

a) 360 ° .

b) 1 . 800 ° .

c) 1 . 440 ° .

d) 1 . 080 ° .

15. Sem realizar medições, determine a medida do ângulo externo de cada polígono regular.

A. Ilustração de um polígono regular de 5 lados. Um de seus lados está prolongado, onde estão demarcados o ângulo interno e o ângulo externo.
B. Ilustração de um polígono regular de 10 lados. Um de seus lados está prolongado, onde estão demarcados o ângulo interno e o ângulo externo.

16. Calcule a medida de cada ângulo indicada por letras no quadrilátero.

Ilustração de um polígono convexo de quatro lados com seus ângulos internos e externos demarcados. Os ângulos internos são: 67 graus, b, c, d. Os respectivos ângulos externos são: a, 95 graus, 80 graus, e.

17. Escreva no caderno o nome do polígono correspondente às informações de cada quadro.

A.A soma das medidas dos ângulos internos é 360 ° .

Todos os ângulos internos têm medidas iguais.

B.Tem 12 vértices.

A medida de cada ângulo externo é 30 ° .

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Triângulos

O triângulo é um polígono de três lados. Em um triângulo temos os seguintes elementos.

  • Nome: triângulo A B C ou A B C .
  • Lados: A B , B C e A C .
  • Vértices: A, B e C.
  • Medidas dos ângulos internos: a ˆ , b ˆ e c ˆ .
  • Medidas dos ângulos externos: d ˆ , e ˆ e f ˆ .
Ilustração de um triângulo A B C. Seus ângulos internos são a, b, c, e seus respectivos ângulos externos são d, e, f.

Atenção!

No triângulo A B C , o lado A B é oposto ao ângulo A C ˆ B e, do mesmo modo, o ângulo A C ˆ B é oposto ao lado A B .

Podemos classificar os triângulos de acordo com:

as medidas dos comprimentos dos lados.

Isósceles

Triângulo que tem pelo menos 2 lados com medidas de comprimento iguais.

Ilustração de um triângulo, a, b, c, com o lado c na horizontal. Os lados a, e, b têm a mesma medida e o lado c tem medida diferentes dos lados a, e, b.

a = b

Equilátero

Triângulo que tem todos os lados com medidas de comprimento iguais.

Ilustração de um triângulo, d, e, f, com todos os lados de mesma medida.

d = e = f

Escaleno

Triângulo que tem os 3 lados com medidas de comprimento diferentes.

Ilustração de um triângulo g, h, i, com a medida de seus três lados diferentes.

i g , g h e i h

as medidas dos ângulos internos.

Retângulo

Triângulo que tem um ângulo interno reto.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos de medidas a, b, c, sendo que b mede 90 graus.

b ˆ = 90 °

Acutângulo

Triângulo que tem os 3 ângulos internos agudos.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos medindo d, e, f, todos são agudos.

0 ° < d ˆ < 90 ° , 0 ° < e ˆ < 90 ° e 0 ° < f ˆ < 90 °

Obtusângulo

Triângulo que tem um ângulo interno obtuso.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos medindo h, g, i, sendo g um ângulo obtuso.

90 ° < g ˆ < 180 °

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Ângulos nos triângulos

Considere um triângulo ABC qualquer, cujos ângulos internos medem a ˆ , b ˆ e c ˆ . Ao prolongar o lado B C , determinamos um ângulo externo, adjacente ao ângulo de medida c ˆ .

Ilustração de um triângulo, A maiúsculo, B maiúsculo e C maiúsculo, e seus respectivos ângulos internos, a minúsculo, b minúsculo e c minúsculo. Em C maiúsculo também há o ângulo externo X.

Atenção!

Dois ângulos que têm um lado comum e determinam duas regiões que não têm pontos em comum são chamados adjacentes. Na imagem a seguir, os ângulos P O ˆ Q e Q O ˆ R são adjacentes.

Ilustração de uma reta horizontal passando pelos pontos P, O e R, e uma semirreta com origem em O passando pelo ponto Q acima, formando dois ângulos com a reta horizontal, um à esquerda e outro à direita.

Por construção, os ângulos de medida c ˆ e x ˆ são suplementares, ou seja:

c ˆ + x ˆ = 180 °

c ˆ = 180 ° x ˆ

Consequentemente:

Esquema com igualdades. Na primeira linha: medida de a mais medida de b mais medida de c igual a 180 graus. Está indicado que medida de c corresponde a 180 graus menos medida de x. Na segunda linha, medida de a mais medida de b mais 180 graus menos medida de x igual a 180 graus. Na terceira linha, medida de a mais medida de b mais 180 graus menos medida de x menos 180 graus igual 180 graus menos 180 graus. Na quarta linha, medida de a mais medida de b menos medida de x igual a zero. Na quinta linha, medida de x igual medida de a mais medida de b. Está indicado que x corresponde à medida do ângulo externo ao ângulo de medida c. Está indicado que, a mais b, corresponde à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes ao ângulo de medida x.

Se realizarmos esse procedimento com os outros vértices do triângulo, chegaremos à mesma relação entre as medidas dos ângulos. Nesse caso, temos a seguinte propriedade.

Em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Questão 5. Em seu caderno, verifique, de maneira semelhante, a propriedade apresentada usando outro vértice do triângulo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. De acordo com as indicações no A B C , responda às questões a seguir.

Ilustração de um triângulo A maiúsculo, B maiúsculo, C maiúsculo, e seus respectivos ângulos internos, a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo.

a) Qual é o lado oposto ao ângulo de medida a ˆ ?

b) Qual é a medida do ângulo oposto ao lado A C ?

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19. Sabendo que os triângulos a seguir são equiláteros, determine o valor de x em cada um deles.

A. Ilustração de um triângulo A B C. A medida do lado A C mede 2 x mais 4. A medida do lado A B mede x mais 6.
B. Ilustração de um triângulo D E F. A medida do lado D E mede x. A medida do lado E  F mede 4 x menos 18.

20. Calcule o valor de x e a medida de cada ângulo interno do triângulo D E F . Em seguida, classifique o triângulo de acordo com as medidas obtidas para os ângulos internos.

Ilustração de um triângulo D E F, e seus respectivos ângulos internos medindo 2 x, 60 graus menos x e 3 x.

21. Ícone desafio. No triângulo A B C , A B = A C e A D = D B = B C . Determine a medida do ângulo B A ˆ C .

Ilustração de um triângulo, A B C, do vértice B parte um segmento de reta até o ponto D no lado A C, dividindo o triângulo A B C em dois triângulos, o triângulo A B D e o triângulo B C D. São iguais as medidas dos lados B C, B D e D A.

Atenção!

Os ângulos adjacentes à base de um triângulo isósceles são congruentes.

22. Sabendo que o triângulo a seguir é isósceles, indique a afirmação falsa.

Ilustração de um triângulo isósceles de ângulos internos a, b, c, e seus respectivos ângulos externos d, e, f. Os dois lados do triângulo adjacentes ao ângulo b tem mesma medida, e o terceiro lado tem medida diferente desses dois.

a) e ˆ = 2 c ˆ

b) f ˆ = b ˆ + a ˆ

c) d ˆ = f ˆ

d) e ˆ = d ˆ

e) d ˆ + e ˆ + f ˆ = 360 °

23. Calcule x e y na figura a seguir, sabendo que r / / s .

Ilustração de duas retas paralelas r, s e um triângulo com um lado apoiado na reta s, à direita, e um vértice na reta r, à esquerda, com ângulo interno de 64 graus. O ângulo entre o lado de baixo do triângulo e a reta r mede x. O ângulo interno do triângulo, posicionado acima, mede y. O ângulo entre a reta s e o lado de baixo do triângulo mede 113 graus.

24. Determine a medida de cada ângulo interno do triângulo A B C . Depois, classifique-o em relação à medida dos ângulos internos.

Ilustração de um triângulo A B C, há um ponto D sobre o lado A B que o divide ao meio. Do ponto D parte uma semirreta cruzando o lado B C formando o triângulo A B E. A outra parte do triângulo A B C formou, da divisão da semirreta com origem em D um quadrilátero A B E C. O ângulo D interno ao quadrilátero tem medida: 8 vezes, abre parênteses, x menos 5 graus, fecha parênteses, menos 1 grau. O ângulo E interno ao quadrilátero tem medida 3x mais 3 graus. O ângulo externo C mede x mais 60 graus. O ângulo externo E ao triângulo B D E, mede, início de fração, numerador: 7x menos 17 graus, denominador: 2, fim d efração.

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Congruência de figuras

Certo programa de computador permite mover e fazer rotações das peças do tangram, cujo formato lembra polígonos. Utilizando esse programa, Heitor organizou esses polígonos e, ao sobrepor alguns deles, percebeu que há polígonos que coincidiram. Analise algumas sobreposições que ele fez.

Ilustração de um computador. Em sua tela, no lado esquerdo, há um quadrado, composto por cinco triângulos, cada um de uma cor, sendo elas laranja, roxo, vermelho, verde e rosa, um quadrado azul e um paralelogramo amarelo. No lado direito da tela, estão as figuras espalhadas que compõe o quadrado.
Ilustração de um computador. Sua tela está dividida em quatro partes. Na parte de cima, à esquerda, está indicado que o triângulo roxo e o triângulo amarelo se sobrepõem. Na parte de cima, à direita, está indicando que o triângulo verde e o triângulo vermelho se sobrepõem. Na parte de baixo, à esquerda, está indicado que o quadrado azul e o paralelogramo amarelo não se sobrepõem. Na parte inferior, à direita, está indicado que as medidas dos ângulos do triângulo laranja são iguais as medidas dos ângulos do triângulo vermelho. O triângulo vermelho é menor que o triângulo laranja.

Os polígonos que coincidiram são chamados congruentes e, nesse caso, dizemos que os triângulos verde e vermelho, por exemplo, são congruentes.

Também podemos estabelecer outras congruências: dois segmentos de reta são congruentes quando têm a mesma medida de comprimento; dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Dois ou mais polígonos são congruentes quando seus respectivos lados são congruentes e quando seus respectivos ângulos internos também são congruentes.

Por exemplo, os polígonos A B C D e E F G H a seguir são congruentes.

Ilustração de um polígono de quatro lados A B C D.
Ilustração de um polígono de quatro lados E F G H.
  • Congruência dos lados: A B E F ; B C F G ; C D G H ; A D E H .
  • Congruência dos ângulos internos: A ˆ E ˆ ; B ˆ F ˆ ; C ˆ G ˆ ; D ˆ H ˆ .

Atenção!

Utilizamos o símbolo para indicar congruência.

Questão 6. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa para verificar qual é a origem do tangram. Depois, registrem os resultados no caderno.

Questão 7. Ícone atividade oral. É possível afirmar que dois hexágonos nos quais os respectivos lados têm medidas de comprimento iguais são congruentes? Justifique sua resposta.

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Triângulos congruentes

Para determinar se dois triângulos são congruentes, não é necessário medir o comprimento de todos os lados e todos os ângulos internos deles. Medindo o comprimento de lados e ângulos internos específicos, podemos garantir a congruência dos triângulos.

Atenção!

Os lados e os ângulos dos triângulos indicados com a mesma quantidade de "tracinhos" são congruentes.

Quando dois triângulos têm os 3 lados respectivamente congruentes, esses triângulos são congruentes.

Ilustração de dois triângulos, um ao lado do outro, A B C e D F E. O lado A B tem mesma medida que o lado D E do outro triângulo. O lado B C tem mesma medida que o lado E F do outro triângulo. O lado A C tem mesma medida que o lado D F do outro triângulo.

Lado: A B D E .

Lado: B C E F .

Lado: A C D F .

A B C D E F

Esse é o caso de congruência lado, lado e lado ( L L L ).

Quando dois triângulos têm 2 lados respectivamente congruentes e o ângulo interno compreendido entre esses lados também respectivamente congruentes, esses triângulos são congruentes.

