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UNIDADE

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Conjuntos

Fotografia. Cerimônia de abertura dos Jogos Olímpicos de Verão. Há um palco com um púlpito e um homem fazendo o cerimonial e em volta do palco, há vários atletas e também várias bandeiras de diferentes países, em mastros, sendo seguradas por algumas pessoas.
Conjuntos de atletas representantes de diversos países, agrupados durante cerimônia de abertura dos Jogos Olímpicos de Verão 2016, no estádio do Maracanã, no Rio de Janeiro, em 5 de agosto de 2016.

Agora vamos estudar...

  • a ideia de conjunto;
  • relações entre conjuntos;
  • alguns conjuntos numéricos, como o dos números naturais, o dos números inteiros e o dos números racionais;
  • dízima periódica.

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Estudando conjuntos

Em muitas das atividades que realizamos no dia a dia, é preciso classificar e separar objetos em grupos ou classes, ou seja, formar coleções deles. Nesses casos, estamos formando conjuntos.

Analise na imagem alguns itens que foram dispostos em cima de uma mesa.

Ilustração de uma mesa com 8 sólido geométricos, separados em dois grupos: grupo 1: cilindro, cone, esfera e um sólido semelhante a uma argola. grupo 2: paralelepípedo, cubo, pirâmide e prisma de base pentagonal.

Os objetos foram separados em dois conjuntos, de acordo com as características da superfície de cada um deles.

Cada objeto de um conjunto é chamado elemento. Geralmente, os conjuntos são nomeados por letras maiúsculas e seus elementos são dispostos entre chaves, separados por vírgula. Acompanhe alguns exemplos.

Denominamos A o conjunto dos divisores positivos de 24.

A = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   6 ,   8 ,   12 ,   24 }

Denominamos B o conjunto dos divisores positivos de 40.

B = { 1 ,   2 ,   4 ,   5 ,   8 ,   10 ,   20 ,   40 }

Denominamos C o conjunto dos divisores positivos de 12.

C = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   6 ,   12 }

O conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e pode ser indicado por { } ou . Por exemplo, o conjunto dos divisores pares de 15 é vazio, pois 15 não tem divisor par. Assim, nomeando esse conjunto por D, temos D = ou D = { } .

Os conjuntos A, B e C, representados anteriormente, são denominados conjuntos finitos, pois seus elementos podem ser contados, ou seja, podemos associá-los aos números naturais de 1 até certo número n.

Já o conjunto dos números ímpares maiores do que 19 é um conjunto infinito, pois não é finito. Para o representarmos, escrevemos alguns de seus elementos seguidos de reticências. Nomeando esse conjunto por E, temos:

E = { 21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , }

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Quando um objeto é elemento de um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto. Vamos analisar alguns exemplos.

  • 3 é divisor de 24, então ele pertence ao conjunto A dos divisores positivos de 24. Indicamos esse fato por 3 A (lê-se: 3 pertence a A).
  • 8 é divisor de 40, então ele pertence ao conjunto B dos divisores positivos de 40. Indicamos esse fato por 8 B .

Do mesmo modo, dizemos que um objeto não pertence a um conjunto quando ele não é elemento do conjunto. Analisaremos alguns exemplos.

  • 3 não é divisor de 40, então ele não pertence ao conjunto B dos divisores positivos de 40. Indicamos esse fato por: 3 B (lê-se: 3 não pertence a B).
  • 8 não é divisor de 12, então ele não pertence ao conjunto C dos divisores positivos de 12. Indicamos esse fato por: 8 C .

Podemos representar os conjuntos A, B e C por meio do diagrama de Venn.

Ilustração de um diagrama de Veen. Há uma figura circular demarcada como conjunto A, dentro desse conjunto, há outra figura demarcada como conjunto C. Além disso, essas duas figuras também se intersectam com outro conjunto, nomeado como B. No conjunto C, estão os números 1, 2, 3, 4, 6, 12 e fora, apenas no conjunto A está o número 24. No conjunto B estão os números 5, 10, 20, 40 que fazem parte apenas do conjunto B. O número 8, faz parte dos conjuntos A e B e os números 1, 2 e 4, fazem parte da intersecção dos conjuntos B e C.

Analisando o diagrama, percebemos que todos os elementos de C também são elementos de A. Então, dizemos que o conjunto C está contido no conjunto A e indicamos da seguinte maneira: C A (lê-se: C está contido em A).

Atenção!

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.

Além disso, embora o conjunto C tenha elementos comuns com B, nem todos os elementos de C pertencem a B. Então, dizemos que C não está contido em B e indicamos do seguinte modo: C B (lê-se: C não está contido em B).

Atenção!

Os símbolos e são utilizados para indicar pertinência ou não de um elemento a um conjunto. E os símbolos e indicam a inclusão ou não de um conjunto em outro.

