Razão

Neste tópico, estudaremos como comparar duas grandezas. Para isso, vamos analisar o seguinte exemplo.

Na prova de Matemática, Félix acertou 9 atividades e errou 4. Nesse caso, dizemos que a razão entre o número de acertos e o número de erros de Félix nessa prova é de $9:4$ ou $\frac{9}{4}$.

Agora, considere o seguinte problema.

Para resolver o problema, podemos elaborar um quadro.

Desse modo, segue que:

Portanto, na turma há $2\cdot 6=12$ meninas.

Questão 1. Quantos meninos há na turma de 9º ano?

Resposta: 30 meninos.

Na sequência, estudaremos algumas razões que estão presentes em nosso dia a dia.

Velocidade média

A velocidade média é definida como a distância total percorrida dividida pelo tempo gasto para percorrê-la. Para compreender melhor, vamos analisar o seguinte exemplo:

Para ir ao trabalho, Marcelo percorreu com seu carro $20\text{km}$ em $50\text{min}$. Para determinar a medida da velocidade média da viagem em quilômetros por hora, calculamos:

$\frac{20}{\frac{5}{6}}=\frac{6\cdot 20}{5}=24$

Portanto, a velocidade média desse trajeto mede $24\text{km}\text{/}\text{h}$.

Densidade demográfica

A densidade demográfica de um local é definida como a razão entre a população total de determinado lugar e a medida de sua área em quilômetros quadrados. Vamos analisar o seguinte exemplo.

Em 2021, a comunidade quilombola Sumidouro, em Queimada Nova (PI), era formada por 23 famílias, havendo nela aproximadamente 115 pessoas. Sabendo que a área da região em que eles moram mede $9,321{\text{km}}^2$, podemos determinar sua densidade demográfica. Para isso, devemos fazer:

$\frac{115\text{hab.}}{9,321{\text{km}}^2}\simeq 12,34\text{hab.}\text{/}{\text{km}}^2$

Portanto, em 2021, a densidade demográfica da comunidade quilombola Sumidouro era de aproximadamente $12,34\text{hab.}\text{/}{\text{km}}^2$.

Fonte de pesquisa: MAPA – Indígenas Kariri e quilombolas do Mocambo, Sumidouro e Tapuio Queimada Nova – PI. Nova Cartografia Social da Amazônia. Disponível em: https://oeds.link/lnAhOp. Acesso em: 4 abr. 2022.

Questão 2. Alguns mapas são elaborados por especialistas junto com membros da comunidade. Você considera essa parceria importante? Converse com os colegas e o professor sobre o assunto.

Resposta pessoal.

Densidade

A densidade de um objeto é definida como o quociente entre sua massa e seu volume. Vamos analisar o seguinte exemplo.

Um objeto tem massa e volume medindo, respectivamente, $5.250\text{g}$ e $250{\text{cm}}^3$. Para determinar a medida da densidade desse objeto em gramas por centímetro cúbico, devemos fazer:

Portanto, a densidade do objeto mede $21\text{g}\text{/}{\text{cm}}^3$.

Escala

A escala de uma representação é definida como a razão entre a medida do comprimento considerado para produzir a representação e a medida do comprimento real correspondente, expressas em uma mesma unidade de medida. Acompanhe o seguinte exemplo.

No mapa apresentado a seguir, cada $1\text{cm}$ representa $9.000.000\text{cm}$ $\left(90\text{km}\right)$.

Fonte de pesquisa: Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

Para determinar a escala do mapa, devemos fazer:

$\frac{1\text{cm}}{9.000.000\text{cm}}=\frac{1}{9.000.000}=1:9.000.000$

Com base nessa escala, podemos determinar, por exemplo, a medida da distância em linha reta entre as cidades de Londrina e Maringá. Como no mapa a distância em linha reta entre essas cidades mede $0,8\text{cm}$, devemos efetuar:

$0,8\cdot 9.000.000=7.200.000$

Transformando essa medida em quilômetros, obtemos:

$7.200.000\text{cm}=\frac{7.200.000}{100.000}\text{km}=72\text{km}$

Portanto, a distância em linha reta entre as cidades de Londrina e Maringá mede $72\text{km}$.

O uso de escalas está presente no dia a dia dos arquitetos, engenheiros, biólogos, entre outros. Por exemplo, os arquitetos utilizam-na para elaborar a planta de uma casa. Já os biólogos podem usar esse conceito para representar a ampliação de uma bactéria, por exemplo.

Questão 3. Pesquise uma situação em que engenheiros utilizam o conceito de escala. Além disso, busque por outros profissionais que utilizam o conceito de razão para realizar os seus trabalhos. Registre no caderno as informações que achar relevantes.

Resposta pessoal.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No 9º ano B, há 15 meninas e 26 meninos. Qual é a razão entre:

a) o número de meninas e o número de meninos?

b) o número de meninas e o total de estudantes?

c) o número de meninos e o total de estudantes?