Ilustração de dois triângulos, um ao lado do outro, A B C e E D F. O lado A B tem mesma medida do lado E D do outro triãngulo. O lado A C tem mesma medida do lado D F do outro triângulo. O ângulo do vértice A tem a mesma medida do ângulo do vértice D do outro triângulo.

Lado: A B D E .

Ângulo: C A ˆ B E D ˆ F .

Lado: A C D F .

A B C D E F

Esse é o caso de congruência lado, ângulo e lado ( L A L ).

Quando dois triângulos têm 1 lado respectivamente congruente e os 2 ângulos adjacentes a esse lado também respectivamente congruentes, esses triângulos são congruentes.

Ilustração de dois triângulos, um ao lado do outro, A B C e F E D. O lado A B tem mesma medida do lado E D do outro triângulo. O ângulo do vértice A tem a mesma medida do ângulo do vértice D do outro triângulo. O ângulo do vértice B tem a mesma medida do ângulo do vértice E do outro triângulo.

Ângulo: B A ˆ C E D ˆ F .

Lado: A B D E .

Ângulo: A B ˆ C D E ˆ F .

A B C D E F

Esse é o caso de congruência ângulo, lado e ângulo ( A L A ).

Atenção!

Dois ângulos adjacentes a um lado significa que os vértices desses ângulos são as extremidades desse lado.

Página 208

Quando dois triângulos têm 1 lado respectivamente congruente, 1 ângulo adjacente a esse lado respectivamente congruente e o ângulo oposto a esse lado também respectivamente congruente, esses triângulos são congruentes.

Ilustração de dois triângulos, um de vértices A, B e C, outro de vértices D, E e F. O lado A e B e o lado E e D são do mesmo tamanho. O ângulo do vértice A e o ângulo do vértice D são do mesmo tamanho. O ângulo do vértice C e o ângulo do vértice F são do mesmo tamanho.

Lado: A B D E .

Ângulo adjacente: B A ˆ C E D ˆ F .

Ângulo oposto: A C ˆ B D F ˆ E .

A B C D E F

Esse é o caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ( L A A o ) .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

25. Realize as medições necessárias e verifique se os triângulos apresentados em cada item são congruentes.

A. Ilustração de dois triângulos. Um deles, acima, tem vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O outro, abaixo, tem vértices, em sentido anti-horário, D, E e F.
B. Ilustração de dois triângulos. Um deles, acima, tem vértices, em sentido anti-horário, F, G e H. O outro, abaixo, tem vértices, em sentido anti-horário, I, J e K.

26. Em cada figura, é possível destacar 2 triângulos. Analise se eles são congruentes e determine qual caso pode ser utilizado para verificar essa congruência.

A. Ilustração de uma figura formada por um retângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B, C e D. A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos. O lado do triângulo de baixo, que liga os vértices B e C, e o lado que liga os vértices A e D, do triângulo de cima, tem o mesmo tamanho. O ângulo do vértice A, do triângulo de cima, e o ângulo do vértice C, do triângulo de baixo, tem o mesmo tamanho.
B. Ilustração de dois triângulos. Um de vértices, em sentido horário, K, J e N, o outro de vértices L, N e M, um ao lado do outro. Os ângulos do vértice N, dos dois triângulos, são de mesma medida. Os ângulos dos vértices J e L são de 90 graus. O lado J N e o lado s N L são do mesmo tamanho.
C. Ilustração de um paralelogramo com os vértices, em sentido anti-horário, E, F, G, H. Há um segmento de reta indo do vértice E ao G. O lado E H e o lado F G tem o mesmo tamanho. O lado E F e o lado H G tem o mesmo tamanho.
D. Ilustração de dois triângulos, com um lado em comum, na horizontal. Um tem vértices, em sentido anti-horário, Q, R e S. O outro tem vértices, em sentido anti-horário, Q, S e P. Os ângulos do vértice S são de 90 graus. Os ângulos dos vértices P e R são do mesmo tamanho. O lado P Q e o lado R Q tem o mesmo tamanho.

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27. Quais dos triângulos representados na malha pontilhada são congruentes?

Ilustração de uma malha pontilhada quatro triângulos. Dois triângulos semelhantes estão ao centro, um mais acima do outro. O de cima tem vértices, em sentido anti-horário, G, H e I. O abaixo tem vértices, em sentido anti-horário, D, E e F. À esquerda há um triângulo de vértices A, B e C, semelhante ao triângulo da direita, que tem vértices, em sentido anti-horário, M, N e O.

28. No triângulo A B C , A C B C e A M M B .

Ilustração de um triângulo A B C. O ângulo C está demarcado e dividido ao meio por um segmento, perpendicular ao lado A B, com extremidade em C e em M, que está no lado A B.

Atenção!

Note que C M é o lado comum aos triângulos A M C e B C M .

De acordo com a imagem, mostre no caderno que A C ˆ M B C ˆ M e C A ˆ B C B ˆ A .

29. Considere os triângulos cujas medidas estão indicadas nos quadros a seguir.

A. A B C

A C = 7 , 3   cm

m e d ( C ˆ ) = 60 °

A B = 7 , 3   cm

B. D E F

E F = 3   cm

D E = 3 , 5   cm

m e d ( E ˆ ) = 103 °

C. T U V

m e d ( T ˆ ) = 56 °

T U = 6 , 2   cm

m e d ( V ˆ ) = 73 °

D. J K L

K L = 3   cm

m e d ( K ˆ ) = 103 °

J K = 3 , 5   cm

E. N O P

N O = 6 , 2   cm

m e d ( O ˆ ) = 51 °

m e d ( N ˆ ) = 56 °

F. Q R S

Q R = 7 , 3   cm

R S = 7 , 3   cm

Q S = 7 , 3   cm

Quais pares de triângulos são congruentes?

30. Ícone desafio. Considere os triângulos representados a seguir e o triângulo A B C , cujas medidas estão indicadas no quadro.

Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, D, E e F, com ângulos internos 58 graus, 56 graus e 66 graus, respectivamente. O lado D E tem 4,5 centímetros de comprimento. O lado E F tem 4,2 centímetros de comprimento. O lado F D tem 4,1 centímetros de comprimento.
Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, G, H e I, com ângulos internos 66 graus, 58 graus e 56 graus, respectivamente. O lado G  H tem 4,1 centímetros de comprimento. O lado H I tem 4,5 centímetros de comprimento. O lado I G tem 4,2 centímetros de comprimento.
Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, J, K e L, com ângulos internos 53 graus, 55 graus e 72 graus, respectivamente. O lado J K tem 4,5 centímetros de comprimento. O lado K L tem 3,8 centímetros de comprimento. O lado L J tem 3,9 centímetros de comprimento.

A B C

A B = 4 , 1   cm

med ( B A ˆ C ) = 58 °

med ( A C ˆ B ) = 56 °

a) Quais desses triângulos são congruentes ao triângulo A B C ?

b) Qual é a medida de comprimento do lado B C do A B C ?

c) Qual é a medida do ângulo B ˆ e do comprimento lado A C do A B C ?

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Pontos notáveis de um triângulo

Agora, vamos estudar alguns pontos associados aos triângulos. Esses pontos, que têm características particulares, são chamados pontos notáveis. Para determiná-los, vamos traçar medianas, bissetrizes, alturas e mediatrizes nos triângulos.

Mediana

A mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto a esse vértice. O ponto médio do lado do triângulo divide esse lado em dois segmentos de reta congruentes.

Analise as medianas do triângulo A B C .

Ilustração de dois triângulos, com um lado, vertical ao centro, em comum. O da esquerda possui vértices, em sentido anti-horário, A, D e C. O da direita possui vértices, em sentido anti-horário, B, C e D. O lado A D e o lado D B tem o mesmo tamanho.
C D : mediana relativa ao lado A B .
Ilustração de dois triângulos, com um lado em comum. Um tem vértices, em sentido anti-horário, A, B e E. O outro tem vértices, em sentido anti-horário, A, E e C. O lado B E e o lado E C tem o mesmo tamanho.
A E : mediana relativa ao lado B C .
Ilustração de dois triângulos, com um lado em comum. Um tem vértices, em sentido anti-horário, A, B e F. O outro tem vértices, em sentido anti-horário, B, C e F. O lado A F e o lado F C tem o mesmo tamanho.
B F : mediana relativa ao lado A C .

No triângulo A B C a seguir, foram traçadas as medianas relativas a todos os lados. Todo triângulo tem 3 medianas, que se cruzam em um mesmo ponto. Esse ponto notável é chamado baricentro do triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. Há três segmentos de reta, que se cruzam em O, cada com uma extremidade em um dos vértices e a outra extremidade na metade do lado oposto ao vértice, em E, o que sai de A, em F, o que sai de B, e em D, o que sai de C.
O: baricentro do triângulo A B C .

O baricentro é o centro de equilíbrio de um triângulo. Podemos verificar isso desenhando um triângulo qualquer em um papel grosso. Ao suspender o triângulo preso por um barbante fixado ao baricentro, ele se mantém em equilíbrio.

Passo 1
Ilustração de um triângulo, desenhado em uma folha de papel, com suas medianas desenhadas.
Passo 2
Ilustração de um papel com o desenho de um triângulo e suas medianas. Há duas mãos cortando o papel com uma tesoura.
Passo 3
Ilustração de uma mão segurando uma extremidade de uma linha. Na outra extremidade um pedaço de papel em forma de triângulo, com suas medianas desenhadas, com o barbante passando pelo seu baricentro.  A folha está em posição horizontal.

Página 211

Bissetriz

A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo que o divide em 2 ângulos congruentes. Analise na imagem a bissetriz F H do ângulo E F ^ G .

Ilustração de três semirretas com a mesma origem no ponto F. Em uma delas há o ponto E, em outra, que está no meio, há o ponto H e na outra, um ponto G. Está demarcado um ângulo entre as semirretas que têm o ponto F, dividido ao meio, pelo segmento com o ponto H, em dois ângulos iguais menores do que 90 graus.

Demonstraremos que, dado um ponto qualquer sobre a bissetriz de um ângulo, esse ponto é equidistante dos lados desse ângulo.

Atenção!

A distância de um ponto M a uma reta r é o comprimento do segmento perpendicular a r que tem extremidades em M e em um ponto de r.

Vamos considerar um ponto M qualquer sobre a bissetriz de E F ˆ G e os segmentos M A e M B , perpendiculares aos lados F E e F G , respectivamente.

Os triângulos F B M e F M A obtidos são congruentes pelo caso de congruência L A A o , pois F M F M (lado comum dos triângulos), M F ˆ B M F ˆ A ( F M é bissetriz do ângulo E F ˆ G ) e M A ˆ F M B ˆ F (ângulos retos). Dessa forma, B M A M e o ponto M é equidistante dos lados do ângulo E F ˆ G .

Ilustração de três semirretas com a mesma origem no ponto F. Em uma delas há o ponto E, em outra, que está no meio, há o ponto H e na outra, um ponto G. Está demarcado um ângulo entre as semirretas que têm o ponto F, dividido ao meio, pelo segmento com o ponto H, em dois ângulos iguais menores do que 90 graus. Há um segmento de reta com uma extremidade no ponto A, que está entre os pontos E e F, formando um ângulo de 90 graus em relação ao segmento que contém E, e outra extremidade no ponto M, que está entre os pontos F e H. Há um segmento de reta com uma extremidade no ponto B, que está entre os pontos F e G, formando um ângulo de 90 graus em relação ao segmento que contém G, e outra extremidade no ponto M. A distância de A até M é igual a distância de B até M.

Portanto, qualquer ponto sobre a bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados desse ângulo, e nenhum outro ponto do plano apresenta essa propriedade.

Atenção!

O conjunto de todos os pontos do plano que têm determinada propriedade é chamado lugar geométrico dessa propriedade.

O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de duas semirretas FE e FG de mesma origem é a bissetriz do ângulo E F ˆ G .

Página 212

A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo – dividindo o ângulo interno desse vértice em 2 ângulos congruentes – e a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.

Analise as bissetrizes do triângulo A B C .

Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O ângulo do vértice A está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em A e outra extremidade em R, que está no lado de extremidades B e C.
A R : bissetriz relativa ao ângulo interno B A ˆ C .
Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O ângulo do vértice B está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em B e outra extremidade em S, que está no lado de extremidades A e C.
B S : bissetriz relativa ao ângulo interno A B ˆ C .
Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O ângulo do vértice C está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em C e outra extremidade em T, que está no lado de extremidades A e B.
C T : bissetriz relativa ao ângulo interno A C ˆ B .

No triângulo A B C a seguir, foram traçadas as bissetrizes relativas a todos os ângulos internos. Todo triângulo tem 3 bissetrizes, que se cruzam em um ponto. Esse ponto notável é chamado incentro do triângulo.

Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O ângulo do vértice A está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em A e outra extremidade em R, que está no lado de extremidades B e C. O ângulo do vértice B está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em B e outra extremidade em S, que está no lado de extremidades A e C. O ângulo do vértice C está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em C e outra extremidade em T, que está no lado de extremidades A e B. Os segmentos que dividem os ângulos ao meio se cruzam em O.
O : incentro do triângulo A B C .

Em um triângulo, o incentro é equidistante de seus lados. Assim, podemos traçar uma circunferência com centro no incentro cuja medida de comprimento do raio é igual à medida da distância entre o incentro e qualquer um dos lados do triângulo. Com isso, obtemos uma circunferência inscrita no triângulo.

Ilustração de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O ângulo do vértice A está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em A e outra extremidade em R, que está no lado de extremidades B e C. O ângulo do vértice B está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em B e outra extremidade em S, que está no lado de extremidades A e C. O ângulo do vértice C está dividido ao meio por um segmento de reta com extremidade em C e outra extremidade em T, que está no lado de extremidades A e B. Os segmentos que dividem os ângulos ao meio se cruzam em O. Há uma circunferência de centro O, inscrita no triângulo, com seu raio demarcado.
Circunferência inscrita no triângulo A B C .

Altura

No dia a dia, é comum utilizar a palavra "altura" para indicar um comprimento vertical, como a altura de uma pessoa ou de um prédio.

No entanto, a altura de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo e é perpendicular ao lado oposto a esse vértice ou a seu prolongamento. A outra extremidade intersecta o lado oposto ao vértice ou seu prolongamento.

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Analise as alturas do triângulo A B C .

Ilustração de dois triângulos, com um lado vertical em comum. O da esquerda tem os vértices, em sentido anti-horário, A, D e C, e o da direita, B, C e D. O lado comum aos dois, com extremidade em C e em D, forma um ângulo de 90 graus com o lado de extremidades A e B.
C D : altura relativa ao vértice C ou ao lado A B .
Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O lado de extremidades B e C está abaixo, na horizontal. Do lado direito do triângulo há um segmento de reta vertical com extremidades em A e em E, formando um ângulo de 90 graus em E, com relação à uma linha horizontal pontilhada de extremidades C e E.
A E : altura relativa ao vértice A ou ao lado B C .
Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. O lado de extremidades C e A está abaixo, na horizontal. Do lado esquerdo do triângulo há um segmento de reta vertical com extremidades em B e em F, formando um ângulo de 90 graus em F, com relação à uma linha horizontal pontilhada de extremidades C e F.
B F : altura relativa ao vértice B ou ao lado A C .

No triângulo A B C a seguir, foram traçadas as alturas relativas a todos os lados. Todo triângulo tem 3 alturas. Essas alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um ponto. Esse ponto notável é chamado ortocentro do triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C, com o lado de extremidades A e B na horizontal. As três alturas, relativas aos três lados, estão traçadas, prolongadas e se cruzam em um ponto O, externo ao triângulo, na parte superior.
O : ortocentro do triângulo A B C .

Analise cada triângulo a seguir e seu ortocentro, indicado pela letra O .

Em um triângulo acutângulo, o ortocentro é um ponto no interior do triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C, com o lado de extremidades A e B na horizontal. As três alturas, relativas aos três lados, estão traçadas e se cruzam em um ponto O, interno ao triângulo.

Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, O, P e Q, com o lado de extremidades O e P na horizontal. O ângulo do vértice O é de 90 graus. Está traçada altura relativa ao lado de extremidades Q e P.

Em um triângulo obtusângulo, o ortocentro é um ponto exterior ao triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, D, E e F, com o lado de extremidades D e E na horizontal. As três alturas, relativas aos três lados, estão traçadas, prolongadas e se cruzam em um ponto O, externo ao triângulo, na parte inferior.

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Mediatriz

Na imagem, estão representados o segmento de reta A B e a reta r , perpendicular a esse segmento de reta em seu ponto médio. Essa reta é chamada mediatriz do segmento de reta A B .

Ilustração de uma reta e um segmento de reta se cruzando, formando um ângulo de 90 graus. Na vertical, a reta r e na horizontal, a reta com extremidades nos pontos A e B. A reta r cruza o segmento ao meio.

Atenção!

A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une.

Demonstraremos agora que qualquer ponto da mediatriz de um segmento de reta é equidistante dos extremos desse segmento.

Vamos considerar um ponto P sobre a mediatriz de A B e analisar dois casos.

  • Se P for o ponto médio de A B , temos que A P B P e P é equidistante dos extremos de A B .
  • Se P não for o ponto médio de A B , ao traçarmos os segmentos A P e B P , obtemos dois triângulos congruentes A O P e B O P pelo caso de congruência L A L , pois A O O B (O é o ponto médio de A B ), P O P O (lado comum dos triângulos) e A O ˆ P B O ˆ P (ângulos retos). Dessa forma, A P B P e o ponto P é equidistante dos extremos de A B .
Ilustração de uma reta e um segmento de reta se cruzando, formando um ângulo de 90 graus. Na vertical, a reta r e na horizontal, o segmento de reta com extremidades nos pontos A e B. A reta r cruza o segmento ao meio, que também é lado do triângulo A B P, no ponto O. A reta r divide o triângulo A P B em dois outros triângulos A P O e P B O.

Portanto, qualquer ponto sobre a mediatriz de um segmento é equidistante dos extremos do segmento e nenhum outro ponto do plano tem essa propriedade.

O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de dois pontos A e B dados é a mediatriz de A B .

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A mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo em seu ponto médio. O ponto médio do lado do triângulo divide esse lado em dois segmentos de reta congruentes.

Analise as mediatrizes do triângulo A B C .

Ilustração com uma reta e um segmento de reta se cruzando, formando um ângulo de 90 graus. Na vertical, a reta r e na horizontal, a reta com extremidades nos pontos A e B. A reta r cruza o segmento ao meio. Há um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C, onde C se encontra à direita de r e acima do segmento de extremidades A e B.
r : mediatriz relativa ao lado A B .
Ilustração com uma reta s e um segmento de reta, com extremidades B e C, se cruzando, formando um ângulo de 90 graus. A reta r cruza o segmento ao meio. Há um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C, onde A se encontra à esquerda do segmento de extremidades B e C. e acima da reta s.
s : mediatriz relativa ao lado B C .
Ilustração com uma reta t e um segmento de reta, com extremidades A e C, se cruzando, formando um ângulo de 90 graus. A reta t cruza o segmento ao meio. Há um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C, onde B se encontra à direita do segmento de extremidades A e C. e acima da reta t.
t : mediatriz relativa ao lado A C .

No triângulo A B C a seguir, foram traçadas as mediatrizes relativas a todos os lados. Todo triângulo tem 3 mediatrizes, que se cruzam em um ponto. Esse ponto notável é chamado circuncentro do triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. Estão traçadas suas retas mediatrizes, que se cruzam em O: r, com relação ao lado A B; s, com relação ao lado C B; t, com relação ao lado A C.
O : circuncentro do triângulo A B C .

Em um triângulo, o circuncentro é equidistante de seus vértices. Assim, podemos traçar uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, cujo centro é o circuncentro e a medida de comprimento do raio é igual à medida da distância entre o circuncentro e qualquer um dos vértices do triângulo. Com isso, obtemos a circunferência circunscrita ao triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. Estão traçadas suas retas mediatrizes, que se cruzam em O: r, com relação ao lado A B; s, com relação ao lado C B; t, com relação ao lado A C. Há uma circunferência circunscrita no triângulo.
Circunferência circunscrita no triângulo A B C .

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Instrumentos e softwares

Mediatrizes de um triângulo com régua e compasso

Siga as orientações do professor e o passo a passo para obter as mediatrizes de um triângulo usando régua e compasso.

1º. Com a ponta-seca do compasso em um dos vértices do triângulo e abertura maior do que a metade da medida do comprimento do lado, trace dois arcos.

Ilustração de um triângulo, com base na horizontal. E um compasso traçando um arco dentro do triângulo, com sua ponta seca no vértice ao lado esquerdo do lado da base.

2º. Com a mesma abertura do compasso, posicione a ponta-seca no outro vértice do triângulo e trace novamente dois arcos que cruzam os anteriores.

Ilustração de um triângulo, com base na horizontal. E um compasso traçando um arco dentro do triângulo, cortando um arco já traçado, com sua ponta seca no vértice ao lado direito do lado da base. Abaixo do lado da base há dois arcos se cruzando.

3º. Utilizando uma régua, trace uma reta perpendicular ao lado do triângulo, passando pelos pontos determinados pelos cruzamentos dos arcos e obtendo a mediatriz relativa ao lado que contém os dois vértices utilizados.

Ilustração de um triângulo, com base na horizontal. Dentro do triângulo há dois arcos se cruzando. Fora do triângulo, abaixo do lado da base, há dois arcos se cruzando. Há um lápis desenhando uma reta que passa pelos cruzamentos dos arcos com a ajuda de uma régua na vertical.
Ilustração de um triângulo escaleno, sua base está dividia ao meio por um segmento de reta traçado por um compasso, nas extremidades deste segmento há 2 arcos deixados pelas marcas do compasso, essas marcas foram obtidas pelo compasso com a ponta seca nos 2 vértices adjacentes à base do triangulo.

Repita os mesmos procedimentos para os demais lados do triângulo para obter as outras mediatrizes.

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Instrumentos e softwares

Bissetrizes e incentro de um triângulo com o GeoGebra

Siga as orientações do professor e o passo a passo para obter as bissetrizes e o incentro de um triângulo utilizando o GeoGebra.

1º. Com a ferramenta Ponto, marque três pontos não alinhados A, B e C. Depois, com a ferramenta Polígono construa o triângulo ABC. Para isso, clique sobre os pontos A, B, C e A, nessa ordem.

Ilustração de uma página de computador com um software de geometria dinâmica. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de um polígono está selecionado. Ainda na aba, está desenhado um triângulo com os vértices, em sentido horário, A, B e C.

2º. Com a ferramenta Bissetriz, construa as bissetrizes do triângulo ABC. Para isso, sempre respeitando a ordem indicada, clique sobre os pontos B, A, C, sobre os pontos C, B, A e, por fim, sobre os pontos A, C, B.

Ilustração de uma página de computador com um software de geometria dinâmica. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de um ângulo dividido por uma reta está selecionado. Ainda na aba, está desenhado um triângulo com os vértices, em sentido horário, A, B e C e suas respectivas bissetrizes.

3º. Com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, clique em duas das bissetrizes construídas. O ponto obtido é o incentro do triângulo.

Ilustração de uma página de computador com um software de geometria dinâmica. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de um cruzamento de arco e reta está selecionado. Ainda na aba, está desenhado um triângulo com os vértices, em sentido horário, A, B e C e suas respectivas bissetrizes, que se cruzam no ponto D.

Com a ferramenta Mover, mude a posição dos vértices do triângulo e verifique o que acontece com as bissetrizes e o incentro.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

31. De acordo com as indicações em cada triângulo, classifique o segmento de reta vermelho em mediana, bissetriz ou altura.

A. Ilustração de um triângulo A B C. O ângulo do vértice A está demarcado e dividido ao meio por um segmento com uma extremidade em A e a outra extremidade no lado B C.
B. Ilustração de um triângulo D E F. Há um segmento com uma extremidade no vértice D e outra extremidade na metade do lado E F dividindo-a ao meio.
C. Ilustração de um triângulo G H I. O ângulo do vértice H está demarcado e dividido ao meio por um segmento com uma extremidade em H e a outra extremidade no lado G I.
D. Ilustração de um triângulo J K L. Há um segmento de reta perpendicular ao lado L K, com uma extremidade nesse lado e outra extremidade em J.

