A noção de função

Em muitas situações do dia a dia, quando relacionamos grandezas, estamos tratando de um conceito importante na Matemática: o conceito de função. Acompanhe alguns exemplos.

Agora, considere a seguinte situação.

O consumo de energia elétrica dos eletrodomésticos é dado, em geral, em quilowatts-hora ($\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}$). O quadro a seguir relaciona duas grandezas: o consumo de um chuveiro (y) e o tempo de uso (x).

Para cada valor que atribuímos para x, obtemos um único valor correspondente para y, pois cada medida de tempo corresponde a um determinado consumo. Desse modo, a situação apresentada caracteriza um exemplo de função.

Dizemos que o consumo de energia elétrica é dado em função da medida do tempo de uso. A correspondência entre as grandezas "tempo" e "consumo de energia elétrica" é expressa pela seguinte sentença matemática.

$y=3,5x$

Essa sentença é chamada lei de formação da função.

Também podemos representar a lei de formação dessa função substituindo a variável dependente y por $f\left(x\right)$, ou seja:

$f\left(x\right)=3,5x$ (lemos: f de x é igual a $3,5x$)

Nesse caso, a função chama-se f.

Podemos utilizar qualquer letra para indicar a função e a variável independente nessa notação. A seguir são apresentados alguns exemplos.

• $g\left(a\right)=2a$
• $h\left(t\right)=5,2t+1$
• $w\left(s\right)=5s+12$

Agora, acompanhe outra situação.

Antônio é vendedor, e seu salário é calculado da seguinte maneira: salário-base de R$ 1.800,00 mais uma comissão de R$ 5,00 para cada peça de roupa vendida. O quadro a seguir apresenta o salário de Antônio de acordo com a quantidade de peças de roupa vendidas.

O salário de Antônio é dado em função da quantidade de peças de roupa vendidas. A lei de formação dessa função é $f\left(p\right)=1.800+5\cdot p$, em que $f\left(p\right)$ indica o salário de Antônio e p, a quantidade de peças de roupa vendidas.

Questão 1. Ao longo dos séculos, o conceito de função evoluiu muito, o que permitiu muitas aplicações da Matemática em outras ciências. Realize uma pesquisa acerca do desenvolvimento dos estudos relacionados à função. Depois, registre em seu caderno as informações mais importantes.

Questão 2. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa com mais informações sobre o uso das funções no cotidiano, anotando aqueles que acharem mais interessantes. Com base nas informações obtidas, escrevam no caderno um texto acerca do assunto.

O conceito de função

No tópico anterior, estudamos a noção de função. Agora, definiremos esse conceito.

Dada uma função f de A em B, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B, contradomínio.

Considere a seguinte situação. A medida do perímetro y de um triângulo equilátero é dada em função da medida do comprimento do seu lado x. A lei de formação dessa função é $y=3x$, e seu domínio é o conjunto dos números reais maiores do que zero, pois não existe medida de comprimento nula ou negativa.

Valor de uma função

Armando escreveu um programa em uma planilha eletrônica. Nele, o usuário insere um número e tem como resultado o dobro desse número. No quadro, são apresentados alguns exemplos.

A lei de formação da função que relaciona o número inserido com o resultado é:

$f\left(x\right)=2x$

Agora, calcularemos o valor da função para x igual a 5, por exemplo. Para isso, substituímos x por 5 na lei de formação, ou seja: $f\left(5\right)=2\cdot 5=10$.

Portanto, o valor dessa função para x igual a 5 é 10, ou seja, ao inserir o número 5 nesse programa, o resultado exibido será 10.

Qual é o valor dessa função para x igual a $\sqrt{3}$? Para responder a essa pergunta, basta substituir x por $\sqrt{3}$ na lei de formação da função.

$f\left(\sqrt{3}\right)=2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Questão 3. Em seu caderno, calcule qual será o resultado apresentado pelo programa caso o número inserido seja:

a) 1.210.

b) $2\sqrt{2}$.

c) $-7,6$.

d) $\pi$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No parque de diversões que Renato frequenta, o ingresso para cada brinquedo custa R$ 10,50. O quadro a seguir apresenta a quantia paga de acordo com algumas quantidades de ingressos comprados.

a) Qual das fórmulas expressa o valor a ser pago por Renato (y) em função da quantidade de ingressos comprados (x)?

$y=10,50\cdot 2x$

$y=10,5\cdot x$

$y=10,50+x$

b) Quantos reais Renato vai pagar se comprar:

I. 7 ingressos?

II. 9 ingressos?

III. 12 ingressos?

IV. 15 ingressos?

c) Certo dia, Renato pagou R$ 52,50 pelos ingressos. Quantos ingressos ele comprou?

2. Escreva no caderno uma fórmula que represente cada situação a seguir.

a) A medida do perímetro (P) do retângulo em função da medida de sua largura (x).

b) A medida da área A do triângulo em função da medida do comprimento de sua base b.

