Resoluções

O que eu já sei?

1. a) O mosaico é formado por triângulos de cor verde e hexágonos de cor rosa.

b) Comparando a imagem apresentada com o mosaico, podemos identificar que o ângulo destacado em verde tem a mesma medida do ângulo interno de um triângulo equilátero, que mede $60°$.

c) Sugestão de resposta:

Como podemos verificar no mosaico, o ângulo externo do polígono de cor rosa coincide com o ângulo interno do polígono de cor verde. Portanto, os ângulos têm mesma medida.

2. Para construir um triângulo, é necessário que a medida de qualquer lado seja menor do que a medida da soma dos outros dois.

a) Não é possível construir um triângulo com as medidas indicadas, pois $5>2+2$.

b) É possível construir um triângulo com as medidas indicadas, pois $6<5+3$, $5<3+6$ e $3<6+5$.

c) É possível construir um triângulo com as medidas indicadas, pois $6<8+10$, $8<10+6$ e $10<6+8$.

d) Não é possível construir um triângulo com as medidas indicadas, pois $15>9+5$.

3. Resposta no final da seção Resoluções.

4. a) Como $\frac{1}{5}$ dos 60 lápis são em tons de verde, calculamos $\frac{1}{5}$ de 60, ou seja, $\frac{1}{5}\cdot 60=\frac{1\cdot 60}{5}=12$. Portanto, Eduarda tem 12 lápis em tons de verde.

b) Como metade de $\frac{1}{5}$ dos 60 lápis são de tons claros de verde, a fração do total que representa a quantidade de lápis de tons claros de verde é dada por $\frac{1}{5}:2=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{10}$. Calculando $\frac{1}{10}$ de 60, obtemos $\frac{1}{10}\cdot 60=\frac{60}{10}=6$. Portanto, há 6 lápis de tons claros de verde.

5. Resposta no final da seção Resoluções.

6. De acordo com os dados, temos:

Quantidade de água necessária para produção de tinta

Produção de tinta (em $\mathbf{\text{L}}$)	Quantidade de água (em $\mathbf{\text{mL}}$)
2	60
4,5	x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, de maneira prática, podemos multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra.

$\frac{2}{4,5}=\frac{60}{x}$

$2\cdot x=60\cdot 4,5$

$2x=270$

$x=135$

Assim, para preparar 4,5 litros de tinta, são necessários 135 mililitros de água.

7. De acordo com as informações do enunciado, o carro custava R$ 32.500,00 no mês de janeiro. Para determinar o valor do carro em fevereiro, devemos calcular qual foi o desconto, em reais, correspondente a 5%. Sendo $5\%=0,05$, calculamos:

$0,05\cdot 32.500=1.625$

$32.500-1.625=30.875$

Portanto, o carro passou a custar R$ 30.875,00 no mês de fevereiro.

Com o acréscimo de 10% sobre o preço de fevereiro, o carro teve um aumento de 10% sobre R$ 30.875,00. Sabendo que $10\%=0,1$ e realizando os cálculos, obtemos:

$0,1\cdot 30.875=3.087,5$

$30.875+3.087,5=33.962,5$

Portanto, o carro passou a custar R$ 33.962,50 no mês de março.

8. a) Usando a fórmula referente à medida do volume do cubo, devemos calcular a medida do volume interno de cada modelo de caixa.

A: $V=7\cdot 8\cdot 6,5=364$, ou seja, $364{\text{dm}}^3$.

B: $V=7,5\cdot 6,5\cdot 8=390$, ou seja, $390{\text{dm}}^3$.

C: $V=9\cdot 8\cdot 7=504$, ou seja, $504{\text{dm}}^3$.

D: $V=6\cdot 7,5\cdot 9=405$, ou seja, $405{\text{dm}}^3$.

E: $V=8,5\cdot 9\cdot 8=612$, ou seja, $612{\text{dm}}^3$.

b) Sim, os modelos C e E têm medida de volume interno maior do que $500{\text{dm}}^3$.

9. O triângulo A é escaleno, pois as medidas de comprimento dos seus lados são diferentes. Calculando a medida da área do triângulo, obtemos:

$A=\frac{4,5\cdot 3,5}{2}=7,875$

Portanto, a área do triângulo A mede $7,875{\text{cm}}^2$.

O triângulo B é isósceles, pois dois de seus lados têm mesma medida de comprimento. Calculando a medida da área do triângulo, obtemos:

$A=\frac{4,5\cdot 2}{2}=4,5$

Portanto, a área do triângulo B mede $4,5{\text{cm}}^2$.

10. A. $A=4\cdot 4=16$. Portanto, a área do quadrilátero A mede $16{\text{cm}}^2$.

B. $A=3\cdot 6=18$. Portanto, a área do quadrilátero B mede $18{\text{cm}}^2$.

C. $A=4\cdot 2=8$. Portanto, a área do quadrilátero C mede $8{\text{cm}}^2$.

D. $A=5\cdot 3=15$. Portanto, a área do quadrilátero D mede $15{\text{cm}}^2$.

11. a) Acrescentando um palito a mais em cada lado do quadrado da 3ª figura, a 4ª figura será um quadrado com 4 palitos em cada lado, pois $4+4+4+4=16$. Portanto, essa figura terá 16 palitos ao todo.

b) Cada figura tem quatro lados e a mesma quantidade de palitos em cada lado. Assim, a quantidade total de palitos em cada uma delas é dada pelo produto obtido da multiplicação entre a quantidade de lados e a quantidade de palitos de cada lado.

