Estudando sequências

Estudamos em anos anteriores que uma sequência é uma lista de elementos ordenados, que podem ser números, figuras ou letras, por exemplo. Cada elemento da sequência chama-se termo.

Verifique a seguir, um exemplo de sequência de figuras formadas por pontos.

Podemos indicar a quantidade de pontos em cada figura pela seguinte sequência numérica: $\left(2,4,6,8,10,\dots \right)$. Nela, o primeiro termo é 2, o segundo termo é 4, o terceiro termo é 6, e assim sucessivamente.

Quando uma sequência tem uma lei de formação, ou seja, a obtenção de cada um de seus termos obedece a determinado padrão ou regra, podemos obter os próximos termos, escrevendo o termo geral dela. Por exemplo, a sequência apresentada pode ser definida por meio do termo geral $a_n=2n$ para $n>0$, que relaciona a quantidade de pontos em cada imagem com a posição que o termo ocupa.

Note também como podemos obter os termos dessa sequência por meio de um fluxograma.

As sequências podem ser finitas ou infinitas. Dizemos que uma sequência é finita quando é composta por determinada quantidade de termos, ou seja, quando há um último termo. Caso contrário, diz-se que ela é infinita. A sequência apresentada anteriormente é um exemplo de sequência infinita.

Agora, considere a sequência numérica $\left(2,5,8,11,\dots \right)$, em que:

Nela, o primeiro termo é igual a 2, e cada termo, do segundo em diante, é igual ao anterior mais 3. Podemos definir essa sequência da seguinte maneira:

Com isso, podemos calcular o quinto termo dessa sequência da seguinte maneira.

Portanto, $a_5=14$.

Quando definimos os termos de uma sequência em função dos termos anteriores a ele, dizemos que a sequência está definida por recorrência.

O fluxograma a seguir possibilita obter os termos da sequência $\left(\mathrm{2,}5,8,11,\dots \right)$.

Acompanhe outros exemplos de sequências.

a) A sequência $\left(6,6,6,6,\dots \right)$, na qual os termos são todos iguais a 6, é um exemplo de sequência constante.

b) A sequência $\left(1,3,5,7,\dots \right)$ pode ser definida pelo termo geral $a_n=2n-1$, com $n\ge 1$. Essa é a sequência dos números ímpares positivos.

c) Se definirmos $a_1=6$ e $a_n=a_{n-1}+5$, para $n\ge 2$, obtemos uma sequência em que os seis primeiros termos são:

$a_1=6$

$a_2=6+5=11$

$a_3=11+5=16$

$a_4=16+5=21$

$a_5=21+5=26$

$a_6=26+5=31$

Questão 1. Em seu caderno, defina a sequência $\left(\mathrm{2,}4,6,8,10,\dots \right)$ por recorrência. Essa é a mesma sequência cujo termo geral foi apresentado na página anterior.

Sugestão de resposta: $a_1=2$ e $a_n=a_{n-1}+2$, para $n\ge 2$.

Questão 2. É possível definir a sequência constante do exemplo a por recorrência? Em caso afirmativo, apresente essa definição.

Resposta: Sim. Uma possível definição é $a_1=6$ e $a_n=a_{n-1}$, para $n\ge 2$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva no caderno o termo geral de cada sequência.

a) $\left(3,6,9,12,15,\dots \right)$

b) $\left(13,25,37,49,\dots \right)$

c) $\left(0,3,6,9,12,\dots \right)$

d) $\left(2x,4x,6x,8x,\dots \right)$

e) $\left(x,x^2,x^3,x^4,\dots \right)$

f) $\left(\frac{1}{x},\frac{2}{x^2},\frac{3}{x^3},\frac{4}{x^4},\dots \right)$

Sugestão de respostas: a) $a_n=3n$, $n>0$; b) $a_n=12n+1$, $n>0$; c) $a_n=3n-3$, $n>0$; d) $a_n=2nx$, $n>0$; e) $a_n=x^n$, $n>0$; f) $a_n=\frac{n}{x^n}$, $n>0$.

2. Em cada item, é dado o termo geral, em que n é um número natural não nulo. Escreva em seu caderno os cinco primeiros termos das sequências.

a) $a_n=22n-7$

b) $a_n={\left(n-1\right)}^3$

c) $a_n=\frac{n^2}{3^n}$

d) $a_n=\frac{{\left(n-1\right)}^2+1}{n}$

Respostas: a) $\left(15,37,59,81,103,\dots \right)$; b) $\left(0,1,8,27,64,\dots \right)$; c) $\left(\frac{1}{3},\frac{4}{9},\frac{1}{3},\frac{16}{81},\frac{25}{243},\dots \right)$; d) $\left(1,1,\frac{5}{3},\frac{5}{2},\frac{17}{5},\dots \right)$.

3. Analise a sequência de bolinhas.

a) Quantas bolinhas terá a figura 6 dessa sequência?

Resposta: 15 bolinhas.

b) Escreva a sequência que representa a quantidade de bolinhas na posição correspondente.

Resposta: $\left(5,7,9,11,13,...\right)$.

c) Qual dos itens apresenta o termo geral da sequência que você escreveu no item anterior?

I)$a_n=2n+3$, com $n>0$.

II)$a_n=2n-3$, com $n>0$.

III)$a_n=3-2n$, com $n>0$.

IV)$a_n=2+3n$, com $n>0$.

Resposta: Alternativa I.

d) Determine a quantidade de bolinhas da figura 12 da sequência.