O conjunto formado por todos os elementos comuns a dois ou mais conjuntos é denominado conjunto interseção. Por exemplo, os números 1, 2, 4 e 8 estão tanto no conjunto A como no conjunto B, ou seja, 1, 2, 4 e 8 são todos os números que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente. Podemos indicar esse conjunto interseção da seguinte maneira:

Esquema de um conjunto numérico: A interseção B. A interseção é representada por um símbolo semelhante à letra U maiúscula de ponta cabeça. Há a indicação: 'lê-se: A interseção B'. igual a. abre chaves 1 vírgula 2 vírgula 4 vírgula 8 fecha chaves.

Considerando todos os elementos de A e todos os elementos de B, podemos formar o conjunto união de A e B, o qual pode ser representado do seguinte modo:

Esquema de indicação de um conjunto numérico: A união B. A união é representada por um símbolo semelhante à letra U maiúscula. Há a indicação: 'lê-se: A união B'. igual a. abre chaves 1 vírgula 2 vírgula 3 vírgula 4 vírgula 5 vírgula 6 vírgula 8 vírgula 10 vírgula 12 vírgula 20 vírgula 24 vírgula 40 fecha chaves.

Questão 1. Em seu caderno, escreva os elementos dos conjuntos B C e B C .

Resposta: B C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 20 , 40 } ; B C = { 1 , 2 , 4 } .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Junte-se a um colega para realizar esta atividade.

Uma professora de Matemática levou alguns objetos para a sala de aula: colher, régua, tesoura, sabonete, revista, frasco de xampu, tubo de creme dental, moeda, jornal e garrafa de suco. Ela os colocou em cima de uma mesa, como representado a seguir, e pediu a Ricardo que escolhesse alguns objetos com características comuns e formasse um conjunto.

Ilustração de uma mesa com vários objetos sobre ela: revista, jornal, pasta de dente, garrafa de suco, régua, sabonete, tesoura, moeda, colher e um frasco de xampu.

Ao final, Ricardo fez anotações no caderno a respeito do conjunto formado.

Ilustração de uma tesoura, uma moeda, uma colher e parte de um caderno com a escrita: 'Conjunto dos objetos de metal: colher, tesoura, moeda. Este conjunto tem 3 elementos.

Assim como Ricardo, formem outros três conjuntos com alguns dos objetos apresentados. Em seguida, descrevam o critério de classificação usado e indiquem a quantidade de elementos contida em cada conjunto formado.

Imagens não proporcionais entre si.

Sugestão de resposta: Conjunto dos objetos de papel: {revista, jornal}, total de 2 elementos; conjunto dos objetos de higiene: {tubo de creme dental, frasco de xampu, sabonete}, total de 3 elementos; conjunto dos objetos de plástico: {régua, garrafa de suco, frasco de xampu, tubo de creme dental}, total de 4 elementos.

2. Escreva no caderno os conjuntos a seguir, explicitando seus elementos entre chaves.

a) Múltiplos positivos de 3 menores do que 40.

b) Divisores positivos de 55 maiores do que 10.

c) Múltiplos positivos de 7 maiores do que 20 e menores do que 38.

d) Divisores positivos de 80 menores do que 60.

Respostas: a) { 0 ,   3 ,   6 ,   9 ,   12 ,   15 ,   18 ,   21 ,   24 ,   27 ,   30 ,   33 ,   36 ,   39 } ; b) { 11 ,   55 } ; c) { 21 ,   28 ,   35 } ; d) { 1 ,   2 ,   4 ,   5 ,   8 ,   10 ,   16 ,   20 ,   40 } .

3. Considerando os elementos dos conjuntos A, B, C e D, copie no caderno os itens, substituindo cada pelo símbolo ou .

A = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   9 }

B = { 4 ,   5 ,   8 ,   10 }

C = { 0 ,   3 ,   4 ,   9 ,   11 ,   13 }

D = { 5 ,   7 ,   13 }

a) 3 A

b) 4 A

c) 8 C

d) 5 B

e) 7 D

f) 2 C

g) 13 D

h) 9 B

Respostas: a) 3     A ; b) 4     A ; c) 8   C ; d) 5     B ; e) 7     D ; f) 2   C ; g) 13   D ; h) 9     B .

4. A relação entre os conjuntos A, B, C e D está representada pelo diagrama a seguir.

Ilustração de um diagrama de Veen. Há uma figura circular demarcada como conjunto A, dentro desse conjunto, há outra figura demarcada como conjunto B. Além disso, o conjunto A também se intersecta com outro conjunto, nomeado como C. Ao lado, há um conjunto separado destes outros conjuntos, nomeado por D.

Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas.

a) A B

b) A B

c) C A

d) A B

e) D B

f) C B =

Respostas: a) Falsa. b) Verdadeira. c) Falsa. d) Verdadeira. e) Falsa. f) Verdadeira.

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5. No esquema a seguir, foram contornados alguns números para obter os conjuntos A, B, C e D.

