Equação do 1º grau com uma incógnita

Na unidade anterior, estudamos expressões algébricas, fórmulas e equações. Nesta unidade, vamos retomar o conceito de equações e aprofundá-lo. Relembre o que é uma equação.

Analise a seguinte situação.

Para responder a essa pergunta, podemos escrever uma equação e resolvê-la. Indicando por x a idade em anos de Tiago, escrevemos a equação a seguir.

Essa equação é um exemplo de equação do 1º grau com uma incógnita.

Vamos resolver a equação $2x+10=38$, ou seja, obter o valor desconhecido da incógnita.

Assim, $x=14$. Portanto, Tiago tem 14 anos.

Acompanhe outra situação.

Os pratos da balança representada a seguir estão em equilíbrio. Sabendo que todas as latas de leite em pó têm a mesma medida de massa, podemos obter a medida da massa de cada lata escrevendo e resolvendo uma equação.

Indicando por x a medida da massa, em quilogramas, de uma lata de leite em pó, temos:

$6x+500=x+5\cdot 500$

Resolvendo a equação, obtemos:

Portanto, a massa de cada lata de leite em pó mede $400\text{g}$.

Questão 1. As balanças representadas em cada item estão em equilíbrio. Em seu caderno escreva e resolva uma equação que possibilite determinar a medida da massa da:

A. Lata vermelha.

B. Lata azul.

Respostas: A. $3x+250=2x+1.500$, ou seja, $x=1.250\text{g}$; B. $4y+500=y+1.250$, ou seja, $y=250\text{g}$.

Podemos simplificar e resolver a equação $4\left(x-5\right)+x-6=16-2x$, procedendo da seguinte maneira:

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Júlia comprou um vestido e uma saia por R$ 149,95. Sabendo que a saia custou R$ 60,00, qual das equações a seguir permite obter o preço do vestido?

a) $x+149,95=60$

b) $x-60=149,95$

c) $x+60=149,95$

d) $x=149,95+60$

Resposta: Equação c.

2. Resolva a equação da atividade anterior e obtenha o preço do vestido.

Resposta: R$ 89,95.

3. Resolva no caderno as equações a seguir.

a) $7x=49$

b) $x+10=18$

c) $2x-7=15$

d) $3x+2=-1$

e) $6x+12=54$

f) $5x-14=31$

g) $3\left(x+4\right)+8=2+x$

h) $7\left(x-14\right)+20=5\left(x+3\right)-15$

Respostas: a) $x=7$; b) $x=8$; c) $x=11$; d) $x=-1$; e) $x=7$; f) $x=9$; g) $x=-9$; h) $x=39$.

4. Bruna expressou um procedimento matemático.

a) Qual das equações a seguir permite obter o número pensado por Bruna?

I) $12-3x=36$

II) $36+12=3x$

III) $3x-12=36$

IV) $3x+12=36$

b) Determine o número pensado por Bruna.

Respostas: a) Equação IV; b) 8.

5. No caderno, associe cada situação a seguir a uma das equações.

Resposta: A – 2; B – 1; C – 3.

6. Resolva no caderno as equações da atividade anterior e determine a resposta de cada situação.

Respostas: A: 13; B: 26 anos; C: R$ 108,00.

7. Geraldo tem um jardim com formato retangular cujo perímetro mede $38\text{m}$. A medida do comprimento desse jardim é $5\text{m}$ maior do que a medida de sua largura.

a) Calcule, em metro, a medida da largura e do comprimento desse jardim.

b) Calcule a medida da área desse jardim.

Respostas: a) Largura: $7\text{m}$; comprimento: $12\text{m}$; b) $84{\text{m}}^2$.

8. Junte-se a um colega e escrevam no caderno uma equação para representar a situação a seguir. Em seguida, resolvam essa equação e deem a resposta da situação.

Resposta: $2x+96=330$; $x=117$; $117\text{m}$.

9. Escreva no caderno a equação correspondente a cada situação. Depois, resolva as equações e dê a resposta de cada situação.

a) Paguei a conta da lanchonete com uma cédula de R$ 50,00 e recebi R$ 22,00 de troco. Qual foi o valor da conta?

Respostas: $50-x=22$; $x=28$; R$ 28,00.

b) O dobro da quantia que recebi, adicionado a R$ 69,00, resulta em R$ 195,00. Qual foi a quantia que recebi?

Respostas: $2x+69=195$; $x=63$; R$ 63,00.

c) O triplo da idade de André mais 18 anos é igual a 108 anos. Qual é a idade de André?