Respostas: a) $\frac{15}{26}$; b) $\frac{15}{41}$; c) $\frac{26}{41}$.

2. Joana gosta de colecionar figurinhas de carros e motos, tendo ao todo 125 figurinhas. Sabendo que a razão entre o número de figurinhas de carros e o número de figurinhas de motos é $\frac{2}{3}$, determine quantas são as figurinhas de carros.

Resposta: 50 figurinhas.

3. Elabore um problema envolvendo velocidade média e peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

4. A escola onde Pedro estuda fica a $\text{9}\text{km}$ da casa dele, e para se deslocar ele precisa utilizar o ônibus escolar para frequentar as aulas. Em determinado dia, o ônibus levou $\frac{1}{6}\text{h}$ para ir da casa de Pedro até a escola, sem fazer paradas ao longo do caminho. Em seu caderno, calcule a medida da velocidade média do ônibus nesse dia.

Resposta: $\text{54 km/h}$.

5. A população estimada de Petrolina (PE) em 2021 era de 359.372 pessoas e a extensão territorial desse local mede $4.561,870\text{km²}$.

Fonte de pesquisa: IBGE. Disponível em: https://oeds.link/zIaAdV. Acesso em: 17 maio 2022.

Em seu caderno, calcule a densidade demográfica desse município em 2021.

Resposta: Aproximadamente $78,8\text{hab.}\text{/}{\text{km}}^2$.

6. O volume de uma pedra de gelo com formato cúbico mede $125{\text{m}}^3$. Determine a densidade dela, sabendo que sua massa mede $115\mathrm{g}$.

Resposta: $0,92\text{g}\text{/}{\text{cm}}^3$.

7. A Rodovia Transpantaneira está localizada no estado do Mato Grosso e liga o município de Poconé a Porto Jofre, em um total de $142\text{km}$ de estrada de "chão".

No mapa, cada $1\text{cm}$ representa $30\text{km}$.

Fonte de pesquisa: Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

a) Utilizando uma régua, determine a medida da distância real aproximada em linha reta, em quilômetros, entre Poconé e:

Porto Jofre.

Cuiabá.

Respostas: $120\text{km}$; $99\text{km}$.

b) Qual é a diferença entre a medida do comprimento da Rodovia Transpantaneira e a medida da distância real aproximada em linha reta entre o município de Poconé e Porto Jofre?

Resposta: Aproximadamente $22\text{km}$.

8. Escolha uma das razões estudadas, elabore um problema e peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

Proporção

O quadro a seguir apresenta o número de estudantes de duas turmas do 9º ano.

Analisando o quadro, verificamos que no 9º ano A a razão entre o número de meninos e o de meninas é $\frac{13}{9}$. Por outro lado, no 9º ano B, a razão entre o número de meninos e o de meninas também é $\frac{13}{9}$, visto que, ao simplificar a fração $\frac{26}{18}$, obtemos $\frac{13}{9}$. Nesse caso, temos: $\frac{26}{18}=\frac{13}{9}$.

As razões $\frac{5}{4}$ e $\frac{10}{8}$ formam uma proporção, pois $\frac{5}{4}=\frac{10}{8}$. Nesse caso, dizemos que 5 está para 4 assim como 10 está para 8.

Propriedades das proporções

Neste tópico, estudaremos algumas propriedades das proporções. Para isso, considere a proporção $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios, em uma proporção, é igual ao produto dos extremos.

Demonstração: Seja a proporção $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Como os termos da proporção são não nulos, podemos multiplicar ambos os membros da igualdade por bd. Desse modo, obtemos:

Assim, podemos concluir que, em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Se $b\ne d$, temos:

Demonstração: Vamos verificar que, dada a proporção $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, temos $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$. De fato, considerando a propriedade fundamental, temos $ad=bc$. Adicionando ab em ambos os membros da igualdade, obtemos:

Questão 4. Em seu caderno, mostre que se $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, com $b\ne d$, é uma proporção, então $\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$, $\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}$ e $\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$.

Resposta na seção Resoluções.

Grandezas proporcionais

No ano anterior, estudamos grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Agora, vamos relembrar esses conceitos analisando alguns exemplos.

Grandezas diretamente proporcionais

Marcos precisa descongelar sua comida e, para isso, utiliza o micro-ondas. Para saber a medida do tempo necessária, ele fez uma busca no manual do aparelho e encontrou o quadro a seguir para o tipo de alimento que ele precisa descongelar.

Analisando as informações, verificamos que, ao dobrarmos a medida da massa, a medida do tempo também dobra; ao triplicarmos a medida da massa, a medida do tempo também triplica; e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas massa e tempo são diretamente proporcionais.

