Relembrando potenciação

A potenciação é uma operação utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais, na qual podemos identificar os seguintes elementos.

Lemos $4^3$ das seguintes maneiras: quatro elevado ao cubo, quatro ao cubo ou quatro elevado à terceira potência.

Analise alguns exemplos de cálculos de potências.

• $5^4=\underset{4\text{fatores}\text{iguais}}{\underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}=625$
• $0,2^2=\underset{\text{2}\text{fatores}\text{iguais}}{\underbrace{0,2\cdot 0,2}}=0,04$
• ${\left(-3\right)}^3=\underset{\text{3}\text{fatores}\text{iguais}}{\underbrace{\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}=-27$
• ${\left(-5\right)}^4=\underset{4\text{fatores}\text{iguais}}{\underbrace{\left(-5\right)\cdot \left(-5\right)\cdot \left(-5\right)\cdot \left(-5\right)}}=625$
• ${\left(-0,5\right)}^5=\underset{5\text{fatores}\text{iguais}}{\underbrace{\left(-0,5\right)\cdot \left(-0,5\right)\cdot \left(-0,5\right)\cdot \left(-0,5\right)\cdot \left(-0,5\right)}}=-0,03125$

Caso $n=0$ ou $n=1$, definimos:

$a^{\mathrm{1}}=a$, isto é, a elevado a 1 é igual a a, para qualquer que seja a. Acompanhe alguns exemplos.

$a^0=1$, isto é, a elevado a 0 é igual a 1, para qualquer que seja a. Acompanhe alguns exemplos.

Potências com expoente negativo

Agora, estudaremos potências com expoente negativo.

Acompanhe alguns exemplos.

• $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$
• ${\left(-4\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^3}=\frac{1}{\left(-64\right)}=-\frac{1}{64}$
• ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

Propriedades das potências

Neste tópico, estudaremos algumas propriedades das potências decorrentes das definições apresentadas nesta unidade.

1ª propriedade

Um produto de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e adicionando os expoentes.

Exemplos:

• $2^4\cdot 2^3=2^{4+3}=2^7$
• ${\left(-7\right)}^2\cdot {\left(-7\right)}^5={\left(-7\right)}^{2+5}={\left(-7\right)}^7$

2ª propriedade

Um quociente de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e subtraindo os expoentes.

Exemplos:

• $3^5:3^2=3^{5-2}=3^3$
• $\left(-6^7\right):\left(-6^5\right)={\left(-6\right)}^{7-5}={\left(-6\right)}^2$

3ª propriedade

A potência de um produto pode ser transformada em um produto de potências elevando cada número ao expoente nela indicado.

Exemplos:

• ${\left(2\cdot 5\right)}^3=2^3\cdot 5^3$
• ${\left(-5\cdot 3\right)}^5={\left(-5\right)}^5\cdot 3^5$
• ${\left(4\cdot 2\right)}^{-2}=4^{-2}\cdot 2^{-2}$

4ª propriedade

A potência de um quociente pode ser transformada em um quociente de potências elevando cada número ao expoente nela indicado.

Exemplos:

• ${\left(6:7\right)}^3={\left(\frac{6}{7}\right)}^3=\frac{6^3}{7^3}=6^3:7^3$
• ${\left(15:4\right)}^{-4}={\left(\frac{15}{4}\right)}^{-4}=\frac{{15}^{-4}}{4^{-4}}={15}^{-4}:4^{-4}$

5ª propriedade

A potência de uma potência pode ser transformada em uma única potência mantendo a base dela e multiplicando os seus expoentes.

Exemplos:

• ${\left(3^5\right)}^2=3^{5\cdot 2}=3^{10}$
• ${\left[{(-6)}^4\right]}^3={(-6)}^{4\cdot 3}={(-6)}^{12}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Calcule as potências.

a) $1^{63}$

b) ${151}^1$

c) ${500}^0$

d) $0^9$

e) ${13}^2$

f) ${\left(7\right)}^{-3}$

g) ${\left(-4\right)}^3$

h) ${\left(-\frac{2}{5}\right)}^{-2}$

i) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^5$

j) ${\left(-\frac{10}{21}\right)}^0$

2. A seguir, identifique quais potências são maiores do que 1.

a) ${\left(8\right)}^{-5}$

b) ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-3}$

c) ${\left(\frac{2}{9}\right)}^{-2}$

d) ${\left(\frac{11}{15}\right)}^{-1}$

e) ${\left(\frac{7}{3}\right)}^{-4}$

f) ${\left(\frac{15}{14}\right)}^{-2}$

3. Usando as propriedades das potências, calcule.

a) $2^5\cdot 2^3$

b) ${\left(-8\right)}^{21}\cdot {\left(-8\right)}^{-18}$

c) $\left(\frac{4}{3}\right)\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^2$

d) ${\left(-3\right)}^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

e) ${\left(10\right)}^{-2}:{\left(10\right)}^3$

f) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3:{\left(\frac{6}{5}\right)}^3$

g) ${\left(4^2\right)}^3$

h) ${\left(2^{-3}\right)}^4$

4. Com o auxílio de uma calculadora, calcule:

a) o produto entre ${\left(-3\right)}^2$ e ${\left(-3\right)}^7$.