Respostas: $3x+18=108$; $x=30$; 30 anos.

d) Pensei em um número e multipliquei-o por 6. Ao resultado adicionei 32 e obtive 116. Em que número pensei?

Respostas: $6x+32=116$; $x=14$; 14.

Equações fracionárias

Na unidade anterior, você estudou frações algébricas, ou seja, expressões algébricas escritas na forma de fração, que têm variáveis no denominador. Usando frações algébricas, podemos escrever equações fracionárias.

Considere o problema a seguir.

Para resolver o problema apresentado, escrevemos, inicialmente, uma equação que o represente, indicando por x a quantidade de litros de leite necessária para produzir $5\text{kg}$ de queijo.

$\frac{5}{x}=\frac{20}{x+30}$

Para que essa equação seja possível, o denominador de cada fração deve ser diferente de zero. Nesse caso, tem-se $x\ne 0$ e $x\ne -30$.

Acompanhe a resolução dessa equação fracionária.

Inicialmente, determinamos o $\text{mmc}\left(x,x+30\right)$, que é $x\left(x+30\right)$. Depois, multiplicamos cada membro da equação pelo $\text{mmc}$ para eliminar os denominadores.

$\frac{5}{x}=\frac{20}{x+30}$

$\cancel{x}(x+30)\cdot \frac{5}{\cancel{x}}=\frac{20}{\cancel{x+30}}\cdot x\left(\cancel{x+30}\right)$

$5\left(x+30\right)=20x$

Em seguida, eliminamos os parênteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

$5\left(x+30\right)=20x\Rightarrow 5x+150=20x$

Na sequência, resolvemos a equação e obtemos o valor de $x$.

$5x+150=20x$

$5x+150-150=20x-150$

$5x=20x-150$

$5x-20x=20x-150-20x$

$-15x=-150$

$\frac{-15x}{-15}=\frac{-150}{-15}$

$x=10$

Por último, verificamos se o valor obtido para a incógnita $x$ não anula algum dos denominadores da equação e se mantém verdadeira a igualdade.

$\frac{5}{x}=\frac{20}{x+30}$

$\frac{5}{10}=\frac{20}{10+30}$

$\frac{5}{10}=\frac{20}{40}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Nesse caso, o valor obtido para a incógnita $x$ não anulou os denominadores das frações e manteve verdadeira a igualdade. Assim, $x=10$ é a solução dessa equação fracionária.

Portanto, para fazer $5\text{kg}$ de queijo Agnaldo utiliza $10\text{L}$ de leite $\left(x=10\right)$, e para fazer $20\text{kg}$ ele utiliza $40\text{L}$ de leite $\left(x+30=10+30=40\right)$.

Agora, acompanhe a resolução da seguinte equação fracionária.

Como vimos anteriormente, ao resolver uma equação fracionária, é preciso garantir que o valor obtido para a incógnita não anule algum dos denominadores da equação e que ele mantenha verdadeira a igualdade. Quando uma dessas situações não ocorre, a equação não tem solução.

Verificamos então o valor $x=2$ na equação fracionária:

$\frac{2}{2-2}+3=\frac{2}{2-2}\Rightarrow \frac{2}{0}+3=\frac{2}{0}$

Assim, $x=2$ não pode ser solução dessa equação, pois esse valor anula o denominador e não existe divisão por zero.

Logo, essa equação não tem solução.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

10. Resolva as equações quando possível.

a) $\frac{6}{x}-\frac{12}{x}=\frac{3}{5}$, com $x\ne 0$.

b) $\frac{3}{x}+\frac{6}{3x}=\frac{1}{5}$, com $x\ne 0$.

c) $\frac{4}{x-4}+5=\frac{x}{x-4}$, com $x\ne 4$.

d) $\frac{9x}{x-3}-\frac{6}{x+3}=\frac{9x^2+102}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$, com $x\ne 3$ e $x\ne -3$.

e) $\frac{16}{x}-\frac{5}{x-2}=\frac{9}{x}$, com $x\ne 0$ e $x\ne 2$.

f) $\frac{4}{12x}+\frac{5}{x}=\frac{1}{2}$, com $x\ne 0$.

Respostas: a) $x=-10$; b) $x=25$; c) Não tem solução; d) $x=7$; e) $x=4$; f) $x=\frac{32}{3}$.

11. Escreva no caderno uma equação que possibilite resolver cada um dos problemas apresentados. Depois, resolva a equação e obtenha a solução do problema.

Resposta: $\frac{170}{x}=\frac{255}{x+1}$; $x=2$; 2 horas.

