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UNIDADE

Algumas representações no plano cartesiano

Fotografia do interior de um carro. As duas mãos de uma pessoa estão no volante, e no painel há uma tela com um mapa aberto. O carro está em uma estrada vista a partir do para-brisa. — Aparelho GPS sendo usado em um carro para orientar um trajeto pretendido e calcular a medida da distância dele.

Agora vamos estudar...

medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano;
ponto médio de um segmento de reta;
medida do perímetro e da área de figuras planas construídas no plano cartesiano.

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Medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano

Imagine um plano cartesiano construído em uma malha quadriculada na qual estão indicados os pontos A e B, cujas coordenadas são diferentes. Considerando como unidade de medida o comprimento de cada lado dos quadradinhos da malha, traçamos um segmento AB que une os pontos A e B. A medida do comprimento desse segmento é igual à medida da distância entre os pontos A e B.

A seguir, vamos calcular a medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Para isso, analisaremos inicialmente dois casos.

Abscissas iguais

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele está marcado um ponto A com coordenadas 4 e 7; e um ponto B com coordenadas 4 e 1. E está traçado um segmento de reta A B.

Atenção!

Nos planos cartesianos apresentados, considere como unidade de medida o comprimento de cada lado dos quadradinhos da malha.

Os pontos A e B têm abscissas iguais. Nesse caso, a medida da distância entre esses pontos é dada por $A B igual a módulo de 7 menos 1 fim de módulo igual a 6$ , ou seja, 6 unidades de comprimento ( $6 unidade de medida de comprimento$ ).

Ordenadas iguais

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele está marcado um ponto C com coordenadas 2 e 3; e um ponto D com coordenadas 8 e 3. E está traçado um segmento de reta C D.

Os pontos C e D têm ordenadas iguais. Nesse caso, a medida da distância entre esses pontos é dada por $C D igual a módulo de 8 menos 2 fim de módulo igual a 6$ , ou seja, $6 unidade de medida de comprimento$

E como fazer para determinar a medida da distância entre dois pontos que têm abscissas e ordenadas respectivamente diferentes?

Nesses casos, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, assunto que você estudou na unidade 6 deste volume.

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Como exemplo, vamos calcular a medida da distância entre os pontos $ponto E com coordenadas 2 e 2$ e $ponto F com coordenadas 6 e 5$ no plano cartesiano. Para isso, vamos construir inicialmente um plano cartesiano na malha quadriculada, indicar esses pontos e traçar o segmento EF, cuja medida do comprimento é igual à medida da distância entre os pontos E e F.

Note que não é possível contar quantas unidades de comprimento há entre E e F, mas podemos determinar quantas unidades têm a projeção de $\overline{E F}$ no eixo x e no eixo y.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele está marcado um ponto E com coordenadas 2 e 2; e um ponto F com coordenadas 6 e 5. E está traçado um segmento de reta E F.

Indicando no plano cartesiano o ponto G, de forma que $\overline{E G}$ seja paralelo ao eixo x e que $\overline{G F}$ seja paralelo ao eixo y, obtemos o triângulo retângulo EFG, cujos catetos medem 4 e 3 unidades de comprimento.

Assim, para determinar a medida da distância entre E e F, calculamos a medida do comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo EFG usando o teorema de Pitágoras.

${(E F)}^{2} = {(E G)}^{2} + {(G F)}^{2}$

$abre parênteses E F fecha parênteses ao quadrado igual a 4 ao quadrado mais 3 ao quadrado$

$abre parênteses E F fecha parênteses ao quadrado igual a 25$

$E F igual a raiz quadrada de 25$

$E F igual a 5$

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um triângulo retângulo E F G, em que o vértice E tem coordenadas 2 e 2; o vértice F tem coordenadas 6 e 5 e o vértice G tem coordenadas 6 e 2. O ângulo reto está no vértice G. Há uma indicação de distância de E até G com relação ao eixo x indicando o módulo da subtração, 6 menos 2 igual a 4. E uma indicação da distância de F até G em relação ao eixo y, indicando o módulo da subtração 5 menos 2 igual a 3.

Portanto, a medida da distância entre os pontos E e F é 5 u.c.

Questão 1. Apresentamos, anteriormente, um caso em que foi necessário utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano e casos em que o teorema não foi necessário. Explique a um colega por que isso ocorreu.

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Medida da área e do perímetro de figuras planas construídas no plano cartesiano

De acordo com o que foi estudado até agora, vamos determinar a medida do perímetro e a medida da área de polígonos no plano cartesiano.

A seguir, apresentamos um retângulo e um triângulo retângulo no plano cartesiano.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um retângulo A B C D, em que o vértice A tem coordenadas menos 4 e 1; o vértice B tem coordenadas menos 1 e 1; o vértice C tem coordenadas menos 1 e 8; e o vértice D tem coordenadas menos 4 e 8. E há um triângulo E F G, em que o vértice E tem coordenadas 1 e 3; o vértice F tem coordenadas 7 e 3; e o vértice G tem coordenadas 1 e 7.

Atenção!