b) o quociente entre ${11}^{-8}$ e ${11}^{-5}$.

c) o cubo da metade de 5.

d) a metade do cubo de 5.

e) a quarta potência do dobro de 5.

f) o quadrado do dobro de $-8$.

5. Resolva as expressões em cada item.

a) $\left(2^2\cdot 5^2\right):4^1$

b) ${16}^3:{\left(-8\right)}^4+{15}^0-{\left(1\right)}^{11}$

c) $4^{-3}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5$

d) ${\left(\frac{8}{3}\right)}^{-2}+{\left(\frac{9}{4}\right)}^3$

e) ${\left(1+\frac{4}{5}\right)}^3-{\left(\frac{5}{3}\right)}^{-4}$

6. Em cada item, determine o valor de x para que a igualdade seja verdadeira.

a) ${\left(-3\right)}^x=-243$

b) ${\left(\frac{11}{7}\right)}^x=1$

c) $x^{100}=1$

d) $x^{-3}=-\frac{1}{27}$

7. Calcule.

a) ${10}^2$

b) ${10}^5$

c) ${10}^8$

d) ${10}^7$

e) ${10}^3$

f) ${10}^0$

8. Anderson colocou uma dúzia de ovos em uma caixa pequena, inseriu uma dúzia dessas caixas pequenas em caixas maiores e, por fim, acomodou uma dúzia dessas caixas maiores em um caminhão para transporte. Quantos ovos esse caminhão transportou?

9. Entre as expressões a seguir, qual apresenta o maior valor? Justifique a resposta em seu caderno.

10. Leia as informações a seguir.

Para reduzir a quantidade de algarismos em números muito grandes, ou muito pequenos, podemos indicá-los usando a notação científica. Os números anteriores, por exemplo, podem ser representados da seguinte maneira.

A. $56.000.000=5,6\cdot 10.000.000=5,6\cdot {10}^7$.

B. $\mathrm{}0,00015=1,5\cdot 0,0001=1,5\cdot {10}^{-4}$

Represente os números destacados nas informações a seguir em notação científica.

a) A medida do volume de água dos oceanos da Terra é de aproximadamente $\mathbf{1}.\mathbf{320}.\mathbf{000}.\mathbf{000}{\text{km}}^3$.

b) A medida da distância média da Terra ao Sol é de $\mathbf{149}.\mathbf{600}.\mathbf{000}\text{km}$.

c) Um quilograma equivale a $\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{000001}\text{mg}$.

d) As hemácias, cujo comprimento do diâmetro mede $\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{007}\mathrm{m}\mathrm{m}$, estão presentes no sangue humano.

11. Para adicionarmos ou subtrairmos números em notação científica, os expoentes da base 10 devem ser iguais. Se os expoentes forem diferentes, podemos reescrever um dos números fazendo a adaptação adequada. Em seguida, efetuamos a operação com os coeficientes e conservamos a base 10. Acompanhe um exemplo.

Usando esse procedimento, efetue os cálculos a seguir.

a) $7,93\cdot {10}^5+5\cdot {10}^6$

b) $3,99\cdot {10}^{-5}-4,92\cdot {10}^{-7}$

Radiciação

Neste tópico, estudaremos algumas situações envolvendo a operação radiciação.

Considere a seguinte situação.

Pedro é marceneiro e vai fabricar uma mesa cuja superfície, de forma quadrada, terá $4.900{\text{cm}}^2$ de medida de área. Para isso, é necessário que ele saiba a medida do comprimento do lado da superfície dessa mesa.

Extraindo a raiz quadrada de 4.900, é possível obter essa medida.

$\sqrt{4.900}=70$, pois $70\cdot 70={70}^2=4.900$

Logo, o comprimento do lado da superfície da mesa que Pedro vai fabricar medirá $70\text{cm}$.

A radiciação, operação usada para resolver a situação anterior, é a operação inversa da potenciação.

Em uma radiciação, temos os seguintes elementos:

Agora, considere outra situação.

