Expressões algébricas

Em algumas situações, a inclusão de letras para generalizar uma situação foi importante para o desenvolvimento da Matemática e, consequentemente, de suas aplicações na resolução de problemas de todas as áreas de conhecimento.

Em Matemática, a área que estuda a representação de letras no lugar de números é chamada álgebra. Esse nome surgiu da expressão al-jabr, do livro Al-Jabr wa'l mugabalah, publicado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi por volta de 830.

As letras podem aparecer em expressões algébricas, fórmulas e equações.

Questão 1. Faça uma pesquisa sobre as contribuições de Al-Khowarizmi para a Matemática.

Resposta: Espera-se que os estudantes verifiquem que Al-Khowarizmi fez várias contribuições, entre elas a idealização do sistema decimal com 10 algarismos e a resolução de equações, algo que popularizou métodos algébricos.

A seguir, apresentamos um exemplo em que podemos usar letras para representar números.

João tem certa quantia em reais, Fernando tem R$ 7,00 a mais do que João e Amanda tem o dobro da quantia de Fernando. Para representar a quantia que cada um deles tem, vamos escrever expressões algébricas. Para isso, vamos chamar de $x$ a quantia que João tem.

João: $x$

Fernando: $x+7$

Amanda: $2\left(x+7\right)$

No exemplo, a letra x pode assumir valores como R$ 10,00 e R$ 15,00, entre outros.

Questão 2. Uma caneta custa x reais, e um caderno, y reais. Em seu caderno, escreva uma expressão algébrica para representar o valor a ser pago ao se comprar duas canetas e três cadernos.

Resposta: $2x+3y$.

Valor numérico de uma expressão algébrica

Em algumas situações é necessário obter o valor numérico de uma expressão algébrica. Nesse caso, substituímos as letras, ou seja, as variáveis da expressão, por números.

A seguir, apresentamos um exemplo de como obter o valor numérico de uma expressão algébrica.

A fileira a seguir foi construída utilizando dois modelos de cubos, cuja medida do comprimento das arestas é diferente.

Para representar a medida do comprimento dessa fileira, em metros, podemos escrever uma expressão algébrica e, em seguida, simplificá-la.

Assim, a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da fileira de cubos, em metros, é $5x+4$.

Se o comprimento da aresta do cubo verde medisse $3\text{m}$, ou seja, se $x=3$, qual seria a medida do comprimento dessa fileira, em metros?

Para responder a essa pergunta, podemos realizar o seguinte cálculo:

$5x+4$

$5\cdot 3+4=15+4=19$

Portanto, a medida do comprimento dessa fileira seria $19\text{m}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No caderno, associe cada frase a uma das expressões algébricas. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

Resposta: A-3; B-1; C-2.

2. Escreva no caderno uma expressão algébrica para representar cada frase.

a) O triplo do número $x$ mais 4.

b) O quadrado do número $a$ mais o dobro desse número.

c) A metade do número $m$ menos 5.

d) O quíntuplo do número $b$ mais a oitava parte desse número menos 3.

e) A quarta parte do número $n$ menos 4, mais o quadrado de $n$.

Respostas: a) $3x+4$; b) $a^2+2a$; c) $\frac{m}{2}-5$; d) $5b+\frac{b}{8}-3$; e) $\frac{n}{4}-4+n^2$.

Em seu caderno, elabore e escreva duas frases semelhantes às apresentadas. Depois, solicite a um colega que escreva as expressões algébricas de variável x para representar as frases escritas. Por último, peça a ele que calcule o valor numérico de cada expressão, dado um valor estipulado por você para a variável. Por fim, verifiquem se as respostas estão corretas.

Resposta pessoal.

3. Analise a expressão algébrica a seguir, a qual foi associada a uma frase.

Escreva no caderno uma frase associada a cada expressão algébrica a seguir.

a) $3x+5$

Sugestão de resposta: O triplo de um número mais cinco.

b) $\frac{x}{2}-4x$

Sugestão de resposta: A metade de um número menos o quádruplo desse número.

c) $x^2-3$

Sugestão de resposta: O quadrado de um número menos três.

d) $\frac{x^3}{2}-x$

Sugestão de resposta: A metade do cubo de um número menos esse número.

4. Uma sequência de figuras foi desenhada na malha quadriculada a seguir. A partir da 2ª, cada figura tem 1 quadradinho a mais do que a figura anterior.

a) Quantos quadradinhos tem a figura 2? E a figura 4?

b) Ao continuar essa sequência, quantos quadradinhos terá a figura 6?

c) Escreva no caderno uma expressão algébrica que, de acordo com a sequência, represente a quantidade de quadradinhos para uma figura na posição $x$.

d) De acordo com a expressão algébrica que você escreveu, efetue os cálculos e determine quantos quadradinhos terá:

• a figura 10;
• a figura 16;
• a figura 27.

Respostas: a) 4 quadradinhos; 6 quadradinhos; b) 8 quadradinhos; c) $x+2$; d) 12 quadradinhos; 18 quadradinhos; 29 quadradinhos.

5. Simplifique as expressões algébricas.

a) $2x+x+x$

b) $5x+1+x$

c) $7x-\left(16x:4\right)+5$

d) $5x+3\left(2x+1\right)-7$

e) $5\left(2-x\right)+4$

f) $\left(12x-21\right):3+6x+11$

Respostas: a) $4x$; b) $6x+1$; c) $3x+5$; d) $11x-4$; e) $-5x+14$; f) $10x+4$.

