Unidade 6

Transformações geométricas

Questão 1.

a) A alternativa é falsa, pois a transformação de reflexão da figura A em relação ao eixo e seria uma figura do lado direito do eixo, mas a figura B está sobre o eixo.

b) A alternativa é verdadeira.

c) A alternativa é falsa, pois uma transformação de translação não rotaciona a figura original.

d) A alternativa é falsa, pois a figura B é a imagem da figura A pela rotação de $90°$, e não o contrário.

Portanto, a alternativa b é a correta.

Atividades

1. As figuras são simétricas na malha quadriculada A, pois, para haver uma simetria por reflexão entre duas figuras, é necessário que os vértices alinhados das figuras simétricas tenham a mesma distância até o eixo de simetria.

2. a) A transformação foi aplicada no sentido horário, pois a figura 2 está à direita da figura 1, e foi realizada uma rotação de $60°$.

b) A transformação foi aplicada no sentido horário, pois a figura 2 está à direita da figura 1, e foi realizada uma rotação de $280°$.

3. A figura 2 é simétrica à figura 1 por rotação em torno do ponto O na malha quadriculada C, pois, na malha quadriculada A, as figuras não são idênticas; na malha B, as figuras são simétricas por reflexão; na malha D, as figuras são simétricas por translação.

4. a) Para haver uma simetria por rotação de modo que as figuras coincidam, devem ser aplicados os seguintes ângulos de rotação.

Figura A: $180°$

Figura B: $90°$

Figura C: $180°$

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

5. Como a figura tem contorno em formato aproximadamente circular, é possível dividi-la em 3 figuras idênticas. Portanto, o menor ângulo de rotação é $\underset{360°:3}{\underbrace{120°}}$

6. a) Fazendo os desenhos referentes a cada uma das indicações, temos:

b)

7. A figura 2 é simétrica à figura 1 por translação nas malhas quadriculadas B e C, pois nesse tipo de simetria as figuras devem ser idênticas, estando apenas transladadas em relação à original.

8. Para realizar as construções no GeoGebra, fazemos:

a) 1º. Clique com o botão direito sobre a Janela de visualização, habilite a opção Exibir Eixos e, na aba Exibir Malha, escolha a opção Malha Principal.

2º. Para construir os vértices do polígono, digite no campo Entrada... as coordenadas $A=\left(2,3\right)$, $B=\left(5,3\right)$, $C=\left(-2,0\right)$ e $D=\left(-1,2\right)$ e pressione Enter. Com a ferramenta Polígono, clique nos pontos A, B, C e D criados e novamente em A, para construir o retângulo $ABCD$.

b) Digite no campo Entrada... as coordenadas dos pontos $E=\left(1,2\right)$ e $F=\left(0,0\right)$ e pressione Enter. Em seguida, trace uma reta r passando por esses pontos. Para isso, selecione a ferramenta Reta e clique nos pontos E e F.

c) Com a ferramenta Reflexão em Relação a uma Reta, clique no polígono $ABCD$ e, depois, na reta r.

d) 1º. Construa o ponto $O=\left(3,5\right)$ que será a referência para a rotação.

2º. Com a ferramenta Rotação em Torno de um Ponto, clique no polígono $ABCD$ e, depois, no ponto O. No campo Ângulo da janela que será exibida, digite $75°$, escolha o sentido anti-horário e clique em OK.

e) 1º. Construa dois pontos distintos para delimitar as extremidades da seta, que será a referência para a medida da distância, a direção e o sentido da translação. Com a ferramenta Vetor, clique nesses dois pontos, primeiro na extremidade inicial, depois na final.

2º. Com a ferramenta Translação por um Vetor, clique no polígono $ABCD$ e, depois, na seta.

9. Rotacionando o quadrilátero $ABCD$ em $90°$ no sentido horário, encontramos o quadrilátero $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ na posição acima e à direita de $ABCD$. Em seguida, fazendo a reflexão do polígono $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, obtemos $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ abaixo e oposto de $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ e abaixo e à direita de $ABCD$. Portanto, o item A apresenta o resultado correto obtido por Antônio.

10. Copiando o desenho na malha quadriculada e seguindo as indicações da atividade, temos:

11. É possível identificar as transformações geométricas reflexão e rotação.

12. a) Maria pode ter usado as transformações geométricas na seguinte ordem: reflexão, reflexão, reflexão, translação e translação. Essa ordem está descrita no item B. Outra possibilidade é usar as transformações na seguinte ordem: rotação, reflexão, rotação, translação e translação. Essa ordem é descrita no item C.

b) Resposta pessoal.

13. a) O menor elemento da imagem, considerando as transformações que poderiam ser usadas, é representado pela imagem a seguir.

b) Sugestão de resposta: Reflexão, translação e rotação.

O que eu estudei?

1. O triângulo $A_1{B}_1{C}_1$ foi construído por meio da transformação de reflexão em relação ao triângulo $ABC$. Portanto, a frase pode ser reescrita como:

O triângulo $A_1{B}_1{C}_1$ é a imagem do triângulo $ABC$ pela transformação de reflexão em relação à reta r.

2. Reproduzindo a imagem na malha quadriculada, temos:

3. A alternativa C apresenta a figura 2 como imagem da figura 1, transladada na direção horizontal 7 unidades para a direita e na vertical 4 unidades para baixo.

