Resoluções - parte 5

Unidade 9

Funções

Questão 1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes obtenham em suas pesquisas que de acordo com observações realizadas, os cientistas procuravam a fórmula de uma função para explicar consecutivos resultados obtidos e que esse importante conceito desenvolveu-se com o trabalho de grandes matemáticos, como Newton, Leibniz, Bernoulli, Euler, entre outros.

Questão 2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes utilizem dados confiáveis, validem as informações com mais de uma fonte e tenha respeito com o colega durante a realização da pesquisa, contribuindo assim para enriquecer o conhecimento de todos.

Questão 3.

a) Usando a função $f\left(x\right)=2x$ para $x=1.210$, obtém-se $f(1.210)=2\cdot 1.210=2.420$.

b) Usando a função $f\left(x\right)=2x$ para $x=2\sqrt{2}$, obtém-se $f\left(2\sqrt{2}\right)=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

c) Usando a função $f\left(x\right)=2x$ para $x=-7,6$, obtém-se $f\left(-7,6\right)=2\cdot \left(-7,6\right)=-15,2$.

d) Usando a função $f\left(x\right)=2x$ para $x=\pi$, obtém-se $f\left(\pi \right)=2\cdot \pi =2\pi$.

Atividades

1. a) Considerando que a quantia a ser paga y é igual à quantidade de ingressos x multiplicada pelo preço da unidade, a fórmula que expressa o valor a ser pago por Renato em função da quantidade de ingressos é $y=10,5\cdot x$.

b) Renato pagará:

I . R$ 73,50, pois $y=10,5\cdot 7=73,5$;

II . R$ 94,50, pois $y=10,5\cdot 9=94,5$;

III . R$ 126,00, pois $y=10,5\cdot 12=126$;

IV . R$ 157,50, pois $y=10,5\cdot 15=157,5$.

c) Substituindo $y=52,50$ em $y=10,5\cdot x$, temos:

$52,50=10,5\cdot x$

$\frac{52,50}{10,5}=\frac{x\cdot 10,5}{10,5}$

$x=5$

Portanto, Renato comprou 5 ingressos.

2. a) $P=x+7+x+7$

$P=14+2x$

b) $A=\frac{b\cdot 4}{2}$

$A=2b$

3. a) $P=2+4+3+3+3+7x+2+4+3+3+3+7x$

$P=30+14x$

b) Considerando $P=30+14x$, temos:

I . $P=30+14\cdot 2$

$P=30+28$

$P=58$

Logo, o perímetro mede $58\text{m}$.

II . $P=30+14\cdot 1,5$

$P=30+21$

$P=51$

Logo, o perímetro mede $51\text{m}$.

III . $P=30+14\cdot 2,8$

$P=30+39,2$

$P=69,2$

Logo, o perímetro mede $69,2\text{m}$.

IV . $P=30+14\cdot 3$

$P=30+42$

$P=72$

Logo, o perímetro mede $72\text{m}$.

4. a) Considerando que cada acerto vale 5 pontos, x representa a quantidade de acertos e y a pontuação obtida, a sentença que representa a pontuação obtida em função da quantidade de acertos é $y=5x$.

b) Tiago acertou 15 questões. Logo, $x=15$.

Substituindo em $y=5x$, obtemos:

$y=5\cdot 15=75$

Portanto, ele obteve 75 pontos.

c) Substituindo $y=60$ em $y=5x$, obtemos:

$60=5x$

Logo, $x=12$.

Ou seja, para obter 60 pontos, um estudante deve acertar 12 questões.

d) Considerando $y=100$ e substituindo em $y=5x$, temos

$100=5x$ e $x=20$.

Ou seja, a prova tem 20 questões no total.

5. a) O preço aumenta R$ 2,00 a cada hora, começando com valor de R$ 4,50 na primeira hora. Desse modo, $y=2,50+2x$, pois:

b) Considerando $x=8$ e substituindo em $y=2,50+2x$, temos:

$y=2,50+2\cdot 8=18,50$

Ou seja, R$ 18,50.

c) Considerando $y=14,50$ e substituindo em $y=2,50+2x$, temos:

$14,50=2,50+2x$

Desse modo, $x=6$, ou seja, 6 horas.