Monômios

Um professor de Matemática do 8º ano pediu aos estudantes que escrevessem uma expressão algébrica para cada problema a seguir.

Podemos escrever expressões algébricas para cada problema apresentado.

1. $\mathrm{}4,3x$

2. $18a^2$

3. $\mathrm{}42n$

A essas expressões algébricas dá-se o nome de monômio.

Monômios que apresentam a mesma parte literal são chamados monômios semelhantes. Apresentamos a seguir alguns exemplos.

• Monômios semelhantes
  • $2x$ e $5x$
  • $-4xy$ e $\frac{2}{3}xy$
  • $2,4x^{2}y$ e $-10x^{2}y$
  • $x{y}^{3}z$ e $-7x{y}^{3}z$
• Monômios não semelhantes
  • $8$ e $2x$
  • $4xy$ e $4x{y}^2$
  • $-3y^{4}z$ e $\frac{5}{8}{y}^{2}z$
  • $x{y}^4{z}^2$ e $7y^{4}z$

Indicamos o grau de um monômio adicionando os expoentes das variáveis. O monômio $-2x{y}^2{z}^3$, por exemplo, tem grau 6, pois $1+2+3=6$. Analise mais dois exemplos.

Monômio de grau 3 ou de 3º grau, pois $1+1+1=3$.

Monômio de grau 4 ou de 4º grau, pois $2+2=4$.

Questão 3. Escreva em seu caderno um monômio de 5º grau com três variáveis.

Sugestão de resposta: $8x^{2}y{z}^2$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. Escreva no caderno o coeficiente e a parte literal do monômio indicado em cada item.

a) $16pq$

Resposta: O coeficiente é 16 e a parte literal é $pq$.

b) $-2a^3{b}^{2}c$

Resposta: O coeficiente é $-2$ e a parte literal é $a^3{b}^{2}c$.

c) $mnp$

Resposta: O coeficiente é 1 e a parte literal é $mnp$.

d) $22x^5$

Resposta: O coeficiente é 22 e a parte literal é $x^5$.

e) $4,2w^{3}z$

Resposta: O coeficiente é $4,2$ e a parte literal é $w^{3}z$.

f) $\frac{2}{3}pq$

Resposta: O coeficiente é $\frac{2}{3}$ e a parte literal é $pq$.

g) $0,021c$

Resposta: O coeficiente é $0,021$ e a parte literal é $c$.

h) $100g^{8}h$

Resposta: O coeficiente é $100$ e a parte literal é $g^{8}h$.

i) 18

Sugestão de resposta: O coeficiente é $18$ e a parte literal é $x^0$.

7. Em seu caderno, escreva o grau de cada monômio da atividade anterior.

Respostas: a) Grau 2; b) Grau 6; c) Grau 3; d) Grau 5; e) Grau 4; f) Grau 2; g) Grau 1; h) Grau 9; i) Grau zero.

8. Escreva no caderno o monômio:

a) de coeficiente $2$ e parte literal $x$;

b) de coeficiente $1$ e parte literal $y$;

c) de coeficiente $-1$ e parte literal $x^2$.

Respostas: a) $2x$; b) $y$; c) $-x^2$.

9. Separe no caderno os monômios a seguir em grupos, de modo que em cada grupo tenha somente monômios semelhantes.

Respostas: $4x$, $-x$, $10x$; $9x^2$, $-5x^2$; $-8xy$, $3xy$, $21xy$; $17x^{2}y$, $10x^{2}y$, $-12x^{2}y$.

10. Escreva no caderno três monômios semelhantes ao monômio $4m{n}^2$.

Sugestão de resposta: $9m{n}^2$; $-\frac{1}{2}m{n}^2$; $3,5m{n}^2$.

11. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo o valor numérico de uma expressão algébrica, identificação de monômios, bem como seu grau, área e perímetro. Para essa produção, considere o retângulo apresentado a seguir.

Agora, peça a um colega que resolva o problema e, depois, verifiquem se as respostas estão corretas.

Resposta pessoal.

12. Os gregos já empregavam letras para designar números e até mesmo objetos. Os gregos também deixaram os primeiros vestígios do cálculo aritmético efetuado sobre letras. Diofanto de Alexandria (300 a.C.) empregava as letras com abreviação. Em geral, os gregos representavam as quantidades por linhas, determinadas por uma ou duas letras, e raciocinavam como em geometria.

Os cálculos sobre letras são mais numerosos nos autores hindus do que nos gregos. Os árabes do Oriente empregavam símbolos algébricos a partir da publicação da Aljebr walmukâbala de Alkarismí (século IX), e os árabes do Ocidente, a partir do século XII; no século XV, Alcalsâdi introduziu novos símbolos.

A álgebra moderna só adquiriu caráter próprio, independente da aritmética, a partir de Viète, que sistematicamente substituiu a álgebra numérica pela álgebra dos símbolos. Viète não empregava o termo álgebra, e sim análise, para designar essa parte da ciência Matemática em que brilha seu nome.

Outrora, atribuía-se à origem da palavra álgebra ao nome do matemático árabe Geber; na realidade, essa origem estava presente na operação que os árabes denominavam aljebr.