Com base nisso, a razão entre as medidas correspondentes às grandezas massa e tempo é constante, ou seja:

Indicando por x e y, respectivamente, a medida da massa de comida e a medida do tempo necessário para o descongelamento, podemos escrever:

Utilizando essa expressão, podemos calcular, por exemplo, a medida do tempo necessário para descongelar $800\mathrm{g}$ dessa comida. De fato, se $x=800$, temos:

Portanto, são necessários $16\text{min}$ para descongelar $800\mathrm{g}$ de comida.

Questão 5. Em seu caderno, calcule quantos minutos são necessários para descongelar $1\text{kg}$ dessa comida nesse micro-ondas.

Resposta: $20\text{min}$.

Grandezas inversamente proporcionais

Bianca vai viajar para a casa de seus pais. Como ela precisa estimar a medida do tempo necessário para completar essa viagem, realizou uma pesquisa e obteve as seguintes informações.

Ao dobrarmos a medida da velocidade média, verificamos que a medida do tempo fica reduzida pela metade; ao triplicarmos a medida da velocidade média, a medida do tempo fica reduzida à terça parte; e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais.

Com base nisso, a razão entre as medidas da grandeza velocidade média e o inverso das medidas correspondentes da grandeza tempo é constante, ou seja:

Indicando por x e y, respectivamente, a medida da velocidade média e a medida do tempo necessário para completar a viagem, podemos escrever:

Utilizando essa expressão, podemos calcular, por exemplo, a medida do tempo necessário para completar a viagem, considerando uma velocidade média medindo $75\text{km}\text{/}\text{h}$. De fato, se $x=75$, temos:

Portanto, serão necessários $216\text{min}\left(3\text{h}36\text{min}\right)$ para completar a viagem.

Questão 6. Se a velocidade média medir $100\text{km}\text{/}\text{h}$, calcule em seu caderno quantas horas e minutos serão necessários para completar essa viagem.

Resposta: $2\text{h}42\text{min}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Em cada item, verifique se as razões formam uma proporção.

a) $\frac{5}{2}$ e $\frac{3}{5}$.

b) $\frac{3}{4}$ e $\frac{15}{20}$.

c) $\frac{7}{3}$ e $\frac{14}{3}$.

d) $\frac{9}{8}$ e $\frac{9}{2}$.

e) $\frac{7}{5}$ e $\frac{35}{25}$.

f) $\frac{6}{13}$ e $\frac{42}{91}$.

g) $\frac{1}{8}$ e $\frac{1}{4}$.

h) $\frac{12}{15}$ e $\frac{4}{5}$.

i) $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{7}$.

Respostas: a) Não; b) Sim; c) Não; d) Não; e) Sim; f) Sim; g) Não; h) Sim; i) Não.

10. A seguir, estão indicados os ingredientes para o preparo de um bolo de laranja que Suely vende em sua lanchonete, cujo rendimento é de 6 porções.

De quantas xícaras (chá) de óleo Suely vai precisar para preparar 24 porções desse bolo?

Resposta: 2 xícaras (chá).

11. Uma empresa de construção civil vai asfaltar $57\text{km}$ de uma estrada. Nos primeiros 76 dias de execução da obra, essa empresa finalizou $12\text{km}$. Quantos dias ainda são necessários para a empresa concluir o serviço, considerando que o ritmo de trabalho seja mantido?

Resposta: 285 dias.

12. Para ir de sua a casa até o museu da cidade, Pedro levou $18\text{min}$ dirigindo, em média, a $72\text{km/h}$. Qual seria a medida do tempo gasto, tanto em minutos quanto em segundos, se tivesse dirigido, em média, a $60\text{km/h}$?

Resposta: $21\min 36\text{s}$.

13. Após uma consulta, o médico prescreveu um medicamento para Mateus com a seguinte dosagem: 3 gotas para cada $4\text{kg}$ de medida de massa corporal a cada $8\text{h}$. Sabendo que a massa corporal de Mateus mede $32\text{kg}$, quantas gotas desse medicamento ele deve ingerir a cada $8\text{h}$?

Resposta: 24 gotas.

14. Para encher um reservatório com água, duas torneiras abertas demoram, em média, $1,5\text{h}$. Em quantos minutos cinco torneiras abertas iguais a essas demorariam para encher esse reservatório?

Resposta: 36 minutos.

15. Para atender à alta demanda, uma estamparia decidiu adicionar 3 novas máquinas em sua linha de produção, totalizando 8 máquinas. Sabendo que antes eram estampadas 300 camisetas por dia e que todas as máquinas são iguais, qual será o aumento na produção diária?

Resposta: 180 camisetas.

16. Uma máquina copiadora imprime 960 páginas a cada 3 minutos. Em quantos minutos ela imprimirá 1.600 páginas?

Resposta: $5\mathrm{m}\mathrm{in}$.

