Unidade 9

Sequências

Questão 1. A sequência é formada pelos termos $\left(2,4,6,8,10,...\right)$. Para defini-la de maneira recursiva, determinamos o primeiro termo como $a_1=2$. Nesse caso, o segundo e o terceiro termo serão dados por:

$a_2=4=2+2=a_1+2$

$a_3=a_2+2$

Portanto, uma sugestão de resposta é $a_1=2$ e $a_n=a_{n-1}+2$, com $n\ge 2$.

Questão 2. Considerando a sequência constante $\left(6,6,6,6,...\right)$, determinamos seu primeiro termo como $a_1=6$. Nesse caso, o segundo e o terceiro termo serão dados por:

$a_2=6=a_1$

$a_3=a_2$

Portanto, é possível escrever essa sequência de forma recursiva e o termo geral da sequência, com $a_1=6$, será $a_n=a_{n-1}$, com $n\ge 2$.

Atividades

1. a ) Os primeiros termos da sequência $\left(3,6,9,12,15,...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=3=3\cdot 1$

$a_2=6=3\cdot 2$

$a_3=9=3\cdot 3$

$a_4=12=3\cdot 4$

$a_5=15=3\cdot 5$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=3n$, $n>0$.

b ) Os primeiros termos da sequência $\left(13,25,37,49,...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=13=12\cdot 1+1$

$a_2=25=12\cdot 2+1$

$a_3=37=12\cdot 3+1$

$a_4=49=12\cdot 4+1$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=12n+1$, $n>0$.

c ) Os primeiros termos da sequência $\left(0,3,6,9,12,...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=0=3\cdot 1-3$

$a_2=3=3\cdot 2-3$

$a_3=6=3\cdot 3-3$

$a_4=9=3\cdot 4-3$

$a_5=12=3\cdot 5-3$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=3n-3$, $n>0$.

d ) Os primeiros termos da sequência $\left(2x,4x,6x,8x,...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=2x=2\cdot 1\cdot x$

$a_2=4x=2\cdot 2\cdot x$

$a_3=2x=2\cdot 3\cdot x$

$a_4=8x=2\cdot 4\cdot x$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=2nx$, $n>0$.

e ) Os primeiros termos da sequência $\left(x,x^2,x^3,x^4,...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=x=x^1$

$a_2=x^2$

$a_3=x^3$

$a_4=x^4$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=x^n$, $n>0$.

f ) Os primeiros termos da sequência $\left(\frac{1}{x},\frac{2}{x^2},\frac{3}{x^3},\frac{4}{x^4},...\right)$ podem ser escritos como:

$a_1=\frac{1}{x}$

$a_2=\frac{2}{x^2}$

$a_3=\frac{3}{x^3}$

$a_4=\frac{4}{x^4}$

Assim, o termo geral dessa sequência é $a_n=\frac{n}{x^n}$, $n>0$.

2. a ) $a_n=22n-7$

$a_1=22\cdot 1-7=15$

$a_2=22\cdot 2-7=37$

$a_3=22\cdot 3-7=59$

$a_4=22\cdot 4-7=81$

$a_5=22\cdot 5-7=103$

Portanto, os cinco primeiros termos dessa sequência são $\left(15,37,59,81,103,...\right)$.

b ) $a_n={\left(n-1\right)}^3$

$a_1={\left(1-1\right)}^3=0$

$a_2={\left(2-1\right)}^3=1$

$a_3={\left(3-1\right)}^3=8$

$a_4={\left(4-1\right)}^3=27$

$a_5={\left(5-1\right)}^3=64$

Portanto, os cinco primeiros termos dessa sequência são $\left(0,1,8,27,64,...\right)$.

c ) $a_n=\frac{n^2}{3^n}$

$a_1=\frac{1^2}{3^1}=\frac{1}{3}$

$a_2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$

$a_3=\frac{3^2}{3^3}=\frac{1}{3}$

$a_4=\frac{4^2}{3^4}=\frac{16}{81}$

$a_5=\frac{5^2}{3^5}=\frac{25}{243}$

Portanto, os cinco primeiros termos dessa sequência são $\left(\frac{1}{3},\frac{4}{9},\frac{1}{3},\frac{16}{81},\frac{25}{243},...\right)$.

d ) $a_n=\frac{{\left(n-1\right)}^2+1}{n}$

$a_1=\frac{{\left(1-1\right)}^2+1}{1}=1$

$a_2=\frac{{\left(2-1\right)}^2+1}{2}=1$

$a_3=\frac{{\left(3-1\right)}^2+1}{3}=\frac{5}{3}$

$a_4=\frac{{\left(4-1\right)}^2+1}{4}=\frac{5}{2}$

$a_5=\frac{{\left(5-1\right)}^2+1}{5}=\frac{17}{5}$

Portanto, os cinco primeiros termos dessa sequência são $\left(1,1,\frac{5}{3},\frac{5}{2},\frac{17}{5},...\right)$.