Fonte de pesquisa: LISBOA, Almeida. O emprego das letras no cálculo. In: SOUZA, Júlio César de Mello e. Matemática divertida e curiosa. 2. ed. Rio de Janeiro: Record, 1991. p. 48-49.

a) De que maneira Diofanto de Alexandria expressava seus cálculos aritméticos?

Resposta: Diofanto empregava as letras com abreviação.

b) Como os gregos expressavam seus cálculos aritméticos?

Resposta: Em geral, os gregos representavam as quantidades por meio de linhas, determinadas por uma ou duas letras, e raciocinavam como em geometria.

c) Com base nas informações apresentadas, qual foi a contribuição de Viète para a álgebra?

Resposta: Ele substituiu sistematicamente a álgebra numérica pela álgebra dos símbolos.

d) Em seu caderno, escreva um texto expressando sua opinião a respeito da importância de atribuir letras e números para representar expressões, equações e fórmulas.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes escrevam um texto argumentando, de maneira resumida, que o uso de letras e números é importante para simplificar a escrita.

Operações com monômios

Adição e subtração de monômios

A seguir estão representados três paralelepípedos retos retângulos.

Com base nas medidas indicadas, qual é a medida do volume dos três paralelepípedos retos retângulos juntos?

Para responder a essa pergunta, vamos determinar inicialmente a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo.

$V_A=2\cdot 4\cdot a=8a$

$V_B=a\cdot 3\cdot 2=6a$

$V_C=a\cdot 2\cdot 7=14a$

Em seguida, adicionamos as medidas dos volumes obtidos.

$V_A+V_B+V_C=8a+6a+14a$

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, simplificamos a expressão algébrica obtida.

$V_A+V_B+V_C=8a+6a$ $+14a=\left(8+6+14\right)a=28a$

Portanto, a soma das medidas dos volumes dos três paralelepípedos retos retângulos é $28a$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Simplifique a expressão algébrica em cada item para obter um monômio.

a) $5ab+2ab-ab$

b) $12x^{2}y-4x^{2}y-2x^{2}y$

c) $20,5a^3{b}^2-7,3a^3{b}^2$

d) $x^{5}y-5x^{5}y+6x^{5}y$

e) $\left(2+3\right)y{z}^4-y{z}^4$

Respostas: a) $6ab$; b) $6x^{2}y$; c) $13,2a^3{b}^2$; d) $2x^{5}y$; e) $4y{z}^4$.

14. Escreva no caderno um monômio para representar a medida do perímetro de cada figura.

A.

B.

C.

Respostas: A. $10ab$; B. $20x$; C. $18w$.

15. Copie no caderno as sentenças substituindo cada $\text{█}$ pelo monômio adequado.

a) $11a{b}^2+\text{█}=20a{b}^2$

b) $-7x^3{y}^2+\text{█}=3x^3{y}^2$

c) $14m{n}^3=9m{n}^3+\text{█}$

d) $-7abc-\text{█}+2abc=-18abc$

Respostas: a) $11a{b}^2+9a{b}^2=20a{b}^2$; b) $-7x^3{y}^2+10x^3{y}^2=3x^3{y}^2$; c) $14m{n}^3=9m{n}^3+5m{n}^3$; d) $-7abc-13abc+2abc=-18abc$.

16. Junte-se a um colega e determinem o monômio que representa a medida da área total das figuras em cada item, sabendo que os monômios indicados representam a medida da área das partes dessas figuras.

A.

B.

Respostas: A. $46xy$; B. $12ab$.

17. Junte-se a um colega e escrevam no caderno o que se pede em cada item.

a) Uma adição de monômios cujo resultado seja $18x{y}^3$.

b) Uma subtração de monômios cujo resultado seja $3a^2{b}^4$.

c) Uma adição de 3 monômios cujo resultado seja $9n^5{m}^3$.

Sugestão de respostas: a) $7x{y}^3+11x{y}^3$; b) $5a^2{b}^4-2a^2{b}^4$; c) $3n^5{m}^3+5n^5{m}^3+n^5{m}^3$.

Multiplicação de monômios

Antônio comprou um terreno com formato retangular cuja medida do comprimento é o dobro da medida da largura. Na figura estão indicadas as medidas das dimensões dele.

De acordo com a figura, qual é a medida da área do terreno que Antônio comprou?

Para responder a essa pergunta, precisamos multiplicar os monômios que representam as medidas do comprimento e da largura do terreno.

$A=x\cdot 2x=2\cdot x\cdot x=2x^2$

Portanto, a medida da área do terreno que Antônio comprou é $2x^2$.

Divisão de monômios

Aurélio fez a seguinte pergunta para Paula.

Será que a resposta de Paula está correta?

Para verificar, vamos utilizar a operação inversa da multiplicação, ou seja, a divisão.