Unidade 7

Cálculo algébrico

Questão 1. Espera-se que os estudantes verifiquem que Al-Khowarizmi fez várias contribuições, entre elas, a idealização do sistema decimal com 10 algarismos e a resolução de equações, algo que popularizou métodos algébricos.

Questão 2. O valor de duas canetas é $2x$ reais e de três cadernos é $3y$ reais. Assim, o valor total a ser pago, em reais, é $2x+3y$

Atividades

1. A metade de $x$ é representada por $\frac{x}{2}$. Adicionando mais 2, obtemos $\frac{x}{2}+2$.

O dobro de $x$ é representado por $2x$ e o quadrado de $x$, por $x^2$. Adicionando esses valores, temos $2x+x^2$.

O triplo de $x$ é representado por $3x$ e a quinta parte do dobro de x, por $\frac{2x}{5}$. Adicionando essas expressões, obtemos $3x-7+\frac{2x}{5}$.

Portanto, podemos associar A-3, B-1 e C-2.

2. a) $3x+4$

b) $a^2+2a$

c) $\frac{m}{2}-5$

d) $5b+\frac{b}{8}-3$

e) $\frac{n}{4}-4+n^2$

Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

O dobro do número $x$ menos cinco.

Resposta: $2x-5$.

Para $x=-1$, temos: $2\cdot \left(-1\right)-5=-2-5=-7$

A metade do quadrado de um número $x$ mais um.

Resposta: $\frac{x^2}{2}+1$.

Para $x=3$, temos: $\frac{3^2}{2}+1=\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}$

3. a) O triplo de um número mais cinco.

b) A metade de um número menos o quádruplo desse número.

c) O quadrado de um número menos três.

d) A metade do cubo de um número menos esse número.

4. a) A figura 2 tem 4 quadradinhos. A figura 4 tem 6 quadradinhos.

b) A figura 6 terá 8 quadradinhos, pois $6+2=8$ quadradinhos.

c) A expressão algébrica que representa a quantidade de quadradinhos para uma figura na posição $x$ é $x+2$.

d) Utilizando a expressão obtida no item anterior, temos:

Figura 10: $10+2=12$, isto é, 12 quadradinhos.

Figura 16: $16+2=18$, isto é, 18 quadradinhos.

Figura 27: $27+2=29$, isto é, 29 quadradinhos.

5. Efetuando as operações indicadas e reduzindo os termos semelhantes, temos:

a) $2x+x+x=4x$

b) $5x+1+x=6x+1$

c) $7x-\left(16x:4\right)+5=7x-4x+5=3x+5$

d) $5x+3\left(2x+1\right)-7=5x+6x+3-7=11x-4$

e) $5\left(2-x\right)+4=10-5x+4=-5x+14$

f) $\left(12x-21\right):3+6x+11=4x-7+6x+11=10x+4$

Questão 3. Sugestão de resposta: $8x^{2}y{z}^2$.

Atividades

6. a) O coeficiente é 16 e a parte literal é $pq$.

b) O coeficiente é $-2$ e a parte literal é $a^3{b}^{2}c$.

c) O coeficiente é 1 e a parte literal é $mnp$.

d) O coeficiente é 22 e a parte literal é $x^5$.

e) O coeficiente é 4,2 e a parte literal é $w^{3}z$.

f) O coeficiente é $\frac{2}{3}$ e a parte literal é $pq$.

g) O coeficiente é 0,021 e a parte literal é $c$.

h) O coeficiente é 100 e a parte literal é $g^{8}h$.

i) O coeficiente é 18 e a parte literal é $x^0$.

7. a) Como o expoente da variável $p$ é 1 e da variável $q$ é 1, o grau do monômio é 2, pois $1+1=2$.

b) Como o expoente da variável $a$ é 3, da variável $b$ é 2 e da variável $c$ é 1, o grau do monômio é 6, pois $3+2+1=6$.

c) Como o expoente da variável $m$ é 1, da variável $n$ é 1 e da variável $p$ é 1, o grau do monômio é 3, pois $1+1+1=3$.

d) Como o expoente da variável $x$ é 5 e a parte literal do monômio só tem essa variável, o grau do monômio é 5.

e) Como o expoente da variável $w$ é 3 e da variável $z$ é 1, o grau do monômio é 4, pois $3+1=4$.

f) Como o expoente da variável $p$ é 1 e da variável $q$ é 1, o grau do monômio é 2, pois $1+1=2$.

g) Como o expoente da variável $c$ é 1 e a parte literal do monômio só tem essa variável, o grau do monômio é 1.

h) Como o expoente da variável $g$ é 8 e da variável $h$ é 1, o grau do monômio é 9, pois $8+1=9$.

i) Como o expoente da variável $x$ é 0 e a parte literal do monômio só tem essa variável, o grau do monômio é zero.

8. a) $2x$

b) $y$

c) $-x^2$

9. Os monômios semelhantes são os que apresentam a parte literal igual. Sendo assim, temos:

Monômios semelhantes a $x$: $4x$, $-x$ e $10x$.

Monômios semelhantes a $x^2$: $9x^2$ e $-5x^2$.

Monômios semelhantes a $xy$: $-8xy$, $3xy$ e $21xy$.

Monômios semelhantes a $x^{2}y$: $17x^{2}y$, $10x^{2}y$ e $-12x^{2}y$.

10. Sugestão de resposta: $9m{n}^2$, $-\frac{1}{2}m{n}^2$ e $3,5m{n}^2$.

11. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Considerando as expressões algébricas que representam a medida da área e a medida do perímetro do retângulo, responda às questões a seguir.

a) Qual das expressões é um monômio?