1ª figura: $4\cdot 1=4$, ou seja, 4 palitos;

2ª figura: $4\cdot 2=8$, ou seja, 8 palitos;

3ª figura: $4\cdot 3=12$, ou seja, 12 palitos;

4ª figura: $4\cdot 4=16$, ou seja, 16 palitos;

n-ésima figura: $4\cdot n=4n$, ou seja, $4n$ palitos.

c) A sétima figura terá 28 palitos, pois $4\cdot 7=28$, e a décima quinta figura terá 60 palitos, pois $4\cdot 15=60$.

12. a) Calculando a média das medidas de altura dos sete jogadores, obtemos:

$\frac{1,70+1,81+1,85+1,74+1,86+1,78+1,87}{7}=1,80142857$

Portanto, a média é aproximadamente $1,80\text{m}$.

b) A amplitude é dada pela diferença entre a maior e a menor medida de altura. Assim:

$1,87-1,70=0,17$

Portanto, a amplitude do conjunto de dados é $0,17\text{m}$.

13. Como as balanças estão em equilíbrio, a medida de massa em cada prato é a mesma.

Considerando A a medida de massa da caixa A, temos:

$A+A+3=5+5+3$

$2A+3=13$

$2A+3-3=13-3$

$2A=10$

$\frac{2A}{2}=\frac{10}{2}$

$A=5$

Portanto, a massa da caixa A mede $\text{5 kg}$.

Considerando B a medida de massa da caixa B, temos:

$B+B+B+B+3=B+3+3+3$

$4B+3=B+9$

$4B+3-B=B+9-B$

$3B+3=9$

$3B+3-3=9-3$

$3B=6$

$\frac{3B}{3}=\frac{6}{3}$

$B=2$

Portanto, a massa da caixa B mede $\text{2 kg}$.

14. Utilizando o módulo, vamos calcular a diferença entre as medidas de temperatura.

$\left|-42-\left(35\right)\right|=\left|-77\right|=77$

Portanto, a diferença entre as medidas de temperatura é $\text{77}°\text{C}$.

15. a) As chances de Sofia não são iguais, pois há mais fichas azuis do que fichas roxas. Por esse motivo, a chance de sair uma ficha azul é maior.

b) Das 20 fichas, há 10 com números pares. Então, a probabilidade de retirar uma ficha com um número par é $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0,5$, ou seja, 50%.

Das 20 fichas, há 15 que apresentam números menores do que 22. Então, a probabilidade de retirar uma ficha com número menor do que 22 é $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75$, ou seja, 75%.

Unidade 1

Potenciação e radiciação

Questão 1. Escrevendo cada um dos termos da sequência como potências de base $-2$, obtemos:

$-8={\left(-2\right)}^3$

$4={\left(-2\right)}^2$

$-2={\left(-2\right)}^1$

$1={\left(-2\right)}^0$

$-\frac{1}{2}={\left(-2\right)}^{-1}$

$\frac{1}{4}={\left(-2\right)}^{-2}$

$-\frac{1}{8}={\left(-2\right)}^{-3}$

$\frac{1}{16}={\left(-2\right)}^{-4}$

Atividades

1. a) A potência quatro elevado ao quadrado escrita com algarismos é $4^2$. Efetuando os cálculos, obtemos $4^2=4\cdot 4=16$.

b) A potência dez elevado ao cubo escrita com algarismos é ${10}^3$. Efetuando os cálculos, obtemos ${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1.000$.

c) A potência seis elevado à quarta potência escrita com algarismos é $6^4$. Efetuando os cálculos, obtemos $6^4=6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=1.296$.

d) A potência três elevado ao cubo escrita com algarismos é $3^3$. Efetuando os cálculos, obtemos $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$.

e) A potência cinco elevado ao quadrado escrita com algarismos é $5^2$. Efetuando os cálculos, obtemos $5^2=5\cdot 5=25$.

f) A potência dois elevado à quarta potência escrita com algarismos é $2^4$. Efetuando os cálculos, obtemos $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$.

2. a) $6^2=6\cdot 6=36$

b) $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$

c) Como todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1, segue que ${15}^0=1$.

d) $7^3=7\cdot 7\cdot 7=343$

e) $8^4=8\cdot 8\cdot 8\cdot 8=4.096$

f) $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$

g) ${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10.000$

h) ${27}^1=27$

i) $2^{10}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=1.024$

j) Como todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1, segue que ${42}^0=1$.

k) $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$

l) ${75}^1=75$

m) Como todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1, segue que ${108}^0=1$.

n) ${100}^2=100\cdot 100=10.000$

o) ${859}^1=859$

p) Como todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1, segue que ${1.057}^0=1$.

3. A. Considerando a quantidade de cubos em cada dimensão da pilha, temos:

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

Portanto, a pilha tem 8 cubos.

B. Considerando a quantidade de cubos em cada dimensão da pilha, temos:

$3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$

Portanto, a pilha tem 27 cubos.

C. Considerando a quantidade de cubos em cada dimensão da pilha, temos:

$4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$

Portanto, a pilha tem 64 cubos.

4. As respostas dos itens A, B e C da atividade anterior foram, respectivamente:

$2^3$, $3^3$, $4^3$.

Continuando essa sequência de potências de mesmo expoente com os quatro próximos termos, teremos:

$5^3$, $6^3$, $7^3$, $8^3$.

