Resoluções - parte 4

Unidade 7

Estatística e probabilidade

Atividades

1. a ) O grupo que apresenta a maior quantidade de espécies em extinção é o dos peixes, com 409 espécies ameaçadas. O grupo que apresenta a menor quantidade de espécies em extinção é o dos anfíbios, com 41 espécies ameaçadas.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que sim, pois a preservação de animais é importante para manter o equilíbrio da natureza.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam, após pesquisar, quais animais, dentro dos grupos, estão correndo risco de extinção e entendam que isso ocorre em razão da destruição dos hábitats naturais, das mudanças climáticas, da poluição e da caça predatória. Além disso, espera-se que reconheçam a importância de preservar os animais em risco pois, assim, mantém-se o equilíbrio de ecossistemas. Quanto às atitudes que podem ser tomadas, espera-se que eles compreendam que é possível proteger animais ameaçados respeitando locais de proteção, conscientizando as pessoas sobre a importância da preservação, evitando a poluição e o desmatamento, entre outras ações.

d) Resposta pessoal. Com essa questão, espera-se que os estudantes se conscientizem da importância de preservar os animais em extinção.

e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apresentem fotos do animal escolhido e comentem sobre a importância de preservá-lo.

2. a ) Do total de entrevistados, 62,6% sempre reciclam e 23% reciclam de vez em quando.

b) I. $500\cdot 0,626=313$

Portanto, 313 pessoas sempre reciclam.

II. $500\cdot 0,144=72$

Portanto, 72 pessoas não reciclam.

III. $500\cdot 0,23=115$

Portanto, 115 pessoas reciclam de vez em quando.

3. a ) A ação teve o maior preço no dia 5/5 e o menor preço ocorreu no dia 7/5.

b) De 2/5 a 4/5, o preço da ação aumentou. Para determinar em quantos reais o preço aumentou, fazemos: $12,93-12,3=0,63$

Portanto, de 2/5 a 4/5, o preço da ação aumentou R$ 0,63.

c) Para calcular a variação de preço entre os dias 4/5 e 7/5, fazemos: $11,14-12,93=-1,79$

Portanto, a variação de preço foi de $-\text{R\$}1,79$.

4. a ) Sugestão de resposta: o gráfico de linhas, pois ele apresenta a evolução no consumo no período desejado por Amanda.

b) I. O consumo de energia na casa de Amanda aumentou

de novembro para dezembro de 2023.

II. O maior consumo de energia elétrica ocorreu no mês de julho.

5. Sugestões de resposta: Situação A: gráfico de setores, pois permite a comparação dos dados com o todo; Situação B: gráfico de linhas, pois possibilita o acompanhamento da evolução do preço do produto; Situação C: gráfico de colunas, pois propicia a comparação dos dados entre si.

Questão 1. Para calcular a medida da massa média dos jogadores do time B, fazemos:

$Ma=\frac{42,9+45,1+48,4}{14}+$

$+\frac{60,5+43,1+45,3+49,4}{14}+$

$+\frac{61,4+44,3+46,1+49,4}{14}+$

$+\frac{44,3+48,3+60,3}{14}=49,2$

Portanto, a massa média dos jogadores do time B mede $49,2\text{kg}$.

Questão 2. A mediana das medidas de massa dos jogadores do time B é dada por:

$Md=\frac{46,1+48,3}{2}=47,2$

Portanto, a mediana das medidas de massa dos jogadores do time B é $47,2\text{kg}$.

Atividades

6. a ) Para calcular a média de visitas por dia no período, fazemos:

$\frac{1.825.145}{2.922}\simeq 625$

Portanto, esse site recebeu, em média, aproximadamente 625 visitas diárias nesse período.

b) Para calcular a média de visitas por mês no período, inicialmente, convertemos 2.922 dias em meses. Para isso, fazemos:

$\frac{2.922}{30}\simeq 97,4$

Agora, calculamos a média de visitas por mês, ou seja:

$\frac{1.825.145}{97,4}\simeq 18.739$

Portanto, esse site recebeu, em média, aproximadamente 18.739 visitas mensais nesse período.

c) Para calcular a média de visitas por ano no período, inicialmente, convertemos 2.922 dias em anos. Para isso, fazemos:

$\frac{2.922}{365}\simeq 8$

Agora, calculamos a média de visitas por ano, ou seja:

$\frac{1.825.145}{8}\simeq 227.987$

Portanto, esse site recebeu, em média, aproximadamente 227.987 anuais nesse período.

