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UNIDADE

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Produtos notáveis, fatoração de polinômios e equações do 2º grau

Fotografia de uma pessoa praticando canoagem em uma corredeira.
Atleta praticando canoagem, esporte radical que atrai aventureiros em busca de adrenalina.

Agora vamos estudar...

  • produtos notáveis;
  • fatoração de polinômios;
  • equação do 2º grau com uma incógnita;
  • resolução de equações do 2º grau completas e incompletas;
  • relações entre as raízes e outros elementos de uma equação do 2º grau.

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Produtos notáveis

Neste tópico, estudaremos produtos de polinômios que aparecem em problemas e apresentam algumas regularidades. Eles são chamados produtos notáveis e, ao estudá-los e conhecê-los, perceberemos que as regularidades apresentadas possibilitam, em alguns momentos, a redução da quantidade de cálculos.

Quadrado da soma de dois termos

Um dos produtos notáveis é o quadrado da soma de dois termos. Podemos indicá-lo da seguinte maneira.

Esquema com a expressão: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, ou, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, ao quadrado. Na linha de baixo há uma indicação com uma seta no terceiro, a, indicando primeiro termo e uma seta no terceiro, b, indicando segundo termo.

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, obtemos:

Esquema mostrando a expressão: abre parênteses a mais b fecha parênteses ao quadrado é igual a abre parênteses a mais b fecha parênteses, abre parênteses a mais b fecha parênteses é igual, a ao quadrado mais a b mais a b mais b ao quadrado é igual, a ao quadrado mais 2 a b mais b ao quadrado. Acima da expressão há uma seta saindo do segundo a e indo para o terceiro a e uma seta saindo do segundo a e indo para o terceiro b. Abaixo da expressão há uma seta saindo do segundo b e indo para o terceiro a e uma seta saindo do segundo b e indo para o terceiro b. Abaixo da expressão há uma chave virada para cima no segundo termo, a b, e abaixo dela há uma expressão b a é igual, a b.

O polinômio a 2 + 2 a b + b 2 tem três termos e é chamado trinômio quadrado perfeito.

Podemos visualizar geometricamente a igualdade anterior. Para a e b positivos, calcularemos a medida da área de um quadrado com o comprimento do lado medindo a + b de duas maneiras diferentes.

1ª maneira

Ilustração de um quadrado com o lado medindo a mais b. A medida de a é maior que b. Há um traço indicando a medida de, a, e, b. Acima de, a e b, há uma cota do tamanho do lado do quadrado com a expressão, a mais b.

Multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura:

A = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b ) 2

2ª maneira

Ilustração de um quadrado com o lado medindo, parte a, e, parte b, indicadas por cotas. O quadrado é composto por: 2 retângulos de lado menor medindo b, lado maior medindo a, área medindo a b; um quadrado maior de lado medindo a, área medindo a ao quadrado; um quadrado menor de lado medindo b, área medindo b ao quadrado.

Adicionando as medidas das áreas das quatro partes:

A = a 2 + a b + a b + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Note que, em ambas as imagens, o quadrado cuja medida do comprimento do lado é a + b tem a mesma medida de área. Portanto: ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2 .

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O quadrado da soma de dois termos pode ser obtido calculando o quadrado do 1º termo, mais 2 vezes o 1º termo pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Esquema mostrando a expressão em 2 linhas. Entre as linhas há cotas indicando que o termo de uma é equivalente ao termo da outra. Na primeira linha: abre parênteses 3 a mais 2 b ao quadrado fecha parênteses é igual a abre parênteses 3 a ao quadrado fecha parênteses mais 2 abre parênteses 3 a fecha parênteses, abre parênteses 2 b fecha parênteses mais abre parênteses 2 b fecha parênteses ao quadrado. Na segunda linha: 9 a ao quadrado mais 12 a b mais 4 b ao quadrado. As cotas entre as linhas relacionam: o termo abre parênteses 3 a, fecha parênteses, ao quadrado ao termo 9 a, ao quadrado; o termo 2 abre parênteses 3 a fecha parênteses, abre parênteses 2 b fecha parênteses, ao termo, 12 a b, e o termo abre parênteses 2 b fecha parênteses ao quadrado ao termo 4 b ao quadrado.
Esquema mostrando a fatoração de um trinômio quadrado perfeito em 2 linhas. Entre as linhas há cotas indicando que o termo de uma é equivalente ao termo da outra. Na primeira linha: abre parênteses, a, ao quadrado, mais início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração, b, fecha parênteses, ao quadrado, é igual, a, abre parênteses, a, ao quadrado, fecha parênteses, ao quadrado, mais 2, abre parênteses, a ao quadrado, fecha parênteses, abre parênteses, início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração, b, fecha parênteses, mais, abre parênteses, início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração, b, fecha parênteses, ao quadrado. Na segunda linha: igual, elevado a quatro mais, início de fração, numerador: 4, denominador: 3, fim de fração, a ao quadrado, b, mais, início de fração, numerador: 4, denominador: 9, fim de fração, b, ao quadrado. As cotas entre as linhas relacionam: o termo abre parênteses, a, ao quadrado fecha parênteses, ao quadrado, ao termo, a elevado a quatro; o termo 2 abre parênteses, a, ao quadrado, fecha parênteses, abre parênteses início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração, b, fecha parênteses, ao termo, início de fração, numerador: 4, denominador: 3, fim de fração, a, ao quadrado, b, e o termo abre parênteses início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração b fecha parênteses ao quadrado ao termo início de fração, numerador: 4, denominador: 9, fim de fração, b, ao quadrado.

