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UNIDADE

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Semelhança de figuras

Gravura em preto e branco das mãos de uma pessoa usando um pantógrafo para reduzir a imagem do rosto de um homem.
Gravura de C. Langlois representando o uso de um pantógrafo, ferramenta que permite ampliar, reduzir ou reproduzir figuras.

Agora vamos estudar...

  • figuras semelhantes;
  • polígonos semelhantes;
  • homotetia;
  • casos de semelhança em triângulos.

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Semelhança de figuras

Ivo representou em uma malha quadriculada a fachada do prédio onde mora. Feito isso, ele ampliou e reduziu esse desenho utilizando outras malhas quadriculadas.

Ilustração da fachada de um prédio em uma malha quadriculada. Ela tem o formato retangular com 10 janelas também retangulares, dispostas em duas colunas com 5 janelas cada. Toda a fachada ocupa 88 quadradinhos da malha. Os quadradinhos da malha são maiores que os quadradinhos da figura original.
Ampliação.
Ilustração da fachada de um prédio em uma malha quadriculada. Ela tem o formato retangular com 10 janelas também retangulares, dispostas em duas colunas com 5 janelas cada. Toda a fachada ocupa 88 quadradinhos da malha.
Figura original.
Ilustração da fachada de um prédio em uma malha quadriculada. Ela tem o formato retangular com 10 janelas também retangulares, dispostas em duas colunas com 5 janelas cada. Toda a fachada ocupa 88 quadradinhos da malha. Os quadradinhos da malha são menores que os quadradinhos da figura original.
Redução.

Para ampliar a figura original, Ivo precisou usar uma malha quadriculada com quadradinhos maiores do que a malha quadriculada original, enquanto que, para reduzi-la, usou uma malha quadriculada com quadradinhos menores. Porém, tanto na ampliação quanto na redução, a figura manteve o formato original.

Podemos também reproduzir, ampliar ou reduzir uma figura usando a mesma malha quadriculada. Para compreender melhor, analise a seguir outras figuras desenhadas por Ivo.

Ilustração de uma malha quadriculada com 4 figuras de foguetes enumerados da esquerda para a direita de 1 a 4 e que diferem apenas no tamanho. O foguete 1 é o menor de todos. O foguete 2 e o 4 tem o mesmo tamanho. E o foguete 3 é o maior de todos.

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Se uma figura for a ampliação, redução ou reprodução de outra, essas figuras serão semelhantes.

Assim, os desenhos que Ivo fez são figuras semelhantes.

Diversos artistas utilizam as técnicas de reprodução, ampliação e redução para retratar a realidade em suas obras. Um desses artistas é o australiano Ron Mueck, (1958 -), autor da obra a seguir, denominada Boy, que mede mais de 4   m de altura.

Fotografia da escultura de um menino vestido com uma bermuda. Ele é visto de lado e está agachado com as axilas sobre os joelhos e os braços escondendo a boca. As mãos se encontram logo acima da cabeça. Ele está com o olhar sobre o ombro. Atrás do menino há algumas pessoas olhando para a obra, o que nos dá a noção do tamanho da escultura. Um adulto em pé não ultrapassa o quadril da escultura agachada.
Boy, de Ron Mueck, exposta na 49ª Exposição Internacional de Arte, La Biennale di Venezia, 2014.

Questão 1. Ícone atividade oral. É possível realizar visitas em alguns museus de maneira virtual. Faça isso e compartilhe essa experiência com os colegas e o professor.

Resposta pessoal.

Atenção!

A visita virtual pode ser feita por meio do site indicado a seguir. Disponível em: https://oeds.link/SJEK11. Acesso em: 27 jul. 2022.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Considere as figuras 1, 2, 3 e 4 desenhadas em uma mesma malha quadriculada na página anterior.

a) Qual delas representa uma reprodução da figura 4?

b) Quais delas representam uma ampliação da figura 1?

c) Quais delas representam uma redução da figura 3?

Respostas: a) Figura 2; b) Figuras 2, 3, 4; c) Figuras 1, 2 e 4.

d) Todas as figuras desenhadas nessa malha quadriculada são semelhantes? Por quê?

Resposta: Sim, visto que elas têm o mesmo formato, além do fato de dois segmentos correspondentes quaisquer serem proporcionais.

2. Nos itens a seguir, estão representadas algumas imagens que sofreram alterações em relação à imagem a seguir.

Fotografia de uma flor cosmos rosa em destaque rodeada de margaridas ao fundo.
A. Fotografia de uma flor cosmos rosa em destaque rodeada de margaridas ao fundo. Essa fotografia é semelhante a fotografia do item B e as dimensões da foto são maiores.
B. Fotografia de uma flor cosmos rosa em destaque rodeada de margaridas ao fundo. Essa fotografia tem as mesmas dimensões da fotografia inicial e também é a menor comparada a fotografia do marcador A e C.
C. Fotografia de uma flor cosmos rosa em destaque rodeada de margaridas ao fundo. A foto está esticada horizontalmente em relação a fotografia inicial.

a) Qual delas representa uma reprodução da figura original?

b) Qual delas é uma ampliação da imagem original?

c) Qual delas não manteve a proporção das medidas das dimensões da foto original, ou seja, não é uma reprodução, ampliação ou redução dela?