3. a ) Cada figura tem duas bolinhas a mais que a figura anterior e, como a quinta figura tem 13 bolinhas, a sexta figura terá $13+2=15$, ou seja, 15 bolinhas.

b ) Considerando a quantidade de bolinhas na posição de cada figura, temos a sequência $\left(5,7,9,11,13,...\right)$.

c ) De acordo com a sequência $\left(5,7,9,11,13,...\right)$, cada termo pode ser escrito como:

$a_1=5=2\cdot 1+3$

$a_2=7=2\cdot 2+3$

$a_3=9=2\cdot 3+3$

$a_4=11=2\cdot 4+3$

$a_5=13=2\cdot 5+3$

Logo, o termo geral da sequência é $a_n=2\cdot n+3$.

Portanto, a alternativa I está correta.

d ) Para saber quantas bolinhas haverá na figura 12, ou seja, a figura que ocupa a posição $a_{12}$, fazemos:

$a_{12}=2\cdot 12+3=24+3=27$

Portanto, a figura 12 terá 27 bolinhas.

e ) O primeiro termo da sequência é 5, ou seja, $a_1=5$. Como o termo seguinte, do segundo em diante, tem sempre dois termos a mais, uma sugestão de resposta é definir a sequência, de forma recursiva, como $a_n=a_{n-1}+2$, com $n>1$ e $a_1=5$.

4. Nas alternativas a e b, os termos da sequência estão definidos de tal modo que dependem apenas da posição n, enquanto, nas alternativas c e d, os termos da sequência dependem do termo anterior. Portanto, apenas as alternativas c e d estão definidas de maneira recursiva.

5. a ) De acordo com as informações do enunciado, temos:

$a_1=-2$

$a_2=3$

Considerando a regra definida por Milena, os próximos termos até o 7º são:

$a_3=a_1+a_2=-2+3=1$

$a_4=a_3+a_2=1+3=4$

$a_5=a_4+a_3=4+1=5$

$a_6=a_5+a_4=5+4=9$

$a_7=a_6+a_5=9+5=14$

Assim, podemos escrever a sequência $(-2,3,1,4,5,9,14,...)$.

b ) Não, pois cada termo depende dos dois termos imediatamente anteriores.

c ) Sim. Sugestão de resposta:

Como Milena definiu os termos da sequência como a adição dos dois termos anteriores, então seu termo geral é dado, na forma recursiva, como $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, para $n>2$.

6. a ) Sugestão de resposta:

b ) Os próximos três termos da sequência são:

$a_6=5\cdot 6-13=17$

$a_7=5\cdot 7-13=22$

$a_8=5\cdot 8-13=27$

7. a ) Na sequência 1, a quantidade de bolinhas em cada posição é igual à quantidade da posição anterior acrescida de duas unidades. Assim, uma sugestão de resposta é:

$a_1=2\cdot 1+2=4$

$a_2=2\cdot 2+2=6$

$a_3=2\cdot 3+2=8$

$a_4=2\cdot 4+2=10$

$a_5=2\cdot 5+2=12$

Desse modo, temos a fórmula $a_n=2n+2$, sendo $n>0$.

Na sequência 2, a quantidade de bolinhas em cada posição é igual ao número da posição acrescido de dez unidades. Assim, uma sugestão de resposta é:

$a_1=1+10=11$

$a_2=2+10=12$

$a_3=3+10=13$

$a_4=4+10=14$

$a_5=5+10=15$

Logo, temos a fórmula $a_n=n+10$, sendo $n>0$.