Quadrado da diferença de dois termos

Outro produto notável é o quadrado da diferença de dois termos. Podemos indicá-lo da seguinte maneira.

Esquema com a expressão: abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, ou, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, ao quadrado. Na linha de baixo há uma indicação com uma seta no terceiro, a, indicando primeiro termo e uma seta no terceiro, b, indicando segundo termo.

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, obtemos:

Esquema mostrando a expressão: abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, ao quadrado, é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a, a, ao quadrado, menos, a b, menos, a b, mais b, ao quadrado, é igual a, a, ao quadrado menos 2 a b, mais b, ao quadrado. Acima da expressão há uma seta saindo do segundo, a, e indo para o terceiro, a, e uma seta saindo do segundo, a, e indo para o terceiro, b. Abaixo da expressão há uma seta saindo do segundo, b, e indo para o terceiro, a, e uma seta saindo do segundo, b, e indo para o terceiro, b. Abaixo da expressão há uma chave virada para cima no segundo termo, a b, e abaixo dela há uma expressão, b a, é igual, a b.

O polinômio a 2 2 a b + b 2 também é um trinômio quadrado perfeito.

Podemos visualizar geometricamente a igualdade anterior. Para a e b positivos, com a > b , calcularemos a medida da área de um quadrado cujo comprimento do lado mede ( a b ) .

Podemos representar a medida da área desse quadrado (em verde na figura a seguir) da seguinte maneira:

A = ( a b ) ( a b ) = ( a b ) 2

Ilustração de um quadrado com o lado medindo, a. Cada lado está dividido em uma parte com medida b e outra parte com medida, a menos b. A medida de, a menos b, é maior do que b. O quadrado é composto por: 2 retângulos de lado menor medindo b, lado maior medindo, a menos b, área medindo, b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses; um quadrado menor de lado medindo b, área medindo b ao quadrado; um quadrado maior com lado medindo, a menos b, e área indicado por um ponto de interrogação.

Outra maneira de representar a medida da área do quadrado verde é subtrair, da medida da área do quadrado maior, as medidas das áreas dos dois retângulos vermelhos e do quadrado roxo.

Esquema mostrando, em 3 linhas, a expressão: Primeira linha: A maiúsculo é igual, a minúsculo, ao quadrado menos b minúsculo, abre parênteses a minúsculo, menos b minúsculo, fecha parênteses menos b minúsculo, abre parênteses a minúsculo, menos b minúsculo, fecha parênteses menos b minúsculo, ao quadrado. Segunda linha: A maiúsculo, é igual, a minúsculo, ao quadrado menos a b minúsculo, mais b minúsculo, ao quadrado menos a b minúsculo, mais b minúsculo, ao quadrado, riscado, menos b minúsculo,ao quadrado, riscado. Terceira linha: A maiúsculo é igual, a minúsculo, ao quadrado menos 2 a b minúsculo, mais b minúsculo, ao quadrado. Acima da expressão há uma seta saindo do primeiro b minúsculo, e indo para o segundo a minúsculo; uma seta saindo do primeiro b minúsculo, e indo para o segundo b minúsculo; uma seta saindo do terceiro b minúsculo, e indo para o terceiro a minúsculo, e uma seta saindo do terceiro b minúsculo e indo para o quarto b minúsculo. No termo a minúsculo ao quadrado, da primeira linha, há uma indicação dizendo: medida da área do quadrado maior. No termo b minúsculo, abre parênteses a minúsculo, menos b minúsculo, fecha parênteses menos b minúsculo, abre parênteses a menos b minúsculo, fecha parênteses, da primeira linha, há uma indicação dizendo: medida da área dos dois retângulos vermelhos. No termo b minúsculo, ao quadrado, da primeira linha, há uma indicação dizendo: medida da área do quadrado roxo.

Portanto, ( a b ) 2 = ( a b ) ( a b ) = a 2 2 a b + b 2 .