Desse modo, a pilha com 5 cubinhos em cada dimensão terá 125 cubinhos no total, pois $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$.

A pilha com 6 cubinhos em cada dimensão terá 216 cubinhos no total, pois $6^3=6\cdot 6\cdot 6=216$.

A pilha com 7 cubinhos em cada dimensão terá 343 cubinhos no total, pois $7^3=7\cdot 7\cdot 7=343$.

A pilha com 8 cubinhos em cada dimensão terá 512 cubinhos no total, pois $8^3=8\cdot 8\cdot 8=512$.

5. Efetuando os cálculos, obtemos:

a) $4^{-2}=\frac{1}{16}$

b) $5^{-1}=\frac{1}{5}$

c) $7^{-3}=\frac{1}{343}$

d) ${\left(-4\right)}^{-3}=-\frac{1}{64}$

e) ${\left(-2\right)}^{-1}=-\frac{1}{2}$

f) ${\left(-3\right)}^{-2}=\frac{1}{9}$

g) ${\left(4\right)}^{-4}=\frac{1}{256}$

h) ${\left(-2\right)}^{-5}=-\frac{1}{32}$

6. a) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=3\cdot 3=9$

b) Nesse item, podemos, primeiro, simplificar a fração que está na base da potência e, depois, efetuar os cálculos.

${\left(\frac{2}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=2\cdot 2=4$

Outra maneira de resolver esse item é calcular primeiro a potência e, depois, simplificar o resultado.

${\left(\frac{2}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{2}\right)}^2=\frac{4}{2}\cdot \frac{4}{2}=\frac{16}{4}=4$

c) ${\left(\frac{4}{7}\right)}^{-1}={\left(\frac{7}{4}\right)}^1=\frac{7}{4}$

d) ${\left(\frac{5}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{27}{125}$

7. Substituindo $a$ por $2^{-3}$ e $b$ por $3^{-2}$ em cada item e efetuando os cálculos, temos:

a) $a+b=2^{-3}+3^{-2}=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\frac{9}{72}+\frac{8}{72}=\frac{17}{72}$

b) $a-b=2^{-3}-3^{-2}=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^2}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{9}{72}-\frac{8}{72}=\frac{1}{72}$

c) ${\left(a\cdot b\right)}^2={\left(2^{-3}\cdot 3^{-2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2^3}\cdot \frac{1}{3^2}\right)}^2={\left(\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{9}\right)}^2={\left(\frac{1}{72}\right)}^2=$

$=\frac{1}{72}\cdot \frac{1}{72}=\frac{1}{5.184}$

d) $a:b=2^{-3}:3^{-2}=\frac{1}{2^3}:\frac{1}{3^2}=\frac{1}{8}:\frac{1}{9}=\frac{1}{8}\cdot \frac{9}{1}=\frac{9}{8}$

e) $a\cdot b=2^{-3}\cdot 3^{-2}=\frac{1}{2^3}\cdot \frac{1}{3^2}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{72}$

8. a) Como $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ e $\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $<$, obtendo $2^{-3}<\frac{1}{4}$.

b) Como $5^{-1}=\frac{1}{5}$ , $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$ e $\frac{1}{5}>\frac{1}{25}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $>$, obtendo $5^{-1}>5^{-2}$.

c) Como $9^{-9}=\frac{1}{9^9}=\frac{1}{387.420.489}$, $9^{-8}=\frac{1}{9^8}=\frac{1}{43.046.721}$ e $\frac{1}{387.420.489}<\frac{1}{43.046.721}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $<$, obtendo $9^{-9}<9^{-8}$.

d) Como ${\left(-4\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^3}=-\frac{1}{64}$, ${\left(-3\right)}^{-4}=\frac{1}{{\left(-3\right)}^4}=\frac{1}{81}$ e $-\frac{1}{64}<\frac{1}{81}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $<$, obtendo ${\left(-4\right)}^{-3}<{\left(-3\right)}^{-4}$.

e) Como ${10}^{-5}=\frac{1}{{10}^5}=\frac{1}{100.000}$, $9^{-5}=\frac{1}{9^5}=\frac{1}{59.049}$ e $\frac{1}{100.000}<\frac{1}{59.049}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $<$, obtendo ${10}^{-5}<9^{-5}$.

f) Como ${\left(-4\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^2}=\frac{1}{16}$ e $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$, substituímos o $\text{█}$ pelo símbolo $=$, obtendo ${\left(-4\right)}^{-2}=4^{-2}$.

9. Como ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-4}={\left(\frac{8}{1}\right)}^4=8^4$, verificamos que os itens A e 2 são potências equivalentes.

Como ${\left(\frac{2}{8}\right)}^{-2}={\left(\frac{8}{2}\right)}^2$, verificamos que os itens B e 1 são potências equivalentes.

Como ${\left(\frac{8}{2}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{8}\right)}^3$, verificamos que os itens C e 4 são potências equivalentes.

Como $8^{-3}=\frac{1}{8^3}={\left(\frac{1}{8}\right)}^3$, verificamos que os itens D e 3 são potências equivalentes.

Portanto, a correspondência correta é A-2; B-1; C-4; D-3.

10. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

As caixas de determinado produto eram armazenadas no depósito de uma empresa em pilhas com 10 unidades nas suas três dimensões. Para melhor armazenamento dessas caixas, um funcionário dividiu essa pilha de caixas em pilhas menores, com 5 caixas nas suas 3 dimensões. Quantas pilhas com 5 caixas nas suas três dimensões foram feitas?

