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UNIDADE

3

Razão e proporção

Fotografia do busto da escultura de um homem adulto. Ele tem cabelos cacheados e está com o rosto virado para direita.
Busto da escultura David, do artista Michelangelo, esculpido em proporções muito próximas das reais de um homem adulto.

Agora vamos estudar...

  • o conceito de razão e de proporção;
  • algumas razões especiais;
  • grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais;
  • divisão em partes proporcionais;
  • ângulos opostos pelo vértice;
  • ângulos formados por um feixe de retas paralelas e uma transversal;
  • o conceito de razão aplicado a segmentos de reta proporcionais;
  • o teorema de Tales e sua aplicação nos triângulos.

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Razão

Neste tópico, estudaremos como comparar duas grandezas. Para isso, vamos analisar o seguinte exemplo.

Na prova de Matemática, Félix acertou 9 atividades e errou 4. Nesse caso, dizemos que a razão entre o número de acertos e o número de erros de Félix nessa prova é de 9 : 4 ou 9 4 .

Sejam a e b dois números reais, com b 0 . A razão entre a e b é o quociente de a por b, ou seja, a : b ou a b .

Agora, considere o seguinte problema.

Em uma turma de 9º ano, há 42 estudantes. A razão entre o número de meninos e o de meninas é 5  :  2 . Quantas meninas há nessa turma?

Para resolver o problema, podemos elaborar um quadro.

Quantidade de estudantes de uma turma de 9º ano

Meninos

Meninas

Total de estudantes

5 = ( 5 1 )

2 = ( 2 1 )

7

10 = ( 5 2 )

4 = ( 2 2 )

14

15 = ( 5 3 )

6 = ( 2 3 )

21

5 x

2 x

42

Desse modo, segue que:

5 x + 2 x = 42 7 x = 42 x = 42 7 = 6

Portanto, na turma há 2 6 = 12 meninas.

Questão 1. Ícone atividade oral. Quantos meninos há na turma de 9º ano?

Resposta: 30 meninos.

Na sequência, estudaremos algumas razões que estão presentes em nosso dia a dia.

Velocidade média

A velocidade média é definida como a distância total percorrida dividida pelo tempo gasto para percorrê-la. Para compreender melhor, vamos analisar o seguinte exemplo:

Para ir ao trabalho, Marcelo percorreu com seu carro 20   km em 50   min . Para determinar a medida da velocidade média da viagem em quilômetros por hora, calculamos:

20 5 6 = 6 20 5 = 2 4

Atenção!

50   min equivale a 50 60   h = 5 6   h .

Portanto, a velocidade média desse trajeto mede 24   km / h .

Atenção!

Algumas das unidades utilizadas para expressar a velocidade média são quilômetro por hora ( km / h ) e metro por segundo ( m / s ) .

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Densidade demográfica

A densidade demográfica de um local é definida como a razão entre a população total de determinado lugar e a medida de sua área em quilômetros quadrados. Vamos analisar o seguinte exemplo.

Em 2021, a comunidade quilombola Sumidouro, em Queimada Nova (PI), era formada por 23 famílias, havendo nela aproximadamente 115 pessoas. Sabendo que a área da região em que eles moram mede 9 , 321   km 2 , podemos determinar sua densidade demográfica. Para isso, devemos fazer:

115   hab. 9 , 321   km 2 12 , 34   hab. / km 2

Portanto, em 2021, a densidade demográfica da comunidade quilombola Sumidouro era de aproximadamente 12 , 34   hab. /   km 2 .

Atenção!

A densidade demográfica é expressa em habitantes por quilômetro quadrado ( hab . / km 2 ) .

Quilombo Sumidouro – Queimada Nova (PI)

Mapa com os estados: Maranhão, Piauí que está em destaque, Ceará, Tocantins, Bahia e Pernambuco. No lado direito do estado do Piauí, perto da divisa com estado de Pernambuco e Bahia há uma ampliação para região de Quilombo Sumidouro no município de Queimada Nova. Nessa ampliação há um rio dividindo a região em duas partes, a superior um pouco maior e a inferior um pouco menor. De acordo com a legenda, na parte superior há indicação de uma capoeira de quilombo; da aposentadoria; da Associação indígena e quilombola; do Lugar de caça; do Reisado; dos Quilombolas; 2 cemitérios; 6 casas dos Quilombolas; do salão comunitário; de medicina tradicional; do trabalho por conta própria; do campo de futebol; da Agricultura; do trabalho assalariado; da parteira; do poço artesiano e do curral de pedras. Na parte inferior há indicação de Agricultura; duas casas dos quilombolas; de falta de água; de Arrendamento de terra; de cacimbinha; poço do meio; poço da água amarela; da pecuária; dos trabalhos por diárias; Lugar de roça; Coleta de mel; Garrafeiro; conflito de terra e Fruticultura.

Fonte de pesquisa: MAPA – Indígenas Kariri e quilombolas do Mocambo, Sumidouro e Tapuio Queimada Nova – PI. Nova Cartografia Social da Amazônia. Disponível em: https://oeds.link/lnAhOp. Acesso em: 4 abr. 2022.

Questão 2. Ícone atividade oral. Alguns mapas são elaborados por especialistas junto com membros da comunidade. Você considera essa parceria importante? Converse com os colegas e o professor sobre o assunto.

Resposta pessoal.

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Densidade

A densidade de um objeto é definida como o quociente entre sua massa e seu volume. Vamos analisar o seguinte exemplo.

Um objeto tem massa e volume medindo, respectivamente, 5 . 250   g e 250   cm 3 . Para determinar a medida da densidade desse objeto em gramas por centímetro cúbico, devemos fazer:

5 . 250   g 250   cm 3 = 21   g / cm 3

Portanto, a densidade do objeto mede 21   g / cm 3 .

Atenção!

Algumas das unidades utilizadas para expressar a densidade de um objeto são: grama por centímetro cúbico ( g / cm 3 ) , quilograma por metro cúbico ( kg / m 3 ) e grama por litro ( g / L ) .

Escala

A escala de uma representação é definida como a razão entre a medida do comprimento considerado para produzir a representação e a medida do comprimento real correspondente, expressas em uma mesma unidade de medida. Acompanhe o seguinte exemplo.

No mapa apresentado a seguir, cada 1   cm representa 9 . 000 . 000   cm ( 9 0   km ) .

Mapa do Paraná

Mapa do estado do Paraná. Nele estão apenas os municípios de Maringá, Londrina, Cascavel, Ponta Grossa, Foz do Iguaçu e Curitiba. Entre as cidades de Maringá e Londrina tem uma reta destacada mostrando a distância entre as cidades em linha reta. A escala indica que cada centímetro do mapa equivale a 90 quilômetros da distância real.

Fonte de pesquisa: Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

Para determinar a escala do mapa, devemos fazer:

1   cm 9 . 000 . 000   cm = 1 9 . 000 . 000 = 1 : 9 . 000 . 000

Com base nessa escala, podemos determinar, por exemplo, a medida da distância em linha reta entre as cidades de Londrina e Maringá. Como no mapa a distância em linha reta entre essas cidades mede 0 , 8   cm , devemos efetuar:

0 , 8 9 . 000 . 000 = 7 . 200 . 000

Transformando essa medida em quilômetros, obtemos:

7 . 200 . 000   cm = 7 . 200 . 000 100 . 000   km = 7 2   km

Portanto, a distância em linha reta entre as cidades de Londrina e Maringá mede 7 2   km .

O uso de escalas está presente no dia a dia dos arquitetos, engenheiros, biólogos, entre outros. Por exemplo, os arquitetos utilizam-na para elaborar a planta de uma casa. Já os biólogos podem usar esse conceito para representar a ampliação de uma bactéria, por exemplo.

Questão 3. Pesquise uma situação em que engenheiros utilizam o conceito de escala. Além disso, busque por outros profissionais que utilizam o conceito de razão para realizar os seus trabalhos. Registre no caderno as informações que achar relevantes.

Resposta pessoal.

Atenção!

Podem ser usados como fonte, para realizar a pesquisa proposta na questão 3, livros, revistas e sites. No entanto, é necessário estar atento e se certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para finalizar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No 9º ano B, há 15 meninas e 26 meninos. Qual é a razão entre:

a) o número de meninas e o número de meninos?

b) o número de meninas e o total de estudantes?

c) o número de meninos e o total de estudantes?