Respostas: $\frac{300}{x}=\frac{420}{x+30}$; $x=75$; 75 funcionários; 105 funcionários.

12. Marta pagou R$ 150,00 na compra de x cadernos e R$ 225,00 na compra de $x-2$ livros. Todos os cadernos que Marta comprou têm o mesmo preço e todos os livros também têm o mesmo preço. Sabendo que cada livro custa o dobro de cada caderno, calcule quantos cadernos e quantos livros Marta comprou.

Resposta: $2\cdot \frac{150}{x}=\frac{225}{x-2}$; 8 cadernos e 6 livros.

Equações do 1º grau com duas incógnitas

Sabrina fez uma pergunta a Lucas.

Indicando um dos números por $x$ e o outro por $y$, podemos escrever a equação $x+y=7$ para representar o que Sabrina está perguntando.

Vamos calcular alguns dos possíveis valores de $x$ e $y$.

Os valores de $x$ e $y$ em cada linha são alguns dos possíveis valores que satisfazem a equação, ou seja, são alguns dos possíveis números em que Sabrina pensou.

A equação escrita que representa o questionamento de Sabrina é um exemplo de equação do 1º grau com duas incógnitas.

Acompanhe outros exemplos de equações do 1º grau com duas incógnitas.

• $2x+5y=12$
• $5t+w=1$
• $3z=5y+4$

As soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas são pares ordenados $\left(x,y\right)$. Algumas soluções da equação $x+y=7$ são $\left(0,7\right)$, $\left(1,6\right)$, $\left(\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$ e $\left(8,-1\right)$.

Representação geométrica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

É possível demonstrar que a representação geométrica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma reta.

Acompanhe a seguir as etapas necessárias para realizar essa representação no plano cartesiano.

1. Atribua valores para x e calcule o valor correspondente para y, a fim de obter algumas soluções da equação.

2. Em seguida, represente esses pontos (soluções) no plano cartesiano.

3. Por fim, trace a reta que passa por esses pontos.

Agora, utilizando as etapas indicadas, vamos representar a equação $2x-y=5$ no plano cartesiano.

Questão 2. Construa um plano cartesiano em uma malha quadriculada. Em seguida, obtenha a representação geométrica das equações a seguir.

a) $x-y=1$

b) $x+y=1$

Respostas na seção Resoluções.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Em quais itens estão apresentadas equações do 1º grau com duas incógnitas?

Resposta: B, D, F, I, J e L.

14. Escreva no caderno uma equação para representar cada situação a seguir.

a) O dobro da minha idade mais o triplo da idade do meu filho é igual a 84 anos.

b) Paguei R$ 6,50 por 2 salgados e 1 suco.

c) A diferença entre o preço de 1 par de tênis e de 1 par de sapatos é R$ 48,00.

d) Comprei 3 kg de tomate e 4 kg de batata por R$ 16,53.

Respostas: a) $2x+3y=84$; b) $2x+y=6,50$; c) $x-y=48$; d) $3x+4y=16,53$.

15. Mariana pensou em dois números cuja diferença é 12. Sabendo que um dos números é maior do que 20 e menor do que 23, determine todos os possíveis pares de números em que Mariana pode ter pensado.

Resposta: 21 e 9; 22 e 10; 33 e 21; 34 e 22.

16. Em qual dos itens é indicada a representação geométrica da equação $\frac{1}{2}x+2y=0$?

Resposta: Alternativa B.

17. Represente geometricamente as equações de cada item. Para isso, use uma malha quadriculada.

a) $y-x=0$

b) $2x+3y=4$

c) $-x+3y=3$

d) $-4x-y=4$

Respostas na seção Resoluções.

Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Em um final de semana, foi realizada uma partida entre os times do 8º ano A e 8º ano B pelo campeonato de futebol da escola.

Durante a partida, foram marcados 8 gols. A diferença entre a quantidade de gols marcados pelo time do 8º ano A e a de gols marcados pelo time do 8º ano B foi 2 gols.

De acordo com essas informações, quantos gols marcou cada time nessa partida?

Para responder a essa pergunta, podemos escrever duas equações, uma para representar o total de gols marcados durante a partida e outra para representar a diferença entre a quantidade de gols marcados na partida pelos dois times.

Vamos indicar por $x$ a quantidade de gols marcados pelo 8º ano A e por $y$ a quantidade de gols marcados pelo 8º ano B. Assim:

Para representar essa situação, temos duas equações com duas incógnitas em cada uma delas.

