Os números reais

Números irracionais

No ano anterior, estudamos o conjunto dos números racionais. Vimos que a representação decimal de um número racional pode ser finita ou infinita e que, no segundo caso, a representação se dá por meio de dízimas periódicas.

Porém, existem números que têm representações decimais infinitas e não periódicas, os quais são chamados números irracionais.

Analise alguns exemplos.

• $0,01001000100001\dots$
• $-\text{0,790569415}\dots$
• $1,2112111211112\dots$

Os números irracionais não podem ser escritos na forma $\frac{a}{b}$, com a e b inteiros e $b\ne 0$.

Questão 1. Realize uma pesquisa a respeito do surgimento dos números irracionais. Em seguida, apresente as informações que julgar interessante para a turma.

Resposta pessoal.

O número irracional $\sqrt{2}$

Acompanhe o que a professora de Fábio está dizendo.

Para responder a essa pergunta, precisamos determinar um número que elevado ao quadrado resulte em 2. Nesse caso, segue que, em centímetros, a medida do comprimento do lado desse quadrado é expressa pelo número "raiz quadrada de 2", que é denotado por $\sqrt{2}$.

O número irracional $\pi$

O número irracional $\pi$ (lê-se: pi) é definido como o quociente entre a medida do comprimento da circunferência de um círculo e a medida do comprimento de seu diâmetro.

Representação geométrica

Agora, vamos representar o número irracional $\sqrt{2}$ na reta numérica. Para isso, executaremos as etapas apresentadas a seguir.

1ª. Construímos um quadrado cujo comprimento do lado mede 2 unidades ($2\text{u}$).

2ª. Em seguida, realizamos a decomposição desse quadrado em 4 quadrados com o comprimento do lado medindo $1\text{u}$, conforme apresentado na imagem a seguir.

Cada um dos quadrados obtidos na 2ª etapa tem área medindo 1 unidade.

3ª. Traçamos as diagonais em cada um dos quadrados obtidos.

Cada um dos triângulos obtidos (destacados em verde) tem área medindo 0,5 unidade. Consequentemente, o quadrado em verde tem área medindo 2 unidades. Portanto, cada um de seus lados tem comprimento medindo $\sqrt{2}\text{u}$.

4ª. Com o auxílio de um compasso, transportamos para a reta numérica a medida do comprimento do lado do quadrado em verde.

Questão 2. Junte-se a um colega e, de maneira semelhante à apresentada nesta página, representem na reta numérica o número irracional $\sqrt{8}$. Façam essa representação no caderno.

Resposta na seção Resoluções.

Números reais

Reunindo todos os números racionais e todos os números irracionais, obtém-se o conjunto dos números reais, denotado por $\mathbb{R}$.

As operações com números reais satisfazem às mesmas propriedades referentes às operações com números racionais. Além disso, os procedimentos de comparação de números racionais se estendem aos números reais.

Podemos representar números reais em uma reta numérica. Analise alguns exemplos.

Podemos estimar a localização do número real $1,324512\dots$ na reta numérica.

O número $1,324512\dots$ está entre 1,3 e 1,4, porém mais próximo de 1,3. Nesse caso, na reta numérica, indicamos o ponto correspondente ao número $1,324512\dots$ entre 1,3 e 1,4, mais próximo de 1,3, conforme apresentado na imagem.

No tópico O número irracional $\sqrt{\mathbf{2}}$, vimos que $\sqrt{2}=1,4142\dots$. Agora, vamos ver uma maneira de obter essa representação decimal. Sabemos que $1<2<4$, então:

$\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}\Rightarrow 1<\sqrt{2}<2$

Utilizando o mesmo procedimento, obtemos:

$1,4^2=1,96<2<2,25=1,5^2$

Sendo assim, verificamos que:

$\sqrt{1,96}<2<\sqrt{2,25}\Rightarrow 1,4<\sqrt{2}<1,5$

Repetindo o procedimento, obtemos:

$1,{41}^2=1,9881<2<2,0164=1,{42}^2$

Logo:

$\sqrt{1,9881}<2<\sqrt{2,0164}\Rightarrow 1,41<\sqrt{2}<1,42$.

Prosseguindo com esse procedimento, obtemos:

$\sqrt{2}=1,4142\dots$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Junte-se a um colega e escrevam quais procedimentos vocês utilizariam para representar o número $2\sqrt{2}$ na reta numérica. Em seguida, representem esse número na reta.

Resposta na seção Resoluções.

2. Entre os números apresentados a seguir, determine quais são irracionais.

• 5

• $\sqrt{2}$

• 2,45

• $-\frac{\pi }{2}$

• $\sqrt{3}$

• 1.045

• $\frac{\sqrt{5}}{3}$

• $5,\bar{2}$

• $\pi$

• 12,4587

• $0,12\bar{6}$

• 25

Resposta: $\sqrt{2}$, $-\frac{\pi }{2}$, $\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{5}}{3}$ e $\pi$.

3. Em seu caderno, obtenha a representação decimal, com 4 casas, do número irracional $\sqrt{3}$.

Resposta na seção Resoluções.

4. Qual número é maior: $\sqrt{5}$ ou $\frac{7}{3}$?

Resposta: $\frac{7}{3}$.

5. As letras indicadas na reta numérica representam números reais.

Os números correspondentes a cada uma dessas letras estão representados a seguir.

Em seu caderno, escreva a letra e o número correspondentes.

Resposta: $A=1,3$, $B=\sqrt{2}$, $C=-\frac{\pi }{5}$, $D=-\sqrt{3}$ e $E=\sqrt{7}$.

6. Copie a reta numérica apresentada em seu caderno.

Em seguida, estime a localização dos números a seguir nessa reta.

Resposta na seção Resoluções.

Versão adaptada acessível

6. Junte-se a um colega e copiem a reta numérica apresentada.

Depois, estimem a localização dos números a seguir nessa reta.

• $-1,529237\dots$

• $\frac{\sqrt{3}}{3}$

• $0,101001\dots$

• $-\frac{\sqrt{2}}{7}$

• $\pi$

Resposta na seção Resoluções.

Orientação para acessibilidade

Professor, professora: aproveite que os estudantes estarão organizados em duplas e instigue-os a desenvolver estratégias de estimativa. Se julgar necessário, estime a localização do número $\frac{\sqrt{3}}{3}$ com eles. Por fim, após todos concluírem a atividade, organize uma roda de conversa para que as estratégias utilizadas sejam compartilhadas.