Respostas: a) 15 26 ; b) 15 41 ; c) 26 41 .

2. Joana gosta de colecionar figurinhas de carros e motos, tendo ao todo 125 figurinhas. Sabendo que a razão entre o número de figurinhas de carros e o número de figurinhas de motos é 2 3 , determine quantas são as figurinhas de carros.

Resposta: 50 figurinhas.

3. Elabore um problema envolvendo velocidade média e peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

4. A escola onde Pedro estuda fica a   9   km da casa dele, e para se deslocar ele precisa utilizar o ônibus escolar para frequentar as aulas. Em determinado dia, o ônibus levou 1 6   h para ir da casa de Pedro até a escola, sem fazer paradas ao longo do caminho. Em seu caderno, calcule a medida da velocidade média do ônibus nesse dia.

Resposta:   54 km/h .

5. A população estimada de Petrolina (PE) em 2021 era de 359.372 pessoas e a extensão territorial desse local mede 4 . 561 , 870   km² .

Fonte de pesquisa: IBGE. Disponível em: https://oeds.link/zIaAdV. Acesso em: 17 maio 2022.

Em seu caderno, calcule a densidade demográfica desse município em 2021.

Resposta: Aproximadamente 78 , 8   hab. / km 2 .

6. O volume de uma pedra de gelo com formato cúbico mede 125   m 3 . Determine a densidade dela, sabendo que sua massa mede 115   g .

Resposta: 0 , 92   g / cm 3 .

7. A Rodovia Transpantaneira está localizada no estado do Mato Grosso e liga o município de Poconé a Porto Jofre, em um total de 142   km de estrada de "chão".

No mapa, cada 1   cm representa 30   km .

Rodovia Transpantaneira entre Porto Jofre e Poconé

Mapa de parte do Estado do Mato Grosso com apenas os municípios de Cuiabá, Poconé, Porto Jofre e a divisa com Mato grosso do Sul. A rodovia Transpantaneira está localizada entre o município de Poconé e Porto Jofre. A distância aproximada entre a cidade de Poconé até Porto Jofre é de 4 centímetros; e de Poconé até Cuiabá é de aproximadamente 3,3 centímetros. Na parte inferior está a escala de 30 quilômetros para cada centímetro.

Fonte de pesquisa: Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

a) Utilizando uma régua, determine a medida da distância real aproximada em linha reta, em quilômetros, entre Poconé e:

Porto Jofre.

Cuiabá.

Respostas: 120   km ; 99   km .

b) Qual é a diferença entre a medida do comprimento da Rodovia Transpantaneira e a medida da distância real aproximada em linha reta entre o município de Poconé e Porto Jofre?

Resposta: Aproximadamente 22   km .

8. Escolha uma das razões estudadas, elabore um problema e peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

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Proporção

O quadro a seguir apresenta o número de estudantes de duas turmas do 9º ano.

Quantidade de estudantes de duas turmas do 9º ano

Turma

Meninos

Meninas

9º ano A

13

9

9º ano B

26

18

Analisando o quadro, verificamos que no 9º ano A a razão entre o número de meninos e o de meninas é 13 9 . Por outro lado, no 9º ano B, a razão entre o número de meninos e o de meninas também é 13 9 , visto que, ao simplificar a fração 26 18 , obtemos 13 9 . Nesse caso, temos: 26 18 = 13 9 .

Duas razões com termos não nulos, a b e c d , formam uma proporção quando as frações a b e c d são equivalentes, ou seja:

a b = c d (lê-se: a está para b assim como c está para d)

Nessa proporção, a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

As razões 5 4 e 10 8 formam uma proporção, pois 5 4 = 10 8 . Nesse caso, dizemos que 5 está para 4 assim como 10 está para 8.

Propriedades das proporções

Neste tópico, estudaremos algumas propriedades das proporções. Para isso, considere a proporção a b = c d .

Propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios, em uma proporção, é igual ao produto dos extremos.

a d = b c

Demonstração: Seja a proporção a b = c d . Como os termos da proporção são não nulos, podemos multiplicar ambos os membros da igualdade por bd. Desse modo, obtemos:

a b = c d b d ( a b ) = b d ( c d ) a d = b c

Assim, podemos concluir que, em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Se b d , temos:

a b = a + c b + d

c d = a + c b + d

ab=acbd

c d = a c b d

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Demonstração: Vamos verificar que, dada a proporção a b = c d , temos a b = a + c b + d . De fato, considerando a propriedade fundamental, temos a d = b c . Adicionando ab em ambos os membros da igualdade, obtemos:

a d + a b = b c + a b a ( b + d ) = b ( a + c ) a b = a + c b + d

Questão 4. Em seu caderno, mostre que se a b = c d , com b d , é uma proporção, então c d = a + c b + d , a b = a c b d e c d = a c b d .

Resposta na seção Resoluções.

Grandezas proporcionais

No ano anterior, estudamos grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Agora, vamos relembrar esses conceitos analisando alguns exemplos.

Grandezas diretamente proporcionais

Marcos precisa descongelar sua comida e, para isso, utiliza o micro-ondas. Para saber a medida do tempo necessária, ele fez uma busca no manual do aparelho e encontrou o quadro a seguir para o tipo de alimento que ele precisa descongelar.

Informações para descongelar determinado alimento

Medida da massa

100   g

200   g

300   g

400   g

500   g

Medida do tempo

2   min

4   min

6   min

8   min

10   min

Analisando as informações, verificamos que, ao dobrarmos a medida da massa, a medida do tempo também dobra; ao triplicarmos a medida da massa, a medida do tempo também triplica; e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas massa e tempo são diretamente proporcionais.

Com base nisso, a razão entre as medidas correspondentes às grandezas massa e tempo é constante, ou seja:

100 2 = 200 4 = 300 6 = 400 8 = 500 10 = 5 0

Indicando por x e y, respectivamente, a medida da massa de comida e a medida do tempo necessário para o descongelamento, podemos escrever:

x y = 50 x = 50 y

Utilizando essa expressão, podemos calcular, por exemplo, a medida do tempo necessário para descongelar 800   g dessa comida. De fato, se x = 80 0 , temos:

800 = 50 y y = 800 50 = 1 6

Portanto, são necessários 16   min para descongelar 800   g de comida.

Questão 5. Em seu caderno, calcule quantos minutos são necessários para descongelar 1   kg dessa comida nesse micro-ondas.

Resposta: 20   min .

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Grandezas inversamente proporcionais

Bianca vai viajar para a casa de seus pais. Como ela precisa estimar a medida do tempo necessário para completar essa viagem, realizou uma pesquisa e obteve as seguintes informações.

Pesquisa realizada por Bianca para fazer uma viagem

Medida da velocidade média

30   km / h

60   km / h

90   km / h

Medida do tempo

540   min

270   min

180   min

Ao dobrarmos a medida da velocidade média, verificamos que a medida do tempo fica reduzida pela metade; ao triplicarmos a medida da velocidade média, a medida do tempo fica reduzida à terça parte; e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais.

Com base nisso, a razão entre as medidas da grandeza velocidade média e o inverso das medidas correspondentes da grandeza tempo é constante, ou seja:

30 1 540 = 60 1 270 = 90 1 180 = 16 . 200

Atenção!

Lembre-se de que 1 540 é o inverso de 540.

Indicando por x e y, respectivamente, a medida da velocidade média e a medida do tempo necessário para completar a viagem, podemos escrever:

x 1 y = 16 . 200 x y = 16 . 200

Utilizando essa expressão, podemos calcular, por exemplo, a medida do tempo necessário para completar a viagem, considerando uma velocidade média medindo 75   km / h . De fato, se x = 7 5 , temos:

75 y = 16 . 200 y = 16 . 200 75 = 21 6

Portanto, serão necessários 216   min   ( 3   h   36   min ) para completar a viagem.

Questão 6. Se a velocidade média medir 100   km / h , calcule em seu caderno quantas horas e minutos serão necessários para completar essa viagem.

Resposta: 2   h   42   min .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Em cada item, verifique se as razões formam uma proporção.

a) 5 2 e 3 5 .

b) 3 4 e 15 20 .

c) 7 3 e 14 3 .

d) 9 8 e 9 2 .

e) 7 5 e 35 25 .

f) 6 13 e 42 91 .

g) 1 8 e 1 4 .

h) 12 15 e 4 5 .

i) 2 3 e 3 7 .