$\text{█}\cdot 2x^3=12x^5$

O monômio que satisfaz as condições mencionadas é $6x^2$. Portanto, a resposta de Paula está correta.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. Efetue no caderno as multiplicações dos monômios de cada item. Depois, simplifique os produtos obtidos.

a) $7x^{4}y\cdot 3x{y}^2$

b) $-11x^2{y}^3\cdot 7x{y}^{2}z\cdot x^{5}y{z}^2$

c) $2x^2\cdot 3x{y}^2\cdot \left(-xy\right)$

d) $13x^5\cdot 2x^4{y}^2\cdot 5y^{5}z$

e) $4x{z}^5\cdot \left(-2x^2{y}^3\right)\cdot xz\cdot \left(-3x^4{y}^8\right)$

f) $-5x^{2}z\cdot x{y}^3\cdot \left(-2x^2{y}^2\right)\cdot xz$

Respostas: a) $21x^5{y}^3$; b) $-77x^8{y}^6{z}^3$; c) $-6x^4{y}^3$; d) $130x^9{y}^{7}z$; e) $24x^8{y}^{11}{z}^6$; f) $10x^6{y}^5{z}^2$.

19. Escreva no caderno o monômio que representa a medida da área de cada figura.

Respostas: A. $64z^2$; B. $19v^2$; C. $18x^{2}y$.

20. Determine o valor das letras p, q, r, s, t, w e v indicadas nos expoentes, de modo que os resultados dos cálculos estejam corretos.

a) $7x^4\cdot 3x^p=21x^6$

b) $10x^4\cdot 6y^q\cdot 2x=120x^r{y}^6$

c) $-4x^4{y}^2\cdot 6x\cdot 2x^s{y}^5=-48x^8{y}^t$

d) $13x^4{y}^w\cdot \left(-2x^4{y}^w\right)=-26x^v{y}^{10}$

Respostas: a) $p=2$; b) $q=6$; $r=5$; c) $s=3$; $t=7$; d) $w=5$; $v=8$.

21. Efetue as divisões de cada item. Em seguida, simplifique os resultados obtidos.

a) $15x^4:5x^3$

b) $12a^2:3a^2$

c) $30x^{5}y:10x^2$

d) $18a^2{b}^3:2ab$

e) $20y^7{z}^2:10y^{5}z$

f) $32a^5{b}^6:8a^2{b}^3$

Respostas: a) $3x$; b) $4$; c) $3x^{3}y$; d) $9a{b}^2$; e) $2y^{2}z$; f) $4a^3{b}^3$.

22. Com base nas medidas dos comprimentos dos lados dos retângulos apresentados, calcule quantas vezes a medida da área do retângulo verde corresponde à medida da área do retângulo laranja.

Resposta: 9 vezes.

23. Junte-se a um colega e respondam às questões a seguir.

a) Que monômio multiplicado por $3x^2$ resulta em $-9x^9$?

b) Que monômio dividido por $2x^2$ resulta em $5x$?

c) Que monômio multiplicado por $y^4$ resulta em $4y^8$?

d) Que monômio dividido por $5y$ resulta em $6y^4$?

Respostas: a) $-3x^7$; b) $10x^3$; c) $4y^4$; d) $30y^5$.

24. A imagem representa um retângulo cuja área mede $18y^5$. Que monômio representa a medida A?

Resposta: $3y^4$.

25. Copie no caderno as sentenças a seguir, substituindo cada $\text{█}$ pelo monômio adequado.

a) $6x^2:\text{█}=2x$

b) $x^{5}y:\text{█}=x^{3}y$

c) $\text{█}:8x^2{y}^5=2x^{7}y$

d) $\text{█}:9x^{2}y{z}^3=5xy{z}^3$

e) $\text{█}:2x{y}^3{z}^2=4xyz$

f) $12x^7{y}^{9}z:\text{█}=4x^2{y}^{3}z$

Respostas: a) $6x^2:3x=2x$; b) $x^{5}y:x^2=x^{3}y$; c) $16x^9{y}^6:8x^2{y}^5=2x^{7}y$; d) $45x^3{y}^2{z}^6:9x^{2}y{z}^3=5xy{z}^3$; e) $8x^2{y}^4{z}^3:2x{y}^3{z}^2=4xyz$; f) $12x^7{y}^{9}z:3x^5{y}^6=4x^2{y}^{3}z$.

26. Nos cálculos a seguir, as letras A, B, C e D representam monômios. Sabendo que as letras iguais indicam o mesmo monômio, determine o monômio correspondente a cada letra.

Resposta: $A=4x^6$; $B=3x$; $C=2x^5$; $D=\frac{2x^4}{3}$.

Polinômios

Juliano separou algumas partes de sua chácara, com formato de retângulo, para o plantio de hortaliças orgânicas.

No esquema estão representadas as medidas das dimensões de cada uma dessas partes.

Com base nas indicações do esquema, qual expressão algébrica representa a medida da área total que Juliano reservou para o plantio de hortaliças orgânicas?

Para responder a essa pergunta, vamos determinar inicialmente a medida da área de cada parte.

$A_{\text{alface}}=x\cdot x=x^2$

$A_{\text{couve}}=x\cdot y=xy$

$A_{\text{repolho}}=y\cdot y=y^2$

Agora, adicionamos as medidas das áreas e obtemos a expressão algébrica que representa a medida da área dos três plantios.

$A_{\text{alface}}+A_{\text{couve}}+A_{\text{repolho}}=x^2+xy+y^2$

A expressão algébrica que representa a medida da área total reservada para o plantio de hortaliças orgânicas é chamada polinômio.

Quando um polinômio tem termos que são monômios semelhantes, podemos simplificá-lo. Para exemplificar, vamos simplificar o polinômio a seguir, que apresenta essas características.