3. Na figura a seguir, as medidas estão indicadas em metros.

a) Escreva no caderno uma fórmula que expresse a medida do perímetro (P) dessa figura em função do valor desconhecido (x).

b) Utilizando a fórmula que você escreveu, determine o perímetro dessa figura quando:

I. $x=2\text{m}$.

II. $x=1,5\text{m}$.

III. $x=2,8\text{m}$.

IV. $x=3\text{m}$.

4. Em uma prova, os pontos obtidos pelo estudante dependem da quantidade de questões que ele acerta. O quadro apresenta algumas pontuações em função da quantidade de acertos.

a) Escreva no caderno a sentença que representa a pontuação obtida (y) em função da quantidade de acertos (x) nessa prova.

b) Tiago acertou 15 questões nessa prova. Quantos pontos ele obteve?

c) Quantos acertos um estudante deve ter para obter 60 pontos nessa prova?

d) Sabendo que a quantidade máxima de pontos dessa prova é 100, qual é a quantidade de questões que ela tem?

5. O quadro a seguir apresenta alguns preços cobrados de acordo com a medida do tempo de permanência de um carro em um estacionamento.

a) Escreva no caderno uma fórmula que represente o preço a pagar (y), em reais, em função da medida do tempo de permanência do carro nesse estacionamento (x), em horas.

b) Renata deixou seu carro por 8 horas nesse estacionamento. Quantos reais ela terá de pagar?

c) Com R$ 14,50, é possível deixar um carro nesse estacionamento por, no máximo, quantas horas?

6. Os alimentos trazem em sua embalagem uma tabela com informações sobre seus nutrientes, chamada tabela nutricional. Analise a seguir algumas informações acerca da medida da massa, em gramas ($\text{g}$), e o valor calórico, em quilocalorias ($\text{kcal}$), em determinada quantidade de um biscoito.

a) Escreva no caderno uma fórmula que represente a medida da massa (m), em gramas, em função da quantidade de biscoitos (b).

b) Escreva no caderno uma fórmula que expresse o valor calórico (c), em quilocalorias, em função da quantidade de biscoitos (b).

c) Quantos gramas há em uma porção de 7 desses biscoitos? E qual é o valor calórico, em quilocalorias, nessa porção?

d) Quantos desses biscoitos há em uma embalagem de $180\text{g}$? E qual é o valor calórico, em quilocalorias, nessa embalagem?

Função afim

Josias trabalha em uma loja de informática, e o seu salário é composto de uma remuneração mensal fixa de R$ 1.280,00 mais R$ 7,12 por hora extra trabalhada.

Podemos expressar o salário mensal de Josias (x) em função da quantidade de horas extras trabalhadas (y).

$y=7,12\cdot x+1.280$

Essa sentença é um exemplo de lei de formação de uma função afim.

A seguir, são apresentados alguns exemplos.

Questão 4. Quais são os coeficientes da função afim definida por $f\left(x\right)=5x$?

Agora, determinaremos o salário de Josias caso ele tenha feito 20 horas extras em um mês. Para isso, substituímos x por 20 na lei de formação da função, ou seja:

$y=7,12\cdot 20+1.280=1.422,4$

Portanto, se Josias fizer 20 horas extras em um mês, seu salário será R$ 1.422,40.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. A seguir, são apresentadas as leis de formação de algumas funções. Copie no caderno aquelas que correspondem a uma função afim.

a) $p=3q$

b) $r=s^3-5$

c) $r=\frac{s+2}{3}$

d) $y=x^2+2$

e) $r=-s$

f) $t=-\frac{1}{2}+u$

8. Escreva no caderno os coeficientes da função definida por:

a) $y=x+5$.

b) $y=-3x+2$.

c) $y=\frac{1}{2}x-4$.

d) $y=7x-2$.

e) $y=-5x$.

f) $y=4x+4$.

9. Considere a função afim definida por $y=8x+3$. Determine o valor de x para que y seja igual a:

a) 10.

b) $-29$.

c) 18.

d) $-15$.

e) $\frac{31}{5}$.

f) $-\frac{1}{3}$.

10. A medida do perímetro (P) de um hexágono regular é dada em função da medida do comprimento (x) de seu lado.

a) Em seu caderno, escreva a lei de formação da função que relaciona a medida do perímetro desse hexágono e a medida do comprimento de seu lado. A função cuja lei de formação você escreveu é afim?

b) Qual é a medida do perímetro de um hexágono regular cujo comprimento dos lados mede $8,3\text{cm}$?

c) Qual é a medida do comprimento de cada lado de um hexágono regular cujo perímetro mede $45\text{cm}$?

11. Você já usou a escala Celsius para medir temperaturas. E a escala Fahrenheit? Ela é usada, geralmente, nos países de língua inglesa e é indicada por $°\text{F}$. Nela, o ponto de fusão da água ($0°\text{C}$) é $32°\text{F}$ e o ponto de ebulição da água ($100°\text{C}$) é $212°\text{F}$.

a) A escala Fahrenheit é dada por uma função afim da escala Celsius. Escreva a lei de formação dessa função.

b) Escreva $35°\text{C}$ em Fahrenheit.

c) Um aumento de 1 grau na escala Fahrenheit equivale a um aumento de quantos graus na escala Celsius?