Nesse caso, temos o seguinte sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

$\{\begin{array}{l}x+y=8\\ x-y=2\end{array}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. Represente cada uma das situações apresentadas nos itens a seguir por meio de um sistema de equações.

a) Em uma caixa, foram colocadas bolinhas vermelhas e amarelas, chegando a um total de 12 bolinhas. A caixa tem 2 bolinhas vermelhas a mais do que amarelas.

b) Certo tipo de doce é vendido em embalagens do tipo x e y. Duas embalagens do tipo x e três embalagens do tipo y totalizam 19 doces. Já três embalagens do tipo x e duas embalagens do tipo y totalizam 21 doces.

c) Em uma sala de aula há 31 estudantes, entre meninos e meninas. Nela, há 5 meninas a mais do que meninos.

Respostas: a) $\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x-y=2\end{array}$; b) $\{\begin{array}{l}2x+3y=19\\ 3x+2y=22\end{array}$; c) $\{\begin{array}{l}x+y=31\\ x=y+5\end{array}$.

Solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Neste tópico, vamos estudar alguns métodos para obter a solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Antes disso, devemos saber que:

Método da substituição

Raul gastou R$ 220,00 na compra de 2 calças e 1 camisa.

Quantos reais custou cada peça de roupa, sabendo que as calças custaram o mesmo preço e a camisa custou R$ 26,00 a menos que a calça?

Nesse caso, indicando por $x$ o preço de cada calça e por $y$ o preço da camisa escrevemos as seguintes equações:

Assim, temos o seguinte sistema de equações: $\{\begin{array}{l}2x+y=220\\ x-y=26\end{array}$.

Acompanhe como podemos resolvê-lo utilizando o método da substituição.

Inicialmente, escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas. Nesse caso, escolhemos a 2ª equação e isolamos $x$ no 1º membro.

$x-y=26$

$x-y+y=26+y$

$x=26+y$

Depois, substituímos $x$ por $26+y$ na outra equação e resolvemos a equação obtida.

$2x+y=220$

$2\left(26+y\right)+y=220$

$52+2y+y=220$

$52+3y=220$

$52+3y-52=220-52$

$3y=168$

$\frac{3y}{3}=\frac{168}{3}$

$y=56$

Para obter o valor de $x$, basta substituir $y$ por 56 na equação $x=26+y$.

$x=26+y=26+56=82$

Portanto, uma calça custou R$ 82,00, e uma camiseta, R$ 56,00.

Agora, vamos resolver o sistema $\{\begin{array}{l}\frac{x}{y-10}=2\\ \frac{x-5}{y+1}=\frac{1}{5}\end{array}$.

Efetuando os cálculos, obtemos:

$\frac{x}{y-10}=2\Rightarrow x=2\left(y-10\right)=2y-20$

$\frac{x-5}{y+1}=\frac{1}{5}\Rightarrow 5\left(x-5\right)=y+1\Rightarrow y=5x-26$

Sendo assim, o sistema inicial é equivalente ao sistema $\{\begin{array}{l}x=2y-20\\ y=5x-26\end{array}$.

Substituindo $x=2y-20$ em $y=5x-26$, obtemos:

$5\left(2y-20\right)-26=y$

$10y-100-26=y$

$10y-126-y+126=y-y+126$

$9y=126$

$\frac{9y}{9}=\frac{126}{9}$

$y=14$

Sabendo que $y=14$, calculamos o valor de x.

$x=2\cdot 14-20=28-20=8$

Portanto, a solução do sistema é $\left(8,14\right)$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Use o método de substituição para resolver, em seu caderno, os sistemas de equações apresentados nos itens a seguir.

a) $\{\begin{array}{l}x=y\\ 5x+14y=16\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2y=4x\\ x+2y=15\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x-y=18\\ x+y=4\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}3x+y=-12\\ 4x+y=20\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}10x-8y=-14\\ x+y=4\end{array}$

f) $\{\begin{array}{l}3x+y=65\\ x-2y=10\end{array}$

Respostas: a) $x=\frac{16}{19}$ e $y=\frac{16}{19}$; b) $x=3$ e $y=6$; c) $x=11$ e $y=-7$; d) $x=32$ e $y=-108$; e) $x=1$ e $y=3$; f) $x=20$ e $y=5$.

20. Marcos e Otávio são pintores. Ao todo, eles receberam R$ 980,00 por um trabalho que realizaram. Sabendo que Marcos recebeu R$ 228,00 a menos do que Otávio, calcule quantos reais cada um deles recebeu.

Resposta: $\{\begin{array}{c}x+y=980\\ x=y-228\end{array}$; Marcos: R$ 376,00; Otávio: R$ 604,00.