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O quadrado da diferença de dois termos pode ser obtido calculando o quadrado do 1º termo, menos 2 vezes o 1º termo pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Esquema mostrando a expressão em 2 linhas. Entre as linhas há cotas indicando que o termo de uma é equivalente ao termo da outra. Na primeira linha: abre parênteses 2 a menos 5 b ao quadrado fecha parênteses é igual, abre parênteses, 2 a, ao quadrado fecha parênteses menos 2 abre parênteses 2 a fecha parênteses, abre parênteses 5 b fecha parênteses mais abre parênteses 5 b fecha parênteses, ao quadrado. Na segunda linha: igual, 4 a, ao quadrado menos 20 a b mais 25 b ao quadrado. As cotas entre as linhas relacionam: o termo abre parênteses 2 a fecha parênteses ao quadrado ao termo 4 a ao quadrado; o termo 2 abre parênteses 2 a fecha parênteses, abre parênteses 5 b fecha parênteses ao termo 20 a b e o termo abre parênteses 5 b fecha parênteses ao quadrado ao termo 25 b ao quadrado.
Esquema mostrando a fatoração de um trinômio quadrado perfeito em 2 linhas. Entre as linhas há cotas indicando que o termo de uma é equivalente ao termo da outra. Na primeira linha: abre parênteses 2, a, menos início de fração, numerador: 3, denominador: 5, fim de fração, b ao cubo, fecha parênteses ao quadrado é igual a abre parênteses, 2 a fecha parênteses, ao quadrado, menos 2 abre parênteses, 2 a, fecha parênteses, abre parênteses ,início de fração, numerador: 3, denominador: 5, fim de fração, b ao cubo, fecha parênteses, mais abre parênteses, início de fração, numerador: 3, denominador: 5, fim de fração, b ao cubo, fecha parênteses, ao quadrado. Na segunda linha: igual, 4 a, ao quadrado, menos início de fração, numerador: 12, denominador: 5, fim de fração, a b ao cubo, mais início de fração, numerador: 9, denominador: 25, fim de fração, b elevado a seis. As cotas entre as linhas relacionam: o termo abre parênteses, 2 a, fecha parênteses ao quadrado ao termo, 4 a, ao quadrado; o termo 2 abre parênteses 2 a fecha parênteses, abre parênteses início de fração, numerador: 3, denominador: 5, fim de fração, b ao cubo, fecha parênteses, ao termo, início de fração, numerador: 12, denominador: 5, fim de fração, a b ao cubo, e o termo abre parênteses início de fração, numerador: 3, denominador: 5, fim de fração, b ao cubo, fecha parênteses ao quadrado, ao termo, início de fração, numerador: 9, denominador: 25, fim de fração, b elevado a seis.

Produto da soma pela diferença de dois termos

O produto ( a + b ) ( a b ) também é um produto notável. Ele é conhecido como produto da soma pela diferença de dois termos. Ao desenvolver esse produto notável com o auxílio da propriedade distributiva da multiplicação, obtemos:

Esquema mostrando a expressão: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual,a ao quadrado menos, a b, mais a b, menos b, ao quadrado é igual, a, ao quadrado menos b, ao quadrado. Os termos a b estão riscados. Acima da expressão há uma seta saindo do primeiro, a, indo para o segundo, a, e uma seta saindo do primeiro, a, indo para o segundo b. Abaixo da expressão há uma seta saindo do primeiro b, indo para o segundo, a, e uma seta saindo do primeiro, b, indo para o segundo b.

O polinômio a 2 b 2 é uma diferença de quadrados.

Podemos visualizar geometricamente o desenvolvimento desse produto notável. Para a e b positivos, com a > b , calcularemos a medida da área de um retângulo cujos comprimentos dos lados medem ( a + b ) e ( a b ) .

Podemos representar a medida da área desse retângulo (em amarelo na figura a seguir) da seguinte maneira.

A = ( a + b ) ( a b )

Ilustração de um retângulo com a base medindo, a mais b, e altura medindo a. A base é dividida em uma parte medindo, b, e outra medindo a, a medida a é maior que a medida b. A altura é dividida em uma medida b e outra medida, a menos b, a medida de a menos b é maior que b. Na altura há um traçado de um lado ao outro na medida b que é paralelo a base. Na direção da base há um tracejado na divisa entre a e b que vai perpendicularmente até o outro traçado.

Outra maneira de representar a medida da área do retângulo amarelo é subtrair, da medida da área do retângulo maior, a medida da área do retângulo roxo.

Esquema mostrando, em 3 linhas, a expressão: Primeira linha: A é igual, a minúsculo, abre parênteses a minúsculo, mais b minúsculo, fecha parênteses menos b minúsculo, abre parênteses a minúsculo, mais b minúsculo, fecha parênteses. Segunda linha: A é igual a, a minúsculo, ao quadrado mais, a b minúsculo, riscado, menos a b minúsculo, riscado, menos b minúsculo, ao quadrado. Terceira linha: A é igual a, a minúsculo, ao quadrado menos b minúsculo, ao quadrado. Considerando a após o sinal de igual. Acima da expressão há uma seta saindo do primeiro a minúsculo, e indo para o segundo a minúsculo,; uma seta saindo do primeiro a minúsculo, e indo para o primeiro b minúsculo,; uma seta saindo do segundo b minúsculo, e indo para o primeiro a minúsculo, e uma seta saindo do segundo b minúsculo, e indo para o terceiro b minúsculo,. No termo a minúsculo, abre parênteses a minúsculo, mais b minúsculo, fecha parênteses, da primeira linha, há uma indicação dizendo: medida da área do retângulo maior. No termo b minúsculo, abre parênteses a minúsculo, mais b minúsculo, fecha parênteses, da primeira linha, há uma indicação dizendo: medida da área do retângulo roxo.

Portanto, ( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2 .

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O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser obtido calculando o quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

  • ( 2 x + 3 y ) ( 2 x 3 y ) = ( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 = 4 x 2 9 y 2
  • ( x 2 + y ) ( x 2 y ) = ( x 2 ) 2 ( y ) 2 = x 4 y 2

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Utilizando figuras geométricas, desenvolva o produto notável indicado em cada item e obtenha um trinômio quadrado perfeito.

a) ( 2 a + b ) 2

b) ( a + 7 b ) 2

c) ( 5 a + 3 b ) 2

Respostas: a) 4 a 2 + 4 a b + b 2 ; b) a 2 + 14 a b + 4 9 b 2 ; c) 2 5 a 2 + 30 a b + 9 b 2 .