12. Para fazer uma corrida^✚ em um táxi, são cobrados R$ 4,50 pela bandeirada^✚ mais R$ 2,75 por quilômetro percorrido.

Corrida:

trajeto feito por passageiro em veículo (por exemplo, o táxi) com o devido pagamento ao motorista.^↰

Bandeirada:

quantia fixa que é cobrada em corridas de táxi, independentemente da quantidade de quilômetros percorridos.^↰

a) Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim que represente o valor cobrado pela corrida em função da quantidade de quilômetros percorridos.

b) Qual será o valor cobrado por uma corrida ao serem percorridos:

I. $2\text{km}$?

II. $9,4\text{km}$?

III. $15\text{km}$?

c) Quantos quilômetros foram percorridos se o valor cobrado pela corrida foi:

I. R$ 7,80?

II. R$ 18,25?

III. R$ 43,00?

d) Marcelo tem R$ 60,00 para pagar uma corrida de táxi. Ele tem dinheiro suficiente para pagar uma corrida de $20\text{km}$? Justifique sua resposta.

13. Cada embalagem de certo produto tem $400\text{g}$ de medida de massa. Considerando a quantidade de embalagens como x e a medida da massa total, em gramas, como y, escreva a lei de formação de uma função que representa a medida da massa total em função da quantidade de embalagens.

14. Joice calculou o valor de uma função afim f para $x=1$ e $x=-2$. O quadro a seguir apresenta os valores obtidos por ela.

Qual é o valor da função f quando $x=12$?

15. Certa papelaria utiliza o seguinte quadro de preços.

a) Considerando x a quantidade de folhas a serem impressas e y o valor total a ser pago, escreva a lei de formação de uma função que representa o valor total da impressão e encadernação de até 100 folhas. Faça o mesmo para a impressão e encadernação de 101 a 200 folhas.

b) Qual é o preço para imprimir e encadernar 83 folhas? E 145 folhas?

Gráfico de uma função afim

Em uma função, ao atribuirmos valores para x, obtemos um único valor correspondente para y. Ao marcarmos os pontos $\left(x,y\right)$ obtidos no plano cartesiano, obtemos um conjunto de pontos chamado gráfico da função.

Considere, por exemplo, a função afim definida por $y=2x+1$. Vamos construir o gráfico dessa função. Para isso, inicialmente, atribuímos valores para x e determinamos o valor correspondente para y. Em seguida, marcamos os pontos $\left(x,y\right)$ obtidos no plano cartesiano.

Como x é um número real, podemos atribuir infinitos valores para x, obtendo, para cada um deles, um único valor de y. Assim, há infinitos pontos entre os já marcados no plano cartesiano.

O gráfico da função é o conjunto de todos os pontos $\left(x,y\right)$, com x real e $y=2x+1$, conforme apresentado a seguir.

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, para construí-lo basta marcar dois de seus pontos em um plano cartesiano e depois traçar a reta que passa por esses pontos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Jonas tem uma mola que se alonga de acordo com a medida da massa do corpo que é pendurado nela. Com essa mola, ele fez um experimento e pendurou alguns corpos, com diferentes medidas de massa, um de cada vez, e registrou o alongamento da mola.

No gráfico, está representado o alongamento dessa mola, em centímetros, em função da medida da massa do corpo pendurado, em quilogramas.

a) Qual foi o alongamento da mola quando Jonas pendurou nela um corpo com massa medindo $2\text{kg}$?

b) Qual é a medida da massa do corpo que fez a mola alongar $6\text{cm}$?

c) Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim que permita calcular o alongamento da mola (y), em centímetros, em função da medida da massa do corpo pendurado (x), em quilogramas.

d) De acordo com a lei de formação que você escreveu, calcule qual será o alongamento da mola se Jonas pendurar nela um corpo de:

$3\text{kg}$.

$4,5\text{kg}$.

$5,2\text{kg}$.

e) Jonas pendurou um corpo nessa mola e o alongamento foi de $8,55\text{cm}$. Qual é a medida da massa desse corpo?

17. Considere as seguintes leis de formação que expressam função afim.

A.$y=2x+4$

B.$y=x+2$

C.$y=-x+3$

Associe cada uma dessas leis aos gráficos apresentados a seguir. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

1.

2.

3.

18. Construa, em um plano cartesiano, os gráficos das funções cujas leis de formação são apresentadas a seguir.

a) $y=x$

b) $y=-x+7$

c) $y=-5x+1$

d) $y=-x-8$

e) $y=-3x+4$

f) $y=x+\frac{1}{2}$

19. Escreva no caderno a lei de formação da função cujo gráfico está apresentado a seguir.

20. A seguir, é apresentado o gráfico de uma função afim que relaciona a medida da distância percorrida (y), em quilômetros, e a medida do tempo (x), em horas.

a) Escreva no caderno a lei de formação dessa função.

b) Escreva no caderno uma situação que pode ser relacionada a essa função.

Função crescente e função decrescente

Considere o gráfico da função afim definida por $y=3x+1$.

Questão 5. Nessa função, conforme aumentamos os valores de x, o que ocorre com os valores correspondentes de y?

Questão 6. O coeficiente a da função é positivo ou negativo?

Agora, considere o gráfico da função afim definida por $y=-2x+1$.

Questão 7. Nessa função, conforme aumentamos os valores de x, o que ocorre com os valores correspondentes de y?