O cubo mágico representado a seguir tem a medida de volume igual a $125{\text{cm}}^3$. Para saber a medida das dimensões desse cubo, basta calcular a raiz cúbica de 125.

$\sqrt[3]{125}=5$, pois $5\cdot 5\cdot 5=5^3=125$

Logo, as dimensões desse cubo medem $5\text{cm}$.

Questão 1. Realize uma pesquisa para descobrir o inventor do cubo mágico. Depois, registre os resultados obtidos no caderno.

Raiz enésima

Para calcular a raíz enésima de um número real a (indicada por $\sqrt[n]{a}$), devemos considerar os seguintes casos.

a) n é um número natural par, diferente de zero.

• Para $a\ge 0$, a raiz enésima de a é um número real b não negativo, tal que $b^n=a$.

  Acompanhe alguns exemplos.

  • $\sqrt{81}=9$, pois $9^2=81$.
  • $\sqrt[4]{256}=4$ (lê-se: raiz quarta de 256 é igual a 4), pois $4^4=256$.
  • $\sqrt[6]{729}=3$ (lê-se: raiz sexta de 729 é igual a 3), pois $3^6=729$.
• Para $a<0$, a raiz enésima de a não é definida no conjunto dos números reais, pois não existe um número b tal que $b^n=a$.

  Exemplo: Não existe $\sqrt[2]{-36}$ no conjunto dos números reais, pois não existe um número real que, elevado ao quadrado, seja igual a $-36$.

b) n é um número natural ímpar, diferente de 1.

A raiz enésima de a é um número real b, tal que $b^n=a$.

Nesse caso, quando a é um número real positivo, b também é positivo, e quando a é negativo, b também é negativo.

Acompanhe alguns exemplos.

• $\sqrt[3]{64}=4$, pois $4^3=64$.
• $\sqrt[5]{-243}=-3$ (lê-se: raiz quinta de $-243$ é igual a $-3$), pois ${\left(-3\right)}^5=-243$.
• $\sqrt[7]{-128}=-2$ (lê-se: raiz sétima de $-128$ é igual a $-2$), pois ${\left(-2\right)}^7=-128$.

Questão 2. Copie as sentenças a seguir em seu caderno, substituindo os $█$ pelos números adequados.

a) A raiz sétima de $█$ é 5, pois $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^7=\mathrm{█}$.

b) A raiz quarta de 81 é $█$, pois $\text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}={\text{█}}^4=81$.

c) A raiz quinta de $-32$ é $█$, pois $\text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}={\text{█}}^5=-32$.

d) A raiz sexta de 64 é , pois $\text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}\cdot \text{█}={\text{█}}^6=64$.

Questão 3. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre o surgimento do símbolo utilizado para indicar a radiciação. Depois, apresente seus resultados para os colegas e professor.

Potências com expoente fracionário

Já estudamos em anos anteriores as potências com expoente fracionário e verificamos que elas podem ser escritas por meio de radicais, assim como radicais podem ser escritos na forma de potências. Analise alguns exemplos.

• $\sqrt[3]{3^2}=3^{\frac{2}{3}}$
• $\sqrt[4]{5^3}=5^{\frac{3}{4}}$
• $\sqrt[5]{6^3}=6^{\frac{3}{5}}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Em cada item está indicada a medida da área de um quadrado. Efetue os cálculos e determine a medida do perímetro de cada quadrado.

a) $256{\text{cm}}^2$

b) $361{\text{cm}}^2$

c) $441{\text{cm}}^2$

d) $576{\text{cm}}^2$

13. Qual é a medida do comprimento da aresta do cubo cujo volume mede:

a) $512{\text{cm}}^3$.

b) $1.331{\text{cm}}^3$.

c) $3.375{\text{cm}}^3$.

d) $4.913{\text{cm}}^3$.

14. Utilizando uma calculadora, efetue os cálculos, determine o valor de cada $\text{█}$ e registre no caderno.

a) $\sqrt[3]{\text{█}}=15$

b) $\sqrt{\text{█}}=35$

c) $\sqrt{\text{█}}=41$

d) $\sqrt[3]{\text{█}}=18$

e) $\sqrt[4]{\text{█}}=8$

f) $\sqrt[3]{\text{█}}=24$

15. Nos itens a seguir, $n$ representa o índice das raízes. Efetue os cálculos com uma calculadora e determine o valor de $n$.

