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UNIDADE

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Potenciação e radiciação

Fotografia da vista aérea de terras agrícolas distribuídas por áreas para diferentes plantios e em diferentes formatos.
Vista aérea de terras agrícolas em Petrolina, Pernambuco, em 2022, distribuídas por áreas para diferentes plantios.

Agora vamos estudar...

  • potenciação com expoentes naturais;
  • potenciação com expoentes negativos;
  • potenciação com expoentes fracionários;
  • radiciação e cálculo de raízes;
  • propriedades dos radicais;
  • simplificação de raízes.

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Relembrando potenciação

A potenciação é uma operação utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais, na qual podemos identificar os seguintes elementos.

Esquema nomeando cada elemento da expressão: 4 elevado a 3 é igual a 4 vezes 4 vezes 4 que é igual a 64.  No primeiro quatro há duas indicações, a primeira diz: potência, a segunda diz: base: fator que se repete. No expoente 3 há a indicação: expoente: indica a quantidade de vezes que o fator se repete.

Lemos 4 3 das seguintes maneiras: quatro elevado ao cubo, quatro ao cubo ou quatro elevado à terceira potência.

Analise alguns exemplos de cálculos de potências.

  • 5 4 = 5 5 5 5 4   fatores   iguais = 62 5
  • 0 , 2 2 = 0 , 2 0 , 2   2   fatores   iguais = 0 , 0 4
  • ( 3 ) 3 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )   3   fatores   iguais = 2 7
  • ( 5 ) 4 = ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4   fatores   iguais = 625
  • ( 0 , 5 ) 5 = ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 ) 5   fatores   iguais = 0 , 0 312 5

Denomina-se potência de base a e expoente n, em que n é um número natural maior do que 1, o número a n (lê-se: a elevado a n), que corresponde ao produto de n fatores a, ou seja:

a n = a a a a   n   fatores iguais

Caso n = 0 ou n = 1 , definimos:

a 1 = a , isto é, a elevado a 1 é igual a a, para qualquer que seja a. Acompanhe alguns exemplos.

2 5 1 = 2 5

5 1 = 5

( 3 ) 1 = 3

a 0 = 1 , isto é, a elevado a 0 é igual a 1, para qualquer que seja a. Acompanhe alguns exemplos.

6 5 0 = 1

8 0 = 1

( 2 ) 0 = 1

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Potências com expoente negativo

Agora, estudaremos potências com expoente negativo.

Um número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse número elevado ao oposto do expoente.

Assim, sendo a (base) um número diferente de zero e n (expoente) um número natural, temos:

a n = 1 a n ou a n = ( 1 a ) n

Atenção!

Lembre-se de que o inverso de um número a diferente de zero é 1 a .

Acompanhe alguns exemplos.

  • 5 2 = 1 5 2 = 1 25
  • ( 4 ) 3 = 1 ( 4 ) 3 = 1 ( 64 ) = 1 64
  • ( 2 3 ) 2 = ( 3 2 ) 2 = 3 2 3 2 = 9 4

Propriedades das potências

Neste tópico, estudaremos algumas propriedades das potências decorrentes das definições apresentadas nesta unidade.

1ª propriedade

Um produto de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e adicionando os expoentes.

De modo geral, sendo m e n números inteiros e a um número real, temos a m a n = a m + n , com a 0 se m 0 ou n 0 .

Exemplos:

  • 2 4 2 3 = 2 4 + 3 = 2 7
  • ( 7 ) 2 ( 7 ) 5 = ( 7 ) 2 + 5 = ( 7 ) 7

2ª propriedade

Um quociente de potências de mesma base pode ser transformado em uma única potência mantendo a base e subtraindo os expoentes.

De modo geral, sendo m e n números inteiros e a 0 , temos a m : a n = a m n .

Exemplos:

  • 3 5 : 3 2 = 3 5 2 = 3 3
  • ( 6 7 ) : ( 6 5 ) = ( 6 ) 7 5 = ( 6 ) 2

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3ª propriedade

A potência de um produto pode ser transformada em um produto de potências elevando cada número ao expoente nela indicado.

De modo geral, sendo n um número inteiro e a e b números reais, temos ( a b ) n = a n b n , com a b 0 se n 0 .

Exemplos:

  • ( 2 5 ) 3 = 2 3 5 3
  • ( 5 3 ) 5 = ( 5 ) 5 3 5
  • ( 4 2 ) 2 = 4 2 2 2

4ª propriedade

A potência de um quociente pode ser transformada em um quociente de potências elevando cada número ao expoente nela indicado.

De modo geral, sendo n um número inteiro e a e b números reais, com b 0 , temos ( a : b ) n = a n : b n , com a 0 se n 0 .

Exemplos:

  • ( 6 : 7 ) 3 = ( 6 7 ) 3 = 6 3 7 3 = 6 3 : 7 3
  • ( 15 : 4 ) 4 = ( 15 4 ) 4 = 1 5 4 4 4 = 1 5 4 : 4 4

5ª propriedade

A potência de uma potência pode ser transformada em uma única potência mantendo a base dela e multiplicando os seus expoentes.

De modo geral, sendo m e n números inteiros e a um número real, temos ( a n ) m = a n m , com a 0 se m 0 ou n 0 .

Exemplos:

  • ( 3 5 ) 2 = 3 5 2 = 3 1 0
  • [(6)4]3=(6)43=(6)12

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Calcule as potências.

a) 1 6 3

b) 15 1 1

c) 50 0 0

d) 0 9

e) 1 3 2

f) ( 7 ) 3

g) ( 4 ) 3

h) ( 2 5 ) 2

i) ( 2 3 ) 5

j) ( 10 21 ) 0

Respostas: a) 1; b) 151; c) 1; d) 0; e) 169; f) 1 343 ; g) 6 4 ; h) 25 4 ; i) 32 243 ; j) 1.

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2. A seguir, identifique quais potências são maiores do que 1.

a) ( 8 ) 5

b) ( 4 3 ) 3

c) ( 2 9 ) 2

d) ( 11 15 ) 1

e) ( 7 3 ) 4

f) ( 15 14 ) 2

Resposta: Alternativas c e d.

3. Usando as propriedades das potências, calcule.

a) 2 5 2 3

b) ( 8 ) 2 1 ( 8 ) 1 8

c) ( 4 3 ) ( 4 3 ) 2

d) ( 3 ) 2 ( 1 2 ) 2

e) ( 10 ) 2 : ( 10 ) 3

f) ( 3 2 ) 3 : ( 6 5 ) 3

g) ( 4 2 ) 3

h) ( 2 3 ) 4

Respostas: a) 2 8 = 25 6 ; b) ( 8 ) 3 = 51 2 ; c) ( 4 3 ) 3 = 64 27 ; d) ( 3 2 ) 2 = 9 4 ; e) 1 0 5 = 0 , 0 000 1 ; f) ( 5 4 ) 3 = 125 64 ; g) 4 6 = 4 . 096 ; h) 2 1 2 = 1 4 . 096 .