Resposta: 8 pilhas de caixas.

11. a) $2^2\cdot 2^7=2^{2+7}=2^9=512$

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4={\left(\frac{1}{3}\right)}^{3+4}={\left(\frac{1}{3}\right)}^7=\frac{1}{2.187}$

c) ${\left(-3\right)}^4\cdot {\left(-3\right)}^2={\left(-3\right)}^{4+2}={\left(-3\right)}^6=729$

d) $5^6:5^7=5^{6-7}=5^{-1}=\frac{1}{5}$

e) ${13}^7:{13}^3={13}^{7-3}={13}^4=28.561$

f) ${\left(-2^3\right)}^5=-2^{3\cdot 5}={\left(-2\right)}^{15}=-32.768$

g) ${\left({\left(-4\right)}^3\right)}^2={\left(-4\right)}^{3\cdot 2}={\left(-4\right)}^6=4.096$

h) ${\left(7\cdot 2\right)}^3={\left(14\right)}^3=2.744$

12. a) ${\left(-3\right)}^3\cdot {\left(-3\right)}^2={\left(-3\right)}^{3+2}={\left(-3\right)}^5=-243$

b) $9^3:9^2=9^{3-2}=9^1=9$

c) ${\left(\frac{-5}{2}\right)}^2=\frac{{\left(-5\right)}^2}{2^2}=\frac{25}{4}=6,25$

d) $\frac{{\left(-5\right)}^2}{2}=\frac{25}{2}=12,5$

e) $2\cdot 4^3=2\cdot 64=128$

f) ${\left(2^2\right)}^3=2^{2\cdot 3}=2^6=64$

13. O esquema apresentado na atividade é um quadrado mágico, cuja constante mágica $\left(2^6\right)$ foi informada no enunciado. Desse modo, para obter o valor de cada letra, devemos igualar o produto das linhas, colunas ou diagonais à constante mágica correspondente.

Para o cálculo da letra A, efetuamos:

$2^5\cdot A\cdot 2^3=2^6$

$2^8\cdot A=2^6$

$\frac{2^8\cdot A}{2^8}=\frac{2^6}{2^8}$

$A=2^{6-8}$

$A=2^{-2}$

Para o cálculo da letra B, efetuamos:

$2^5\cdot B\cdot 2^1=2^6$

$2^6\cdot B=2^6$

$\frac{2^6\cdot B}{2^6}=\frac{2^6}{2^6}$

$B=2^{6-6}$

$B=2^0$

Para o cálculo da letra C, vamos usar o resultado anterior, pois $B=2^0$. Assim, efetuamos:

$B\cdot 2^2\cdot C=2^6$

$2^0\cdot 2^2\cdot C=2^6$

$\frac{2^2\cdot C}{2^2}=\frac{2^6}{2^2}$

$C=2^{6-2}$

$C=2^4$

Para o cálculo da letra D, vamos usar o resultado obtido no primeiro cálculo, pois $A=2^{-2}$. Assim, efetuamos:

$A\cdot 2^2\cdot D=2^6$

$2^{-2}\cdot 2^2\cdot D=2^6$

$2^{2-2}\cdot D=2^6$

Como $2^0=1$, concluímos que $D=2^6$.

Para o cálculo da letra E, efetuamos:

$2^5\cdot 2^2\cdot E=2^6$

$2^7\cdot E=2^6$

$\frac{2^7\cdot E}{2^7}=\frac{2^6}{2^7}$

$E=2^{6-7}$

$E=2^{-1}$

Portanto, o esquema completo ficará da seguinte maneira.

14. Efetuando os cálculos, temos:

a) $2^2\cdot 2^6+3^4=2^8+3^4=256+81=337$

b) $4^8:4^4-3^3:3=4^4-3^2=256-9=247$

c) ${\left(4^2\right)}^2+3\cdot 3^2-20=4^4+3^3-20$ $=256+27-20=263$

d) ${\left({13}^4\right)}^3:{13}^{10}-{\left(8\cdot 3\right)}^2={13}^{12}:{13}^{10}-{24}^2=$

$={13}^2-576=169-576=-407$

e) $\frac{{\left(2^2\cdot 2^5\right)}^3}{2^{16}}={\frac{\left(2^7\right)}{2^{16}}}^3=\frac{2^{21}}{2^{16}}=2^5=32$

f) $\frac{6^9:6^2}{{\left(6^2\cdot 6\right)}^3}=\frac{6^7}{{\left(6^3\right)}^3}=\frac{6^7}{6^9}=6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$

15. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Resolva a expressão numérica $\frac{{\left(2^2\cdot 2^5\right)}^{-1}}{2^{-5}}$.

Resposta: $\frac{1}{4}$.

16. a) $3^4\cdot 5^4={\left(3\cdot 5\right)}^4={15}^4$

b) $4^2\cdot 5^2={\left(4\cdot 5\right)}^2={20}^2$

c) ${40}^3:5^3={\left(40:5\right)}^3=8^3$

d) ${60}^8:{12}^8={\left(60:12\right)}^8=5^8$

e) $6^5\cdot 7^5={\left(6\cdot 7\right)}^5={42}^5$

f) $7^7\cdot 8^7={\left(7\cdot 8\right)}^7={56}^7$

g) ${100}^6:{10}^6={(100:10)}^6={10}^6$

h) ${150}^{10}:{50}^{10}={\left(150:50\right)}^{10}=3^{10}$

17. No produto de duas potências de mesma base, adicionam-se os expoentes e mantém-se a base. Desse modo, obtemos $a^n\cdot a^n=a^{n+n}=a^{2n}$. Portanto, o produto $a^n\cdot a^n$ equivale ao item C.