Resposta: $78q$.

b) Qual é o grau desse monômio?

Resposta: 1.

c) Qual é o valor numérico de cada uma das expressões para $q=2$?

Resposta: Para $q=2$, temos: $78q=78\cdot 2=156$

Sendo assim, a medida de área é igual a 156 unidades de medida de área.

$12q+26=12\cdot 2+26=24+26=50$

Sendo assim, o perímetro tem 50 unidades de medida de comprimento.

12. a) Diofanto empregava as letras com abreviação.

b) Em geral, os gregos representavam as quantidades por meio de linhas, determinadas por uma ou duas letras, e raciocinavam como em geometria.

c) Ele substituiu sistematicamente a álgebra numérica pela álgebra dos símbolos.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes escrevam um texto argumentando, de maneira resumida, que o uso de letras e números é importante para simplificar a escrita.

13. a) $5ab+2ab-ab=(5+2-1)ab=6ab$

b) $12x^{2}y-4x^{2}y-2x^{2}y=(12-4-2)x^{2}y=6x^{2}y$

c) $20,5a^3{b}^2-7,3a^3{b}^2=(20,5-7,3)a^3{b}^2=13,2a^3{b}^2$

d) $x^{5}y-5x^{5}y+6x^{5}y=(1-5+6)x^{5}y=2x^{5}y$

e) $(2+3)y{z}^4-y{z}^4=(2+3-1)y{z}^4=4y{z}^4$

14. Adicionando as medidas dos comprimentos dos lados das figuras, temos:

figura A: $3ab+2ab+3ab+2ab=\left(3+2+3+2\right)ab=10ab$, isto é, a medida do perímetro é igual a $10ab$.

figura B: $5x+3x+3x+2x+2x+5x=\left(5+3+3+2+2+5\right)x=$

$=20x$, isto é, a medida do perímetro é igual a $20x$.

figura C: $3w+1w+2w+2w+2w+1w+3w+4w=$

$=\left(3+1+2+2+2+1+3+4\right)w=18w$, isto é, a medida do perímetro é igual a 18w.

15. Substituindo os $\mathrm{█}$ por monômios, temos:

a) $11a{b}^2+9a{b}^2=20a{b}^2$

b) $-7x^3{y}^2+10x^3{y}^2=3x^3{y}^2$

c) $14m{n}^3=9m{n}^3+5m{n}^3$

d) $-7abc-13abc+2abc=-18abc$

16. A. A medida da área total é dada por:

$8xy+10xy+10xy+10xy+8xy=$

$=(8+10+10+10+8)xy=46xy$

B. A medida da área total é dada por:

$4ab+8ab=(4+8)ab=12ab$

17. Sugestão de resposta:

a) $7x{y}^3+11x{y}^3$

b) $5a^2{b}^4-2a^2{b}^4$

c) $3n^5{m}^3+5n^5{m}^3+n^5{m}^3$

18. a) $7x^{4}y\cdot 3x{y}^2=7\cdot 3\cdot x^4\cdot x\cdot y\cdot y^2=21x^5{y}^3$

b) $-11x^2{y}^3\cdot 7x{y}^{2}z\cdot x^{5}y{z}^2=$

$=-11\cdot 7\cdot 1\cdot x^2\cdot x\cdot x^5\cdot y^3\cdot y^2\cdot y\cdot z\cdot z^2=-77x^8{y}^6{z}^3$

c) $2x^2\cdot 3x{y}^2\cdot \left(-xy\right)=2\cdot 3\cdot \left(-1\right)\cdot x^2\cdot x\cdot x\cdot y^2\cdot y=-6x^4{y}^3$

d) $13x^5\cdot 2x^4{y}^2\cdot 5y^{5}z=13\cdot 2\cdot 5\cdot x^5\cdot x^4\cdot y^2\cdot y^5\cdot z=130x^9{y}^{7}z$

e) $4x{z}^5\cdot \left(-2x^2{y}^3\right)\cdot xz\cdot \left(-3x^4{y}^8\right)=$

$=4\cdot \left(-2\right)\cdot 1\cdot \left(-3\right)\cdot x\cdot x^2\cdot x\cdot x^4\cdot y^3\cdot y^8\cdot z^5\cdot z=24x^8{y}^{11}{z}^6$

f) $-5x^{2}z\cdot x{y}^3\cdot \left(-2x^2{y}^2\right)\cdot xz=$

$=-5\cdot 1\cdot \left(-2\right)\cdot 1\cdot x^2\cdot x\cdot x^2\cdot x\cdot y^3\cdot y^2\cdot z\cdot z=10x^6{y}^5{z}^2$

19. A. A medida da área é dada por: $8z\cdot 8z=8\cdot 8\cdot z\cdot z=64z^2$

B. A medida da área é dada por: $3v\cdot 3v+2v\cdot 5v=3\cdot 3\cdot v\cdot v+2\cdot 5\cdot v\cdot v\cdot =$

$=9v^2+10v^2=19v^2$

C. A medida da área é dada por: $2x\cdot 3xy+2x\cdot 2xy+2x\cdot 4xy=$

$=2\cdot 3\cdot x\cdot x\cdot y+2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot y+2\cdot 4\cdot x\cdot x\cdot y=$

$=6x^{2}y+4x^{2}y+8x^{2}y=18x^{2}y$

20. Aplicando a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, temos:

a) $4+p=6$

Assim, $p=6-4$, ou seja, $p=2$.

b) $4+1=r$

Assim, $\mathit{\text{q}}=6$ e $\mathit{\text{r}}=5$.

c) $4+1+s=8$ e $2+5=t$

Assim, $s=3$ e $t=7$.

d) $4+4=v$ e $w+w=10$.