4. Ícone uso de instrumentos Com o auxílio de uma calculadora, calcule:

a) o produto entre ( 3 ) 2 e ( 3 ) 7 .

b) o quociente entre 1 1 8 e 1 1 5 .

c) o cubo da metade de 5.

d) a metade do cubo de 5.

e) a quarta potência do dobro de 5.

f) o quadrado do dobro de 8 .

Respostas: a) 19 . 683 ; b) Aproximadamente 0,00075; c) 15,625; d) 62,5; e) 10 . 000 ; f) 256.

5. Resolva as expressões em cada item.

a) ( 2 2 5 2 ) : 4 1

b) 1 6 3 : ( 8 ) 4 + 1 5 0 ( 1 ) 1 1

c) 4 3 + ( 1 2 ) 5

d) ( 8 3 ) 2 + ( 9 4 ) 3

e) ( 1 + 4 5 ) 3 ( 5 3 ) 4

Respostas: a) 25; b) 1; c) 1 64 ; d) 369 32 ; e) 3.564 625 .

6. Ícone desafio. Em cada item, determine o valor de x para que a igualdade seja verdadeira.

a) ( 3 ) x = 24 3

b) ( 11 7 ) x = 1

c) x 10 0 = 1

d) x 3 = 1 27

Respostas: a) x = 5 ; b) x = 0 ; c) x = 1 ; d) x = 3 .

7. Calcule.

a) 1 0 2

b) 1 0 5

c) 1 0 8

d) 1 0 7

e) 1 0 3

f) 1 0 0

Atenção!

Em uma potência de base 10 com expoente inteiro positivo, a quantidade de zeros no resultado após o algarismo 1 é igual ao valor do expoente.

Em uma potência de base 10 com expoente inteiro negativo, a quantidade de algarismos à direita da vírgula é igual ao oposto do valor do expoente.

Respostas: a) 100; b) 100 . 000 ; c) 100 . 000 . 000 ; d) 10 . 000 . 000 ; e) 1 . 000 ; f) 1.

8. Anderson colocou uma dúzia de ovos em uma caixa pequena, inseriu uma dúzia dessas caixas pequenas em caixas maiores e, por fim, acomodou uma dúzia dessas caixas maiores em um caminhão para transporte. Quantos ovos esse caminhão transportou?

Resposta: 1 . 728 ovos.

9. Ícone desafio. Entre as expressões a seguir, qual apresenta o maior valor? Justifique a resposta em seu caderno.

  • 4 2 0

  • 4 1 8 + 4 1 8 + 4 1 8 + 4 1 8

Resposta: 4 2 0 , pois 4 2 0 > 4 1 4 1 8 .

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10. Leia as informações a seguir.

Imagem com elementos não proporcionais entre si.

A. Fotografia de Marte.
A distância mínima aproximada entre a Terra e Marte mede 56 . 000 . 000   km .
B. Fotografia de teia de aranha.
A média da medida do diâmetro de uma teia de aranha é 0 , 00 015   mm , e só conseguimos vê-la a olho nu devido à reflexão do Sol.

Atenção!

Os números escritos em notação científica devem ter a forma a 1 0 n , sendo:

a: um número maior ou igual a 1 e menor do que 10.

n: um número inteiro.

Para reduzir a quantidade de algarismos em números muito grandes, ou muito pequenos, podemos indicá-los usando a notação científica. Os números anteriores, por exemplo, podem ser representados da seguinte maneira.

A. 56 . 000 . 000 = 5 , 6 10 . 000 . 000 = 5 , 6 1 0 7 .

B. 0 , 00 015 = 1 , 5 0 , 0 001 = 1 , 5 1 0 4

Represente os números destacados nas informações a seguir em notação científica.

a) A medida do volume de água dos oceanos da Terra é de aproximadamente 1.320.000.000 km3.

b) A medida da distância média da Terra ao Sol é de 149.600.000 km.

c) Um quilograma equivale a 0,000001 mg.

d) As hemácias, cujo comprimento do diâmetro mede 0,007 mm, estão presentes no sangue humano.

Respostas: a) 1 , 32 1 0 9 ; b) 1 , 496 1 0 8 ; c) 1 1 0 6 ; d) 7 1 0 3 .

11. Para adicionarmos ou subtrairmos números em notação científica, os expoentes da base 10 devem ser iguais. Se os expoentes forem diferentes, podemos reescrever um dos números fazendo a adaptação adequada. Em seguida, efetuamos a operação com os coeficientes e conservamos a base 10. Acompanhe um exemplo.

3 , 4 1 0 8 + 8 , 5 1 0 7 =

= 3 , 4 1 0 8 + 85 1 0 8 =

= ( 3 , 4 + 85 ) 1 0 8 =

= 88 , 4 1 0 8 =

= 8 , 84 1 0 7

Usando esse procedimento, efetue os cálculos a seguir.

a) 7 , 93 1 0 5 + 5 1 0 6

b) 3 , 99 1 0 5 4 , 92 1 0 7

Respostas: a) 5 , 793 1 0 6 ; b) 3 , 9 408 1 0 5 .

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Radiciação

Neste tópico, estudaremos algumas situações envolvendo a operação radiciação.

Considere a seguinte situação.

Pedro é marceneiro e vai fabricar uma mesa cuja superfície, de forma quadrada, terá 4 . 900   cm 2 de medida de área. Para isso, é necessário que ele saiba a medida do comprimento do lado da superfície dessa mesa.

Extraindo a raiz quadrada de 4.900, é possível obter essa medida.

4 . 900 = 7 0 , pois 70 70 = 7 0 2 = 4 . 900

Logo, o comprimento do lado da superfície da mesa que Pedro vai fabricar medirá 70   cm .

A radiciação, operação usada para resolver a situação anterior, é a operação inversa da potenciação.

Em uma radiciação, temos os seguintes elementos:

Esquema nomeando cada elemento da expressão: raiz quadrada de 4900 é igual a 70. Em que: A raiz chama-se radical;  O quadrado chama-se índice; 4900 é o radicando; E 70 é a raiz.

Atenção!

Usualmente, o índice 2 da raiz quadrada é omitido. Indicamos, por exemplo, 4900 2 por 4 . 900 .

Agora, considere outra situação.

O cubo mágico representado a seguir tem a medida de volume igual a 12 5   cm 3 . Para saber a medida das dimensões desse cubo, basta calcular a raiz cúbica de 125.

12 5 3 = 5 , pois 5 5 5 = 5 3 = 12 5

Fotografia de um cubo mágico.
Cubo mágico.

Logo, as dimensões desse cubo medem 5   cm .

Questão 1. Realize uma pesquisa para descobrir o inventor do cubo mágico. Depois, registre os resultados obtidos no caderno.