Respostas: a) B; b) A; c) C.

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3. As figuras 1, 2, 3 e 4 foram obtidas com base na figura apresentada a seguir.

Ilustração de um trem em uma malha quadriculada, composto por figuras geométricas. A estrutura do trem é representada por retângulos e triângulos. As rodas são semicírculos, a chaminé é um retângulo e a janela um quadrado.
1. Ilustração de um trem em uma malha quadriculada, composto por figuras geométricas. A estrutura do trem é representada por retângulos e triângulos. As rodas são semicírculos, a chaminé é um retângulo e a janela um quadrado.
2. Ilustração de um trem em uma malha quadriculada, composto por figuras geométricas. Ele está inclinado para direita com sua estrutura representada por paralelogramos.
3. Ilustração de um trem em uma malha quadriculada, composto por figuras geométricas. A estrutura do trem é representada por retângulos e triângulos. As rodas são semicírculos, a chaminé é um quadrado e a janela um retângulo.
4. Ilustração de um trem em uma malha quadriculada, composto por figuras geométricas. A estrutura do trem é representada por retângulos e triângulos. As rodas são semicírculos, a chaminé é um retângulo e a janela um quadrado. Os quadradinhos da malha são menores que os quadradinhos das malhas anteriores.

a) Qual delas representa uma reprodução da figura original?

Resposta: 1.

b) Qual delas representa uma redução da figura original?

Resposta: 4.

c) Quais delas são semelhantes à figura original? Por quê?

Resposta: 1 e 4, visto que elas têm o mesmo formato da figura original, além do fato de dois segmentos correspondentes quaisquer serem proporcionais.

d) Quais delas não são semelhantes à figura original? Por quê?

Resposta: 2 e 3, visto que elas não têm o mesmo formato da figura original.

4. Desenhe uma figura em uma malha quadriculada e peça a um colega que amplie e reduza o desenho feito por você. Depois, verifique se ele executou a tarefa corretamente.

Resposta pessoal.

Versão adaptada acessível

4. Junte-se a um colega, desenhem uma figura em uma malha quadriculada e peçam a outra dupla que ampliem e reduzam o desenho feito por vocês. Depois, verifiquem se eles executaram a tarefa corretamente.

Resposta pessoal.

Orientação para acessibilidade

Professor, professora: oriente os estudantes a trocar ideias a respeito do formato da figura que será desenhada inicialmente, bem como das estratégias utilizadas para obter a ampliação e a redução. Após todos concluírem a atividade, solicite às duplas que descrevam para a turma as figuras desenhadas (figura original, ampliação e redução) e as estratégias utilizadas.

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Polígonos semelhantes

Conforme estudado, ao reproduzir, ampliar ou reduzir uma figura mantendo seu formato, é possível obter figuras semelhantes à original. Agora, vamos estudar a semelhança para polígonos.

Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, as seguintes condições:

  • as medidas de comprimento dos respectivos lados são proporcionais;
  • os respectivos ângulos internos são congruentes.

Considere os polígonos ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 a seguir.

Ilustração de um trapézio retângulo A B C D. A base maior mede 2 centímetros, a base menor mede 0,8 centímetros, a altura mede 1,6 centímetros e o outro lado mede 2 centímetros. O ângulo de C mede 127 graus e o ângulo de B mede 53 graus.
Ilustração de um trapézio retângulo A 1 B 1 C 1 D 1. A base maior mede 5 centímetros, a base menor mede 2 centímetros, a altura mede 4 centímetros e o outro lado mede 5 centímetros. O ângulo de C 1 mede 127 graus e o ângulo de B 1 mede 53 graus.

Perceba que as medidas dos respectivos ângulos internos são iguais, ou seja, os ângulos são congruentes.

med ( A B ˆ C ) = med ( A 1 B 1 ˆ C 1 ) = 53 °

med ( B C ˆ D ) = med ( B 1 C 1 ˆ D 1 ) = 127 °

med ( A D ˆ C ) = med ( A 1 D 1 ˆ C 1 ) = 90 °

med ( B A ˆ D ) = med ( B 1 A 1 ˆ D 1 ) = 90 °

As medidas de comprimento dos respectivos lados desses polígonos são proporcionais, visto que, ao dividir a medida de comprimento de cada lado do polígono A 1 B 1 C 1 D 1 pela medida de comprimento do respectivo lado do polígono A B C D , obtém-se o mesmo número.

A 1 B 1 A B = B 1 C 1 B C = C 1 D 1 C D = A 1 D 1 A D = 2 , 5

O valor 2,5 obtido é a razão de semelhança entre os polígonos A B C D e A 1 B 1 C 1 D 1 .

Como as medidas de comprimento dos respectivos lados desses polígonos são proporcionais e os respectivos ângulos internos são congruentes, os polígonos A B C D e A 1 B 1 C 1 D 1 são semelhantes. Podemos indicar essa semelhança da seguinte maneira:

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (lê-se: A B C D é semelhante a A 1 B 1 C 1 D 1 )

Atenção!

Os polígonos regulares com a mesma quantidade de lados são sempre semelhantes entre si, pois os ângulos internos são congruentes e as medidas de comprimento de seus respectivos lados são proporcionais.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Verifique se o par de figuras de cada item a seguir é semelhante ou não. Sendo semelhante, determine a razão de semelhança entre as figuras.