2. Escreva no caderno um trinômio que represente a medida da área de cada quadrado.

A. Ilustração de um quadrado com o comprimento do lado medindo parte, a, e, parte, 6 b, indicadas por cotas. Há dois tracejados na divisa entre, a, e, 6 b, que vão de um lado a outro e que são perpendiculares entre si.
B. Ilustração de um quadrado com o comprimento do lado medindo, uma parte, 2 a, e outra parte, b, indicadas por cotas. Há dois tracejados na divisa entre, 2 a, e, b, que são perpendiculares entre si.

Respostas: A. a 2 + 12 a b + 3 6 b 2 ; B. 4 a 2 + 4 a b + b 2 .

3. Represente no caderno um quadrado cuja medida do comprimento do lado seja 3 x + 2 . Em seguida, escreva o polinômio que representa a medida da área desse quadrado.

Resposta nas orientações ao professor.

Versão adaptada acessível

3. Imagine um quadrado cuja medida do comprimento do lado seja 3 x + 2 . Em seguida, escreva o polinômio que representa a medida da área desse quadrado.

Resposta nas orientações ao professor.

4. Escreva no caderno os termos adequados que podem substituir cada .

a) ( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x +

b) ( x + 4 ) 2 = x 2 + + 1 6

c) ( 3 x + 6 ) 2 = + 36 x + 3 6

d) ( x + 3 ) 2 = + 6 x + 9

e) ( 2 x + 5 ) 2 = 4 x 2 + + 2 5

f) ( 2 x + 3 ) 2 = + 12 x + 9

Respostas: a) 25; b) 8   x ; c) 9   x 2 ; d)   x 2 ; e) 20   x ; f) 4   x 2 .

5. Escreva no caderno cada produto notável na forma de trinômio quadrado perfeito.

a) ( x + 1 ) 2

b) ( 9 x + 4 ) 2

c) ( x + 2 ) 2

d) ( 3 x + 7 ) 2

e) ( 6 x + 3 4 ) 2

Respostas: a) x 2 + 2 x + 1 ; b) 8 1 x 2 + 72 x + 1 6 ; c) x 2 + 4 x + 4 ; d) 9 x 2 + 42 x + 4 9 ; e) 3 6 x 2 + 9 x + 9 16 .

6. Copie os itens no caderno substituindo cada pelo valor adequado.

a) ( 2 a b ) 2 = 4 a b + b 2

b) ( a 3 b ) 2 = + 9 b 2

c) ( 3 a b ) 2 = +

Respostas: a) ( 2 a b ) 2 = 4 a 2 4 a b + b 2 ; b) ( a 3 b ) 2 = a 2 6 a b + 9 b 2 ; c) ( 3 a b ) 2 = 9 a 2 6 a b + b 2 .

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7. Para cada item, escreva no caderno o trinômio quadrado perfeito utilizando a regra do quadrado da diferença de dois termos.

a) ( a 5 b ) 2

b) ( 4 a 5 b ) 2

c) ( 3 a 4 b ) 2

d) ( 7 a b ) 2

Respostas: a) a 2 10 a b + 25 b 2 ; b) 1 6 a 2 40 a b + 2 5 b 2 ; c) 9 a 2 24 a b + 1 6 b 2 ; d) 4 9 a 2 14 a b + b 2 .

8. Simplifique as expressões algébricas.

a) ( 2 a + b ) 2 + ( a 3 b ) 2

b) 3 x ( 2 3 y ) 2 + ( 4 x 5 y ) 2

Respostas: a) 5 a 2 2 a b + 1 0 b 2 ; b) 12 x 76 x y + 27 x y 2 + 1 6 x 2 + 2 5 y 2 .

9. A figura a seguir é formada por dois quadrados, um verde e um amarelo, e dois retângulos congruentes.

Ilustração de um quadrado com o comprimento do lado medindo y. Na altura do quadrado há a indicação da medida 2 x. Há dois tracejados na medida 2 x que vão de um lado a outro e que são perpendiculares entre si. O quadrado é composto por 2 retângulos iguais, um quadrado maior e um quadrado menor de lado medindo 2 x.

a) Qual trinômio representa a medida da área do quadrado amarelo? Ele é um trinômio quadrado perfeito?

b) Para x = 2   cm e y = 10   cm , qual é a medida da área:

de cada retângulo roxo?

do quadrado verde?

do quadrado amarelo?

c) Considerando x = 3   cm , y = 12   cm e a figura anterior, elabore duas perguntas e peça a um colega que as responda. Por último, verifique se a resposta dele está correta.

Respostas: a) y 2 4 x y + 4 x 2 ; sim; b) 24   cm 2 ; 16   cm 2 ; 36   cm 2 ; c) Resposta pessoal.

10. Copie os itens no caderno substituindo cada pelo valor adequado.

a) ( x + y ) ( x y ) = y 2

b) ( 2 a + b ) ( 2 a b ) = b 2

c) ( 3 x 4 y ) ( 3 x + 4 y ) = 9 x 2

Respostas: a) ( x + y ) ( x y ) = x 2 y 2 ; b) ( 2 a + b ) ( 2 a b ) = 4 a 2 b 2 ; c) ( 3 x 4 y ) ( 3 x + 4 y ) = 9 x 2 1 6 y 2 .