$3\left(y+2xy\right)+2x^{2}y-y+5x^{2}y$

Primeiro, eliminamos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

$3\left(y+2xy\right)+2x^{2}y-y+5x^{2}y$$=3y+6xy+2x^{2}y-y+5x^{2}y$

Em seguida, organizamos os monômios semelhantes lado a lado e efetuamos as adições e subtrações entre eles.

Dizemos que o polinômio $2y+6xy+7x^{2}y$ está na forma reduzida.

Podemos classificar um polinômio escrito na forma reduzida de acordo com a quantidade de termos.

São chamados binômios os polinômios que têm 2 termos.

Por exemplo: $y+x$ e $2-xy$.

São chamados trinômios os polinômios que têm 3 termos.

Por exemplo: $2y+zw+7$ e $\frac{7x}{2}-y^2+x^3$.

Os monômios também são polinômios, porém com um único termo.

Os polinômios com quatro termos ou mais não recebem nomes particulares.

Também podemos definir o grau de um polinômio. Para definir, por exemplo, o grau do polinômio reduzido $2x^4-x{y}^2+3x^2{y}^4$, determinamos inicialmente o grau de cada um de seus termos.

$2x^4$

4º grau

$-x{y}^2$

3º grau, pois $1+2=3$

$3x^2{y}^4$

6º grau, pois $2+4=6$

Em seguida, verificamos o termo com maior grau. Nesse caso, o termo $3x^2{y}^4$ é o de maior grau. Portanto, esse polinômio é do 6º grau ou de grau 6.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Os polinômios a seguir estão na forma reduzida. Separe-os em 3 grupos: no grupo 1, os monômios; no grupo 2, os binômios; e no grupo 3, os trinômios.

A. $7x^3{y}^4+x{y}^5$

B. $a^5{b}^3-5a{b}^2-4b^2$

C. $x-3x^2$

D. $3x^2{y}^4$

E. $6a^2{b}^5+3a^2-2b$

F. $x{y}^{12}+x^2+\frac{2}{3}xy$

G. $3a^{3}b+\frac{7}{10}{a}^2$

H. $\frac{ab}{3}$

I. $a^2{b}^2+4a^2$

J. $-x{y}^4$

Resposta: Grupo 1: D, H e J; Grupo 2: A, C, G e I; Grupo 3: B, E e F.

28. Volte à atividade anterior e determine o grau do polinômio de cada item.

Resposta: A: grau 7; B: grau 8; C: grau 2; D: grau 6; E: grau 7; F: grau 13; G: grau 4; H: grau 2; I: grau 4; J: grau 5.

29. De acordo com os valores de $x$ e $y$, calcule o valor numérico de cada polinômio.

Respostas: A. $-21$; B. $189$.

30. Simplifique cada polinômio deixando-o na forma reduzida.

a) $2x^3+5x-3x^2+x-6+2x^2$

b) $a{b}^2+5-a^2-3b-a{b}^2+3a^2+1$

c) $2\left(xy+3\right)-x^2+4-xy+5x^2$

Respostas: a) $2x^3-x^2+6x-6$; b) $2a^2-3b+6$; c) $4x^2+xy+10$.

31. Escreva no caderno um polinômio na forma reduzida que represente a medida do perímetro da figura a seguir.

Resposta: $8x+16$.

32. Em uma partida de basquetebol, é usado o jargão "cestinha" para o jogador que fez mais pontos. Carlos foi o "cestinha" em uma partida de basquetebol da escola. Ele acertou $x$ cestas de 1 ponto, $y$ cestas de 2 pontos e $z$ cestas de 3 pontos.

a) Escreva no caderno o polinômio que representa a quantidade total de pontos que Carlos fez nessa partida.

Resposta: $x+2y+3z$.

b) Sabendo que Carlos fez 15 pontos nessa partida, atribua valores para $x$, $y$ e $z$ e determine 3 possibilidades diferentes de cestas que ele pode ter feito nessa partida.

Sugestão de resposta: $x=4$, $y=1$ e $z=3$; $x=2$, $y=2$ e $z=3$; $x=1$, $y=4$ e $z=2$.

c) No caderno, elabore um problema envolvendo polinômios, semelhante ao apresentado anteriormente, e peça a um colega que o resolva. Depois, verifiquem se as respostas estão corretas.

Resposta pessoal.

33. Para realizar um trabalho escolar, Ana recortou de uma cartolina com formato retangular 2 pedaços também retangulares, como mostra a figura.

a) Com base nas imagens e nas suas indicações de medida, escreva um polinômio na forma reduzida que represente a medida da área do pedaço de cartolina que sobrou.

b) Qual é o grau do polinômio que você escreveu no item a?

Respostas: a) $xy-a^2-ab$; b) grau 2 ou 2º grau.

Operações com polinômios

Adição de polinômios

Analise os polinômios indicados nas fichas a seguir.

Podemos calcular a adição dos polinômios A e B da seguinte maneira.

Inicialmente, eliminamos os parênteses e organizamos os termos semelhantes lado a lado. Depois, efetuamos as adições.

$xy+y^2+2y+3xy+2y^2+5y=$

$=xy+3xy+y^2+2y^2+2y+5y=$

$=\left(1+3\right)xy+\left(1+2\right)y^2+\left(2+5\right)y=$

$=4xy+3y^2+7y$

Portanto, o resultado da adição dos polinômios A e B é o polinômio $4xy+3y^2+7y$.