7. a ) A maior quantidade exportada foi em maio e a menor, em dezembro.

b) No mês de janeiro, a exportação foi menor do que a de fevereiro. Para calcular a diferença entre as quantidades exportadas, fazemos:

$15.488.310-13.662.850=1.825.460$

Portanto, a diferença entre as quantidades de mel exportadas entre os meses de janeiro e fevereiro é de $1.825.460\text{kg}$.

c) Para calcular a média anual de exportação de mel, devemos adicionar os valores de todos os meses e dividir a soma obtida por 12, que é a quantidade de meses considerada. Assim:

$M{a}_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}}=\frac{13.662.850+...+6.325.436}{12}$

$M{a}_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}}=13.611.757,83$

Portanto, em média, foram exportados mensalmente $13.611.757\text{,83 kg}$ de mel no Brasil.

d) A quantidade de mel exportada ficou abaixo da quantidade média exportada nos meses de julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro.

e) Para calcular a mediana dos valores apresentados no gráfico, inicialmente, devemos organizá-los em rol. Nesse caso, obtemos:

Os valores centrais são aqueles correspondentes aos meses de janeiro e setembro. Desse modo:

$Md=\frac{13.662.850+10.753.433}{2}=\text{1}2.208.141\text{,}5$

Portanto, a mediana dos valores apresentados é $12.208.\mathrm{141,5}\text{kg}$.

f) A exportação de mel entre os meses de setembro e dezembro de 2021 diminuiu. A exportação de mel entre os meses de março a maio de 2021 aumentou.

8. a ) Para calcular a quantidade média de pessoas morando em cada casa, fazemos:

$Ma=\frac{3+7+2+4+6+...+2+6+3+2+5}{40}=4,45$

Portanto, moram, em média, 4 pessoas por residência.

b) Sim, a moda é 6 pessoas. Esse número representa a quantidade de pessoas por residência que apresenta maior frequência no conjunto de dados, ou seja, a maioria das casas tem 6 moradores.

c) A mediana dos valores é 5 pessoas, pois, colocando os valores em ordem crescente, o valor 5 aparece nas duas posições centrais dos dados.

9. a ) A nota média dos estudantes do 9º ano A pode ser calculada adicionando todas as notas e dividindo a soma obtida pelo total de notas, ou seja:

$Ma=\frac{10+9+8+5+...+10+9+8+7}{27}\simeq 7,1$

Analogamente, a nota média dos estudantes do 9º ano B é dada por:

$Ma=\frac{5+9+10+10+...+5+5+4+3}{27}\simeq 5,6$

Portanto, a nota média dos estudantes do 9º ano A foi 7,1 e a dos estudantes do 9º B foi 5,6.

b) Os valores que mais aparecem em ambos os conjuntos de dados é 10. Portanto, a moda das notas dos estudantes do 9º ano A é 10 e a dos estudantes do 9º B também é 10.

c) Para determinarmos qual turma apresentou a menor dispersão entre as notas, calculamos a amplitude de cada um dos conjuntos de dados.

9º ano A: $10-2=8$

9º ano B: $10-1=9$

Como a amplitude das notas dos estudantes do 9º ano A é menor, concluímos que essa turma apresentou menor dispersão entre as notas.

10. a ) O piloto A.

b) Indicando por $M{a}_A$, $M{a}_B$, $M{a}_C$, $M{a}_D$ e $M{a}_E$, respectivamente, a média da medida de tempo por volta dos pilotos A, B, C, D e E, temos:

$M{a}_A=\frac{65+84+65+85}{4}=74,75$, ou seja, $74,75\text{s}$.

$M{a}_B=\frac{84+79+81+72}{4}=79$, ou seja, $79\text{s}$.

$M{a}_C=\frac{79+75+75+72}{4}=75,25$, ou seja, $75,25\text{s}$.

$M{a}_D=\frac{70+79+72+86}{4}=76,75$, ou seja, $76,75\text{s}$.

$M{a}_E=\frac{75+76+77+87}{4}=78,75$, ou seja, $78,75\text{s}$.

c) O piloto A largará na 1ª posição, pois teve a menor média entre as voltas. O piloto E largará na 4ª posição, pois teve a 4ª menor média entre as voltas.

d) Para determinarmos qual piloto apresentou a menor dispersão entre as medidas de tempo em cada volta, calculamos a amplitude do conjunto de dados correspondente a cada piloto.

Piloto A: $85-65=20$, ou seja, $20\text{s}$.

Piloto B: $84-72=12$, ou seja, $12\text{s}$.

Piloto C: $79-72=7$, ou seja, $7\text{s}$.

Piloto D: $86-70=16$, ou seja, $16\text{s}$.

Piloto E: $87-75=12$, ou seja, $12\text{s}$.

Como a amplitude das medidas de tempo correspondente ao piloto C é a menor, concluímos que ele apresentou menor dispersão entre as medidas de tempo de cada volta.

11. a ) I. A moda dessa pesquisa para as mulheres é "Própria residência".