32. No triângulo a seguir, os segmentos de reta em verde são medianas. Calcule a medida do perímetro desse triângulo.

Ilustração de um triângulo A B C. Estão traçadas duas medianas: Uma com extremidade em B e em E, a outra com extremidade em C e em D. A distância entre C e B é 5,2 centímetros. A distância entre A e D é 3,5 centímetros. A distância entre A e E é 2,3 centímetros.

33. Analise o triângulo A B C e escreva em seu caderno como você faria para obter um ponto sobre o lado B C que seja equidistante dos vértices A e B desse triângulo.

Ilustração de um triângulo de vértices, em sentido horário, A, B e C. O lado B C está acima na horizontal.

34. Em cada item determine, entre as palavras a seguir, quais substituem cada corretamente.

  • circuncentro

  • alturas

  • mediatrizes

  • ortocentro

  • baricentro

  • medianas

a) O centro da circunferência circunscrita em um triângulo é obtido pelo cruzamento de suas .

b) é o centro de equilíbrio de um triângulo.

c) Nos triângulos obtusângulos, o ponto de encontro das é sempre externo ao triângulo.

d) O ponto comum das mediatrizes de um triângulo é chamado .

e) é o nome dado ao ponto de encontro das alturas de um triângulo, e o baricentro de um triângulo é obtido pelo cruzamento de suas .

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35. Sabendo que os segmentos de reta traçados em roxo são bissetrizes do triângulo, determine a medida de cada ângulo interno do triângulo.

Ilustração de um triângulo A B C. Estão traçadas duas bissetrizes, uma do ângulo em C, com uma extremidade em D, e a outra do ângulo em A, com uma extremidade em E. Uma parte dividida do ângulo em A está demarcada e mede 51 graus. Uma parte dividida do ângulo em C está demarcada e mede 23 graus.

36. O que as retas ou os segmentos de reta traçados em cada triângulo representam? E o que o ponto O representa?

A. Ilustração de um triângulo A B C. Há três segmentos de reta internos ao triângulo, cada com uma extremidade em um vértice, o dividindo ao meio, e outra extremidade no lado oposto ao vértice. Os segmentos se cruzam em O.
B. Ilustração de um triângulo J K L. Há três retas, cada uma dela é perpendicular a um dos lados do triângulo, passando pelo meio de cada um deles e se cruzam em O.
C. Ilustração de um triângulo D E F. Há três segmentos de reta internos ao triângulo, cada com uma extremidade em um vértice e outra extremidade na metade do lado oposto ao vértice.
D. Ilustração de um triângulo O P Q. Há um segmento de reta perpendicular ao lado P Q, com uma extremidade nesse lado e outra extremidade em O. O ângulo do vértice O mede 90 graus.

37. Uma professora de Matemática do 8º ano pediu aos estudantes que desenhassem um triângulo qualquer e determinassem seu circuncentro. Acompanhe os triângulos desenhados por três estudantes.

Ilustração de uma folha de caderno escrito Adriana e o desenho de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. Há três segmentos, cada um tem extremidade em um dos vértices, dividindo o ângulo do vértice ao meio, e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, todas se cruzam no ponto O.
Ilustração de uma folha de caderno escrito Pedro e o desenho de um triângulo com vértices, em sentido anti-horário, A, B e C. Há três segmentos, cada um tem extremidade em um dos vértices e a outra extremidade dividida ao meio o lado oposto ao vértice, todas se cruzam no ponto O.
Ilustração de uma folha de caderno escrito Gilmar e o desenho de um triângulo com vértices A, B e C. Há três retas, cada uma cruza um lado do triângulo no meio, formando um ângulo de 90 graus, todas se cruzam no ponto O.

a) Realizando as medições necessárias, escreva no caderno qual dos estudantes obteve o circuncentro do triângulo.

b) Os pontos obtidos pelos outros dois estudantes nos triângulos desenhados por eles representam quais pontos notáveis?

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38. Identifique e copie no caderno as frases que apresentam as informações incorretas, corrigindo-as.

a) O incentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas.

b) Em um triângulo é possível traçar 3 bissetrizes.

c) Em um triângulo, o segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio de seu lado oposto é denominado altura.

d) O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas alturas.

e) O encontro das mediatrizes de um triângulo é denominado circuncentro.

39. Realize as medições necessárias e escreva no caderno qual ponto notável está representado pelo ponto O em cada triângulo retângulo a seguir.

A. Ilustração de um triângulo retângulo A B C com base B C. Há um ponto O no cruzamento das bissetrizes internas do triângulo. O ângulo A é reto e os ângulos B e C estão destacados.
B. Ilustração de um triângulo retângulo O D F com base O D e reto em O. Há um segmento de reta do vértice O até a hipotenusa F D, esse segmento de reta é perpendicular à hipotenusa.
C. Ilustração de um triângulo retângulo G H I com base G H reto em G. Há um ponto O no cruzamento das mediatrizes internas do triângulo.

40. No triângulo a seguir, determine r ˆ e s ˆ , sabendo que A C é uma altura do triângulo.

Ilustração de um triângulo com vértices A, B, D, com A D sendo a base. Há um segmento de reta partindo do vértice A até o ponto C na base, a 90 graus. Formando 2 triângulos retângulos A C B e A C D, retos em C. No triângulo A C B, o ângulo B mede 23 graus e o ângulo no vértice A mede r, no triângulo A C D, o ângulo D mede 56 graus e o ângulo no vértice A mede s.

41. A figura a seguir representa um terreno no qual Juliana cultiva alface, couve e morangos. No interior do terreno do cultivo de morangos, ela pretende instalar um aspersor para auxiliar na irrigação, de modo que ele fique instalado a uma mesma medida de distância entre as cercas que dividem o terreno com o cultivo de alface e couve. No caderno, escreva como Juliana deve proceder para colocar esse aspersor considerando a condição estipulada.

Ilustração da vista de um terreno representada por um retângulo dividido em 3 triângulos. No retângulo o lado menor é a base e o lado maior é a altura. No triângulo do meio, de cor alaranjada, à base e a altura são as mesmas do retângulo e há indicação: terreno para o cultivo de morango. Os triângulos laterais, de cor verde, são retângulos e a base dos 2 formam o lado oposto a base do triângulo do meio. No triângulo da esquerda, há a indicação de terreno para cultivo de alface, este triângulo é um pouco menor que o da direita. No triângulo da direita há a indicação de terreno para o cultivo de couve.  E na hipotenusa dos triângulos laterais há indicação: cerca.

42. Ícone uso de instrumentos Construa no caderno um triângulo qualquer e, utilizando régua e compasso, trace as três mediatrizes.

Versão adaptada acessível

42. Ícone uso de instrumentos Junte-se a um colega e construam um triângulo qualquer. Depois, utilizando régua e compasso, tracem as três mediatrizes desse triângulo.

43. Ícone uso de instrumentos Utilizando o GeoGebra, construa um triângulo qualquer e, em seguida, obtenha seu incentro e a circunferência inscrita nele.

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44. Napoleão Bonaparte (1769-1821), um dos mais famosos generais dos tempos contemporâneos, nasceu em Ajácio, na Córsega, na França. De família pobre, mas dona de um título de nobreza da República de Gênova, aderiu à Revolução Francesa e ficou conhecido por suas brilhantes estratégias de guerra. Em 1793, com apenas 24 anos, tornou-se o mais jovem general do Exército francês. Napoleão Bonaparte era amigo de grandes matemáticos franceses de sua época. Influenciado pelo matemático Lorenzo Mascheroni, realizou alguns estudos relacionados a construções geométricas. A mais famosa das contribuições que Napoleão trouxe à área da Geometria está citada no teorema a seguir.

Pintura de Napoleão Bonaparte, representando da cintura para cima, segurando sua capa na mão direita e com a mão esquerda em cima de uma coroa que está sobre uma almofada. Ele tem cabelos curtos e escuros e está vestindo um traje verde de rei da Itália, com detalhes em dourado e branco.
Napoleão Bonaparte, por Andrea Appiani. Séc. XIX. Coleção particular. Óleo sobre tela, 100   c m × 75   c m .

Teorema de Napoleão: os baricentros de 3 triângulos equiláteros, que têm como bases os lados de um triângulo qualquer, são vértices de outro triângulo equilátero.

Para aplicar o teorema de Napoleão, executamos os seguintes passos.

1º. Desenhamos um triângulo qualquer.

Ilustração de um triângulo qualquer.

2º. A partir dos lados do triângulo anterior, desenhamos 3 triângulos equiláteros.

Ilustração de um triângulo qualquer no centro e 3 triângulos equiláteros nos lados do triângulo central. Cada um dos 3 triângulos equiláteros tem um lado em comum com o triângulo do centro.

3º. Em seguida, determinamos os baricentros dos 3 triângulos equiláteros.

Ilustração de um triângulo qualquer no centro e 3 triângulos equiláteros nos lados do triângulo central. Cada um dos 3 triângulos equiláteros tem um lado em comum com o triângulo do centro. Há um ponto em cada baricentro dos 3 triângulos equiláteros.

4º. Por último, traçamos segmentos de reta unindo os baricentros e obtemos outro triângulo equilátero.

Ilustração de um triângulo qualquer no centro e 3 triângulos equiláteros nos lados do triângulo central. Cada um dos 3 triângulos equiláteros tem um lado em comum com o triângulo do centro. Há um ponto em cada baricentro dos 3 triângulos equiláteros. Há segmentos de reta unindo os baricentros formando outro triângulo equilátero.

Fontes de pesquisa: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 460, 485, 587, 589; REVISTA do professor de matemática (RPM). São Paulo: SBM, 1989. p. 47.

a) Quem foi Napoleão Bonaparte?

b) Cite, de acordo com o texto, dois fatos importantes na vida de Napoleão Bonaparte. Depois, compare com os colegas e verifique se vocês destacaram os mesmos fatos.

c) Em sua opinião, o interesse de Napoleão pela Matemática contribuiu para que ele se tornasse um estrategista de guerra?

d) O que você sabe sobre a Revolução Francesa? Faça uma pesquisa a esse respeito.

e) Realize uma pesquisa e verifique se existem outros teoremas relacionados aos pontos notáveis de um triângulo.

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Quadriláteros

O quadrilátero é um polígono de quatro lados e, consequentemente, 4 vértices, 4 ângulos internos, 4 ângulos externos e 2 diagonais, quando convexos. Analise os elementos do quadrilátero A B C D a seguir.

  • Nome: quadrilátero A B C D .
  • Lados: A B , B C , C D e A D .
  • Vértices: A , B , C e D .
  • Diagonais: A C e B D .
  • Medidas dos ângulos internos: a ˆ , b ˆ , c ˆ e d ˆ .
  • Medidas dos ângulos externos: e ˆ , f ˆ , g ˆ e h ˆ .
Ilustração de um quadrilátero A B C D com os ângulos destacados em que o lado A B é oposto ao lado D C e o lado D A é oposto ao lado C B. Há duas diagonais traçadas uma do vértice A ao C e outra do B ao D, formando 4 triângulos. No triângulo de base D A há o ângulo, com medida d minúsculo, no vértice D, no triângulo de base A B há o ângulo de medida, a minúsculo, no vértice A e o ângulo de medida, b minúsculo, no vértice B e no triângulo de base C B há o ângulo de medida, b minúsculo, no vértice B. O ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice A é o ângulo de medida, e minúsculo, o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice B é o ângulo de medida, f minúsculo, o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice C é o ângulo de medida, g minúsculo, e o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice D é o ângulo de medida, h minúsculo.

Podemos classificar alguns quadriláteros em paralelogramos ou trapézios.

Paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

No paralelogramo A B C D :

  • o lado A B é paralelo ao lado C D (indicamos assim: A B // C D );
  • o lado A D é paralelo ao lado B C .
Ilustração de um paralelogramo A B C D. Com a base A B oposta ao lado D C e o lado A D oposto ao lado B C.

Trapézio é um quadrilátero que tem somente 2 lados paralelos.

No trapézio A B C D :

  • o lado A B é paralelo ao lado C D ( A B // C D ) ;
  • o lado B C não é paralelo ao lado A D .
Ilustração de um trapézio A B C D. Com a base maior A B oposta a base menor D C e o lado A D oposto ao lado B C.

Em um trapézio, os lados paralelos são chamados bases. Nesse trapézio, A B é a base maior, e C D , a base menor.

Questão 8. Ícone uso de instrumentos Existem quadriláteros que não são paralelogramos nem trapézios. Com o auxílio de uma régua, construa no caderno dois quadriláteros que não sejam paralelogramos nem trapézios e mostre para um colega. Depois, explique para ele por que o quadrilátero que você construiu não caracteriza um paralelogramo nem um trapézio.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

45. No caderno, nomeie os lados, os vértices, as diagonais, as medidas dos ângulos internos e as medidas dos ângulos externos do quadrilátero.

Ilustração de um quadrilátero A B C D com os ângulos destacados em que o lado A B é oposto ao lado D C e o lado D A é oposto ao lado C B. Há duas diagonais traçadas uma do vértice A ao C e outra do B ao D, formando 4 triângulos. No triângulo de base D A há o ângulo de medida, d minúsculo, no vértice D e o ângulo de medida, a minúsculo, no vértice A, no triângulo de base A B há o ângulo de medida, b minúsculo, no vértice B e no triângulo de base C D há o ângulo de medida, c minúsculo, no vértice C. O ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice A é o ângulo de medida, e minúsculo, o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice B é o ângulo de medida, f minúsculo, o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice C é o ângulo de medida, g minúsculo, e o ângulo externo e suplementar ao ângulo do vértice D é o ângulo de medida, h minúsculo.

46. Indique somente as frases relacionadas a quadriláteros convexos.

A.Polígono que tem 2 diagonais.

B.De cada um de seus vértices partem 2 diagonais.

C.A soma das medidas dos ângulos internos é igual à dos ângulos externos.

D.Traçando uma de suas diagonais, é possível dividir esse polígono em 2 triângulos.

47. Considere os ângulos internos de um quadrilátero convexo cujas medidas são a ˆ = 2 x + 10 ° , b ˆ = 2 ( x 1 ° ) , c ˆ = 3 x 2 ° e d ˆ = x + 18 ° 2 .

Determine ( a ˆ + b ˆ ) ( c ˆ + d ˆ ) .

a) 14 °

b) 16 °

c) 18 °

d) 22 °

e) 24 °

48. A figura representa parte de um quadrilátero A B C D , no qual estão indicadas a medida de um ângulo interno e a medida de um ângulo externo.

Ilustração de um pedaço de papel rasgado com a parte esquerda de um quadrilátero, no segmento A B o ângulo interno, B, mede 105 graus e a medida do ângulo externo e suplementar, A, é 78 graus.

a) Quantas diagonais é possível traçar partindo do vértice B ? E do vértice A ?

b) Escreva no caderno as medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos relacionados aos vértices A e B .

c) Escreva no caderno uma possível medida para cada ângulo interno e ângulo externo relacionados aos vértices C e D.

49. Determine as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de acordo com as dicas a seguir.

O menor ângulo interno mede 45 ° .

c ˆ = 30 ° + a ˆ

b ˆ = d ˆ

Ilustração do quadrilátero A B C D com ângulos internos com medidas a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo, d minúsculo, respectivamente.

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Paralelogramos

Estudamos anteriormente que os paralelogramos têm os lados opostos paralelos. Agora, vamos aprofundar o estudo e verificar as seguintes propriedades dos paralelogramos.

1ª propriedade: em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

Para verificar essa propriedade, vamos considerar o paralelogramo A B C D e traçar a diagonal A C , obtendo os triângulos A B C e C D A .

Ilustração de um paralelogramo A B C D, com todos os ângulos destacados. A base A B é oposta ao lado C D e o lado D A é oposto ao lado C B. Há uma diagonal traçada entre o vértice A e o vértice C, formando 2 triângulos A C D e A C B. Os ângulos internos A e C foram divido em 2 ângulos cada. No triângulo A C D o ângulo do vértice A possui medida indicado por, f minúsculo, e do vértice C indicada por, h minúsculo. No triângulo A C B o ângulo do vértice C possui medida indicada por, g minúsculo, e do vértice A, por  e minúsculo. Os segmentos A B, C D e a diagonal têm prolongamentos tracejados nas extremidades.

Temos e ˆ = h ˆ e f ˆ = g ˆ , pois essas são as medidas de pares de ângulos alternos internos. Além disso, A C é o lado comum dos triângulos A B C e C D A .

Assim, pelo caso A L A de congruência de triângulos, temos A B C C D A .

Portanto, A B C D e D A B C , isto é, os lados opostos do paralelogramo são congruentes.

2ª propriedade: em um paralelogramo, os ângulos internos opostos são congruentes.

Para verificar essa propriedade, vamos considerar o paralelogramo A B C D apresentado na 1ª propriedade.

Vimos que A B C C D A . Então, A B ˆ C C D ˆ A .

De maneira semelhante, traçando a diagonal B D do paralelogramo, obtemos os triângulos D A B e B C D e verificamos que D A B B C D . Então, D A ˆ B B C ˆ D .

Portanto, os ângulos internos opostos do paralelogramo são congruentes.

3ª propriedade: em um paralelogramo, as diagonais se cruzam em seus pontos médios.

Para verificar essa propriedade, vamos traçar as diagonais do mesmo paralelogramo A B C D e analisar os triângulos A M B e C M D obtidos.

Ilustração de um paralelogramo A B C D, com todos os ângulos destacados. A base A B é oposta ao lado C D e o lado D A é oposto ao lado C B. Há duas diagonais traçadas, uma entre o vértice A e C e outra entre o vértice B e D, elas se cruzam no ponto M e formam 4 triângulos A M D, A M B, C M B e C M D. No triângulo A M B o ângulo do vértice B é indicado pela medida, f minúsculo ,e do vértice A pela medida, e minúsculo. No triângulo C M D o ângulo do vértice C é indicado pela medida,  g minúsculo e do vértice D pela medida, h minúsculo. Os segmentos A B, C D e as diagonais têm prolongamentos tracejados nas extremidades.

Temos e ˆ = g ˆ e f ˆ = h ˆ , pois são as medidas de pares de ângulos alternos internos. Além disso, A B C D , pois são lados opostos do paralelogramo.

Assim, pelo caso A L A de congruência de triângulos, temos A M B C M D .

Portanto, A M C M e B M D M , isto é, o ponto M em que as diagonais se cruzam é o ponto médio de cada diagonal.

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Alguns paralelogramos podem ser classificados em retângulo, losango ou quadrado.

Retângulo é o paralelogramo que tem todos os ângulos internos retos.

Considere o retângulo I J K L a seguir.

Ilustração de um retângulo I J K L, com todos os ângulos retos destacados. Há duas diagonais congruentes, uma do vértice I ao K e outra do vértice J ao L.

Propriedade: em um retângulo, as diagonais são congruentes.

Para verificar essa propriedade, vamos considerar os triângulos I J L e J I K do paralelogramo anterior, obtidos ao traçar as diagonais desse retângulo.

Ilustração de 2 triângulos retângulos I J L e J I K. As bases I J dos triângulos e as alturas IL e J K são congruentes. O triângulo I J L é reto em I e o triângulo J I K é reto em J.

Note que L I ˆ J e K J ˆ I são ângulos retos e I J é o lado comum dos triângulos.

Além disso, I L J K , pois são lados opostos do retângulo.

Assim, pelo caso L A L de congruência de triângulos, temos I J L J I K .

Portanto, J L I K , isto é, as diagonais do retângulo são congruentes.

Losango é o paralelogramo que tem todos os lados com medidas iguais.

Considere o losango E F G H a seguir.

Ilustração de um losango E F G H. A diagonal maior E G cruza a diagonal menor F H no ponto M. Os lados E F, F G, G H e H E são congruentes.

Propriedade: em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.

Para verificar essa propriedade, considere os triângulos E M H , G M H , F M G e F M E , obtidos ao traçar as diagonais do losango E F G H . Como E H = H G = G F = E F (lados do losango são congruentes), E M = M G ( M é ponto médio do segmento E G ) e F M = M H ( M é ponto médio do segmento F H ), segue que os quatro triângulos são congruentes pelo caso LLL.

Ilustração de um losango E F G H. A diagonal maior E G cruza a diagonal menor F H no ponto M. Os lados E F, F G, G H e H E são congruentes. Os segmentos E M e M G são congruentes e os segmentos F M e M H também são congruentes.

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Assim, os 4 ângulos correspondentes com vértices nas extremidades do segmento E G são congruentes. O mesmo ocorre com os 4 ângulos com vértices nas extremidades do segmento F H . Além disso, ainda da congruência dos quatro triângulos, os quatro ângulos com vértices em M são congruentes. Como a soma das medidas desses ângulos é 360 ° , segue que cada um deles mede 90 ° .

Portanto, as diagonais do losango são perpendiculares entre si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado é o paralelogramo que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos internos retos. Por isso, o quadrado é um caso particular de losango e de retângulo.

Considere o quadrado R S T U a seguir.

Ilustração de um quadrado R S T U, com todos os ângulos retos destacados.

Propriedade: as diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.

Para verificar essas propriedades, basta saber que o quadrado é um caso particular de losango e de retângulo e, então, que ele apresenta as propriedades de ambos.

  • R T S U ;
  • R T é perpendicular a S U ;
  • R T é a bissetriz relativa ao ângulo U R ˆ S ou S T ˆ U ;
  • S U é a bissetriz relativa ao ângulo R S ˆ T ou T U ˆ R .
Ilustração de um quadrado R S T U, com todos os ângulos destacados. Há duas diagonais traçadas uma vai do vértice R ao T e outra do vértice S ao U, formando um ângulo de 90 graus entre si. Todos os ângulos dos vértices formados pelas diagonais são congruentes.

Questão 9. Vimos que para verificar a propriedade do quadrado apresentada nesta página basta considerá-lo como um caso particular de losango e de retângulo. Agora, em seu caderno, demonstre essa propriedade utilizando a congruência de triângulos.

Há paralelogramos que não podem ser classificados como retângulo, losango ou quadrado. O paralelogramo N O P Q a seguir, por exemplo, é um deles.

  • N P O Q ;
  • N P não é a bissetriz relativa ao ângulo Q N ˆ O ou O P ˆ Q ;
  • O Q não é a bissetriz relativa ao ângulo N O ˆ P ou P Q ˆ N .
Ilustração de um paralelogramo N O P Q, com todos os ângulos destacados. Há duas diagonais traçadas uma vai do vértice N ao P e outra do vértice O ao Q.

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Resumindo as propriedades estudadas, obtemos o seguinte quadro.

Propriedades dos quadriláteros

Paralelogramos

Retângulos

Losangos

Quadrados

Os lados opostos são congruentes.

Os ângulos internos opostos são congruentes.

As diagonais se cruzam nos respectivos pontos médios.

Têm as propriedades dos paralelogramos.

As diagonais são congruentes.

Têm as propriedades dos paralelogramos.

As diagonais são perpendiculares entre si.

As diagonais correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.

Como o quadrado é um caso particular de losango e de retângulo, ele tem todas as propriedades de ambos.

Instrumentos e softwares

Construindo paralelogramos com régua, compasso e transferidor

Nesta seção, com régua, compasso e transferidor, vamos construir um paralelogramo C D E F , tal que C D = 5   cm , C F = 4   cm e med ( D C ˆ F ) = 75 ° . Para isso, siga as orientações do professor e os passos apresentados.

1º. Com régua e transferidor, construa C D , C F e D C ˆ F .