21. Os Jogos Olímpicos de Tóquio 2020 foram realizados de 23 de julho de 2021 a 8 de agosto de 2021.

O Brasil participou dessa edição em 35 modalidades esportivas, com 302 atletas ao todo. O número de homens participantes foi maior do que o de mulheres, com diferença de 22 atletas.

Fonte de consulta: COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL (COB). Time Brasil. Disponível em: https://oeds.link/2fLqW5. Acesso em: 2 maio 2022.

Quantos homens e quantas mulheres compuseram a delegação de atletas do Brasil nessa edição?

Resposta: 162 homens e 140 mulheres.

22. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.

a) Relacionem no caderno cada problema a seguir ao sistema de equações que permite resolvê-lo.

Resposta: A - III; B - I; C - II; D - IV.

b) Resolvam no caderno os sistemas e determinem a resposta de cada problema.

Respostas: A. Solange: R$ 582,00; Gabriel: R$ 194,00; B. Marcos: 25 figurinhas; Renata: 15 figurinhas; C. Carros: 150; motos: 100; D. Carlos: 25 anos; Lúcia: 50 anos.

23. Em certa escola estudam meninos e meninas, totalizando 2.500 estudantes. Quantos meninos e quantas meninas estudam nessa escola, sabendo que o triplo da quantidade de meninos é igual ao dobro da quantidade de meninas?

Resposta: 1.000 meninos e 1.500 meninas.

24. A diferença entre a idade de Marcela e a de Augusto é igual a 28 anos. Há 6 anos, a idade de Marcela era o triplo da idade de Augusto. Qual é a idade atual de cada um deles?

Resposta: Marcela: 48 anos; Augusto: 20 anos.

25. Certa marca vende suco em embalagens do tipo x e do tipo y. Juntas, 4 embalagens do tipo x e 2 do tipo y contêm $5.200\text{mL}$. Já 1 embalagem do tipo x e 6 do tipo y contêm $7.900\text{mL}$. Qual é a medida da capacidade de cada tipo de embalagem?

Resposta: A embalagem x contém $700\text{mL}$ e a y contém $1.200\text{mL}$.

26. Em uma sessão de cinema foram arrecadados R$ 2.720,00 com a venda das entradas. Cada uma custa R$ 16,00 e estudantes pagam meia-entrada. Com a venda das entradas inteiras, arrecadou-se R$ 800,00 a mais do que o triplo do valor arrecadado com a venda das meias-entradas. Quantas pessoas ao todo pagaram para assistir a essa sessão?

Resposta: 200 pessoas.

27. No último fim de semana, Adriana fez uma viagem com seu carro. Ela partiu de Londrina com destino a Maringá, ambas cidades no Paraná. Porém, no caminho, Adriana resolveu passar por Astorga, também no Paraná, antes de ir a Maringá, o que aumentou o trajeto em $58\text{km}$.

Fonte de consulta: ATLAS geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

a) Sabendo que Adriana percorreu um total de $159\text{km}$, qual é a medida da distância entre Londrina e Maringá, sem passar por Astorga?

Resposta: $101\text{km}$.

b) A distância entre Londrina e Astorga mede $21,8\text{km}$ a menos do que a distância entre Astorga e Maringá. Sabendo disso, calcule a medida da distância entre:

Londrina e Astorga;

Astorga e Maringá.

Respostas: $68,6\text{km}$ e $90,4\text{km}$.

28. Com exatamente R$ 120,00 e sem receber troco, Raquel pode comprar 4 bolas de futebol e 1 de voleibol ou 2 bolas de futebol e 2 de voleibol. Qual é o preço unitário de cada bola?

Resposta: Cada bola de futebol custa R$ 20,00 e cada bola de voleibol custa R$ 40,00.

Método da adição

Em uma sala de aula, há 36 estudantes entre meninos e meninas. A diferença entre a quantidade de meninos e de meninas é 6 estudantes. Quantos meninos e quantas meninas há nessa turma, sabendo que há mais meninos do que meninas?

Indicando por $x$ a quantidade de meninos e por $y$ a quantidade de meninas, podemos escrever as seguintes equações:

Assim, temos o seguinte sistema de equações: $\{\begin{array}{l}x+y=36\\ x-y=6\end{array}$.

Acompanhe como podemos resolvê-lo utilizando o método da adição.

As duas equações apresentam termos opostos ($y$ na 1ª equação e $-y$ na 2ª equação). Nesse caso, vamos adicioná-las.

Agora, resolvemos a equação $2x=42$ e obtemos o valor de $x$.