II. A moda dessa pesquisa para os homens é "Via pública ou outro local público".

III. Resposta pessoal. Com essa questão, espera-se que os estudantes se conscientizem da importância do combate à violência contra a mulher.

b) I. Resposta pessoal. Nessa questão, espera-se que os estudantes optem pelo gráfico de setores, pois ele facilita a comparação das partes com o todo.

II. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes optem pelo gráfico de colunas duplas.

Questão 3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que a intenção do gráfico é fazer a marca que publicou o gráfico parecer muito mais popular entre os consumidores.

Atividades

12. A. Fonte de pesquisa.

B. Legenda.

C. Ano da pesquisa.

D. Fonte de pesquisa.

E. Data.

13. a ) A escala do eixo vertical não está em proporção.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que o gráfico foi manipulado para parecer que a cidade recebe uma quantidade de turistas que falam inglês ou espanhol próxima à quantidade de turistas brasileiros.

14. a ) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes cheguem à conclusão de que a fonte de pesquisa é importante na análise dos resultados expostos na tabela.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compreendam que o proprietário da loja não divulgou a fonte de pesquisa, pois tinha a intenção de manipular os consumidores.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que as respostas foram dadas por pessoas que podem ser parciais e, nesse caso, seria necessário coletar informações com um grupo mais diverso.

15. a ) Pesquisa amostral, pois apenas uma parte da população em estudo foi entrevistada.

b) Pesquisa censitária, pois toda a população em estudo foi entrevistada.

c) Pesquisa amostral, pois apenas uma parte da população em estudo foi entrevistada.

16. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes optem pelo método de amostragem que julgarem mais pertinente, com base nas próprias experiências.

17. Amostragem probabilística, pois os entrevistados foram escolhidos aleatoriamente.

18. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes sigam as etapas propostas na realização da pesquisa amostral.

19. Na resolução dessa atividade, considere o evento A "obter cara no primeiro lançamento" e o evento B "obter coroa no segundo lançamento".

a) $P\left(A\right)=\frac{1}{2}$.

b) $P\left(B\right)=\frac{1}{2}$.

c) Como os eventos A e B são independentes, temos $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Portanto, a probabilidade de obter cara no primeiro lançamento e coroa no segundo é $\frac{1}{4}$.

20. Considere o evento G "obter a letra G no primeiro sorteio", o evento O "obter a letra O no segundo sorteio" e o evento L "obter a letra L no terceiro sorteio".

$P\left(G\right)=\frac{1}{6}$

A probabilidade de ocorrer O, dado que ocorreu G, é $\frac{2}{5}$.

A probabilidade de ocorrer L, dado que O e G ocorreram, é $\frac{1}{4}$.

Portanto, a probabilidade de formar a palavra GOL, sorteando as letras nessa ordem, é dada por:

$\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$

21. Considere o evento A "obter 5 ou 6 pontos no primeiro giro" e o evento B "obter 1 ou 2 pontos no segundo giro". Como os eventos A e B são independentes, segue que a probabilidade de o jogador sortear os números que ele precisa é:

$\frac{2}{8}\cdot \frac{4}{8}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$

22. $P=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{125}$

Portanto, a probabilidade de Márcia responder corretamente a essas três questões é $\frac{1}{125}$.

23. $P=\frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}=\frac{28.561}{7.311.616}$

Portanto, a probabilidade de Amanda sortear 4 cartas do mesmo naipe é $\frac{28.561}{7.311.616}$.

24. $P=\frac{24}{75}\cdot \frac{23}{74}\cdot \frac{22}{73}\cdot \frac{21}{72}=\frac{255.024}{29.170.800}=\frac{1.771}{202.575}$

O que eu estudei?

1. a ) Semana 1: $984+841=1.825$

Semana 2: $975+826=1.801$

Semana 3: $899+715=1.614$

Semana 4: $953+787=1.740$

Portanto, houve mais pagantes na semana 1, totalizando 1.825 pagantes.

b) Filme 1: $984+826+899+787=3.496$

Filme 2: $841+975+715+953=3.484$

Portanto, o filme que teve mais pagantes foi o filme 1.

2. Inicialmente, organizamos os dados apresentados em um quadro.

a) De acordo com o quadro, a quantidade de irmãos com maior frequência nessa turma é 2.

b) Há 31 estudantes com menos de 4 irmãos, pois: $7+11+9+4=31$.

c) $Ma=\frac{0\cdot 4+1\cdot 9+2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 2+5\cdot 2}{35}=2$

$Mo=2$

$Md=2$

Portanto, a média, a moda e a mediana são todas iguais a 2.