Note que as coordenadas dos vértices do retângulo são $ponto A com coordenadas menos 4 e 1$ , $ponto B com coordenadas menos 1 e 1$ , $ponto C com coordenadas menos 1 e 8$ e $ponto A com coordenadas menos 4 e 8$ e as coordenadas dos vértices do triângulo são $ponto E com coordenadas 1 e 3$ , $ponto F com coordenadas 7 e 3$ e $ponto g com coordenadas 1 e 7$ .

Para calcular a medida do perímetro do triângulo, por exemplo, vamos determinar inicialmente a medida do comprimento de todos os lados.

$E F igual a módulo de 7 menos 1 fim de módulo igual a 6$

$e g igual a módulo de 7 menos 3 fim de módulo igual a 4$

${(F G)}^{2} = {(E F)}^{2} + {(E G)}^{2}$

$abre parênteses f g fecha parênteses ao quadrado igual a 6 ao quadrado mais 4 ao quadrado$

$abre parênteses f g fecha parênteses ao quadrado igual a 52$

$f g igual a raiz quadrada de 52$

$f g igual a 2 raiz quadrada de 13$

Agora, calculamos a medida do perímetro P.

$P igual a 6 mais 4 mais 2 raiz quadrada de 13 fim de raiz igual a 10 mais 2 raiz quadrada de 13 fim de raiz$

Conhecendo a medida do comprimento dos lados EF e EG, podemos calcular a medida da área A do triângulo retângulo da seguinte maneira:

$a igual a início de fração, numerador: e f vezes e g, denominador: 2, fim de fração igual a início de fração, numerador 6 vezes 4, denominador: 2, fim de fração igual a 12$

Portanto, a medida do perímetro e a medida da área do triângulo são $abre parênteses 10 mais 2 raiz quadrada de 13 fim de raiz fecha parênteses$ u.c. e 12 u.a. (unidades de área), respectivamente.

Questão 2. Utilizando os mesmos procedimentos apresentados, determine em seu caderno a medida da área e a medida do perímetro do retângulo representado no plano cartesiano.

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Ponto médio de um segmento de reta

Analise o que Fábio está falando.

No plano cartesiano a seguir, está representado o segmento AB e seu ponto médio M.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um segmento de reta A B, em que o ponto A tem coordenadas menos 4 e 1; e o ponto B tem coordenadas 8 e 4. No segmento está marcado um ponto M localizado no valor 2 em relação ao eixo x e no valor 2,5 em relação ao eixo y. Está indicado que a distância do ponto A ao ponto B é de 12 unidades em relação ao eixo x; e de 3 unidades em relação ao eixo y. Também está indicado que tanto a distância do ponto A ao ponto M quanto a distância do ponto M ao ponto B é de 6 unidades em relação ao eixo x; e de 1,5 unidade em relação ao eixo y.

Quais são as coordenadas do ponto médio M do segmento AB?

Para responder a essa pergunta, vamos considerar as projeções do segmento AB nos eixos x e y e fazer a seguinte análise.

Em relação ao eixo x, o valor 2 divide a projeção de $\overline{A B}$ em dois segmentos congruentes.
Em relação ao eixo y, o valor 2,5 divide a projeção de $\overline{A B}$ em dois segmentos congruentes.

Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento AB são $ponto m com coordenadas 2 e 2 vírgula 5$ .

Questão 3. No caderno, determine as coordenadas do ponto médio do segmento CD indicado no plano cartesiano a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um segmento de reta C D, em que o ponto C tem coordenadas menos 5 e 6; e o ponto D tem coordenadas 6 e 0.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No plano cartesiano a seguir, foram dispostos alguns pontos.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um ponto A marcado nas coordenadas 4 e 0; um ponto B marcado nas coordenadas 3 e 3; um ponto C marcado nas coordenadas menos 3 e menos 2; um ponto D marcado nas coordenadas menos 4 e 4; e um ponto E marcado nas coordenadas 2 e menos 3.

a) Determine as coordenadas desses pontos.

b) Calcule a medida da distância entre a origem e cada um desses pontos.

2. Calcule a medida do perímetro de cada polígono a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há três polígonos. Um triângulo A B C, em que o vértice A tem coordenadas 1 e 4; o vértice B tem coordenadas 4 e 4; e o vértice C tem coordenadas 4 e 0. Um triângulo D E F, em que o vértice D tem coordenadas menos 4 e 4; o vértice E tem coordenadas menos 4 e menos 2; e o vértice F tem coordenadas menos 1 e 1. E um quadrado G H I J, em que o vértice G tem coordenadas 2 e 1; o vértice H tem coordenadas menos 1 e menos 1; o vértice I tem coordenadas 1 e menos 4; e o vértice J tem coordenadas 4 e menos 2.

3. Sabendo que $coordenadas 2 e 2$ são as coordenadas do ponto médio de $\overline{A B}$ e $ponto B com coordenadas 6 e 5$ , determine a medida do comprimento do segmento $A B$ .

4. A seguir, estão representados dois polígonos no plano cartesiano.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há dois polígonos. Um paralelogramo A B C D, em que o vértice A tem coordenadas menos 4 e 1; o vértice B tem coordenadas 0 e 1; o vértice C tem coordenadas 2 e 4; e o vértice D tem coordenadas menos 2 e 4. E um triângulo E F G, em que o vértice E tem coordenadas 4 e 2; o vértice F tem coordenadas 4 e menos 2; e o vértice G tem coordenadas menos 1 e menos 2.