A. Ilustração de um quadrado com lados medindo 3 centímetros.
Ilustração de um quadrado com lados medindo 2 centímetros.
B. Ilustração de um polígono de 5 lados. Dois lados têm 1,25 centímetros de medida; e os outros 3 lados tem 1,5 centímetros de medida. A base corresponde a um lado de 1,5 centímetros e os dois ângulos consecutivos da base medem 90 graus.
Ilustração de um polígono de 5 lados. Dois lados têm 2,5 centímetros de medida; e os outros 3 lados tem 3 centímetros de medida. A base corresponde a um lado de 3 centímetros e os dois ângulos consecutivos da base medem 90 graus..
C. Ilustração de um retângulo com lados medindo 1,5 centímetro e 3 centímetros.
Ilustração de um retângulo com lados medindo 3 centímetros e 5 centímetros.

Respostas: A. Semelhantes; razão: 1,5; B. Semelhantes; razão: 2; C. Não semelhantes.

6. Ícone uso de instrumentos Utilizando régua e transferidor, realize as medições e verifique se os triângulos de cada par de triângulos são semelhantes.

A. Ilustração de um triângulo equilátero com lados medindo aproximadamente 4 centímetros. Os 3 ângulos internos estão destacados.
Ilustração de um triângulo equilátero com lados medindo aproximadamente 2,8 centímetros. Os 3 ângulos internos estão destacados.
B. Ilustração de um triângulo isósceles. Os lados iguais têm aproximadamente 4 centímetros de comprimento; e o terceiro lado tem medida 3 centímetros. Os ângulos internos estão destacados e tem aproximadamente as medidas: 67,5 graus; 67,5 graus e 45 graus.
Ilustração de um triângulo isósceles. Os lados iguais têm aproximadamente 2,5 centímetros de comprimento; e o terceiro lado tem medida de aproximadamente 1,6 centímetros. Os ângulos internos estão destacados e tem aproximadamente as medidas: 71 graus; 71 graus e 38 graus.
C. Ilustração de um triângulo retângulo com altura e base medindo 2,5 centímetros; e o terceiro lado medindo aproximadamente 3,5 centímetros. Os ângulos internos têm medidas 90 graus, 45 graus; e 45 graus. .
Ilustração de um triângulo retângulo com altura e base medindo 2,5 centímetros; e o terceiro lado medindo aproximadamente 3,5 centímetros. Os ângulos internos têm medidas 90 graus, 45 graus; e 45 graus. .

Respostas: Semelhantes: A e C; Não semelhantes: B.

7. Com base nos pares de triângulos da atividade anterior, responda às questões a seguir no caderno.

a) Quaisquer dois triângulos são sempre semelhantes?

Resposta: Não.

b) Existem pares de triângulos que são sempre semelhantes? Quais são eles? Por quê?

Resposta: Sim. Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes, visto que seus ângulos internos são congruentes.

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8. Junte-se a um colega e, com a ajuda dele, dobre ao meio uma folha de papel com as medidas das dimensões indicadas a seguir. Feito isso, desdobrem a folha para recortar na marca da dobra.

Ilustração de uma folha de papel em formato retangular com a base medindo 18 centímetros e a altura medindo 20 centímetros em 3 etapas diferentes. Primeira: A folha tem um tracejado horizontal no centro, que vai de um lado ao outro e uma seta saindo da parte de cima e apontando para a parte de baixo, indicando a direção da dobra. Segunda: A folha anterior está dobrada no local indicado na primeira etapa. Terceira: A folha foi desdobrada e há uma tesoura sem ponta do lado esquerdo no início do tracejado como se fosse iniciar o corte.

Em seguida, repitam o processo com uma das partes da folha, para, então, obter mais 2 pedaços com o formato de um retângulo.

Ilustração de metade da folha de papel anterior em formato retangular em 3 etapas diferentes. Primeira: A altura da folha é o lado maior e tem um tracejado horizontal no centro, que vai de um lado ao outro e uma seta saindo da parte de cima e apontando para a parte de baixo, indicando a direção da dobra. Segunda: A metade da folha anterior está dobrada no local indicado na primeira etapa. Terceira: A metade da folha foi desdobrada e há uma tesoura sem ponta do lado esquerdo no início do tracejado como se fosse iniciar o corte.

Repitam esse processo utilizando um dos pedaços menores da folha para obter mais 2 retângulos.

Finalizado isso, respondam às questões a seguir.

a) Quantos retângulos foram obtidos ao todo?

Resposta: 4 retângulos.

b) Quais são as medidas das dimensões desses retângulos?

Resposta: Um retângulo 18   cm × 10   cm , um retângulo 9   cm × 10   cm e dois retângulos 9   cm × 5   cm .

c) Todos os retângulos são semelhantes?

Resposta: Não.

d) Entre os retângulos, quais são semelhantes?

Resposta: Os retângulos 18   cm × 10   cm e os retângulos 9   cm × 5   cm .

9. Considere dois triângulos equiláteros A B C e D E F . Sabendo que o triângulo A B C é maior do que o triângulo D E F , a soma das medidas dos perímetros dos dois triângulos é igual a 36   m e a razão de semelhança entre eles é 2 : 1 , determine a medida do lado de cada triângulo.