3. a ) $M{a}_{\text{Natália}}=\frac{7,8+8,4+8,6+8,4+7,9+9,5+8,1+8,0}{8}$

$M{a}_{\text{Natália}}\simeq 8,34$

$M{o}_{\text{Natália}}=8,4$

$M{d}_{\text{Natália}}=\frac{8,1+8,4}{2}=8,25$

$M{a}_{\text{Bia}}=\frac{6,2+7,9+7,4+10,0+8,6+9,2+7,6+7,0}{8}$

$M{a}_{\text{Bia}}\simeq 7,99$

As notas de Bia não têm moda, pois todas aparecem na mesma quantidade.

$M{d}_{\text{Bia}}=\frac{7,6+7,9}{2}=7,75$

b) Para determinar qual das irmãs apresentou notas com menor dispersão, calculamos a amplitude de cada um dos conjuntos de dados.

Natália: $9,5-7,8=1,7$

Bia: $10-7=3$

Portanto, as notas de Natália apresentaram menor dispersão.

4. Inicialmente, determinaremos a quantidade de bolinhas de cada cor.

Branca: sabendo que no 1º sorteio a probabilidade de tirar uma bolinha branca é $\frac{1}{5}$, concluímos que há ao todo na urna 5 bolinhas brancas, pois $\frac{1}{5}$ de 25 é igual a 5.

Preta: como a probabilidade de tirar uma bolinha preta no 2º sorteio, sabendo que no 1º sorteio saiu branca, é $\frac{1}{3}$ e não há reposição de bolinhas, concluímos que há ao todo 8 bolinhas pretas na urna, pois $\frac{1}{3}$ de $\underset{25-1}{\underbrace{24}}$ é igual a 8.

Vermelha: há 12 bolinhas vermelhas na urna, pois:

a) Nas condições expostas, como não há reposição, ao realizar o 3º sorteio, há 12 bolinhas vermelhas de um total de 23. Assim, a probabilidade de retirar uma bolinha vermelha no 3º sorteio, sabendo que no 1º e no 2º foram retiradas uma bolinha branca e uma preta, respectivamente, é $\frac{12}{23}$.

b) A probabilidade de obter 3 bolinhas pretas é:

$\frac{8}{25}\cdot \frac{7}{24}\cdot \frac{6}{23}=\frac{14}{575}$

Unidade 8

Algumas representações no plano cartesiano

Questão 1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que, nos casos em que as abscissas ou as ordenadas dos pontos são iguais, é possível contar quantas unidades de comprimento há entre os pontos, bastando realizar a projeção nos eixos e efetuar uma subtração. Já no caso em que as abscissas ou as ordenadas dos pontos são respectivamente diferentes, é necessário utilizar o teorema de Pitágoras, pois não é possível contar quantas unidades de comprimento há entre os pontos.

Questão 2. Inicialmente determinamos a medida do comprimento dos lados do retângulo.

$AB=\left|-1-\left(-4\right)\right|=\left|-1+4\right|=\left|3\right|=3$

$BC=\left|8-1\right|=\left|7\right|=7$

$CD=\left|-4-\left(-1\right)\right|=\left|-4+1\right|=\left|-3\right|=3$

$AD=\left|8-1\right|=\left|7\right|=7$

Agora, calculamos a medida da área A e do perímetro P.

$A=3\cdot 7=21$

$P=3+7+3+7=20$

Portanto, a área mede 21 unidades de área o perímetro, 20 unidades de comprimento.

Questão 3. Ao considerarmos as projeções do segmento $CD$ nos eixos x e y, segue que o valor 0,5 divide a projeção no eixo x em dois segmentos congruentes e o valor 3 divide a projeção no eixo y em dois segmentos congruentes.

Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento $CD$ são $\left(0,5;3\right)$.

Atividades

1. a ) As coordenadas dos pontos são $A\left(4,0\right)$, $B\left(3,3\right)$, $C\left(-3,-2\right)$, $D\left(-4,4\right)$ e $E\left(2,-3\right)$.

b) Seja O a origem do plano cartesiano.

Medida da distância entre O e A.

$OA=\left|4-0\right|=\left|4\right|=4$

Portanto, a distância entre O e A mede $4\text{u.c.}$

Medida da distância entre O e B.

${\left(OB\right)}^2=3^2+3^2$

${\left(OB\right)}^2=9+9$

${\left(OB\right)}^2=18$

$OB=\sqrt{18}$

$OB=3\sqrt{2}$

Portanto, a distância entre O e B mede $3\sqrt{2}\text{u.c.}$

Medida da distância entre O e C.

${\left(OC\right)}^2=3^2+2^2$

${\left(OC\right)}^2=9+4$

${\left(OC\right)}^2=13$

$OC=\sqrt{13}$

Portanto, a distância entre O e C mede $\sqrt{13}\text{u.c.}$

Medida da distância entre O e D.

${\left(OD\right)}^2=4^2+4^2$

${\left(OD\right)}^2=16+16$

${\left(OD\right)}^2=32$

$OD=\sqrt{32}$

$OD=4\sqrt{2}$

Portanto, a distância entre O e D mede $4\sqrt{2}\text{u.c.}$

Medida da distância entre O e E.