6. a) Cada biscoito contém $15\text{g}$. Assim, a medida da massa m em função da quantidade de biscoito b pode ser representada por $m=15b$.

b) Cada biscoito contém $70\text{kcal}$. Assim, o valor calórico c em função da quantidade de biscoitos b pode ser representado por $c=70b$.

c) Considerando $m=15b$ e $b=7$, temos:

$m=15\cdot 7=105$

Ou seja, $105\text{g}$.

Considerando $c=70b$ e $b=7$, temos:

$c=70\cdot 7=490$

Ou seja, $490\text{kcal}$.

d) Considerando $m=15b$ e $m=180$, temos:

$180=15b$

Assim, $b=12$, ou seja, 12 biscoitos. Como cada biscoito tem 70 kcal, temos:

$c=70\cdot 12=840$

Ou seja, $840\text{kcal}$.

Questão 4. $a=5$ e $b=0$.

Atividades

7. As funções definidas por $y=ax+b$ com a e b reais são $p=3q$; $r=\frac{s+2}{3}$; $r=-s$; $t=-\frac{1}{2}+u$.

8. a) $a=1$ e $b=5$.

b) $a=-3$ e $b=2$.

c) $a=\frac{1}{2}$ e $b=-4$.

d) $a=7$ e $b=-2$.

e) $a=-5$ e $b=0$.

f) $a=4$ e $b=4$.

9. Considerando a função $y=8x+3$.

a) Seja $y=10$, temos:

$10=8x+3$

$10-3=8x+3-3$

$7=8x$

$\frac{8x}{8}=\frac{7}{8}$

$x=\frac{7}{8}$

b) Seja $y=-29$, temos:

$-29=8x+3$

$-29-3=8x+3-3$

$-32=8x$

$\frac{8x}{8}=\frac{-32}{8}$

$x=-4$

c) Seja $y=18$, temos:

$18=8x+3$

$18-3=8x+3-3$

$15=8x$

$\frac{8x}{8}=\frac{15}{8}$

$x=\frac{15}{8}$

d) Seja $y=-15$, temos:

$-15=8x+3$

$-15-3=8x+3-3$

$-18=8x$

$\frac{8x}{8}=\frac{-18}{8}$

$x=-\frac{9}{4}$

e) Seja $y=\frac{31}{5}$, temos:

$\frac{31}{5}=8x+3$

$31=5\cdot \left(8x+3\right)$

$31=40x+15$

$31-15=40x+15-15$

$16=40x$

$\frac{40x}{40}=\frac{16}{40}$

$x=\frac{2}{5}$

f) Seja $y=-\frac{1}{3}$, temos:

$-\frac{1}{3}=8x+3$

$-1=3\cdot \left(8x+3\right)$

$-1=24x+9$

$-1-9=24x+9-9$

$-10=24x$

$\frac{24x}{24}=\frac{-10}{24}$

$x=-\frac{5}{12}$

10. a) Considerando que o hexágono é regular, podemos afirmar que todos os lados têm medida de comprimento igual. Denominando essa medida por x, temos:

$P=x+x+x+x+x+x$

Ou seja, $P=6x$. Essa é uma função afim.

b) Considerando $P=6x$ e $x=8,3$, temos:

$P=6\cdot 8,3=49,8$

Ou seja, a medida do perímetro é $49,8\text{cm}$.

c) Considere $P=6x$ e $P=45\text{cm}$, temos:

$45=6x$

Assim:

$x=\frac{45}{6}=7,5$

Ou seja, o comprimento de cada lado mede $7,5\text{cm}$.

11. a) Como a medida da temperatura em graus Fahrenheit (F) é dada em função da medida da temperatura em graus Celsius (C), podemos definir a função afim $F=a\cdot C+b$.

Para $C=0°$, sabemos que $F=32°$, e para $C=100°$, temos $F=212°$.

Substituindo na função os respectivos valores, temos:

(I): $32=a\cdot 0+b$ e (II): $212=a\cdot 100+b$

Por (I), concluímos que $b=32$. Substituindo em (II), temos:

$212=a\cdot 100+32$

$212-32=a\cdot 100+32-32$

$180=a\cdot 100$

$\frac{100a}{100}=\frac{180}{100}$

$a=\frac{9}{5}$

Logo, a função afim será $F=\frac{9}{5}C+32$.

b) Considere $F=\frac{9}{5}C+32$ e $C=35$. Assim:

$F=\frac{9}{5}\cdot 35+32=95$

Ou seja, $95°\text{F}$.

c) Isolando C em $F=\frac{9}{5}C+32$, temos:

$C=\frac{5}{9}\cdot \left(F-32\right)$

Assim, cada grau na escala Fahrenheit corresponde a $\frac{5}{9}$ grau na escala Celsius.