Atenção!

A pesquisa proposta na questão 1 pode ser feita em sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com as de outras fontes.

Resposta: Espera-se que os estudantes concluam que o inventor do cubo mágico foi o húngaro Ernő Rubik e que o brinquedo também é chamado de Cubo de Rubik em homenagem a seu criador.

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Raiz enésima

Para calcular a raíz enésima de um número real a (indicada por a n ), devemos considerar os seguintes casos.

Atenção!

enésimo: que ocupa a posição do número n; também pode ser escrito como n-ésimo.

a) n é um número natural par, diferente de zero.

  • Para a 0 , a raiz enésima de a é um número real b não negativo, tal que b n = a .

    Acompanhe alguns exemplos.

    • 8 1 = 9 , pois 9 2 = 8 1 .
    • 25 6 4 = 4 (lê-se: raiz quarta de 256 é igual a 4), pois 4 4 = 25 6 .
    • 72 9 6 = 3 (lê-se: raiz sexta de 729 é igual a 3), pois 3 6 = 72 9 .
  • Para a < 0 , a raiz enésima de a não é definida no conjunto dos números reais, pois não existe um número b tal que b n = a .

    Exemplo: Não existe 3 6 2 no conjunto dos números reais, pois não existe um número real que, elevado ao quadrado, seja igual a 3 6 .

b) n é um número natural ímpar, diferente de 1.

A raiz enésima de a é um número real b, tal que b n = a .

Nesse caso, quando a é um número real positivo, b também é positivo, e quando a é negativo, b também é negativo.

Acompanhe alguns exemplos.

  • 6 4 3 = 4 , pois 4 3 = 6 4 .
  • 24 3 5 = 3 (lê-se: raiz quinta de 24 3 é igual a 3 ), pois ( 3 ) 5 = 24 3 .
  • 12 8 7 = 2 (lê-se: raiz sétima de 12 8 é igual a 2 ), pois ( 2 ) 7 = 12 8 .

Questão 2. Copie as sentenças a seguir em seu caderno, substituindo os pelos números adequados.

a) A raiz sétima de é 5, pois 5 5 5 5 5 5 5 = 5 7 = .

b) A raiz quarta de 81 é , pois = 4 = 8 1 .

c) A raiz quinta de 3 2 é , pois = 5 = 3 2 .

d) A raiz sexta de 64 é , pois = 6 = 64 .

Respostas: a) = 78 . 125 ; b) = 3 ; c) = 2 ; d) = 2 .

Questão 3. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre o surgimento do símbolo utilizado para indicar a radiciação. Depois, apresente seus resultados para os colegas e professor.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam com suas pesquisas que esse símbolo é uma criação do alemão Christoff Rudolff, em seu livro Die Coss, de 1525.

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Potências com expoente fracionário

Já estudamos em anos anteriores as potências com expoente fracionário e verificamos que elas podem ser escritas por meio de radicais, assim como radicais podem ser escritos na forma de potências. Analise alguns exemplos.

  • 3 2 3 = 3 2 3
  • 5 3 4 = 5 3 4
  • 6 3 5 = 6 3 5

De modo geral, sendo a um número racional positivo, n e m números naturais, com n > 1 e m > 0 , temos:

a m n = a m n

Atenção!

O índice do radical corresponde ao denominador do expoente da potência.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Em cada item está indicada a medida da área de um quadrado. Efetue os cálculos e determine a medida do perímetro de cada quadrado.

a) 25 6   cm 2

b) 36 1   cm 2

c) 44 1   cm 2

d) 57 6   cm 2

Respostas: a) 64   cm ; b) 76   cm ; c) 84   cm ; d) 96   cm .

13. Qual é a medida do comprimento da aresta do cubo cujo volume mede:

a) 51 2   cm 3 .

b) 1 . 331   cm 3 .

c) 3 . 375   cm 3 .

d) 4 . 913   cm 3 .

Respostas: a) 8   cm ; b) 11   cm ; c) 15   cm ; d) 17   cm .

14. Ícone uso de instrumentos Utilizando uma calculadora, efetue os cálculos, determine o valor de cada e registre no caderno.

a) 3 = 1 5

b) = 3 5

c) = 4 1

d) 3 = 1 8

e) 4 = 8

f) 3 = 2 4

Respostas: a) 3 . 375 ; b) 1 . 225 ; c) 1 . 681 ; d) 5 . 832 ; e) 4 . 096 ; f) 13 . 824 .

15. Ícone uso de instrumentos Nos itens a seguir, n representa o índice das raízes. Efetue os cálculos com uma calculadora e determine o valor de n .

a)   81 n = 9

b) 12 5 n = 5

c) 3 2 n = 2

d) 12 8 n = 2

e) 2187 n = 3

f) 25 6 n = 4

Respostas: a) 2; b) 3; c) 5; d) 7; e) 7; f) 4.

16. Sem efetuar cálculos, identifique quais das raízes a seguir são definidas no conjunto dos números reais.

A. 3 2 5

B. 25 6 8

C. 34 3 3

D. 8 1 4

E. 2 . 187 7

F. 4 . 096 12

G. 1 2

H. 2 . 187 7

Resposta: Alternativas A, C, D, E e H.

17. A seguir, escreva em seu caderno as potências como raízes e as raízes como potências

a) 2 7 1 4

b) 4 0 2 5

c) ( 7 6 ) 2 3

d) 18

e) 6 5 3

f) 8 1 5

Respostas: a) 2 7 4 ; b) 1 . 600 5 ; c) 49 36 3 ; d) 1 8 1 2 ; e) 6 5 3 ; f) 9 2 5 .

18. Indique as igualdades verdadeiras.

a) ( 2 3 4 ) 1 3 = 2 3 4

b) ( 5 9 10 ) 5 3 = 5 3

c) ( 3 3 8 ) 2 = 3 3 4

d) ( 1 1 10 3 ) 3 4 = 1 1 5

Resposta: Alternativas b, c e d.

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Propriedades dos radicais

Estudaremos, a seguir, algumas propriedades dos radicais. Elas podem ser úteis ao realizar cálculos com radicais.

1ª propriedade

Quando o índice do radical e o expoente do radicando são positivos e iguais, o resultado é o próprio radicando. Exemplos:

  • 6 5 5 = 6 5 5 = 6 1 = 6
  • 7 4 4 = 7 4 4 = 7 1 = 7

De modo geral, sendo a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, temos a n n = a .