${\left(OE\right)}^2=2^2+3^2$

${\left(OE\right)}^2=4+9$

${\left(OE\right)}^2=13$

$OE=\sqrt{13}$

Portanto, a distância entre O e E mede $\sqrt{13}\text{u.c.}$

2. Para cada um dos polígonos, inicialmente, determinamos a medida do comprimento de cada um de seus lados e, em seguida, a medida de seu perímetro.

Triângulo $ABC$.

Medida do comprimento do lado $\overline{AB}$: $AB=\left|4-1\right|=\left|3\right|=3$

Medida do comprimento do lado $\overline{BC}$: $BC=\left|0-4\right|=\left|-4\right|=4$

Medida do comprimento do lado $\overline{AC}$:

${\left(AC\right)}^2=3^2+4^2$

${\left(AC\right)}^2=9+16$

${\left(AC\right)}^2=25$

$AC=\sqrt{25}$

$AC=5$

Medida do perímetro $\left(P_{ABC}\right)$:

$P_{ABC}=AB+BC+AC=3+4+5=12$

Portanto, o perímetro do triângulo $ABC$ mede $12\text{u.c.}$

Triângulo $DEF$.

Medida do comprimento do lado $\overline{DE}$: $DE=\left|-2-4\right|=\left|-6\right|=6$

Medida do comprimento do lado $\overline{EF}$:

${\left(EF\right)}^2=3^2+3^2$

${\left(EF\right)}^2=9+9$

${\left(EF\right)}^2=18$

$EF=\sqrt{18}$

$EF=3\sqrt{2}$

Medida do comprimento do lado $\overline{DF}$:

${\left(DF\right)}^2=3^2+3^2$

${\left(DF\right)}^2=9+9$

${\left(DF\right)}^2=18$

$DF=\sqrt{18}$

$DF=3\sqrt{2}$

Medida do perímetro $\left(P_{DEF}\right)$: $P_{DEF}=DE+EF+DF=6+3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6+6\sqrt{2}$

Portanto, o perímetro do triângulo $DEF$ mede $\left(6+6\sqrt{2}\right)\text{u.c.}$

Quadrilátero $GHIJ$

Medida do comprimento do lado $\overline{GH}$:

${\left(GH\right)}^2=3^2+2^2$

${\left(GH\right)}^2=9+4$

${\left(GH\right)}^2=13$

$GH=\sqrt{13}$

Medida do comprimento do lado $\overline{HI}$:

${\left(HI\right)}^2=2^2+3^2$

${\left(HI\right)}^2=4+9$

${\left(HI\right)}^2=13$

$HI=\sqrt{13}$

Medida do comprimento do lado $\overline{IJ}$:

${\left(IJ\right)}^2=3^2+2^2$

${\left(IJ\right)}^2=9+4$

${\left(IJ\right)}^2=13$

$IJ=\sqrt{13}$

Medida do comprimento do lado $\overline{GJ}$:

${\left(GJ\right)}^2=2^2+3^2$

${\left(GJ\right)}^2=4+9$

${\left(GJ\right)}^2=13$

$GJ=\sqrt{13}$

Medida do perímetro $\left(P_{GHIJ}\right)$:

$P_{GHIJ}=GH+HI+IJ+GJ=$

$=\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{13}=4\sqrt{13}$

Portanto, o perímetro do quadrilátero $GHIJ$ mede $4\sqrt{13}\text{u.c.}$

3. Seja M o ponto médio de $\overline{AB}$. Nesse caso, temos:

${\left(MB\right)}^2={\left(6-2\right)}^2+{\left(5-2\right)}^2$

${\left(MB\right)}^2=4^2+3^2$

${\left(MB\right)}^2=16+9$

${\left(MB\right)}^2=25$

$MB=\sqrt{25}$

$MB=5$

Como $AB=2\cdot MB$, segue que: $AB=2\cdot 5=10$.

Portanto, o comprimento do segmento $AB$ mede $10\text{u.c.}$

4. a ) Para cada um dos polígonos, inicialmente, determinamos a medida do comprimento de cada um de seus lados e, em seguida, a medida de seu perímetro.

Paralelogramo $ABCD$

Medida do comprimento do lado $\overline{AB}$: $AB=\left|0-\left(-4\right)\right|=\left|4\right|=4$

Medida do comprimento do lado $\overline{BC}$:

${\left(BC\right)}^2=2^2+3^2$

${\left(BC\right)}^2=4+9$

${\left(BC\right)}^2=13$

$BC=\sqrt{13}$

Medida do comprimento do lado $\overline{CD}$: os lados $\overline{CD}$ e $\overline{AB}$ são congruentes. Logo, $CD=4$.