Respostas: a) Não; b) Sim; c) Não; d) Não; e) Sim; f) Sim; g) Não; h) Sim; i) Não.

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10. A seguir, estão indicados os ingredientes para o preparo de um bolo de laranja que Suely vende em sua lanchonete, cujo rendimento é de 6 porções.

Ilustração de um pedaço de folha de caderno com uma lista de ingredientes: 2 ovos; uma xícara, chá, de açúcar; meia xícara, chá, de óleo; casca de uma laranja; uma xícara, chá, de farinha de trigo; meia colher, sopa, de fermento; suco de uma laranja.

De quantas xícaras (chá) de óleo Suely vai precisar para preparar 24 porções desse bolo?

Resposta: 2 xícaras (chá).

11. Uma empresa de construção civil vai asfaltar 57   km de uma estrada. Nos primeiros 76 dias de execução da obra, essa empresa finalizou 12   km . Quantos dias ainda são necessários para a empresa concluir o serviço, considerando que o ritmo de trabalho seja mantido?

Resposta: 285 dias.

12. Para ir de sua a casa até o museu da cidade, Pedro levou 18   min dirigindo, em média, a 72   km/h . Qual seria a medida do tempo gasto, tanto em minutos quanto em segundos, se tivesse dirigido, em média, a 60   km/h ?

Resposta: 21   min   36   s .

13. Após uma consulta, o médico prescreveu um medicamento para Mateus com a seguinte dosagem: 3 gotas para cada 4   kg de medida de massa corporal a cada 8   h . Sabendo que a massa corporal de Mateus mede 32   kg , quantas gotas desse medicamento ele deve ingerir a cada 8   h ?

Resposta: 24 gotas.

14. Para encher um reservatório com água, duas torneiras abertas demoram, em média, 1 , 5   h . Em quantos minutos cinco torneiras abertas iguais a essas demorariam para encher esse reservatório?

Resposta: 36 minutos.

15. Para atender à alta demanda, uma estamparia decidiu adicionar 3 novas máquinas em sua linha de produção, totalizando 8 máquinas. Sabendo que antes eram estampadas 300 camisetas por dia e que todas as máquinas são iguais, qual será o aumento na produção diária?

Resposta: 180 camisetas.

16. Uma máquina copiadora imprime 960 páginas a cada 3 minutos. Em quantos minutos ela imprimirá 1.600 páginas?

Resposta: 5   m in .

17. Trabalhando 5 horas por dia, Juliana e seus dois funcionários produzem, diariamente, certa quantidade de refeições. Sabendo que Juliana se dedicará apenas às entregas, determine a medida de tempo necessária para que, em um dia, esses dois funcionários produzam, considerando o mesmo ritmo de trabalho, essa mesma quantidade de refeições.

Resposta: 7 , 5   h ou 7   h   30   min .

18. Com certa quantidade de ração, Antônio alimenta 120 galinhas durante 12 dias. Durante quantos dias essa mesma quantidade de ração será suficiente para alimentar 80 galinhas?

Resposta: 18 dias.

19. Elabore um problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

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20. Analise a tabela nutricional a seguir.

Informações nutricionais de alguns alimentos (porção de 100 g)

Alimento

Energia

Proteína

Carboidratos

Quilocalorias ( kcal )

Grama ( g )

Grama ( g )

Arroz tipo 1 cozido

128

2,5

28,1

Pão de trigo francês

300

8,0

58,6

Batata doce cozida

77

0,6

18,4

Fonte de pesquisa: TABELA Brasileira de composição de alimentos. TACO. Disponível em: https://oeds.link/E3x0qE. Acesso em: 22 jun. 2022.

a) Quantos gramas de arroz do tipo 1 cozido uma pessoa deve consumir para ingerir 365 , 3   g de carboidrato?

b) Qual é a medida de energia, em quilocalorias, presente em 500   g de arroz tipo 1 cozido?

c) Qual é a quantidade de proteína, em gramas, presente em 2   kg de batata doce cozida?

d) Qual é a medida de energia, em quilocalorias, presente em uma porção de arroz tipo 1 cozido com 10   g de proteína?

Respostas: a) 1 . 300   g ; b) 640   kcal ; c) 12   g ; d) 512   kcal .

21. A companhia de saneamento de uma cidade identificou um vazamento de água em sua rede de distribuição, cuja vazão era de 2.700 litros por hora. O reparo da tubulação foi concluído após 3 horas e 30 minutos. Determine a medida do volume de água, em litros, desperdiçada até a conclusão do reparo.

Resposta: 9.450 litros.

22. Em seu caderno, reescreva a atividade 21 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

23. A medida da massa de um objeto com certa densidade é 66   g quando seu volume mede 132   cm 3 . Determine a medida da massa de outro objeto de mesma densidade em que seu volume mede 150   cm 3 .

Resposta: 75   g .

24. Em seu caderno, reescreva a atividade 23 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade. Em seguida, peça a um colega que a resolva. Por fim, verifique se ele a fez corretamente.

Resposta pessoal.

25. Em uma empresa de confecção de calçados, duas máquinas produziram certa quantidade de pares de sapatos em 12 horas. Quantas máquinas iguais a essas seriam necessárias para produzir a mesma quantidade de pares de sapatos em 3 horas?

Resposta: 8 máquinas.

26. Em seu caderno, reescreva a atividade 25 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade inversa. Em seguida, peça a um colega que a resolva. Por fim, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

27. Elabore um problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais e, em seguida, peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele o respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

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Divisão em partes diretamente proporcionais

Armando, Antônio e Amarildo são irmãos e têm, respectivamente, 12, 13 e 15 anos. Acompanhe o que o pai deles está dizendo.

Ilustração de um homem adulto de frente para seus 3 filhos, de idades diferentes, falando: Filhos !! Vou dividir 500 reais entre vocês, de maneira diretamente proporcional à idade de cada um. Quanto cada um de vocês vai receber!?.

Para saber quantos reais cada um deles vai receber, devemos dividir os R$ 500,00 em partes diretamente proporcionais à idade deles, ou seja, 12, 13 e 15 anos.

Indicando por x, y e z a quantia que Armando, Antônio e Amarildo vão receber, respectivamente, temos:

x 12 = y 13 = z 15

Com base nas propriedades das proporções estudadas, segue que:

x 12 = y 13 = z 15 = x + y + z 12 + 13 + 15 = x + y + z 40

Como x + y + z = 50 0 , temos:

x + y + z 40 = 500 40 = 12 , 5

Agora, calculamos a quantia recebida por eles.

Armando

x 12 = 12 , 5 x = 12 , 5 12 x = 15 0

Portanto, Armando vai receber R$ 150,00.

Antônio

y 13 = 12 , 5 x = 12 , 5 13 x = 162 , 5

Portanto, Antônio vai receber R$ 162,50.

Amarildo

z 15 = 12 , 5 x = 12 , 5 15 x = 187 , 5

Portanto, Amarildo vai receber R$ 187,50.

Questão 7. Ícone atividade oral. Se o pai deles tivesse dividido R$ 1.250,00 de maneira diretamente proporcional à idade de cada um, quanto cada um receberia?

Resposta: Armando receberia R$ 375,00, Antônio, R$ 406,25 e Amarildo, R$ 468,75.

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Divisão em partes inversamente proporcionais

Outro dia, o pai de Armando, Antônio e Amarildo disse a eles o seguinte:

Ilustração de um homem adulto de frente para seus 3 filhos, de idades diferentes, falando: Hoje, vou dividir 1062 reais entre vocês de maneira inversamente proporcional à idade de cada um. Quanto cada um de vocês vai receber?

Para saber quantos reais cada um deles vai receber, devemos dividir os R$ 1.062,00 em partes inversamente proporcionais à idade deles, ou seja, 12, 13 e 15 anos.

Indicando por x, y e z a quantia que Armando, Antônio e Amarildo vão receber, respectivamente, temos:

x 1 12 = y 1 13 = z 1 15

Com base nas propriedades das proporções estudadas, segue que:

x112=y113=z115=x+y+z195+180+1562.340=2.340(x+y+z)531

Como x + y + z = 1 . 062 , temos:

2 . 340 ( x + y + z ) 531 = 2 . 340 1 . 062 531 = 4 . 680

Agora, calculamos a quantia recebida por eles.