11. Para cada item, escreva no caderno a diferença de quadrados utilizando a regra do produto da soma pela diferença de dois termos.

a) ( a + 4 b ) ( a 4 b )

b) ( 5 a 2 b ) ( 5 a 2 + b )

c) ( a + 2 b 3 ) ( a 2 b 3 )

Respostas: a) a 2 1 6 b 2 ; b) 2 5 a 4 b 2 ; c) a 2 4 b 6 .

12. Simplifique as expressões algébricas.

a) ( a 2 b ) ( a + 2 b ) + 3 b 2

b) ( x + 3 y 2 ) ( x 3 y 2 ) 2 x ( x 4 )

Respostas: a) a 2 b 2 ; b) x 2 9 y 4 + 8 x .

13. Ícone desafio. Jorge recortou, de um pedaço quadrado de cartolina, um quadrado menor, como indicado na imagem a seguir.

Ilustração de uma folha de papel quadrada com medida de lado a e um traçado formando outro quadrado tracejado com medida de lado b. Há uma tesoura do lado direito do quadrado em cima do traçado mostrando o local de corte. Há uma seta saindo do quadrado descrito anteriormente e apontando para outra folha de papel que representa a mesma folha de papel com o quadrado já cortado onde antes era tracejado.

a) Que polinômio representa a medida da área da cartolina que sobrou após o quadrado ter sido recortado?

b) Sabendo que a + b = 8   cm e a b = 2   cm , qual é a medida da área do pedaço de cartolina que sobrou?

Respostas: a) a 2 b 2 ; b) 1 6   cm 2 .

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Fatoração de polinômios

Em anos anteriores, você provavelmente estudou que um número natural diferente de 1 pode ser escrito como produto de dois ou mais fatores, ou seja, podemos grafá-lo na forma fatorada. A seguir, escrevemos alguns exemplos, na forma fatorada, do número 48.

48 = 4 1 2

48 = 2 4 6

48 = 6 8

48 = 2 2 2 2 3

48 = 2 3 8

48 = 3 4 4

De maneira semelhante aos números, também podemos fatorar polinômios, ou seja, dado um polinômio na forma reduzida, podemos escrevê-lo como um produto de polinômios, que, em algumas situações, é útil na resolução de problemas.

A seguir, estudaremos alguns métodos de fatoração de polinômios.

Colocando um fator comum em evidência

Podemos fatorar, por exemplo, o polinômio 5 x 2 + 15 x da seguinte maneira.

Inicialmente, decompomos cada termo do polinômio em um produto de fatores.

5 x 2 + 15 x = 5 x x + 3 5 x

Note que 5 x é o fator comum aos dois termos do polinômio. Assim, podemos escrevê-lo multiplicando-o pelos outros fatores que não são comuns. Nesse caso, dizemos que 5 x foi colocado em evidência.

5 x x + 3 5 x = 5 x ( x + 3 )

Portanto, a forma fatorada de 5 x 2 + 15 x é 5 x ( x + 3 ) .

Esquema mostrando a expressão 5 x ao quadrado mais 15 x é igual a 5 x, abre parênteses, x mais 3 fecha parênteses. Na linha de baixo há uma indicação com uma cota no segundo membro dizendo: forma fatorada.

Podemos verificar se a fatoração está correta usando a propriedade distributiva da multiplicação e analisando se o resultado obtido é o polinômio inicial.

Esquema mostrando a expressão: 5 x, abre parênteses x mais 3 fecha parênteses é igual a 5 x ao quadrado mais 15 x. Há uma cota em 5 x com duas setas: uma apontando para x e a outra para o 3.

A seguir, apresentamos outros exemplos.

  • 4 x 2 y z 12 x y 3 z 2 = 4 x y z ( x 3 y 2 z )
  • 1 5 x 3 + 5 x 5 2 0 x 4 = 5 x 3 ( 3 + x 2 4 x )

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Fatoração por agrupamento

Outra maneira de fatorar um polinômio é utilizando a fatoração por agrupamento.

Acompanhe, por exemplo, a fatoração do polinômio 2 x + 2 a + x y + a y utilizando esse método.

Esse polinômio não apresenta fatores comuns a todos os termos. Por isso, agrupamos os termos que têm fatores comuns e, depois, efetuamos a fatoração.

2 x + 2 a + x y + a y =

= 2 x a + x y + 2 a + a y =

= x ( 2 + y ) + a ( 2 + y )

Como 2 + y é o fator comum do polinômio, podemos colocá-lo em evidência.

Portanto, a forma fatorada de 2 x + 2 a + x y + a y é:

x ( 2 + y ) + a ( 2 + y ) =

= ( 2 + y ) ( x + a )

Atenção!

Podemos verificar se a fatoração por agrupamento foi realizada de maneira correta. Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação e o resultado obtido deve ser igual ao polinômio inicial.

A seguir, apresentamos outros exemplos.

  • 3 x + 3 y + m x + m y = 3 ( x + y ) + m ( x + y ) = ( x + y ) ( 3 + m )
  • 5 x + 5 + x 2 y 2 + x y 2 = 5 ( x + 1 ) + x y 2 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( 5 + x y 2 )

Fatoração de um trinômio quadrado perfeito

Também podemos fatorar um trinômio quadrado perfeito.

Estudamos anteriormente que ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 . Então, nesse caso, ( a + b ) 2 é a forma fatorada do polinômio a 2 + 2 a b + b 2 .