Questão 8. O coeficiente a da função é positivo ou negativo?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. Em cada item, é dada a lei de formação de uma função afim. No caderno, classifique cada função em crescente ou decrescente.

a) $y=-2x+1$

b) $y=x-8$

c) $y=5-3x$

d) $y=15-4x$

e) $y=5x-12$

f) $y=8x$

22. Em cada item, estão representados alguns valores de x e y de uma função afim.

a) No caderno, associe cada gráfico a seguir a uma dessas funções.

b) Escreva no caderno a lei de formação da função cujos gráficos foram apresentados no item anterior.

c) Classifique cada função cujo gráfico foi apresentado no item a em crescente ou decrescente.

23. Em cada plano cartesiano a seguir está representado o gráfico de uma função afim.

a) Classifique cada função afim em crescente ou decrescente.

b) Escreva a lei de formação de cada uma das funções cujos gráficos foram apresentados.

24. Em cada item a seguir, é apresentada a lei de formação de uma função afim de variáveis x e y. Determine os valores de k para os quais cada função afim seja decrescente.

a) $y=\left(k+3\right)x-9$

b) $y=\left(5k-25\right)x-7$

c) $y=\left(-3k+\frac{1}{2}\right)x+5$

d) $y=\left(\frac{4}{2}-2k\right)x+2$

e) $y=\frac{7}{3}kx+2x$

f) $y=\left(-\frac{3}{2}-8k\right)x+2$

g) $y=\left(7-k\right)x+11$

h) $y=\sqrt{2}kx-\frac{1}{2}x+13$

i) $y=\left(3+k\right)x-1$

j) $y=\left(\frac{3}{2}+5k\right)x$

25. Considerando as funções cujas leis de formação foram dadas na atividade anterior, determine os valores de k em cada uma delas a fim de que seja crescente.

26. Classifique em crescente ou decrescente a função afim cujo gráfico passa pelos pontos:

a) $\left(1,1\right)$ e $\left(3,2\right)$.

b) $\left(-3,4\right)$ e $\left(-7,6\right)$.

c) $\left(-2,-1\right)$ e $\left(3,0\right)$.

d) $\left(0,5\right)$ e $\left(8,20\right)$.

e) $\left(5,7\right)$ e $\left(1,0\right)$.

f) $\left(15,3\right)$ e $\left(25,5\right)$.

g) $\left(-12,6\right)$ e $\left(2,18\right)$.

h) $\left(5,-2\right)$ e $\left(8,-6\right)$.

i) $\left(0,0\right)$ e $\left(-1,1\right)$.

j) $\left(-1,2\right)$ e $\left(-2,1\right)$.

27. Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim crescente, na forma $y=ax+b$, com $-3<a<5$ e $-1<b<4$. Depois, construa seu gráfico em um plano cartesiano.

28. O gráfico de uma função afim passa pelos pontos $\left(m,2\right)$ e $\left(2,n\right)$. Determine valores distintos para m e n, de modo que essa função seja decrescente.

Interseção com o eixo y

O gráfico de uma função afim definida por $y=ax+b$ intersecta o eixo y quando $x=0$. Nesse caso, para determinar as coordenadas do ponto de interseção com esse eixo, basta substituir x por 0 na lei de formação da função, ou seja:

$y=a\cdot 0+b\Rightarrow y=b$

Portanto, o gráfico de uma função afim intersecta o eixo y no ponto $\left(0,b\right)$.

Acompanhe alguns exemplos.

Interseção com o eixo x e zero da função afim

O gráfico de uma função afim definida por $y=ax+b$ intersecta o eixo x no ponto em que $y=0$. Assim:

$ax+b=0$

$x=-\frac{b}{a}$

Portanto, o gráfico de uma função afim intersecta o eixo x no ponto $\left(-\frac{b}{a},0\right)$.

Considere, por exemplo, a função definida por $y=2x-4$. Seu gráfico intersecta o eixo x no ponto $\left(2,0\right)$, pois:

$2x-4=0$

$2x=4$

$x=2$

Consequentemente, o zero dessa função é $x=2$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

29. Considere os seguintes gráficos de funções afins.

a) Quais são as coordenadas do ponto no qual cada gráfico intersecta o eixo y?

b) Qual é o zero das funções cujos gráficos foram apresentados?

c) Quais são as coordenadas do ponto no qual cada gráfico intersecta o eixo x?

d) Qual dos gráficos representa a função afim dada por $y=\frac{3x}{4}-3$?

30. Em cada item, é apresentada a lei de formação de uma função afim. Escreva no caderno as coordenadas do ponto em que o gráfico dessas funções intersecta o eixo y.

a) $y=5x+7$

b) $y=-3x-11$

c) $y=\frac{x}{3}+\frac{1}{5}$

d) $y=-2x+1$

e) $y=4x-3$

f) $y=-x+2$

g) $y=\frac{x}{2}$

h) $y=-2x$

31. Determine o zero da função afim definida por:

a) $y=x-8$.

b) $y=3-4x$.

c) $y=-x+1$.

d) $y=7x+1$.

e) $y=\frac{2}{3}x+4$.

f) $y=\frac{1}{4}x-3$.

32. Considere a função afim definida por $y=-2x+3$.

a) Construa o gráfico dessa função em um plano cartesiano.

b) Quais das afirmativas a seguir são verdadeiras?

I. Essa função é crescente.

II. O gráfico dessa função intersecta o eixo y no ponto $\left(0,3\right)$.

III. O zero dessa função é $-\frac{3}{2}$.

IV. O gráfico dessa função intersecta o eixo x no ponto $\left(\frac{3}{2},0\right)$.

c) Reescreva no caderno as afirmativas falsas do item anterior, corrigindo-as.