18. Ao efetuarmos o produto de duas potências de mesma base, adicionamos os expoentes e mantemos a base. Desse modo, temos:

$a^{n+3}\cdot a^{n-1}\cdot a^{1-2n}=a^{n+3+n-1+1-2n}=a^3$

19. a) ${10}^2\cdot {10}^5={10}^{2+5}={10}^7$

b) ${10}^5:{10}^1={10}^{5-1}={10}^4$

c) ${10}^1\cdot {10}^6={10}^{1+6}={10}^7$

d) ${10}^8:{10}^7={10}^{8-7}={10}^1$

e) ${10}^2\cdot {10}^2={10}^{2+2}={10}^4$

f) ${10}^4:{10}^4={10}^{4-4}={10}^0$

20. a) $2\cdot {10}^4=2\cdot 10.000=20.000$

b) $1,5\cdot {10}^3=1,5\cdot 1.000=1.500$

c) $1\cdot {10}^{-2}=1\cdot 0,01=0,01$

d) $4\cdot {10}^1=4\cdot 10=40$

e) $3\cdot {10}^{-3}=3\cdot 0,001=0,003$

f) $5,6\cdot {10}^0=5,6\cdot 1=5,6$

g) ${10}^{-4}=0,0001$

h) $7\cdot {10}^{-1}=7\cdot 0,1=0,7$

i) $3,8\cdot {10}^2=3,8\cdot 100=380$

21. Para calcular a população aproximada da Região Sul do Brasil em 2021, basta adicionarmos a população aproximada de cada estado dessa região.

$11.597.000+7.338.000+11.466.000=30.401.000$

Com isso, verificamos que em 2021 havia aproximadamente 30.401.000 habitantes na Região Sul. Sendo assim, em notação científica, temos:

$30.401.000=3,0401\cdot 10.000.000=3,0401\cdot {10}^7$

Portanto, havia aproximadamente $3,0401\cdot {10}^7$ habitantes na Região Sul em 2021.

22. a) Resposta no final da seção Resoluções.

b) $0,0003=3\cdot 0,0001=3\cdot {10}^{-4}$

Portanto, em notação científica, alguns vírus têm espessura aproximada de $3\cdot {10}^{-4}\text{mm}$.

c) $5.400.000=5,4\cdot 1.000.000=5,4\cdot {10}^6$

$4.800.000=4,8\cdot 1.000.000=4,8\cdot {10}^6$

Portanto, um homem tem cerca de $5,4\cdot {10}^6$ glóbulos vermelhos em $1{\text{mm}}^3$ de sangue e uma mulher tem cerca de $4,8\cdot {10}^6$ glóbulos vermelhos nessa mesma quantidade de sangue.

d) $300.000=3\cdot 100.000=3\cdot {10}^5$

Portanto, no vácuo, a luz viaja a uma velocidade de $3\cdot {10}^5\text{km/s}$.

Questão 2. Observe que ${70}^2=4.900$ e ${80}^2=6.400$. Como 5.184 é maior do que 4.900 e menor do que 6.400, sua raiz quadrada está entre 60 e 70. Assim, vamos calcular os quadrados dos números naturais entre 60 e 70 até obtermos 5.184 como resultado.

${71}^2=5.041$

${72}^2=5.184$

Portanto, concluímos que $\sqrt{5.184}=72$.

Questão 3. Usando a decomposição em fatores primos, temos:

Assim:

$5.184=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=$

$=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 3^2={\left(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\right)}^2={72}^2$

Logo, $\sqrt{5.184}=72$, que é o mesmo resultado obtido na questão 2.

Atividades

23. a) Decompondo o número 121 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 2, obtemos:

$121=11\cdot 11={11}^2$

Portanto, $\sqrt{121}=11$.

b) Decompondo o número 512 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 2, obtemos:

$512=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=$

$=2^3\cdot 2^3\cdot 2^3={\left(2\cdot 2\cdot 2\right)}^3=8^3$

Portanto, $\sqrt[3]{512}=8$.

c) De acordo com as propriedades de radiciação, podemos escrever $\sqrt{\frac{144}{121}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{121}}$. Pelo item a, sabemos que $\sqrt{121}=11$. Sendo assim, precisamos calcular $\sqrt{144}$. Para isso, vamos decompor o número 144 em fatores primos e reescrevê-lo como potência de expoente 2.

$144=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^2\cdot 2^2\cdot 3^2={\left(2\cdot 2\cdot 3\right)}^2={12}^2$

Então, $\sqrt{144}=12$. Portanto, $\sqrt{\frac{144}{121}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{121}}=\frac{12}{11}$.

d) Decompondo o número 729 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 2, obtemos:

$729=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^3\cdot 3^3={\left(3\cdot 3\right)}^3=9^3$

Portanto, $\sqrt[3]{729}=9$.

e) De acordo com as propriedades de radiciação, podemos escrever $\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{4}}$. Além disso, $\sqrt{4}=2$, pois $2^2=4$. Sendo assim, precisamos calcular $\sqrt{625}$ . Para isso, vamos decompor o número 625 em fatores primos e reescrevê-lo como potência de expoente 2.