Na sequência 3, a quantidade de bolinhas é exatamente o quádruplo do número da posição subtraído de três unidades. Assim, uma sugestão de resposta é:

$a_1=4\cdot 1-3=1$

$a_2=4\cdot 2-3=5$

$a_3=4\cdot 3-3=9$

$a_4=4\cdot 4-3=13$

$a_5=4\cdot 5-3=17$

Portanto, temos a fórmula $a_n=4n-3$, com $n>0$.

b ) Sequência 1:

Sequência 2:

Sequência 3:

8. a )

b ) $a_1=1$

$a_2=a_{2-1}\cdot 2=1\cdot 2=2$

$a_3=a_{3-1}\cdot 3=2\cdot 3=6$

$a_4=a_{4-1}\cdot 4=6\cdot 4=24$

$a_5=a_{5-1}\cdot 5=24\cdot 5=120$

$a_6=a_{6-1}\cdot 6=120\cdot 6=720$

Assim, podemos escrever a sequência (1, 2, 6, 24, 120, 720, ...).

9. a ) A sequência B foi definida por recorrência.

b ) A sequência A está associada ao fluxograma II e a sequência B está associada ao fluxograma I.

c ) Calculando os 8 primeiros termos da sequência A, temos:

$a_1=2\cdot 1+5=7$

$a_2=2\cdot 2+5=9$

$a_3=2\cdot 3+5=11$

$a_4=2\cdot 4+5=13$

$a_5=2\cdot 5+5=15$

$a_6=2\cdot 6+5=17$

$a_7=2\cdot 7+5=19$

$a_8=2\cdot 8+5=21$

Assim, podemos escrever a sequência (7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...).

Calculando os 8 primeiros termos da sequência B, temos:

$a_1=2$

$a_2=2\cdot a_{2-1}-1=2\cdot a_1-1=2\cdot 2-1=3$

$a_3=2\cdot a_{3-1}-1=2\cdot a_2-1=2\cdot 3-1=5$

$a_4=2\cdot a_{4-1}-1=2\cdot a_3-1=2\cdot 5-1=9$

$a_5=2\cdot a_{5-1}-1=2\cdot a_4-1=2\cdot 9-1=17$

$a_6=2\cdot a_{6-1}-1=2\cdot a_5-1=2\cdot 17-1=33$

$a_7=2\cdot a_{7-1}-1=2\cdot a_6-1=2\cdot 33-1=65$

$a_8=2\cdot a_{8-1}-1=2\cdot a_7-1=2\cdot 65-1=129$

Assim, podemos escrever a sequência (2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, ...).

10. Se $a_{n-1}$ for par, temos $a_n=\frac{a_{n-1}}{2}$; se $a_{n-1}$ for ímpar, temos $a_n=2\cdot \left(a_{n-1}-1\right)$.

a ) Sendo $a_1=10$, então:

$a_2=\frac{10}{2}=5$

$a_3=2\cdot \left(5-1\right)=8$

$a_4=\frac{8}{2}=4$

$a_5=\frac{4}{2}=2$

$a_6=\frac{2}{2}=1$

Logo, a sequência é $\left(10,5,8,4,2,1\right)$.

b )

c ) Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Escolhendo $a_1=6$, temos:

$a_2=\frac{6}{2}=3$

$a_3=2\cdot \left(3-1\right)=4$

$a_4=\frac{4}{2}=2$

$a_5=\frac{2}{2}=1$

Portanto, a sequência é $\left(6,3,4,2,1\right)$.

11. a ) Considerando que, nessa sequência, cada termo é dado pela adição dos dois termos anteriores, temos:

$a_1=1$

$a_2=1$

$a_3=a_1+a_2=1+1=2$

$a_4=a_2+a_3=1+2=3$

$a_5=a_3+a_4=2+3=5$

$a_6=a_4+a_5=3+5=8$

$a_7=a_5+a_6=5+8=13$

$a_8=a_6+a_7=8+13=21$

$a_9=a_7+a_8=13+21=34$

$a_{10}=a_8+a_9=21+34=55$

$a_{11}=a_9+a_{10}=34+55=89$

$a_{12}=a_{10}+a_{11}=55+89=144$

$a_{13}=a_{11}+a_{12}=89+144=233$

Portanto, o 13º termo é 233.

b ) Como cada termo é a adição de dois termos anteriores, essa sequência está definida recursivamente e sua fórmula é dada por $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, com $a_1=1$, $a_2=1$ e $n>2$.

c ) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes encontrem que Leonardo Fibonacci foi responsável por popularizar os números arábicos na Europa, na época em que ainda eram usados os símbolos da numeração romana, além de explicar o sistema decimal. Seu livro Liber abaci foi muito útil aos comerciantes, ao explicar os cálculos de juros, conversões monetárias e de medidas e vários métodos e algoritmos.