Quadro com 5 linhas e 6 colunas. Nesse quadro há números diversos, sem nenhuma ordem sequencial. Eles estão demarcados por uma linha que os separa em grupos, formando conjuntos A, B, C e D. O conjunto A: 2, 4, 6, 8,10,12,18, 24; Conjunto B: 3, 6, 9, 15, 21, 24, 30; Conjunto C: 5, 15, 25, 30, 35, 45, 55, 60, 75, 85; Conjunto D: 7, 14, 63.

Podemos representar o conjunto A como: A = { 2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   12 ,   18 ,   24 } .

Usando a notação entre chaves, represente no caderno o conjunto:

a) B .

b) C .

c) D .

d) A B .

e) B C .

f) A D .

g) A D .

h) B D .

i) C D .

Respostas nas orientações ao professor.

6. Escreva no caderno:

a) o conjunto A formado pelos números naturais pares maiores do que 7 e menores do que 20.

b) o conjunto B formado pelos números naturais ímpares maiores do que 7 e menores do que 20.

c) o conjunto interseção de A e B.

Respostas: a) A = { 8 ,   10 ,   12 ,   14 ,   16 ,   18 } ; b) B = { 9 ,   11 ,   13 ,   15 ,   17 ,   19 } ; c) A B = ou A B = { } .

7. Copie no caderno os itens a seguir e, com base no diagrama de Venn apresentado, substitua cada pelo símbolo , , ou .

Ilustração de um diagrama de Veen. Há uma figura circular demarcada como conjunto A, dentro desse conjunto, há outra figura demarcada como conjunto C. Além disso, essas duas figuras também se intersectam com outros dois conjuntos, nomeados como B e D. No conjunto C, estão os números 2 e 9 e fora, apenas no conjunto A estão os números 6 e 4. Na parte comum do conjunto A com o conjunto B está o número 1 e na parte comum com o conjunto D está o 5. No conjunto B estão os números 8 e 3 que fazem parte apenas do conjunto B. Os números 7 e 10, fazem parte apenas do conjunto D.

a) 6 C

b) 1 ( A B )

c) C A

d) 7 B

e) 5 D

f) D A

Respostas: a) 6   C ; b) 1   ( A B ) ; c) C     A ; d) 7     B ; e) 5     D ; f) D     A .

8. O diagrama a seguir mostra o resultado de uma pesquisa relacionada à leitura de dois jornais produzidos em uma escola. Nele, os números indicam as quantidades de leitores.

Ilustração de um diagrama de Veen. Há uma figura circular nomeada como conjunto dos Entrevistados, em que há o número 14 e ainda dentro desse conjunto, há outras duas figuras nomeadas como conjunto dos que Leem o jornal A e dos que Leem o jornal B. No conjunto dos que Leem o jornal A, tem os números 25 e 8 e nos que dos que Leem o jornal B, os números 8 e 19, sendo que o número 8 está na intersecção desses dois conjuntos.

a) Quantos entrevistados leem pelo menos um dos jornais?

b) Quantos entrevistados não leem nenhum dos jornais?

c) Quantos entrevistados leem apenas o jornal A? E quantos leem apenas o jornal B?

d) Quantos entrevistados leem ambos os jornais?

e) Ao todo, quantas pessoas foram entrevistadas?

Respostas: a) 52 entrevistados; b) 14 entrevistados; c) 25 entrevistados; 19 entrevistados; d) 8 entrevistados; e) 66 pessoas.

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Conjuntos numéricos

Conjunto dos números naturais ( N ) e conjunto dos números inteiros ( Z )

Ao longo da história, o ser humano precisou quantificar o rebanho, os objetos, os membros de sua comunidade etc.

Por essa necessidade, foram criados os números 1, 2, 3, 4, e assim por diante, usados atualmente para representar contagens. Acrescidos do zero, eles formam o conjunto dos números naturais, que indicamos por N , representado a seguir.

N = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   }

Podemos destacar algumas características do conjunto dos números naturais.

  • Todo número natural tem um sucessor e, com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor.
  • A soma de dois números naturais é um número natural.
  • O produto de dois números naturais é um número natural.
  • O conjunto N é infinito e não há um número natural maior do que todos os outros, pois todo número natural tem um sucessor.

Os números naturais, no entanto, não foram suficientes para dar conta de novas necessidades que surgiram com o passar dos anos, como a situação de representar uma dívida. Por isso, foram criados os números inteiros negativos, que, reunidos aos números naturais, formam o conjunto dos números inteiros, representado por Z .

Z = { ,   7 ,   6 ,   5 ,   4 ,   3 ,   2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   }

Qualquer número natural também é inteiro. Podemos representar a relação entre o conjunto dos números naturais ( N ) e o conjunto dos números inteiros ( Z ) em um diagrama de Venn.

Ilustração de uma figura circular demarcada com o símbolo do conjunto dos números naturais, dentro de outra demarcada com o símbolo do conjunto dos números inteiros. Abaixo está escrito: conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

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Existem infinitos números inteiros. Alguns desses números foram representados por meio de pontos na reta numérica a seguir.