$625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^2\cdot 5^2={\left(5\cdot 5\right)}^2={25}^2$

Então, $\sqrt{625}=25$. Portanto, $\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{4}}=\frac{25}{2}$.

f) Decompondo o número 216 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 2, obtemos:

$216=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^3={\left(2\cdot 3\right)}^3=6^3$

Portanto, $\sqrt[3]{216}=6$.

24. A medida de área $A$ de um quadrado cujos lados têm medida de comprimento $\mathrm{\ell }$ é dada por $A={\mathrm{\ell }}^2$. Assim, conhecendo a medida de área $A$, o comprimento dos lados mede $\mathrm{\ell }=\sqrt{A}$. Desse modo, em cada item, temos:

A. Um quadrado com medida de área igual a $25{\text{cm}}^2$ tem lados com medida de comprimento igual a $5\text{cm}$, pois $\sqrt{25}=5$.

B. Um quadrado com medida de área igual a $49{\text{cm}}^2$ tem lados com medida de comprimento igual a $7\text{cm}$, pois $\sqrt{49}=7$.

C. Um quadrado com medida de área igual a $64{\text{cm}}^2$ tem lados com medida de comprimento igual a $8\text{cm}$, pois $\sqrt{64}=8$.

D. Um quadrado com medida de área igual a $81{\text{cm}}^2$ tem lados com medida de comprimento igual a $9\text{cm}$, pois $\sqrt{81}=9$.

25. A medida do volume $V$ de um cubo cujas arestas têm medida de comprimento $a$ é dada por $V=a^3$. Assim, conhecendo a medida do volume $V$, a medida de comprimento das arestas será $a=\sqrt[3]{V}$. Desse modo, em cada item, temos:

a) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{8 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{2 cm}$, pois $\sqrt[3]{8}=2$.

b) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{27 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{3 cm}$, pois $\sqrt[3]{27}=3$.

c) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{64 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{4 cm}$, pois $\sqrt[3]{64}=4$.

d) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{125 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{5 cm}$, pois $\sqrt[3]{125}=5$.

e) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{216 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{6 cm}$, pois $\sqrt[3]{216}=6$.

f) Um cubo com medida de volume igual a ${\text{343 cm}}^3$ tem arestas com medida de comprimento igual a $\text{7 cm}$, pois $\sqrt[3]{343}=7$.

26. Um tampo de mesa em formato quadrado com $8.100{\text{cm}}^2$ de medida de área tem lados com medida de comprimento igual a $90\text{cm}$, pois $\sqrt{8.100}=90$.

Um tampo de mesa em formato quadrado com $14.400{\text{cm}}^2$ de medida de área tem lados com medida de comprimento igual a $120\text{cm}$, pois $\sqrt{14.400}=120$.

Assim, a alternativa correta é a d, pois é a única que apresenta uma medida do comprimento compreendida entre $90\text{cm}$ e $120\text{cm}$.

27. a) O resultado de $\sqrt{290}$ com aproximação até os centésimos é 17,02. Portanto, o número 17,03 está entre 17 e 18.

b) O resultado de $\sqrt{960}$ com aproximação até os centésimos é 30,98. Portanto, o número 30,98 está entre 30 e 31.

28. a) Decompondo o número 4.096 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$4.096=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=$

$=2^3\cdot 2^3\cdot 2^3\cdot 2^3={\left(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\right)}^3={16}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{4.096}=16$.

b) Decompondo 39.304 em fatores primos e reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$39.304=2\cdot 2\cdot 2\cdot 17\cdot 17\cdot 17=$

$=2^3\cdot {17}^3={\left(2\cdot 17\right)}^3={34}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{39.304}=34$.

c) Decompondo o número 15.625 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$15.625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^3\cdot 5^3={\left(5\cdot 5\right)}^3={25}^3$

Portanto, $\sqrt{15.625}={25}^3$.

d) Decompondo o número 4.913 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$4.913=17\cdot 17\cdot 17={17}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{4.913}=17$.

e) Decompondo o número 64.000 em fatores primos e reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$64.000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=$

$=2^3\cdot 2^3\cdot 2^3\cdot 5^3={\left(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\right)}^3={40}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{64.000}=40$.

f) Decompondo o número 8.000 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$8.000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=$

$=2^3\cdot 2^3\cdot 5^3={\left(2\cdot 2\cdot 5\right)}^3={20}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{8.000}=20$.

g) Decompondo o número 59.319 em fatores primos e, em seguida, reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$59.319=3\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 13\cdot 13=$

$=3^3\cdot {13}^3={\left(3\cdot 13\right)}^3={39}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{59.319}=39$.

h) Decompondo o número 46.656 em fatores primos e reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$46.656=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=$

$=2^3\cdot 2^3\cdot 3^3\cdot 3^3={\left(2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\right)}^3={36}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{46.656}=36$.

i) Decompondo o número 125.000 em fatores primos e reescrevendo-o como potência de expoente 3, obtemos:

$125.000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=$

$=2^3\cdot 5^3\cdot 5^3={\left(2\cdot 5\cdot 5\right)}^3={50}^3$

Portanto, $\sqrt[3]{125.000}=50$.