2ª propriedade

Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número natural não nulo, obtemos um radical equivalente ao inicial. Exemplos:

  • 9 3 4 = 9 3 4 = 9 3 2 4 2 = 9 3 2 4 2 = 9 6 8
  • 5 4 12 = 5 4 12 = 5 4 : 4 12 : 4 = 5 4 : 4 12 : 4 = 5 3

De modo geral, sendo a um número real positivo, n um número natural maior do que 1, m e p números naturais diferentes de zero, temos:

a m n = a m p n p e a m n = a m : p n : p

3ª propriedade

A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores e a raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor. Exemplos:

  • 3 4 = ( 3 4 ) 1 2 = 3 1 2 4 1 2 = 3 4
  • 2 7 3 = ( 2 7 ) 1 3 = 2 1 3 7 1 3 = 2 3 7 3

De modo geral, sendo a e b número reais positivos e n um número natural maior do que 1, temos: a b n = a n b n e a b n = a n b n ou a : b n = a n : b n

4ª propriedade

A raiz de uma raiz pode ser escrita na forma de um único radical, na qual o índice resultante é o produto dos índices das raízes iniciais. Exemplos:

  • 8 7 = ( 8 7 ) 1 2 = ( 8 1 7 ) 1 2 = 8 1 1 7 2 = 8 1 1 7 2 = 8 14
  • 2 4 3 = ( 2 4 ) 1 3 = ( 2 1 4 ) 1 3 = 2 1 1 4 3 = 2 1 1 4 3 = 2 12

De modo geral, sendo a um número real positivo, n e q números naturais maiores do que 1, temos a q n = a n q .

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Analise, a seguir, como podemos simplificar, por exemplo, as expressões numéricas ( 5 3 ) 2 e ( 1 0 7 ) 3 escrevendo cada uma na forma de uma única raiz.

  • ( 5 3 ) 2 = 5 3 5 3 = 5 5 3 = 5 2 3
  • ( 1 0 7 ) 3 = 1 0 7 1 0 7 1 0 7 = 10 10 1 0 7 = 1 0 3 7

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Efetue os cálculos a seguir.

a) 9 4

b) 25 100

c) 64 144

d) 121 256

e) 1 8 3

f) 1 81 4

Respostas: a) 3 2 ; b) 5 10 ; c) 8 12 ; d) 11 16 ; e) 1 2 ; f) 1 3 .

20. Escreva, no caderno, as expressões numéricas a seguir na forma de uma única raiz.

a) 2 3

b) 5 3 4

c) 8 5

d) 1 3 3 6

e) 9 3 7

f) 1 6 3 4

Respostas: a) 2 6 ; b) 5 12 ; c) 8 10 ; d) 1 3 18 ; e) 9 42 ; f) 1 6 24 .

21. De acordo com as propriedades das raízes, copie, no caderno, as igualdades verdadeiras.

A. 7 2 1 = 7 2 1

B. 5 1 5 3 = 5 2 0

C. 19 4 7 = 1 9 7 4 7

Respostas: A. 7 2 1 = 7 2 1 ; C. 19 4 7 = 1 9 7 4 7 .

22. Ícone desafio. Sendo a e b números reais positivos e m , n e p números naturais maiores do que 1, quais igualdades a seguir são verdadeiras?

A. a m n = a m p n p

B. a n b n = a b

C. a m n = a m n

D. a b m n = a n b n

E. a p n = a n p

F. a n b n = a b n

Resposta: Alternativas A, C e F.

23. Aplique as propriedades das raízes e transforme a expressão numérica de cada item em uma única raiz.

A. 2 3 5 3 9 3 4 3 1 0 3

B. 8 9 2 3 9 5 9 4 9

C. 7 6 5 8 5 5 3 2 5 1 2 5

Respostas: A. 9 4 3 ; B. 4 15 9 ; C. 112 45 5 .

24. Simplifique cada potência representando-a com uma única raiz.

a) ( 1 3 5 ) 4

b) ( 1 5 4 ) 3

c) ( 3 5 ) 2

d) ( 7 7 ) 6

e) ( 1 1 3 ) 2

f) ( 5 9 ) 7

Respostas: a) 1 3 4 5 ; b) 1 5 3 4 ; c) 3 2 5 ; d) 7 6 7 ; e) 1 1 2 3 ; f) 5 7 9 .

25. Calcule a medida da área de cada retângulo a seguir.

A. Ilustração de um retângulo com base medindo raiz sexta de 1000 metros e altura medindo raiz sexta de 100 metros.
B. Ilustração de um retângulo com base medindo, raiz décima quinta de 60 ao cubo, metros e altura medindo, raiz décima quinta de 60 ao quadrado, metros.

Respostas: A. 1 0 5 6   m 2 ou 1 0 5 6   m 2 ; B.   6 0 1 3   m 2 ou 6 0 3   m 2 .

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Simplificação de radicais

Existem casos em que não é possível calcular a raiz exata de um número, mas é possível simplificar a escrita dela.

Acompanhe um procedimento para simplificar 24 5 .

Inicialmente, decompomos o radicando em fatores primos.

Decomposição do número 245 em fatores primos. Há um segmento de reta vertical, com os seguintes números: 245 à esquerda do segmento e 5 à direita; na segunda linha: 49 abaixo do 245 à esquerda e 7 abaixo do 5 à direita; na terceira linha: 7 abaixo do 49 à esquerda e 7 abaixo do 7 à direita. Na quarta linha: 1 abaixo do 7 à esquerda.

24 5 = 7 7 5 = 7 2 5

Depois, aplicamos a propriedade a b n = a n b n , com a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1, e transformamos 7 2 5 em um produto de raízes.

24 5 = 7 2 5 = 7 2 5

Por último, aplicamos a propriedade a n n = a , com a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, e obtemos a escrita simplificada.

24 5 = 7 2 5 = 7 2 5 = 7 5

Atenção!

O fator 7 2 tem o mesmo expoente do índice do radical. Portanto, pode ser extraído do radicando.

Logo, a escrita simplificada de 24 5 é 7 5 .

Analise como podemos simplificar 54 0 usando a decomposição em fatores primos.

Decomposição do número 540 em fatores primos. Há um segmento de reta vertical, com os seguintes números: 540 à esquerda do segmento e 2 à direita; na segunda linha: 270 abaixo do 540 à esquerda e 2 abaixo do 2 à direita; na terceira linha: 135 abaixo do 270 à esquerda e 3 abaixo do 2 à direita. Na quarta linha: 45 abaixo do 135 à esquerda e 3 abaixo do 3 à direita; na quinta linha: 15 abaixo do 45 à esquerda e 3 abaixo do 3 à direita; na sexta linha: 5 abaixo do 15 à esquerda e 5 abaixo do 3 à direita; na sétima linha: 1 abaixo do 5 à esquerda.

54 0 = 2 2 3 3 3 5 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 3 5 =

= 2 3 3 5 = 6 1 5

Atenção!

Os fatores 2 2 e 3 2 têm o expoente igual ao índice do radical. Portanto, podem ser extraídos do radicando.

Logo, a escrita simplificada de 54 0 é 6 1 5 .

Também podemos introduzir um fator externo no radicando de uma raiz. Analise alguns exemplos.