$2x=42$

$\frac{2x}{2}=\frac{42}{2}$

$x=21$

Por fim, obtemos o valor de $y$. Para isso, substituímos $x$ por 21 em uma das equações do sistema, por exemplo, na 1ª equação.

Portanto, nessa sala de aula há 21 meninos e 15 meninas.

Considere o sistema de equações $\{\begin{array}{l}x+4y=9\\ 3x+2y=7\end{array}$. Vamos resolvê-lo utilizando o método da adição.

Note que as duas equações desse sistema não têm termos opostos. Assim, não podemos eliminar uma das incógnitas apenas adicionando as duas equações. Em casos semelhantes a esse, com o objetivo de obter termos opostos nas equações, multiplicamos uma ou as duas por números escolhidos convenientemente.

Agora, vamos resolver o sistema.

1º. A 1ª equação tem o termo $x$ e a 2ª equação tem o termo $3x$. Assim, basta multiplicar todos os termos da 1ª equação por $-3$ para obter uma equação equivalente e com o termo $-3x$, oposto ao termo $3x$.

$\{\begin{array}{l}x+4y=9\\ 3x+2y=7\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-3x-12y=-27\\ 3x+2y=7\end{array}$

2º. Adicionamos as duas equações.

3º. Resolvemos a equação obtida e calculamos o valor de $y$.

$-10y=-20$

$\frac{-10y}{-10}=\frac{-20}{-10}$

$y=2$

4º. Obtemos o valor de x. Para isso, substituímos $y$ por 2 em uma das equações do sistema, por exemplo, na 1ª equação.

Portanto, a solução do sistema é $\left(1,2\right)$.

Questão 3. No sistema $\{\begin{array}{l}3x+4y=1.\\ 2x-5y=16\end{array}$, as equações também não têm termos opostos. Utilizando o método apresentado nesta página, resolva esse sistema em seu caderno.

Resposta: $\left(3,-2\right)$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

29. Resolva em seu caderno os sistemas de equações a seguir por meio do método da adição.

a) $\{\begin{array}{l}x+5y=25\\ -x+3y=-9\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}5x-6y=20\\ -5x+14y=-20\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}-4x+3y=5\\ 2x-3y=-7\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}x+2y=16\\ x-2y=-2\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}2x+8y=7\\ x-8y=14\end{array}$

f) $\{\begin{array}{l}3x-4y=32\\ x+4y=4\end{array}$

Respostas: a) $x=15$ e $y=2$; b) $x=4$ e $y=0$; c) $x=1$ e $y=3$; d) $x=7$ e $y=\frac{9}{2}$; e) $x=7$ e $y=-\frac{7}{8}$; f) $x=9$ e $y=-\frac{5}{4}$.

30. A soma de dois números é igual a 12 e a diferença entre eles é igual ao único número primo que é par. Quais são esses números?

Resposta: 5 e 7.

31. A soma das idades de Júlia e André é igual a 34 anos. A diferença entre as idades deles é igual a 8 anos. Qual é a idade de Júlia e a de André, sabendo que André é mais novo do que Júlia?

Resposta: Júlia: 21 anos; André: 13 anos.

32. Participaram de uma excursão $x$ homens e $y$ mulheres, sendo a maioria homens. A soma das quantidades de homens e de mulheres é igual a 130 pessoas e a diferença entre a quantidade de homens e a de mulheres é igual a 12 pessoas. Quantos homens e quantas mulheres participaram dessa excursão?

Resposta: 71 homens e 59 mulheres.

33. Acompanhe o que Rafael e Fábio estão dizendo.

Calcule a medida da massa de cada um deles.

Resposta: Rafael: $75\text{kg}$; Fábio: $72\text{kg}$.

34. Elabore um problema envolvendo um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida está correta.

Resposta pessoal.

35. Com base nas informações apresentadas em cada item, determine x e y, em graus.

a) A diferença entre x e y é igual a $15°$.

b) y é o dobro de x.

c) A adição de x e y é igual a $140°$.

d) A diferença entre x e y é igual a $40°$.

Respostas: a) $x=45°$ e $y=30°$; b) $x=45°$ e $y=90°$; c) $x=85°$ e $y=55°$; d) $x=55°$ e $y=15°$.