Ilustração de um segmento de reta C D, com 5 centímetros de medida de comprimento e há uma régua com o marco 0 posicionado no ponto C, há um lápis traçando outro segmento de reta de comprimento medindo 4 centímetros partindo de do ponto C de maneira oblíqua.

2º. Com a ponta-seca do compasso em D e abertura igual à medida do comprimento de C F , trace um arco como indicado a seguir.

Ilustração de um ângulo F C D de 75 graus entre 2 segmentos de reta. O segmento C D mede 5 centímetros e está na horizontal, já o segmento C F está oblíquo e mede 4 centímetros. Há um compasso com sua ponta seca no ponto D traçando um arco na mesma direção de cima que o segmento C F.

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3º. Com a ponta-seca do compasso em F e abertura igual à medida do comprimento de C D , trace um arco cruzando o anterior.

Ilustração de um ângulo F C D de 75 graus entre 2 segmentos de reta. O segmento C D mede 5 centímetros e está na horizontal, já o segmento C F está oblíquo e mede 4 centímetros. Há um arco acima do ponto D na mesma direção de cima que o segmento C F e um compasso com sua ponta seca no ponto F traçando um segundo arco sobre o primeiro arco.

4º. A interseção dos arcos é o vértice E do paralelogramo. Por fim, trace D E e E F para obter o paralelogramo.

Ilustração de um paralelogramo C D E F, com o comprimento da base C D medindo 5 centímetros e o lado C F medindo 4 centímetros. O ângulo interno do vértice C mede 75 graus e há 2 arcos no ponto do vértice E. Os vértices C e E são opostos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

50. Theo van Doesburg (1883-1931) foi um importante pintor holandês que iniciou sua carreira influenciado pelos estilos do Pós-Impressionismo e do Fauvismo. Destacou-se com obras abstratas, principalmente trabalhando com figuras geométricas. A seguir, veja uma de suas obras.

Pintura da Composição 17, que é composta por quadriláteros com lados de medidas de comprimentos iguais e outros com medidas diferentes de lados diferentes de diversas cores.
Composição 17, de Theo van Doesburg, 1919. Óleo sobre tela, 50   cm × 50   cm . Museu de Haia, Holanda.

a) Quais quadriláteros você identifica nessa tela?

b) As medidas dos ângulos internos desses quadriláteros são iguais? Quais são as medidas desses ângulos internos?

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51. Considere o paralelogramo a seguir.

Ilustração de um paralelogramo A B C D, com medidas de ângulos internos a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo e 117 graus, respectivamente. O lado A B é oposto ao lado D C e o lado B C é oposto ao lado A D. O lado B C mede 2 metros.

Escreva no caderno:

a) a medida do comprimento do lado A D .

b) as medidas a ˆ e c ˆ .

c) a medida do comprimento do lado A B , sabendo que o perímetro desse paralelogramo mede 12   m .

52. De acordo com as medidas indicadas, determine qual quadrilátero a seguir é um paralelogramo.

A. Ilustração de um paralelogramo I J K L. A base I J é oposta ao lado L K e o lado L I é oposto ao lado K J. A medida do comprimento do lado I J é 2,5 centímetros e do lado L K é 3,1 centímetros. A medida do comprimento dos lados L I e K J é 3,5 centímetros.
B. Ilustração de um paralelogramo E F G H. A base E F é oposta ao lado H G e o lado H E é oposto ao lado G F. A medida do comprimento dos lados E F e H G é 5,3 centímetros e a medida do comprimento dos lados H E, e, G F é 3 centímetros.
C. Ilustração de um paralelogramo A B C D. A base A B é oposta ao lado C D e o lado D A é oposto ao lado C B. A medida do comprimento dos lados A B e C D é 5 centímetros e a medida do comprimento dos lados D A e C B é 3 centímetros.

53. Considere o tangram representado a seguir.

Ilustração de um quadrado em uma malha quadriculada formado por peças do Tangram. Dentre as peças, há 2 triângulos de mesmo tamanho, um rosa e um verde, outros 2 triângulos maiores de mesmo tamanho, um vermelho e um roxo, um terceiro triângulo de tamanho médio, alaranjado; há também 2 quadriláteros: um quadrado azul e o outro um paralelogramo amarelo.

a) As peças que compõem o tangram têm formato de quais polígonos?

b) Qual desses quadriláteros tem ângulos internos retos?

c) Determine as medidas dos ângulos internos do quadrilátero que não têm ângulos retos.

54. Ícone desafio. Na figura a seguir, A B C D é um paralelogramo e o vértice A pertence à reta r. Sabendo que b, c e d são as medidas das distâncias dos vértices B, C e D à reta r, respectivamente, explique por que c = b + d .

Ilustração de um paralelogramo A B C D. O lado A B é oposto ao lado D C e o lado D A é oposto ao lado C B. Há uma reta, r, que passa pelo vértice A. Há um traçado pontilhado com medida, d minúsculo, perpendicular à reta ligado ao ponto D, um traçado pontilhado com medida c minúsculo perpendicular à reta ligado ao ponto C e um traçado pontilhado com medida d minúsculo perpendicular à reta ligado ao ponto B.

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55. Junte-se a um colega e construam no caderno os paralelogramos cujas medidas estão indicadas nos quadros. Depois verifiquem, entre os paralelogramos que vocês construíram, se há algum retângulo, losango ou quadrado.

A.Paralelogramo ABCD

A B = 7   cm

med ( B A ˆ D ) = 62 °

A D = 5   cm

B.Paralelogramo EFGH

E F = 5   cm

med ( F E ˆ H ) = 46 °

E H = 4   cm

C.Paralelogramo IJKL

I J = 6   cm

med ( J I ˆ L ) = 110 °

I L = 3   cm

56. Classifique, se possível, cada paralelogramo desenhado na malha quadriculada em quadrado, retângulo ou losango.

Ilustração de uma malha quadriculada com 5 paralelogramos desenhados. Os paralelogramos A, D e E possuem os 4 lados com medidas iguais e os ângulos internos opostos são congruentes; o paralelogramo B possui os lados opostos com medidas iguais e seus ângulos são retos; o paralelogramo C possui os lados opostos paralelos; os paralelogramos D e E possuem os lados e os ângulos com medidas iguais seus ângulos são retos.

57. Calcule o valor de x em cada paralelogramo.

A. Ilustração de um paralelogramo A B C D, com todos os ângulos destacados. Há duas diagonais traçadas uma vai do vértice A ao C e outra do vértice B ao D, formando um ângulo de 90 graus entre si e formando 4 triângulos. Há a expressão x mais 8 graus no ângulo interno do triângulo de base A D. Há a indicação de 60 graus no ângulo formado no vértice D do triângulo de base D C e a indicação de 30 graus no ângulo de vértice C no triângulo de base B C.
B. Ilustração de um paralelogramo E F G H, com todos os ângulos retos destacados. Há duas diagonais traçadas uma vai do vértice E ao G e outra do vértice F ao H, formando um ângulo de 90 graus entre si e formando 4 triângulos. Há a expressão x mais 19 graus no ângulo interno do triângulo de base E F.
C. Ilustração de um paralelogramo I J K L, com todos os ângulos destacados. Há duas diagonais traçadas uma vai do vértice I ao K e outra do vértice J ao L, formando um ângulo de 90 graus entre si e formando 4 triângulos. Há a expressão x mais 10 graus no ângulo interno do triângulo de base K L.

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58. Determine as medidas dos ângulos internos de cada paralelogramo.

A. Ilustração de um paralelogramo A B C D, com todos os ângulos destacados. O ângulo interno B mede 109 graus.
B. Ilustração de um paralelogramo E F G H, com todos os ângulos destacados. O ângulo interno E mede 87 graus.
C. Ilustração de um paralelogramo I J K L, com todos os ângulos destacados. O ângulo externo suplementar K mede 128 graus.

Trapézio

Estudamos anteriormente que os trapézios têm somente dois lados opostos paralelos, chamados bases.

Ilustração de um trapézio A B C D, com todos os ângulos destacados. A base maior A B é oposta a base menor C D e o lado D A é oposto ao lado C B.
Nesse trapézio, A B é a base maior e C D é a base menor.
Ilustração de um trapézio E F G H, com todos os ângulos destacados. A base maior H G é oposta a base menor E F e o lado F G é oposto ao lado E H.
Nesse trapézio, G H é a base maior e F E é a base menor.

Um trapézio pode ser classificado em isósceles, retângulo ou escaleno.

Trapézio isósceles é aquele que tem os lados não paralelos com medidas de comprimento iguais.

Ilustração de um trapézio isósceles E F G H. A base maior E F é oposta a base menor H G, os lados não paralelos E H e F G são opostos e tem medidas de comprimento iguais.
E H = F G

Trapézio escaleno é aquele que tem os lados não paralelos com medidas de comprimento diferentes.

Ilustração de um trapézio escaleno M N O P. A base maior M N é oposta a base menor P O, os lados não paralelos P M e N O são opostos e tem medidas de comprimento diferentes.
M P N O

Trapézio retângulo é um trapézio escaleno que tem um dos lados não paralelos perpendicular às bases.

Ilustração de um trapézio retângulo I J K L. A base maior I J é oposta a base menor L K, os lados não paralelos L I e K J são opostos, tem medidas de comprimento diferentes e o lado L I é perpendicular às bases.
I L é perpendicular a I J e a K L .

Questão 10. Utilizando a congruência de triângulos, mostre, em seu caderno, que no trapézio isósceles, os ângulos internos da mesma base são congruentes e as diagonais são congruentes.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

59. Identifique e nomeie no caderno a base maior e a base menor de cada trapézio.

A. Ilustração de um trapézio A B C D. A base menor, A B, está abaixo. A base maior, C D, está acima.
B. Ilustração de um trapézio E F G H. A base maior, H E, se encontra à esquerda. A base menor, G F, se encontra à direita.
C. Ilustração de um trapézio I J K L. Os ângulos em I e L medem 90 graus cada. A base menor, K L, se encontra acima. A base maior, I J, se encontra abaixo.

60. Classifique cada trapézio da malha quadriculada em isósceles, retângulo ou escaleno.

Ilustração de quatro trapézios, A, B, C e D , desenhados em malha quadriculada. O trapézio, A, tem base maior com medida de 8 quadradinhos da malha e base menor medindo 4 quadradinhos da base, e os 2 lados não paralelos de mesma medida e ângulos iguais. O trapézio, B, tem todos os lados com medidas de comprimentos diferentes e ângulos internos com medidas diferentes. O trapézio, C, tem a medidas de todos os lados diferentes e possui 2 ângulos internos medindo 90 graus. O trapézio, D, tem a medidas de todos os lados diferentes e possui 2 ângulos internos medindo 90 graus.

61. Determine o valor de x nos trapézios a seguir. Em seguida, calcule a medida de cada ângulo interno dos trapézios.

A. Ilustração de um trapézio de vértices A, B, C e D, com as medidas dos ângulos internos: x menos 25, x, x mais 20, x mais 45, respectivamente.
B. Ilustração de um trapézio de vértices E, F, G e H, com as medidas dos ângulos internos: x mais 45, x mais 5, x mais 5, x mais 45, respectivamente.
C. Ilustração de um trapézio de vértices I, J, K e L, com as medidas dos ângulos internos: 90 graus, x mais 30 graus, x menos 30 graus, 90 graus, respectivamente.

62. De acordo com as informações, determine a medida de cada ângulo interno dos trapézios a seguir.

A. Ilustração de um trapézio A B C D. Os ângulos em A e em B tem a mesma medida. A medida do ângulo em C é de 115 graus.

med ( B A ˆ D ) = med ( A B ˆ C )

med ( B C ˆ D ) = 115 °

B. Ilustração de um trapézio E F G H. Os ângulos em H e E medem 90 graus cada um. A medida do ângulo em E é igual ao dobro da medida do ângulo em F.

med ( F E ˆ H )   =2 med ( E F ˆ G )

63. Determine as medidas do comprimento de A D e B C , sabendo que o trapézio é isósceles e que a medida de seu perímetro é 16   m .