O que eu estudei?

1. a ) Os numeradores são múltiplos de 3, enquanto os denominadores são ímpares. Assim:

$a_1=\frac{3\cdot 1}{2\cdot 1+1}=\frac{3}{3}=1$

$a_2=\frac{3\cdot 2}{2\cdot 2+1}=\frac{6}{5}$

$a_3=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 3+1}=\frac{9}{7}$

$a_4=\frac{3\cdot 4}{2\cdot 4+1}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

$a_5=\frac{3\cdot 5}{2\cdot 5+1}=\frac{15}{11}$

$a_6=\frac{3\cdot 6}{2\cdot 6+1}=\frac{18}{13}=1$

Logo, o termo geral é dado por $a_n=\frac{3n}{2n+1}$, com $n>0$.

b ) $a_{50}=\frac{3\cdot 50}{2\cdot 50+1}=\frac{150}{101}$.

2. De acordo com a sequência definida, os 5 primeiros termos são:

$a_1=2.048$

$a_2=\frac{a_{2-1}}{2}=\frac{a_1}{2}=\frac{2.048}{2}=1.024$

$a_3=\frac{a_{3-1}}{2}=\frac{a_2}{2}=\frac{1.024}{2}=512$

$a_4=\frac{a_{4-1}}{2}=\frac{a_3}{2}=\frac{512}{2}=256$

$a_5=\frac{a_{5-1}}{2}=\frac{a_4}{2}=\frac{256}{2}=128$

Assim, podemos escrever a sequência (2.048, 1.024, 512, 256, 128, ...).

3. a ) $a_{25}=25-13=12$

b ) $a_{25}=6\cdot 25-100=150-100=50$

c ) $a_{25}={\left(25-5\right)}^2={20}^2=400$

d ) $a_{25}=\frac{25+15}{2}=\frac{40}{2}=20$

e ) $a_{25}=2^{\frac{25}{5}}=2^5=32$

f ) $a_{25}=\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$

4.

$a_1=-14$

$a_2=a_1+2\cdot 2=-14+4=-10$

$a_3=a_2+2\cdot 3=-10+6=-4$

$a_4=a_3+2\cdot 4=-4+8=4$

$a_5=a_4+2\cdot 5=4+10=14$

Portanto, temos a sequência $\left(-14,-10,-4,4,14,...\right)$.

5. A quantidade de bolinhas em cada posição da sequência é dada pelo triplo do número referente à posição adicionado a três unidades. Portanto, o termo geral da sequência é $a_n=3n+3$, com $n>0$.

6. a ) Na alternativa I, $a_3=\frac{3^2}{2^3}=\frac{9}{8}$. Como $\frac{9}{8}\ne \frac{4}{3}$, então $a_n=\frac{n^2}{2^n}$ não é o termo geral da sequência.

Na alternativa III, $a_1=\frac{1^2}{1+2}=\frac{1}{3}$. Como $\frac{1}{3}\ne 1$, então $a_n=\frac{n^2}{n+2}$ não é o termo geral da sequência.

Na alternativa II, temos, para os 4 primeiros termos:

$a_1=\frac{2^1}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

$a_2=\frac{2^2}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$

$a_3=\frac{2^3}{2\cdot 3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

$a_4=\frac{2^4}{2\cdot 4}=\frac{16}{8}=2$

Generalizando, verificamos que o termo geral dessa sequência coincide com a alternativa II, ou seja, $a_n=\frac{2^n}{2n}$, com $n>0$.

Portanto, o termo geral é apresentado na alternativa II.

b )

c ) $a_{10}=\frac{2^{10}}{2\cdot 10}=\frac{1.024}{20}=\frac{512}{10}=\frac{256}{5}$.

7. a ) Para determinar recursivamente essa sequência, considere $a_1=18$ como a quantidade de bolinhas na primeira posição. Como os termos seguintes são obtidos ao retirar 3 bolinhas da posição anterior, essa sequência pode ser definida de maneira recursiva por $a_n=a_{n-1}-3$, com $a_1=18$ e $1<n<8$.

b ) $a_6=a_5-3=6-3=3$

Portanto, na sexta posição haverá 3 bolinhas.

Unidade 10

Polígonos e circunferência

Questão 1. Para obter as diagonais que partem de um único vértice de um polígono de 10 lados, precisamos desconsiderar da contagem o vértice de partida, uma vez que ele não pode ser ligado a si próprio nem aos dois vértices consecutivos a ele, pois seriam lados do polígono. Desse modo, restam 7 vértices aos quais ele pode ser ligado a fim de obter diagonais.