Medida do comprimento do lado $\overline{AD}$: os lados $\overline{AD}$ e $\overline{BC}$ são congruentes. Logo, $AD=\sqrt{13}$.

Medida do perímetro $\left(P_{ABCD}\right)$: $P_{ABCD}=4+\sqrt{13}+4+\sqrt{13}=8+2\sqrt{13}$

Portanto, o perímetro do paralelogramo $ABCD$ mede $\left(8+2\sqrt{13}\right)\text{u.c.}$

Triângulo $EFG$

Medida do comprimento do lado $\overline{EF}$: $EF=\left|-2-2\right|=\left|-4\right|=4$

Medida do comprimento do lado $\overline{FG}$: $FG=\left|4-\left(-1\right)\right|=\left|4+1\right|=\left|5\right|=5$

Medida do comprimento do lado $\overline{EG}$:

${\left(EG\right)}^2=5^2+4^2$

${\left(EG\right)}^2=25+16$

${\left(EG\right)}^2=41$

$EG=\sqrt{41}$

Medida do perímetro $\left(P_{EFG}\right)$: $P_{EFG}=4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}$

Portanto, o perímetro do triângulo $EFG$ mede $\left(9+\sqrt{41}\right)\text{u.c.}$

b) • Medida da área do paralelogramo $ABCD$: inicialmente, determinamos a medida da altura h do paralelogramo.

$h=\left|4-1\right|=\left|3\right|=3$

Agora, calculamos a medida da área $A_{ABCD}$ do polígono.

$A_{ABCD}=AB\cdot h=4\cdot 3=12$

Portanto, a área do paralelogramo mede $12\text{u.a.}$

Medida da área do triângulo $EFG$: a medida da área do triângulo é dada por:

$A_{EFG}=\frac{FG\cdot EF}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=\frac{20}{2}=10$

Logo, a área do triângulo mede $10\text{u.a.}$

5. Uma possibilidade para o cálculo da medida da área desse polígono é decompô-lo em dois polígonos: quadrado $ABDE$ e triângulo $BCD$. Em seguida, calcular a medida da área de cada um deles e, por fim, adicionar as medidas obtidas.

Medida da área do quadrado $ABDE$:

$AE\cdot ED=\left|3-\left(-2\right)\right|\cdot \left|2-\left(-3\right)\right|=5\cdot 5=25$

Medida da área do triângulo $BCD$: essa medida é dada por $\frac{BD\cdot h}{2}$, em que h indica a medida do comprimento da altura relativa ao lado $\overline{BD}$. Assim:

$\frac{BD\cdot h}{2}=\frac{AE\cdot \left|4-2\right|}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5$

Adicionando as medidas obtidas, temos:

$25+5=30$

Portanto, a área do polígono $ABCDE$ mede $30\text{u.a.}$

6. a ) Para saber se o triângulo ABC é isósceles, precisamos calcular a medida do comprimento de cada um de seus lados.

Medida do comprimento do lado $\overline{AB}$:

${\left(AB\right)}^2=2^2+6^2$

${\left(AB\right)}^2=4+36$

${\left(AB\right)}^2=40$

$AB=\sqrt{40}$

$AB=2\sqrt{10}$

Medida do comprimento do lado $\overline{BC}$:

${\left(BC\right)}^2=2^2+6^2$

${\left(BC\right)}^2=4+36$

${\left(BC\right)}^2=40$

$BC=\sqrt{40}$

$BC=2\sqrt{10}$

Medida do comprimento do lado $\overline{AC}$:

$AC=\left|4-0\right|=\left|4\right|=4$

Como $AB=BC=2\sqrt{10}\text{u.c.}$, segue que o triângulo $ABC$ é isósceles.

b) • Ponto médio do lado $\overline{BC}$: ao considerar as projeções do segmento BC nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor 3 divide a projeção de $\overline{BC}$ em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 4 divide a projeção de $\overline{BC}$ em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto D são $\left(3,4\right)$.

Ponto médio do lado $\overline{AC}$: para determinar a abscissa do ponto médio desse segmento, basta dividir a medida de seu comprimento por 2, ou seja:

$\frac{\left|4-0\right|}{2}=2$

A ordenada do ponto é 1. Nesse caso, as coordenadas do ponto E são $\left(2,1\right)$.

Ponto médio do lado $\overline{AB}$: ao considerar as projeções do segmento $AB$ nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor 1 divide a projeção de $\overline{AB}$ em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 4 divide a projeção de $\overline{AB}$ em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto F são $\left(1,4\right)$.

c) Para saber se o triângulo DEF é isósceles, precisamos calcular a medida do comprimento de cada um de seus lados.