Assim, $\mathit{\text{w}}=5$ e $\mathit{\text{v}}=8$.

21. Efetuando as operações indicadas, temos:

a) $\left(15:5\right)x^{4-3}=3x$

b) $\left(12:3\right)a^{2-2}=4a^0=4$

c) $\left(30:10\right)x^{5-2}y=3x^{3}y$

d) $\left(18:2\right)a^{2-1}{b}^{3-1}=9a{b}^2$

e) $\left(20:10\right)y^{7-5}{z}^{2-1}=2y^{2}z$

f) $\left(32:8\right)a^{5-2}{b}^{6-3}=4a^3{b}^3$

22. A medida da área do retângulo verde é igual a $12xy\cdot 3x=36x^{2}y$. A medida da área do retângulo laranja é igual a $4xy\cdot x=4x^{2}y$. Dividindo a primeira medida pela segunda temos:

$36x^{2}y:4x^{2}y=\left(36:4\right)x^{2-2}{y}^{1-1}=9x^0{y}^0=9$

Portanto, a medida da área do retângulo verde corresponde a 9 vezes a medida da área do retângulo laranja.

23. a) $-9x^9:3x^2=\left(-9:3\right)x^{9-2}=-3x^7$

Portanto, o monômio procurado é $-3x^7$.

b) $5x\cdot 2x^2=5\cdot 2\cdot x^{1+2}=10x^3$

Portanto, o monômio procurado é $10x^3$.

c) $4y^8:y^4=4y^{8-4}=4y^4$

Portanto, o monômio procurado é $4y^4$.

d) $6y^4\cdot 5y=6\cdot 5\cdot y^{4+1}=30y^5$

Portanto, o monômio procurado é $30y^5$.

24. Se a medida da área do retângulo é $18y^5$ e a medida do comprimento de um dos lados é $6y$, então a medida A é dada por $18y^5:6y$, isto é, $3y^4$.

25. a) $6x^2:2x=3x$

Portanto, $6x^2:3x=2x$.

b) $x^{5}y:x^{3}y=x^2$

Portanto, $x^{5}y:x^2=x^{3}y$.

c) $8x^2{y}^5\cdot 2x^{7}y=16x^9{y}^6$

Portanto, $16x^9{y}^6:8x^2{y}^5=2x^{7}y$.

d) $9x^{2}y{z}^3\cdot 5xy{z}^3=45x^3{y}^2{z}^6$

Portanto, $45x^3{y}^2{z}^6:9x^{2}y{z}^3=5xy{z}^3$.

e) $2x{y}^3{z}^2\cdot 4xyz=8x^2{y}^4{z}^3$

Portanto, $8x^2{y}^4{z}^3:2x{y}^3{z}^2=4xyz$.

f) $12x^7{y}^{9}z:4x^2{y}^{3}z=3x^5{y}^6$

Portanto, $12x^7{y}^{9}z:3x^5{y}^6=4x^2{y}^{3}z$.

26. Como $2A=8x^6$, então $A=8x^6:2$, isto é, $A=4x^6$.

Substituindo A em $A\cdot B=12x^7$ e $A:C=2x$, temos: $4x^6\cdot B=12x^7$ e $4x^6:C=2x$

Portanto, $B=12x^7:4x^6=3x$ e $C=4x^6:2x=2x^5$.

Substituindo B e C em $C:B=D$, obtemos $2x^5:3x=D$, isto é, $D=\frac{2x^4}{3}$.

27. Grupo 1 (monômios): D, H e J; Grupo 2 (binômios): A, C, G e I; Grupo 3 (trinômios): B, E e F.

28. A. O grau do monômio $7x^3{y}^4$ é dado por $3+4=7$ e o grau do monômio $x{y}^5$ é dado por $1+5=6$. Logo, o polinômio tem grau 7.

B. O grau do monômio $a^5{b}^3$ é dado por $5+3=8$, o grau do monômio $5a{b}^2$ é dado por $1+2=3$ e o grau do monômio $4b^2$ é igual a 2. Logo, o polinômio tem grau 8.

C. O grau do monômio $x$ é igual a 1 e o grau do monômio $3x^2$ é igual a 2. Logo, o polinômio tem grau 2.

D. O grau do polinômio é 6, pois $2+4=6$.

E. O grau do monômio $6a^2{b}^5$ é dado por $2+5=7$, o grau do monômio $3a^2$ é igual a 2 e o grau do monômio $2b$ é igual a 1. Logo, o polinômio tem grau 7.

F. O grau do monômio $x{y}^{12}$ é dado por $1+12=13$, o grau de $x^2$ é igual a 2 e o grau do monômio $\frac{2}{3}xy$ é dado por $1+1=2$. Logo, o polinômio tem grau 13.

G. O grau do monômio $3a^{3}b$ é dado por $3+1=4$ e o grau do monômio $\frac{7}{10}{a}^2$ é igual a 2. Logo, o polinômio tem grau 4.