Resposta: 27 bolinhas.

e) Defina a sequência que você escreveu no item b por recorrência.

Sugestão de resposta: $a_n=a_{n-1}+2$ com $n>1$ e $a_1=5$.

4. Quais das sequências a seguir estão definidas por recorrência?

a) $a_n=n\cdot (n-1)$, com $n>0$.

b) $a_n=3n+n+1+2$, com $n>0$.

c) $a_n=2\cdot \left(a_{n-1}+3\right)$, com $a_1=0$ e $n>1$.

d) $a_n=a_{n-1}\cdot n-a_{n-1}$, com $a_1=10$ e $n>1$.

Resposta: Alternativas c e d.

5. Milena escreveu uma sequência na qual um termo é obtido adicionando os dois termos imediatamente anteriores. Ela considerou $a_1=-2$ e $a_2=3$.

a) Escreva essa sequência até o 7º termo.

Resposta: $\left(-2,3,1,4,5,9,14,\dots \right)$.

b) Essa sequência pode ser definida por um termo geral? Em caso afirmativo, escreva como obtê-la.

Resposta: Não.

c) Essa sequência pode ser definida por recorrência? Em caso afirmativo, escreva como obtê-la.

Sim; Sugestão de resposta: $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, para $n>2$.

6. Junte-se a um colega e analisem a sequência a seguir.

a) Construam um fluxograma por meio do qual seja possível obter um termo qualquer dessa sequência.

Sugestão de resposta na seção Resoluções.

b) Usando o fluxograma que vocês construíram, determine os próximos 3 termos dessa sequência.

Sugestão de resposta: 17, 22, 27.

7. Analise as sequências.

Sequência 1

Sequência 2

Sequência 3

a) Para cada uma das sequências, escreva uma fórmula que possibilite obter a quantidade de bolinhas que há em cada figura em função da posição ocupada na sequência.

Sugestões de resposta: Sequência 1: $a_n=2n+2$, $n>0$; Sequência 2: $n+10$, $n>0$; Sequência 3: $4n-3$, $n>0$.

b) Construa, para cada sequência, um fluxograma que possibilite determinar a quantidade de bolinhas em cada figura de acordo com sua posição.

Resposta na seção Resoluções.

8. Considere a sequência definida por $a_n=a_{n-1}\cdot n$, com $a_1=1$ e $n>1$.

a) Construa um fluxograma que possibilite obter os termos dessa sequência.

Resposta na seção Resoluções.

b) Usando o fluxograma feito no item anterior, escreva os seis primeiros termos dessa sequência.

Resposta: $\left(1,2,6,24,120,720,\dots \right)$.

9. Considere a sequência A, definida por $a_n=2n+5$, com $n>0$, e a sequência B, definida por $a_n=2\cdot a_{n-1}-1$, com $a_1=2$ e $n>1$.

a) Qual das sequências foi definida por recorrência?

b) Associe cada uma das sequências ao fluxograma que permite obter seus termos.

c) Escreva os 8 primeiros termos de cada uma dessas sequências.

Respostas: a) Sequência B; b) A – II; B – I; c) Sequência A: $\left(7,9,11,13,15,17,19,21,...\right)$ e sequência B: $\left(2,3,5,9,17,33,65,129,\dots \right)$.

10. Analise o que o professor Marcelo está dizendo.

a) Se os estudantes optaram por usar $a_1=10$, qual foi a sequência escrita?

Resposta: $\left(10,5,8,4,2,1\right)$.

b) Elabore um fluxograma para obter os termos dessa sequência.

Resposta na seção Resoluções.

c) Usando o fluxograma, escreva em seu caderno essa sequência após escolher um número natural maior do que 1 e diferente de 10 para ser o primeiro termo.

Resposta pessoal.

11. Quantos coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano, considerando que a cada mês ocorre a produção de um par de coelhos e que um par de coelhos começa a produzir coelhos quando completa dois meses.

Indicando a quantidade de pares de coelhos do mês n por $a_n$, obtemos:

$a_1=1$ (um par de coelhos jovem)

$a_2=1$ (um par de coelhos adulto, no período fértil)

$a_3=2$ (dois pares de coelhos: um adulto e um jovem)

$a_4=3$ (três pares de coelhos: dois adultos e um jovem)

$a_5=5$ (cinco pares de coelhos: três adultos e dois jovens)

$\dots$

Objeto digital

Se continuarmos esse processo, obtemos a seguinte sequência:

Essa sequência foi nomeada Sequência de Fibonacci, em homenagem ao matemático Leonardo de Pisa (1175-1250), também conhecido como Leonardo Fibonacci.

Nessa sequência, os dois primeiros termos são iguais a 1 e cada termo seguinte é obtido adicionando os dois termos anteriores.

a) Determine o 13º termo dessa sequência.

Resposta: 233.

b) Junte-se a um colega e analisem como os termos dessa sequência são formados. Em seguida, definam-na por recorrência.

$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, com $a_1=1$, $a_2=1$ e $n>2$.

c) Faça uma pesquisa a respeito de Leonardo Fibonacci e as contribuições dele para a Matemática. Em seguida, monte um cartaz com imagens e informações e exponha sua produção para os colegas.

Resposta: Espera-se que os estudantes encontrem que Leonardo Fibonacci foi responsável por popularizar os números arábicos na Europa, na época em que ainda eram usados os símbolos da numeração romana, além de explicar o sistema decimal. Seu livro Liber abaci foi muito útil aos comerciantes, ao explicar os cálculos de juros, conversões monetárias e de medidas e vários métodos e algoritmos.