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UNIDADE

1

Potenciação e radiciação

Fotografia do planeta Júpiter, bem próximo, à frente da imagem. Ele tem cores em tons de cinza e marrom claro, que aparecem como faixas na horizontal. Ao lado, bem pequenos, dois satélites naturais e um terceiro, sobreposto a fotografia do planeta Júpiter, à sua frente, chamados de luas de Júpiter.
Imagem de Júpiter com três de seus quatro maiores satélites, capturada pela sonda Voyager 1, em 5 de fevereiro de 1979. Podemos expressar a medida da distância média aproximada entre Júpiter e o Sol, em quilômetros, pela potência 778 1 0 6 .

Agora vamos estudar...

  • potenciação;
  • radiciação;
  • potência com expoente fracionário.

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Potenciação

Potência com expoente natural

Ícone Objeto digital

Renata trabalha em uma fábrica de remédios. Ela armazena a produção em caixas, que são organizadas em pequenos lotes, como mostrado na imagem.

Ilustração de caixas de remédio empilhadas em três fileiras com 9 caixas em cada fileira.

Para determinar quantas caixas de remédios são organizadas em cada lote, podemos efetuar uma multiplicação de fatores iguais, que pode ser escrita como potenciação.

Esquema que indica uma potenciação 3 vezes 3 vezes 3. igual a. 3 elevado ao cubo que está em destaque com a indicação: potência. igual a 27 há um traço a frente escrito: 'resultado da potenciação'. Na base 3 está escrito: 'base: fator que se repete', no expoente está escrito: 'expoente: quantidade de vezes que o fator se repete'.

A potência 3 3 é lida da seguinte maneira: três elevado à terceira potência ou três elevado ao cubo.

Portanto, cada lote tem 27 caixas de remédio.

Denomina-se potência de base a e expoente b, em que b é um número natural maior do que 1, o número a b , que corresponde ao produto de b fatores a.

a b = a a a a b   fatores

Caso b = 0 ou b = 1 , definimos: a 1 = a e a 0 = 1 , com a 0 .

Uma potência é positiva quando sua base é um número inteiro positivo.

Analise alguns exemplos de potências cuja base é um número inteiro positivo.

a) 6 5 = 6 6 6 6 6 = 7 . 776

b) ( 1 , 5 ) 2 = ( 1 , 5 ) ( 1 , 5 ) = 2 , 2 5

c) ( 1 2 ) 3 = 1 2 1 2 1 2 = 1 8

Quando a base de uma potência for um número inteiro negativo, ela será:

  • positiva, se o expoente for par;
  • negativa, se o expoente for ímpar.

Analise alguns exemplos de potências cuja base é um número inteiro negativo.

a) ( 2 ) 4 = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 1 6

b) ( 5 ) 1 = 5

c) ( 2 3 ) 3 = ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) = 8 27

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Potência com expoente negativo

Agora, vamos estudar um pouco mais sobre potências com expoente inteiro, especificamente nos casos em que o expoente é um número inteiro negativo.

Um número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse número elevado ao oposto do expoente.

Sendo a (base) um número diferente de zero e n (expoente) um número natural, temos:

a n = 1 a n ou a n = ( 1 a ) n

Atenção!

Lembre-se de que o inverso de a é 1 a , sendo a um número diferente de zero.

Analise mais alguns exemplos.

  • 3 5 = ( 1 3 ) 5 = 1 5 3 5 = 1 243
  • ( 2 5 ) 2 = ( 5 2 ) 2 = 25 4
  • ( 1 4 ) 3 = ( 4 1 ) 3 = 4 3 1 3 = 6 4
  • ( 6 ) 4 = 1 ( 6 ) 4 = 1 1296

Considere a sequência apresentada.

  • 8

  • 4

  • 2

  • 1

  • 1 2

  • 1 4

  • 1 8

  • 1 16

Vamos escrever os termos dessa sequência como potência de base 2.

  • 1º termo: 8 = 2 3
  • 2º termo: 4 = 2 2
  • 3º termo: 2 = 2 1
  • 4º termo: 1 = 2 0
  • 5º termo: 1 2 = 2 1
  • 6º termo: 1 4 = 1 2 2 = 2 2
  • 7º termo: 1 8 = 1 2 3 = 2 3
  • 8º termo: 1 16 = 1 2 4 = 2 4

Questão 1. Agora, escreva em seu caderno os termos da sequência apresentada a seguir como potências de base 2 .

  • 8

  • 4

  • 2

  • 1

  • 1 2

  • 1 4

  • 1 8

  • 1 16

Resposta: ( 2 ) 3 ; ( 2 ) 2 ; ( 2 ) 1 ; ( 2 ) 0 ; ( 2 ) 1 ; ( 2 ) 2 ; ( 2 ) 3 ; ( 2 ) 4 .

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Instrumentos e softwares

Calculando potências com expoente negativo

Usando uma calculadora científica, vamos calcular potências com expoentes negativos seguindo alguns procedimentos, como o cálculo de 2 2 no exemplo a seguir.

1º. Registre o número 2. Em seguida, pressione a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o acento circunflexo..

2º. Digite as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com com a indicação: abre parênteses, menos, fecha parênteses.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 2..

3º. Por fim, pressione Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual., para obter o número decimal como resultado.

Ilustração do visor de uma calculadora com a operação: 2 elevado a menos 4 e o resultado zero ponto 25.

4º. Para obter o resultado na forma de fração, basta digitar na sequência a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com a elevado a, início de fração, numerador: b, denominador: c, fim de fração..

Ilustração do visor de uma calculadora com a operação: 2 elevado a menos 2 e o resultado fração: um quarto.

Para cálculos de potências com base e expoente negativos, como ( 4 ) 2 , procedemos da seguinte maneira:

1º. Pressione as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com abre parênteses.Ilustração de uma tecla de calculadora com com a indicação: abre parênteses, menos, fecha parênteses.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 4.Ilustração de uma tecla de calculadora com fecha parênteses., nesta ordem.