H. O grau do polinômio é 2, pois $1+1=2$.

I. O grau do monômio $a^2{b}^2$ é dado por $2+2=4$ e o grau do monômio $4a^2$ é igual a 2. Logo o polinômio tem grau 4.

J. O grau do polinômio é 5, pois $1+4=5$.

29. Substituindo os valores correspondentes de x e y em cada polinômio, temos:

A. $2xy-y^2=2\cdot 2\cdot 7-7^2=28-49=-21$;

B. $x^2{y}^3+x-3y={\left(-5\right)}^2\cdot 2^3+\left(-5\right)-3\cdot 2=$

$=25\cdot 8-5-6=200-5-6=189$.

30. Agrupando os termos semelhantes e efetuando as operações indicadas, temos:

a) $2x^3-3x^2+2x^2+5x+x-6=2x^3-x^2+6x-6$

b) $a{b}^2-a{b}^2-a^2+3a^2-3b+5+1=2a^2-3b+6$

c) $2xy-xy-x^2+5x^2+6+4=4x^2+xy+10$

31. O polinômio na forma reduzida que representa a medida do perímetro da figura é dado por:

$2x+5+6+x+1+x+x+4+3x=$

$=2x+x+x+x+3x+5+6+1+4=8x+16$

32. a) O polinômio que representa a quantidade total de pontos de Carlos é dado por $1\cdot x+2\cdot y+3\cdot z$, ou seja, $x+2y+3z$.

b) Sugestão de resposta:

1ª possibilidade: $x=4$, $y=1$ e $z=3$, pois $x+2y+3z=4+2\cdot 1+3\cdot 3=4+2+9=15$.

2ª possibilidade: $x=2$, $y=2$ e $z=3$, pois $x+2y+3z=2+2\cdot 2+3\cdot 3=2+4+9=15$.

3ª possibilidade: $x=1$, $y=4$ e $z=2$, pois $x+2y+3z=1+2\cdot 4+3\cdot 2=1+8+6=15$.

c) Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Considerando que Carlos fez 21 pontos em outra partida, atribua valores para x, y e z e determine 2 possibilidades diferentes de cestas que ele pode ter feito nessa partida.

Sugestão de resposta: $x=2$, $y=5$ e $z=3$; $x=1$, $y=4$ e $z=4$.

33. a) O polinômio que representa a medida de área do pedaço de cartolina que sobrou é dado por $x\cdot y-a\cdot a-a\cdot b$, ou seja, $xy-a^2-ab$.

b) Como todos os termos são de grau 2, esse polinômio tem grau 2 ou 2º grau.

Questão 4. A adição dos polinômios B e C é dada por:

$\left(3xy+2y^2+5y\right)+\left(2xy+4y^2+3y\right)=$

$=3xy+2y^2+5y+2xy+4y^2+3y=$

$=3xy+2xy+2y^2+4y^2+5y+3y=$

$=\left(3+2\right)xy+\left(2+4\right)y^2+\left(5+3\right)y=$

$=5xy+6y^2+8y$

Questão 5. O polinômio oposto ao obtido na questão 4 é $-5xy-6y^2-8y$.

Atividades

34. Substituindo as figuras pelos polinômios indicados, temos:

A. $\left(x+4\right)+\left(x^2-y\right)=x^2+x-y+4$;

B. $20-\left(2x^2+xy-15\right)+\left(x^2-y\right)=$

$=-2x^2+x^2-xy-y+15+20=$

$=-x^2-xy-y+35$

C. $2\cdot \left(-3x+4y+12\right)-\left(x^2-y\right)+3\cdot \left(x+4\right)+2=$

$=-6x+8y+24-x^2+y+3x+12+2=$

$=-x^2-6x+3x+8y+y+24+12+2=$

$=-x^2-3x+9y+38$

D. $3\cdot \left(x^2-y\right)-2\cdot \left(-3x+4y+12\right)+2x^2+xy-15-5\cdot \left(x+4\right)=$

$=3x^2-3y+6x-8y-24+2x^2+xy-15-5x-20=$

$=3x^2+2x^2+6x-5x+xy-3y-8y-24-15-20=$

$=5x^2+x+xy-11y-59$

35. O polinômio procurado em cada item é o polinômio oposto. Assim:

a) $3,2x^3-17x-14y+9xy+1$, pois:

$\left(-3,2x^3+17x+14y-9xy-1\right)$ $+\left(3,2x^3-17x-14y+9xy+1\right)=0$

b) $-\frac{3}{5}{x}^7+4x-3xy+9$, pois:

$\left(\frac{3}{5}{x}^7-4x+3xy-9\right)+\left(-\frac{3}{5}{x}^7+4x-3xy+9\right)=0$

c) $-7z^3-9xz-14xy+21$, pois:

$\left(7z^3+9xz+14xy-21\right)+\left(-7z^3-9xz-14xy+21\right)=0$

36. A. A medida do perímetro do retângulo I é dada por: $4x^{2}y-3z+y+z+4x^{2}y-3z+y+z=8x^{2}y-4z+2y$

A medida do perímetro do retângulo II é dada por: $x^{2}y+2z+y+x^{2}y+2z+y=2x^{2}y+4z+2y$

Assim, o polinômio na forma reduzida que representa a diferença entre os perímetros é dado por:

$8x^{2}y-4z+2y-\left(2x^{2}y+4z+2y\right)=$

$=8x^{2}y-2x^{2}y-4z-4z+2y-2y=6x^{2}y-8z$

B. A medida do perímetro do retângulo I é dada por: $-3ab+9+7a{b}^{3}c-8-3ab+9+7a{b}^{3}c-8=$

$=-6ab+14a{b}^{3}c+2$

A medida do perímetro do retângulo II é dada por: $ab+3a{b}^{3}c-3+ab+3a{b}^{3}c-3=2ab+6a{b}^{3}c-6$