Reta numérica de menos 9 a 9. Há uma seta partindo do zero para à esquerda, indicado 'sentido negativo' e outra também partindo de zero mas para a direita, indicado 'sentido positivo'.

Podemos destacar as seguintes características do conjunto dos números inteiros.

  • Cada número inteiro tem um antecessor e um sucessor. Por exemplo, em relação ao número 8 , o antecessor é 9 e o sucessor é 7 .
  • A soma e a diferença entre dois números inteiros também é um número inteiro.
  • O produto de dois números inteiros também é um número inteiro.

Questão 2. Em seu caderno, escreva o antecessor e o sucessor dos números a seguir.

a) 25

b) 1 0

c) 12 5

Respostas: a) 24 e 26; b) 1 1 e 9 ; c) 12 6 e 12 4 .

Conjunto dos números racionais ( Q )

Além dos conjuntos mencionados ( N e Z ), há também o conjunto dos números racionais, que indicamos por Q , cujos elementos são obtidos da divisão de dois números inteiros em que o divisor é diferente de zero.

Os números racionais podem ser expressos tanto por fração como por um número na forma decimal. Acompanhe alguns exemplos.

  • 5 2 = 2 , 5
  • 13 3 = 4 , 333
  • 3 8 = 0 , 37 5
  • 19 16 = 1 , 187 5

Os números inteiros também são racionais, pois qualquer inteiro pode ser representado por uma fração. Podemos indicar os números inteiros 2 e 4, por exemplo, obtendo frações equivalentes a eles.

  • 2 1 = 2
  • 8 4 = 2
  • 4 2 = 2
  • 16 4 = 4
  • 28 7 = 4
  • 12 3 = 4

Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma a b , sendo a e b números inteiros, com b 0 .

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No diagrama de Venn, está representada a relação entre os conjuntos dos números naturais ( N ) , dos inteiros ( Z ) e dos racionais ( Q ) .

Ilustração de uma figura circular demarcada com o símbolo do conjunto dos números naturais, dentro de outra demarcada com o símbolo do conjunto dos números inteiros. Além disso, a figura dos números inteiros também está dentro de outra circular, demarcada com o símbolo do conjunto dos números racionais. Ao lado está escrito: conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros e está contido no conjunto dos números racionais.

O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros, que, por sua vez, está contido no conjunto dos racionais.

Questão 3. Em seu caderno, escreva o número 5 na forma a b , sendo a e b números inteiros, com b 0 .

Sugestões de resposta: 5 1 ; 10 2 ; 15 3 ; 20 4 .

Ao dividirmos dois números inteiros, podemos ter três opções para o quociente.

  • Um número inteiro, quando a divisão for exata. Por exemplo, 6 : 3 = 2 .
  • Um número decimal com quantidade finita de casas decimais. Por exemplo:
Algoritmo da divisão de 17 dividido por 4 resultando em 4 vírgula 25 com resto 0. Abaixo do número 17, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 1 posicionado abaixo do 1, e o algarismo 6 abaixo do algarismo 7, resultando em 1 e ao lado do 1, há o número zero, acrescentado após a vírgula no quociente. Abaixo do algarismo 0 há o algarismo 8 e outra subtração, agora de 10 menos 8, resultando no resto zero 2. Ao lado do 2, há o algarismo 0, e há outra subtração de 20 menos 20, resultando no resto zero.

Um número decimal com infinitas casas decimais com algarismos que se repetem obedecendo a um padrão. Por exemplo:

Algoritmo da divisão de 123 dividido por 9 resultando em 13 vírgula 666 reticências. Abaixo do número 123, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 9 posicionado abaixo do 2, resultando em 3 e ao lado do 3, há outro algarismo 3, que se repete do número 123. Há outra subtração: 33 menos 27, resultando em 6. Ao lado do 6, há o número zero, acrescentado após a vírgula no quociente, formando o número 60 e há outra subtração, agora de 60 menos 54, resultando no resto 6. Novamente, ao lado do 6, há o número zero, formando o número  60 e abaixo há reticências, como se a operação não tivesse continuasse infinitamente.

Na divisão de 123 por 9, o algarismo 6 repete-se infinitamente no quociente. Quando isso ocorre, chamamos o número racional obtido no quociente de dízima periódica. O padrão de repetição infinita de um ou mais algarismos define o período da dízima.

Podemos representar uma dízima periódica escrevendo a fração associada a ela. Também podemos indicar o número na forma decimal com reticências ou, ainda, com um traço sobre o período. Por exemplo, 123 9 ou 13 , 666 ou 13 , 6 .

O padrão de repetição de uma dízima periódica pode ocorrer de diferentes maneiras. Acompanhe alguns exemplos.

  • 0 , 666 ou 0 , 6
  • 1 , 6 888 ou 1 , 6 8
  • 2 , 002 002 002 ou 2 , 00 2
  • 37 , 2 686 868 ou 37 , 2 6 8

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Podemos representar números racionais por meio de pontos em uma reta numérica.