2º. Em seguida, digite Ilustração de uma tecla de calculadora com o acento circunflexo.Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de menos.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 2..

3º. Por fim, pressione a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual., para obter o número decimal como resultado.

Ilustração do visor de uma calculadora com a operação: abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, elevado a menos 2 e o resultado zero ponto zero 625.

4º. Para obter o resultado na forma de fração, basta digitar na sequência a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com a elevado a, início de fração, numerador: b, denominador: c, fim de fração..

Ilustração do visor de uma calculadora com a operação: abre parênteses, menos 4, fecha parênteses, elevado a menos 2 e o resultado início de fração: numerador: 1, denominador: 16, fim de fração.

Agora, verifique como podemos calcular o valor de ( 3 4 ) 2 .

1º. Pressione as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com abre parênteses.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 3.Ilustração de uma tecla de calculadora com a elevado a, início de fração, numerador: b, denominador: c, fim de fração.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 4.Ilustração de uma tecla de calculadora com fecha parênteses., nesta sequência.

2º. Em seguida, digite Ilustração de uma tecla de calculadora com o acento circunflexo.Ilustração de uma tecla de calculadora com com a indicação: abre parênteses, menos, fecha parênteses.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 2..

3º. Para obter o resultado, pressione a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual..

Ilustração do visor de uma calculadora com a operação: abre parênteses, fração: 3 quartos, elevado a menos 2 e o resultado número misto: um inteiro e 7 nonos.

Portanto, o resultado é 1 7 9 . Para obtê-lo na forma fracionária, basta digitar as teclas Ilustração da tecla SHIFT de uma calculadora.e Ilustração de uma tecla de calculadora com a elevado a, início de fração, numerador: b, denominador: c, fim de fração., nesta ordem. No fim, obteremos 16 9 .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No caderno, escreva com algarismos a potência apresentada por extenso em cada item. Depois, calcule o valor de cada uma.

a) Quatro elevado ao quadrado.

b) Dez elevado ao cubo.

c) Seis elevado à quarta potência.

d) Três elevado ao cubo.

e) Cinco elevado ao quadrado.

f) Dois elevado à quarta potência.

Respostas: a) 4 2 = 1 6 ; b) 1 0 3 = 1 . 000 ; c) 6 4 = 1 . 296 ; d) 3 3 = 2 7 ; e) 5 2 = 2 5 ; f) 2 4 = 1 6 .

2. Calcule as potências a seguir em seu caderno.

a) 6 2

b) 2 5

c) 1 5 0

d) 7 3

e) 8 4

f) 5 3

g) 1 0 4

h) 2 7 1

i) 2 1 0

j) 4 2 0

k) 4 3

l) 7 5 1

m) 10 8 0

n) 10 0 2

o) 85 9 1

p) 1 . 057 0

Respostas: a) 36; b) 32; c) 1; d) 343; e) 4.096; f) 125; g) 10.000; h) 27; i) 1.024; j) 1; k) 64; l) 75; m) 1; n) 10.000; o) 859; p) 1.

3. No caderno, escreva a potência que representa a quantidade de cubinhos em cada pilha. Em seguida calcule-as.

A. Ilustração de um cubo composto por cubos menores. Em seu comprimento, largura e altura há 2 cubos.
B. Ilustração de um cubo composto por cubos menores. Em seu comprimento, largura e altura há 3 cubos.
C. Ilustração de um cubo composto por cubos menores. Em seu comprimento, largura e altura há 4 cubos.

Respostas: A. 2 3 = 8 ; B. 3 3 = 2 7 ; C. 4 3 = 6 4 .

4. As respostas que você escreveu para os itens A, B e C, da atividade anterior, formam uma sequência de potências de mesmo expoente. No caderno, escreva os próximos quatro termos dessa sequência e calcule quantos cubinhos terá a pilha correspondente a cada um deles.

Resposta: 5 3 = 12 5 ; 6 3 = 21 6 ; 7 3 = 34 3 ; 8 3 = 51 2 .

5. Ícone uso de instrumentos Utilizando uma calculadora científica, calcule as potências a seguir.

a) 4 2

b) 5 1

c) 7 3

d) ( 4 ) 3

e) ( 2 ) 1

f) ( 3 ) 2

g) ( 4 ) 4

h) ( 2 ) 5

Respostas: a) 1 16 ; b) 1 5 ; c) 1 343 ; d) 1 64 ; e) 1 2 ; f) 1 9 ; g) 1 256 ; h) 1 32 .

6. Resolva as potências a seguir da maneira que preferir.

a) ( 1 3 ) 2

b) ( 2 4 ) 2

c) ( 4 7 ) 1

d) ( 5 3 ) 3

Atenção!

O inverso de 1 3 é 3 e o inverso de 2 4 é 4 2 .

Respostas: a) 9; b) 16 4 ou 4; c) 7 4 ; d) 2 7 1 25 .

7. Sabendo que a = 2 3 e b = 3 2 , efetue os cálculos.

a) a + b

b) a b

c) ( a b ) 2

d) a : b

e) a b

Respostas: a) 17 72 ; b) 1 72 ; c) 1 5184 ; d) 9 8 ; e) 1 72 .

8. Copie os itens no caderno e substitua cada pelo símbolo = (igual), > (maior do que) ou < (menor do que).

a) 2 3 1 4

b) 5 1 5 2

c) 9 9 9 8

d) ( 4 ) 3 ( 3 ) 4

e) 1 0 5 9 5

f) ( 4 ) 2 4 2

Respostas: a) 2 3 < 1 4 ; b) 5 1 > 5 2 ; c) 9 9 < 9 8 ; d) ( 4 ) 3 < ( 3 ) 4 ; e) 1 0 5 < 9 5 ; f) ( 4 ) 2 = 4 2 .