Resposta: Triângulo A B C : 8   m ; Triângulo D E F : 4   m .

10. Ícone uso de instrumentos As figuras geométricas representadas a seguir são semelhantes entre si? Se necessário, utilize régua e transferidor. Justifique sua resposta.

Ilustração de 2 losangos com medidas de comprimento dos lados proporcionai. Em um losango todos os ângulos medem 90 graus; e no outro, dois ângulos tem medida maior que 90 graus, e dois ângulos tem medida menor que 90 graus.
Losangos.
Ilustração de 2 retângulos. Um deles tem lados com medidas aproximadamente iguais a 3,3 centímetros e 1,3 centímetros. E o outro retângulo tem lados com medidas aproximadamente iguais a 3,8 centímetros e 2 centímetros.
Retângulos.

Resposta: Os losangos não são semelhantes, pois mesmo que as medidas de comprimento dos respectivos sejam proporcionais, eles não têm pares de ângulos internos congruentes. Os retângulos não são semelhantes, pois mesmo tendo os respectivos ângulos internos congruentes, as medidas de comprimento dos respectivos lados não são proporcionais.

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Homotetia

Podemos ampliar ou reduzir uma figura de diversas maneiras, como utilizando softwares, um pantógrafo ou realizando a transformação chamada homotetia. Para compreender melhor, verifique, a seguir, como ampliar o polígono A B C D E na razão 2 : 1 utilizando homotetia.

Primeiro, escolhemos um ponto O externo ao polígono e traçamos as semirretas com origem nesse ponto e que passam pelos vértices A, B, C, D e E.

1º. Ilustração de um pentágono de vértices A B C D E.
2º. Ilustração de um ponto O externo ao pentágono A B C D E com 5 semirretas traçadas com origem nesse ponto e cada uma passando por um dos vértices A, B, C, D e E.

Utilizando um compasso ou uma régua, marcamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 , D 1 e E 1 , sobre as semirretas O A , O B , O C , O D e O E , respectivamente, de modo que O A 1 = 2 O A , O B 1 = 2 O B , O C 1 = 2 O C , O D 1 = 2 O D e O E 1 = 2 O E .

Ilustração do mesmo pentágono A B C D E com o ponto O externo e as semirretas traçadas com origem no ponto O e passando pelos vértices. Do lado direito do pentágono A B C D E há pontos A 1, B 1, C 1, D 1 e E 1, marcados sobre as semirretas O A, O B, O C, O D e O E, respectivamente. Há um compasso com ponta seca no vértice A e a outra ponta no ponto A1.

Em seguida, ligamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 , D 1 e E 1 e determinamos, assim, o polígono A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , que é uma ampliação do polígono A B C D E , na razão 2 : 1 .

Ilustração do mesmo pentágono A B C D E com o ponto O externo e as semirretas traçadas com origem no ponto O e passando pelos vértices. Os pontos A 1, B 1, C 1, D 1 e E 1, marcados sobre as semirretas O A, O B, O C, O D e O E foram ligados formando um novo pentágono de vértices A 1 B 1 C 1 D 1 e E 1 e maior que o pentágono o A B C D E.

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Acompanhe o procedimento de redução de um paralelogramo A B C D com razão de semelhança 1 : 2 utilizando a homotetia.

Determinamos um ponto O interno ao paralelogramo A B C D e traçamos os segmentos O A , O B , O C e O D .

1º. Ilustração de um paralelogramo A B C D.
2º. Ilustração de um paralelogramo A B C D. Há dois segmentos marcando as diagonais C B e A D e um ponto O no lugar em que as diagonais se cruzam.

Com auxilio de um compasso, marcamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 e D 1 em relação aos segmentos O A , O B , O C e O D , respectivamente, de maneira que O A 1 = O A 2 , O B 1 = O B 2 , O C 1 = O C 2 e O D 1 = O D 2 . Em seguida, ligamos os pontos obtidos e, assim, determinamos o paralelogramo A 1 B 1 C 1 D 1 , que é uma redução por homotetia do paralelogramo A B C D na razão 1 : 2 .

Ilustração de um paralelogramo A B C D. Há dois segmentos nas diagonais C B e A D e um ponto O no lugar em que as diagonais se cruzam. Há pontos A 1, B 1, C 1 e D 1 marcados em relação aos segmentos O A, O B, O C e O D, respectivamente. Eles estão ligados formando um novo paralelogramo A 1 B 1 C 1 D 1 menor que o paralelogramo A B C D.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Ícone uso de instrumentos Faça em seu caderno o que se pede a seguir.

a) Construa um triângulo equilátero cujo comprimento do lado mede 6   cm . Em seguida, usando homotetia, construa um triângulo equilátero com comprimento de lado medindo 3   cm .

b) Construa um quadrado cujo comprimento do lado mede 4   cm . Em seguida, usando homotetia, construa um quadrado com comprimento de lado medindo 8   cm .

Respostas na seção Resoluções.