Armando

x 1 12 = 4 . 680 x = 4 . 680 12 x = 39 0

Portanto, Armando vai receber R$ 390,00.

Antônio

y 1 13 = 4 . 680 x = 4 . 680 13 x = 36 0

Portanto, Antônio vai receber R$ 360,00.

Amarildo

z 1 15 = 4 . 680 x = 4 . 680 15 x = 31 2

Portanto, Amarildo vai receber R$ 312,00.

Questão 8. Ícone atividade oral. Caso o pai deles tivesse dividido R$ 1.593,00 de maneira inversamente proporcional à idade de cada um, quanto cada um receberia?

Resposta: Armando receberia R$ 585,00, Antônio, R$ 540,00 e Amarildo, R$ 468,00.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

28. Decomponha o número 150 em duas partes diretamente proporcionais aos números 2 e 3.

Resposta: 150 = 60 + 90 .

29. Decomponha o número 120 em duas partes inversamente proporcionais aos números 2 e 3.

Resposta: 120 = 72 + 48 .

30. Fernando decompôs o número 1.768 em três partes x, y e z diretamente proporcionais aos números 5, 9 e 12. A resposta obtida por ele foi:

a) x = 81 6 , y = 61 2 e z = 34 0 .

b) x = 61 2 , y = 81 6 e z = 34 0 .

c) x = 34 0 , y = 61 2 e z = 81 6 .

d) x = 34 0 , y = 81 6 e z = 61 2 .

Resposta: Alternativa c.

31. Três amigos fizeram um investimento em um empreendimento. O quadro a seguir apresenta o capital aplicado por eles.

Capital aplicado por três amigos em um investimento

Nome

Capital aplicado

Marcos

R$ 1.000,00

Antônio

R$ 1.200,00

Camila

R$ 1.500,00

Ao final de certo período, eles receberão R$ 9.398,00. Determine a quantia que cada amigo vai receber, sabendo que a divisão desse montante deve ser diretamente proporcional ao capital aplicado por cada um deles.

Resposta: Marcos: R$ 2.540,00; Antônio: R$ 3.048,00; Camila: R$ 3.810,00.

32. Elabore dois problemas: um envolvendo divisão em partes diretamente proporcionais e outro envolvendo divisão em partes inversamente proporcionais. Em seguida, dê para um colega resolver. Por fim, verifique se as respostas obtidas por ele estão corretas.

Resposta pessoal.

33. Decomponha o número 220 em três partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 6.

Resposta: 220 = 120 + 60 + 40 .

34. Anderson, Márcia e Gustavo prestaram um serviço para uma empresa e cobraram, ao todo, R$ 5.795,00.

Ilustração de um jovem rapaz falando: Vamos dividir os 5795 reais de maneira diretamente proporcional à quantidade de dias trabalhados.
Anderson.
Quantidade de dias de trabalho de três pessoas

Nome

Quantidade de dias trabalhados

Anderson

12

Márcia

9

Gustavo

11

Quantos reais cada um deles vai receber?

Resposta: Anderson: R$ 2.173,13; Márcia: R$ 1.629,84; Gustavo: R$ 1.992,03.

35. A empresa para a qual Marta trabalha dará uma bonificação de final de ano. Ao todo, serão distribuídos R$ 102.920,00 entre 3 funcionários. Sabendo que o valor recebido por cada funcionário será inversamente proporcional ao seu salário, analise o quadro e determine quanto cada um vai receber.

Salário de três funcionários de uma empresa

Nome

Salário

Marlene

R$ 2.300,00

Marcos

R$ 2.000,00

Marta

R$ 2.700,00

Resposta: Marlene: R$ 34.285,50; Marcos: R$ 39.428,33; Marta: R$ 29.206,17.

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Ângulos opostos pelo vértice

Estudamos em anos anteriores que duas retas concorrentes determinam 4 ângulos. Além disso, verificamos que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm medidas iguais. Na figura a seguir, temos, por exemplo, med ( A O ˆ B ) = med ( C O ˆ D ) , pois esses ângulos são opostos pelo vértice.

Ilustração de duas retas concorrentes no ponto O. Em uma reta também há o ponto A e o ponto C com O entre eles. Na outra reta há um ponto B e um ponto D, também com O entre eles. Essas retas formam os ângulos opostos pelo vértice: C O D é oposto a A O B e A O D é oposto a B O C.

Considerando med ( A O ˆ B ) = 120 ° , segue que:

  • med ( C O ˆ D ) = 120 ° , pois os ângulos A O ˆ B e C O ˆ D são opostos pelo vértice.
  • med ( B O ˆ C ) = 60 ° , pois os ângulos A O ˆ B e B O ˆ C são suplementares e 180 ° 120 ° = 60 ° .
  • med ( A O ˆ D ) = 60 ° , pois os ângulos B O ˆ C e A O ˆ D são opostos pelo vértice.

Atenção!

Lembre-se de que dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180 ° .

Ângulos formados por um feixe de retas paralelas e uma transversal

Você sabe o que são retas paralelas? Tratam-se de retas de um mesmo plano que não se cruzam.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam 8 ângulos.

Ilustração de duas retas paralelas s e t e uma reta transversal t cruzando as retas s e r. No ponto em que a reta t e a reta s se cruzam formam os ângulos a e c opostos pelo vértice. O ângulo a está acima da reta s e do lado esquerdo da reta t, o ângulo c está abaixo da reta s e do lado direito da reta t. Ainda no ponto em que a reta t e a reta s se cruzam formam os ângulos b e d opostos pelo vértice. O ângulo b está acima da reta s e do lado direito da reta t, o ângulo d está abaixo da reta s e do lado esquerdo da reta t. No ponto em que a reta t e a reta r se cruzam formam os ângulos e e g opostos pelo vértice. O ângulo e está acima da reta r e do lado esquerdo da reta t, o ângulo g está abaixo da reta r e do lado direito da reta t. Ainda no ponto em que a reta t e a reta r se cruzam formam os ângulos f e h opostos pelo vértice. O ângulo f está acima da reta r e do lado direito da reta t, o ângulo h está abaixo da reta r e do lado esquerdo da reta t.

Na figura anterior, as retas r e s são paralelas ( r // s ) , t é uma transversal a essas retas e os ângulos de medida:

  • a ˆ e e ˆ , b ˆ e f ˆ , d ˆ e h ˆ , c ˆ e g ˆ são correspondentes. Ângulos correspondentes são congruentes.
  • d ˆ e e ˆ , c ˆ e f ˆ são colaterais internos, pois estão entre as paralelas e do mesmo lado em relação à reta transversal.
  • a ˆ e h ˆ , b ˆ e g ˆ são colaterais externos, pois estão do mesmo lado em relação à reta transversal, mas não estão entre as paralelas.
  • d ˆ e f ˆ , c ˆ e e ˆ são alternos internos, pois estão em lados opostos em relação à transversal e estão entre as paralelas.
  • a ˆ e g ˆ , b ˆ e h ˆ são alternos externos, pois estão em lados opostos em relação à transversal e não estão entre as paralelas.

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Agora, vamos determinar uma relação entre os ângulos de medidas d ˆ e e ˆ (colaterais internos). De fato, sabemos que os ângulos de medida a ˆ e d ˆ são suplementares e que os ângulos de medida a ˆ e e ˆ são correspondentes. Nesse caso, a ˆ = 180 ° d ˆ e a ˆ = e ˆ . Logo, e ˆ = 180 ° d ˆ . Portanto, os ângulos de medidas d ˆ e e ˆ são suplementares.

Questão 9. Em seu caderno, determine e demonstre a veracidade da relação entre os ângulos de medida:

a) b ˆ e g ˆ (colaterais externos).

b) c ˆ e e ˆ (alternos internos).

c) b ˆ e h ˆ (alternos externos).

Resposta na seção Resoluções.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam 8 ângulos, tais que ângulos correspondentes são congruentes, ângulos alternos são congruentes e ângulos colaterais são suplementares.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

36. Determine o valor de x em cada item.

A. Ilustração de duas retas r e s cruzadas. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice são: um mede 105 graus e o outro mede 10 vezes x menos 5 graus.
B. Ilustração de duas retas t e u cruzadas. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice são: um mede 50 graus e o outro mede 3 vezes x menos 64 graus.
C. Ilustração de duas retas m e n cruzadas. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice são: um mede 7 vezes x mais 100 graus e o outro mede 21 vezes x mais 2 graus.
D. Ilustração de duas retas cruzadas. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice são: um mede 2 vezes x mais 10 graus e o outro mede 180 graus menos 2 vezes x.