  • 4 8 = 4 2 8 = 4 2 8 = 16 8 = 12 8
  • 5 9 5 = 5 5 9 5 = 3 . 125 9 5 = 28 . 125 5
  • 2 3 2 4 = 2 4 3 4 2 4 = 16 81 2 4 = 2 . 592 4

Página 31

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Em cada item, retire fatores do radicando.

a) 3 2 6

b) 4 5 3 3

c) 3 5 6 8 5

d) 2 8 7 1 0 4

e) 2 3 3 4 5 5

f) 2 8 3 5 1 0 7 6

Respostas: a) 3 6 ; b) 5 4 3 ; c) 1 8 21 6 5 ; d) 19 6 4 9 4 ; e) 45 0 1 0 ; f) 2 0 9 . 720 6 .

27. Simplifique as raízes.

a) 6 4 3

b) 43 2 4

c) 89 6 3

d) 2 . 187 5

e) 9 . 000

f) 16 . 384 3

Respostas: a) 4; b) 2 2 7 4 ; c) 4 1 4 3 ; d) 3 9 5 ; e) 3 0 1 0 ; f) 1 6 4 3 .

28. Os quadrados a seguir são representações de terrenos e em cada um deles está indicada a sua medida de área A .

Considerando 2 1 , 4 1 ; 3 1 , 7 3 ; e 5 2 , 2 4 , calcule a medida aproximada do comprimento do lado de cada terreno.

Atenção!

Para obter a medida do comprimento do lado de cada terreno, use as propriedades das raízes.

A. Ilustração de um quadrado com a indicação: A igual a 60 metros quadrados.
B. Ilustração de um quadrado com a indicação: A igual a 120 metros quadrados.
C. Ilustração de um quadrado com a indicação: A igual a  90 metros quadrados.
D. Ilustração de um quadrado com a indicação: A igual a 180 metros quadrados.

Respostas: A. 7 , 75   m ; B. 10 , 93   m ; C. 9 , 48   m ; D.   13,44 m .

29. Introduza no radicando os fatores externos.

a) 6 3

b) 5 6 3

c) 2 4 1 0

d) 2 5 2 5

Respostas: a) 10 8 ; b) 75 0 3 ; c) 64 0 ; d) 200 . 000 5 .

30. Determine o valor de x em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.

a) 9 6 4 = 2 x 4

b) 2 7 3 = x 3

c) 3 2 3 = x 4 3

d) 2 7 1 = x

e) 4 8 4 = x 4

f) 1 . 200 = x 3

Respostas: a) x = 6 ; b) x = 5 6 ; c) x = 2 ; d) x = 28 4 ; e) x = 2 . 048 ; f) x = 2 0 .

31. Qual deve ser o valor de a para que a igualdade a seguir seja verdadeira?

228 a = 2 62 7

Resposta: a = 1 1 .

32. Ícone desafio. Simplifique no caderno a expressão numérica.

2 4 8 3

Resposta: 2 2 12 .

33. Associe os itens que têm o mesmo resultado.

a) 2 6 3 4 4

b) 2 5 3 5 4

c) 2 4 3 6 4

d) 2 8 3 5 4

e) 6 9 4

f) 1 2 3 4

g) 6 4 4

h) 6 6 4

Resposta: ag; bh; ce; df.

Página 32

Operações com radicais

Adição e subtração com radicais

Em algumas situações, precisamos realizar operações com radicais, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Essas operações podem simplificar expressões numéricas envolvendo radicais.

Analise, por exemplo, como calcular o valor de 4 5 + 8 0 2 0 .

Inicialmente, decompomos cada radicando em fatores primos.

Decomposição do número 45 em fatores primos. Há um segmento de reta vertical, com os seguintes números: 45 à esquerda do segmento e 3 à direita; na segunda linha: 15 abaixo do 45 à esquerda e 3 abaixo do 3 à direita; na terceira linha: 5 abaixo do 15 à esquerda e 5 abaixo do 3 à direita. Na quarta linha: 1 abaixo do 7 à esquerda.
Decomposição do número 80 em fatores primos. Há um segmento de reta vertical, com os seguintes números: 80 à esquerda do segmento e 2 à direita; na segunda linha: 40 abaixo do 80 à esquerda e 2 abaixo do 2 à direita; na terceira linha: 20 abaixo do 40 à esquerda e 2 abaixo do 2 à direita. Na quarta linha: 10 abaixo do 20 à esquerda e 2 abaixo do 2 à direita; na quinta linha: 5 abaixo do 10 à esquerda e 5 abaixo do 2 à direita; na sexta linha: 1 abaixo do 5 à esquerda.
Decomposição do número 20 em fatores primos. Há um segmento de reta vertical, com os seguintes números: 20 à esquerda do segmento e 2 à direita; na segunda linha: 10 abaixo do 20 à esquerda e 2 abaixo do 2 à direita; na terceira linha: 5 abaixo do 10 à esquerda e 5 abaixo do 2 à direita. Na quarta linha: 1 abaixo do 5 à esquerda.

4 5 + 8 0 2 0 = 3 3 5 + 2 2 2 2 5 2 2 5 =

= 3 2 5 + 2 2 2 2 5 2 2 5

Depois, aplicamos a propriedade a b n = a n b n , com a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1.

3 2 5 + 2 2 2 2 5 2 2 5

Em seguida, aplicamos a propriedade a n n = a , com a um número real positivo e n um número natural maior do que 1.

3 5 + 2 2 5 2 5 = 3 5 + 4 5 2 5

Por último, colocamos em evidência o fator comum dos termos da expressão numérica, nesse caso 5 , e simplificamos a expressão numérica obtida.

3 5 + 4 5 2 5 = 5 ( 3 + 4 2 ) = 5 5 = 5 5

Logo, 4 5 + 8 0 2 0 = 5 5 .

Multiplicação e divisão com radicais

Para realizar multiplicações e divisões envolvendo radicais com o mesmo índice, basta aplicar as propriedades das raízes e depois simplificar o resultado. Analise dois exemplos.

  • 1 2 2 0 = 12 2 0 = 24 0 = 2 2 2 2 3 5 = 2 2 3 5 = 4 1 5
  • 16 8 : 3 = 168 : 3 = 5 6 = 2 2 2 7 = 2 1 4

Página 33

Agora, analise como efetuar multiplicações e divisões com radicais de índices diferentes.

Vamos calcular, por exemplo, 2 3 2 3 .

Escrevemos os radicais na forma de potências com expoentes fracionários. Em seguida, calculando o mínimo múltiplo comum ( mmc ) dos denominadores, reduzimos os expoentes a frações com o mesmo denominador.

2 3 2 3 = 2 1 2 3 2 3 = 2 3 6 3 4 6

mmc ( 2 , 3 ) = 6

Agora que as frações dos expoentes estão com o mesmo denominador, escrevemos as potências com expoentes fracionários na forma de raízes.