Portanto, 7 diagonais partem de um único ponto.

Questão 2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a quantidade de diagonais que partem de um único vértice em um polígono é igual à quantidade de vértices ou de lados dele menos 3, pois, para formar diagonais, esse vértice não pode ser ligado a ele mesmo nem aos dois vértices consecutivos a ele.

Questão 3. O polígono que não tem diagonais é o triângulo, pois, ao considerarmos um vértice, os outros dois restantes são consecutivos a ele, o que impossibilita a formação de diagonais.

Atividades

1. As figuras A e D são polígonos não convexos, pois podemos traçar retas que passam pelo interior deles cortando seus contornos em mais de dois pontos. A figura B é um polígono convexo, pois qualquer reta que passa pelo seu interior corta seu contorno em apenas dois pontos. A figura C não é um polígono, pois não é formada somente por segmentos de reta.

2. a ) Um polígono de 6 lados também tem 6 vértices. Logo, o número que substitui o $\text{■}$ é o 6.

b ) Um polígono tem, no mínimo, 3 lados, pois, com dois lados, teremos um ângulo e, com um lado, um segmento de reta. Logo, o número que substitui o $\text{■}$ é o 3.

c ) Aplicando a fórmula para o cálculo da quantidade $D$ de diagonais de um polígono convexo com $n$ lados ou vértices para $n=12$, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(12-3\right)\cdot 12}{2}$

$D=\frac{9\cdot 12}{2}$

$D=\frac{108}{2}$

$D=54$

Portanto, um polígono convexo com 12 lados tem 54 diagonais e o $\text{■}$ deve ser substituído pelo número 54.

d ) Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

O pentágono regular tem 5 diagonais, pois, aplicando a fórmula para o cálculo da quantidade D de diagonais desse polígono, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(5-3\right)\cdot 5}{2}$

$D=\frac{2\cdot 5}{2}$

$D=\frac{10}{2}$

$D=5$

Logo, uma substituição adequada do primeiro $\text{■}$ é a palavra pentágono e do segundo $\text{■}$ é o número 5.

3. Como o polígono convexo A tem 7 lados, então, de um único vértice, partem 4 diagonais, pois $7-3=4$.

Como o polígono convexo B tem 12 lados, então, de um único vértice, partem 9 diagonais, pois $12-3=9$.

4. Vamos aplicar a fórmula para calcular a quantidade de diagonais em um polígono convexo de $n$ lados em cada item.

a ) Para $n=5$, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(5-3\right)\cdot 5}{2}$

$D=\frac{2\cdot 5}{2}$

$D=\frac{10}{2}$

$D=5$

Logo, um polígono convexo com 5 lados tem 5 diagonais.

b ) Para $n=13$, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(13-3\right)\cdot 13}{2}$

$D=\frac{10\cdot 13}{2}$

$D=\frac{130}{2}$

$D=65$

Logo, um polígono convexo com 13 lados tem 65 diagonais.

c ) Para $n=20$, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(20-3\right)\cdot 20}{2}$

$D=\frac{17\cdot 20}{2}$

$D=\frac{340}{2}$

$D=170$

Logo, um polígono convexo com 20 lados tem 170 diagonais.

d ) Para $n=13$, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(15-3\right)\cdot 15}{2}$

$D=\frac{12\cdot 15}{2}$

$D=\frac{180}{2}$

$D=90$

Logo, um polígono convexo com 15 lados tem 90 diagonais.

5. O polígono A é regular e tem 11 lados. Assim, a quantidade total de suas diagonais é dada por:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(11-3\right)\cdot 11}{2}$

$D=\frac{8\cdot 11}{2}$

$D=\frac{88}{2}$

$D=44$

Como já estão traçadas 8 diagonais no polígono A, para que estejam representadas todas as diagonais, faltam 36 diagonais, pois $44-8=36$.

O polígono B é um polígono regular com 10 lados. Assim, a quantidade total de suas diagonais é dada por:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(10-3\right)\cdot 10}{2}$

$D=\frac{7\cdot 10}{2}$

$D=\frac{70}{2}$

$D=35$

Como já estão traçadas 5 diagonais no polígono B, para que estejam representadas todas as diagonais, faltam 30 diagonais, pois $35-5=30$.