33. Faça o que se pede.

a) Escreva no caderno a lei de formação de uma função afim, cujo gráfico intersecta o eixo y no ponto $\left(0,6\right)$ e o eixo x no ponto $\left(5,0\right)$.

b) Em um plano cartesiano, construa o gráfico dessa função.

Função quadrática

Pedro quer fazer uma horta para plantar espinafre e cenoura.

O esquema representa parte do terreno que ele reservou para essa horta.

Podemos expressar a medida da área total dessa horta (y) em função de x.

A área destinada para o plantio de cenoura tem o formato de um quadrado cujo comprimento do lado mede x. Calculando a medida da área $A_q$ desse quadrado, temos:

$A_q=x\cdot x=x^2$

A área destinada ao plantio de espinafre tem o formato de um retângulo cujas dimensões medem $3\text{m}$ e $\left(x+3\text{m}\right)$. Calculando a medida da área $A_r$ desse retângulo, temos:

$A_r=3\cdot \left(x+3\right)=3x+9$

Como queremos obter a medida da área total da horta, adicionamos as medidas obtidas.

$y=x^2+3x+9$

Essa sentença é um exemplo de lei de formação de uma função quadrática.

Acompanhe alguns exemplos.

• A função definida por $y=x^2-x+3$ é uma função quadrática. Nesse caso, temos $a=1$, $b=-1$ e $c=3$.
• A função dada por $y=-2x^2+5x$ é uma função quadrática. Nesse caso, temos $a=-2$, $b=5$ e $c=0$.
• A função definida por $y=x^2-1$ é uma função quadrática. Nesse caso, temos $a=1$, $b=0$ e $c=-1$.

Agora, determinaremos a medida da área total da horta para $x=2\text{m}$, por exemplo. Para isso, substituímos x por 2 na lei de formação obtida.

$y=2^2+3\cdot 2+9$

$y=4+6+9$

$y=19$

Portanto, a área total da horta para $x=2\text{m}$ mede $19{\text{m}}^2$.

Questão 9. Em seu caderno, determine a medida da área dessa horta para:

a) $x=5\text{m}$.

b) $x=3,2\text{m}$.

c) $x=5,1\text{m}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Escreva no caderno a lei de formação de uma função quadrática dada por $y=a{x}^2+bx+c$, sabendo que:

a) $a=-2$, $b=5$ e $c=15$.

b) $a=8$, $b=\frac{1}{2}$ e $c=-3$.

c) $a=14$, $b=5$ e $c=12$.

d) $a=-\frac{1}{3}$, $b=9$ e $c=6$.

e) $a=\frac{5}{3}$, $b=-4$ e $c=0$.

f) $a=\frac{1}{7}$, $b=0$ e $c=7$.

g) $a=-2$, $b=\frac{3}{4}$ e $c=0$.

h) $a=\frac{3}{5}$, $b=0$ e $c=-\frac{1}{5}$.

35. Considere a função quadrática de variáveis m e y dada por $y=m^2+m-2$. Qual é o valor de y quando:

a) $m=10$?

b) $m=0$?

c) $m=18$?

d) $m=-8$?

e) $m=\frac{2}{3}$?

36. Determine os valores de x na função quadrática dada por $y=3x^2-6x-3$, quando $y=-3$.

37. Em cada item, é apresentada a lei de formação de uma função quadrática de variáveis x e y. Para cada uma delas, determine quais valores t não pode assumir.

a) $y=\left(t-5\right)x^2$

b) $y=4t{x}^2-x$

c) $y=\left(-t+1\right)x^2-x$

d) $y=\left(\frac{1}{6}+t\right)x^2-x$

e) $y=\left(3t+2\right)x^2-7x+4$

f) $y=\left(t^2-9\right)x^2-3x$

38. Escreva no caderno uma fórmula para representar a medida da área A de cada figura em função de x.

39. Para a realização de um torneio de voleibol, um terreno retangular foi utilizado para a construção da quadra e das demais instalações.

No esquema a seguir, estão representados esse terreno e a região destinada à quadra.

a) Escreva no caderno uma fórmula que expresse:

a medida da área do terreno (y) em função da medida x;

a medida da área da quadra (z) em função da medida x.

b) Qual é a medida da área total do terreno para $x=9\text{m}$? E a medida da área da quadra?

40. O custo y, em reais, de produção de um lote de x peças é dado por $y=200+0,01x+0,001x^2$. Qual é a diferença entre o custo de produção de um lote de 1.000 peças e de um lote de 998 peças?

a) R$ 1.210,00

b) R$ 4,20

c) R$ 1.652,00

d) R$ 444,20

e) R$ 4,02

41. Considere o retângulo a seguir.

a) Escreva no caderno uma sentença matemática que expresse a medida da área desse retângulo (y) em função de x.

b) Determine o valor de y para $x=4$.

42. A medida da área (y) da figura a seguir é dada em função de x.

a) Escreva no caderno a lei de formação dessa função.

b) Determine o valor de y para $x=2\text{m}$.