Reta numérica com 19 pontos, indo de menos 6 até 6 e alguns outros pontos estão indicados, da esquerda para a direita. Entre menos 5 e menos 4, o número menos 9 meios, entre menos 2 menos 1: menos 1 vírgula 5. Entre menos 1 e zero está o número menos 0 vírgula 1. entre 0 e 1, o número 0 vírgula 7, entre 2 e 3, está o número 5 meios e entre 5 e 6, está o 29 quintos.

Com relação ao conjunto dos números racionais, podemos destacar as características a seguir.

  • A soma e a diferença entre dois números racionais também é um número racional.
  • O produto de dois números racionais é um número racional.
  • O quociente da divisão de um número racional por outro racional, diferente de zero, é também um número racional.

Fração geratriz

As frações que geram as dízimas periódicas são chamadas frações geratrizes. Exemplos.

  • 2 3 = 0 , 6
  • 5 6 = 0 , 8 3
  • 125 99 = 1 , 26

Acompanhe os cálculos para obter a fração geratriz da dízima periódica 3 , 15 .

1º. Consideramos x a parte decimal da dízima periódica 3 , 15 , ou seja, x = 0 , 15 .

2º. Multiplicamos ambos os membros da equação por uma potência de base 10 cujo expoente seja igual à quantidade de casas decimais no período da dízima. Nesse caso, 10 2 .

10 2 x = 10 2 0 , 15

100 x = 15 , 15

3º. Subtraímos x de ambos os membros da equação 100 x = 15 , 15 , o que resulta em:

100 x x = 15 , 15 x 0 , 15

99 x = 15 , 15 0 , 15

99 x = 15

x = 15 99

4º. Por fim, adicionamos a parte inteira à parte decimal na forma fracionária.

3 + x = 3 + 15 99 = 312 99

Portanto, 3 , 15 = 312 99 .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Determine quais das situações a seguir apresentam números naturais, quais delas apresentam números inteiros e quais apresentam números racionais.

A. Ilustração de uma placa de promoção. Texto: 'Promoção 49 reais e 90 centavos.'.
B. Placa de trânsito indicando a velocidade máxima permitida. Há a seguinte informação: 60 quilômetros por hora.
C. Ilustração de um cronômetro marcando '0 minutos', '55 segundos' e '0 centésimos de segundo'.
D. Ilustração de um visor de termômetro com a temperatura menos 3 graus Celsius.

Respostas: Números naturais: B e C; números inteiros: B, C e D; números racionais: A, B, C e D.

10. Considere os números a seguir.

  • 7 4

  • 0 , 38

  • 16

  • 2

  • 11

  • 29

  • 0 , 421

Escreva no caderno quais deles pertencem ao conjunto dos números:

a) naturais.

b) inteiros.

c) racionais.

Respostas: a) 11 e 29; b) 16 ; 2 ; 11 e 29; c) 7 4 ; 16 ; 2 ; 11; 0 , 38 ; 0 , 421 e 29.

11. Copie os itens no caderno, substituindo cada pelo símbolo ou .

a) 2 N .

b) 0 , 467 Z .

c) 8 Z .

d) 0 , 21 Q .

e) 5 4 Q

f) 2 3 Z .

g) 1 , 131 313 N .

h) 1 2 Q .

Respostas: a) 2 N ; b) 0 , 467 Z ; c) 8 Z ; d) 0 , 21 Q ; e) 5 4 Q ; f) 2 3 Z ; g) 1 , 131 313 N ; h) 1 2 Q .

12. Copie no caderno as afirmações, corrigindo as que estão incorretas.

a) Todo número natural é também um inteiro.

b) O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números naturais.

c) Todo número racional pode ser representado por uma fração.

d) Todos os números inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais.

e) Todo número fracionário pertence ao conjunto dos números racionais.

As afirmações dos itens a, c e e estão corretas. b) Sugestão de resposta: O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. d) Sugestão de resposta: Alguns números inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais.

13. Escreva no caderno:

a) dois números naturais maiores do que 20.

b) três números inteiros menores do que 0.

c) dois números racionais negativos.

d) quatro números racionais entre 1 e 1.

Sugestão de respostas: a) 30, 40; b) 7 , 8 , 9 ; c) 7 3 , 2 , 3 ; d) 1 2 , 0 , 1 4 , 1 2 .

14. Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, no caderno, copie e corrija as falsas.

a) 4 5 Z .

b) 197 N .

c) Z Q .

d) 3 , 5 Z .

e) Z N .

f) 1 , 345 Q .

g) N Q .

h) 5 N .

Respostas: a) Falsa; 4 5 Z ; b) Falsa; 197 N ; c) Verdadeira; d) Falsa; 3 , 5 Z ; e) Verdadeira; f) Verdadeira; g) Verdadeira; h) Falsa; 5 N .

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15. Analise os números a seguir e, no caderno, relacione em pares os números que têm o mesmo valor.