6. A quantidade de diagonais em um pentágono é dada por:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(5-3\right)\cdot 5}{2}$

$D=\frac{2\cdot 4}{2}$

$D=\frac{10}{2}$

$D=5$

Logo, um pentágono tem 5 diagonais.

A quantidade de diagonais em um hexágono é dada por:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(6-3\right)\cdot 6}{2}$

$D=\frac{3\cdot 6}{2}$

$D=\frac{18}{2}$

$D=9$

Logo, um hexágono tem 9 diagonais.

Como a figura geométrica espacial é formada por 12 faces com formato de pentágono e 20 faces com formato de hexágono, ao traçarmos todas as diagonais de cada face, a quantidade de diagonais que traçaremos é dada por:

$12\cdot 5+20\cdot 9=60+180=240$

Portanto, traçaremos ao todo 240 diagonais.

7. a ) As diagonais do polígono amarelo que não representam diagonais do polígono rosa são aquelas que não passam pelos vértices do polígono rosa. Logo, 12 diagonais do polígono amarelo não representam diagonais do polígono rosa.

b ) Como o polígono rosa tem 8 lados, a quantidade de diagonais desse polígono é dada por:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(8-3\right)\cdot 8}{2}$

$D=\frac{5\cdot 8}{2}$

$D=\frac{40}{2}$

$D=20$

Portanto, o polígono rosa tem 20 diagonais. Como estão traçadas somente 8 diagonais no polígono rosa, para traçar todas as diagonais dele, faltam 12 diagonais, pois $20-8=12$.

Questão 4. Aplicando a fórmula para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados ao retângulo e considerando $n=4$, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(4-2\right)\cdot 180°$

$S_i=2\cdot 180°$

$S_i=360°$

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos do retângulo é igual a $360°$.

Atividades

8. Para resolver os itens dessa atividade, vamos aplicar a fórmula que permite calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados.

A. Como o polígono tem 7 lados, calculamos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(7-2\right)\cdot 180°$

$S_i=5\cdot 180°$

$S_i=900°$

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $900°$.

B. Como o polígono tem 9 lados, calculamos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(9-2\right)\cdot 180°$

$S_i=7\cdot 180°$

$S_i=1.260°$

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.260°$.

C. Como o polígono tem 11 lados, calculamos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(11-2\right)\cdot 180°$

$S_i=9\cdot 180°$

$S_i=1.620°$

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.620°$.

D. Como o polígono tem 8 lados, calculamos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(8-2\right)\cdot 180°$

$S_i=6\cdot 180°$

$S_i=1.080°$

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.080°$.

9. A. Como o polígono tem 6 lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é dada por:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(6-2\right)\cdot 180°$

$S_i=4\cdot 180°$

$S_i=720°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $720°$.

Como esse polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Portanto, cada ângulo interno desse polígono mede $120°$, pois $\frac{720°}{6}=120°$.

B. Como o polígono tem 8 lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é dada por:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(8-2\right)\cdot 180°$

$S_i=6\cdot 180°$

$S_i=1.080°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.080°$.

Como esse polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Portanto, cada ângulo interno desse polígono mede $135°$, pois $\frac{1.080°}{8}=135°$.

C. Como o polígono tem 10 lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é dada por:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(10-2\right)\cdot 180°$

$S_i=8\cdot 180°$

$S_i=1.440°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.440°$.

Como esse polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Portanto, cada ângulo interno desse polígono mede $144°$, pois $\frac{1.440°}{10}=144°$.

D. Como o polígono tem 12 lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é dada por:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(12-2\right)\cdot 180°$

$S_i=10\cdot 180°$

$S_i=1.800°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono é igual a $1.800°$.

Como esse polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Portanto, cada ângulo interno desse polígono mede $150°$, pois $\frac{1.800°}{12}=150°$.

10. A. Adicionando as medidas conhecidas dos três ângulos, temos: $106°+90°+116°=312°$

Como o polígono tem quatro lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é igual a $360°$.

Calculando $360°-312°=48°$, verificamos que a medida desconhecida é $48°$.

B. Adicionando as medidas conhecidas dos cinco ângulos, temos $119°+144°+82°+126°+127°=598°$.

Como o polígono tem seis lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é igual a $720°$.

Calculando $720°-598°=122°$, verificamos que a medida desconhecida é $122°$.