Questão 4. Determine no caderno o resultado da adição dos polinômios B e C.

Resposta: $5xy+6y^2+8y$.

Ao adicionar um polinômio ao outro e obter o polinômio nulo como resultado, chamamos esses polinômios de opostos. Para obter um polinômio oposto a outro, reescrevemos ele trocando o sinal de cada um de seus termos. O oposto do polinômio $2x+y-5xy$, por exemplo, é $-2x-y+5xy$, pois:

$-\left(2x+y-5xy\right)=-2x-y+5xy$

Ao adicionarmos $2x+y-5xy$ a seu oposto, obtemos o polinômio nulo.

$\left(2x+y-5xy\right)+\left(-2x-y+5xy\right)=$

$=2x+y-5xy-2x-y+5xy=$

$=2x-2x+y-y-5xy+5xy=$

$=\left(2-2\right)x+\left(1-1\right)y+\left(5-5\right)xy=$

$=0x+0y+0xy=0$

Questão 5. Escreva no caderno o polinômio oposto ao obtido na questão 4.

Resposta: $-5xy-6y^2-8y$.

Subtração de polinômios

Para calcular a subtração $\left(4x+3y+7xy\right)-\left(x-2y+5xy\right)$, adicionamos o 1º polinômio ao oposto do 2º polinômio.

$\left(4x+3y+7xy\right)-\left(x-2y+5xy\right)$$=\left(4x+3y+7xy\right)+\underset{\text{oposto de}x-2y+5xy}{\underbrace{\left(-x+2y-5xy\right)}}$

Agora, finalizamos o cálculo.

$4x+3y+7xy-x+2y-5xy=$

$=4x-x+3y+2y+7xy-5xy=$

$=\left(4-1\right)x+\left(3+2\right)y+\left(7-5\right)xy=$

$=3x+5y+2xy$

Portanto, o resultado da subtração é o polinômio $3x+5y+2xy$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Copie no caderno as expressões dos quadros A, B, C e D, substituindo cada figura pelo polinômio correspondente. Depois, simplifique o polinômio.

Respostas: A. $x^2+x-y+4$; B. $-x^2-xy-y+35$; C. $-x^2-3x+9y+38$; D. $5x^2+x+xy-11y-59$.

35. Em seu caderno, determine o polinômio que, ao ser adicionado ao indicado em cada item, resulta no polinômio nulo.

a) $-3,2x^3+17x+14y-9xy-1$

b) $\frac{3}{5}{x}^7-4x+3xy-9$

c) $7z^3+9xz+14xy-21$

Respostas: a) $3,2x^3-17x-14y+9xy+1$; b) $-\frac{3}{5}{x}^7+4x-3xy+9$; c) $-7z^3-9xz-14xy+21$.

36. Escreva no caderno o polinômio reduzido que representa a diferença entre as medidas dos perímetros dos retângulos I e II indicados em cada item.

Respostas: a) $6x^{2}y-8z$; b) $8a{b}^{3}c-8ab+8$.

37. A seguir, estão representados alguns paralelepípedos retos retângulos, cujas medidas das dimensões estão indicadas em metro.

Foram montadas as seguintes pilhas utilizando alguns paralelepípedos retos retângulos como esses.

a) Qual polinômio representa a medida do volume total de cada pilha montada?

b) Supondo $x=0,75\text{m}$ e $y=2,4\text{m}$, calcule a medida do volume total de cada pilha.

Respostas: a) 1. $48x^{2}y+9x^2{y}^2$; 2. $36x^{2}y+9x^2{y}^2$; 3. $28x^{2}y+18x^2{y}^2$; b) 1. $93,96{\text{m}}^3$; 2. $77,76{\text{m}}^3$; 3. $96,12{\text{m}}^3$.

38. Em seu caderno, desenhe a representação de um polígono com até seis lados e indique a medida do comprimento de cada um de seus lados por meio de monômios e binômios. Depois, elabore um problema envolvendo essa figura, polinômios e valor numérico de polinômios. Por fim, peça a um colega que o resolva.

Resposta pessoal.

Multiplicação de polinômios

Usando resina, a artesã Rosana confeccionou uma peça com formato que lembra um paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas das dimensões estão indicadas na imagem.

Qual polinômio representa a medida do volume da peça que Rosana confeccionou?

Podemos responder a essa pergunta multiplicando as medidas do comprimento, da largura e da altura da caixa.

Portanto, o polinômio que representa a medida do volume dessa peça é $3x^3+12x^2$.

Agora, analise as medidas dos lados do retângulo a seguir. Podemos obter a medida da área total desse retângulo de duas maneiras diferentes.

1ª maneira

Dividimos o retângulo em outros quatro retângulos menores. Em seguida, obtemos a medida da área de cada um deles e as adicionamos.

2ª maneira

Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura do retângulo. Depois, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e obtemos a medida da área total.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Efetue os cálculos no caderno e determine o polinômio que representa a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo a seguir.

Resposta: $16x^3+128x^2$.

40. Supondo $x=2\text{cm}$, calcule a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo da atividade anterior.

Resposta: $V=640{\text{cm}}^3$.