a) $\sqrt[n]{\text{81}}=9$

b) $\sqrt[n]{125}=5$

c) $\sqrt[n]{32}=2$

d) $\sqrt[n]{128}=2$

e) $\sqrt[n]{2187}=3$

f) $\sqrt[n]{256}=4$

16. Sem efetuar cálculos, identifique quais das raízes a seguir são definidas no conjunto dos números reais.

17. A seguir, escreva em seu caderno as potências como raízes e as raízes como potências

a) ${27}^{\frac{1}{4}}$

b) ${40}^{\frac{2}{5}}$

c) ${\left(\frac{7}{6}\right)}^{\frac{2}{3}}$

d) $\sqrt{18}$

e) $\sqrt[3]{6^5}$

f) $\sqrt[5]{81}$

18. Indique as igualdades verdadeiras.

a) ${\left(2^{\frac{3}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[4]{2^3}$

b) ${\left(5^{\frac{9}{10}}\right)}^{\frac{5}{3}}=\sqrt{5^3}$

c) ${\left(3^{\frac{3}{8}}\right)}^2=\sqrt[4]{3^3}$

d) ${\left({11}^{\frac{10}{3}}\right)}^{\frac{3}{4}}=\sqrt{{11}^5}$

Propriedades dos radicais

Estudaremos, a seguir, algumas propriedades dos radicais. Elas podem ser úteis ao realizar cálculos com radicais.

1ª propriedade

Quando o índice do radical e o expoente do radicando são positivos e iguais, o resultado é o próprio radicando. Exemplos:

• $\sqrt[5]{6^5}=6^{\frac{5}{5}}=6^1=6$
• $\sqrt[4]{7^4}=7^{\frac{4}{4}}=7^1=7$

2ª propriedade

Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número natural não nulo, obtemos um radical equivalente ao inicial. Exemplos:

• $\sqrt[4]{9^3}=9^{\frac{3}{4}}=9^{\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}}=\sqrt[4\cdot 2]{9^{3\cdot 2}}=\sqrt[8]{9^6}$
• $\sqrt[12]{5^4}=5^{\frac{4}{12}}=5^{\frac{4:4}{12:4}}=\sqrt[12:4]{5^{4:4}}=\sqrt[3]{5}$

3ª propriedade

A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores e a raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor. Exemplos:

• $\sqrt{3\cdot 4}={\left(3\cdot 4\right)}^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}$
• $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}={\left(\frac{2}{7}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$

4ª propriedade

A raiz de uma raiz pode ser escrita na forma de um único radical, na qual o índice resultante é o produto dos índices das raízes iniciais. Exemplos:

• $\sqrt{\sqrt[7]{8}}={\left(\sqrt[7]{8}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8^{\frac{1}{7}}\right)}^{\frac{1}{2}}=8^{\frac{1\cdot 1}{7\cdot 2}}=\sqrt[7\cdot 2]{8^{1\cdot 1}}=\sqrt[14]{8}$
• $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}={\left(\sqrt[4]{2}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(2^{\frac{1}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1\cdot 1}{4\cdot 3}}=\sqrt[4\cdot 3]{2^{1\cdot 1}}=\sqrt[12]{2}$

Analise, a seguir, como podemos simplificar, por exemplo, as expressões numéricas ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2$ e ${\left(\sqrt[7]{10}\right)}^3$ escrevendo cada uma na forma de uma única raiz.

• ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2=\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{5\cdot 5}=\sqrt[3]{5^2}$
• ${\left(\sqrt[7]{10}\right)}^3=\sqrt[7]{10}\cdot \sqrt[7]{10}\cdot \sqrt[7]{10}=\sqrt[7]{10\cdot 10\cdot 10}=\sqrt[7]{{10}^3}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Efetue os cálculos a seguir.

a) $\sqrt{\frac{9}{4}}$

b) $\sqrt{\frac{25}{100}}$

c) $\sqrt{\frac{64}{144}}$

d) $-\sqrt{\frac{121}{256}}$

e) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$

f) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

20. Escreva, no caderno, as expressões numéricas a seguir na forma de uma única raiz.

a) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{5}}$

c) $\sqrt{\sqrt[5]{8}}$

d) $\sqrt[6]{\sqrt[3]{13}}$

e) $\sqrt{\sqrt[7]{\sqrt[3]{9}}}$

f) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt{16}}}$

21. De acordo com as propriedades das raízes, copie, no caderno, as igualdades verdadeiras.

22. Sendo $a$ e $b$ números reais positivos e $m$, $n$ e $p$ números naturais maiores do que 1, quais igualdades a seguir são verdadeiras?