12. Na imagem a seguir foram construídas as figuras A e C com base na figura B, que é um hexágono regular.

Ilustração de um ponto O externo à 3 figuras, A, B e C com semirretas traçadas com origem nesse ponto e que passam pelos respectivos vértices dessas figuras. Da direita para a esquerda: a figura A é a primeira, e a menor, está a 4 metros de distância da origem e seus lados medem 1 metro; a figura B é a segunda, é a média e está a 4 metros de distância da figura A e a figura C é a terceira, é a maior e está a 6 metros de distância da figura B.

a) Qual é a medida de comprimento de cada lado das figuras B e C?

b) Qual foi a razão de redução da figura B para obter a figura A?

c) Qual seria a razão de ampliação da figura A para obter a figura C?

Respostas: a) 2   m ; 3 , 5   m ; b) 1 2 ; c) 14 4 ou 7 2 .

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13. Ícone uso de instrumentos Reproduza, no caderno, os polígonos a seguir. Feito isso, amplie-os por homotetia na razão de semelhança 3 : 1 .

A. Ilustração de um trapézio retângulo A B C D. O lado A B é a base maior e mede 7 centímetros; o lado D C é a base menor e mede 4 centímetros; o lado A D é a altura e mede 3 centímetros. Os ângulos internos de vértices A e D medem 90 graus; o ângulo interno de vértice C mede 135 graus, e o ângulo interno de vértice B mede 45 graus.
B. Ilustração de um polígono E F G H I. O lado F G mede 3 centímetros, o lado E F mede 4 centímetros e o lado E I mede 3 centímetros. Os ângulos de E e F são ângulos retos. O ângulo I mede 138 graus, o ângulo H mede 86 graus e o ângulo G mede 136 graus.

Sugestão de resposta na seção Resoluções.

14. Reproduza, no caderno, cada polígono a seguir. Feito isso, reduza-os por homotetia na razão de semelhança 1 : 4 .

A. Ilustração de um trapézio retângulo em que a base maior mede 6 metros e a altura mede 2 metros. Um ângulo mede 115 graus e o outro ângulo mede 65 graus.
B. Ilustração de um triângulo equilátero com todos os ângulos internos medindo 60 graus e o comprimento dos lados medindo 5 metros.

Sugestão de resposta na seção Resoluções.

15. Em cada figura a seguir, houve uma ampliação da original. Utilizando uma régua, realize as medições necessárias e determine a razão de semelhança de cada homotetia.

A. Ilustração de dois triângulos. Um deles é o triângulo A B C com as seguintes medidas aproximadas: A B com 2 centímetros, A C com 2,5 centímetros, e B C com 1,5 centímetros. O outro triângulo tem vértices A 1, B 1 e C1 e as seguintes medidas aproximadas: A 1 B 1 com 4 centímetros; A 1 C 1 com 5,1 centímetros e B 1 C 1 com 3 centímetros. Há um ponto O à esquerda, externo aos dois triângulos; e há 3 semirretas, todas partindo do ponto O. Uma delas passa por C e C 1; outra passa por B e B 1; e a outra passa por A e A 1.
B. Ilustração de dois retângulos. Um deles é o retângulo A B C D com lados medindo 1,5 centímetros e 1,7 centímetros. O outro retângulo tem vértices A 1, B 1 C1D 1 e lados medindo 3,2 centímetros e 4,4 centímetros . Há um ponto O à esquerda, externo aos dois retângulos; e há 4 semirretas, todas partindo do ponto O. Uma delas passa por D e D 1; outra passa por C e C 1; outra passa por B e B 1; e a outra passa por A e A 1.
C. Ilustração de dois quadrados. Um deles é o quadrado A B C D com lados medindo aproximadamente 2,5 centímetros. O outro quadrado tem vértices A 1, B 1 C1 D 1 e tem lados medindo aproximadamente 3,7 centímetros. O quadrado A B C D está dentro do quadrado A 1 B 1 C 1 D . Há um ponto O no centro de ambos os quadrados e estão traçadas as retas que também são diagonais dos quadrados. Uma delas passa por O A, A 1, C e C1. E a outra passa por O, B B 1, D e D 1.

Respostas: A. 2; B. 2,5; C. Aproximadamente 1,5.

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Triângulos semelhantes

Estudamos anteriormente que dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, as seguintes condições.

  • As medidas de comprimento dos respectivos lados são proporcionais.
  • Os respectivos ângulos internos são congruentes.

Para compreender melhor, acompanhe, por exemplo, como podemos verificar se os triângulos a seguir são semelhantes.

Ilustração de um triângulo A B C. A base A B mede 3,75 centímetros, o lado A C mede 2,5 centímetros e o lado C B mede 3,125 centímetros. O ângulo A mede 55,8 graus, o ângulo B mede 41,3 graus e o ângulo C mede 82,9 graus.
Ilustração de um triângulo A 1 B 1 C 1. Abase A 1 B 1 mede 3 centímetros, o lado A 1 C 1 mede 2 centímetros e o lado C 1 B 1 mede 2,5 centímetros. O ângulo A 1 mede 55,8 graus, o ângulo B 1 mede 41,3 graus e o ângulo C 1 mede 82,9 graus.

Nos triângulos, todos os respectivos lados apresentam medidas proporcionais e todos os respectivos ângulos internos são congruentes.