17. Trabalhando 5 horas por dia, Juliana e seus dois funcionários produzem, diariamente, certa quantidade de refeições. Sabendo que Juliana se dedicará apenas às entregas, determine a medida de tempo necessária para que, em um dia, esses dois funcionários produzam, considerando o mesmo ritmo de trabalho, essa mesma quantidade de refeições.

Resposta: $7,5\text{h}$ ou $7\text{h}30\text{min}$.

18. Com certa quantidade de ração, Antônio alimenta 120 galinhas durante 12 dias. Durante quantos dias essa mesma quantidade de ração será suficiente para alimentar 80 galinhas?

Resposta: 18 dias.

19. Elabore um problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

20. Analise a tabela nutricional a seguir.

Fonte de pesquisa: TABELA Brasileira de composição de alimentos. TACO. Disponível em: https://oeds.link/E3x0qE. Acesso em: 22 jun. 2022.

a) Quantos gramas de arroz do tipo 1 cozido uma pessoa deve consumir para ingerir $365,3\mathrm{g}$ de carboidrato?

b) Qual é a medida de energia, em quilocalorias, presente em $500\mathrm{g}$ de arroz tipo 1 cozido?

c) Qual é a quantidade de proteína, em gramas, presente em $2\text{kg}$ de batata doce cozida?

d) Qual é a medida de energia, em quilocalorias, presente em uma porção de arroz tipo 1 cozido com $10\mathrm{g}$ de proteína?

Respostas: a) $1.300\mathrm{g}$; b) $640\text{kcal}$; c) $12\mathrm{g}$; d) $512\text{kcal}$.

21. A companhia de saneamento de uma cidade identificou um vazamento de água em sua rede de distribuição, cuja vazão era de 2.700 litros por hora. O reparo da tubulação foi concluído após 3 horas e 30 minutos. Determine a medida do volume de água, em litros, desperdiçada até a conclusão do reparo.

Resposta: 9.450 litros.

22. Em seu caderno, reescreva a atividade 21 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

23. A medida da massa de um objeto com certa densidade é $66\mathrm{g}$ quando seu volume mede $132{\text{cm}}^3$. Determine a medida da massa de outro objeto de mesma densidade em que seu volume mede $150{\text{cm}}^3$.

Resposta: $75\mathrm{g}$.

24. Em seu caderno, reescreva a atividade 23 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade. Em seguida, peça a um colega que a resolva. Por fim, verifique se ele a fez corretamente.

Resposta pessoal.

25. Em uma empresa de confecção de calçados, duas máquinas produziram certa quantidade de pares de sapatos em 12 horas. Quantas máquinas iguais a essas seriam necessárias para produzir a mesma quantidade de pares de sapatos em 3 horas?

Resposta: 8 máquinas.

26. Em seu caderno, reescreva a atividade 25 trocando os números, mas mantendo a proporcionalidade inversa. Em seguida, peça a um colega que a resolva. Por fim, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

27. Elabore um problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais e, em seguida, peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele o respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

Divisão em partes diretamente proporcionais

Armando, Antônio e Amarildo são irmãos e têm, respectivamente, 12, 13 e 15 anos. Acompanhe o que o pai deles está dizendo.

Para saber quantos reais cada um deles vai receber, devemos dividir os R$ 500,00 em partes diretamente proporcionais à idade deles, ou seja, 12, 13 e 15 anos.

Indicando por x, y e z a quantia que Armando, Antônio e Amarildo vão receber, respectivamente, temos:

Com base nas propriedades das proporções estudadas, segue que:

Como $x+y+z=500$, temos:

Agora, calculamos a quantia recebida por eles.

Armando

Portanto, Armando vai receber R$ 150,00.

Antônio

Portanto, Antônio vai receber R$ 162,50.

Amarildo

Portanto, Amarildo vai receber R$ 187,50.

Questão 7. Se o pai deles tivesse dividido R$ 1.250,00 de maneira diretamente proporcional à idade de cada um, quanto cada um receberia?

Resposta: Armando receberia R$ 375,00, Antônio, R$ 406,25 e Amarildo, R$ 468,75.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Outro dia, o pai de Armando, Antônio e Amarildo disse a eles o seguinte:

Para saber quantos reais cada um deles vai receber, devemos dividir os R$ 1.062,00 em partes inversamente proporcionais à idade deles, ou seja, 12, 13 e 15 anos.

Indicando por x, y e z a quantia que Armando, Antônio e Amarildo vão receber, respectivamente, temos:

Com base nas propriedades das proporções estudadas, segue que:

Como $x+y+z=1.062$, temos:

Agora, calculamos a quantia recebida por eles.

Armando

Portanto, Armando vai receber R$ 390,00.

Antônio

Portanto, Antônio vai receber R$ 360,00.

Amarildo

Portanto, Amarildo vai receber R$ 312,00.