9. Analise os itens a seguir e, no caderno, relacione as potências que têm o mesmo valor. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

A. ( 1 8 ) 4

B. ( 2 8 ) 2

C. ( 8 2 ) 3

D. 8 3

1. ( 8 2 ) 2

2. 8 4

3. ( 1 8 ) 3

4. ( 2 8 ) 3

Resposta: A-2; B-1; C-4; D-3.

10. No caderno, elabore um problema que envolva potência. Em seguida, troque com um colega para que ele o resolva.

Resposta pessoal.

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Propriedades das potências

Neste tópico, vamos estudar as propriedades decorrentes da definição de potências, que podem auxiliar nos cálculos. Considere m e n números inteiros.

1ª propriedade

Um produto de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e adicionando os expoentes. Exemplos:

Esquema com expressão numérica: 3 elevado ao cubo vezes 3 elevado à quarta potência. igual a. 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 que indica. igual a. 3 elevado à sétima potência. Abaixo de 3 vezes 3 vezes 3 há a representação em forma de potência: 3 elevado ao cubo; e abaixo de 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3, há a representação em forma de potência: 3 elevado à quarta potência.

Com isso, temos 3 3 3 4 = 3 3 + 4 = 3 7 .

Expressão numérica: 5 elevado ao quadrado vezes 5 elevado ao cubo. igual a. 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 que indica igual a 5 elevado à quinta potência. Abaixo de 5 vezes 5 há a representação em forma de potência: 5 elevado ao quadrado; e abaixo de 5 vezes 5 vezes 5 há a representação em forma de potência: 5 elevado ao cubo.

Desse modo, temos 5 2 5 3 = 5 2 + 3 = 5 5 .

De modo geral, a m a n = a m + n , com a 0 se m 0 ou n 0 .

2ª propriedade

Um quociente de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e subtraindo os expoentes. Exemplo:

Esquema com expressão numérica: 7 elevado a 8 dividido por 7 elevado a 5, igual a, início de fração, numerador 7 elevado a 8, denominador 7 elevado a 5, fim de fração, igual a início de fração, numerador 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7, com cinco desses 7 riscados, denominador 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7, com todos os números 7 riscados, fim de fração, igual a 7 vezes 7 vezes 7 que indica igual a 7 elevado ao cubo.

Assim, 7 8 : 7 5 = 7 8 5 = 7 3 .

De modo geral, a m : a n = a m n , com a 0 .

3ª propriedade

A potência de um produto pode ser transformada em um produto de potências elevando cada número ao expoente nela indicado. Exemplo:

Esquema com expressão numérica: abre parênteses 4 vezes 8 fecha parênteses elevado ao cubo. igual a. abre parênteses 4 vezes 8 fecha parênteses vezes abre parênteses 4 vezes 8 fecha parênteses vezes abre parênteses 4 vezes 8 fecha parênteses. igual a. 4 vezes 8, vezes, 4 vezes 8, vezes, 4 vezes 8. igual a. 4 vezes 4 vezes 4. vezes 8 vezes 8 vezes 8. igual a. 4 ao cubo vezes 8 ao cubo. Está indicado que 4 vezes 4 vezes 4, corresponde a 4 elevado ao cubo e que 8 vezes 8 vezes 8, corresponde a 8 elevado ao cubo. um texto continua a expressão: 'Assim, abre parênteses 4 vezes 8 fecha parênteses elevado ao cubo. igual a. 4 ao cubo vezes 8 ao cubo'.

De modo geral, ( a b ) m = a m b m , com ( a b ) 0 se m 0 .

4ª propriedade

A potência de um quociente pode ser transformada em um quociente de potências elevando cada número ao expoente nela indicado. Exemplo:

Esquema com expressão numérica: abre parênteses 12 dividido por 5 fecha parênteses elevado a quarta potência. igual a. abre parênteses, início de fração: numerador, 12, denominador: 5, fim de fração, fecha parênteses elevado a quarta potência. igual a. 12 quintos vezes 12 quintos vezes 12 quintos vezes 12 quintos. igual a. início de fração: numerador: 12 elevado a quarta potência, denominador: 5 elevado a quarta potência, fim de fração. igual a. 12 elevado a quarta potência, dividido por 5 elevado a quarta potência. Está indicado que 12 vezes 12 vezes 12 vezes 12 nos numeradores das frações, correspondem a 12 elevado a quarta potência e que 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 nos denominadores das frações, correspondem a 5 elevado a quarta potência.

Assim, ( 12 : 5 ) 4 = 1 2 4 : 5 4 .

De modo geral, ( a : b ) m = a m : b m , com a 0 se m 0 e b 0 .

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5ª propriedade

A potência de uma potência pode ser transformada em uma única potência mantendo a base dela e multiplicando seus expoentes. Confira o exemplo:

( 2 4 ) 5 = 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 = 2 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 2 2 0 , assim, ( 2 4 ) 5 = 2 4 5 = 2 2 0 .

De modo geral, ( a m ) n = a m n , com a 0 se m 0 ou n 0 .

Agora, verifique dois casos.

( 2 2 ) 3 = 2 2 3 = 2 6

No primeiro caso, o 2 2 está elevado ao cubo.

2 2 3 = 2 2 2 2 = 2 8

No segundo caso, a base 2 está elevada a 2 3 , ou seja, elevada a 8.

Note que as potências ( 2 2 ) 3 e 2 2 3 são diferentes e têm resultados diferentes.

Potências de base 10

Analise alguns casos de potências de base 10.

  • 1 0 2 = 10 0
  • 1 0 3 = 1 . 000
  • 1 0 4 = 10 . 000
  • 1 0 2 = 1 1 0 2 = 1 100 = 0 , 0 1
  • 1 0 3 = 1 1 0 3 = 1 1000 = 0 , 00 1
  • 1 0 4 = 1 1 0 4 = 1 10 . 000 = 0 , 000 1

Nas potências de base 10 em que os expoentes são números inteiros positivos, a quantidade de zeros após o algarismo 1 é igual ao valor do expoente.