A B A 1 B 1 = B C B 1 C 1 = A C A 1 C 1 = 1 , 25

med ( B A ˆ C ) = med ( B 1 A 1 ˆ C 1 ) = 55 , 8 °

med ( A B ˆ C ) = med ( A 1 B 1 ˆ C 1 ) = 41 , 3 °

med ( A C ˆ B ) = med ( A 1 C 1 ˆ B 1 ) = 82 , 9 °

Portanto, como ambas as condições foram satisfeitas, os triângulos A B C e A 1 B 1 C 1 são semelhantes, com razão de semelhança 1,25. Essa semelhança é representada por:

A B C A 1 B 1 C 1

Atenção!

A notação A B C A 1 B 1 C 1 também indica que esses triângulos são semelhantes.

No entanto, para determinar se dois triângulos são semelhantes, não é necessário comparar as medidas de todos os seus ângulos internos e as medidas de comprimento de todos os seus lados. Existem casos em que é possível verificar se dois triângulos são semelhantes levando em consideração apenas alguns de seus elementos.

Vamos conhecer os casos de semelhança de triângulos que estabelecem condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

1º caso de semelhança ( A A A )

Quando dois triângulos têm seus respectivos ângulos internos congruentes, eles são semelhantes.

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Demonstração: Vamos mostrar que, se nos triângulos A B C e D E F temos A B ˆ C D E ˆ F , B C ˆ A E F ˆ D e B A ˆ C E D ˆ F , então os triângulos A B C e D E F são semelhantes.

Ilustração de 2 triângulos A B C e D E F. O triângulo A B C é maior que o triângulo D E F. A medida do ângulo interno A é igual a medida do ângulo interno D, a medida do ângulo interno B é igual a medida do ângulo interno E e a medida do ângulo interno C é igual a medida do ângulo interno F.

Marque um ponto P sobre o lado B C do triângulo A B C , de maneira que E F B P , e trace o segmento P Q paralelo ao lado A C do triângulo.

Ilustração de 2 triângulos A B C e D E F. O triângulo A B C é maior que o triângulo D E F. A medida do ângulo interno A é igual a medida do ângulo interno D, a medida do ângulo interno B é igual a medida do ângulo interno E. E a medida do ângulo interno C é igual a medida do ângulo interno F. O triângulo A B C possui um ponto Q no lado A B, um ponto P no lado B C e um segmento ligando Q e P. A medida do ângulo interno B P Q é igual a medida do ângulo interno C e F.

De acordo com as imagens, verificamos que A C ˆ P Q P ˆ B , pois são ângulos correspondentes de paralelas cortadas por uma transversal. Já pelo caso A L A de congruência de triângulos, temos D E F Q B P .

Pelo teorema de Tales, temos:

B Q B A = B P B C

Como D E F Q B P , segue que E D B A = E F B C .

Seguindo o mesmo procedimento, marque um ponto M sobre o lado A C do triângulo A B C , de maneira que D F M C , e trace o segmento M N que seja paralelo ao lado A B .

Assim, pelo teorema de Tales, temos:

M C A C = N C B C

Como D E F M N C , pelo caso A L A de congruência de triângulo, temos:

D F A C = E F B C

Logo, E D B A = E F B C = D F A C . Portanto, A B C D E F .

Atenção!

Lembre-se de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 ° . Desse modo, conhecendo as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo, podemos determinar a medida do terceiro ângulo interno.

Agora, com base em exemplos, vamos estudar outros dois casos de semelhança de triângulos.

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2º caso de semelhança ( L A L )

Quando dois triângulos apresentam dois dos respectivos lados com medidas de comprimento proporcionais e os ângulos formados entre eles são congruentes, esses triângulos são semelhantes.

Considerando esse caso, para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente verificarmos a proporcionalidade entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes e a congruência entre os ângulos formados por eles.

Para compreender melhor, analise os seguintes triângulos.

Ilustração de 2 triângulos um ao lado do outro. Um é o triângulo A B C em que: o lado A B mede 2 centímetros, o lado A C mede 3 centímetros e o ângulo interno de A mede 40 graus. O outro é o triângulo D E F, em que: o lado D E mede 4 centímetros, o lado D F mede 6 centímetros e o ângulo interno de D mede 40 graus.

Podemos verificar que D F A C = D E A B = 2 e med ( B A ˆ C ) = med ( E D ˆ F ) = 40 ° . Portanto, os triângulos A B C e D E F são semelhantes.

3º caso de semelhança ( L L L )

Quando dois triângulos têm as medidas de comprimento dos lados correspondentes proporcionais, eles são semelhantes.

Levando em consideração esse caso, para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente verificarmos a proporcionalidade entre as medidas de comprimento de seus lados correspondentes.

Considere os triângulos a seguir.

Ilustração de 2 triângulos um ao lado do outro. Um é o triângulo A B C, em que: o lado A B mede 7,5 centímetros, o lado A C mede 6 centímetros e o lado B C mede 9 centímetros. O outro é o triângulo D E F, em que: o lado D E mede 5 centímetros, o lado D F mede 4 centímetros e o lado E F mede 6 centímetros.

De acordo com as imagens, verificamos que A B D E = B C E F = A C D F = 1 , 5 . Portanto, os triângulos A B C e D E F são semelhantes, com razão de semelhança 1,5.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Verifique se os triângulos A B C e D E F a seguir são semelhantes. Em caso afirmativo, determine a razão de semelhança entre eles.