Medida do comprimento de $\overline{DE}$:

${\left(DE\right)}^2=1^2+3^2$

${\left(DE\right)}^2=1+9$

${\left(DE\right)}^2=10$

$DE=\sqrt{10}$

Medida do comprimento de $\overline{EF}$:

${\left(EF\right)}^2=1^2+3^2$

${\left(EF\right)}^2=1+9$

${\left(EF\right)}^2=10$

$EF=\sqrt{10}$

Medida do comprimento de $\overline{DF}$:

$DF=\left|1-3\right|=\left|-2\right|=2$

Como $DE=EF=\sqrt{10}\text{u.c}$, segue que o triângulo $DEF$ é isósceles.

d) Inicialmente, calculamos a medida do perímetro de ambos os triângulos.

$P_{ABC}=2\sqrt{10}+2\sqrt{10}+4=4\sqrt{10}+4$

$P_{DEF}=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2=2\sqrt{10}+2$

Agora, calculamos a medida de suas áreas.

$A_{ABC}=\frac{4\cdot \left(7-1\right)}{2}=12$

$A_{DEF}=\frac{2\cdot \left(4-1\right)}{2}=3$

Portanto, $P_{ABC}=\left(4\sqrt{10}+4\right)\text{u.c.}$, $A_{ABC}=12\text{u.a.}$, $P_{DEF}=\left(2\sqrt{10}+2\right)\text{u.c.}$ e $A_{DEF}=3\text{u.a.}$

7. a ) Para saber se o triângulo ABC é isósceles, precisamos calcular a medida do comprimento de cada um de seus lados.

Medida do comprimento do lado $\overline{AB}$:

${\left(AB\right)}^2=2^2+4^2$

${\left(AB\right)}^2=4+16$

${\left(AB\right)}^2=20$

$AB=\sqrt{20}$

$AB=2\sqrt{5}$

Medida do comprimento do lado $\overline{BC}$:

${\left(BC\right)}^2=4^2+2^2$

${\left(BC\right)}^2=16+4$

${\left(BC\right)}^2=20$

$BC=\sqrt{20}$

$BC=2\sqrt{5}$

Medida do comprimento do lado $\overline{AC}$:

${\left(AC\right)}^2=2^2+6^2$

${\left(AC\right)}^2=4+36$

${\left(AC\right)}^2=40$

$AC=\sqrt{40}$

$AC=2\sqrt{10}$

Como $AB=BC=2\sqrt{5}\text{u.c.}$, segue que o triângulo é isósceles.

b) Considere $P_{ABC}$ e $A_{ABC}$ a medida do perímetro e da área do triângulo ABC, respectivamente.

$P_{ABC}=AB+BC+AC=$

$=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10}=$

$=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$

Como o triângulo é retângulo em B, temos:

$A_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}{2}=$

$=\frac{4\cdot 5}{2}=10$

Portanto, o perímetro desse triângulo mede $\left(4\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\text{u.c.}$ e a área, $10\text{u.a.}$

8. Para calcular a medida do comprimento da mediana $\overline{AM}$ relativa ao lado $\overline{BC}$, inicialmente, vamos determinar as coordenadas do ponto médio M de $\overline{BC}$. Ao projetarmos o segmento $BC$ sobre o eixo x, o valor 1 divide esta projeção em dois segmentos congruentes. Ao projetarmos o segmento $BC$ sobre o eixo y, o valor 1 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto M são $\left(1,1\right)$. Assim:

${\left(AM\right)}^2={(1-(-1))}^2+{(1-0)}^2$

${\left(AM\right)}^2=4+1$

${\left(AM\right)}^2=5$

$AM=\sqrt{5}$

Portanto, a medida do comprimento de $\overline{AM}$ é igual a $\sqrt{5}\text{u.c.}$

9. Projetando o segmento $AB$ sobre o eixo x, o valor 4 divide esta projeção em dois segmentos congruentes e projetando o segmento $AB$ sobre o eixo y, o valor 3 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto que representa a localização da escola nesse plano cartesiano são $\left(4,3\right)$.

10. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

A escola em que Mariana estuda fica no ponto médio de A e B. Quais são as coordenadas do ponto que representa a localização da escola nesse plano cartesiano?

Resposta: $\left(4;-2,5\right)$.

O que eu estudei?

1. a ) A medida da distância entre os pontos A e B é igual à medida do comprimento do segmento $AB$. Efetuando os cálculos, temos:

${\left(AB\right)}^2=4^2+3^2$

${\left(AB\right)}^2=16+9$

${\left(AB\right)}^2=25$

$AB=\sqrt{25}$

$AB=5$

Portanto, a medida da distância entre os pontos A e B é igual a $5\text{u.c.}$

b) A medida da distância entre os pontos A e C é igual à medida do comprimento do segmento $AC$. Efetuando os cálculos, temos:

${\left(AC\right)}^2=3^2+3^2$

${\left(AC\right)}^2=9+9$

${\left(AC\right)}^2=18$

$AC=\sqrt{18}$

$AC=3\sqrt{2}$

Portanto, a medida da distância entre os pontos A e C é igual a $3\sqrt{2}\text{u.c.}$

2. • Ponto médio de $\overline{AB}$: ao considerar as projeções do segmento $AB$ nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor $-3$ divide esta projeção em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 1 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto médio de $\overline{AB}$ são $\left(-3,1\right)$.