1 0 5 = 1 00 . 000 5   zeros

Nas potências de base 10 em que os expoentes são números inteiros negativos, a quantidade de algarismos à direita da vírgula é igual ao oposto do valor do expoente.

1 0 5 = 0 , 00001   5 algarismos   após a vírgula

De modo geral, em uma potência de base 10 com expoente positivo, a quantidade de zeros no resultado após o algarismo 1 é igual ao valor do expoente. Já no caso de uma potência de base 10 com expoente negativo, a quantidade de algarismos à direita da vírgula é igual ao oposto do valor do expoente.

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Notação científica

É comum alguns profissionais trabalharem com números de muitos algarismos e que, geralmente, correspondem a uma medida muito grande ou muito pequena. Para simplificar a escrita deles, pode ser usada a notação científica, que consiste em representar um número usando uma potência de base 10.

Nessa notação, os números são escritos da seguinte maneira:

a 1 0 n

a: número maior ou igual a 1 e menor do que 10;

n: número inteiro.

Analise alguns números escritos em notação científica.

A medida da temperatura aproximada no núcleo do Sol é 15 . 000 . 000   °C .

15 . 0 00 . 000 = 1 , 5 10 . 000 . 000 = 1 , 5 1 0 7

Fotografia do Sol, em que aparece a sua superfície, com raios dourados e brilhantes.
Superfície do Sol.

Representação com elementos não proporcionais entre si. Cores-fantasia.

O comprimento da bactéria Mycobacterium tuberculosis mede 0 , 000 001   m .

0 , 000 001 = 1 1 . 000 . 000 = 1 1 1 0 6 = 1 1 0 6

Fotografia do zoom microscópico de uma bactéria - Mycobacterium tuberculosis. Semelhante a vários tubos cilíondricos compridos e finos, estão uns em cima dos outros.
Bactérias Mycobacterium tuberculosis.

Imagem obtida por microscópio e ampliada aproximadamente 570 vezes. Colorizada em computador.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Utilizando as propriedades das potências, simplifique os cálculos e obtenha os resultados.

a) 2 2 2 7

b) ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) 4

c) ( 3 ) 4 ( 3 ) 2

d) 5 6 : 5 7

e) 1 3 7 : 1 3 3

f) ( 2 3 ) 5

g) ((4)3)2

h) ( 7 2 ) 3

Respostas: a) 2 9 = 51 2 ; b) ( 1 3 ) 7 = 1 2187 ; c) ( 3 ) 6 = 72 9 ; d) 5 1 = 1 5 ; e) 1 3 4 = 28 . 561 ; f) ( 2 ) 1 5 = 32 . 768 ; g) ( 4 ) 6 = 4 . 096 ; h) 1 4 3 = 2 . 744 .

12. No caderno, efetue os cálculos indicados nos itens.

a) O produto entre ( 3 ) 3 e ( 3 ) 2 .

b) O quociente de 9 3 por 9 2 .

c) O quadrado da metade de ( 5 ) .

d) A metade do quadrado de ( 5 ) .

e) O dobro do cubo de 4.

f) O cubo do quadrado de 2.

Respostas: a) 24 3 ; b) 9; c) 25 4 ou 6,25; d) 25 2 ou 12,5; e) 128; f) 64.

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13. No esquema apresentado, cada letra representa uma potência de base 2.

2 5

A

2 3

B

2 2

C

2 1

D

E

Sabendo que o produto dos números de cada linha, coluna e diagonal é 2 6 , descubra quais são essas potências.

Resposta: A: 2 2 ; B: 2 0 ; C: 2 4 ; D: 2 6 ; E: 2 1 .

14. Resolva no caderno as expressões numéricas a seguir.

a) 2 2 2 6 + 3 4

b) 4 8 : 4 4 3 3 : 3

c) ( 4 2 ) 2 + 3 3 2 2 0

d) ( 1 3 4 ) 3 : 1 3 1 0 ( 8 3 ) 2

e) ( 2 2 2 5 ) 3 2 1 6

f) 6 9  : 6 2 ( 6 2 6 ) 3

Atenção!

Utilize as propriedades das potências para facilitar os cálculos.

Respostas: a) 337; b) 247; c) 263; d) 40 7 ; e) 32; f) 1 36 .

15. No caderno, elabore um problema que envolva as propriedades das potências. Depois disso, troque com um colega, para que o resolva.

Resposta pessoal.

16. Transforme os produtos e os quocientes a seguir em uma única potência.

a) 3 4 5 4

b) 4 2 5 2

c) 4 0 3 : 5 3

d) 6 0 8 : 1 2 8

e) 6 5 7 5

f) 7 7 8 7

g) 10 0 6 : 1 0 6

h) 15 0 1 0 : 5 0 1 0

Respostas: a) 1 5 4 ; b) 2 0 2 ; c) 8 3 ; d) 5 8 ; e) 4 2 5 ; f) 5 6 7 ; g) 1 0 6 ; h) 3 1 0 .

17. O produto a n a n , com a 0 , equivale a:

A. 1

B. a m + n

C. a 2 n

D. a n n

Resposta: Alternativa C.

18. Considerando a 0 , simplifique a expressão a n + 3 a n 1 a 1 2 n .

Resposta: a 3 .

19. Escreva em seu caderno cada expressão na forma de uma única potência.

a) 1 0 2 1 0 5

b) 1 0 5 : 1 0 1

c) 1 0 1 1 0 6

d) 1 0 8 : 1 0 7

e) 1 0 2 1 0 2

f) 1 0 4 : 1 0 4

Respostas: a) 1 0 7 ; b) 1 0 4 ; c) 1 0 7 ; d) 1 0 1 ; e) 1 0 4 ; f) 1 0 0 .