Assim, o polinômio na forma reduzida que representa a diferença entre os perímetros é dado por:

$-6ab+14a{b}^{3}c+2-\left(2ab+6a{b}^{3}c-6\right)=$

$=-6ab+14a{b}^{3}c+2-2ab-6a{b}^{3}c+6=$

$=-8ab+8a{b}^{3}c+8$ $=8a{b}^{3}c-8ab+8$

37. Calculando a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo, temos:

A: $8\cdot x\cdot xy=8x^{2}y$; B: $2x\cdot 2x\cdot 5y=20x^{2}y$; C: $3xy\cdot y\cdot 3x=9x^2{y}^2$.

a) Medida do volume da pilha 1: $8x^{2}y+2\cdot \left(20x^{2}y\right)+9x^2{y}^2=48x^{2}y+9x^2{y}^2$

Medida do volume da pilha 2: $2\cdot \left(8x^{2}y\right)+20x^{2}y+9x^2{y}^2=36x^{2}y+9x^2{y}^2$

Medida do volume da pilha 3: $8x^{2}y+20x^{2}y+2\cdot \left(9x^2{y}^2\right)=28x^{2}y+18x^2{y}^2$

b) Substituindo x e y pelos valores indicados, temos:

pilha 1: $48\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot 2,4+9\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot {\left(2,4\right)}^2=93,96$, ou seja, $93,96{\text{m}}^3$.

pilha 2: $36\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot 2,4+9\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot {\left(2,4\right)}^2=77,76$, ou seja, $77,76{\text{m}}^3$.

pilha 3: $28\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot 2,4+18\cdot {\left(0,75\right)}^2\cdot {\left(2,4\right)}^2=96,12$, ou seja, $96,12{\text{m}}^3$.

38. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Escreva um polinômio que represente a medida do perímetro desse retângulo. Em seguida, considerando $a=2\text{cm}$, calcule a medida do perímetro do retângulo.

Resposta: $4a^3+6a$; $44\text{cm}$.

39. A medida do paralelepípedo reto retângulo é dada por:

$4x\cdot 4x\cdot \left(x+8\right)=4x\cdot \left(4x^2+32x\right)=16x^3+128x^2$

40. Considerando $x=2$, temos: $16x^3+128x^2=16\cdot 2^3+128\cdot 2^2=128+512=640$

Sendo assim, $V=640{\text{cm}}^3$.

41. a) $7x\cdot \left(x+5\right)=7x^2+35x$

b) $x^2\cdot \left(x-7\right)=x^3-7x^2$

c) $11x^2\cdot \left(2x+1\right)=22x^3+11x^2$

d) $6x\cdot \left(x^2+3\right)=6x^3+18x$

e) $5x^2\cdot \left(x^2-2x\right)=5x^4-10x^3$

f) $4x^3\cdot \left(2x^2+10\right)=8x^5+40x^3$

42. A. Medida do comprimento: $x+7$

Medida da largura: $x+4$

Medida de área: $\left(x+4\right)\cdot \left(x+7\right)=x^2+7x+4x+28=x^2+11x+28$

B. Medida do comprimento: $\left(y+5\right)$

Medida da largura: $\left(y+1\right)$

Medida da área: $\left(y+1\right)\left(y+5\right)=y^2+6y+5$

43. a) $3y\cdot \left(x+2\right)=3xy+6y$

b) $-y\cdot \left(x+2\right)=-xy-2y$

c) $xy\cdot \left(x+2\right)=x^{2}y+2xy$

d) $4x^{3}y\cdot \left(x+2\right)=4x^{4}y+8x^{3}y$

44. a) $\left(4x+4\right)\cdot \left(y-1\right)=4xy-4x+4y-4$

b) $\left(x^2-y\right)\cdot \left(y-10\right)=x^{2}y-10x^2-y^2+10y$

c) $\left(-x+5\right)\cdot \left(2y+1\right)=-2xy-x+10y+5$

d) $\left(x+2\right)\cdot \left(7y-x+3\right)=7xy-x^2+3x+14y-2x+6$

45. Considerando as linhas tracejadas e as medidas de comprimento dos lados de cada parte, indicadas na figura, temos:

$2\cdot y+2y\cdot y+2x\cdot 2=2y^2+2y+8x=8x+2y^2+2y$

Assim, obtemos o polinômio A.

$4y\cdot y+4y\cdot 2x=4y^2+8xy=8xy+4y^2$

Assim, obtemos o polinômio C.

$4y\cdot y+2x\cdot 2+2x\cdot 2y=4y^2+4x+4xy=4xy+4x+4y^2$

Assim, obtemos o polinômio D.

Portanto, o único polinômio que não pode representar a medida de área dessa figura é o polinômio B.

Questão 6. Sugestão de resposta: $\frac{15xy+10x}{5x}$

Questão 7. A resposta depende do polinômio e do monômio escritos. No caso da sugestão de resposta dada, o grau do polinômio é 2 e o grau do monômio é 1.