43. Em um pedaço de papel, Armando escreveu a sequência dos números ímpares positivos em ordem crescente.

A soma dos n primeiros termos dessa sequência é dada por $y=n^2$. A soma dos 3 primeiros termos, por exemplo, é 9, pois $3^2=9$.

a) Qual é a soma dos 15 primeiros termos dessa sequência? E dos 50 primeiros?

b) Armando adicionou certa quantidade de termos a essa sequência e obteve 144 como resultado. Quantos termos ele adicionou?

Gráfico de uma função quadrática

Estudamos anteriormente os procedimentos de construção do gráfico de uma função afim, que é uma reta. Agora, vamos construir o gráfico de uma função quadrática e, com base nela, identificar algumas de suas características.

Considere a função quadrática definida por $y=x^2+x$. Para construir seu gráfico, podemos realizar os seguintes passos.

1º. Atribuímos alguns valores para x.

2º. Substituímos os valores de x na lei de formação da função e determinamos os valores correspondentes de y. Determinamos, assim, alguns pares ordenados $\left(x,y\right)$.

3º. Para cada par ordenado obtido, representamos um ponto no plano cartesiano.

4º. Como x é um número real, podemos atribuir infinitos valores para x, obtendo, para cada um deles, um único valor de y. Assim, há infinitos pontos entre os já marcados no plano cartesiano. O gráfico da função é o conjunto de todos os pontos $\left(x,y\right)$, com x real e $y=x^2+x$, conforme apresentado a seguir.

Concavidade da parábola

Conhecendo algumas características do gráfico da função quadrática, podemos construí-lo com mais precisão.

O coeficiente a, por exemplo, determina se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Se o coeficiente a é positivo $\left(a>0\right)$, a parábola tem concavidade voltada para cima.

Se o coeficiente a é negativo $\left(a<0\right)$, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Na próxima página, apresentaremos o gráfico das funções quadráticas definidas por $y=x^2+2x$ e $y=-x^2+3x$.

Note que o gráfico da função definida por:

• $y=x^2+2x$ tem concavidade voltada para cima, pois o coeficiente a é positivo $\left(a>0\right)$;
• $y=-x^2+3x$ tem concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente a é negativo $\left(a<0\right)$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

44. Escreva no caderno se o gráfico das funções cujas leis de formação são apresentadas a seguir têm concavidade voltada para cima ou para baixo.

a) $y=x^2+14x-62$

b) $y=-x^2+4x+9$

c) $y=-x^2+7x$

d) $y=5x^2+15$

e) $y=4x^2-x+3$

f) $y=-12x^2$

45. Em uma partida de futebol, Gabriel fez um lançamento no qual a trajetória da bola descreveu uma parábola. Essa trajetória tem a medida de sua altura h (em metros) dada em função da medida do tempo t (em segundos) decorrido após o chute.

Analise a trajetória da bola e responda às questões.

a) Qual foi a medida da altura máxima atingida pela bola?

b) Quantos segundos depois do lançamento a bola tocou o solo novamente?

c) Sabendo que a trajetória da bola pode ser descrita por $h=-5t^2+20t$, determine a medida da altura atingida pela bola, após o lançamento, depois de:

I. $1\mathrm{s}$.

II. $2,5\mathrm{s}$.

III. $1,5\mathrm{s}$.

d) Em quantos segundos após o lançamento a bola atingiu a altura máxima?

46. Considere os gráficos a seguir.

Agora, relacione os gráficos à lei de formação da função que eles representam. Para isso, escreva o algarismo romano e a letra correspondentes.

A. $y=x^2-2x+4$

B. $y=-x^2+2x+1$

C. $y=-x^2-2x+3$

47. Considere as funções quadráticas dadas por $y=x^2+1$ e $y=-x^2-1$.

a) No GeoGebra, construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos dessas funções.

b) A parábola de qual dessas funções tem concavidade voltada para baixo?

48. Em cada item está representado o gráfico de uma função quadrática. Qual é o sinal do coeficiente a dessas funções?

49. Considere as funções quadráticas, de variáveis x e y, cujas leis de formação estão apresentadas.

a) $y=\left(t-4\right)x^2-5x-2$

b) $y=\left(7t+42\right)x^2+2x-1$

c) $y=\left(2t-\frac{1}{2}\right)x^2-x+23$

d) $y=\left(35-5t\right)x^2-2$

e) $y=\left(-2t-8\right)x^2+3x$

f) $y=\left(9+3t\right)x^2-2x-8$

g) $y=4+2x-\left(t-4\right)x^2$

Para quais valores de t o gráfico de cada uma dessas funções tem concavidade voltada para cima? E para baixo?

50. Construa o gráfico da função quadrática definida por:

a) $y=x^2+1$.

b) $y=x^2-2x$.

c) $y=2x^2+5x$.

d) $y=-x^2+3x+4$.

e) $y=-2x^2+2x$.

f) $-5x^2$.

g) $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}$.

h) $y=4x^2$.

i) $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{4}{3}$.

j) $y=-5x^2-10x$.

k) $y=-x^2+2x$.

l) $y=x^2+2x-2$.

51. Com o GeoGebra, construa o gráfico da função quadrática definida por:

a) $y=-3x^2+1$.

b) $y=2x^2+3x+5$.

c) $y=-x^2-4x+1$.

d) $y=4x^2+8x$.

e) $y=5x^2-11$.

f) $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

g) $y=-3x^2-7x+4$.

h) $y=\frac{1}{3}{x}^2-3x-3$.

i) $y=2x^2-8x+10$.

j) $y=-\frac{1}{8}{x}^2+x+10$.

k) $y=7x^2+7x$.

l) $y=-\frac{4}{5}{x}^2+\frac{3}{16}x-\frac{11}{7}$.