Respostas: A. 11 ° ; B. 38 ° ; C. 7 ° ; D. 42 , 5 ° .

37. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de x e y.

Respostas: A. x = 25 ° ; y = 150 ° ; B. x = 30 ° ; y = 7 ° .

A. Ilustração de duas retas r e s paralelas e uma reta t cortando transversalmente as retas r e s. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice formado no ponto em que r e t se cruzam são: um mede 100 graus e o outro mede y menos 50 graus. O ângulo formado pelo cruzamento das retas t e s que mede 3 vezes x mais 5 graus é colateral externo ao ângulo que mede 100 graus.
B. Ilustração de duas retas r e s paralelas e uma reta t cortando transversalmente as retas r e s. Os valores dos ângulos opostos pelo vértice formado no ponto em que s e t se cruzam são: um mede 4 vezes x mais 12 graus e o outro mede 6 vezes x menos 48 graus. O ângulo formado pelo cruzamento das retas t e r que mede 5 vezes y mais 13 graus é colateral externo ao ângulo que mede 6 vezes x menos 48 graus.

38. Ícone desafio. Considere o paralelogramo A B C D .

Ilustração de um paralelogramo A B C D com as duas diagonais A C e B D. As diagonais se cruzam em um ponto denominado M.

Mostre que M é o ponto médio das diagonais desse paralelogramo.

Resposta na seção Resoluções.

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Segmentos de reta proporcionais

Uma professora de Matemática do 9º ano entregou a seus estudantes um pedaço de papel em formato retangular. Feito isso, ela pediu a eles que dobrassem o pedaço de papel dividindo seus lados ao meio, como representado nas figuras a seguir.

Atenção!

A medida do comprimento do segmento de reta A B é indicada por A B .

Ilustração de 3 figuras: Figura 1: pedaço de papel em formato de um retângulo A B C D, em que a base A B mede 12 centímetros e a altura A D mede 6 centímetros. Há uma linha tracejada vertical no cetro do retângulo dividindo-o no meio e uma seta saindo do lado esquerdo e indo para o lado direito, indicando a direção da dobradura. Figura 2: quadrado formado a partir do retângulo da figura 1 dobrado ao meio. Há uma linha tracejada horizontal no meio, dividindo o quadrado em duas partes, superior e inferior. Há uma seta saindo da parte superior e apontando para a inferior indicando a direção da próxima dobradura. Figura 3: retângulo E F G H formado a partir do quadrado da figura 2 dobrado ao meio. A base E F mede 6 centímetros e a altura F G mede 3 centímetros.

Associamos o pedaço de papel que a professora entregou ao retângulo A B C D , cujas dimensões medem 12   cm e 6   cm . Em relação à figura obtida, após realizadas as dobras, associamos ao retângulo E F G H , cujas dimensões medem 6   cm e 3   cm .

Após realizar as dobras, cada estudante obteve uma figura, também retangular, cujas dimensões medem 6   cm e 3   cm .

Ao calcularmos a razão entre a medida do comprimento e da largura de cada retângulo, obtemos:

A B B C = 12 6 = 2

E F F G = 6 3 = 2

As duas razões obtidas são iguais. Então, podemos escrever a seguinte proporção:

A B B C = E F F G = 2 12 6 = 6 3 = 2

Assim, dizemos que os segmentos de reta A B e B C são proporcionais aos segmentos de reta E F e F G .

Dois segmentos de reta são proporcionais a outros dois segmentos de reta quando a razão entre as medidas dos comprimentos dos dois primeiros é igual à razão entre as medidas dos comprimentos dos dois últimos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Os segmentos de reta M N e O P são proporcionais aos segmentos de reta Q R e S T , ou seja, M N O P = Q R S T . Sabendo que O P = 9   m , Q R = 14   m e S T = 6   m , qual é a medida do comprimento do segmento de reta M N ?

Resposta: M N = 21   m .

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40. Analise o retângulo A B C D representado a seguir.

Ilustração de um retângulo A B C D. A base A B mede 13 centímetros e a altura mede 7 centímetros.

a) Determine a razão entre as medidas dos comprimentos dos lados C B e A B .

Resposta: 7 13

b) Ao diminuir 2   cm da medida do comprimento de cada lado desse retângulo, a razão entre C B e A B permanecerá a mesma? Por quê?

Resposta: Não, pois 7 13 5 11 .

41. Analise os segmentos de reta e suas respectivas medidas de comprimento.

Ilustração de 3 segmentos de retas. O segmento R S mede 8 centímetros, o segmento V X mede 3 centímetros e o segmento T U mede 7,5 centímetros.

Em cada item, determine a medida do comprimento do segmento de reta A B para tornar a proporção verdadeira.

a) R S V X = 28 A B

b) T U 10 = V X A B

c) T U V X = R S A B

Respostas: a) 10 , 5   cm ; b) 4   cm ; c) 3 , 2   cm .

42. Em seu caderno, calcule o valor de x em cada igualdade a seguir.

a) 12 6 = 18 x + 3

b) 4 x 2 x + 2 = 2 3

c) 6 4 = 12 x 3

d) 1 4 = 2 x + 1 x 3

Respostas: a) x = 6 ; b) x = 1 ; c) x = 1 1 ; d) x = 1 .

43. Leia atentamente as informações, analise o esquema e determine a medida da distância percorrida por Aline para ir de sua casa até a praça onde está Fábio.

  • Durante o trajeto, Aline encontrou quatro outros amigos: Bruno, Celina, Douglas e Elias.
  • No esquema, a casa de Aline está representada pela letra A, Bruno pela letra B, Celina pela letra C, Douglas pela letra D, Elias pela letra E e a praça onde Fábio está pela letra F.
  • No esquema, os segmentos de reta B C e E F são proporcionais aos segmentos de reta C D e D E .
Esquema composto por segmentos de retas. Sendo A D o segmento horizontal com os pontos em ordem da esquerda para a direita A, B, C, D, consecutivamente, e D F o segmento vertical com os pontos em ordem de baixo para cima D, E, F. No segmento A D há: o segmento A B que mede 33 metros, o segmento B C, o segmento C D que mede, 7 vezes x mais 2, metros e o segmento A C que mede 57 metros. No segmento D F há: o segmento E F que mede 18 metros e o segmento D F que mede, 13 vezes x mais 4, metros.

Resposta: 103   m .

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Teorema de Tales

Neste tópico, estudaremos o Teorema de Tales, que recebeu esse nome em homenagem ao matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Ele viveu por volta de 624 a.C a 548 a.C. e é considerado um dos "sete sábios" que se conhece na Antiguidade.

Questão 10. Realize uma pesquisa a respeito de Tales de Mileto. Nela, busque informações sobre ele e quais foram as suas contribuições para as ciências. Registre no caderno o que achar relevante.

Resposta pessoal.

Gravura em preto e branco de busto de um homem. Ele tem cabelos cacheados, barba e bigode.
Tales de Mileto.

Atenção!

As fontes para realizar a pesquisa proposta na questão 10 podem ser livros, revistas e sites. No entanto, é necessário estar atento e certificar-se de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

Agora, vamos enunciar o Teorema de Tales e demonstrá-lo para dois casos.

Se um feixe de retas paralelas cruza duas retas transversais, então quaisquer dois segmentos de reta determinados em uma das transversais são proporcionais aos respectivos segmentos de reta determinados na outra transversal.

Atenção!

Quando três ou mais retas em um mesmo plano são paralelas entre si, duas a duas, elas formam um feixe de retas paralelas. Se r, s e t são retas paralelas, duas a duas, podemos indicar por r//s//t.

1º caso: Feixe de retas paralelas que determina, nas transversais, segmentos congruentes.

Considere o feixe de retas paralelas r, s e t. Devemos, então, traçar as retas p e q transversais, que cruzam esse feixe de retas de maneira que os segmentos A B e B C sejam congruentes, ou seja, A B = B C .