36. Use o método da adição para resolver, em seu caderno, os sistemas de equação a seguir.

a) $\{\begin{array}{l}5x+2y=-11\\ x+y=-1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}3x+5y=47\\ x+10y=74\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}5x+7y=22\\ 10x+y=96\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}2x+6y=1\\ 6x-2y=13\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}2x-8y=24\\ 3x-5y=22\end{array}$

f) $\{\begin{array}{l}6x+3y=-15\\ 2x+4y=16\end{array}$

g) $\{\begin{array}{l}5x-3y=-6\\ 3x+5y=44\end{array}$

h) $\{\begin{array}{l}3x+7y=5\\ 7x+3y=1\end{array}$

Respostas: a) $x=-3$ e $y=2$; b) $x=4$ e $y=7$; c) $x=10$ e $y=-4$; d) $x=2$ e $y=-\frac{1}{2}$; e) $x=4$ e $y=-2$; f) $x=-6$ e $y=7$; g) $x=3$ e $y=7$; h) $x=-\frac{1}{5}$ e $y=\frac{4}{5}$.

37. (Unifor-CE-2005) Em uma barraca na praia, um grupo de turistas pagou R$ 23,40 pelo consumo de 6 cocos verdes e 12 pastéis, enquanto outro grupo pagou R$ 21,30 por 7 cocos verdes e 9 pastéis.

Nessa barraca, 1 coco verde e 1 pastel custam, juntos:

a) R$ 2,10

b) R$ 2,30

c) R$ 2,50

d) R$ 2,70

e) R$ 2,90

Resposta: Alternativa d.

38. (Obmep-2007) Juliana tem 8 cartões de papel retangulares iguais. Se ela enfileirar todos os cartões juntando lados de mesma medida, ela pode obter um retângulo de perímetro $236\text{cm}$ ou um retângulo de perímetro $376\text{cm}$.

Qual é a área de cada cartão?

a) $66{\text{cm}}^2$

b) $132{\text{cm}}^2$

c) $198{\text{cm}}^2$

d) $264{\text{cm}}^2$

e) $330{\text{cm}}^2$

Resposta: Alternativa d.

Análise da solução de um sistema de equações por meio da representação geométrica

Neste tópico, vamos representar geometricamente alguns sistemas de equações. Para isso, representaremos em um mesmo plano cartesiano cada uma das equações que os compõem.

• Considere o sistema $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x+y=2\end{array}$.

As retas que representam as equações são concorrentes, ou seja, cruzam-se em um único ponto, nesse caso, em $\left(-1,3\right)$. Portanto, $\left(-1,3\right)$ é a solução desse sistema.

Questão 4. Utilizando qualquer um dos métodos apresentados anteriormente, resolva em seu caderno o sistema $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x+y=2\end{array}$ e verifique se, de fato, sua solução é $\left(-1,3\right)$.

Resposta pessoal.

O sistema estudado é um exemplo de sistema possível e determinado.

• Considere o sistema $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x+y=3\end{array}$.

Como não existem números que adicionados resultem em 2 e 3, simultaneamente, tal sistema não tem solução. Além disso, como não há pontos que satisfazem as duas equações simultaneamente, as retas que as representam são paralelas, ou seja, estão em um mesmo plano e não se cruzam.

O sistema estudado é um exemplo de sistema impossível.

• Considere o sistema $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$.

Note que as equações são equivalentes, pois ao multiplicarmos cada termo da primeira equação por 2 obtemos a segunda equação. Nesse caso, as equações têm as mesmas soluções e, consequentemente, o sistema apresenta infinitas soluções. As retas que representam as equações são coincidentes, ou seja, estão sobrepostas.

O sistema estudado é um exemplo de sistema possível e indeterminado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Represente cada um dos sistemas geometricamente.

a) $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ 3x+2y=10\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 2x-2y=-2\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ 2x+4y=0\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ 2x-y=-1\end{array}$

Respostas na seção Resoluções.

40. A imagem mostra a representação geométrica do sistema $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 3x+2y=3\end{array}$.

a) O sistema apresentado é possível e determinado, impossível ou possível e indeterminado? Justifique sua resposta.

b) Caso a resposta do item a seja possível e determinado, determine a solução do sistema.

Respostas: a) Possível e determinado, pois as retas são concorrentes; b) $x=1$ e $y=0$.

41. A imagem mostra a representação geométrica de um sistema de equações.

Entre os sistemas de equações a seguir, determine aquele que está representado geometricamente.

a) $\{\begin{array}{l}-x-y=1\\ -3x-3y=3\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2x+y=-2\\ x-3y=3\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}-2x-y=-2\\ 3x-3y=3\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\ x-y=3\end{array}$

Resposta: Alternativa c.

42. Classifique cada uma das afirmações em verdadeira ou falsa. Depois, reescreva as falsas em seu caderno, corrigindo-as.

a) As retas que representam um sistema possível e determinado são paralelas.

b) As retas que representam as equações de um sistema possível e indeterminado são coincidentes.

c) Um sistema de equações é possível e determinado quando tem uma única solução.