Ilustração de um trapézio isósceles A B C D, com base maior A B medindo 7 metros e base menor C D medindo 4 metros.

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Círculo e circunferência

As formas circulares já eram conhecidas e utilizadas pelos povos antigos em várias situações. Temos alguns exemplos a seguir.

Fotografia de uma roda de madeira, com um quadrado vazado ao centro, apoiada em uma parede rochosa.
Por volta de 6 mil anos atrás, os mesopotâmicos, que viviam onde hoje é o Iraque, descobriram a roda e a utilizavam em várias de suas atividades.
Fotografia da parte frontal de um iglu, em ambiente ártico, com neve aos arredores.
Há aproximadamente 5 mil anos, os inuítes já construíam, no Ártico, seus iglus com base circular.
Inuítes:
povos nativos da região do Ártico americano.
Fotografia de uma moeda grega de prata a lateral da cabeça de Alexandre Magno esculpida.
Moeda grega de prata com o retrato de Alexandre Magno (século IV a.C.).
Fotografia de uma moeda italiana de bronze, a cabeça de um homem, e algumas escritas nas laterais, esculpida.
Moeda italiana de bronze (século III. a.C.).
Fotografia de uma moeda de ouro, a cabeça de um homem, algumas escritas nas laterais e o ano 1802 abaixo, esculpida.
Moeda de ouro da época do Brasil Império.

Questão 11. Ícone atividade oral. Em sua opinião, quais seriam as propriedades de uma figura circular que propiciaram seu uso desde a Antiguidade?

Nessas imagens, podemos identificar formas que podem ser associadas a circunferências e círculos.

Uma linha fechada em um plano, formada por pontos equidistantes de um ponto fixo (centro) é chamada circunferência.

Ilustração de uma linha circular. Ao centro um ponto O denotado de centro e a linha ao arredor é denotada de circunferência.

A união da circunferência com todos os pontos em seu interior é chamada círculo.

Ilustração de uma região circular rosa e um ponto O ao centro. Há uma indicação que sua região interna é a delimitada pela linha em formato circular nas bordas, denotada está por circunferência.

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Na circunferência apresentada na imagem, podemos destacar os seguintes elementos.

  • O centro O.
  • Os pontos A, B, C, D, E, F e G são pontos da circunferência.
  • O raio da circunferência é qualquer segmento de reta que une o centro da circunferência a um de seus pontos. Na imagem, os segmentos O A , O B e O G são exemplos de raio.
  • A corda da circunferência é qualquer segmento de reta que une dois pontos distintos dela. Na imagem, os segmentos A B , C D e E F são exemplos de corda.
  • O diâmetro da circunferência é qualquer corda que passa pelo centro da circunferência. Na imagem, A B é exemplo de um diâmetro.
  • O ângulo central da circunferência é qualquer ângulo com vértice no centro e lados passando por pontos dessa circunferência. Na imagem, o ângulo B O ˆ G é um exemplo de ângulo central.
Ilustração de uma circunferência, com o ponto O ao centro, e com pontos A, B, C, D, E, F e G, sobre a circunferência. Há segmentos ligando os pontos: A e B, passando por O, E, e, F, C e D, O e G. Está destacado o ângulo entre os segmentos que ligam os pontos: O e G; O e B.

Atenção!

A medida do comprimento do diâmetro é o dobro da medida do comprimento do raio.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

64. Tales usou uma lata como a apresentada a seguir para desenhar um círculo no caderno. Assim como a lata usada por Tales, outros objetos têm partes circulares que podem ser usadas para desenhar círculos. Escreva no caderno alguns objetos que também apresentam essa característica.

Ilustração de uma folha de papel com uma lata em cima e uma pessoa com um lápis vermelho utilizando a base da latinha para desenhar uma circunferência na folha.

65. Sabendo que o comprimento do diâmetro de uma circunferência mede 27   cm , qual é a medida do comprimento de seu raio?

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66. As circunferências a seguir têm centro B e C.

Ilustração de duas circunferências, uma ao lado da outra, se cruzando em dois pontos, com centros em B e C. Há um segmento na horizontal, passando por B, C, A, que está no extremo esquerdo da circunferência à esquerda, e D, que está no extremo direito da circunferência à direita. Na circunferência à esquerda há os pontos I e E, e na circunferência há direita há os pontos H e G, um acima e outro abaixo, respectivamente. Abaixo as circunferências se cruzam no ponto F. Estão traçados os segmentos de extremidades: E, e, I, I e F, F e H, H e G.

a) Classifique os segmentos de reta traçados em raio, diâmetro ou corda da circunferência de centro B .

b) Classifique os segmentos de reta traçados em raio, diâmetro ou corda da circunferência de centro C .

c) Identifique e nomeie dois ângulos centrais.

67. Responda a cada um dos itens a seguir.

a) Qual é a medida do comprimento do raio de uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 12 , 8   cm ?

b) Qual é a medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 2 , 1   cm ?

68. O comprimento da diagonal do retângulo A B O C mede 10 , 5   cm .

Ilustração de uma circunferência de centro O, com dois segmentos perpendiculares, passando por O, dentro da circunferência. Há um retângulo A B O C na parte inferior à esquerda, dentro da circunferência, com os lados O B e O C apoiados nos segmentos perpendiculares, e o vértice A na circunferência.

Qual é a medida de comprimento do diâmetro da circunferência de centro O ?

69. Jade desenhou a maior circunferência possível em uma cartolina retangular de 27,4 cm por 15,3 cm. Qual é, em centímetros, a medida de comprimento do raio da circunferência desenhada por ela?

70. Félix pretende construir uma bicicleta semelhante à apresentada na foto a seguir. Para isso, ele planejou que a medida do comprimento do raio da roda maior será o dobro da medida do comprimento do diâmetro da roda menor.

Fotografia de um homem andando com de bicicleta em uma rua de asfalto, com a roda da frente maior que a roda de trás. Ao fundo uma cerca e uma casa.
Homem, em Brisbane, na Austrália, em 2012, andando em uma bicicleta conhecida como Penny Farthing, um tipo de bicicleta criada na década de 1860, cuja característica principal é uma roda dianteira bem maior do que a roda traseira.

a) Sabendo que o comprimento do raio da roda menor medirá 18   cm , determine a medida de comprimento do diâmetro da roda maior.

b) Realize uma pesquisa e verifique quais outros tipos diferentes de bicicleta existem e quais benefícios o uso da bicicleta traz para a saúde e o bem-estar.

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Polígonos inscritos e circunscritos

Considere as figuras a seguir.

A. Ilustração de uma circunferência e um polígono de 5 lados dentro dela, com todos os seus vértices na circunferência.
B. Ilustração de um polígono de 4 lados e uma circunferência dentro dele. Quatro pontos da circunferência tocam, cada um deles, um dos lados do polígono.

Note que, na figura A, todos os vértices do polígono pertencem à circunferência. Nesse caso, dizemos que esse polígono está inscrito na circunferência.

Na figura B, pode-se notar que todos os lados do polígono são tangentes à circunferência. Nesse caso, dizemos que o polígono está circunscrito à circunferência.

Se uma figura está inscrita em outra, dizemos que essa outra figura está circunscrita à primeira. Se um pentágono está inscrito em uma circunferência, por exemplo, a circunferência circunscreve ou está circunscrita ao pentágono. Em outro exemplo, se um hexágono está circunscrito a uma circunferência, a circunferência inscreve ou está inscrita no hexágono.

Atenção!

Quando uma reta qualquer tem um único ponto em comum com a circunferência, dizemos que essa reta é tangente à circunferência. Na imagem, a reta a é tangente à circunferência de centro O e raio cujo comprimento mede r.

A menor distância do centro O à reta a é o comprimento do segmento O A , perpendicular à reta a. Como o ponto A pertence à circunferência, O A representa um de seus raios.

Ilustração de uma circunferência de centro O e raio r. Na extremidade superior da circunferência à uma reta horizontal, a minúsculo, passando por um ponto A maiúsculo da circunferência. A reta forma um ângulo de 90 graus com o raio da circunferência, que se encontra na vertical, ligando o ponto O à reta, a minúsculo.

Quando consideramos um polígono regular, é sempre possível traçar uma circunferência:

  • que contenha todos os seus vértices. Com isso, dizemos que todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.
  • tangenciando todos os seus lados. Sendo assim, dizemos que todo polígono regular pode ser circunscrito a uma circunferência.

A seguir, temos alguns exemplos.

Ilustração de uma circunferência com um quadrado dentro dela, com seus vértices na circunferência.
Quadrilátero regular inscrito na circunferência.
Ilustração de uma circunferência com um polígono regular de sete lados dentro dela, com seus vértices na circunferência.
Heptágono regular inscrito na circunferência.
Ilustração de um polígono regular de 5 lados e uma circunferência dentro dele. A circunferência toca cada um dos cinco lados em um ponto.
Pentágono regular circunscrito à circunferência.
Ilustração de um quadrado e uma circunferência dentro dele. A circunferência toca cada um dos quatro lados do quadrado em um ponto.
Quadrilátero regular circunscrito à circunferência.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

71. A seguir, identifique a figura com o polígono inscrito em uma circunferência.

A. Ilustração de uma circunferência com um polígono regular de nove lados dentro dela, com seus vértices na circunferência.
B. Ilustração de um triângulo equilátero e uma circunferência dentro dele. A circunferência toca cada um dos três lados do triângulo em um ponto.
C. Ilustração de um polígono regular de 8 lados e uma circunferência dentro dele. A circunferência toca cada um dos 8 lados em um ponto.

72. Em um polígono regular, podemos destacar o centro do polígono, que é o centro comum da circunferência inscrita e da circunferência circunscrita ao polígono. Além disso, podemos destacar o ângulo central, que é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contêm vértices consecutivos do polígono. Na imagem, esses elementos estão destacados em um pentágono regular.

Ilustração de uma circunferência com centro no ponto O e um polígono regular de cinco lados dentro dela, com seus vértices na circunferência. Dentro do polígono à uma circunferência, que toca cada um dos cinco lados em um ponto, essa circunferência também tem centro em O. Há dois segmentos de reta partindo o ponto O e com extremidades em dois vértices consecutivos na parte de cima do polígono. O ângulo em O formado pelos segmentos, da parte de cima, mede a.

a) Calcule mentalmente e escreva em seu caderno a medida do ângulo central, em graus, de cada polígono regular a seguir.

  • Triângulo

  • Quadrado

  • Hexágono

  • Decágono

b) Escreva no caderno como você calculou a medida do ângulo central dos polígonos do item anterior.

73. Os polígonos inscritos nas circunferências são regulares e o centro de cada um é O. Calcule o valor de x em cada item.

A. Ilustração de uma circunferência com centro no ponto O e um polígono regular de seis lados dentro dela, com seus vértices na circunferência. Há dois segmentos de reta partindo do ponto O e com extremidades em dois vértices, sendo que há um vértice, à esquerda, entre eles e 3 vértices, à direita, entre eles. O maior ângulo O, formado pelos segmentos, mede x.
B. Ilustração de uma circunferência com centro no ponto O e um polígono regular de oito lados dentro dela, com seus vértices na circunferência. Há dois segmentos de reta partindo do ponto O e com extremidades em dois vértices, sendo que há 4 vértices, à esquerda, entre eles e 2 vértices, à direita, entre eles. O ângulo entre um lado do polígono e o segmento, com extremidade no vértice, mede x.
C. Ilustração de uma circunferência com centro no ponto O e um quadrado dentro dela, com seus vértices na circunferência. Há dois segmentos de reta partindo do ponto O e com extremidades em dois vértices consecutivos do quadrado, na parte de cima. O ângulo entre o lado do quadrado e um segmento, com extremidade no vértice, mede x.

74. Yuri vai construir um quadrado utilizando compasso e esquadro.

a) Qual deverá ser a medida do ângulo central do quadrado?

b) Ícone uso de instrumentos Construa um fluxograma descrevendo passo a passo como construir um quadrado usando compasso e esquadro.

c) Usando o fluxograma do item anterior, construa um quadrado.