12. a) Considerando que R$ 4,50 é o valor fixo e R$ 2,75 é o valor variável de acordo com a quilometragem, a lei de formação da função afim é $y=2,75x+4,5$, que expressa o valor cobrado y em função da quantidade de quilômetros percorridos x.

b) Considerando $y=2,75x+4,5$, temos:

I . $x=2$, então $y=2,75\cdot 2+4,5=10$, ou seja, R$ 10,00.

II . $x=9,4$, então $y=2,75\cdot 9,4+4,5=30,35$, ou seja, R$ 30,35.

III . $x=15$, então $y=2,75\cdot 15+4,5=45,75$, ou seja, R$ 45,75.

c) Considerando $y=2,75x+4,5$:

I . $y=7,80$. Logo:

$7,80=2,75x+4,5$

$7,80-4,5=2,75x$

$3,3=2,75x$

$x=\frac{3,3}{2,75}=1,2$, ou seja, $1,2\text{km}$.

II . $y=18,25$. Logo:

$18,25=2,75x+4,5$

$18,25-4,5=2,75x$

$13,75=2,75x$

$x=\frac{13,75}{2,75}=5$, ou seja, $\text{5 km}$.

III . $y=43$. Logo:

$43=2,75x+4,5$

$43-4,5=2,75x$

$38,5=2,75x$

$x=\frac{38,5}{2,75}=14$

Ou seja, $\text{14 km}$.

d) Considerando $y=2,75x+4,5$ e $x=20$, temos:

$y=2,75\cdot 20+4,5$

$y=59,5$

Ou seja, são necessários R$ 59,50 para percorrer $\text{20 km}$. Desse modo, é possível sim percorrer $\text{20}\text{km}$ com R$ 60,00, pois $60>59,50$.

13. $y=400x$

14. Considerando que uma função afim tem uma lei de formação que pode ser escrita na forma $y=ax+b$, calculando os valores dos coeficientes utilizando os valores de x e $f\left(x\right)$ apresentados, obtemos $3=a\cdot 1+b$ e $9=a\cdot \left(-2\right)+b$, que podemos representar como um sistema de equações lineares. Assim:

$\{\begin{array}{c}a+b=3\\ -2a+b=9\end{array}$

Ao utilizar o método da adição, podemos multiplicar a 2ª equação por $-1$.

$\{\begin{array}{c}a+b=3\\ 2a-b=-9\end{array}$

$3a=-6$

$a=\frac{-6}{3}$

$a=-2$

Logo, $a=-2$.

Substituindo em $a+b=3$, concluímos que $b=5$.

Desse modo, obtemos a sentença $y=-2x+5$. Para $x=12$, temos:

$y=-2\cdot 12+5=-19$

15. a) Para 100 folhas, será pago R$ 0,20 por unidade, ou seja $0,2x$. Além disso, a encadernação para 100 folhas tem valor fixo de R$ 4,00. Desse modo, a lei de formação é dada por $y=4+0,2x$, em que $0<x\le 100$, e $x\in \mathbb{N}$.

Para uma quantidade de folhas entre 101 e 220, obtemos a lei de formação $y=6+0,2x$, em que $101\le x\le 200$, e $x\in \mathbb{N}$.

b) Considerando $y=0,2x+4$ e $y=0,2x+6$.

Para 83 folhas, $y=0,2\cdot 83+4=20,6$, ou seja, R$ 20,60.

Para 145, folhas $y=0,2\cdot 145+6=35$, ou seja, R$ 35,00.

16. a) Analisando o eixo horizontal podemos verificar que $2\text{kg}$ está ligado com $\text{3 cm}$ no eixo vertical. Logo, o alongamento da mola para um corpo de medida de massa $2\text{kg}$ será de $\text{3 cm}$.

b) Analisando o eixo vertical, podemos verificar que $\text{6 cm}$ está ligado com $\text{4 kg}$ no eixo horizontal. Logo, a medida de massa do corpo que fez a mola alongar $\text{6 cm}$ é $\text{4 kg}$.

c) De acordo com o gráfico, temos:

$x=2$ e $y=3$, ou seja, $y=\frac{3}{2}\cdot 2$

$x=4$ e $y=6$, ou seja, $y=\frac{6}{4}\cdot 4$

$x=6$ e $y=9$, ou seja, $y=\frac{9}{6}\cdot 6$

Como $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=1,5$, a lei de formação dessa função é dada por $y=1,5x$ ou $y=\frac{3}{2}x$.

d) • Considerando $y=\frac{3}{2}x$ e $x=3$, temos:

$y=\frac{3}{2}\cdot 3=4,5$

Ou seja, $4,5\text{cm}$ de alongamento da mola.