C. Adicionando as medidas conhecidas dos quatro ângulos, temos $72°+135°+90°+112°=409°$.

Como o polígono tem cinco lados, a soma da medida dos seus ângulos internos é igual a $540°$.

Calculando $540°-409°=131°$, verificamos que a medida desconhecida é $131°$.

11. a ) Primeiro, devemos calcular a quantidade de lados de um polígono convexo que tenha 2 diagonais. Substituindo $D$ por 2 na fórmula, temos:

$2=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

Multiplicando os dois membros dessa equação por 2, obtemos:

$4=\left(n-3\right)\cdot n$

Assim, se $n=4$, vamos ter:

$\left(n-3\right)\cdot n=\left(4-3\right)\cdot 4=1\cdot 4=4$

Com isso, verificamos que, se o polígono tem 2 diagonais, então ele tem 4 lados. Desse modo:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(4-2\right)\cdot 180°$

$S_i=2\cdot 180°$

$S_i=360°$

Portanto, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a $360°$.

b ) Primeiro, devemos calcular a quantidade de lados de um polígono convexo que tenha 5 diagonais. Substituindo $D$ por 5 na fórmula, temos:

$5=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

Multiplicando os dois membros dessa equação por 2, obtemos: $10=\left(n-3\right)\cdot n$

Assim, se $n=5$, vamos ter:

$\left(n-3\right)\cdot n=\left(5-3\right)\cdot 5=2\cdot 5=10$

Com isso, verificamos que, se o polígono tem 5 diagonais, então ele tem 5 lados. Desse modo:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(5-2\right)\cdot 180°$

$S_i=3\cdot 180°$

$S_i=540°$

Portanto, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a $540°$.

c ) Primeiro, devemos calcular a quantidade de lados de um polígono convexo que tenha 0 diagonais. Substituindo $D$ por 0 na fórmula, temos:

$0=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

Multiplicando os dois membros dessa equação por 2, obtemos:

$0=\left(n-3\right)\cdot n$

Assim, se $n=3$, vamos ter:

$\left(n-3\right)\cdot n=\left(3-3\right)\cdot 3=0\cdot 3=0$

Com isso, verificamos que, se o polígono tem 0 diagonais, ele tem 3 lados. Desse modo:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(5-2\right)\cdot 180°$

$S_i=3\cdot 180°$

$S_i=540°$

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(3-2\right)\cdot 180°$

$S_i=1\cdot 180°$

$S_i=180°$

Portanto, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a $180°$

12. Sendo um polígono de quatro lados, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a $360°$. Desse modo, podemos escrever a equação a seguir.

$6x-86°+3x-10°+3x+16°+2x+6°=360°$

Resolvendo-a, temos:

$6x-86°+3x-10°+3x+16°+2x+6°=360°$

$14x-74°=360°$

$14x-74°+74°=360°+74°$

$14x=434°$

$\frac{14x}{14}=\frac{434°}{14}$

$x=31°$

Substituindo $x$ por $31°$ na medida de cada ângulo interno do polígono, temos:

$\text{med}\left(D\hat{G}F\right)=6x-86°=6\cdot 31°-86°=186°-86°=100°$

$\text{med}\left(G\hat{F}E\right)=3x-10°=3\cdot 31°-10°=93°-10°=83°$

$\text{med}\left(F\hat{E}D\right)=3x+16°=3\cdot 31°+16°=93°+16°=109°$

$\text{med}\left(E\hat{D}G\right)=2x+6°=2\cdot 31°+6°=62°+6°=68°$

13. a ) O formato dos pisos indicados na imagem lembra o quadrado e o octógono.

b ) Como o quadrado tem 4 lados, então:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(4-2\right)\cdot 180°$

$S_i=2\cdot 180°$

$S_i=360°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrado é igual a $360°$.

Como o octógono tem 8 lados, então:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$S_i=\left(8-2\right)\cdot 180°$

$S_i=6\cdot 180°$

$S_i=1.080°$

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos de um octógono é igual a $1.080°$.

Como quadrados e octógonos são polígonos convexos, a soma das medidas dos seus ângulos externos é igual a $360°$.

c ) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrado é igual $360°$ e seus quatro ângulos têm a mesma medida, verificamos que seus ângulos internos medem $90°$ cada um, pois $\frac{360°}{4}=90°$.