Ponto médio de $\overline{CD}$: ao considerar as projeções do segmento $CD$ nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor 1 divide esta projeção em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 2 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto médio de $\overline{CD}$ são $\left(1,2\right)$.

Ponto médio de $\overline{EF}$: ao considerar as projeções do segmento nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor 3 divide esta projeção em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 3 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto médio de $\overline{EF}$ são $\left(3,3\right)$.

Ponto médio de $\overline{GH}$: para determinar a ordenada do ponto médio desse segmento, basta dividir a medida de seu comprimento por 2.

$\frac{\left|2-0\right|}{2}=1$

A abscissa do ponto é 4. Nesse caso, as coordenadas do ponto médio de $\overline{GH}$ são $\left(4,1\right)$.

3. a ) Inicialmente, calculamos a medida do comprimento da diagonal $\overline{AC}$.

${\left(AC\right)}^2=5^2+4^2$

${\left(AC\right)}^2=25+16$

${\left(AC\right)}^2=41$

$AC=\sqrt{41}$

Agora, calculamos a medida do comprimento da diagonal $\overline{BD}$.

${\left(BD\right)}^2=1^2+4^2$

${\left(BD\right)}^2=1+16$

${\left(BD\right)}^2=17$

$BD=\sqrt{17}$

Portanto, o comprimento da diagonal $\overline{AC}$ mede $\sqrt{41}\text{u.c.}$ e o da diagonal $\overline{BD}$, $\sqrt{17}\text{u.c.}$

b) A medida da área desse paralelogramo é dada por $AD\cdot h$, em que h indica a medida da altura.

$AD\cdot h=\left(1-\left(-2\right)\right)\cdot \left(5-1\right)=3\cdot 4=12$

Portanto, a medida da área do paralelogramo é igual a $12\text{u.a.}$

4. a ) Calculando a medida do comprimento do segmento $AB$, temos:

${\left(AB\right)}^2=3^2+3^2$

${\left(AB\right)}^2=9+9$

${\left(AB\right)}^2=18$

$AB=\sqrt{18}$

$AB=3\sqrt{2}$

Portanto, a medida da distância do ponto A até o ponto B é igual a $3\sqrt{2}\text{u.c.}$

b) Calculando a medida do comprimento do segmento $AC$, temos:

${\left(AC\right)}^2=3^2+4^2$

${\left(AC\right)}^2=9+16$

${\left(AC\right)}^2=25$

$AC=\sqrt{25}$

$AC=5$

Portanto, a medida da distância do ponto A até o ponto C é igual a $5\text{u.c.}$

c) Calculando a medida do comprimento do segmento $AD$, temos:

$AD=\left|0-3\right|=\left|-3\right|=3$

Portanto, a medida da distância do ponto A até o ponto D é igual a $3\text{u.c.}$

5. • Ponto médio de $\overline{AB}$: ao considerar as projeções do segmento $AB$ nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor $1,5$ divide esta projeção em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor $1,5$ divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Logo, as coordenadas do ponto médio de $\overline{AB}$ são $\left(1,5;1,5\right)$.

Ponto médio de $\overline{AC}$: ao considerar as projeções do segmento $AC$ nos eixos x e y, segue que: em relação ao eixo x, o valor $1,5$ divide esta projeção em dois segmentos congruentes; em relação ao eixo y, o valor 1 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Portanto, as coordenadas do ponto médio de $\overline{AC}$ são $\left(1,5;1\right)$.

Ponto médio de $\overline{AD}$: ao considerar a projeção do segmento $AD$ no eixo x, segue que o valor $1,5$ divide esta projeção em dois segmentos congruentes. Os pontos $A$ e $D$ têm ordenada igual a 3, assim, o ponto médio do segmento $AD$ também terá ordenada igual a $3$. Logo, as coordenadas do ponto médio de $\overline{AD}$ são $\left(1,5;3\right)$.

Ponto médio de $\overline{CD}$: ao considerar a projeção do segmento CD no eixo y, segue que o valor 1 divide essa projeção em dois segmentos congruentes. Os ponto $C$ e $D$ têm abscissa igual a $0$, assim, o ponto médio do segmento $CD$ também terá abscissa igual a $0$. Portanto, as coordenadas do ponto médio de $\overline{CD}$ são $\left(0;1\right)$.