Considerando $y=\frac{3}{2}x$ e $x=4,5$, temos:

$y=\frac{3}{2}\cdot 4,5=6,75$

Ou seja, $6,75\text{cm}$ de alongamento da mola.

Considerando $y=\frac{3}{2}x$ e $x=5,2$, temos:

$y=\frac{3}{2}\cdot 5,2=7,8$

Ou seja, $7,8\text{cm}$ de alongamento da mola.

e) Considerando $y=\frac{3}{2}x$ e $y=8,55$, temos:

$8,55=\frac{3}{2}x$

$3x=2\cdot 8,55$

$x=\frac{2\cdot 8,55}{3}$

$x=5,7$

Ou seja, $5,7\text{kg}$.

17. A. Considerando $y=2x+4$, para $x=0$, obtemos $y=4$. Essa relação é apresentada no gráfico 2.

B. Considerando $y=x+2$, para $x=0$, obtemos $y=2$. Essa relação é apresentada no gráfico 1.

C. Considerando $y=-x+3$, para $x=0$, obtemos $y=3$. Essa relação é apresentada no gráfico 3.

Portanto, associamos A-2; B-1; C-3.

18. a)

b)

c)

d)

e)

f)

19. Considerando que o gráfico representa uma função afim $y=ax+b$, podemos utilizar dois pontos quaisquer indicados no gráfico. Escolhendo $\left(0,1\right)$ e $\left(1,3\right)$, podemos substituir cada um respectivamente na lei de formação, assim $1=a\cdot 0+b$ e $3=a\cdot 1+b$.

Da primeira equação, temos $b=1$. Substituindo na segunda equação, temos:

$3=a\cdot 1+1$

Logo, $a=2$.

Assim, a lei de formação da função representada no gráfico é dada por $y=2x+1$.

20. a) Podemos utilizar os pontos $\left(0,0\right)$ e $\left(6,480\right)$ em $y=ax+b$. Pelo primeiro ponto, podemos concluir que $b=0$. Substituindo o segundo ponto, temos:

$480=a\cdot 6+b$

Assim, $a=80$.

Logo, a lei de formação da função é dada por $y=80x$.

b) Resposta pessoal. Sugestão de resposta: Em determinado mapa, foi utilizada uma escala na qual cada $1\text{cm}$ corresponde a $80\text{km}$.

Questão 5. Eles aumentam.

Questão 6. Positivo.

Questão 7. Eles diminuem.

Questão 8. Negativo.

Atividades

21. Considerando que a função é crescente quando $a>0$ e decrescente quando $a<0$, então a função é:

a) Decrescente, pois $a<0$.

b) Crescente, pois $a>0$.

c) Decrescente, pois $a<0$.

d) Decrescente, pois $a<0$.

e) Crescente, pois $a>0$.

f) Crescente, pois $a>0$.

22. a) Considerando o quadro A, podemos verificar que a função é decrescente, pois à medida que x aumenta, y diminui. A função está representada no gráfico II.

Considerando o quadro B, podemos verificar que a função é crescente, pois à medida que x aumenta, y aumenta. A função está representada no gráfico I.

Considerando o quadro C, podemos verificar que a função é crescente, pois à medida que x aumenta, y aumenta. A função está representada no gráfico III.

Considerando o quadro D, podemos verificar que a função é crescente, pois à medida que x aumenta, y aumenta. A função está representada no gráfico IV.

b) Considerando os pontos $\left(-3,0\right)$ e $\left(0,3\right)$ apresentados no gráfico I e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos: $0=a\cdot \left(-3\right)+b$

$3=a\cdot 0+b$

Do segundo caso, concluímos que $b=3$. Assim, substituindo em $0=a\cdot \left(-3\right)+b$, obtemos:

$0=a\cdot \left(-3\right)+3$, ou seja, $a=1$.