Também verificamos que ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2 . Então, nesse caso, ( a b ) 2 é a forma fatorada do polinômio a 2 2 a b + b 2 .

A seguir, apresentamos alguns exemplos de fatoração de trinômios quadrados perfeitos.

  • x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2
  • 9 a 2 24 a b + 1 6 b 2 = ( 3 a 4 b ) 2
  • x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4 ) 2
  • 4 a 2 12 a b + 9 b 2 = ( 2 a 3 b ) 2

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Podemos verificar, por exemplo, que 9 a 2 24 a b + 1 6 b 2 = ( 3 a 4 b ) 2 . Para isso, inicialmente, fazemos:

Esquema mostrando a fatoração de um trinômio quadrado perfeito em 3 linhas. Entre as linhas há cotas indicando que o termo de uma é equivalente ao termo da outra. Na primeira linha: 9, a, ao quadrado menos 24 a b mais 16, b, ao quadrado é igual. Na segunda linha: igual, abre parênteses, 3 a, fecha parênteses, ao quadrado menos 2 vezes 3 a vezes 4 b mais, abre parênteses, 4 b, fecha parênteses, ao quadrado é igual. Na terceira linha: igual 3 a vezes 3 a, menos 2 vezes 3, a, vezes 4 b mais 4 b vezes 4 b. As cotas entre a primeira e a segunda linha relacionam: o termo 9, a, ao quadrado ao termo, 3 a, ao quadrado; o termo 24 ab ao termo 2 vezes, 3 a, vezes 4 b; o termo 16 b ao quadrado ao termo 4 b, ao quadrado. As cotas entre a segunda e a terceira linha relacionam: o termo 3 a, ao quadrado ao termo 3 a vezes 3 a; o termo 4 b, ao quadrado ao termo 4 b vezes 4 b.

Como 2 3 a 4 b = 3 a 4 b 3 a 4 b , escrevemos:

3 a 3 a 2 3 a 4 b + 4 b 4 b =

= 3 a 3 a 3 a 4 b 3 a 4 b 2 3 a 4 b + 4 b 4 b

Agora, colocamos os fatores 3 a e 4 b em evidência:

3 a 3 a 3 a 4 b 3 a 4 b + 4 b 4 b =

= 3 a ( 3 a 4 b ) 4 b ( 3 a 4 b )

Por fim, colocamos ( 3 a 4 b ) em evidência, pois é o fator comum da expressão.

3 a ( 3 a 4 b ) 4 b ( 3 a 4 b ) =

= ( 3 a 4 b ) ( 3 a 4 b ) =

= ( 3 a 4 b ) 2

Fatoração do produto da soma pela diferença de dois termos

Anteriormente, verificamos que ( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2 . Então, nesse caso, ( a + b ) ( a b ) é a forma fatorada do polinômio a 2 b 2 .

A seguir, apresentamos dois exemplos de fatoração de diferenças de quadrados.

  • x 2 25 = x 2 5 2 = ( x + 5 ) ( x 5 )
  • ( z + 4 ) 2 36 = ( z + 4 ) 2 6 2 = ( z + 4 + 6 ) ( z + 4 6 ) = ( z + 10 ) ( z 2 )

Outros casos envolvendo fatoração de polinômios

Em alguns casos, é preciso fatorar duas vezes o mesmo polinômio.

Acompanhe, por exemplo, a fatoração dos polinômios 4 x 2 1 6 e 3 x 3 + 6 x 2 y + 3 x y 2 .

Esquema mostrando a expressão: 4 x ao quadrado menos 16 é igual a 4 abre parênteses x ao quadrado menos 4 fecha parênteses é igual a 4 abre parênteses x mais 2 fecha parênteses, abre parênteses x menos 2 fecha parênteses. Há uma cota acima da expressão no segundo 4 indicando: fator comum em evidência e há uma cota abaixo da expressão no termo abre parênteses x ao quadrado menos 4 fecha parênteses indicando: diferença de quadrados.
Esquema mostrando a expressão: 3, x ao cubo, mais 6, x ao quadrado, y, mais 3 x, y ao quadrado, é igual a 3 x, abre parênteses, x ao quadrado mais 2 x y mais y ao quadrado fecha parênteses, é igual a, 3 x abre parênteses, x mais y fecha parênteses, ao quadrado. Há uma cota no primeiro 3 x, na expressão entre os sinais de igual, indicando: fator comum em evidência. E há outra cota, indicando que todos os termos dentro do parênteses são: trinômio quadrado perfeito.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

14. No caderno, associe os polinômios às suas formas fatoradas. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

A. 1 2 x 2 + 8 x

B. 8 x 2 + 12 x

C. 1 2 x 2 8

D. 8 x 2 + 1 2

1. 4 x ( 2 x + 3 )

2. 4 ( 2 x 2 + 3 )

3. 4 x ( 3 x + 2 )

4. 4 ( 3 x 2 2 )

Respostas: A-3; B-1; C-4; D-2.

15. Em cada item, determine o fator comum a todos os termos do polinômio e fatore-o.

a) 5 x 1 0

b) 2 b 2 4 b

c) 1 6 a 2 + 12 a

d) 2 4 y 2 4 0

Respostas: a) 5 ( x 2 ) ; b) 2 b ( b 2 ) ; c) 4 a ( 4 a + 3 ) ; d) 8 ( 3 y 2 5 ) .