Ilustração de um feixe de retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas p e q não paralelas que cruzam transversalmente as retas r, s, t. Do lado esquerdo na reta p há: o ponto A no lugar em que a reta p e a reta r se cruzam; o ponto B no lugar em que a reta p e a reta s se cruzam e o ponto C no lugar em que a reta p e a reta t se cruzam. Os segmentos A B e B C são congruentes. Do lado direito na reta q há: o ponto E no lugar em que a reta q e a reta r se cruzam; o ponto F no lugar em que a reta q e a reta s se cruzam e o ponto G no lugar em que a reta q e a reta t se cruzam.

Vamos demonstrar que E F e F G são congruentes.

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Para isso, traçamos os segmentos E X e F Y paralelos à reta p, de maneira que A B = E X e B C = F Y . Como A B = B C , segue que E X = F Y .

Ilustração de um feixe de retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas p e q não paralelas que cruza transversalmente as retas r, s, t. Do lado esquerdo na reta p há: o ponto A no lugar em que a reta p e a reta r se cruzam; o ponto B no lugar em que a reta p e a reta s se cruzam e o ponto C no lugar em que a reta p e a reta t se cruzam. Os segmentos A B e B C são congruentes. Do lado direito na reta q há: o ponto E no lugar em que a reta q e a reta r se cruzam; o ponto F no lugar em que a reta q e a reta s se cruzam e o ponto G no lugar em que a reta q e a reta t se cruzam. Há um ponto X que pertence a reta s e está depois do ponto B e antes do ponto F. O segmento E X é congruente ao segmento A B e paralelo à reta p. Há um ponto Y que pertence a reta t e está depois do ponto C e antes do ponto G. O segmento F Y é congruente ao segmento B C e paralelo à reta p. Os pontos E F X formam um triângulo e os pontos F G Y formam outro triângulo. O ângulo interno E do triângulo E F X é congruente ao ângulo interno F do triângulo F G Y e o ângulo interno F do triângulo E F X é congruente ao ângulo interno G do triângulo F G Y.

Agora, vamos considerar os triângulos E F X e F G Y . Neles, temos:

E X = F Y ;

med ( X E ˆ F ) = med ( Y F ˆ G ) , pois são ângulos correspondentes;

med ( X F ˆ E ) = med ( Y G ˆ F ) , pois são ângulos correspondentes.

Assim, pelo caso de congruência L A A O , os triângulos E F X e F G Y são congruentes. Portanto, EF¯=FG¯ , como queríamos demostrar.

2º caso: Feixe de retas paralelas que determina, nas transversais, segmentos comensuráveis e não congruentes.

Considere o feixe de retas paralelas a, b e c. Então, devemos traçar as retas u e v transversais, que cruzam esse feixe de retas de maneira que os segmentos M N e N O sejam comensuráveis.

Ilustração de um feixe de retas paralelas a, b, c em que b está entre a e c, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas a, b, c. Do lado esquerdo na reta u há: o ponto M no lugar em que a reta u e a reta a se cruzam; o ponto N no lugar em que a reta u e a reta b se cruzam e o ponto O no lugar em que a reta u e a reta c se cruzam. Do lado direito na reta v há: o ponto P no lugar em que a reta v e a reta a se cruzam; o ponto Q no lugar em que a reta v e a reta b se cruzam e o ponto R no lugar em que a reta v e a reta c se cruzam.

Atenção!

Dois segmentos são comensuráveis quando existe uma medida s que divide os segmentos em quantidades inteiras de partes.

Vamos demonstrar que M N N O = P Q Q R . De fato, como os segmentos M N e N O são comensuráveis, existe uma medida s que cabe n vezes no segmento M N e m vezes no segmento N O , tal que n e m são números inteiros. Desse modo, temos:

Ilustração de um feixe de retas paralelas a, b, c em que b está entre a e c, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas a, b, c. Do lado esquerdo na reta u há: o ponto M no lugar em que a reta u e a reta a se cruzam; o ponto N no lugar em que a reta u e a reta b se cruzam e o ponto O no lugar em que a reta u e a reta c se cruzam. Do lado direito na reta v há: o ponto P no lugar em que a reta v e a reta a se cruzam; o ponto Q no lugar em que a reta v e a reta b se cruzam e o ponto R no lugar em que a reta v e a reta c se cruzam. O segmento M N está dividido em dois segmentos de medida s e o segmento N O está dividido em 3 segmentos de medida s. Há um traço nas divisões da medida do segmento s.

Atenção!

Na imagem, é representado o caso em que n = 2 e m = 3 .

M N N O = n s m s = n m

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Vamos traçar retas paralelas às retas a, b e c pelos pontos obtidos na divisão dos segmentos de reta M N e N O .

Ilustração de um feixe de retas paralelas a, b, c em que b está entre a e c, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas a, b, c. Do lado esquerdo na reta u há: o ponto M no lugar em que a reta u e a reta a se cruzam; o ponto N no lugar em que a reta u e a reta b se cruzam e o ponto O no lugar em que a reta u e a reta c se cruzam. Do lado direito na reta v há: o ponto P no lugar em que a reta v e a reta a se cruzam; o ponto Q no lugar em que a reta v e a reta b se cruzam e o ponto R no lugar em que a reta v e a reta c se cruzam. O segmento M N está dividido em dois segmentos de medida s e o segmento N O está dividido em 3 segmentos de medida s. Nas divisões da medida do segmento s há retas paralelas às retas a, b, c que cruzam a reta v formando os segmentos de medida t.

Pelo 1º caso, as retas paralelas determinam na transversal v exatamente n + m segmentos de reta congruentes. Desse modo, há um segmento de reta cujo comprimento mede t contido n vezes em P Q e m vezes em Q R . Então:

P Q Q R = n t m t = n m

Portanto, M N N O = P Q Q R , ou seja, os segmentos de reta M N e N O são proporcionais aos segmentos de reta P Q e Q R .

Apesar de termos demonstrado o teorema de Tales para dois casos, ele também é válido no caso em que o feixe de retas paralelas determina, nas transversais, segmentos não comensuráveis. Além disso, a recíproca do teorema, enunciada a seguir, é verdadeira.

Considere as retas r, s, t e duas transversais a elas. Se quaisquer dois segmentos de reta determinados em uma das transversais são proporcionais aos respectivos segmentos de reta determinados na outra transversal, então as retas r, s e t são paralelas.

Agora, analisaremos dois exemplos.

Exemplo 1. Utilizando o teorema de Tales, podemos determinar o valor de x na figura a seguir.

Ilustração de um feixe de retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas r, s, t. Do lado esquerdo na reta u há: um segmento de 5 centímetros que está entre a reta r e a reta s e um segmento de 7 centímetros que está entre a reta s e a reta t. Do lado direito na reta v há: um segmento de 9 centímetros que está entre a reta r e a reta s e um segmento de medida x que está entre a reta s e a reta t.

5 7 = 9 x 5 x = 9 7 x = 12 , 6

Portanto, x = 12 , 6   cm .

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Exemplo 2. Ao analisarmos a imagem a seguir, podemos concluir que A B e B C são proporcionais a D E e E F , ou seja:

2 4 = 2 , 5 5

Ilustração de um feixe de retas paralelas r, s, t em que s está entre r e u, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas r, s, t. Do lado esquerdo na reta u há: o ponto A no lugar em que a reta u e a reta r se cruzam; o ponto B no lugar em que a reta u e a reta s se cruzam e o ponto C no lugar em que a reta u e a reta t se cruzam. O segmento A B mede 2 centímetros e o segmento B C mede 4 centímetros. Do lado direito na reta v há: o ponto D no lugar em que a reta v e a reta r se cruzam; o ponto E no lugar em que a reta v e a reta s se cruzam e o ponto F no lugar em que a reta v e a reta t se cruzam. O segmento D E mede 2,5 centímetros e o segmento E F mede 5 centímetros.

Assim, pela recíproca do teorema de Tales, podemos concluir que as retas r, s e t são paralelas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

44. Na figura a seguir, as retas a , b , c e d formam um feixe de retas paralelas.

Ilustração de quatro retas paralelas: a, b, c, d. Elas estão uma abaixo da outra nessa ordem; e são cortadas por duas transversais denominadas reta e, e, reta f. A reta a se cruza com a reta e em um ponto M; a reta b se cruza com a reta e em um ponto N; a reta c se cruza com a reta e em um ponto O; a reta d se cruza com a reta e em um ponto P; a reta a se cruza com a reta f em um ponto Q; a reta b se cruza com a reta f em um ponto R; a reta c se cruza com a reta f em um ponto S; e a reta d se cruza com a reta f em um ponto T.