  • 0,375

  • 5 4

  • 15 99

  • 8

  • 24 3

  • 0 , 15

  • 3 8

  • 1 , 25

Respostas: 0,375 e 3 8 ; 5 4 e 1 , 25 ; 15 99 e 0 , 15 ; 8 e 24 3 .

16. Escreva no caderno as frações a seguir na forma decimal.

a) 3 5

b) 1 9

c) 5 8

d) 25 99

e) 152 999

f) 2 12 99

Respostas: a) 0,6; b) 0 , 111 . . . ou 0 , 1 ; c) 0 , 625 ; d) 0 , 252 525 . . . ou 0 , 25 ; e) 0 , 152 152 152 . . . ou 0 , 152 ; f) 2 , 121 212 . . . 2 , 12 .

17. Acompanhe o procedimento de Beatriz para escrever o número 0,8 na forma fracionária.

Ilustração de uma folha de caderno com as escritas: 0 vírgula 8 é igual a. início de fração: numerador: 8 denominador: 10, fim de fração. igual a. início de fração: numerador: 4 denominador: 5, fim de fração.

Escreva no caderno os números decimais a seguir na forma fracionária. Depois, assim como Beatriz, simplifique cada fração, tornando-a irredutível.

a) 0 , 6

b) 0 , 45

c) 1 , 96

d) 1 , 128

Respostas: a) 3 5 ; b) 9 20 ; c) 49 25 ; d) 141 125 .

18. Considere os números a seguir.

  • 6 , 8

  • 32 5

  • 7 3

  • 5 , 6

  • 396 999

Cada letra indicada na reta numérica a seguir representa um dos números apresentados.

Reta numérica com 20 pontos indo de menos 7 a 7 e alguns outros pontos estão indicados, da esquerda para a direita. Entre menos 7 e menos 6, está indicada a letra E, entre menos 3 e menos 2: a letra B. Entre 0 e 1: a letra D, entre 5 e 6, a letra A e entre 6 e 7, a letra C.

Qual número cada letra representa?

Respostas: A: 5 , 6 ; B: 7 3 ; C: 32 5 ; D: 396 999 ; E: 6 ,8.

19. Determine os dois números inteiros consecutivos que substituem de maneira correta cada .

a) < 2 , 5 < .

b) < 10 3 < .

c) < 25 99 < .

d) < 3 8 ,   7 < .

Respostas: a) 3 ; 2 ; b) 3; 4; c) 1 ; 0; d) 38; 39.

20. Escreva no caderno a fração geratriz da dízima periódica indicada em cada item.

a) 0 , 777 . . .

b) 0 , 32

c) 1 , 222

d) 4 , 19

Respostas: a) 7 9 ; b) 32 99 ; c) 11 9 ; d) 415 99 .

21. Para obter a fração geratriz da dízima periódica 2 , 1 333 . . . , Lucas realizou alguns cálculos. Acompanhe o procedimento dele.

Ilustração de uma folha de caderno com as escritas: Considerei x igual a 2 vírgula 1333 reticências. Em seguida, multipliquei ambos os membros da igualdade por 10. Na outra linha: 10 vezes x é igual a 21 vírgula 333 reticências. Outra linha: depois fiz a decomposição do número 21 vírgula 333 reticências. Outra linha: 10 vezes x é igual a 21 mais zero vírgula 333 reticências. Outra linha: Por fim, resolvi essa equação para determinar o valor de x na forma fracionária. Equação desenvolvida em 5 linhas: Linha 1: 10 vezes x é igual a 21 mais zero vírgula 333 reticências; linha 2: 10 vezes x é igual a 21 mais início de fração: numerador 3 denominador 9, fim de fração; linha 3: 90 vezes x é igual a 189 mais 3; linha 4: 90 vezes x é igual a 192; linha 5: x é igual a. início de fração: numerador 192; denominador 90, fim d efração.

De maneira semelhante ao procedimento de Lucas, escreva no caderno a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir.

a) 2 , 5 888 . . .

b) 0 , 9 565 656 . . .

c) 14 , 7 111 . . .

d) 1 , 3 51

Respostas: a) 233 90 ; b) 947 990 ; c) 1 . 324 90 ; d) 1 . 338 990 .

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Conjunto dos números irracionais

Existem números racionais cujas infinitas casas decimais não são dízimas periódicas, pois os algarismos da parte decimal não estabelecem um padrão de repetição. Os números decimais com essa característica formam o conjunto dos números irracionais, que representamos por I .

Verifique alguns exemplos de números irracionais.

  • 3 = 1 , 732 050 807
  • π = 3 , 141 592 653
  • 7 = 2 , 645 751 311
  • 5 2 = 1 , 118 033 988

Os números irracionais não podem ser representados por uma fração, ou seja, não é possível escrevê-los na forma a b , sendo a e b números inteiros, com b 0 .

No diagrama de Venn a seguir, está representada a relação entre os conjuntos dos números naturais ( N ) , dos inteiros ( Z ) , dos racionais ( Q ) e dos irracionais ( I ) .