Atividades

46. a) $\left(5x^4+15x^7-10x\right):5x=x^3+3x^6-2$

b) $\frac{16y^5-20y^7-12y^3}{4y^3}=4y^2-5y^4-3$

c) $\left(18a^5-6a^{10}-3a^2+9a^4\right):3a^2=6a^3-2a^8-1+3a^2$

d) $\frac{20b^3-12b^8+10b^5-8b^4}{6b^2}=\frac{10}{3}b-2b^6+\frac{5}{3}{b}^3-\frac{4}{3}{b}^2$

47. a) $\left(4x^5-10x\right):2x=2x^4-5$

b) $\left(x^3+4x^2\right):x=x^2+4x$

c) $\left(15x^2+25x\right):5x=3x+5$

48. A. A medida de comprimento do outro lado é dada por $\left(2x^2+3x\right):x$, ou seja, $2x+3$.

B. A medida de comprimento do outro lado é dada por $\left(6y^2-6y\right):3y$, ou seja, $2y-2$.

49. a) $\left(4x^3+6x^2\right):2x=2x^2+3x$

b) $3x\cdot \left(3x^3-x^2\right)=9x^4-3x^3$

c) $10x^6:2x^5=5x$

d) $\left(14x^3+49x^2\right):7x^2=2x+7$

50. a) A medida da altura do paralelepípedo 1 é dada por: $18x^3:\left(2x\cdot 3x\right)=18x^3:6x^2$, ou seja, $3x$.

b) A medida do volume do paralelepípedo 2 é dada por: $2x\cdot 3x\cdot \left(2x+4\right)=6x^2\cdot \left(2x+4\right)$, ou seja, $12x^3+24x^2$.

Como $x=5\text{cm}$, temos: $12\cdot 5^3+24\cdot 5^2=12\cdot 125+24\cdot 25$

Portanto, o volume desse paralelepípedo mede $2.100{\text{cm}}^3$.

51. a) $\text{mmc}\left(x^5{y}^4,x^4{y}^5\right)=x^5{y}^5$

b) Como $15a{b}^2=3\cdot 5\cdot a\cdot b^2$, então:

$\text{mmc}\left(5a^{3}b,15a{b}^2\right)=3\cdot 5\cdot a^3\cdot b^2=15a^3{b}^2$

c) Como $20y^3=2^2\cdot 5\cdot y^3$ e $4x^2{y}^6=2^2\cdot x^2\cdot y^6$, então:

$\text{mmc}\left(20y^3,4x^2{y}^6\right)=2^2\cdot 5\cdot x^2\cdot y^6=20x^2{y}^6$

d) Como $8a{b}^2=2^3\cdot a\cdot b^2$, então:

$\text{mmc}\left(a^3{b}^7,8a{b}^2\right)=2^3\cdot a^3\cdot b^7=8a^3{b}^7$.

e) Como $12x^3=2^2\cdot 3\cdot x^3$ e $4x^2-6x=2\cdot x\cdot \left(2x-3\right)$, então:

$\text{mmc}\left(12x^3,4x^2-6x\right)=2^2\cdot 3\cdot x^3\cdot \left(2x-3\right)=$

$=24x^4-36x^3=12x^3\left({2x}^2-3\right)$

f) Como $9a{b}^5=3^2\cdot a\cdot b^5$ e $2a^2{b}^2+4ab=2\cdot a\cdot b\cdot \left(ab+2\right)$, então:

$\text{mmc}\left(9a{b}^5,2a^2{b}^2+4ab\right)=2\cdot 3^2\cdot a\cdot b^5\cdot \left(ab+2\right)=$

$=18a^2{b}^6+36a{b}^5=18{ab}^5\left(ab+2\right)$

52. a) Como $\text{mmc}\left(5x^6,25x^2\right)=25x^6$, então $\mathrm{█}=6$.

b) Como $\text{mmc}\left(7x{y}^2,4x^3\right)=28x^3{y}^2$, então $\mathrm{█}=3$.

c) Como $\text{mmc}\left(6a^{2}b,8a^{7}b\right)=24a^{7}b$, então $\mathrm{█}=1$ e $◆=7$.

d) Como $\text{mmc}\left(16x^5{y}^2{z}^4,4x{y}^8{z}^3\right)=16x^5{y}^8{z}^4$, então $\mathrm{█}=5$, $◆=4$ e $●=8$.

53. B e C estão relacionados com 1, pois $\text{mmc}\left(12x{y}^2,18x^{6}y\right)=36x^6{y}^2$.

D e F estão relacionados com 2, pois $\text{mmc}\left(20x^3{y}^4,16x^2+8xy\right)=40x^3{y}^4\left(2x+y\right)$.

A e E estão relacionados com 3, pois $\text{mmc}\left(8x^2{y}^4,2x^3+4x^2\right)=8x^2{y}^4\left(x+2\right)$.

54. Como as expressões algébricas de A e E não têm variáveis no denominador, apenas B, C, D e F são frações algébricas.

55. a) A medida de tempo que a máquina B demora para produzir a mesma quantidade de peças da máquina A é representada por $t+12$. Assim, a fração algébrica que representa a produção da máquina B em $1\text{min}$ é igual a $\frac{1.840}{t+12}$, com $t\ne -12$.

b) A quantidade de peças que a máquina A produz por minuto é dada por $\frac{1.840}{80}=23$, isto é, 23 peças. A quantidade de peças que a máquina B produz por minuto é dada por $\frac{1.840}{92}=20$, isto é, 20 peças.

56. a) $\frac{a+3}{b}$, com $b\ne 0$.

b) $\frac{2x\cdot 5y}{x+y}$, com $x\ne -y$.

c) $\frac{6a-2b^2}{5b}$, com $b\ne 0$.

d) $\frac{y}{2x^2}$, com $x\ne 0$.

e) $\frac{{\left(2x+1\right)}^2-5}{3y}$, com $y\ne 0$.

f) $\frac{\frac{x}{5}+y}{2z}$, com $z\ne 0$.