41. Efetue os cálculos a seguir no caderno e obtenha um polinômio na forma reduzida.

a) $7x\cdot \left(x+5\right)$

b) $x^2\cdot \left(x-7\right)$

c) $11x^2\cdot \left(2x+1\right)$

d) $6x\cdot \left(x^2+3\right)$

e) $5x^2\cdot \left(x^2-2x\right)$

f) $4x^3\cdot \left(2x^2+10\right)$

Respostas: a) $7x^2+35x$; b) $x^3-7x^2$; c) $22x^3+11x^2$; d) $6x^3+18x$; e) $5x^4-10x^3$; f) $8x^5+40x^3$.

42. Escreva no caderno um polinômio na forma reduzida para representar a medida da área de cada retângulo.

Respostas: A. $x^2+11x+28$; B. $y^2+6y+5$.

43. Escreva no caderno o produto de um monômio pelo polinômio $x+2$ cujo resultado seja:

a) $3xy+6y$

b) $-xy-2y$

c) $x^{2}y+2xy$

d) $4x^{4}y+8x^{3}y$

Respostas: a) $3y\left(x+2\right)$; b) $-y\left(x+2\right)$; c) $xy\left(x+2\right)$; d) $4x^{3}y\left(x+2\right)$.

44. Copie as sentenças a seguir no caderno, substituindo cada $█$ pelo termo adequado.

a)

b)

c)

d)

Respostas: a) $\left(4x+4\right)\left(y-1\right)=4xy-4x+4y-4$; b) $\left(x^2-y\right)\left(y-10\right)=x^{2}y-10x^2-y^2+10y$; c) $\left(-x+5\right)\left(2y+1\right)=-2xy-x+10y+5$; d) $\left(x+2\right)\left(7y-x+3\right)=7xy-x^2+3x+14y-2x+6$.

45. Entre os polinômios a seguir, qual é o único que não representa a medida da área do retângulo?

Resposta: O polinômio B.

Divisão de polinômio por monômio

Assim como dividimos monômio por monômio, dividimos polinômio por monômio. Acompanhe, por exemplo, como podemos resolver $\left(8x^3-4x^2\right):2x$, com $x\ne 0$.

Também podemos realizar esse cálculo escrevendo a expressão em forma de fração e dividir cada termo pelo monômio.

$\left(8x^3-4x^2\right):2x=\frac{8x^3-4x^2}{2x}=\frac{8x^3}{2x}-\frac{4x^2}{2x}=4x^2-2x$

Portanto, o resultado de $\left(8x^3-4x^2\right):2x$ é o polinômio $4x^2-2x$.

Questão 6. Em seu caderno, escreva uma divisão de um polinômio por um monômio não nulo cujo quociente seja igual a $3y+2$.

Sugestão de resposta: $\frac{15xy+10x}{5x}$.

Questão 7. Qual é o grau do polinômio e do monômio que você escreveu no item anterior?

A resposta depende do polinômio e do monômio escritos. No caso da sugestão de resposta dada, o grau do polinômio é 2 e o grau do monômio é 1.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Efetue no caderno a divisão de polinômio por monômio em cada item e obtenha um polinômio na forma reduzida.

a) $\left(5x^4+15x^7-10x\right):5x$

b) $\frac{16y^5-20y^7-12y^3}{4y^3}$

c) $\left(18a^5-6a^{10}-3a^2+9a^4\right):3a^2$

d) $\frac{20b^3-12b^8+10b^5-8b^4}{6b^2}$

Respostas: a) $x^3+3x^6-2$; b) $4y^2-5y^4-3$; c) $6a^3-2a^8-1+3a^2$; d) $\frac{10}{3}b-2b^6+\frac{5}{3}{b}^3-\frac{4}{3}{b}^2$.

47. Nos itens a seguir, cada figura corresponde a um dos polinômios indicados nas fichas. Efetue os cálculos no caderno e determine qual polinômio cada figura representa.

a) $▲:●=2x^4-5$

b) $\mathrm{█}:◆=x^2+4x$

c) $◖:\mathrm{◢}=3x+5$

Respostas: $▲:4x^5-10x$; $●:2x$; $\mathrm{█}:x^3+4x^2$; $◆:x$; $◖:15x^2+25x$; $◢:5x$.

48. Em cada retângulo está indicada a medida do comprimento de um de seus lados e a medida de sua área A. Efetue os cálculos no caderno e determine a medida do comprimento do outro lado.

Respostas: A. $2x+3$; B. $2y-2$.

49. Copie no caderno as sentenças a seguir substituindo cada $█$ pelo polinômio adequado.

a) $\left(4x^3+6x^2\right):2x=\mathrm{█}$

b) $3x\cdot \mathrm{█}=9x^4-3x^3$

c) $10x^6:\mathrm{█}=5x$

d) $\mathrm{█}:7x^2=2x+7$

Respostas: a) $\left(4x^3+6x^2\right):2x=2x^2+3x$; b) $3x\cdot \left(3x^3-x^2\right)=9x^4-3x^3$; c) $10x^6:2x^5=5x$; d) $\left(14x^3+49x^2\right):7x^2=2x+7$.