Respostas: a) Falsa. Sugestão de correção: As retas que representam um sistema possível e determinado são concorrentes; b) Verdadeira; c) Verdadeira.

43. Artur é 8 anos mais velho do que sua irmã Isadora. Adicionando suas idades, obtemos 26 anos.

a) Escreva um sistema de equações que possibilite determinar a idade de cada um dos irmãos.

b) Ao representar geometricamente o sistema escrito por você no item a, obteremos retas concorrentes, paralelas ou coincidentes?

c) Qual é a idade de cada um dos irmãos?

Respostas: a) $\{\begin{array}{l}x-y=8\\ x+y=26\end{array}$; b) Concorrentes; c) 17 e 9 anos.

44. Escreva um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Em seguida, peça a um colega que represente esse sistema utilizando o GeoGebra. Por fim, desafie-o a classificar as retas obtidas em concorrentes, paralelas ou coincidentes.

Resposta pessoal.

45. Elabore um problema envolvendo o sistema apresentado a seguir.

$\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ 8x-4y=-4\end{array}$

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

Equação do 2º grau do tipo $\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathit{c}$

Antônio foi desafiado a determinar a medida do comprimento do lado de um quadrado com área medindo $81{\text{mm}}^2$. Analise o que ele está dizendo.

A equação escrita por Antônio está apresentada a seguir.

No caso apresentado, temos um exemplo de equação do 2º grau com uma incógnita.

Para resolver essa equação, Antônio precisava descobrir quais são os números que, elevados ao quadrado, resultam em 81. Como resposta, ele obteve os seguintes valores para x.

Portanto, Antônio concluiu que a medida do comprimento do lado do quadrado deve ser $\text{9 mm}$.

Utilizando uma calculadora, é possível determinar o número positivo que, elevado ao quadrado, resulte em 81. Para isso, basta digitar a seguinte sequência de teclas:

Questão 5. Utilizando uma calculadora, determine o número positivo que, elevado ao quadrado, resulte aproximadamente em:

a) 125.

b) 69.

c) 42,25.

d) 5,76.

Respostas: a) 11,18; b) 8,3; c) 6,5; d) 2,4.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Em quais itens as equações apresentadas são do 2º grau do tipo $a{x}^2=c$?

a) $x^2=9$

b) $x=8$

c) $x^2+x=1$

d) $-x^2=-4$

e) $x=-7$

f) $x^2=2^2$

g) $7x=21$

h) $-2x^2=x$

i) $2x^2=8$

j) $4x^2-6x=-5$

k) $5x^2=125$

l) $-x=8$

Respostas: Alternativas a, d, f, i e k.

47. Em cada item, escreva uma equação que possibilite resolver o problema. Em seguida, resolva a equação e determine a solução do problema.

a) O quadrado de um número é igual a 9. Que número é esse?

b) O dobro do quadrado de um número é igual a 800. Que número é esse?

c) O triplo do quadrado de um número é igual a 1.875. Que número é esse?

d) O dobro do quadrado de um número é igual a 392. Que número é esse?

e) O triplo do quadrado de um número é igual a 3.675. Que número é esse?

Respostas: a) 3 ou $-$3; b) 20 ou $-$20; c) 25 ou $-$25; d) 14 ou $-$14; e) 35 ou $-$35.

48. Calcule a medida da área de cada quadrado.

Respostas: a) $400{\text{m}}^2$; b) $676{\text{m}}^2$.

a)

b)

49. Leia o problema a seguir.

Roberto comprou 40 placas de vidro em formato quadrado para instalar em sua casa. A medida da área total que ele comprou foi de $16.000{\text{cm}}^2$. Qual é a medida do comprimento do lado de cada placa?

a) Escreva uma equação do tipo $a{x}^2=c$ que represente a situação.

b) Utilizando o GeoGebra, resolva o problema apresentado.

Respostas: a) $40x^2=16.000$; b) $20\mathrm{c}\mathrm{m}$.

50. Utilizando pedaços de retalhos com formato de quadrado de dimensões de mesma medida, Marcos confeccionou o tapete apresentado a seguir.

Sabendo que a área desse tapete mede$5.488{\text{cm}}^2$, determine a medida de comprimento do lado de cada um dos pedaços de retalho. Resolva esse problema utilizando uma calculadora.

Resposta: $14\text{cm}$.

51. Elabore um problema envolvendo equações do 2º grau do tipo $a{x}^2=c$ e a imagem apresentada a seguir.

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.