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um octógono é igual $1.080°$ e seus oito ângulos têm a mesma medida, verificamos que seus ângulos internos medem $135°$ cada um, pois $\frac{1.080°}{8}=135°$.

d ) Como o quadrado tem 4 lados, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(4-3\right)\cdot 4}{2}$

$D=\frac{1\cdot 4}{2}$

$D=\frac{4}{2}$

$D=2$

Logo, o quadrado tem 2 diagonais.

Como o octógono tem 8 lados, temos:

$D=\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}$

$D=\frac{\left(8-3\right)\cdot 8}{2}$

$D=\frac{5\cdot 8}{2}$

$D=\frac{40}{2}$

$D=20$

Logo, o octógono tem 20 diagonais.

14. Para resolver os itens dessa atividade, vamos aplicar a fórmula para o cálculo da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados.

a ) Substituindo $S_i$ por $360°$ na fórmula, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$360°=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$\frac{360°}{180°}=\frac{\left(n-2\right)\cdot 180°}{180°}$

$2=n-2$

$2+2=n-2+2$

$2=n$

Portanto, o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a $360°$ tem 4 lados.

b ) Substituindo $S_i$ por $1.800°$ na fórmula, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$1.800°=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$\frac{1.800°}{180°}=\frac{\left(n-2\right)\cdot 180°}{180°}$

$10=n-2$

$10+2=n-2+2$

$12=n$

Portanto, o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a $1.800°$ tem 12 lados.

c ) Substituindo $S_i$ por $1.440°$ na fórmula, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$1.440°=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$\frac{1.440°}{180°}=\frac{\left(n-2\right)\cdot 180°}{180°}$

$8=n-2$

$8+2=n-2+2$

$10=n$

Portanto, o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a $1.440°$ tem 10 lados.

d ) Substituindo $S_i$ por $1.080°$ na fórmula, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$1.080°=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$\frac{1.080°}{180°}=\frac{\left(n-2\right)\cdot 180°}{180°}$

$6=n-2$

$6+2=n-2+2$

$8=n$

Portanto, o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a $1.080°$ tem 8 lados.

15. A. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a $360°$ e esse é um polígono regular com 5 lados, a medida de cada ângulo externo é igual a $72°$, pois seus ângulos externos são congruentes e $\frac{360°}{5}=72°$.

B. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a $360°$ e esse é um polígono regular com 10 lados, a medida de cada ângulo externo é igual a $36°$, pois seus ângulos externos são congruentes e $\frac{360°}{10}=36°$.

16. A soma das medidas de um ângulo interno com um externo, de mesmo vértice, em um polígono convexo é igual a $180°$. Desse modo, temos:

$\hat{a}+67°=180°$

$\hat{a}=113°$

$\hat{b}+95°=180°$

$\hat{b}=85°$

$\hat{c}+80°=180°$

$\hat{c}=100°$

Como o polígono tem 4 lados, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a $360°$. Adicionando as medidas dos três ângulos internos que são conhecidas, temos:

$67°+85°+100°=252°$

Como $360°-252°=108°$, segue que $\hat{d}=108°$.

Além disso, temos:

$\hat{e}+108°=180°$

$\hat{e}=72°$

17. • Quadro A:

Substituindo $S_i$ por $360°$ na fórmula para o cálculo da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados, temos:

$S_i=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$360°=\left(n-2\right)\cdot 180°$

$\frac{360°}{180°}=\frac{\left(n-2\right)\cdot 180°}{180°}$

$2=n-2$

$2+2=n-2+2$

$4=n$

Assim, esse polígono tem 4 lados.

Como os seus ângulos internos têm a mesma medida, cada um desses ângulos mede $90°$ e esse polígono é um retângulo.

Quadro B:

Como esse polígono tem 12 vértices, ele também tem 12 lados. Como todos os seus ângulos externos medem $30°$, ele é regular e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida, que é $150°$, pois $180°-30°=150°$.

Logo, esse é um polígono regular de 12 lados, denominado dodecágono regular.

Questão 5. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Considere $\hat{y}$ a medida do ângulo externo ao ângulo de medida $\hat{b}$. Desse modo, temos $\hat{y}+\hat{b}=180°$ ou, ainda, $\hat{b}=180°-\hat{y}$. Consequentemente:

$\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=180°$

$\hat{a}+180°-\hat{y}+\hat{c}=180°$

$\hat{a}+180°-\hat{y}+\hat{c}-180°=180°-180°$

$\hat{a}-\hat{y}+\hat{c}=0$

$\hat{y}=\hat{a}+\hat{c}$

Logo, $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}$.