20. Calcule mentalmente o resultado de:

a) 2 1 0 4

b) 1 , 5 1 0 3

c) 1 1 0 2

d) 4 1 0 1

e) 3 1 0 3

f) 5 , 6 1 0 0

g) 1 0 4

h) 7 1 0 1

i) 3 , 8 1 0 2

Respostas: a) 20.000; b) 1.500; c) 0,01; d) 40; e) 0,003; f) 5,6; g) 0,0001; h) 0,7; i) 380.

21. A tabela a seguir apresenta a população aproximada dos estados da Região Sul do Brasil em 2021.

População aproximada dos estados da Região Sul (2021)

Estado

População aproximada

Paraná

11.597.000

Santa Catarina

7.338.000

Rio Grande do Sul

11.466.000

Fonte de pesquisa: IBGE. Cidades e Estados. Disponível em: https://oeds.link/ny433l. Acesso em: 28 mar. 2022.

No caderno, calcule a população aproximada da Região Sul em 2021 e, depois, registre-a usando notação científica.

Resposta: Aproximadamente 30.401.000; 3 , 0 401 1 0 7 .

22. No caderno, escreva os números em destaque usando notação científica.

a) A massa da Lua mede aproximadamente 73.480.000.000.000.000.000.000 kg.

b) Alguns vírus têm espessura aproximada de 0 ,0003   mm .

c) Em 1   mm 3 de sangue de um homem há cerca de 5.400.000 glóbulos vermelhos, enquanto na mesma quantidade de sangue de uma mulher há cerca de 4.800.000.

d) No vácuo, a luz viaja a uma velocidade de 300 . 000   km/s .

Respostas: a) 7 , 348 1 0 2 2 ; b) 3 1 0 4 ; c) 5 , 4 1 0 6 ; 4 , 8 1 0 6 ; d) 3 1 0 5 .

Página 22

Raízes

Cristiane está construindo em sua casa um jardim com o formato de um quadrado, cuja medida da área é igual a 49   m 2 . Qual será a medida nesse jardim?

Ilustração da vista superior de um jardim quadrado, de lado L. No jardim há flores, pedras e um riacho.

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula a seguir e calculamos a medida da área do quadrado.

A = 2

A: medida da área;

: medida do comprimento do lado.

Substituindo A por 49 na fórmula, temos:

49 = 2

Para obter a medida do quadrado, precisamos determinar um número positivo que, multiplicado por si mesmo (ou seja, elevado ao quadrado), resulte em 49, isto é, devemos calcular a raiz quadrada de 49.

Na situação apresentada, o número procurado só pode ser 7, ou seja, 7 é a raiz quadrada de 49, que indicamos por:

4 9 2 = 7 , pois 7 2 = 4 9 .

Lemos 4 9 2 da seguinte maneira: raiz quadrada de 49.

Portanto, o comprimento do lado do jardim vai medir 7   m .

Atenção!

Geralmente, o índice 2 da raiz quadrada é omitido. Desse modo, indicamos 4 9 2 simplesmente por 4 9 .

A operação utilizada na situação apresentada é chamada radiciação, que é a inversa da potenciação. Na radiciação, podemos destacar os seguintes elementos:

Esquema com a igualdade: raiz quadrada de 49 igual a 7, em que o símbolo da raiz é denominado radical e fora do radical está o número 2 denominado índice. Além disso, o 49 é denominado radicando e o 7 denominado raiz quadrada.

A raiz quadrada de um número positivo a é um número também positivo que, ao ser multiplicado por si mesmo, resulta em a.

Na situação apresentada, temos dois números que, elevados ao quadrado, resultam em 49, ou seja, 7 2 = 4 9 e ( 7 ) 2 = 4 9 . No entanto, como a raiz quadrada de 49 é um número único e positivo, temos que 4 9 = 7 .

Atenção!

Obtemos a raiz quadrada somente de números positivos, pois nenhum número elevado ao quadrado resulta em um número negativo.

Analise alguns exemplos.

  • 2 5 = 5 , pois 5 2 = 2 5
  • 8 1 = 9 , pois 9 2 = 8 1
  • 9 25 = 9 2 5 = 3 5 , pois ( 3 5 ) 2 = 9 25

Se a e b são números naturais, com b 0 , temos:

a b = a b

Página 23

Considere uma caixa em formato de cubo cujo volume mede 64   cm 3 . Qual é a medida do comprimento a da aresta dessa caixa?

Ilustração de uma caixa de papelão em formato de um cubo, com aresta medindo a.

Para responder a essa pergunta, podemos utilizar a fórmula da medida do volume do cubo.

V = a 3

V: medida do volume;

a: medida do comprimento da aresta.

Substituindo V por 64 na fórmula, obtemos:

64 = a 3

Para obter a medida do comprimento da aresta a do cubo, precisamos determinar um número que, elevado ao cubo, resulte em 64, ou seja, é necessário determinar a raiz cúbica de 64, que indicamos por 6 4 3 (lê-se: raiz cúbica de 64).

Nesse caso, o número procurado é 4, pois 4 4 4 = 4 3 = 6 4 . Assim, 6 4 3 = 4 .

Portanto, o comprimento da aresta da caixa mede 4   cm .

A raiz cúbica de um número a qualquer é um número que, elevado ao cubo, resulta em a.

Analise os exemplos a seguir.

  • 12 5 3 = 5 , pois 5 3 = 12 5 .
  • 21 6 3 = 6 , pois ( 6 ) 3 = 21 6 .

Cálculo da raiz exata de um número natural

É possível calcular a raiz quadrada de um número natural por tentativa. Acompanhe, por exemplo, o procedimento para calcular a raiz quadrada de 2.116.

Sabemos que é necessário obter o número que, elevado ao quadrado, seja igual a 2.116. Para determiná-lo, vamos escrever os quadrados das dezenas exatas de 10 a 50.