Com base na figura, copie os itens no caderno substituindo cada pela indicação da medida de um segmento de reta de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) M N N O = R S

b) M P = Q S

c) M N M O =

d) = R S S T

e) N O = R T

f) N O = Q T

Respostas: a) M N N O = Q R R S ; b) M P M O = Q T Q S ; c) M N M O = Q R Q S ; d) N O O P = R S S T ; e) N P N O = R T R S ; f) N O M P = R S Q T .

45. Em cada item, verifique se as retas p, q e r são paralelas.

A. Ilustração de três retas que não se cruzam entre si: reta p, reta q e reta r. Elas estão cortadas por duas retas transversais, reta u e reta t. O segmento da reta u que está entre r e q mede 15 metros e o segmento da reta u que está entre q e p mede 12 metros. O segmento da reta t que está entre r e q mede 10 metros e o segmento da reta t que está entre q e p mede 8 metros.
B. Ilustração de três retas, uma abaixo da outra: reta p, reta q e reta r, nessa ordem. Elas estão cortadas por duas retas transversais, reta u e reta t. O segmento da reta u que está entre r e q mede 6 metros e o segmento da reta u que está entre q e p mede 14 metros. O segmento da reta t que está entre r e q mede 9 metros e o segmento da reta t que está entre q e p mede 18 metros.

Respostas: A. Paralelas; B. Não paralelas.

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46. Analise a figura a seguir e algumas informações sobre ela.

Ilustração de três retas, uma abaixo da outra e que não se cruzam. Elas são denominadas reta r, reta s e reta t, nessa ordem; e são cortadas por duas transversais, reta v e reta u. As retas u e v se cruzam entre as retas r e s. A reta r cruza com a reta v em um ponto A; a reta s cruza com a reta v em um ponto B; a reta t cruza com a reta v em um ponto C; a reta r cruza com a reta u em um ponto D; a reta s cruza com a reta u em um ponto E; e a reta t cruza com a reta u em um ponto F.
  • A B = 52   m
  • B C = 64   m
  • D E = 40   m
  • E F = 60   m

Verifique se as retas r , s e t são paralelas e justifique sua resposta.

Resposta: As retas r, s e t não são paralelas, pois A B B C D E E F .

47. As retas a , b e c a seguir formam um feixe de retas paralelas.

Ilustração de um feixe de retas paralelas a, b, c em que b está entre a e c, com duas retas s e t não paralelas cruzando transversalmente as retas a, b, c. A reta s cruza com a reta a em um ponto O; a reta s cruza com a reta b em um ponto N; a reta s cruza com a reta c em um ponto M; a reta t cruza com a reta a em um ponto R; a reta t cruza com a reta b em um ponto Q; a reta t cruza com a reta c em um ponto P. Estão indicadas as medidas do segmentos: segmento M N com medida 4 x menos 7; segmento N O com medida 3 x; segmento P Q com medida 2 metros; e segmento Q R com medida 5 metros.

Determine M N e N O .

Resposta: M N = 3   m ; N O = 7 , 5   m .

48. Ícone uso de instrumentos O esquema a seguir representa dois terrenos que têm a frente voltada para a rua Manaus. O terreno A pertence à Valquíria e o terreno B, a Marcos.

Esquema com a vista de 2 terrenos com formato de trapézios retângulos, um ao lado do outro. Os terrenos têm frente para a rua Manaus e juntos medem 70 metros. As divisas laterais, que também podem ser consideradas as bases desses trapézios retângulos, são perpendiculares à rua Salvador. Da esquerda para a direita na rua Salvador o terreno A mede 35 metros e o terreno B mede 25 metros.

Valquíria e Marcos pretendem construir um muro na frente dos terrenos. Usando uma calculadora, determine quantos metros de muro cada um deve construir em seu terreno, sabendo que as divisas laterais dos terrenos são paralelas.

Resposta: Valquíria: aproximadamente 40 , 8   m ; Marcos: aproximadamente 29 , 2   m .

49. Ícone uso de instrumentos A figura a seguir representa uma horta que Patrícia dividiu paralelamente em canteiros para plantar alface, cebolinha e almeirão.

Ilustração da vista aérea de uma horta com formato de trapézio retângulo cuja base maior mede 19,6 metros e a base menor mede 7,8 metros. O terreno é dividido em 3 canteiros: a lateral perpendicular a base do canteiro de alface mede 3 metros e a outra lateral mede y; a lateral perpendicular a base do canteiro de cebolinha mede 2 metros e a outra lateral mede 3,3 metros; a lateral perpendicular a base do canteiro de almeirão mede 4 metros e a outra lateral mede x.

Para isso, ela cercou a horta com tela. Utilizando uma calculadora, quantos metros de tela Patrícia utilizou para cercar a horta?

Resposta: 51 , 25   m .

50. Em seu caderno, calcule os valores de a , b , c e d representados na figura a seguir.

Ilustração de um feixe retas paralelas r, s, t, u com 3 retas o, p, q não paralelas que cruzando transversalmente as retas r, s, t, u. As retas transversais p e q são paralelas entre si. A reta o cruza com a reta p e a reta r em um mesmo ponto; e também, a reta o cruza com a reta q e a reta u em um mesmo ponto. Na reta p há: um segmento de 18 metros que está entre a reta r e a reta s; um segmento a que está entre a reta s e a reta t; um segmento b que está entre a reta t e a reta u. Na reta q há: um segmento de 16 metros que está entre a reta r e a reta s; um segmento de 12 metros que está entre a reta s e a reta t; um segmento de 20 metros que está entre a reta t e a reta u. Na reta o há: um segmento c que está entre a reta r e a reta s; um segmento de 15 metros que está entre a reta s e a reta t; um segmento d que está entre a reta t e a reta u.

Resposta: a = 13 , 5   m ; b = 22 , 5   m ; c = 20   m ; d = 25   m .

51. Elabore um problema, que, para resolvê-lo, seja necessário aplicar o teorema de Tales. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

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Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales pode ser aplicado em situações que envolvam triângulos. Para compreender melhor sua aplicação, considere o triângulo A B C e as retas que contêm seus lados.

Ilustração de um triângulo A B C e duas retas s e p paralelas a base B C. Há os pontos D e E pertencentes a reta s. O ponto D é o ponto em que a reta s e o lado A B se cruzam e o ponto E é o ponto em que a reta s e o lado A C se cruzam. A reta p passa pelo vértice A do triângulo.

Ao traçarmos a reta:

  • s , paralela ao lado B C e que cruza os lados A B e A C , determinamos os pontos D e E ;
  • p paralela a s , passando pelo vértice A , temos um feixe de retas paralelas, que cruza 2 retas transversais.

Com base no teorema de Tales, temos:

A D D B = A E E C

Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados os divide em segmentos de reta proporcionais.

No triângulo a seguir, J G é paralelo a I H .

Ilustração de um triângulo F I H com um ponto J no lado F I e um ponto G no lado F H. Está traçado o segmento J G, paralelo ao lado I H do triângulo. Está indicado que F J mede 4 centímetros, J I mede 7 centímetros, H G mede x, e G F mede 6 centímetros.

Utilizando o teorema de Tales, podemos determinar o valor de x. De fato:

6 x = 4 7 4 x = 42 4 x 4 = 42 4 x = 10 , 5

Portanto, x = 10 , 5   cm .

Questão 11. Considere o triângulo A B C a seguir, em que D E é paralelo a A C . Em seu caderno, calcule a medida do comprimento do lado B C .

Ilustração de um triângulo A B C com um ponto D no lado A B e um ponto E no lado A C. Está traçado o segmento D E, paralelo ao lado B C do triângulo. Está indicado que B C mede 14 centímetros, C E mede 7 centímetros; o segmento E A mede 5 centímetros e o segmento A D mede 6 centímetros.