29. a) $\sqrt{2,56}=\sqrt{\frac{256}{100}}=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}}=\frac{16}{10}=1,6$

b) $\sqrt{6,25}=\sqrt{\frac{625}{100}}=\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{100}}=\frac{25}{10}=2,5$

c) $\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{25}{100}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=0,5$

d) $\sqrt{0,01}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0,1$

30. a) O número 3 está entre 1 e 4, ou seja, entre $1^2$ e $2^2$. Assim, $\sqrt{3}$ está entre 1 e 2. Vamos calcular os quadrados dos números entre 1 e 2 que têm uma casa decimal até obter um número maior do que 3.

$1,1^2=1,21$

$1,2^2=1,44$

$1,3^2=1,69$

$1,4^2=1,96$

$1,5^2=2,25$

$1,6^2=2,56$

$1,7^2=2,89$

$1,8^2=3,24$

Como 2,89 está mais próximo de 3, verificamos que $\sqrt[]{3}\simeq 1,7$.

b) O número 12 está entre 9 e 16, ou seja, entre $3^2$ e $4^2$. Assim, $\sqrt{12}$ está entre 3 e 4. Vamos calcular os quadrados dos números entre 3 e 4 que têm uma casa decimal até obter um número maior do que 12.

$3,1^2=9,61$

$3,2^2=10,24$

$3,3^2=10,89$

$3,4^2=11,56$

$3,5^2=12,25$

Como 12,25 está mais próximo de 12, verificamos que $\sqrt{12}\simeq 3,5$.

c) O número 19 está entre 16 e 25, ou seja, entre $4^2$ e $5^2$. Assim, $\sqrt{19}$ está entre 4 e 5. Vamos calcular os quadrados dos números entre 4 e 5 que têm uma casa decimal até obter um número maior do que 19.

$4,1^2=16,81$

$4,2^2=17,64$

$4,3^2=18,49$

$4,4^2=19,36$

Como 19,36 está mais próximo de 19, verificamos que $\sqrt{19}\simeq 4,4$.

d) O número 23 está entre 16 e 25, ou seja, entre $4^2$ e $5^2$. Assim, $\sqrt{23}$ está entre 4 e 5. Vamos calcular os quadrados dos números entre 4 e 5 que têm uma casa decimal até obter um número maior do que 23. Como, no item anterior, já calculamos até 4,4, calcularemos de 4,5 em diante.

$4,5^2=20,25$

$4,6^2=21,16$

$4,7^2=22,09$

$4,8^2=23,04$

Como 23,04 está mais próximo de 23, verificamos que $\sqrt{23}\simeq 4,8$.

e) O número 31 está entre 25 e 36, ou seja, entre $5^2$ e $6^2$. Assim, $\sqrt{31}$ está entre 5 e 6. Vamos calcular os quadrados dos números entre 5 e 6 que têm uma casa decimal até obter um número maior do que 31.

$5,1^2=26,01$

$5,2^2=27,04$

$5,3^2=28,09$

$5,4^2=29,16$

$5,5^2=30,25$

$5,6^2=31,36$

Como 31,36 está mais próximo de 31, verificamos que $\sqrt{31}\simeq 5,6$.

31. a) O número 18 está entre 16 e 25, ou seja, entre $4^2$ e $5^2$. Assim, $\sqrt{18}$ está entre 4 e 5. Usando os cálculos feitos no item c da atividade anterior, verificamos que a raiz quadrada de 18 está entre 4,2 e 4,3. Então, vamos calcular os quadrados dos números entre 4,2 e 4,3 que têm duas casas decimais até obter um número maior do que 18.

$4,{21}^2=17,7241$

$4,{22}^2=17,8084$

$4,{23}^2=17,8929$

$4,{24}^2=17,9776$

$4,{25}^2=18,0625$

Como 17,9776 está mais próximo de 18, verificamos que $\sqrt{18}\simeq 4,24$.

b) O número 21 está entre 16 e 25, ou seja, entre $4^2$ e $5^2$. Assim, $\sqrt{21}$ está entre 4 e 5. Usando os cálculos feitos no item d da atividade anterior, verificamos que a raiz quadrada de 21 está entre 4,5 e 4,6. Então, vamos calcular os quadrados dos números entre 4,5 e 4,6 que têm duas casas decimais até obter um número maior do que 21.

$4,{51}^2=20,2401$

$4,{52}^2=20,4304$

$4,{53}^2=20,5209$

$4,{54}^2=20,6116$

$4,{55}^2=20,7025$

$4,{56}^2=20,7936$

$4,{57}^2=20,8849$

$4,{58}^2=20,9764$

$4,{59}^2=21,0681$

Como 20,9764 está mais próximo de 21, verificamos que $\sqrt{21}\simeq 4,58$.

c) O número 29 está entre 25 e 36, ou seja, entre $5^2$ e $6^2$. Assim, $\sqrt{29}$ está entre 5 e 6. Pelo item e da atividade anterior, verificamos que a raiz quadrada de 29 está entre 5,3 e 5,4. Então, vamos calcular os quadrados dos números entre 5,3 e 5,4 que têm duas casas decimais até obter um número maior do que 29.

$5,{31}^2=28,1961$

$5,{32}^2=28,3024$

$5,{33}^2=28,4089$

$5,{34}^2=28,5156$

$5,{35}^2=28,6225$

$5,{36}^2=28,7296$

$5,{37}^2=28,8369$

$5,{38}^2=28,9444$

$5,{39}^2=29,0521$

Como 29,0521 está mais próximo de 29, verificamos que $\sqrt{29}\simeq 5,39$.

d) O número 32 está entre 25 e 36, ou seja, entre $5^2$ e $6^2$. Assim, $\sqrt{32}$ está entre 5 e 6. Usando os cálculos feitos no item e da atividade anterior, verificamos que $5,6^2=31,36$. Continuando os cálculos, obtemos $5,7^2=32,39$. Logo, a raiz quadrada de 32 está entre 5,6 e 5,7. Então, vamos calcular os quadrados dos números entre 5,6 e 5,7 que têm duas casas decimais até obter um número maior do que 32.