57. $\frac{x-y}{z}$, com $z\ne 0$.

58. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

$\frac{5x^2+3y}{y+5}$, com $y\ne -5$.

Valor numérico para $x=2$ e $y=5$: $\frac{5\cdot 2^2+3\cdot 5}{5+5}=\frac{7}{2}$

$\frac{x-y^2}{4x+y}$, com $y\ne -4x$.

Valor numérico para $x=2$ e $y=5$: $\frac{2-5^2}{4\cdot 2+5}=-\frac{8}{13}$

$\frac{xy-7}{2x^{2}y}$, com $xy\ne 0$.

Valor numérico para $x=2$ e $y=5$: $\frac{2\cdot 5-7}{2\cdot 2^2\cdot 5}=\frac{3}{40}$

59. O quadrado de um número x: $x^2$

O triplo de um número x: $3x$

O quadrado de um número x: $x^2$

Desse modo, a diferença é igual a $x^2-3x$ e a divisão é dada por $\frac{x^2-3x}{x^2}$, com $x\ne 0$.

60. a) $\frac{1.350}{p}$, com $p\ne 0$.

b) $p-3$

c) $\frac{1.350}{p-3}$, com $p\ne 3$.

d) Antes de 3 funcionários desistirem: $\frac{1.350}{30}=45$, ou seja, R$ 45,00.

Depois das desistências: $\frac{1.350}{27}=50$, ou seja, R$ 50,00.

O que eu estudei?

1. a) $x^2$

b) $n+5$

c) $5,48x$

2. Pela figura, temos:

$0,5<x<1$

Assim, $1<2x<2$ e $2<2x+1<3$.

Logo, o ponto que melhor representa o valor de $2x+1$ é T.

Portanto, a alternativa c está correta.

3. a) $1,5-x$.

b) $\frac{x-1,5}{3}$.

4. a) $69,90+0,17t$

b) Calculando o valor numérico para $t=200$, temos:

$69,90+0,17\cdot 200=69,90+34,00=103,90$

Portanto, esse cliente gastou R$ 103,90.

5. a) Se a funcionária vender R$ 20.000,00, teremos:

$1.255+\frac{3}{100}\cdot 20.000=1.255+600=1.855$

Portanto, seu salário será R$ 1.855,00.

Para a venda de R$ 30.000,00, teremos:

$1.255+\frac{3}{100}\cdot 30.000=1.255+900=2.155$

Portanto, seu salário será R$ 2.155,00.

b) $1.255+\frac{3}{100}\cdot x$ ou $1.255+0,03x$.

6. a) A quantidade de livros de Eduarda é representada pela expressão $x+6$. A quantidade de livros de Bruno é representada pela expressão $3\cdot \left(x+6\right)$.

b) A quantidade de livros de Larissa é representada pela expressão $\frac{y}{3}-6$. A quantidade de livros de Eduarda é representada pela expressão $\frac{y}{3}$.

c) Como Eduarda tem 6 livros a mais do que Larissa, Larissa tem 8 livros, pois $14-6=8$ . Além disso, Bruno tem 42 livros, pois $3\cdot 14=42$.

7. A Figura 1 é formada com 4 canudos, isto é, $1+3$ canudos. A Figura 2 é formada com 7 canudos, isto é, $1+3+3$ canudos. A Figura 3 é formada com 10 canudos, isto é, $1+3+3+3$. Logo, a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados é dada por $C=1+3\cdot Q$. Portanto, a alternativa b está correta.

8. A medida do volume do cubo é dada por: $2x\cdot 2x\cdot 2x=8x^3$

9. a) A expressão não é um monômio, pois $2\left(c+l\right)=2c+2l$, que tem dois termos.

b) Sim, é possível expressar a medida do perímetro de um quadrado usando um monômio. Podemos expressar a medida do perímetro do quadrado por $4l$, pois $4l=l+l+l+l$.

10. a) $4x^{8}y+3\left(x-x^{8}y\right)+6x-\left(3x^{8}y+9x\right)=$

$=4x^{8}y+3x-3x^{8}y+6x-3x^{8}y-9x=-2x^{8}y$

A expressão é um monômio.

b) $3x^{2}y+4-2y^2-3x^{2}y+4y^2+2=2y^2+6$

A expressão é um binômio.

c) $3\left(5ab+2\right)+a^2-2-3ab-4a^2=$

$=15ab+6+a^2-2-3ab-4a^2=-3a^2+12ab+4$

A expressão é um trinômio.

11. Para $x=2$ e $y=0$, temos:

$2^2+2\cdot 2\cdot 0+0^2=4$

Para $x=6$ e $y=-5$, temos:

$6^2+2\cdot 6\cdot \left(-5\right)+{\left(-5\right)}^2=1$

Portanto, o polinômio assume o maior valor numérico para $x=2$ e $y=0$ e esse valor é $4$.

12. A medida da área dessa figura é dada por:

$a\cdot a+a\cdot b+b\cdot b$, ou seja, $a^2+ab+b^2$.

Para $a=2$ e $b=4$, temos:

$2^2+2\cdot 4+4^2=4+8+16=28$

Portanto, a medida da área dessa figura é $28{\text{m}}^2$.

13. $\frac{x}{y+4}$, com $y\ne -4$.