Ilustração de uma figura circular demarcada com o símbolo do conjunto dos números naturais, dentro de outra demarcada com o símbolo do conjunto dos números inteiros. Além disso, a figura dos números inteiros também está dentro de outra circular, demarcada com o símbolo do conjunto dos números racionais. Ao lado, com a linha de demarcação encostada  no conjunto dos números racionais, está o conjunto dos números irracionais.

Atenção!

Convém destacar que todas as raízes quadradas não exatas de números naturais são números irracionais.

Ao realizar adições, subtrações, multiplicações e divisões envolvendo apenas números irracionais, o resultado pode ser tanto um número racional quanto um irracional, dependendo dos números com os quais se opera.

Conjunto dos números reais

Ao considerarmos a união do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais, obtemos o conjunto dos números reais, que indicamos por R .

Assim, todos os números estudados até agora também pertencem ao conjunto dos números reais.

N Z Q R e I R

Ilustração de uma figura circular demarcada com o símbolo do conjunto dos números naturais, dentro de outra demarcada com o símbolo do conjunto dos números inteiros. Além disso, a figura dos números inteiros também está dentro de outra circular, demarcada com o símbolo do conjunto dos números racionais. Ao lado, com a linha de demarcação encostada  no conjunto dos números racionais, está o conjunto dos números irracionais. Abaixo está escrito que o conjunto dos números reais é igual ao conjunto dos números racionais união com o conjunto dos números irracionais.

Podemos representar números reais em uma reta numérica.

Reta numérica com 23 pontos, indo de menos 6 até 6 e alguns outros pontos estão indicados, da esquerda para a direita. Entre menos 5 e menos 4, o número menos 9 meios, entre menos 3 e menos 2: menos raiz quadrada de 5. Entre menos 2 e menos 1: menos 1,5. Entre menos 1 e zero: menos 0 vírgula 1. entre 0 e 1: os números: um terço e 0 vírgula 7, entre 2 e 3, está o número 5 meios. entre 3 e 4: o número pi e entre 5 e 6, estão os números raiz quadrada de 30 e 29 quintos.

Uma reta numérica que representa os números reais é chamada reta real.

Atenção!

Em algumas situações, é necessário excluir o zero dos conjuntos numéricos. Para representar um conjunto excluindo o zero, usamos o asterisco (*). Por exemplo:

Z * = { , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , }

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

22. Escreva no caderno:

a) três números reais que pertençam ao conjunto dos números inteiros.

b) dois números que não pertençam ao conjunto dos números racionais.

c) quatro números que pertençam à união dos conjuntos dos números racionais e dos números irracionais.

d) cinco números reais entre 1 e 0 .

e) três números reais entre 2 e 1 , 5 .

f) dois números racionais entre 0 e 1.

Sugestão de respostas: a) 1 , 2 e 5; b) 7 e 2 3 ; c) 2 3 , 0 , 58 , 11 e 15; d) 2 2 , 1 2 , 3 5 , 1 4 e 2 9 ; e) 1 , 99 , 3 e 7 4 ; f) 0 , 58 e 2 3 .

23. Determine o símbolo que substitui corretamente cada , usando , , ou .

a) 0 R

b) Q R

c) Z N

d) 1 ( Q I )

e) R Z

f) ( I Z ) R

g) 0 , 25 Q

h) Q I

i) I R

Respostas: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) .

24. Cada número a seguir pertence a mais de um conjunto numérico. Escreva no caderno a que conjuntos ( N , Z , Q , I e R ) pertence cada um deles.

a) 1 , 2

b) 5

c) 47

d) 5 2

e) 2 , 89

f) 51 17

Respostas: a) Q e R ; b) I e R ; c) N , Z , Q e R ; d) Q e R ; e) Q e R ; f) N , Z , Q e R .

25.No caderno, associe cada número apresentado a uma das letras indicadas na reta numérica.

  • 3

  • 1

  • 3 7

  • 1 , 5

  • 17

  • 4 , 785

  • 8

  • 4 25

  • 3 , 2

Reta numérica com 23 pontos, indo de menos 6 até 6 e alguns outros pontos estão indicados, da esquerda para a direita. Entre menos 5 e menos 4, a letra A, entre menos 4 e menos 3: a letra B. Entre menos 2 e menos 1: as letras C e D, nessa ordem. Entre zero e 1: as letras E e F, também nessa ordem. entre 1 e 2: a letra G, entre 2 e 3, está a letra H e entre 4 e 5, está a letra I.

Resposta: A: 4 , 785 ; B: 3 , 2 ; C: 1 , 5 ; D: 1 ; E: 4 25 ; F: 3 7 ; G: 3 ; H: 8 ; I: 17 .

26. Analise os números do quadro.

  • 20
  • 0 , 8
  • 35
  • 0
  • 5
  • 2 3
  • 12
  • 16
  • 149
  • 121 2

Escreva no caderno quais dos números apresentados pertencem ao conjunto dos números:

a) naturais.

b) inteiros.

c) racionais.

d) irracionais.

e) reais.