A lei de formação que representa o gráfico I é dada por $y=x+3$.

Considerando os pontos $\left(-2,0\right)$ e $\left(0,-2\right)$ apresentados no gráfico II e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos:

$0=a\cdot \left(-2\right)+b$

$-2=a\cdot 0+b$

Do segundo caso, concluímos que $b=-2$. Assim, substituindo em $0=a\cdot \left(-2\right)+b$, obtemos:

$0=a\cdot \left(-2\right)-2$

Ou seja, $a=-1$

A lei de formação que representa o gráfico II é dada por $y=-x-2$.

Considerando os pontos $\left(2,0\right)$ e $\left(0,-2\right)$ apresentados no gráfico III e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos:

$0=2a+b$ e $-2=a\cdot 0+b$

Do segundo caso, concluímos que $b=-2$. Assim, substituindo em $0=2a+b$, obtemos:

$0=2a-2$

Ou seja, $a=1$.

A lei de formação que representa o gráfico III é dada por $y=x-2$.

Considerando os pontos $\left(0,-3\right)$ e $\left(3,2\right)$ apresentados no gráfico IV e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos:

$-3=0a+b$

$2=a\cdot 3+b$

Do primeiro caso, concluímos que $b=-3$. Assim, substituindo em $2=a\cdot 3+b$, obtemos:

$2=a\cdot 3-3$

Ou seja, $a=\frac{5}{3}$.

A lei de formação que representa o gráfico IV é dada por $y=\frac{5}{3}x-3$.

c) A. Decrescente, pois $-1<0$.

B. Crescente, pois $1>0$.

C. Crescente, pois $1>0$.

D. Crescente, pois $\frac{5}{3}>0$.

23. a) A. Crescente, pois à medida que x aumenta, y também aumenta.

B. Decrescente, pois à medida que x aumenta, y diminui.

b) Considerando os pontos $\left(-\frac{3}{2},0\right)$ e $\left(0,3\right)$ apresentados em A e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos:

$0=a\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+b$ e $3=a\cdot 0+b$

Do segundo caso, concluímos que $b=3$. Assim, substituindo em $0=a\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+b$, obtemos:

$0=a\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+3$

Ou seja, $a=2$.

A lei de formação é dada por $y=2x+3$.

Considerando os pontos $\left(2,0\right)$ e $\left(0,2\right)$ apresentados em B e substituindo os valores em $y=ax+b$, obtemos:

$0=2a+b$ e $2=a\cdot 0+b$

Do segundo caso, concluímos que $b=2$. Assim, substituindo em $0=2a+b$, obtemos:

$0=2a+2$

Ou seja, $a=-1$.

A lei de formação é dada por $y=-x+2$.

24. a) Para que a função seja decrescente, devemos ter $k+3<0$. Assim, $k<-3$.

b) Para que a função seja decrescente, devemos ter $5k-25<0$. Assim, $k<5$.

c) Para que a função seja decrescente, devemos ter $-3k+\frac{1}{2}<0$. Assim, $-3k<-\frac{1}{2}$, logo $3k>\frac{1}{2}$. Portanto, $k>\frac{1}{6}$.

d) Para que a função seja decrescente, devemos ter $\frac{4}{2}-2k<0$. Assim, $-2k<-\frac{4}{2}$, logo $k>1$.

e) Para que a função seja decrescente, devemos ter $\frac{7}{3}k+2<0$. Assim, $\frac{7}{3}k<-2$, logo $k<-\frac{6}{7}$.

f) Para que a função seja decrescente, devemos ter $-\frac{3}{2}-8k<0$. Assim, $-8k<\frac{3}{2}$, logo $k>\frac{3}{16}$.

g) Para que a função seja decrescente, devemos ter $7-k<0$. Assim, $-k<-7$, logo $k>7$.

h) Para que a função seja decrescente, devemos ter $\sqrt{2}k-\frac{1}{2}<0$. Assim, $\sqrt{2}k<\frac{1}{2}$, logo $k<\frac{\sqrt{2}}{4}$.

i) Para que a função seja decrescente, devemos ter $3+k<0$. Assim, $k<-3$.

j) Para que a função seja decrescente, devemos ter $\frac{3}{2}+5k<0$. Assim, $5k<-\frac{3}{2}$, logo $k<-\frac{3}{10}$.