16. Copie os itens no caderno e substitua cada pelo monômio adequado.

a) 6 a 4 3 b = 3 ( b )

b) 1 8 m 3 + = 2 ( 9 m 3 + 8 n 3 )

c) + 32 q = 4 ( 5 p 2 + 8 q )

Respostas: a) 6 a 4 3 b = 3 ( 2 a 4 b ) ; b) 1 8 m 3 + 1 6 n 3 = 2 ( 9 m 3 + 8 n 3 ) ; c) 2 0 p 2 + 32 q = 4 ( 5 p 2 + 8 q ) .

17. Fatore os polinômios por agrupamento.

a) 4 m + m n 4 y + y n

b) a m 7 m + 8 a 5 6

c) 10 c + 20 c v 2 v

Respostas: a) ( 4 + n ) ( m + y ) ; b) ( a 7 ) ( m + 8 ) ; c) ( 10 v ) ( c + 2 ) .

18. Fatore os trinômios quadrados perfeitos. Se necessário, desenhe figuras no caderno.

a) 4 a 2 + 4 a b + b 2

b) c 2 + 10 c d + 2 5 d 2

c) x 2 + 6 x y + 9 y 2

d) 4 9 a 2 42 a b + 9 b 2

Respostas: a) ( 2 a + b ) 2 ; b) ( c + 5 d ) 2 ; c) ( x + 3 y ) 2 ; d) ( 7 a 3 b ) 2 .

19. Fatore as diferenças de quadrados.

a) 16 x 2

b) 4 x 2 6 4

c) 9 x 2 4

d) 49 2 5 x 2

Respostas: a) ( 4 + x ) ( 4 x ) ; b) ( 2 x + 8 ) ( 2 x 8 ) ; c) ( 3 x + 2 ) ( 3 x 2 ) ; d) ( 7 + 5 x ) ( 7 5 x ) .

20. Jair fatorou algumas expressões algébricas em seu caderno.

Ilustração de parte de um caderno com 4 expressões, uma em cada linha. Expressão da primeira linha: 9 x ao quadrado menos 64 é igual a abre parênteses 3 x menos 8 fecha parênteses, abre parênteses 3 x mais 8 fecha parênteses. Expressão da primeira linha: 25 x ao quadrado menos 16 é igual a abre parênteses 5 x menos 4 fecha parênteses, abre parênteses 5 x mais 4 fecha parênteses. Expressão da terceira linha: 9 x ao quadrado mais 12 x mais 4 é igual a abre parênteses 3 x mais 2 fecha parênteses ao quadrado. Expressão da quarta linha: x ao quadrado menos 8 x mais 16 é igual a abre parênteses x menos 4 fecha parênteses, abre parênteses x mais 4 fecha parênteses.

a) Ele fatorou todas as expressões algébricas corretamente?

b) Caso Jair tenha fatorado alguma expressão algébrica incorretamente, reescreva-a no caderno e a corrija.

Respostas: a) Não; b) x 2 8 x + 16 = ( x 4 ) 2 .

21. Copie os itens no caderno e substitua cada pelo termo adequado.

a) 1 6 x 2 + + y 2 = ( 4 x + y ) 2

b) + 10 a b + 2 5 b 2 = ( a + 5 b ) 2

c) ( 15 x 1 ) ( 15 x + 1 ) =

d) 4 9 a 2 + + b 2 = ( + ) 2

e) ( + ) ( ) = 9 a 2 b 2

Respostas: a) 8 x y ; b) a 2 ; c) 22 5 x 2 ; 1; d) 14 a b ; 7 a ; b ; e) 3 a ; b ; 3 a ; b .

22. Utilizando os monômios a seguir, escreva no caderno três trinômios quadrados perfeitos. Em seguida, fatore os que você escreveu.

  • x 2

  • 2 x y

  • y 2

  • 9 x 2

  • 6 x y

  • 9 y 2

Resposta: x 2 2 x y + y 2 = ( x y ) 2 ; 9 x 2 + 6 x y + y 2 = ( 3 x + y ) 2 ; x 2 + 6 x y + 9 y 2 = ( x + 3 y ) 2 .

23. Fatore os polinômios.

a) 3 x 2 2 7

b) 1 8 x 2 3 2 y 2

c) 5 x 2 20 x y + 2 0 y 2

d) 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x

Respostas: a) 3 ( x + 3 ) ( x 3 ) ; b) 2 ( 3 x + 4 y ) ( 3 x 4 y ) ; c) 5 ( x 2 y ) 2 ; d) 3 x ( x + 1 ) 2 .

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Equações do 2º grau com uma incógnita

Você já deve ter estudado equações nos anos anteriores. Agora, aprofundaremos um pouco esse assunto. Acompanhe, a seguir, duas situações que podem ser resolvidas usando equações.

Situação A

Carla tem certa quantia em reais e sua amiga Marcela tem o dobro dessa quantia mais R$ 2,00. Sabendo que juntas elas têm R$ 38,00, quantos reais cada uma delas tem?

Chamaremos a quantia que Carla tem de x e, assim, podemos escrever a seguinte equação.

Esquema mostrando a expressão: x mais 2 x mais 2 é igual a 38. No primeiro x há a indicação: quantia que Carla tem. Há uma cota em 2 x mais 2 com a indicação: quantia que Marcela tem. No número 38 há a indicação: quantia que as duas têm juntas.