Calcule:

a) a medida do perímetro de cada polígono.

b) a medida da área de cada polígono.

5. Analise o polígono a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um polígono de 5 lados com vértices A B C D E. O vértice A tem coordenadas menos 3 e 3; o vértice B tem coordenadas 2 e 3; o vértice C tem coordenadas 4 e 1; o vértice D tem coordenadas 2 e menos 2; e o vértice E tem coordenadas menos 3 e menos 2.

Agora, pense em uma estratégia para calcular a medida da área desse polígono e calcule essa medida.

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6. Considere o triângulo $A B C$ a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um triângulo A B C, em que o vértice A tem coordenadas 0 e 1; o vértice B tem coordenadas 2 e 7; e o vértice C tem coordenadas 4 e 1.

a) O triângulo $A B C$ é isósceles?

b) Determine as coordenadas dos pontos $D$ , $E$ e $F$ sabendo que:

$D$ é o ponto médio do lado $\overline{B C}$ .
$E$ é o ponto médio do lado $\overline{A C}$ .
$F$ é o ponto médio do lado $\overline{A B}$ .

c) O triângulo $D E F$ é isósceles?

d) Calcule a medida da área e do perímetro dos triângulos $A B C$ e $D E F$ .

7. Os pontos $ponto A com coordenadas menos 1 e menos 2$ , $ponto B com coordenadas menos 3 e 2$ e $ponto C com coordenadas 1 e 4$ são vértices de um triângulo em um plano cartesiano. Sabendo que esse triângulo é retângulo em B, responda às questões.

a) Esse triângulo é isósceles?

b) Calcule as medidas do perímetro e da área desse triângulo.

8. Se $\overline{A M}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{B C}$ , calcule a medida do comprimento de $\overline{A M}$ .

Atenção!

Lembre-se de que a mediana é o segmento de reta em que uma das extremidades é um vértice do triângulo e a outra é o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Sendo assim, para resolver esse problema, é necessário determinar inicialmente as coordenadas do ponto médio M do lado $\overline{B C}$ e, depois, calcular a medida da distância entre o vértice A do triângulo e o ponto médio do lado $\overline{B C}$ obtido.

Ilustração de um triângulo A B C desenhado sobre um plano cartesiano. O vértice A tem coordenadas menos 1 e 0; o vértice B tem coordenadas 2 e menos 1; e o vértice C tem coordenadas 0 e 3.

9. As localizações das casas de Alice e Bianca foram representadas pelos pontos A e B, respectivamente, no plano cartesiano a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um ponto A marcado nas coordenadas 1 e 5; e um ponto B marcado nas coordenadas 7 e 1.

Se a escola em que elas estudam fica no ponto médio entre suas casas, calcule as coordenadas do ponto que representa a localização da escola nesse plano cartesiano.

10. Construa um plano cartesiano em uma malha quadriculada e elabore o enunciado de um problema que envolva o ponto médio de um segmento. Depois, troque com um colega para que ele o resolva. Por último, juntos, verifiquem se as respostas dos problemas estão corretas.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Alguns pontos foram marcados no plano cartesiano a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele está marcado um ponto A com coordenadas menos 2 e 4; um ponto B com coordenadas 2 e 1; e um ponto C com coordenadas 1 e 7.

Calcule a medida da distância entre:

a) os pontos A e B.

b) os pontos A e C.

2. Determine as coordenadas do ponto médio de cada segmento de reta representado no plano cartesiano a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele estão traçados 4 segmentos de reta. Segmento A B, em que A tem coordenadas menos 5 e menos 1 e B tem coordenadas menos 1 e 3. Segmento C D, em que C tem coordenadas 0 e 5, e D tem coordenadas 2 e menos 1. Segmento E F, em que E tem coordenadas 1 e 4, e F tem coordenadas 5 e 2. E segmento G H, em que G tem coordenadas 4 e 2, e H tem coordenadas 4 e 0.

3. Analise o paralelogramo a seguir.

Ilustração de um plano cartesiano sobre uma malha quadriculada. Nele há um paralelogramo A B C D, em que o vértice A tem coordenadas menos 2 e 1; o vértice B tem coordenadas 0 e 5; o vértice C tem coordenadas 3 e 5; e o vértice D tem coordenadas 1 e 1.

a) Calcule a medida do comprimento das diagonais desse paralelogramo.

b) Calcule a medida da área desse paralelogramo.

4. Determine a medida da distância do ponto $ponto A com coordenadas 3 e 3$ até o ponto:

a) $ponto B maiúsculo com coordenadas 0 e 0$ .

b) $ponto C com coordenadas 0 e menos 1$ .

c) $ponto D com coordenadas 0 e 3$ .

5. Considerando os pontos A, B, C e D da atividade anterior, determine as coordenadas do ponto médio de $\overline{A B}$ , $\overline{A C}$ , $\overline{A D}$ e $\overline{C D}$ .