Interseção com o eixo y

O gráfico de uma função quadrática definida por $y=a{x}^2+bx+c$ intersecta o eixo y quando $x=0$. Nesse caso, para determinar as coordenadas do ponto de interseção com esse eixo, basta substituir x por 0 na lei de formação da função, ou seja:

$y=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=c$

Portanto, o gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo y no ponto $\left(0,c\right)$.

Acompanhe alguns exemplos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

52. Analise os gráficos das funções quadráticas dadas por $y_1=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ e $y_2=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$.

Qual dos itens apresenta informações verdadeiras?

a) $a_1\cdot a_2>0$ e $c_1\cdot c_2<0$

b) $a_1\cdot c_2>0$ e $a_2\cdot c_1>0$

c) $a_1\cdot a_2>0$ e $c_1\cdot c_2>0$

53. Considere as funções quadráticas definidas pelas leis de formação a seguir.

a) Quais dessas funções têm o gráfico com a concavidade voltada para cima?

b) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico de cada uma dessas funções intersecta o eixo y?

c) Relacione no caderno cada função a um dos gráficos a seguir.

54. Qual é o ponto de interseção entre o eixo y e o gráfico da função quadrática definida por:

a) $y=\frac{5}{2}{x}^2+8x-3$?

b) $y=-5x^2-2x+4$?

c) $y=36x^2+12x+1$?

d) $y=\frac{x^2}{4}-8x+64$?

e) $y=\frac{x^2}{9}-\frac{1}{4}$?

f) $y=\frac{x^2}{6}-\frac{3}{10}x$?

Interseção com o eixo x e zeros da função quadrática

O gráfico de uma função quadrática, na forma $y=a{x}^2+bx+c$, intersecta o eixo x nos pontos em que $y=0$, ou seja, quando:

$a{x}^2+bx+c=0$

A equação $a{x}^2+bx+c=0$ é uma equação do 2º grau com incógnita x e coeficientes reais a, b e c, tal que $a\ne 0$. As raízes reais dessa equação são:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

com $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Desse modo, o gráfico da função quadrática definida por $y=a{x}^2+bx+c$ intersecta o eixo x nos pontos $\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)$ e $\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)$.

Considere, por exemplo, a função quadrática definida por $y=x^2+x-2$. Determinaremos as coordenadas dos pontos em que o gráfico dessa função intersecta o eixo x. Para isso, resolvemos a equação $x^2+x-2=0$.

Portanto, o gráfico dessa função intersecta o eixo x nos pontos $\left(-2,0\right)$ e $\left(1,0\right)$. Então, $-2$ e 1 são os zeros dessa função.

Na unidade 5 deste livro, você viu que uma equação do 2º grau pode ter duas raízes reais diferentes, ter duas raízes reais iguais ou não ter raízes reais, dependendo do valor de seu discriminante. Assim, como os zeros de uma função quadrática são as raízes de uma equação do 2º grau, essa função também pode ter dois zeros reais diferentes, ter dois zeros reais iguais ou não ter zeros reais.

• Se $\mathrm{\Delta }$ é um número positivo, ou seja, $\mathrm{\Delta }>0$, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos e a função tem dois zeros reais diferentes.
• Se $\mathrm{\Delta }$ é igual a zero, ou seja, $\mathrm{\Delta }=0$, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto e a função tem dois zeros reais iguais.
• Se $\mathrm{\Delta }$ é um número negativo, ou seja, $\mathrm{\Delta }<0$, a parábola não intersecta o eixo x e a função não tem zeros reais.

De acordo com essas características, podemos organizar o seguinte quadro.

Características da função quadrática

$\mathit{a}\mathbf{>}\mathbf{0}$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{>}0$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{=}0$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{<}0$
$\mathit{a}\mathbf{<}\mathbf{0}$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{>}0$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{=}0$	$\mathrm{\Delta }\mathbf{<}0$

Acompanhe mais dois exemplos de funções quadráticas: a primeira não tem zeros reais e a segunda tem dois zeros reais iguais.

Exemplo 1. Função quadrática definida por $y=-x^2-x-1$. Nesse caso, temos:

Portanto, a parábola não intersecta o eixo x.

Exemplo 2. Função quadrática definida por $y=-x^2+4x-4$. Nesse caso, temos:

Portanto, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.

Conhecendo algumas informações do gráfico de uma função quadrática, podemos determinar sua lei de formação. Analise, por exemplo, as informações a seguir.

Analisando essas informações, concluímos que:

• $c=3$, pois a interseção entre o gráfico e o eixo y ocorre em $\left(0,3\right)$;
• $x=1$ e $x=3$ são os zeros da função, pois a interseção entre o gráfico e o eixo x ocorre em $\left(1,0\right)$ e $\left(3,0\right)$.