2 3 6 3 4 6 = 2 3 6 3 4 6

Depois, aplicamos as propriedades das raízes e simplificamos o resultado.

2 3 6 3 4 6 = 2 3 3 4 6 = 8 8 1 6 = 64 8 6

Portanto, 2 3 2 3 = 64 8 6 .

Seguindo os mesmos procedimentos, podemos calcular o valor de 1 4 2 5 : 1 4 3 .

1 4 2 5 : 1 4 3 = 1 4 2 5 : 1 4 1 3 = 1 4 6 15 : 1 4 5 15 = 1 4 6 15 : 1 4 5 15 = 1 4 6 : 1 4 5 15 = 1 4 15

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. No caderno, simplifique as expressões numéricas a seguir.

a) 3 + 5 + 3

b) 7 + 3 7 + 8 3

c) 2 2 1 1 + 5 2 3 1 1

Sugestão de respostas: a) 2 3 + 5 ; b) 9 3 ; c) 7 2 4 1 1 .

35. Fatore o radicando em cada item e simplifique as expressões numéricas.

a) 4 5 + 2 0 + 8 0

b) 5 4 + 2 4 6

c) 1 2 + 3 2 7 4 8 + 7 5

Respostas: a) 9 5 ; b) 4 6 ; c) 1 2 3 .

36. Sabendo que as letras representam números reais positivos, simplifique as expressões a seguir.

a) n + 4 0 3 + 5 3 + n

b) 4 a b 2 62 5 3 + 13 5 3 a b 2

c) 5 4 3 + m 2 p + 25 0 3 m p 2 + 2 m 2 p

Respostas: a) 2 n + 3 5 3 ; b) 3 b a 2 5 3 ; c) 3 m p p m + 8 2 3 .

37. Sabendo que a = 5 , b = 1 e c = 2 , calcule o valor das seguintes expressões.

a) a 2 + b 2 + c 2

b) a 2 + b 2 c 2

c) a 2 ( b 2 + c 2 )

d) 3 a 2 + b 2 c

e) a 2 + 4 a b c 2

Respostas: a) 8; b) 4; c) 15; d) 16 + 2 ; e) 3 4 5 .

Página 34

38. Calcule a medida do perímetro de cada figura representada a seguir, sabendo que as medidas estão dadas em metros.

A. Ilustração de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede: raiz quadrada de 4 ao quadrado, vezes, raiz de 3 elevado a quatro, menos 26, a base mede, raiz quadrada de 4096, menos 7 vezes 2 ao cubo e a altura mede, raiz cubica de 5 ao cubo. mais, início de fração, numerador: raiz quadrada de 2 elevado a 4, denominador:4, fim de fração.
B. Ilustração de uma figura de 4 lados cujas medidas dos lados em sentido horário começando pela base são: raiz quadrada de 200; raiz quadrada de 18; 2 vezes raiz quadrada de 32 e 3 vezes raiz quadrada de 2.

Respostas: A. 24   m ; B. 2 4 2   m .

39. Simplifique cada expressão numérica, deixando-as na forma irredutível, ou seja, até que não seja possível fazer mais simplificações.

a) 2 + 7 2 + 9 8 8

b) 24 3 2 7 + 2 . 187 3 . 267

c) 50 0 + 12 5 + 5 2 5

Respostas: a) 7; b) 1; c) 8.

40. Seja m = 2 . 000 50 0 e n = 24 + 18 0 . Calcule m + n e simplifique o resultado.

Resposta: 1 6 5 + 2 4 .

41. Considerando 2 1 , 4 ; 3 1 , 7 ; 5 2 , 2 e 7 2 , 6 , calcule o valor aproximado das seguintes expressões numéricas:

a) 3 2 0 5 5 0 + 8 0

b) 70 0 + 97 2 50 0

c) 2 4 5 + 5 0 1 8

d) 9 8 + 20 0 + 16 2

e) 7 . 500 2 . 450 4 . 500

Respostas: a) 1 3 ; b) 34 , 6 ; c) 16; d) 36 , 4 ; e) 3 0 .

42. Determine o valor de x em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.

a) 1 7 + x = 4 1 7

b) 2 0 + 5 = x

c) 8 x = 2

d) x 1 2 = 6 3

e) 1 2 5 x = 2 0

f) 5 7 + x = 6 3

Respostas: a) 3 1 7 ; b) 3 5 ; c) 2 ; d) 8 3 ; e) 1 4 5 ; f) 2 7 .

43. Efetue os cálculos.

a) 2 3 7

b) 4 5 1 2

c) 1 8 4 2

d) 3 2 5 2 0 2

e) 1 6 3 5 4 3

f) 5 0 1 2 8

Respostas: a) 16 1 ; b) 6 1 5 ; c) 6 2 1 ; d) 4 1 0 5 ; e) 6 4 3 ; f) 4 0 3 .

44. Analise a figura a seguir.

Ilustração de um retângulo com base medindo, início de fração, numerador: 4 vezes raiz quadrada de 63, denominador:  3, fim de fração, e a altura medindo, início de fração, numerador: 3 vezes raiz quadrada de 28, denominador: 2, fim de fração.

Sabendo que o retângulo anterior representa um terreno, elabore um problema usando as informações apresentadas e dê para um colega resolver. Depois, verifique se a resposta apresentada por ele está correta.

Resposta pessoal.

Página 35

45. Sabendo que as letras representam números reais positivos, resolva no caderno as expressões a seguir.

a) a 5 6 b a 6 b

b) x 2 y 3 5 x 3 y 2 5

c) z 4 y 2 7 z 3 y 6 7

d) 7 a 2 9 b 2 7 a 2 9 b 2

Respostas: a) a b 2 ; b) x y ; c) z y ; d) 7 a 2 9 b 2 .

46. Sendo x um número real positivo, a expressão x x 3 x 6 x 3 pode ser escrita como:

a) x 3 x 3

b) x 3 4

c) x x

d) x 3 x 4

e) x x 3

Resposta: Alternativa e.

47. Sabendo que A = 2 + 2 , B = 2 2 e C = 8 , calcule o valor de cada expressão.

a) A + B C

b) A B C

c) A C B

d) A B C

Respostas: a) 5 2 2 ; b) 4 2 ; c) 2 + 5 2 ; d) 1.

48. Simplifique cada expressão numérica a seguir, escrevendo-a no caderno com uma única raiz.

a) 33  6310

b) 2    5 6 4

c) 5  :  5 5 4

d) 2 2 7  :  2 3

Respostas: a) 1 . 458 30 ; b) 32 0 24 ; c) 12 5 40 ; d) 2 4 1 84 .

49. Calcule a medida da área de cada figura a seguir, sabendo que as medidas estão indicadas em metros.

A. Ilustração de um triângulo cuja base mede 4 menos raiz quadrada de 3 e a altura mede 4 mais raiz quadrada de 3.
B. Ilustração de um paralelogramo cuja base mede 3 vezes raiz quadrada de 8 e a altura mede 2 vezes raiz quadrada de 8.