Questão 8. Caso o pai deles tivesse dividido R$ 1.593,00 de maneira inversamente proporcional à idade de cada um, quanto cada um receberia?

Resposta: Armando receberia R$ 585,00, Antônio, R$ 540,00 e Amarildo, R$ 468,00.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

28. Decomponha o número 150 em duas partes diretamente proporcionais aos números 2 e 3.

Resposta: $150=60+90$.

29. Decomponha o número 120 em duas partes inversamente proporcionais aos números 2 e 3.

Resposta: $120=72+48$.

30. Fernando decompôs o número 1.768 em três partes x, y e z diretamente proporcionais aos números 5, 9 e 12. A resposta obtida por ele foi:

a) $x=816$, $y=612$ e $z=340$.

b) $x=612$, $y=816$ e $z=340$.

c) $x=340$, $y=612$ e $z=816$.

d) $x=340$, $y=816$ e $z=612$.

Resposta: Alternativa c.

31. Três amigos fizeram um investimento em um empreendimento. O quadro a seguir apresenta o capital aplicado por eles.

Ao final de certo período, eles receberão R$ 9.398,00. Determine a quantia que cada amigo vai receber, sabendo que a divisão desse montante deve ser diretamente proporcional ao capital aplicado por cada um deles.

Resposta: Marcos: R$ 2.540,00; Antônio: R$ 3.048,00; Camila: R$ 3.810,00.

32. Elabore dois problemas: um envolvendo divisão em partes diretamente proporcionais e outro envolvendo divisão em partes inversamente proporcionais. Em seguida, dê para um colega resolver. Por fim, verifique se as respostas obtidas por ele estão corretas.

Resposta pessoal.

33. Decomponha o número 220 em três partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 6.

Resposta: $220=120+60+40$.

34. Anderson, Márcia e Gustavo prestaram um serviço para uma empresa e cobraram, ao todo, R$ 5.795,00.

Quantos reais cada um deles vai receber?

Resposta: Anderson: R$ 2.173,13; Márcia: R$ 1.629,84; Gustavo: R$ 1.992,03.

35. A empresa para a qual Marta trabalha dará uma bonificação de final de ano. Ao todo, serão distribuídos R$ 102.920,00 entre 3 funcionários. Sabendo que o valor recebido por cada funcionário será inversamente proporcional ao seu salário, analise o quadro e determine quanto cada um vai receber.

Resposta: Marlene: R$ 34.285,50; Marcos: R$ 39.428,33; Marta: R$ 29.206,17.

Ângulos opostos pelo vértice

Estudamos em anos anteriores que duas retas concorrentes determinam 4 ângulos. Além disso, verificamos que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm medidas iguais. Na figura a seguir, temos, por exemplo, $\text{med}\left(A\hat{O}B\right)=\text{med}\left(C\hat{O}D\right)$, pois esses ângulos são opostos pelo vértice.

Considerando $\text{med}\left(A\hat{O}B\right)=120°$, segue que:

• $\text{med}\left(C\hat{O}D\right)=120°$, pois os ângulos $A\hat{O}B$ e $C\hat{O}D$ são opostos pelo vértice.
• $\text{med}\left(B\hat{O}C\right)=60°$, pois os ângulos $A\hat{O}B$ e $B\hat{O}C$ são suplementares e $180°-120°=60°$.
• $\text{med}\left(A\hat{O}D\right)=60°$, pois os ângulos $B\hat{O}C$ e $A\hat{O}D$ são opostos pelo vértice.

Ângulos formados por um feixe de retas paralelas e uma transversal

Você sabe o que são retas paralelas? Tratam-se de retas de um mesmo plano que não se cruzam.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam 8 ângulos.

Na figura anterior, as retas r e s são paralelas $\left(r//s\right)$, t é uma transversal a essas retas e os ângulos de medida:

• $\hat{a}$ e $\hat{e}$, $\hat{b}$ e $\hat{f}$, $\hat{d}$ e $\hat{h}$, $\hat{c}$ e $\hat{g}$ são correspondentes. Ângulos correspondentes são congruentes.
• $\hat{d}$ e $\hat{e}$, $\hat{c}$ e $\hat{f}$ são colaterais internos, pois estão entre as paralelas e do mesmo lado em relação à reta transversal.
• $\hat{a}$ e $\hat{h}$, $\hat{b}$ e $\hat{g}$ são colaterais externos, pois estão do mesmo lado em relação à reta transversal, mas não estão entre as paralelas.
• $\hat{d}$ e $\hat{f}$, $\hat{c}$ e $\hat{e}$ são alternos internos, pois estão em lados opostos em relação à transversal e estão entre as paralelas.
• $\hat{a}$ e $\hat{g}$, $\hat{b}$ e $\hat{h}$ são alternos externos, pois estão em lados opostos em relação à transversal e não estão entre as paralelas.