25. Na atividade anterior, consideramos para cada função a condição de ser decrescente, ou seja, os valores de $k$ para os quais $a<0$. Agora, devemos considerar os valores de $k$ para os quais $a>0$, ou seja, a função será crescente. Assim:

a) $k>-3$

b) $k>5$

c) $k<\frac{1}{6}$

d) $k<1$

e) $k>-\frac{6}{7}$

f) $k<\frac{3}{16}$

g) $k<7$

h) $k>\frac{\sqrt{2}}{4}$

i) $k>-3$

j) $k>-\frac{3}{10}$

26. a) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

b) Decrescente, pois x diminui e y aumenta.

c) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

d) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

e) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

f) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

g) Crescente, pois x aumenta e y aumenta.

h) Decrescente, pois x diminui e y aumenta.

i) Decrescente, pois x diminui e y aumenta.

j) Decrescente, pois x diminui e y aumenta.

27. Resposta pessoal. Sugestão de resposta: $y=2x+1$.

28. Resposta pessoal. Sugestão de resposta: $m=1$, $n=0$. Desse modo, temos os pontos $\left(1,2\right)$ e $\left(2,0\right)$. Considerando uma função afim, podemos utilizar esses pontos para determinar a lei de formação. Substituindo cada um respectivamente na lei de formação $y=ax+b$, temos:

$2=a\cdot 1+b$ e $0=a\cdot 3+b$

Da primeira equação, temos $a+b=2$. Substituindo na segunda equação, temos:

$0=2a+2$

Logo, $a=-1$, então $b=3$.

Assim, a lei de formação da função é dada por $y=-x+3$.

29. a) A. $\left(0,3\right)$

B.$\left(0,-1\right)$

C. $\left(0,-3\right)$

b) O zero da função é representado pelo ponto de interseção com o eixo x, sendo assim, o zero da função é:

A. $x=2$

B. $x=-3$

C. $x=4$

c) A. $\left(2,0\right)$

B.$\left(-3,0\right)$

C.$\left(4,0\right)$

d) Considerando $y=\frac{3x}{4}-3$, podemos obter as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos x e y usando $\left(x,0\right)$ e $\left(0,y\right)$. Desse modo, no primeiro caso, temos:

$0=\frac{3x}{4}-3$

$-\frac{3x}{4}=-3$

$3x=4\cdot 3$

$x=4$

Ou seja, o gráfico dessa função intersecta $\left(4,0\right)$.

No segundo caso $\left(0,y\right)$, temos:

$y=\frac{3\cdot 0}{4}-3$

$y=-3$, ou seja, o gráfico intersecta $\left(0,-3\right)$.

Dessa forma, o gráfico da função está representado em C.

30. O ponto em que o gráfico da função intersecta o eixo y pode ser determinado substituindo $x=0$ na lei de formação. Desse modo, temos:

a) $y=5x+7$

$y=5\cdot 0+7$

$y=7$

$\left(0,7\right)$

b) $y=-3x-11$

$y=-3\cdot 0-11$

$y=-11$

$\left(0,-11\right)$

c) $y=\frac{x}{3}+\frac{1}{5}$

$y=\frac{1}{5}$

$\left(0,\frac{1}{5}\right)$

d) $y=-2x+1$

$y=-2\cdot 0+1$

$y=1$

$\left(0,1\right)$

e) $y=4x-3$

$y=4\cdot 0-3$

$y=-3$

$\left(0,-3\right)$

f) $y=-x+2$

$y=-0+2$

$y=2$

$\left(0,2\right)$

g) $y=\frac{x}{2}$

$y=\frac{0}{2}$

$y=0$

$\left(0,0\right)$

h) $y=-2x$

$y=-2\cdot 0$

$y=0$

$\left(0,0\right)$

31. O zero da função pode ser determinado quando $y=0$. Desse modo, temos:

a) $y=x-8$

$0=x-8$

$x=8$

b) $y=3-4x$

$0=3-4x$

$4x=3$

$x=\frac{3}{4}$

c) $y=-x+1$

$0=-x+1$

$x=1$

d) $y=7x+1$

$0=7x+1$

$-7x=1$

$x=-\frac{1}{7}$

e) $y=\frac{2}{3}x+4$

$0=\frac{2}{3}x+4$

$-\frac{2}{3}x=4$

$x=-\frac{3}{2}\cdot 4$

$x=-6$

f) $y=\frac{1}{4}x-3$

$0=\frac{1}{4}x-3$

$\frac{1}{4}x=3$

$x=12$

32. a) Considerando $y=-2x+3$ e usando $\left(0,y\right)$ e $\left(x,0\right)$, podemos determinar os pontos de interseção como os eixos. Assim, para $\left(0,y\right)$, temos:

$y=-2x+3$

$y=-2\cdot 0+3$

$y=3$

Logo, o gráfico passa por $\left(0,3\right)$.