Respostas: A. 6 , 5   m 2 ; B. 4 8   m 2 .

50. Calcule a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo de acordo com as medidas indicadas.

A. Ilustração de um cubo cuja base, a altura e a largura medem 2 vezes raiz quadrada de 3 metros.
B. Ilustração de um paralelepípedo retângulo cuja base mede, 4 vezes a raiz cubica de 3 metros, a altura mede raiz cubica de 24 metros e a largura mede 2 vezes a raiz cubica de 9 metros.

Respostas: A. 2 4 3   m 3 ; B. 4 8 3 3   m 3 .

Página 36

Racionalização

Cada fração escrita na lousa tem uma raiz não exata no denominador.

Ilustração de uma professora em frente a lousa em que está escrita as frações: início de fração, numerador: 1, denominador: raiz quadrada de 6, fim de fração. Início de fração, numerador: 2, denominador: raiz quadrada de 5, fim de fração. Início de fração, numerador: 3, denominador: raiz quadrada de 15, fim de fração. Início de fração, numerador: 8, denominador: raiz quadrada de 7, fim de fração. Início de fração, numerador: 1, denominador: raiz quadrada de 10, fim de fração.

Na Matemática, não é comum escrevermos frações desse tipo, com raiz no denominador. Então transformamos cada uma delas em uma fração equivalente, de modo que não tenha raiz no denominador, usando um recurso chamado racionalização.

Para racionalizar o denominador de uma fração, multiplicamos o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero (fator racionalizante), sem alterar seu valor.

Por exemplo, para racionalizar a fração 1 6 , usamos o fator 6 .

1 6 = 1 6 6 6 = 6 6 6 = 6 6 2 = 6 6

Atenção!

O fator 6 foi escolhido para essa racionalização, pois 6 6 = 6 2 = 6 e, assim, eliminamos a raiz do denominador.

Agora, vamos calcular o valor aproximado de 1 6 e 6 6 para verificar se essas duas frações são equivalentes. Para isso, vamos efetuar os cálculos utilizando uma calculadora e considerando 6 2 , 44 9 .

  • 1 6 1 2 , 449 0 , 40 8

  • 6 6 2 , 449 6 0 , 40 8

De fato, nas duas divisões, obtemos o mesmo resultado.

Questão 4. De maneira parecida, em seu caderno, racionalize os denominadores das outras frações apresentadas na lousa da ilustração anterior.

Resposta: 2 5 = 2 5 5 ; 3 1 5 = 1 5 5 ; 8 7 = 8 7 7 ; 1 1 0 = 1 0 10 .

Página 37

Podemos racionalizar o denominador da fração 6 2 3 de duas maneiras diferentes, como mostrado a seguir.

1ª maneira

6 2 3 = 3 3 = 3 3 3 3

2ª maneira

6 2 3 = 6 2 3 3 3 = 6 3 2 3 2 = 6 3 2 3 = 6 3 6 = 3

Também podemos racionalizar o denominador da fração 2 3 2 5 multiplicando o numerador e o denominador por 3 3 5 , pois 3 2 5 3 3 5 = 3 2 3 3 5 = 3 5 5 = 3 . Nesse caso, obtemos:

2 3 2 5 3 3 5 3 3 5 = 2 3 3 5 3 5 5 = 2 3 3 5 3

Note que:

Esquema nomeando cada elemento da expressão: 5 menos 2 é igual a 3.No 5 há a indicação:  índice da raiz; No dois a indicação:  expoente do radicando e no 3 a indicação: 3 é o expoente do radicando do fator racionalizante.

Agora, para racionalizar o denominador de 3 5 + 1 , multiplicamos o numerador e o denominador por ( 5 1 ) , que é a "expressão conjugada" do denominador.

3 ( 5 + 1 ) ( 5 1 ) ( 5 1 ) = 3 5 3 5 5 5 + 5 1 = 3 5 3 5 2 1 = 3 5 3 5 1 = 3 5 3 4

Atenção!

Lembre-se que o produto da soma pela diferença de dois termos é ( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2 .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

51. Racionalize os denominadores das frações.

a) 1 5

b) 3 6

c) 8 3 8

d) 3 5 2

e) 3 6

f) 7 3

g) 5 9

h) 10 8

Respostas: a) 5 5 ; b) 6 2 ; c) 2 6 ; d) 3 1 0 2 ; e) 2 2 ; f) 2 1 3 ; g) 5 3 ; h) 5 2 .

Página 38

52. Em cada retângulo estão indicadas as medidas de sua área A e de seu comprimento. Determine a medida da largura de cada um deles.

A. Ilustração de um retângulo com a indicação A igual a 16 metros quadrados, o comprimento mede 4 vezes raiz quadrada de 2, metros e a largura mede x.
B. Ilustração de um retângulo com a indicação A igual a 30 metros quadrados, o comprimento mede 2 vezes raiz quadrada de 5 metros e a largura mede y.

Respostas: A. x = 2 2   m ; B. y = 3 5   m

53. Racionalize os denominadores das frações a seguir.

a) 5 4 3

b) 2 2 6

c) 2 5 6

d) 3 1 0 5

e) 2 3 7

f) 2 3 2 5

g) 3 2 2 8

h) 8 1 2 3 5

Respostas: a) 5 3 12 ; b) 6 6 ; c) 3 0 3 ; d) 1 5 50 ; e) 1 4 21 ; f) 1 5 5 ; g) 3 4 ; h) 1 6 1 5 15 .

54. Racionalize os denominadores.

a) 5 2 4 6

b) 4 3 2 7

c) 2 7 6 10

d) 3 5 2 9

e) 7 3 3 4

f) 10 1 0 7 10

Respostas: a) 5 2 2 6 2 ; b) 4 3 5 7 3 ; c) 2 7 4 10 7 ; d) 3 5 7 9 5 ; e) 7 3 4 3 ; f) 1 0 3 10 .

55. Sabendo que as letras que aparecem nas frações representam números reais positivos, racionalize os denominadores.

a) 2 y y

b) a b a b

c) c d d c

d) 2 x 4 x z

e) a b b

f) d c c d

Respostas: a) 2 y ; b) a ; c) d c d ; d) x z z ; e) a b ; f) d .

56. Racionalize os denominadores.

a) 4 5 + 1

b) 6 2 7

c) 2 1 3 + 8

d) 3 + 3 6 2

e) 8 8 + 3

f) 1 5 7 5

Respostas: a) 5 1 ; b) 2 6 + 4 2 3 ; c) 5 2 7 ; d) 3 2 + 2 3 + 3 6 + 6 2 ; e) 24 16 2 ; f) 3 5 + 5 5 7 5 18 .