Quadrado das dezenas exatas de 10 a 50

Número

Quadrado do número

10

100

20

400

30

900

40

1.600

50

2.500

Como 2.116 está entre 1.600 e 2.500, concluímos que sua raiz quadrada está entre 40 e 50, pois 4 0 2 = 1 . 600 e 5 0 2 = 2 . 500 .

Como a raiz quadrada de 2.116 é um número entre 40 e 50, vamos calcular o quadrado dos números naturais entre eles até obter 2.116 como resultado.

  • 4 1 2 = 1 . 681
  • 4 2 2 = 1 . 764
  • 4 3 2 = 1 . 849
  • 4 4 2 = 1 . 936
  • 4 5 2 = 2 . 025
  • 4 6 2 = 2 . 116

Portanto, por esses cálculos, concluímos que 4 6 2 = 2 . 116 e, então, 2 . 116 = 4 6 .

Questão 2. Junte-se a um colega e obtenham, por tentativa, a raiz quadrada exata de 5.184 e registrem no caderno.

Resposta: Como 7 2 2 = 5 . 184 , então 5 . 184 = 7 2 .

Página 24

Outro modo de calcular a raiz quadrada de um número natural é fazer sua decomposição em fatores primos e, na sequência, simplificar o resultado da decomposição. Acompanhe, por exemplo, o cálculo da raiz quadrada do número 324.

Decomposição do número composto 324. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 324 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha: 162 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na terceira linha 81 à esquerda e o 3 à direita do segmento. Na quarta linha 27 à esquerda e o 3 à direita do segmento; na quinta linha 9 à esquerda e o 3 à direita do segmento; na sexta linha 3 à esquerda e o 3 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento.

324 = 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2 = 2 2 3 2 3 2 = ( 2 3 3 ) 2 = 1 8 2

Assim, 32 4 = 1 8 , pois 1 8 2 = 32 4 .

Ainda usando a decomposição em fatores primos e simplificando o resultado da decomposição, podemos calcular 2744 3 .

Decomposição de número composto: 2744. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 2744 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha: 1372 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na terceira linha 686 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Na quarta linha 343 à esquerda e o 7 à direita do segmento; na quinta linha 49 à esquerda e o 7 à direita do segmento; na sexta linha 7 à esquerda e o 7 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento.

2 . 744 = 2 2 2 2 3 7 7 7 7 3 = 2 3 7 3 = ( 2 7 ) 3 = 1 4 3

Assim, 2744 3 = 1 4 , pois 1 4 3 = 2 . 744 .

Questão 3. Junte-se a um colega e, no caderno, usem a decomposição em fatores primos para calcular novamente a raiz quadrada do número 5.184. Depois, verifiquem se o resultado obtido foi o mesmo da questão 2.

Resposta: 5184 2 = 7 2 , pois ( 2 2 2 3 3 ) 2 = 7 2 2 = 5 . 184 . Sim, o resultado foi o mesmo.

Cálculo da raiz aproximada de um número natural

Quando um número não é quadrado perfeito, ou seja, sua raiz quadrada não é um número natural, podemos calcular a raiz quadrada aproximada dele. Vamos obter, por exemplo, a raiz quadrada aproximada do número 11, com aproximação até os décimos, usando o procedimento a seguir.

1º. Verificamos entre quais números quadrados perfeitos o número 11 se encontra. Nesse caso, como ele está entre 9 e 16, sua raiz quadrada está entre 3 e 4.

2º. Em seguida, calculamos o quadrado de alguns números entre 3 e 4, nesse caso com uma casa decimal.

( 3 , 1 ) 2 = 9 , 6 1

( 3 , 2 ) 2 = 10 , 2 4

( 3 , 3 ) 2 = 10 , 8 9

Resultados menores do que 11.

( 3 , 4 ) 2 = 11 , 5 6

( 3 , 5 ) 2 = 12 , 2 5

( 3 , 6 ) 2 = 12 , 9 6

Resultados maiores do que 11.

Pelos valores obtidos, 3 , 3 < 1 1 < 3 , 4 . Como ( 3 , 3 ) 2 está mais próximo de 11, temos:

1 1 3 , 3

Atenção!

O símbolo é usado para indicar aproximação.

Lê-se: raiz quadrada de 11 é aproximadamente 3,3.

Página 25

Continuando, vamos calcular a raiz quadrada aproximada de 11 com aproximação até os centésimos. Calculamos, então, o quadrado de alguns números entre 3,3 e 3,4, com duas casas decimais.

( 3 , 31 ) 2 = 10 , 956 1

Resultado menor do que 11.

  • ( 3 , 32 ) 2 = 11 , 022 4
  • ( 3 , 33 ) 2 = 11 , 080 9

Resultados maiores do que 11.

Conforme os resultados obtidos, ( 3 , 31 ) 2 está mais próximo de 11. Sendo assim, temos:

1 1 3 , 3 1

Por esse procedimento, sucessivamente, o cálculo da raiz quadrada aproximada de um número natural também pode ser feito com três, quatro ou mais casas decimais.

Potências com expoente fracionário

Estudamos, até o momento, potências com expoentes de números inteiros positivos e negativos. Agora, vamos calcular potências com expoentes fracionários. Usando a 5ª propriedade apresentada na página 19, é possível verificar, por exemplo, que:

5 6 2 = 5 3 , pois ( 5 3 ) 2 = 5 3 2 = 5 6

Essa propriedade também é válida em potências cujo expoente é fracionário, como indicado no exemplo a seguir.

2 4 3 = 2 4 3 , pois ( 2 4 3 ) 3 = 2 4 3  ⋅ 3 = 2 4

Tais potências podem ser escritas por meio de um radical, assim como radicais podem ser escritos na forma de potência com expoente fracionário. Analise os exemplos a seguir.