Ilustração de um triângulo A B C em que o lado C B mede 5 centímetros, o ângulo A mede 53 graus e o ângulo B mede 53 graus.
Ilustração de um triângulo D E F em que o lado D F mede 3,75 centímetros, o ângulo D mede 53 graus e o ângulo F mede 74 graus.

Respostas: Os triângulos são semelhantes com razão de semelhança 5 3 , 75 = 4 3 .

17. Ícone uso de instrumentos Na imagem a seguir, estão representados dois triângulos. Considere que B é um ponto dos segmentos C D e A E .

Ilustração de 2 triângulos A B C e D B E, um de frente para o outro, com o vértice B em comum. O triângulo A B C tem todos os lado medindo aproximadamente 3 centímetros, com o ângulo interno de vértice C com medida 60 graus. E o triângulo B D E tem todos os lados medindo aproximadamente 4,5 centímetros; e o ângulo interno de vértice B desse triângulo tem medida 60 graus.

a) Junte-se a um colega para medir os lados desses triângulos usando régua. Eles são semelhantes? Justifique sua resposta.

Resposta: Sim, pois são triângulos equiláteros. Polígonos regulares com a mesma quantidade de lados são sempre semelhantes entre si.

b) Caso sejam semelhantes, qual é a razão de semelhança entre os triângulos A B C e D E B ?

Resposta: 4 , 1 2 , 7 = 41 27 .

18. Analise os triângulos A B C e D E F a seguir.

a) Esses triângulos são semelhantes?

b) Se a resposta ao item anterior for sim, determine:

a razão de semelhança entre A B C e D E F .

o caso de semelhança.

Ilustração de 2 triângulos um ao lado do outro. No triângulo A B C: o lado A B mede 24 centímetros, o ângulo B mede 35 graus e o ângulo A mede 18 graus. No triângulo D E F da direita: o lado D E mede 18 centímetros, o ângulo E mede 35 graus e o ângulo D mede 18 graus.

Respostas: a) Sim; b) 24 18 = 4 3 ; A A A .

19. Analisando as figuras apresentadas a seguir, identifique os pares de triângulos semelhantes e indique os casos de semelhança.

A. Ilustração de um triângulo em que um lado mede 6,48 centímetros e um ângulo adjacente a esse lado mede 60 graus e o ângulo oposto a esse lado mede 60 graus.
B. Ilustração de um triângulo em que o comprimento dos lados mede 2,4 centímetros, 2,5 centímetros e 4 centímetros.
C. Ilustração de um triângulo retângulo em que a base mede 4 centímetros e a altura mede 6 centímetros.
D. Ilustração de um triângulo em que um lado mede 3,25 centímetros e os ângulos adjacentes a esse lado medem 60 graus cada.
E. Ilustração de um triângulo em que o comprimento dos lados mede 4,8 centímetros, 5 centímetros e 8 centímetros.
F. Ilustração de um triângulo retângulo em que a base mede 4,5 centímetros e a altura mede 3 centímetros.

Respostas: A e D pelo caso A A A ; B e E pelo caso L L L ; C e F pelo caso L A L .

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20. Sabendo que em cada item a seguir os triângulos isósceles são semelhantes, determine o valor de x.

A. G H I J K L

Ilustração de um triângulo G H I em que o lado I G mede 5 metros e o lado G H mede 4,5 metros.
Ilustração de um triângulo J L K em que o lado J K mede 3,6 metros e o lado J L mede x.

B. M N O P Q R

Ilustração de 2 triângulos. No triângulo O M N o lado O M mede 6,5 metros e o lado M N mede 6 metros. O triângulo P R Q é interno ao triângulo O M N, seu lado P Q mede 3,6 metros e o lado R Q mede x.

C. A B C D E F

Ilustração de um triângulo A B C em que o lado A C mede 4,5 metros e o lado A B mede x.
Ilustração de um triângulo E D F em que o lado E D mede 3 metros e o lado E F mede 4,6 metros.

Respostas: A. 4   m ; B. 3,9   m ; C. 6,9   m .

21. Em cada item, calcule as medidas x e y sabendo que os triângulos são semelhantes.

A. Ilustração de 2 triângulos retângulos. Em um deles a altura tem medida x, a base tem 3 metros de medida de comprimento; e o terceiro lado tem 5 metros de medida. No outro triângulo retângulo, a base tem medida y, a altura tem 6,4 metros de medida de comprimento; e o terceiro lado tem 8 metros de medida. Está indicado que os três ângulos internos dos triângulos são congruentes.
B. Ilustração de 2 triângulos. Um deles é rosa e os lados medem 3,5 metros, 3 metros e x. O outro é roxo e os lados medem 3,5 metros, 5 metros e y. O ângulo do triângulo roxo que está entre o lado que mede y e o lado que mede 3,5 metros é congruente ao lado do triângulo rosa que está entre o lado que mede x e o lado que mede 3 metros, o ângulo do triângulo roxo que está entre o lado que mede y e o lado que mede 5 metros é congruente ao lado do triângulo rosa que está entre o lado que mede 3,5 e o lado que mede 3 metros e o ângulo do triângulo roxo que está entre o lado que mede 5 metros e o lado que mede 3,5 metros é congruente ao lado do triângulo rosa que está entre o lado que mede x e o lado que mede 3,5 metros.