Respostas nas orientações ao professor.

27. Com base na reta numérica apresentada, substitua cada por ou para indicar se o número representado pela letra pertence ou não ao conjunto.

Reta numérica com 19 pontos, indo de menos 6 até 6 e alguns outros pontos estão indicados, da esquerda para a direita. Entre menos 6 e menos 5, está a letra A, acima do menos 4 está a letra B, entre menos 4 e menos 3: a letra C. Acima do menos 2 está a letra D. Entre menos 1 e zero: as letras E e F, nessa ordem. entre 0 e 1: a letra G, entre 1 e 2, está a letra H. Acima do 3, está a letra I e acima do ponto 5, a letra J.

A N

B Z

C Z

D N

E R

F Z

G N

H N

I R

J Q

Resposta: A N ; B Z ; C Z ; D N ; E R ; F Z ; G N ; H N ; I R ; J Q .

28. Junte-se a um colega, desenhem no caderno uma reta numérica e, nela, representem os seguintes números.

a) 0

b) 3 8

c) 1 , 888

d) 9 12

e) 2

f) 2 , 25

g) 3

h) 1 , 44

i) 0 , 16

j) 1 10

Resposta na seção Resoluções.

Página 42

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Os conjuntos A, B, C e D estão representados por meio dos diagramas a seguir. Escreva, em uma folha de papel avulsa, o conjunto indicado em cada item, apresentando os elementos entre chaves.

a) A B

b) B A

c) A D

d) A C

e) C D

f) C D

Ilustração de um diagrama de Veen. Há 4 figuras circulares nomeadas como conjuntos: A, B, C e D.  O conjunto A e o conjunto B apresentam o conjunto C comum entre eles com os números 1 e 4 e o número 6 na interseção do conjunto A com o conjunto B. Apenas no conjunto A estão os números 3, 7, 9, 12. Dentro do conjunto B, além de números 5, 8 e 11, há também o conjunto D, com os número 2 e 10.

Respostas: a) A B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } ; b) B A = { 1 , 4 , 6 } ; c) A D = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 9 , 10 , 12 } ; d) A C = { 1 , 4 } ; e) C D = ou C D = { } ; f) C D = { 1 , 2 , 4 , 10 } .

2. Sabendo que B = { b , d , e , f } , A B = { b , d , e } e A B = { a , b , c , d , e , f } , escreva em uma folha de papel avulsa os elementos do conjunto A.

Resposta: A = { a , b , c , d , e } .

3. Quais dos números a seguir são naturais?

  • 7

  • 6

  • 5

  • 8

  • 0,8

  • 1

  • 2

  • 4

  • 7 , 5

Resposta: 2, 5, 7 e 8.

4. Em uma folha de papel avulsa, escreva em ordem crescente os números a seguir.

  • 1

  • 14

  • 2 5

  • 0

  • 7 3

  • 16

  • 61 3

  • 1 2

  • 61 4

  • 3

Resposta: 14 ; 3 ; 7 3 ; 1 2 ; 0; 2 5 ; 1; 61 4 ; 16; 61 3 .

5. Escreva em uma folha de papel avulsa:

a) um número racional entre 0 , 6 e 0 , 7 .

b) dois números racionais entre 0 , 52 e 0 , 53 .

c) três números racionais entre 1 , 731 e 1 , 732 .

Sugestão de respostas: a) 0 , 61 ; b) 0 , 521 e 0 , 522 ; c) 1 , 7 311 ; 1 , 7 312 e 1 , 7 313 .

6. Determine, em uma folha de papel avulsa, um número racional que substitua cada de modo que as sentenças se tornem verdadeiras.

a) 1 < < 5 2

b) 3 2 < < 3 2

c) 4 3 < < 5 3

d) 2 < < 3 2

Sugestão de respostas: a) 3 2 ; b) 1 2 ; c) 8 5 ; d) 8 5 .

7. Junte-se a um colega e verifiquem se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) O conjunto dos números reais corresponde à união dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

b) Todo número real é racional, mas nem todo número racional é real.

c) Todo número natural é um inteiro.

d) 3 é um número racional.

Respostas: a) Verdadeira; b) Falsa; c) Verdadeira; d) Falsa.

8. (Saresp-2005) A parte decimal da representação de um número segue o padrão de regularidade indicado:

0 , 12 112 111 211 112

Este número é:

a) racional não inteiro.

c) irracional negativo.

b) inteiro negativo.

d) irracional positivo.

Resposta: Alternativa d.

9. Copie, em uma folha de papel avulsa, somente as sentenças verdadeiras.

A.

N R

B.

1 N

C.

I R

D.

1 2 Z

E.

0 , 32 Q

F.

2 I

Resposta: N R , I R , 0 , 32 Q e 2 I .

10. Ícone desafio. Sabendo que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional, escreva, em uma folha de papel avulsa, um exemplo dessa situação.

Sugestão de resposta: 2 18 = 36 = 6 .