Agora, vamos determinar uma relação entre os ângulos de medidas $\hat{d}$ e $\hat{e}$ (colaterais internos). De fato, sabemos que os ângulos de medida $\hat{a}$ e $\hat{d}$ são suplementares e que os ângulos de medida $\hat{a}$ e $\hat{e}$ são correspondentes. Nesse caso, $\hat{a}=180°-\hat{d}$ e $\hat{a}=\hat{e}$. Logo, $\hat{e}=180°-\hat{d}$. Portanto, os ângulos de medidas $\hat{d}$ e $\hat{e}$ são suplementares.

Questão 9. Em seu caderno, determine e demonstre a veracidade da relação entre os ângulos de medida:

a) $\hat{b}$ e $\hat{g}$ (colaterais externos).

b) $\hat{c}$ e $\hat{e}$ (alternos internos).

c) $\hat{b}$ e $\hat{h}$ (alternos externos).

Resposta na seção Resoluções.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

36. Determine o valor de x em cada item.

Respostas: A. $11°$; B. $38°$; C. $7°$; D. $42,5°$.

37. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de x e y.

Respostas: A. $x=25°$; $y=150°$; B. $x=30°$; $y=7°$.

38. Considere o paralelogramo $ABCD$.

Mostre que M é o ponto médio das diagonais desse paralelogramo.

Resposta na seção Resoluções.

Segmentos de reta proporcionais

Uma professora de Matemática do 9º ano entregou a seus estudantes um pedaço de papel em formato retangular. Feito isso, ela pediu a eles que dobrassem o pedaço de papel dividindo seus lados ao meio, como representado nas figuras a seguir.

Associamos o pedaço de papel que a professora entregou ao retângulo $ABCD$, cujas dimensões medem $12\text{cm}$ e $6\text{cm}$. Em relação à figura obtida, após realizadas as dobras, associamos ao retângulo $EFGH$, cujas dimensões medem $6\text{cm}$ e $3\text{cm}$.

Após realizar as dobras, cada estudante obteve uma figura, também retangular, cujas dimensões medem $6\text{cm}$ e $3\text{cm}$.

Ao calcularmos a razão entre a medida do comprimento e da largura de cada retângulo, obtemos:

As duas razões obtidas são iguais. Então, podemos escrever a seguinte proporção:

Assim, dizemos que os segmentos de reta $AB$ e $BC$ são proporcionais aos segmentos de reta $EF$ e $FG$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Os segmentos de reta $MN$ e $OP$ são proporcionais aos segmentos de reta $QR$ e $ST$, ou seja, $\frac{MN}{OP}=\frac{QR}{ST}$. Sabendo que $OP=9\text{m}$, $QR=14\text{m}$ e $ST=6\text{m}$, qual é a medida do comprimento do segmento de reta $MN$?

Resposta: $MN=21\text{m}$.

40. Analise o retângulo $ABCD$ representado a seguir.

a) Determine a razão entre as medidas dos comprimentos dos lados $\overline{CB}$ e $\overline{AB}$.

Resposta: $\frac{7}{13}$

b) Ao diminuir $2\text{cm}$ da medida do comprimento de cada lado desse retângulo, a razão entre $\overline{CB}$ e $\overline{AB}$ permanecerá a mesma? Por quê?

Resposta: Não, pois $\frac{7}{13}\ne \frac{5}{11}$.

41. Analise os segmentos de reta e suas respectivas medidas de comprimento.

Em cada item, determine a medida do comprimento do segmento de reta $AB$ para tornar a proporção verdadeira.

a) $\frac{RS}{VX}=\frac{28}{AB}$

b) $\frac{TU}{10}=\frac{VX}{AB}$

c) $\frac{TU}{VX}=\frac{RS}{AB}$

Respostas: a) $10,5\text{cm}$; b) $4\text{cm}$; c) $3,2\text{cm}$.

42. Em seu caderno, calcule o valor de $x$ em cada igualdade a seguir.

a) $\frac{12}{6}=\frac{18}{x+3}$

b) $\frac{4x-2}{x+2}=\frac{2}{3}$

c) $\frac{6}{4}=\frac{12}{x-3}$

d) $\frac{1}{4}=\frac{2x+1}{x-3}$

Respostas: a) $x=6$; b) $x=1$; c) $x=11$; d) $x=-1$.

43. Leia atentamente as informações, analise o esquema e determine a medida da distância percorrida por Aline para ir de sua casa até a praça onde está Fábio.

Resposta: $103\text{m}$.

Teorema de Tales

Neste tópico, estudaremos o Teorema de Tales, que recebeu esse nome em homenagem ao matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Ele viveu por volta de 624 a.C a 548 a.C. e é considerado um dos "sete sábios" que se conhece na Antiguidade.

Questão 10. Realize uma pesquisa a respeito de Tales de Mileto. Nela, busque informações sobre ele e quais foram as suas contribuições para as ciências. Registre no caderno o que achar relevante.