Para $\left(x,0\right)$:

$0=-2x+3$

$2x=3$

$x=\frac{3}{2}$

Logo, o gráfico passa por $\left(\frac{3}{2},0\right)$.

Sendo assim, o gráfico pode ser representado por:

b) I. Falsa, pois $a<0$.

II . Verdadeira.

III . Falsa, o zero dessa função é $\frac{3}{2}$.

IV . Verdadeira.

c) Sugestão de resposta:

I . Essa função é decrescente.

III . O zero dessa função é $\frac{3}{2}$.

33. a) Sugestão de resposta: Consideramos $y=ax+b$, que passa por $\left(0,6\right)$ e $\left(5,0\right)$.

No primeiro caso, temos:

$6=a\cdot 0+b$

Logo, $b=6$.

No segundo caso, temos:

$0=5\cdot a+b$

Substituindo $b=6$, obtemos: $0=5\cdot a+6$.

Logo, $a=-\frac{6}{5}$.

Desse modo: $y=-\frac{6}{5}x+6$.

b)

Questão 9.

a) Considerando $y=x^2+3x+9$ e $x=5$, temos:

$y=5^2+3\cdot 5+9$

$y=25+15+9$

$y=49$

Ou seja, para $x=5$, a área mede $49{\text{m}}^2$.

b) Considerando $y=x^2+3x+9$ e $x=3,2$, temos:

$y={\left(3,2\right)}^2+3\cdot 3,2+9$

$y=10,24+9,6+9$

$y=28,84$

Ou seja, para $x=3,2$, a área mede $28,84{\text{m}}^2$.

c) Considerando $y=x^2+3x+9$ e $x=5,1$, temos:

$y={\left(5,1\right)}^2+3\cdot 5,1+9$

$y=26,01+15,3+9$

$y=50,31$

Ou seja, para $x=5,1$, a área mede ${\text{50,31 m}}^2$.

Atividades

34. Considerando $y=a{x}^2+bx+c$ e substituindo os valores indicados, temos:

a) $y=-2x^2+5x+15$

b) $y=8x^2+\frac{1}{2}x-3$

c) $y=14x^2+5x+12$

d) $y=-\frac{1}{3}{x}^2+9x+6$

e) $y=\frac{5}{3}{x}^2-4x$

f) $y=\frac{1}{7}{x}^2+7$

g) $y=-2x^2+\frac{3}{4}x$

h) $y=\frac{3}{5}{x}^2-\frac{1}{5}$

35. Considerando $y=m^2+m-2$, para:

a) $m=10$, temos: $y={10}^2+10-2=108$

b) $m=0$, temos: $y=0^2+0-2=-2$

c) $m=18$, temos: $y={18}^2+18-2=340$

d) $m=-8$, temos: $y={\left(-8\right)}^2-8-2=54$

e) $m=\frac{2}{3}$, temos: $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-2=\frac{4}{9}+\frac{6}{9}-\frac{18}{9}=-\frac{8}{9}$

36. Considerando $y=3x^2-6x-3$ e $y=-3$, temos:

$-3=3x^2-6x-3$

$-1=x^2-2x-1$

$0=x^2-2x$

$0=x\cdot \left(x-2\right)$

Logo, $x=0$ ou $x=2$.

37. Para que a função seja quadrática, a deve ser diferente de zero $\left(a\ne 0\right)$. Desse modo:

a) $t-5\ne 0$

$t\ne 5$

b) $4t\ne 0$

$t\ne 0$

c) $-t+1\ne 0$

$t\ne 1$

d) $\frac{1}{6}+t\ne 0$

$t\ne -\frac{1}{6}$

e) $3t+2\ne 0$

$3t\ne -2$

$t\ne -\frac{2}{3}$

f) $t^2-9\ne 0$

$t^2\ne 9$

$t\ne -3$ e $t\ne 3$.