  • 5 3 2 = 5 3 2
  • 2 5 3 = 2 5 1 3
  • 6 5 2 = 6 5
  • 1 2 2 3 = 1 2 2 3

De modo geral, sendo a um número inteiro positivo, n e m números naturais, com n maior do que 1, temos:

a m n = a m n

Atenção!

Ao representarmos uma potência com expoente fracionário por meio de um radical, note que o denominador do expoente da potência corresponde ao índice do radical e o numerador do expoente da potência, ao expoente do radicando.

As propriedades das potências também são válidas para aquelas com expoentes fracionários, sendo as restrições referentes à base e ao expoente as mesmas. Verifique alguns exemplos.

  • 3 ( 1 2 ) = 1 3 1 2 = 1 3
  • 2 2 3 2 3 2 = 2 2 3 + 3 2 = 2 13 6 = 2 1 3 6
  • 3 5 3 : 3 1 2 = 3 5 3 1 2 = 3 7 6 = 3 7 6
  • 5 2 3 3 2 3 = ( 5 3 ) 2 3 = 1 5 2 3 = 1 5 2 3
  • 1 5 1 2 : 3 1 2 = ( 15 : 3 ) 1 2 = 5 1 2 = 5
  • ( 7 1 2 ) 3 = 7 1 2  ⋅ 3 = 7 3 2 = 7 3

Página 26

Atividades

Faça as atividades no caderno.

23. Efetue os cálculos no caderno.

a) 12 1

b) 51 2 3

c) 144 121

d) 72 9 3

e) 625 4

f) 21 6 3

Respostas: a) 11; b) 8; c) 12 11 ; d) 9; e) 25 2 ; f) 6.

24. Escreva no caderno a medida do comprimento do lado de cada quadrado a seguir, conforme a medida da área A indicada em cada um deles.

A. Ilustração de um quadrado com seus 4 ângulos internos retos demarcados. Há a indicação de que a área dele mede 25 metros quadrados.
B. Ilustração de um quadrado com seus 4 ângulos internos retos demarcados. Há a indicação de que a área dele mede 49 metros quadrados.
C. Ilustração de um quadrado com seus 4 ângulos internos retos demarcados. Há a indicação de que a área dele mede 64 metros quadrados.
D. Ilustração de um quadrado com seus 4 ângulos internos retos demarcados. Há a indicação de que a área dele mede 81 metros quadrados.

Respostas: A. 5   cm ; B. 7   cm ; C. 8   cm ; D. 9   cm .

25. Em cada item está indicada a medida do volume de um cubo. Efetue os cálculos no caderno e obtenha a medida do comprimento da aresta de cada um deles.

a) 8   cm 3

b) 27   cm 3

c) 64   cm 3

d) 125   cm 3

e) 216   cm 3

f) 343   cm 3

Respostas: a) 2   cm ; b) 3   cm ; c) 4   cm ; d) 5   cm ; e) 6   cm ; f) 7   cm .

26. Lauro é marceneiro e vai construir o tampo de uma mesa cujo formato é quadrado. Para esse trabalho, a medida da área do tampo deveria ser entre 8 . 100   cm 2 e 14 . 400   cm 2 . Entre os itens a seguir, qual está indicando uma possível medida do comprimento de um dos lados do tampo que ele vai construir?

a) 80   cm

b) 140   cm

c) 130   cm

d) 110   cm

Resposta: Alternativa d.

27. Para cada item, determine entre quais números está o resultado da raiz.

a) 29 0

16 e 17

17 e 18

18 e 19

b) 96 0

27 e 28

28 e 29

30 e 31

Resposta: a) 17 e 18; b) 30 e 31.

28. Por meio da decomposição em fatores primos, determine em seu caderno a raiz cúbica dos números a seguir.

a) 4.096

b) 39.304

c) 15.625

d) 4.913

e) 64.000

f) 8.000

g) 59.319

h) 46.656

i) 125.000

Respostas: a) 16; b) 34; c) 25; d) 17; e) 40; f) 20; g) 39; h) 36; i) 50.

29. Rogério calculou 1 , 44 da seguinte maneira:

1 , 4 4 = 144 100 = 14 4 10 0 = 12 10 = 1 , 2

Usando o mesmo procedimento que Rogério, determine o resultado dos cálculos a seguir.

a) 2 , 5 6

b) 6 , 2 5

c) 0 , 2 5

d) 0 , 0 1

Respostas: a) 1,6; b) 2,5; c) 0,5; d) 0,1.

Página 27

30. Calcule a raiz quadrada aproximada dos números a seguir até os décimos.

a) 3

b) 1 2

c) 1 9

d) 2 3

e) 3 1

Respostas: a) 3 1 , 7 ; b) 1 2 3 , 5 ; c) 1 9 4 , 4 ; d) 2 3 4 , 8 ; e) 3 1 5 , 6 .

31. Calcule a raiz quadrada aproximada dos números a seguir até os centésimos.

a) 1 8

b) 2 1

c) 2 9

d) 3 2

e) 3 5

Respostas: a) 1 8 4 , 2 4 ; b) 2 1 4 , 5 8 ; c) 2 9 5 , 3 9 ; d) 3 2 5 , 6 6 ; e) 3 5 5 , 9 2 .

32. Lúcia obteve o número inteiro mais próximo de 1 5 da seguinte maneira:

Fotografia de uma menina com a mão no queixo e acima, um balão de fala: 'O número 15 está entre os quadrados perfeitos 9 e 16. Além disso, 15 está mais próximo de 16 do que de 9. Então, raiz quadrada de 15 está mais próximo de raiz quadrada de 16. Portanto, raiz quadrada de 15 é aproximadamente 4.'.

De maneira semelhante ao raciocínio de Lúcia, obtenha o número inteiro mais próximo dos radicais indicados nos itens a seguir.

a) 5

b) 2 3

c) 5 0

d) 9 5

Respostas: a) 2; b) 5; c) 7; d) 10.