57. Simplifique as expressões a seguir, racionalizando os denominadores sempre que possível.

a) 3 3 5 4 3 2 5 6

b) 5 3 2 3 5 2 3 3 2 3

c) 2 3 3 7 3 2 3

d) 4 3 6 3 1 0 3 5 3 8 3 9 2 3

e) 1 6 3 5 2 3 3 5 ( 2 7 5 ) 2 5 3 12 5 4 3

f) 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

Respostas: a) 6 8 ; b) 1 5 2 2 3 2 ; c) 2 7 3 ; d) 2 3 3 ; e) 6 5 2 3 ; f) 1 2 5 .

Página 39

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Determine as potências a seguir.

a) O quadrado do dobro de 6.

b) O dobro do quadrado de 6.

c) O quadrado do triplo de 2.

d) O cubo do dobro de 5.

Respostas: a) ( 12 ) 2 ; b) 2 6 2 ; c) ( 6 ) 2 ; d) ( 10 ) 3 .

2. Resolva os cálculos a seguir.

a) 2 3 2 9

b) ( 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 3

c) ( 5 ) 2 ( 5 )

d) ( 1 5 ) 7 : ( 1 5 ) 9

e) ( 7 ) 1 2 : ( 7 ) 1 0

f) ( 10 ) 2 1 : ( 10 ) 2 6

g) ( 3 3 ) 2

h) ( 4 2 ) 3

Respostas: a) 4 . 096 ; b) 3 2 ; c) 12 5 ; d) 1 25 ; e) 49; f) 100 . 000 ; g) 1 729 ; h) 4 . 096 .

3. No quadrado mágico a seguir, o produto das linhas, colunas ou diagonais é sempre igual. Determine as potências de base 9 que as letras representam.

9 5

A

9 3

B

9 2

C

D

E

9 1

Resposta: A = 9 2 ; B = 9 0 ; C = 9 4 ; D = 9 1 ; E = 9 6 .

4. Resolva as expressões a seguir.

a) 2 2 + 10 0 0 + 1 5 1 1 1 0

b) 8 2 2 4 + 2 1 0

c) 2 7 3 3 5 8 1 4

Respostas: a) 19; b) 2 . 048 ; c) 1 9 .

5. Escreva, em uma folha de papel avulsa, os números a seguir em notação científica.

a) 7 . 300 . 000 . 000

b) 86 . 500 . 000

c) 0 , 000 000 016 4

d) 0 , 000 000 000 004 4

Respostas: a) 7 , 3 1 0 9 ; b) 8 , 65 1 0 7 ; c) 1 , 64 1 0 8 ; d) 4 , 4 1 0 1 2 .

6. Calcule.

a) ( 4 , 22 1 0 8 ) + ( 3 , 4 1 0 7 ) 2 1 0 5

b) ( 9 , 4 1 0 1 2 ) ( 1 , 5 1 0 1 3 ) 6 1 0 2 6

c) 4 , 22 1 0 7 ( 8 , 86 1 0 6 ) ( 4 , 2 1 0 5 )

Respostas: a) 2 . 280 ; b) 0,235; c) 5.

7. Sendo A = 531 . 441 , calcule:

a) A .

b) A 3 .

c) A 4 .

Respostas: a) 729; b) 81; c) 27.

8. Nos cubos a seguir, as medidas dos comprimentos das arestas estão expressas em centímetros. Sabendo que V indica a medida do volume de cada cubo, determine o valor de x em cada item.

A. Ilustração de um cubo com a indicação V igual a 4913 centímetros cúbicos, base, largura e altura medem cada um x mais 10.
B. Ilustração de um cubo com a indicação de V igual a 9261 centímetros cúbicos, base, largura e altura medem cada uma 2 x.

Respostas: A. x = 7 ; B. x = 10 , 5 .

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9. Associe as potências com as raízes.

a) x 5 8

b) x 2 3

c) x 1 4

d) x 8 5

e) x 3 2

f) x 3 4

g) x 4

h) x x 3 5

i) x x

j) x 5 8

k) x 3 4

l) x 2 3

Resposta: aj; b–l; cg; dh; ei; fk.

10. Determine o valor de x de modo que a igualdade seja verdadeira.

a) 3 2 6 = 3 4 x

b) 9 8 = 9 x

c) ( 8 3 ) 3 = 8 x 3

d) 2 1 2 1 2 1 = 2 1 x

e) 8 3 9 3 = 7 2   x

f) 2 7 5 5 = x

Respostas: a) x = 1 2 ; b) x = 1 6 ; c) x = 3 ; d) x = 3 ; e) x = 3 ; f) x = 2 7 .

11. Considerando 3 1 , 7 3 ; 5 2 , 2 4 e 6 2 , 4 5 , calcule o valor aproximado de cada expressão numérica a seguir.

a) 5 4 + 2 4 + 9 6

b) 2 7 + 1 2 3

c) 2 0 + 5 4 5 8 0 + 12 5

Respostas: a) 22 , 0 5 ; b) 6 , 9 2 ; c) 40 , 3 2 .

12. Considerando 2 1 , 4 1 e 3 1 , 7 3 , calcule o valor aproximado de cada expressão numérica.

a) 8 1 2

b) 3 2 2 7

c) 1 2 5 0 2 7

d) 8 3 6 1 8

Respostas: a) 9 , 7 6 ; b) 29 , 2 7 ; c) 126 , 9 ; d) 20 , 76 .

13. 4 6 + 2 8 é igual a:

a) 8 6 + 3 8 12

b) 6 6 + 1 6 8 24

c) 4 6 + 2 8 24

d) 6 4 8 48

e) 2 2 1 4 24

Resposta: Alternativa a.

14. Determine a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo.

A. Ilustração de um paralelepípedo retângulo cuja base mede, início de fração, numerador: 50, denominador: 2 vezes a raiz quadrada de 25, fim de fração, a altura mede: início de fração, numerador: 6, denominador: 2 vezes raiz quadrada de 3, fim de fração, e a largura mede, início de fração, numerador: 8, denominador: 2 vezes a raiz quadrada de 4, fim de fração.
B. Ilustração de um paralelepípedo retângulo cuja base mede, início de fração, numerador: 40, denominador: 2 vezes a raiz quadrada de 25, fim de fração, a altura mede, início de fração, 36, denominador: 2 vezes raiz quadrada  de 9, fim de fração, e a largura mede, início de fração, numerador: 10, denominador: 2 vezes a raiz quadrada de 5, fim de fração.
C. Ilustração de um paralelepípedo retângulo cuja base mede, início de fração, numerador: 60, denominador: 3 vezes a raiz quadrada de 16, fim de fração, a altura mede, início de fração, numerador: 54, denominador: 3 vezes raiz quadrada de 36, fim de fração. Largura mede, início de fração, numerador: 20, denominador: 3 vezes a raiz quadrada de 7, fim de fração.

Respostas: A. 1 0 3 ; B. 2 4 5 ; C. 10 0 7 7 .