23. Aplique as propriedades das raízes e transforme a expressão numérica de cada item em uma única raiz.

24. Simplifique cada potência representando-a com uma única raiz.

a) ${\left(\sqrt[5]{13}\right)}^4$

b) ${\left(\sqrt[4]{15}\right)}^3$

c) ${\left(\sqrt[5]{3}\right)}^2$

d) ${\left(\sqrt[7]{7}\right)}^6$

e) ${\left(\sqrt[3]{11}\right)}^2$

f) ${\left(\sqrt[9]{5}\right)}^7$

25. Calcule a medida da área de cada retângulo a seguir.

Simplificação de radicais

Existem casos em que não é possível calcular a raiz exata de um número, mas é possível simplificar a escrita dela.

Acompanhe um procedimento para simplificar $\sqrt{245}$.

Inicialmente, decompomos o radicando em fatores primos.

Depois, aplicamos a propriedade $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$, com a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1, e transformamos $\sqrt{7^2\cdot 5}$ em um produto de raízes.

$\sqrt{245}=\sqrt{7^2\cdot 5}=\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{5}$

Por último, aplicamos a propriedade $\sqrt[n]{a^n}=a$, com a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, e obtemos a escrita simplificada.

$\sqrt{245}=\sqrt{7^2\cdot 5}=\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{5}=7\sqrt{5}$

Logo, a escrita simplificada de $\sqrt{245}$ é $7\sqrt{5}$.

Analise como podemos simplificar $\sqrt{540}$ usando a decomposição em fatores primos.

Logo, a escrita simplificada de $\sqrt{540}$ é $6\sqrt{15}$.

Também podemos introduzir um fator externo no radicando de uma raiz. Analise alguns exemplos.

• $4\sqrt{8}=\sqrt{4^2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{4^2\cdot 8}=\sqrt{16\cdot 8}=\sqrt{128}$
• $5\sqrt[5]{9}=\sqrt[5]{5^5\cdot 9}=\sqrt[5]{3.125\cdot 9}=\sqrt[5]{28.125}$
• $2\cdot 3\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{2^4\cdot 3^4\cdot 2}=\sqrt[4]{16\cdot 81\cdot 2}=\sqrt[4]{2.592}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Em cada item, retire fatores do radicando.

a) $\sqrt{3^2\cdot 6}$

b) $\sqrt[3]{4\cdot 5^3}$

c) $\sqrt[5]{3^5\cdot 6^8}$

d) $\sqrt[4]{2^8\cdot 7^{10}}$

e) $\sqrt{2^3\cdot 3^4\cdot 5^5}$

f) $\sqrt[6]{2^8\cdot 3^5\cdot {10}^7}$

27. Simplifique as raízes.

a) $\sqrt[3]{64}$

b) $\sqrt[4]{432}$

c) $\sqrt[3]{896}$

d) $\sqrt[5]{2.187}$

e) $\sqrt{9.000}$

f) $\sqrt[3]{16.384}$

28. Os quadrados a seguir são representações de terrenos e em cada um deles está indicada a sua medida de área $A$.

Considerando $\sqrt{2}\simeq 1,41$; $\sqrt{3}\simeq 1,73$; e $\sqrt{5}\simeq 2,24$, calcule a medida aproximada do comprimento do lado de cada terreno.

29. Introduza no radicando os fatores externos.

a) $6\sqrt{3}$

b) $5\sqrt[3]{6}$

c) $2\cdot 4\sqrt{10}$

d) $2\cdot 5\sqrt[5]{2}$

30. Determine o valor de x em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.

a) $\sqrt[4]{96}=2\sqrt[4]{x}$

b) $2\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{x}$

c) $\sqrt[3]{32}=x\sqrt[3]{4}$

d) $2\sqrt{71}=\sqrt{x}$

e) $4\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{x}$

f) $\sqrt{1.200}=x\sqrt{3}$

31. Qual deve ser o valor de $a$ para que a igualdade a seguir seja verdadeira?

$\sqrt{228\cdot a}=2\sqrt{627}$

32. Simplifique no caderno a expressão numérica.

$\sqrt{2\sqrt[3]{4\sqrt{8}}}$

33. Associe os itens que têm o mesmo resultado.

a) $\sqrt[4]{2^6\cdot 3^4}$

b) $\sqrt[4]{2^5\cdot 3^5}$

c) $\sqrt[4]{2^4\cdot 3^6}$

d) $\sqrt[4]{2^8\cdot 3^5}$

e) $6\sqrt[4]{9}$

f) $12\sqrt[4]{3}$

g) $6\sqrt[4]{4}$

h) $6\sqrt[4]{6}$

Operações com radicais

Adição e subtração com radicais

Em algumas situações, precisamos realizar operações com radicais, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Essas operações podem simplificar expressões numéricas envolvendo radicais.

Analise, por exemplo, como calcular o valor de $\sqrt{45}+\sqrt{80}-\sqrt{20}$.