33. Entre quais números inteiros está o valor de:

a) 8 ?

b) 5 0 ?

c) 9 0 ?

d) 20 0 ?

Respostas: a) 2 e 3; b) 7 e 8; c) 9 e 10; d) 14 e 15.

34. Represente no caderno as raízes a seguir usando potências com expoente fracionário.

a) 3 7 3

b) 4 6 5

c) 5 3 5 2 7

d) ( 3 2 ) 5 3

Respostas: a) 3 7 3 ; b) 2 4 1 5 ; c) 5 5 7 ; d) 3 10 3 .

35. No caderno, relacione as potências com expoente fracionário com as respectivas raízes. Para isso, escreva o número e a letra correspondentes.

1. 3 7 5 8

2. 10 0 5 3

3. 7 5 6

4. 1 5 1 2

5. 1 0 1 6

6. 8 1 9

7. 23 1 2 3

8. 2 0 7 4

A. 7 5 6

B. 1 5

C. 8 9

D. 2 0 7 4

E. 10 0 5 3

F. 23 1 2 3

G. 1 0 6

H. 3 7 5 8

Respostas: 1-H; 2-E; 3-A; 4-B; 5-G; 6-C; 7-F; 8-D.

36. Em seu caderno, escreva cada item na forma de uma única potência. Em seguida, escreva na forma de radical a potência obtida.

a) ( 5 2 3 ) 1 2

b) ( 8 3 ) 4 9

c) 7 5 2 7 1 4

d) ( 3 2 7 ) 3

e) 7 3 4 7 3

f) 6 5 9 : 6 4 9

g) 9 13 4 : 9 7 4

h) 5 1 6 : 5 1 2

Respostas: a) 5 1 3 e 5 3 ; b) 8 4 3 e 8 4 3 ; c) 7 11 4 e 7 1 1 4 ; d) 3 6 7 e 3 6 7 ; e) 7 15 4 e 7 1 5 4 ; f) 6 1 9 e 6 9 ; g) 9 3 2 e 9 3 2 ; h) 5 2 3 e 5 2 3 .

37. Em seu caderno, elabore um problema que envolva radiciação. Em seguida, troque com um colega, para que o resolva.

Resposta pessoal.

Página 28

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Responda às questões a seguir em uma folha de papel avulsa.

a) Qual é o valor da potência de base 7 e expoente 3?

b) Qual é o expoente da potência em que a base é 6 e o resultado é 216?

c) Qual é a base da potência em que o expoente é 5 e o resultado é 32?

Respostas: a) 343; b) 3; c) 2.

2. Transforme os números decimais em frações e, depois, calcule o valor de cada potência.

a) ( 5 , 1 ) 2

b) ( 4 , 125 ) 1

c) ( 0 , 25 ) 3

d) ( 0 , 5 ) 1

e) ( 2 , 6 ) 2

f) ( 0 , 1 ) 5

Respostas: a) 100 2601 ; b) 8 33 ; c) 6 4 ; d) 2 ; e) 25 169 ; f) 100 . 000 .

3. Simplifique cada expressão utilizando as propriedades das potências.

a) 1 8 3 1 8 2

b) 5 2 1 : 5 1 3

c) ( 4 2 ) 6

d) ( 6 ) 4 ( 6 ) 1

e) 2 4 3 4 7 4

f) 8 3 2

g) 3 2 3 3 3 5

h) ( 1 4 ) 3 ( 2 5 ) 3

Respostas: a) 1 8 5 ; b) 5 8 ; c) ( 4 ) 1 2 ; d) ( 6 ) 5 ; e) 4 2 4 ; f) 8 9 ; g) 3 1 0 ; h) ( 2 20 ) 3 ou ( 1 10 ) 3 .

4. Em cada item, calcule o valor de y, de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) ( 7 ) y = 34 3

b) 5 1 0 : 5 y = 5 2

c) ( 1 3 ) y = 1 3

d) 5 8 8 5 8 y = 5 8 5 5

e) ( 3 4 ) y = 1

f) y 3 7 = 1

g) 9 y = 8 1

Respostas: a) y = 3 ; b) y = 8 ; c) y = 1 ; d) y = 4 7 ; e) y = 0 ; f) y = 1 ; g) y = 2 .

5. O valor de 5 1 0 7 6 1 0 2 é:

A. 3 0 6

B. 3 1 0 6

C. 3 1 0 9

D. 30 1 0 4

Resposta: Alternativa B.

6. No caderno, calcule o que se pede em cada item.

a) O produto da raiz quadrada de 49 pela raiz quadrada de 64.

b) A raiz quadrada de 3.136.

c) O produto da raiz cúbica de 125 pela raiz cúbica de 216.

d) A raiz cúbica de 27.000.

e) O produto da raiz quadrada de 16 pela raiz cúbica de 27.

f) A raiz cúbica de 1.331.

Respostas: a) 56; b) 56; c) 30; d) 30; e) 12; f) 11.

7. Efetue os cálculos e determine a raiz quadrada aproximada até a casa dos centésimos.

a) 4 3

b) 5 4

c) 7 2

d) 8 7

e) 9 5

f) 10 6

Respostas: a) 6,56; b) 7,35; c) 8,49; d) 9,33; e) 9,75; f) 10,30.

8. Escreva, em uma folha de papel avulsa, os números naturais mais próximos da raiz apresentada em cada um dos itens a seguir.

a) 8 5

b) 1 0

c) 12 0

d) 25 0

Respostas: a) 9 e 10; b) 3 e 4; c) 10 e 11; d) 15 e 16.

9. Represente, em uma folha avulsa, os números a seguir como potência de base 2 e expoente fracionário.

a) 2 2 3

b) 1 2 5 4

c) 8

d) 0 , 2 5 5

Respostas: a) 2 2 3 ; b) 2 5 4 ; c) 2 3 2 ; d) 2 2 5 .