50. Analise os paralelepípedos retos retângulos representados e resolva o que se pede.

a) Sabendo que a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo 1 é $18x^3$, qual polinômio representa a medida de sua altura?

b) De acordo com as medidas indicadas no paralelepípedo reto retângulo 2 e sabendo que $x=5\text{cm}$, calcule a medida de seu volume.

Respostas: a) $3x$; b) $2.100{\text{cm}}^3$.

Fatoração de polinômios

Vamos estudar uma maneira de fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios. Essa maneira consiste em colocar um fator comum em evidência.

Considere, por exemplo, o polinômio $3y^2+5y$. Para fatorar esse polinômio, inicialmente decompomos cada um de seus termos em um produto de fatores.

$3y^2+5y=3\cdot y\cdot y+5\cdot y$

No exemplo, o fator y é comum aos dois termos do polinômio. Por isso, podemos escrever esse fator multiplicando os outros fatores que não são comuns. Nesse caso, dizemos que y foi colocado em evidência.

$3\cdot y\cdot y+5\cdot y=y\left(3y+5\right)$

Portanto, a forma fatorada de $3y^2+5y$ é $y\left(3y+5\right)$.

Mínimo múltiplo comum de polinômios

Neste tópico, vamos aprender a calcular o mínimo múltiplo comum ($\text{mmc}$) de polinômios.

Vamos calcular, por exemplo, o $\text{mmc}$ de $12x^{4}y$ e $4x^3{y}^2$.

Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos monômios.

$12x^{4}y=2^2\cdot 3\cdot x^4\cdot y$

$4x^3{y}^2=2^2\cdot x^3\cdot y^2$

Depois, efetuamos o produto de todos os fatores de $12x^{4}y$ e $4x^3{y}^2$ considerando apenas os de maior expoente. O $\text{mmc}$ é o produto desses fatores:

$\text{mmc}\left(12x^{4}y,4x^3{y}^2\right)=2^2\cdot 3\cdot x^4\cdot y^2=12x^4{y}^2$

De maneira semelhante à apresentada, vamos determinar o $\text{mmc}$ de $24a^2$ e $18a^2-18ab$.

Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos polinômios.

$24a^2=2^3\cdot 3\cdot a^2$

$18a^2-18ab=2\cdot 3^2\cdot a\cdot \left(a-b\right)$

Efetuamos o produto de todos os fatores dos polinômios, considerando apenas os de maior expoente. O $\text{mmc}$ é o produto desses fatores:

$\text{mmc}\left(24a^2,18a^2-18ab\right)$ $=2^3\cdot 3^2\cdot a^2\cdot \left(a-b\right)=72a^2\left(a-b\right)$

Para obter o $\text{mmc}$ de dois ou mais polinômios, fatoramos inicialmente os coeficientes dos polinômios. Depois, multiplicamos todos os fatores dos polinômios fatorados, considerando apenas os de maior expoente.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

51. Desenvolva os cálculos para obter o $\text{mmc}$ dos polinômios.

a) $\text{mmc}\left(x^5{y}^4,x^4{y}^5\right)$

b) $\text{mmc}\left(5a^{3}b,15a{b}^2\right)$

c) $\text{mmc}\left(20y^3,4x^2{y}^6\right)$

d) $\text{mmc}\left(a^3{b}^7,8a{b}^2\right)$

e) $\text{mmc}\left(12x^3,4x^2-6x\right)$

f) $\text{mmc}\left(9a{b}^5,2a^2{b}^2+4ab\right)$

Respostas: a) $x^5{y}^5$; b) $15a^3{b}^2$; c) $20x^2{y}^6$; d) $8a^3{b}^7$; e) $12x^3\left(2x^2-3\right)$; f) $18a{b}^5\left(ab+2\right)$.

52. Efetue os cálculos mentalmente e determine qual deve ser o valor de cada figura para que o $\text{mmc}$ esteja correto.

a) $\text{mmc}\left(5x^{\text{█}},25x^2\right)=25x^6$

b) $\text{mmc}\left(7x{y}^2,4x^{\text{█}}\right)=28x^3{y}^2$

c) $\text{mmc}\left(6a^2{b}^{\text{█}},8a^{◆}b\right)=24a^{7}b$

d) $\text{mmc}\left(16x^{\text{█}}{y}^2{z}^{◆},4x{y}^{\text{●}}{z}^3\right)=16x^5{y}^8{z}^4$

Respostas: a) $\text{█}\text{:}6$; b) $\text{█}\text{:}3$; c) $\text{█}\text{:}1$ e $◆\text{:}7$; d) $\text{█}\text{:}5$, $◆\text{:}4$ e $\text{●}\text{:}\text{8}$.

53. No caderno, associe os polinômios ao $\text{mmc}$ correspondente.

A. $8x^2{y}^4$

B. $\mathrm{}12x{y}^2$

C. $18x^{6}y$

D. $20x^3{y}^4$

E. $2x^3+4x^2$

F. $16x^2+8xy$

1. $\mathrm{}\text{mmc}\left(\text{█}\text{,}\text{█}\right)=36x^6{y}^2$

2. $\mathrm{}\text{mmc}\left(\text{█}\text{,}\text{█}\right)=40x^3{y}^4\left(2x+y\right)$

3. $\mathrm{}\text{mmc}\left(\text{█}\text{,}\text{█}\right)=8x^2{y}^4\left(x+2\right)$

Resposta: B e C – 1; D e F – 2; A e E – 3.