38. A. Considerando $A_t$ a medida da área do triângulo, temos:

$A_t=\frac{\left(x+1\right)\cdot \left(x+3\right)}{2}$

$A_t=\frac{x^2+4x+3}{2}$, para $x>-1$, pois $\left(x+1\right)>0$.

B. A figura pode ser decomposta em um triângulo e um quadrado. Assim, considerando $A_t$ e $A_q$ para representar as respectivas medidas das áreas, a medida da área da figura é dada por $A_t+A_q$. Logo:

$A_t=\frac{\left(4x+2\right)\cdot 4x}{2}$

$A_t=\frac{16x^2+8x}{2}$

$A_t=8x^2+4x$ para $x>-\frac{1}{2}$, pois $\left(4x+2\right)>0$.

$A_q=l^2$

$A_q={\left(4x\right)}^2$

$A_q=16x^2$

Ou seja, a medida da área total da figura é dada por $A=24x^2+4x$, para $x>-\frac{1}{2}$.

C. Considerando $A$ a medida da área do retângulo, temos:

$A=2x\cdot 3x$

$A=6x^2$, para $x>0$.

D. Considerando $A_t$ a medida da área do triângulo, temos:

$A_t=\frac{\left(2x+3x\right)\cdot 2x}{2}$

$A_t=\frac{4x^2+6x^2}{2}$

$A_t=2x^2+3x^2$

$A_t=5x^2$, para $x>0$.

39. a) A medida da área é dada pela multiplicação das medidas do comprimento dos lados. Desse modo, temos:

$y=3x\cdot \left(5x-4\right)$
$y=15x^2-12x$

$z=x\cdot \left(x+9\right)$
$z=x^2+9x$

b) Considerando $y=15x^2-12x$ e $x=9$, temos:

$y=15\cdot 9^2-12\cdot 9$

$y=15\cdot 81-12\cdot 9$

$y=1.215-108$

$y=15\cdot 81-12\cdot 9$

$y=1.107$

Ou seja, a área total do terreno mede $1.107{\text{m}}^2$.

Considerando que a medida da área da quadra é dada por $z=x^2+9x$ e substituindo $x=9$, temos:

$z=9^2+9\cdot 9$

$z=81+81$

$z=162$

Ou seja, a área da quadra mede $162{\text{m}}^2$.

40. Considerando $y=200+0,01x+0,001x^2$ e $x=1.000$, temos:

$y=200+0,01\cdot 1.000+0,001{(1.000)}^2$

$y=200+10+0,001\cdot 1.000.000$

$y=200+10+1.000$

$y=1.210$

Ou seja, o custo é de R$ 1.210,00.

Para $x=998$, temos:

$y=200+0,01\cdot 998+0,001\cdot {\left(998\right)}^2$

$y=200+9,98+0,001\cdot 996.004$

$y=200+9,98+996,004$

$y=1.205,98$

Ou seja, o custo é de R$ 1.205,98.

Calculando a diferença, temos:

$1.210-1.205,98=4,02$

Portanto, a resposta correta é indicada na alternativa e.

41. a) Considerando as medidas do comprimento dos lados do retângulo apresentado, temos:

$y=\left(2x-4\right)\cdot \left(3x+3\right)$

$y=6x^2+6x-12x-12$

$y=6x^2-6x-12$, para $x>2$, pois $2x+4>0$.

b) Considerando $y=6x^2-6x-12$ e $x=4$, temos:

$y=6\cdot 4^2-6\cdot 4-12$

$y=6\cdot 16-24-12$

$y=96-24-12$

$y=60$

42. a) Decompondo a figura em dois retângulos cujas medidas de área são dadas por $\left(x-1\right)\cdot x$ e por $\left(5-x\right)\cdot 5$, podemos obter a medida da área total da figura calculando:

$y=\left(x-1\right)\cdot x+\left(5-x\right)\cdot 5$

$y=x^2-x+25-5x$

$y=x^2-6x+25$, para $x>1$, pois $x-1>0$.

b) Calculando $y=x^2-6x+25$ para $x=2$, obtemos:

$y=2^2-6\cdot 2+25$

$y=4-12+25$

$y=17$

Ou seja, $17{\text{m}}^2$.

43. a) Calculando a soma dos 15 primeiros termos, temos:

${15}^2=225$

Calculando a soma dos 50 primeiros termos, temos:

${50}^2=2.500$