Resposta pessoal.

Agora, vamos enunciar o Teorema de Tales e demonstrá-lo para dois casos.

1º caso: Feixe de retas paralelas que determina, nas transversais, segmentos congruentes.

Considere o feixe de retas paralelas r, s e t. Devemos, então, traçar as retas p e q transversais, que cruzam esse feixe de retas de maneira que os segmentos $AB$ e $BC$ sejam congruentes, ou seja, $AB=BC$.

Vamos demonstrar que $\overline{EF}$ e $\overline{FG}$ são congruentes.

Para isso, traçamos os segmentos $EX$ e $FY$ paralelos à reta p, de maneira que $AB=EX$ e $BC=FY$. Como $AB=BC$, segue que $EX=FY$.

Agora, vamos considerar os triângulos $EFX$ e $FGY$. Neles, temos:

$EX=FY$;

$\text{med}\left(X\hat{E}F\right)=\text{med}\left(Y\hat{F}G\right)$, pois são ângulos correspondentes;

$\text{med}\left(X\hat{F}E\right)=\text{med}\left(Y\hat{G}F\right)$, pois são ângulos correspondentes.

Assim, pelo caso de congruência $LA{A}_O$, os triângulos $EFX$ e $FGY$ são congruentes. Portanto, $\overline{EF}=\overline{FG}$, como queríamos demostrar.

2º caso: Feixe de retas paralelas que determina, nas transversais, segmentos comensuráveis e não congruentes.

Considere o feixe de retas paralelas a, b e c. Então, devemos traçar as retas u e v transversais, que cruzam esse feixe de retas de maneira que os segmentos $MN$ e $NO$ sejam comensuráveis.

Vamos demonstrar que $\frac{MN}{NO}=\frac{PQ}{QR}$. De fato, como os segmentos $MN$ e $NO$ são comensuráveis, existe uma medida s que cabe n vezes no segmento $MN$ e m vezes no segmento $NO$, tal que n e m são números inteiros. Desse modo, temos:

Vamos traçar retas paralelas às retas a, b e c pelos pontos obtidos na divisão dos segmentos de reta $MN$ e $NO$.

Pelo 1º caso, as retas paralelas determinam na transversal v exatamente n + m segmentos de reta congruentes. Desse modo, há um segmento de reta cujo comprimento mede $t$ contido n vezes em $\overline{PQ}$ e $m$ vezes em $\overline{QR}$. Então:

Portanto, $\frac{MN}{NO}=\frac{PQ}{QR}$, ou seja, os segmentos de reta $MN$ e $NO$ são proporcionais aos segmentos de reta $PQ$ e $QR$.

Apesar de termos demonstrado o teorema de Tales para dois casos, ele também é válido no caso em que o feixe de retas paralelas determina, nas transversais, segmentos não comensuráveis. Além disso, a recíproca do teorema, enunciada a seguir, é verdadeira.

Agora, analisaremos dois exemplos.

Exemplo 1. Utilizando o teorema de Tales, podemos determinar o valor de x na figura a seguir.

Portanto, $x=12,6\text{cm}$.

Exemplo 2. Ao analisarmos a imagem a seguir, podemos concluir que $AB$ e $BC$ são proporcionais a $DE$ e $EF$, ou seja:

Assim, pela recíproca do teorema de Tales, podemos concluir que as retas r, s e t são paralelas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

44. Na figura a seguir, as retas $a$, $b$, $c$ e $d$ formam um feixe de retas paralelas.

Com base na figura, copie os itens no caderno substituindo cada $\text{█}$ pela indicação da medida de um segmento de reta de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) $\frac{MN}{NO}=\frac{\text{█}}{RS}$

b) $\frac{MP}{\text{█}}=\frac{\text{█}}{QS}$

c) $\frac{MN}{MO}=\frac{\text{█}}{\text{█}}$

d) $\frac{\text{█}}{\text{█}}=\frac{RS}{ST}$

e) $\frac{\text{█}}{NO}=\frac{RT}{\text{█}}$

f) $\frac{NO}{\text{█}}=\frac{\text{█}}{QT}$

Respostas: a) $\frac{MN}{NO}=\frac{QR}{RS}$; b) $\frac{MP}{MO}=\frac{QT}{QS}$; c) $\frac{MN}{MO}=\frac{QR}{QS}$; d) $\frac{NO}{OP}=\frac{RS}{ST}$; e) $\frac{NP}{NO}=\frac{RT}{RS}$; f) $\frac{NO}{MP}=\frac{RS}{QT}$.

45. Em cada item, verifique se as retas p, q e r são paralelas.

Respostas: A. Paralelas; B. Não paralelas.

46. Analise a figura a seguir e algumas informações sobre ela.

Verifique se as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas e justifique sua resposta.