Inicialmente, decompomos cada radicando em fatores primos.

$\sqrt{45}+\sqrt{80}-\sqrt{20}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 5}+\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5}-\sqrt{2\cdot 2\cdot 5}=$

$=\sqrt{3^2\cdot 5}+\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 5}-\sqrt{2^2\cdot 5}$

Depois, aplicamos a propriedade $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$, com a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1.

$\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{5}-\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{5}$

Em seguida, aplicamos a propriedade $\sqrt[n]{a^n}=a$, com a um número real positivo e n um número natural maior do que 1.

$3\sqrt{5}+2\cdot 2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}$

Por último, colocamos em evidência o fator comum dos termos da expressão numérica, nesse caso $\sqrt{5}$, e simplificamos a expressão numérica obtida.

$3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\left(3+4-2\right)=\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}$

Logo, $\sqrt{45}+\sqrt{80}-\sqrt{20}=5\sqrt{5}$.

Multiplicação e divisão com radicais

Para realizar multiplicações e divisões envolvendo radicais com o mesmo índice, basta aplicar as propriedades das raízes e depois simplificar o resultado. Analise dois exemplos.

• $\sqrt{12}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{12\cdot 20}=\sqrt{240}$ $=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 3\cdot 5}=2\cdot 2\sqrt{3\cdot 5}=4\sqrt{15}$
• $\sqrt{168}:\sqrt{3}=\sqrt{168:3}=\sqrt{56}$ $=\sqrt{2^2\cdot 2\cdot 7}=2\sqrt{14}$

Agora, analise como efetuar multiplicações e divisões com radicais de índices diferentes.

Vamos calcular, por exemplo, $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3^2}$.

Escrevemos os radicais na forma de potências com expoentes fracionários. Em seguida, calculando o mínimo múltiplo comum ($\text{mmc}$) dos denominadores, reduzimos os expoentes a frações com o mesmo denominador.

Agora que as frações dos expoentes estão com o mesmo denominador, escrevemos as potências com expoentes fracionários na forma de raízes.

$2^{\frac{3}{6}}\cdot 3^{\frac{4}{6}}=\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{3^4}$

Depois, aplicamos as propriedades das raízes e simplificamos o resultado.

$\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{3^4}=\sqrt[6]{2^3\cdot 3^4}=\sqrt[6]{8\cdot 81}=\sqrt[6]{648}$

Portanto, $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3^2}=\sqrt[6]{648}$.

Seguindo os mesmos procedimentos, podemos calcular o valor de $\sqrt[5]{{14}^2}:\sqrt[3]{14}$.

$\sqrt[5]{{14}^2}:\sqrt[3]{14}={14}^{\frac{2}{5}}:{14}^{\frac{1}{3}}={14}^{\frac{6}{15}}:{14}^{\frac{5}{15}}$$=\sqrt[15]{{14}^6}:\sqrt[15]{{14}^5}=\sqrt[15]{{14}^6:{14}^5}=\sqrt[15]{14}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. No caderno, simplifique as expressões numéricas a seguir.

a) $\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}$

b) $\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{7}+8\sqrt{3}$

c) $2\sqrt{2}-\sqrt{11}+5\sqrt{2}-3\sqrt{11}$

35. Fatore o radicando em cada item e simplifique as expressões numéricas.

a) $\sqrt{45}+\sqrt{20}+\sqrt{80}$

b) $\sqrt{54}+\sqrt{24}-\sqrt{6}$

c) $\sqrt{12}+3\sqrt{27}-\sqrt{48}+\sqrt{75}$

36. Sabendo que as letras representam números reais positivos, simplifique as expressões a seguir.

a) $\sqrt{n}+\sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{5}+\sqrt{n}$

b) $4\sqrt{a{b}^2}-\sqrt[3]{625}+\sqrt[3]{135}-\sqrt{a{b}^2}$

c) $\sqrt[3]{54}+\sqrt{m^{2}p}+\sqrt[3]{250}-\sqrt{m{p}^2}+2\sqrt{m^{2}p}$

37. Sabendo que $a=\sqrt{5}$, $b=-1$ e $c=-\sqrt{2}$, calcule o valor das seguintes expressões.

a) $a^2+b^2+c^2$

b) $a^2+b^2-c^2$

c) $a^2\left(b^2+c^2\right)$

d) $3a^2+b^2-c$

e) $a^2+4ab-c^2$

38. Calcule a medida do perímetro de cada figura representada a seguir, sabendo que as medidas estão dadas em metros.

39. Simplifique cada expressão numérica, deixando-as na forma irredutível, ou seja, até que não seja possível fazer mais simplificações.

a) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{72}+\sqrt{98}}{\sqrt{8}}$

b) $\frac{\sqrt{243}-\sqrt{27}+\sqrt{2.187}}{\sqrt{3.267}}$

c) $\frac{\sqrt{500}+\sqrt{125}+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$

40. Seja $m=\sqrt{2.000}-\sqrt{500}$ e $n=24+\sqrt{180}$. Calcule $m+n$ e simplifique o resultado.

41. Considerando $\sqrt{2}\simeq 1,4$; $\sqrt{3}\simeq 1,7$; $\sqrt{5}\simeq 2,2$ e $\sqrt{7}\simeq 2,6$, calcule o valor aproximado das seguintes expressões numéricas:

a) $3\sqrt{20}-5\sqrt{50}+\sqrt{80}$

b) $\sqrt{700}+\sqrt{972}-\sqrt{500}$

c) $2\sqrt{45}+\sqrt{50}-\sqrt{18}$

d) $\sqrt{98}+\sqrt{200}+\sqrt{162}$

e) $\sqrt{7.500}-\sqrt{2.450}-\sqrt{4.500}$

42. Determine o valor de $x$ em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.

a) $\sqrt{17}+x=\text{4}\sqrt{17}$

b) $\sqrt{20}+\sqrt{5}=x$

c) $\sqrt{8}-x=\sqrt{2}$

d) $x-\sqrt{12}=6\sqrt{3}$

e) $12\sqrt{5}-x=-\sqrt{20}$

f) $5\sqrt{7}+x=\sqrt{63}$

43. Efetue os cálculos.

a) $\sqrt{23}\cdot \sqrt{7}$

b) $\sqrt{45}\cdot \sqrt{12}$

c) $\sqrt{18}\cdot \sqrt{42}$

d) $\frac{\sqrt{32}}{5}\cdot \frac{\sqrt{20}}{2}$

e) $\sqrt[3]{16}\cdot \sqrt[3]{54}$

f) $\sqrt{50}\cdot \sqrt{12}\cdot \sqrt{8}$

44. Analise a figura a seguir.

Sabendo que o retângulo anterior representa um terreno, elabore um problema usando as informações apresentadas e dê para um colega resolver. Depois, verifique se a resposta apresentada por ele está correta.

45. Sabendo que as letras representam números reais positivos, resolva no caderno as expressões a seguir.

a) $\frac{\sqrt[6]{a^5}}{b}\cdot \frac{\sqrt[6]{a}}{b}$

b) $\sqrt[5]{x^2\cdot y^3}\cdot \sqrt[5]{x^3\cdot y^2}$

c) $\sqrt[7]{z^4\cdot y^2}\cdot \sqrt[7]{z^3\cdot y^6}$

d) $\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{9b^2}}\cdot \frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{9b^2}}$

46. Sendo x um número real positivo, a expressão $\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\cdot \sqrt[3]{x}$ pode ser escrita como:

a) $x^3\sqrt[3]{x}$

b) $\sqrt[4]{x^3}$

c) $x\sqrt{x}$

d) $x^3\sqrt[4]{x}$

e) $x\sqrt[3]{x}$

47. Sabendo que $A=2+\sqrt{2}$, $B=2-\sqrt{2}$ e $C=\sqrt{8}$, calcule o valor de cada expressão.

a) $A+B\cdot C$

b) $A\cdot B\cdot C$

c) $A\cdot C-B$

d) $\frac{A-B}{C}$

48. Simplifique cada expressão numérica a seguir, escrevendo-a no caderno com uma única raiz.

a) $\sqrt[3]{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[10]{\sqrt[3]{6}}$

b) $\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[6]{5}}$

c) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}} : \sqrt[4]{\sqrt[5]{5}}$

d) $\sqrt{2\sqrt[7]{2}} : \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}$

49. Calcule a medida da área de cada figura a seguir, sabendo que as medidas estão indicadas em metros.

50. Calcule a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo de acordo com as medidas indicadas.

Racionalização

Cada fração escrita na lousa tem uma raiz não exata no denominador.

Na Matemática, não é comum escrevermos frações desse tipo, com raiz no denominador. Então transformamos cada uma delas em uma fração equivalente, de modo que não tenha raiz no denominador, usando um recurso chamado racionalização.

Por exemplo, para racionalizar a fração $\frac{1}{\sqrt{6}}$, usamos o fator $\sqrt{6}$.