Respostas: A. x = 4   m e y = 4 , 8   m ; b) x = 2 , 45   m e y 4 , 3   m .

22. Ícone desafio. Considere as informações referentes à figura a seguir.

A B C E D C

AB = 3   cm

BC = 5   cm

DE = 1 , 5   cm

Ilustração de um triângulo retângulo A B C reto em A. Há um ponto E no lado B C e um ponto D no lado A C. Há um segmento traçado do ponto E ao ponto D, perpendicular ao lado B C que forma outro triângulo retângulo E D C.

Qual é a medida do comprimento do segmento de reta CD ?

Resposta: 2,5   cm .

23. (Saresp-2007) Os triângulos M E U e R E I são semelhantes, com U M // R I . O lado M E mede 12   m .

Ilustração de um triângulo retângulo E R I. Há um ponto M no lado E R e um ponto U no lado E I. Há um segmento traçado do ponto M ao ponto U, paralelo a base R I, formando um triângulo E M U. O lado M U mede 15 centímetros e o lado R I mede 45 centímetros.

Qual é a medida, em cm, do lado RE ?

a) 15

b) 20

c) 24

d) 36

Resposta: Alternativa d.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Sabendo que os pares de polígonos de cada quadro a seguir são semelhantes, calcule, em uma folha de papel avulsa, a medida do perímetro de cada polígono.

A.
1. Ilustração de um polígono de 4 lados com ângulos diferentes. Em cada ângulo há uma marcação diferente composta por traços, indo de 1 a 4 traços. E estão indicadas as medidas de 3 lados. O lado que está entre o ângulo com um traço e o ângulo com 4 traços tem 4,4 centímetros; o lado que está entre o ângulo com 4 traços e o ângulo com 3 traços tem 6,4 centímetros; e o lado que está entre o ângulo com 3 traços e o ângulo com 2 traços tem 8,2 centímetros.
2. Ilustração de um polígono de 4 lados com ângulos diferentes. Em cada ângulo há uma marcação diferente composta por traços, indo de 1 a 4 traços. E estão indicadas as medidas de 2 lados. O lado que está entre o ângulo com um traço e o ângulo com 2 traços tem 3,8 centímetros; e o lado que está entre o ângulo com 2 traços e o ângulo com 3 traços tem 4,1 centímetros.
B.
1. Ilustração de um paralelogramo com ângulos opostos congruentes. Um lado mede 4,8 centímetros e o outro mede 3 centímetros.
2. Ilustração de um paralelogramo com ângulos opostos congruentes. Um lado mede 2,4 centímetros e o outro mede 1,5 centímetros.

Respostas: A. 1 = 26,6   cm ; 2 = 13,3   cm ; B. 1 = 15,6   cm ; 2 = 7,8   cm .

2. Analise os hexágonos regulares a seguir.

A. Ilustração de um hexágono regular com lado medindo 6,5 decímetros.
B. Ilustração de um hexágono regular com lado medindo 5,2 decímetros.

a) Esses hexágonos são semelhantes?

Resposta: Sim.

b) Qual é a razão de semelhança entre os hexágonos A e B?

Resposta: 6 , 5 5 , 2 = 1 , 2 5 .

c) Qual é a razão da medida do perímetro do hexágono A em relação a do hexágono B?

Resposta: 39 31 , 2 = 1 , 2 5 .

d) Qual é a relação entre as razões obtidas nos itens b e c? Isso também acontece com outros polígonos regulares?

Resposta: São iguais; Sim.

3. Em uma folha de papel avulsa, por homotetia, faça a ampliação dos polígonos a seguir na razão 2 : 1 .

A. Ilustração de um polígono A B C D. O lado A B mede 3,5 centímetros, o lado B C mede 2 centímetros, o lado C D mede 3,5 centímetros e lado A D mede 2 centímetros. Os ângulos internos de vértices A e C medem 75 graus cada e o ângulos internos vértices B e D medem 105 graus cada.
B. Ilustração de um triângulo E F G em que os lados medem 4 centímetros cada e os ângulos medem 60 graus cada.

Sugestão de resposta na seção Resoluções.

4. Determine se os triângulos indicados em cada item são semelhantes. Para isso, justifique sua resposta.

A. Ilustração de um triângulo em que um ângulo mede 40 graus e os lados adjacentes a esse ângulo medem 4,5 centímetros cada.
Ilustração de um triângulo em que um ângulo mede 40 graus e os lados adjacentes a esse ângulo medem 5 e 4 centímetros.
B. Ilustração de um triângulo retângulo com base medindo 3 centímetros, altura medindo 5 centímetros; e o terceiro lado medindo 7 centímetros.
Ilustração de um triângulo retângulo com base medindo 2,25 centímetros, altura medindo 3,75 centímetros; e o terceiro lado medindo 5,25 centímetros.
C. Ilustração de um triângulo com o ângulo adjacente a base do lado esquerdo medindo 37 graus e o ângulo adjacente a base do lado direito medindo 48 graus.
Ilustração de um triângulo com o ângulo adjacente a base do lado direito medindo 48 graus e o ângulo oposto a base medindo 95 graus.

Resposta: A. Não são semelhantes, pois os lados correspondentes não são proporcionais; B. São semelhantes pelo critério L L L ; C. São semelhantes pelo critério A A A .