I. Substituindo x por 1 e c por 3 na equação $a{x}^2+bx+c=0$, obtemos:

$a{x}^2+bx+c=0$

$a\cdot 1^2+b\cdot 1+3=0$

$a+b+3=0$

II. Agora, substituindo x por 3 e c por 3 na mesma equação, obtemos:

$a{x}^2+bx+c=0$

$a\cdot 3^2+b\cdot 3+3=0$

$9a+3b+3=0$

Com as equações obtidas em I e II, escrevemos e resolvemos o seguinte sistema de equações, obtendo, assim, os valores de a e b.

Substituindo a por 1 em $a+b+3=0$, obtemos o valor de b.

$a+b+3=0\Rightarrow 1+b+3=0\Rightarrow b=-4$

Logo, $a=1$, $b=-4$ e $c=3$. Portanto, a lei de formação dessa função é $y=x^2-4x+3$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

55. Determine, se existirem, os zeros da função quadrática definida por:

a) $y=x^2-6x+9$.

b) $y=-4x^2+2x+2$.

c) $y=-6x^2+2x+4$.

d) $y=-x^2+x+2$.

e) $y=-x^2+2x-2$.

f) $y=x^2+x-2$.

g) $y=-2x^2-2x+4$.

h) $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1$.

i) $y=x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}$.

j) $y=x^2-3x-10$.

k) $y=x^2+2x-3$.

56. Considere o gráfico da função quadrática apresentado a seguir.

a) O coeficiente a dessa função é maior ou menor do que 0?

b) Qual é o coeficiente c dessa função?

c) Quais são os zeros dessa função?

d) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo x?

e) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo y?

57. Escreva no caderno se cada função cujas leis de formação são apresentadas a seguir tem dois zeros reais distintos, dois zeros reais iguais ou não tem zeros reais.

a) $y=-x^2-5x+24$

b) $y=-x^2+6x-9$

c) $y=-x^2-4x-5$

d) $y=2x^2+4x+2$

e) $y=x^2-6x+8$

f) $y=x^2+4x+6$

58. Analise o gráfico da função quadrática apresentado em cada um dos itens. Em seguida, escreva no caderno a lei de formação dessas funções.

A.

B.

Coordenadas do vértice da parábola

Como estudamos anteriormente, a parábola tem um eixo de simetria e seu vértice $V\left(x_V,y_V\right)$ é o ponto em que esse eixo intersecta a parábola.

No gráfico da função definida por $y=x^2$, estão destacados alguns pontos. Note que $A\left(-1,1\right)$ e $A’\left(1,1\right)$ são pontos do gráfico da função que têm ordenadas iguais. Quando isso ocorre, dizemos que os pontos são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.

Questão 10. Os pontos B e B' são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola? Justifique sua resposta.

Como o vértice da parábola pertence ao eixo de simetria, sua abscissa pode ser calculada pela média aritmética das abscissas de quaisquer dois pontos simétricos da parábola em relação ao eixo de simetria. No caso de A e A', temos:

$\frac{-1+1}{2}=0$

Para obter a ordenada do vértice da parábola, substituímos x por 0 na lei de formação da função. Assim:

$y_V=0^2=0$

Portanto, o vértice da parábola é $V\left(0,0\right)$.

Considerando uma função quadrática definida por $y=a{x}^2+bx+c$, podemos determinar algebricamente a abscissa $x_V$ do vértice da parábola com base em seus coeficientes. Para isso, consideraremos os pontos $A\left(x_V-1,y_1\right)$ e $A’\left(x_V+1,y_1\right)$ pertencentes à parábola.

Substituindo x por $x_V-1$ e por $x_V+1$ na lei de formação da função, temos:

$y_1=a{\left(x_V-1\right)}^2+b\left(x_V-1\right)+c$

$y_1=a{\left(x_V+1\right)}^2+b\left(x_V+1\right)+c$

Assim:

$\underset{y_1}{\underbrace{a{\left(x_V-1\right)}^2+b\left(x_V-1\right)+c}}=\underset{y_1}{\underbrace{a{\left(x_V+1\right)}^2+b\left(x_V+1\right)+c}}$

Desenvolvendo a equação, obtemos:

$a\left(x_V^2-2x_V+1\right)+b\left(x_V-1\right)+c$ $=a\left(x_V^2+2x_V+1\right)+b\left(x_V+1\right)+c$

$\cancel{a{x}_v^2}-2a{x}_V+\cancel{a}+\cancel{b{x}_v}-b+\cancel{c}$ $=\cancel{a{x}_v^2}+2a{x}_V+\cancel{a}+\cancel{b{x}_v}+b+\cancel{c}$

$-2a{x}_V-b=2a{x}_V+b$

$-4a{x}_V=2b$

$x_V=-\frac{b}{2a}$

Para obter a ordenada $y_V$ do vértice, substituímos x por $-\frac{b}{2a}$ na lei de formação da função. Assim:

$y_V=a{\left(-\frac{b}{2a}\right)}^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$

$y_V=a\cdot \frac{b^2}{4a^2}-b\cdot \frac{b}{2a}+c$

$y_V=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c$

$y_V=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

$y_V=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$

Agora, determinaremos o vértice da parábola correspondente à função quadrática definida por $y=3x^2-6x+7$. Para isso, fazemos:

$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{\left(-6\right)}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$

$y_V=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=-\frac{{\left(-6\right)}^2-4\cdot 3\cdot 7}{4\cdot 3}=-\frac{36-84}{12}=4$

Portanto, o vértice dessa parábola é $V\left(1,4\right)$.