Versão adaptada acessível

c) Junte-se a um colega e, usando o fluxograma do item anterior, construam um quadrado.

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75. Usando régua e compasso, Antônia construiu um hexágono regular cujo comprimento do lado mede 3   cm da seguinte maneira.

1º. Com régua e compasso, Antônia construiu um ângulo com medida igual à do ângulo central de um hexágono regular, que é 60 ° . Depois, abriu o compasso com abertura medindo 3   cm , fixou a ponta-seca no vértice do ângulo e girou, dando uma volta completa para traçar a circunferência de centro O. Na interseção entre as semirretas e a circunferência, marcou os pontos A e B.

Ilustração de uma circunferência com centro em O e duas semirretas partindo de O, e passando pelos pontos A e B da circunferência. O menor ângulo em O, entre as semirretas, mede 60 graus.

2º. Com a ponta-seca do compasso em B e abertura igual a A B , marcou sobre a circunferência o ponto C.

Ilustração de uma circunferência com centro em O e duas semirretas partindo de O, e passando pelos pontos A e B da circunferência. O menor ângulo em O, entre as semirretas, mede 60 graus. Há um ponto C marcado na circunferência, cuja distância até B é igual a distância de A até B.

3º. Com a mesma abertura e a ponta-seca em C, determinou o ponto D. Seguindo procedimento semelhante, obteve os pontos E e F na circunferência, determinando dessa forma todos os pontos correspondentes aos vértices do hexágono.

Ilustração de uma circunferência de centro em O, passando pelos pontos A, B, C, D, E, e, F, todos distribuídos na circunferência a uma mesma distância. Há duas semirretas partindo de O, e passando pelos pontos A e B da circunferência. O menor ângulo em O, entre as semirretas, mede 60 graus.

4º. Para finalizar a construção, traçou os lados A B , B C , C D , D E , E F e A F , obtendo, assim, o hexágono regular A B C D E F .

Ilustração de uma circunferência de centro em O, passando pelos pontos A, B, C, D, E, e, F, todos distribuídos na circunferência a uma mesma distância. Há duas semirretas partindo de O, e passando pelos pontos A e B da circunferência. O menor ângulo em O, entre as semirretas, mede 60 graus. Há um polígono dentro da circunferência com vértices nos pontos A, B, C, D, E, e, F.

a) Em sua opinião, por que os procedimentos executados por Antônia garantem que ela construiu um hexágono regular?

b) Construa um fluxograma descrevendo, passo a passo, como construir um hexágono regular usando compasso e esquadro.

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Comprimento da circunferência

Para realizar um experimento, Natália utilizou uma fita métrica e mediu os comprimentos aproximados da circunferência e do diâmetro da circunferência de alguns objetos circulares. Depois, ela dividiu a medida do comprimento da circunferência (C) de cada objeto pela medida do comprimento de seu respectivo diâmetro (d) e verificou que o resultado é um número próximo de 3,14. Para organizar os dados, ela registrou as informações obtidas.

Ilustração de uma pessoa medindo o contorno de uma tampa circular com uma fita métrica.
Ilustração de um pedaço de folha com anotações, dividido em 4 colunas. Da esquerda para a direita, na primeira coluna está escrito: Tampa de embalagem; C maiúsculo igual 32,4; D maiúsculo igual 10,3; início de fração, denominador: C maiúsculo, denominador: d minúsculo, fim de fração, igual início de fração, denominador: 32,4, denominador: 10,3, fim de fração é aproximadamente igual à 3,15. Na segunda coluna está escrito: Prato; C maiúsculo igual 60,2; d minúsculo igual 19,2; início de fração, denominador: C maiúsculo, denominador: d minúsculo, fim de fração, igual início de fração, denominador: 60,2, denominador: 19,2, fim de fração é aproximadamente igual à 3,14. Na terceira coluna está escrito: Volante de carro; C maiúsculo igual 125,7; d minúsculo igual 40; início de fração, denominador: C maiúsculo, denominador: d minúsculo, fim de fração, igual início de fração, denominador: 125,7, denominador: 40, fim de fração é aproximadamente igual à 3,14. Na quarta coluna está escrito: D V D; C maiúsculo igual 37,7; d minúsculo igual 12; início de fração, denominador: C maiúsculo, denominador: d minúsculo, fim de fração, igual início de fração, denominador: 37,7, denominador: 12, fim de fração é aproximadamente igual à 3,14.

A razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida do comprimento de seu diâmetro é um número irracional que indicamos pela letra grega π (lê-se pi), e isso ocorre em todas as circunferências. Assim, escrevemos a seguinte relação:

Atenção!

O número irracional π é dado por π = 3 , 1 415 926 . . . No entanto, caso não seja dito o contrário, vamos usar neste livro uma aproximação de π com duas casas decimais, isto é, π = 3 , 1 4 .

Esquema com igualdades. Pi igual a início de fração, numerador: C maiúsculo, denominador, d minúsculo, fim de fração, ou, C maiúsculo igual d vezes pi. Está indicado que C maiúsculo é a medida do comprimento da circunferência. Está indicado que d minúsculo é o comprimento do diâmetro.

Como a medida do comprimento do diâmetro é o dobro da medida do comprimento do raio ( d = 2 r ), temos:

C = 2 r π ou C = 2 π r

Com essa fórmula, é possível obter a medida aproximada do comprimento de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 7 cm . Considerando π = 3 , 1 4 , temos:

C = 2 π r

C = 2 3 , 14 7 = 43 , 9 6

Portanto, a medida do comprimento dessa circunferência é, aproximadamente, 43,96 cm .

Questão 12. Determine em seu caderno a medida aproximada do comprimento de uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 6,8   cm .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

76. Em cada item, determine a medida do comprimento da circunferência de centro O.

A. Ilustração de uma circunferência de centro O. Está indicado que a medida do seu raio é de 3 centímetros.
B. Ilustração de uma circunferência de centro O. Está indicado que a medida do seu raio é de 7 centímetros
C. Ilustração de uma circunferência de centro O. Está indicado que a medida do seu diâmetro é de 7 centímetros
D. Ilustração de uma circunferência de centro O. Está indicado que a medida do seu diâmetro é de11 centímetros

77. Rafael mediu o comprimento do diâmetro da roda do carro de seu pai para um experimento na aula de Ciências e encontrou 45 , 26   cm .

a) Qual é, em metro, a medida da distância aproximada percorrida pelo carro quando a roda dá 1 volta completa?

b) Quantas voltas aproximadamente dá a roda do carro em um percurso de 1   km ?

78. Determine a medida do comprimento do raio de uma circunferência cuja medida do comprimento é 84 , 78   cm .

79. Qual é a medida do comprimento aproximado da linha vermelha da figura a seguir?

Ilustração de uma figura semelhante a um círculo, de centro O e medida do raio de 2 metros, com a parte superior a direita, equivalente a um quarto do círculo, vazada. Há uma linha vermelha contornando toda a figura. Há a indicação de ângulo reto no menor ângulo em O.

80. (Enem-2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3   m e 4   m , respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas.

Ilustração de duas circunferências, ambas com centro no ponto O, uma dentro da outra, com 8 pontos cada uma, distribuídos em igual distância e alinhados. O ponto que está no topo do círculo maior é denotado por C 1. O ponto que está no extremo direito do círculo menor é denotado por C 2.

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C 1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C 2 , em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para π .

a) 55,5

b) 60,0

c) 175,5

d) 235,5

e) 240,0

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Desenhe em uma folha de papel avulsa um polígono convexo que tenha as quantidades de diagonais a seguir. Depois, classifique-o de acordo com a quantidade de lados.

a) 9 diagonais.

b) 20 diagonais.

c) 5 diagonais.

2. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de:

a) 7 lados.

b) 10 lados.

c) 12 lados.

d) 8 lados.

3. Qual é a medida de cada ângulo interno de um:

a) pentágono regular?

b) octógono regular?

c) decágono regular?

d) dodecágono regular?

4. Quantos lados tem o polígono convexo em que de cada vértice partem 7 diagonais?

5. Quantas diagonais ao todo partem do vértice comum aos três hexágonos a seguir?

Ilustração de três hexágonos iguais, dois à esquerda, um acima e outro abaixo, e um à direita. Cada hexágono tem dois lados compartilhados, cada um dos lados com um lado dos outros hexágonos.

6. Ícone desafio. Qual é o polígono regular cuja medida de cada ângulo interno é:

a) 162 ° ?

b) 60 ° ?

c) 120 ° ?

7. Entre os polígonos regulares a seguir, escreva em uma folha de papel avulsa quais têm a soma das medidas dos ângulos internos maior do que 540 ° .

A. Ilustração de um polígono regular de 6 lados.
B. Ilustração de um triângulo equilátero
C. Ilustração de um polígono regular de 7 lados.
D. Ilustração de um polígono regular de 5 lados.

8. Determine a ˆ .

Ilustração de um polígono de 6 lados. Seus ângulos externos, em sentido horário, medem: a, 53 graus, 58 graus, 61 graus, 36 graus e 98 graus.

9. Ícone desafio. (OBM-2007) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y , em graus?

Ilustração de dois quadrados sobrepostos, um maior e outro menor à esquerda. Eles se cruzam eu dois lados distintos, formando dois ângulos entre os lados de cruzamento, um de medida x, à esquerda, e outro de medida y, abaixo.

a) 270

b) 300

c) 330

d) 360

e) 390

Atenção!

Para resolver esta atividade, utilize o conceito de ângulos opostos pelo vértice.

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10. (Obmep-2005) O triângulo A B C é isósceles de base B C e o ângulo B A ˆ C mede 30 ° . O triângulo B C D é isósceles de base B D .

Ilustração de dois triângulos A B C e A C D com o lado C D em comum, o. No triângulo A D C, o ângulo do vértice A é diferente do ângulo do vértice C.

Determine a medida do ângulo D C ˆ A .

a) 45 °

b) 50 °

c) 60 °

d) 75 °

e) 90 °

11. Considere o losango A B C D e suas diagonais.

Ilustração de um losango A B C D com suas diagonais traçadas, uma horizontal e outra vertical. O ângulo à direita, acima, entre as diagonais, mede y. O ângulo entre à diagonal horizontal e o lado com uma extremidade no vértice D, posicionado à direita, abaixo, mede 31 graus.

a) Qual é o valor de y ˆ , em grau?

b) Qual é a medida de cada ângulo interno desse losango?

12. (Obmep-2007) Juliana tem 8 cartões de papelão, retangulares e iguais. Se ela enfileirar todos os cartões juntando apenas lados de mesma medida, a maior fila que ela poderá obter terá comprimento 176   cm e a menor terá comprimento 96   cm .

Qual é o perímetro de cada cartão?

a) 54   cm

b) 68   cm

c) 76   cm

d) 96   cm

e) 80   cm

13. (Obmep-2006) Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual a medida do ângulo x ?

Ilustração de uma tira de papel retangular com uma linha pontilhada desenhada a cruzando de maneira oblíqua, formando um ângulo de 50 graus com o lado inferior. Abaixo está a mesma tira de papel, mas com sua parte da esquerda dobrada para cima, sobre a linha pontilhada, formando um ângulo de medida x com o lado interno da folha de baixo.

a) 30 °

b) 50 °

c) 80 °

d) 130 °

e) 100 °

14. Como se chama qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência?

15. Determine o valor de x indicado na figura, sabendo que A B = 3   cm e que A , B e C são os centros das circunferências.

Ilustração de uma circunferência com centro no ponto C e medida do diâmetro x. Seu diâmetro está traçado verticalmente e, ao lado esquerdo dele, há um ponto A, no meio da distância entre o extremo esquerdo da circunferência e o ponto C, e um ponto B, no meio da distância entre os pontos A e C. Há duas circunferências, uma com centro em A, passando por C e tocando a circunferência maior à esquerda em um único ponto, e uma circunferência menor com centro em B, passando por A e C.

16. A medida do comprimento do raio de uma roda-gigante é 9 , 5   m . Uma pessoa que deu 8 voltas completas percorreu quantos metros, aproximadamente?