$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6\cdot 6}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6^2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

Agora, vamos calcular o valor aproximado de $\frac{1}{\sqrt{6}}$ e $\frac{\sqrt{6}}{6}$ para verificar se essas duas frações são equivalentes. Para isso, vamos efetuar os cálculos utilizando uma calculadora e considerando $\sqrt{6}\simeq 2,449$.

De fato, nas duas divisões, obtemos o mesmo resultado.

Questão 4. De maneira parecida, em seu caderno, racionalize os denominadores das outras frações apresentadas na lousa da ilustração anterior.

Podemos racionalizar o denominador da fração $\frac{6}{2\sqrt{3}}$ de duas maneiras diferentes, como mostrado a seguir.

1ª maneira

$\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

2ª maneira

$\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3^2}}$$=\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\cancel{6}\sqrt{3}}{\cancel{6}}=\sqrt{3}$

Também podemos racionalizar o denominador da fração $\frac{2}{\sqrt[5]{3^2}}$ multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[5]{3^3}$, pois $\sqrt[5]{3^2}\cdot \sqrt[5]{3^3}=\sqrt[5]{3^2\cdot 3^3}=\sqrt[5]{3^5}=3$. Nesse caso, obtemos:

$\frac{2}{\sqrt[5]{3^2}}\cdot \frac{\sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^3}}=\frac{2\sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^5}}=\frac{2\sqrt[5]{3^3}}{3}$

Note que:

Agora, para racionalizar o denominador de $\frac{3}{\sqrt{5}+1}$, multiplicamos o numerador e o denominador por $\left(\sqrt{5}-1\right)$, que é a "expressão conjugada" do denominador.

$\frac{3}{\left(\sqrt{5}+1\right)}\cdot \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{3\sqrt{5}-3}{\sqrt{5\cdot 5}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-1}$ $=\frac{3\sqrt{5}-3}{\sqrt{5^2}-1}=\frac{3\sqrt{5}-3}{5-1}=\frac{3\sqrt{5}-3}{4}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

51. Racionalize os denominadores das frações.

a) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

b) $\frac{3}{\sqrt{6}}$

c) $\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$

d) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

e) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

f) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

g) $\sqrt{\frac{5}{9}}$

h) $\sqrt{\frac{10}{8}}$

52. Em cada retângulo estão indicadas as medidas de sua área A e de seu comprimento. Determine a medida da largura de cada um deles.

53. Racionalize os denominadores das frações a seguir.

a) $\frac{5}{4\sqrt{3}}$

b) $\frac{2}{2\sqrt{6}}$

c) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

d) $\frac{\sqrt{3}}{10\sqrt{5}}$

e) $\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}$

f) $\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$

g) $\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{8}}$

h) $\frac{8\sqrt{12}}{3\sqrt{5}}$

54. Racionalize os denominadores.

a) $\frac{5}{\sqrt[6]{2^4}}$

b) $\frac{4}{\sqrt[7]{3^2}}$

c) $\frac{2}{\sqrt[10]{7^6}}$

d) $\frac{3}{\sqrt[9]{5^2}}$

e) $\frac{7}{\sqrt[4]{3^3}}$

f) $\frac{10}{\sqrt[10]{{10}^7}}$

55. Sabendo que as letras que aparecem nas frações representam números reais positivos, racionalize os denominadores.

a) $\frac{2y}{\sqrt{y}}$

b) $\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

c) $\frac{c\sqrt{d}}{d\sqrt{c}}$

d) $\frac{2x}{\sqrt{4xz}}$

e) $\frac{ab}{\sqrt{b}}$

f) $\frac{d\sqrt{c}}{\sqrt{cd}}$

56. Racionalize os denominadores.

a) $\frac{4}{\sqrt{5}+1}$

b) $\frac{\sqrt{6}}{2-\sqrt{7}}$

c) $\frac{\sqrt{2}-1}{3+\sqrt{8}}$

d) $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$

e) $\frac{8}{\sqrt{8}+3}$

f) $\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-5}$

57. Simplifique as expressões a seguir, racionalizando os denominadores sempre que possível.

a) $\frac{\sqrt[5]{3^3}}{4}\cdot \frac{\sqrt[5]{3^2}}{\sqrt{6}}$

b) $\frac{\sqrt[3]{5\cdot 3^2}\cdot \sqrt[3]{5^2\cdot 3}}{\sqrt[3]{2}}$

c) $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt[3]{3^2}}$

d) $\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{9^2}}$

e) $\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{3}}\cdot \frac{{\left(\sqrt[5]{27}\right)}^2}{\sqrt[3]{5}}\cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt[3]{4}}$

f) $\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{4}{\sqrt{4}}\cdot \frac{5}{\sqrt{5}}\cdot \frac{6}{\sqrt{6}}$