Resposta: As retas r, s e t não são paralelas, pois $\frac{AB}{BC}\ne \frac{DE}{EF}$.

47. As retas $a$, $b$ e $c$ a seguir formam um feixe de retas paralelas.

Determine $MN$ e $NO$.

Resposta: $MN=3\text{m}$; $NO=7,5\text{m}$.

48. O esquema a seguir representa dois terrenos que têm a frente voltada para a rua Manaus. O terreno A pertence à Valquíria e o terreno B, a Marcos.

Valquíria e Marcos pretendem construir um muro na frente dos terrenos. Usando uma calculadora, determine quantos metros de muro cada um deve construir em seu terreno, sabendo que as divisas laterais dos terrenos são paralelas.

Resposta: Valquíria: aproximadamente $40,8\text{m}$; Marcos: aproximadamente $29,2\text{m}$.

49. A figura a seguir representa uma horta que Patrícia dividiu paralelamente em canteiros para plantar alface, cebolinha e almeirão.

Para isso, ela cercou a horta com tela. Utilizando uma calculadora, quantos metros de tela Patrícia utilizou para cercar a horta?

Resposta: $51,25\text{m}$.

50. Em seu caderno, calcule os valores de $a$, $b$, $c$ e $d$ representados na figura a seguir.

Resposta: $a=13,5\text{m}$; $b=22,5\text{m}$; $c=20\text{m}$; $d=25\text{m}$.

51. Elabore um problema, que, para resolvê-lo, seja necessário aplicar o teorema de Tales. Em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales pode ser aplicado em situações que envolvam triângulos. Para compreender melhor sua aplicação, considere o triângulo $ABC$ e as retas que contêm seus lados.

Ao traçarmos a reta:

• $s$, paralela ao lado $\overline{BC}$ e que cruza os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$, determinamos os pontos $D$ e $E$;
• $p$ paralela a $s$, passando pelo vértice $A$, temos um feixe de retas paralelas, que cruza 2 retas transversais.

Com base no teorema de Tales, temos:

No triângulo a seguir, $\overline{JG}$ é paralelo a $\overline{IH}$.

Utilizando o teorema de Tales, podemos determinar o valor de x. De fato:

Portanto, $x=10,5\text{cm}$.

Questão 11. Considere o triângulo $ABC$ a seguir, em que $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{AC}$. Em seu caderno, calcule a medida do comprimento do lado $\overline{BC}$.

Resposta: $4,56\text{cm}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

52. Em cada item, determine a medida do perímetro do triângulo, sabendo que $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$.

Respostas: A. $75\text{m}$; B. $35,5\text{cm}$; C. $40,4\text{cm}$.

53. Considere o triângulo a seguir.

Determine o valor de x no triângulo $ABC$, sabendo que:

$\overline{PQ}//\overline{BC}$;

o perímetro do triângulo mede $75\text{m}$;

$P$ é o ponto médio de $\overline{AB}$.

Resposta: $20\text{m}$.

54. O triângulo $MNO$ é isósceles.

Considerando que $\overline{MN}//\overline{PQ}$, $OM=25\text{m}$ e $ON=25\text{m}$, determine $OP$ e $PM$.

Resposta: $OP=10\text{m}$; $PM=15\text{m}$.

55. Em determinada hora do dia, as sombras de um poste e de uma estátua projetadas no solo atingem o ponto S, como representado no esquema a seguir.

Determine a medida da distância aproximada entre o poste e a estátua.

Resposta: $4,7\text{m}$.

56. Na figura a seguir, $\overline{DE}$ e $\overline{CB}$ são paralelos.

a) Determine a medida do comprimento de $\overline{AB}$ em metros.

b) Quanto mede o perímetro do triângulo $ABC$ em metros?

Resposta a) 24 m; b) 52 m.

57. Dirceu quer trocar o arame de parte da cerca de seu pasto, que está representado na figura a seguir. A parte da cerca que ele deseja trocar está indicada pela medida x.

a) Sabendo que o pasto é dividido por uma cerca paralela à que está próxima da estrada, calcule no caderno o valor de x.

b) De quantos metros de arame Dirceu vai precisar para que a parte da cerca que ele deseja trocar seja feita com 4 arames paralelos, como mostra a figura?

Respostas: a) $11\mathrm{m}$; b) $44\mathrm{m}$.

58. Determine os valores de $a$, $b$ e $c$.

Resposta: $a=60\mathrm{m}$; $b=52\mathrm{m}$ e $c=40\mathrm{m}$.

59. Na imagem, as medidas são dadas em metros.

Sabendo que a área do triângulo $ADE$ mede $2,16{\text{m}}^2$ e que $\overline{ED}//\overline{BC}$, determine o valor de x.

Resposta: $2\text{m}$.

60. Elabore um problema envolvendo triângulos e o teorema de Tales e, em seguida, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.