$5,{61}^2=31,4721$

$5,{62}^2=31,5844$

$5,{63}^2=31,6969$

$5,{64}^2=31,8096$

$5,{65}^2=31,9225$

$5,{66}^2=32,0356$

Como 32,0356 está mais próximo de 32, verificamos que $\sqrt{32}\simeq 5,66$.

e) O número 35 está entre 25 e 36, ou seja, entre $5^2$ e $6^2$. Assim, $\sqrt{35}$ está entre 5 e 6. Usando os cálculos feitos no item d desta atividade, obtemos $5,7^2=32,39$. Continuando os cálculos, obtemos $5,8^2=33,64$ e $5,9^2=34,81$. Logo, a raiz quadrada de 35 está entre 5,9 e 6. Então, vamos calcular os quadrados dos números entre 5,9 e 6 que têm duas casas decimais até obter um número maior do que 35.

$5,{91}^2=34,9281$

$5,{92}^2=35,0464$

Como 35,0464 está mais próximo de 35, verificamos que $\sqrt{35}\simeq 5,92$.

32. a) O número 5 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9 e está mais próximo de 4 do que de 9. Assim, $\sqrt{5}$ está mais próximo de $\sqrt{4}=2$ e $\sqrt{5}\simeq 2$.

b) O número 23 está entre os quadrados perfeitos 16 e 25 e está mais próximo de 25 do que de 16. Assim, $\sqrt{23}$ está mais próximo de $\sqrt{25}=5$ e $\sqrt{23}\simeq 5$.

c) O número 50 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64 e está mais próximo de 49 do que de 64. Assim, $\sqrt{50}$ está mais próximo de $\sqrt{49}=7$ e $\sqrt{50}\simeq 7$.

d) O número 95 está entre os quadrados perfeitos 81 e 100 e está mais próximo de 100 do que de 81. Assim, $\sqrt{95}$ está mais próximo de $\sqrt{100}=10$ e $\sqrt{95}\simeq 10$.

33. a) O número 8 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9. Desse modo, $\sqrt{8}$ está entre $\sqrt{4}$ e $\sqrt{9}$. Portanto, $\sqrt{8}$ está entre 2 e 3.

b) O número 50 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64. Desse modo, $\sqrt{50}$ está entre $\sqrt{49}$ e $\sqrt{64}$. Portanto, $\sqrt{50}$ está entre 7 e 8.

c) O número 90 está entre os quadrados perfeitos 81 e 100. Desse modo, $\sqrt{90}$ está entre $\sqrt{81}$ e $\sqrt{100}$. Portanto, $\sqrt{90}$ está entre 9 e 10.

d) O número 200 está entre os quadrados perfeitos 196 e 225. Desse modo, $\sqrt{200}$ está entre $\sqrt{196}$ e $\sqrt{225}$. Portanto, $\sqrt{200}$ está entre 14 e 15.

34. a) $\sqrt[3]{3^7}=3^{\frac{7}{3}}$

b) $\sqrt[5]{4\cdot 6}=\sqrt[5]{24}={24}^{\frac{1}{5}}$

c) $\sqrt[7]{5^3\cdot 5^2}=\sqrt[7]{5^5}=5^{\frac{5}{7}}$

d) $\sqrt[3]{{\left(3^2\right)}^5}=\sqrt[3]{3^{10}}=3^{\frac{10}{3}}$

35. Escrevendo as raízes na forma de potências com expoente fracionário, temos:

A. $\sqrt[6]{7^5}=7^{\frac{5}{6}}$

B. $\sqrt{15}={15}^{\frac{1}{2}}$

C. $\sqrt[9]{8}=8^{\frac{1}{9}}$

D. $\sqrt[4]{{20}^7}={20}^{\frac{7}{4}}$

E. $\sqrt[3]{{100}^5}={100}^{\frac{5}{3}}$

F. $\sqrt[3]{{231}^2}={231}^{\frac{2}{3}}$

G. $\sqrt[6]{10}={10}^{\frac{1}{6}}$

H. $\sqrt[8]{{37}^5}={37}^{\frac{5}{8}}$

Portanto, podemos relacionar 1-H; 2-E; 3-A; 4-B; 5-G; 6-C; 7-F; 8-D.

36. a) ${\left(5^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}$

b) ${\left(8^3\right)}^{\frac{4}{9}}=8^{3\cdot \frac{4}{9}}=8^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{8^4}$

c) $7^{\frac{5}{2}}\cdot 7^{\frac{1}{4}}=7^{\frac{5}{2}+\frac{1}{4}}=7^{\frac{11}{4}}=\sqrt[4]{7^{11}}$

d) ${\left(3^{\frac{2}{7}}\right)}^3=3^{\frac{2}{7} \cdot 3}=3^{\frac{6}{7}}=\sqrt[7]{3^6}$

e) $7^{\frac{3}{4}}\cdot 7^3=7^{\frac{3}{4}+3}=7^{\frac{15}{4}}=\sqrt[4]{7^{15}}$