Resposta: 4 , 56   cm .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

52. Em cada item, determine a medida do perímetro do triângulo, sabendo que D E é paralelo a B C .

A. Ilustração de um triângulo A B C com um ponto D no lado A B e um ponto E no lado AC. Está traçado o segmento D E, paralelo à base B C do triângulo. Está indicado que A D mede 9 metros, D B mede 11 metros, B C mede 25 metros e o segmento E A mede 13,5 metros.
B. Ilustração de um triângulo A B C com um ponto D no lado A B e um ponto E no lado A C. \Está traçado o segmento D E, paralelo ao lado B C do triângulo. Está indicado que D B mede 6 centímetros, B C mede 8 centímetros, C E mede 9 centímetros e o segmento E A mede 7,5 centímetros.
C. Ilustração de um triângulo A B C com um ponto D no lado A B e um ponto E no lado A C. Está traçado o segmento D E, paralelo ao lado B C do triângulo. Está indicado que B C mede 14 centímetros, C E mede 7 centímetros; o segmento E A mede 5 centímetros e o segmento A D mede 6 centímetros.

Respostas: A. 75   m ; B. 35 , 5   cm ; C. 40 , 4   cm .

53. Considere o triângulo a seguir.

Ilustração de um triângulo A B C com um ponto P no lado A B e um ponto Q no lado A C. Está traçado o segmento P Q, paralelo ao lado B C do triângulo. Está indicado que A Q mede 15 metros, C B mede x e B P mede 12,5 metros.

Determine o valor de x no triângulo A B C , sabendo que:

P Q // B C ;

o perímetro do triângulo mede 75   m ;

P é o ponto médio de A B .

Resposta: 20   m .

54. O triângulo M N O é isósceles.

Ilustração de um triângulo M N O com um ponto P no lado O M e um ponto Q no lado N O. Está traçado o segmento P Q, paralelo ao lado M N do triângulo. Está indicado que N Q mede 15 metros.

Atenção!

O triângulo isósceles apresenta pelo menos 2 lados com medidas de comprimento iguais.

Considerando que M N // P Q , O M = 2 5   m e O N = 25   m , determine O P e P M .

Resposta: O P = 10   m ; P M = 15   m .

55. Em determinada hora do dia, as sombras de um poste e de uma estátua projetadas no solo atingem o ponto S, como representado no esquema a seguir.

Esquema com 2 triângulos retângulos. Há uma representação de uma estátua e de um poste. Eles estão alinhados, um ao lado do outro à uma certa distância. A estátua está a esquerda e o poste está a direita com uma altura maior. Na base, à esquerda dos dois há um ponto S. Está desenhado um triângulo retângulo com um vértice em S e os outros dois vértices nas extremidades da estátua, em que a altura da estátua também é altura do triângulo. O outro triângulo retângulo é maior e está desenhado com um vértice em S e os outros dois nas extremidades do poste, sendo a altura do poste também altura do triângulo. , A medida da distância entre S e o pé da estátua é de 3,4 metros, a distância entre S e o topo da estátua mede 4,2 metros e entre o topo da estátua e o topo do poste mede 5,8 metros.

Determine a medida da distância aproximada entre o poste e a estátua.

Resposta: 4 , 7   m .

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56. Na figura a seguir, D E e C B são paralelos.

Ilustração de um triângulo A B C com um ponto E no lado A B e um ponto D no lado A C. Está traçado o segmento D E, paralelo ao lado C B do triângulo. Está indicado que A D mede 3 metros, D C mede 9 metros, C B mede 5 vezes x mais 1 metro, B E mede 18 metros e o segmento E A mede 2 vezes x.

a) Determine a medida do comprimento de A B em metros.

b) Quanto mede o perímetro do triângulo A B C em metros?

Resposta a) 24 m; b) 52 m.

57. Dirceu quer trocar o arame de parte da cerca de seu pasto, que está representado na figura a seguir. A parte da cerca que ele deseja trocar está indicada pela medida x.

Esquema da vista aérea de um cercado em formato triangular A B C com um outro cercado triangular menor M N C, em que M está entre A e C; e N está entre B e C.. As medidas indicadas são: C até M mede 7,2 metros, C até N mede 9 metros, N até B mede x, A até M mede 8,8 metros.

a) Sabendo que o pasto é dividido por uma cerca paralela à que está próxima da estrada, calcule no caderno o valor de x.

b) De quantos metros de arame Dirceu vai precisar para que a parte da cerca que ele deseja trocar seja feita com 4 arames paralelos, como mostra a figura?

Respostas: a) 11   m ; b) 44   m .

58. Determine os valores de a , b e c .

Ilustração de um triângulo retângulo. A base mede 152 metros; e há dois segmentos paralelos, traçados perpendiculares a base, dividindo-a em três partes: segmento a; segmento b e segmento c. Os dois segmentos paralelos também dividem o lado do triângulo que é oposto ao ângulo reto em três partes. Uma parte, oposta ao segmento a, mede 75 metros; a parte oposta ao segmento b mede 65 metros; e a parte oposta ao segmento c mede 50 metros. .

Resposta: a = 60   m ; b = 52   m e c = 40   m .

59. Na imagem, as medidas são dadas em metros.

Ilustração de um triângulo retângulo A B C com um ponto D no lado A B e um ponto E no lado A C. Está traçado o segmento E D, paralelo ao lado B C do triângulo. Está indicado que o segmento C E tem medida x, o segmento E A tem medida 3, A B tem medida 4 e o segmento E D tem 1,8 de medida.

Sabendo que a área do triângulo A D E mede 2 , 16   m 2 e que E D // B C , determine o valor de x.

Resposta: 2   m .

60. Elabore um problema envolvendo triângulos e o teorema de Tales e, em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. A figura a seguir representa a planta baixa do quarto de Renata.

Ilustração de uma planta baixa de um quarto que tem medida de comprimento de 4 metros e largura de 3 metros. Em seu interior há uma cama cuja medida de comprimento é 2 metros e a da largura é 0,9 metro.

Resolva os itens a seguir em uma folha de papel avulsa.

a) Ao fazer outra planta baixa de seu quarto, Renata representou com 18   cm o comprimento desse cômodo. Levando em consideração essa informação, com quantos centímetros ela representou a largura de seu quarto nessa planta baixa?

b) Nessa nova planta baixa, quais seriam as medidas das dimensões da cama de Renata?

Respostas: a) 13 , 5   cm ; b) 9   cm × 4 , 05   cm .

2. Na turma de ballet da professora Marcela, há, ao todo, 36 estudantes. Sabendo que a razão entre o número de meninos e o de meninas é de 4 5 , determine quantos meninos e quantas as meninas fazem parte dessa turma.

Resposta: Há 16 meninos e 20 meninas.

3. Para ir de sua casa até o museu, Marília percorreu, com seu automóvel, 16   km em 1 5   min . Determine a velocidade média, em quilômetros por hora, nesse percurso.

Resposta: 64   km/h .

4. Decomponha o número 180 em duas partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5.

Resposta: 180 = 100 + 8 0

5. Ana e Rebeca investiram em uma floricultura, respectivamente, R$ 7.200,00 e R$ 10.800,00. Após certo período, elas apuraram lucro de R$ 5.400,00, que deverá ser dividido entre as duas de maneira diretamente proporcional ao que cada uma investiu. Determine o valor correspondente a Ana e a Rebeca.

Resposta: Ana: R$ 2.160,00; Rebeca: R$ 3.240,00.

6. Analise a figura a seguir e determine o valor de x.

Resposta: x = 49   m .

Ilustração de um triângulo M O N com um ponto C no lado M O e um ponto D no lado O N. Está traçado o segmento C D, paralelo ao lado M N do triângulo. Está indicado que M C mede 63 metros, C O mede 27 metros, O D mede 21 metros, e D N mede x metros.

Atenção!

CD // MN

7. Três terrenos têm frente para a rua Bahia e suas divisas laterais são perpendiculares à rua Amazonas.

Qual é a medida da frente de cada terreno, sabendo que juntos têm medida igual a 202 , 5   m de frente?

Resposta: A = 90   m ; B = 67 , 5   m ; C = 45   m .

Ilustração da vista aérea de 3 terrenos com formato de trapézios retângulos, um ao lado do outro. Os 3 terrenos têm frente para a rua Bahia e suas divisas laterais, que também pode ser considerado as bases desses trapézios retângulos, são perpendiculares à rua Amazonas. Da esquerda para a direita na rua Amazonas o terreno A mede 60 metros, o terreno B mede 45 metros e o terreno C mede 50 metros.