Resolvendo a equação, obtemos:

x + 2 x + 2 = 3 8

3 x + 2 = 3 8

3 x + 2 2 = 38 2

3 x = 3 6

3 x 3 = 36 3

x = 1 2

Portanto, Carla tem R$ 12,00 e Marcela tem R$ 26,00, pois 2 12 + 2 = 2 6 .

Situação B

A figura a seguir representa um terreno com a forma de um quadrado. Sabendo que sua área mede 3 6   m 2 , qual é a medida de cada um de seus lados?

Ilustração de um quadrado com um ponto de interrogação na cota que indica o tamanho de um dos lados do quadrado.

Para responder a essa pergunta, escrevemos e resolvemos a equação a seguir, na qual x representa a medida do lado do terreno.

Esquema mostrando uma expressão em duas linhas: Na primeira linha: x vezes x é igual a 36. No número 36 há uma indicação que diz: medida da área do terreno. Na segunda linha: x ao quadrado é igual a 36.

Como há dois números cujo quadrado é 36, temos:

x = + 3 6

x = 6

ou

x = 3 6

x = 6

Como queremos saber a medida de um comprimento, consideramos apenas o número positivo 6, pois não existe medida de comprimento negativa.

Portanto, cada lado do terreno mede 6   m .

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Note que as equações apresentadas em cada situação da página anterior foram escritas apenas com a incógnita x .

Na situação A, escrevemos uma equação cujo maior expoente da incógnita x é 1. Por isso, ela é chamada equação do 1º grau.

Na situação B, escrevemos uma equação cujo maior expoente da incógnita x é 2. Por isso, ela é chamada equação do 2º grau.

Atenção!

Uma equação é formada por dois membros, os quais são separados pelo sinal de igual. Exemplo:

Esquema com a expressão: 2 x mais 3 é igual a 0. Há uma cota nos termos antes do sinal de igual com a indicação: primeiro membro e há uma cota no 0 com a indicação: segundo membro.

Nos quadros a seguir, estão representadas algumas equações do 2º grau, com incógnita x e 2º membro igual a zero. Além disso, apresentamos algumas características dos termos do 1º membro dessas equações.

1. x 2 2 x 15 = 0

2 x 2 x + 3 , 1 = 0

No 1º membro, cada equação apresenta um termo com x 2 , um termo com x e um termo sem x .

2. x 2 5 x = 0

2 x 2 + 18 5 x = 0

No 1º membro, cada equação apresenta um termo com x 2 e um termo com x .

3. x 2 25 = 0

2 x 2 + 72 = 0

No 1º membro, cada equação tem um termo com x 2 e um termo sem x .

4. x 2 = 0

3 x 2 = 0

No 1º membro, cada equação tem apenas um termo com x 2 .

Dizemos que as equações exibidas no quadro 1 são equações do 2º grau completas e as apresentadas nos quadros 2, 3 e 4, equações do 2º grau incompletas.

Além das equações demonstradas até o momento, existem equações do 3º grau, 4º grau, 5º grau etc. com uma incógnita. Por exemplo, o maior expoente da incógnita x :

  • na equação 2 x 3 + x = 6 é 3, por isso essa equação é do 3º grau;
  • na equação 7 x 4 x 3 3 x = 1 é 4, por isso essa equação é do 4º grau.

Nesta unidade, estudaremos somente as equações do 2º grau.

Questão 1. Ícone atividade oral. Explique para um colega qual é a diferença entre uma equação do 1º grau e outra do 2º grau, ambas na incógnita x.

Resposta: Espera-se que o estudante explique para o colega que, em uma equação do 1º grau, o maior expoente da incógnita x é 1. Já na equação do 2º grau, o maior expoente da incógnita x é 2.

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Uma equação do 2º grau com incógnita x pode ser escrita da seguinte forma.

a x 2 + b x + c = 0 , em que a , b e c são números reais e a 0

Essa é a forma reduzida de uma equação do 2º grau. As letras a , b e c , que representam números reais, são os coeficientes da equação: a é o coeficiente de x 2 , b é o coeficiente de x e c é o termo independente.

A seguir, apresentamos alguns exemplos.

Equação do 2º grau completa do tipo a x 2 + b x + c = 0 , em que a 0 , b 0 e c 0 .

x 2 + 2 x 8 = 0 , com a = 1 ; b = 2 ; c = 8

Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 + b x = 0 , em que a 0 , b 0 e c = 0 .

5 x 2 3 x = 0 , com a = 5 ; b = 3 ; c = 0

Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 + c = 0 , em que a 0 , b = 0 e c 0 .

x 2 25 = 0 , com a = 1 ; b = 0 ; c = 2 5

Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 = 0 , em que a 0 , b = 0 e c = 0 .

3 x 2 = 0 , com a = 3 ; b = 0 ; c = 0

Questão 2. Identifique qual é o tipo de cada uma das equações apresentadas nos quadros 1, 2, 3 e 4 da página anterior. Depois, registre-os no caderno.

Resposta nas orientações ao professor.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Copie no caderno as equações a seguir, separando-as em 2 grupos: equações do 1º grau e equações do 2º grau.

  • 3 x 4 = 0

  • x 2 + 12 = 0

  • x 2 + 3 x + 5 = 0

  • 2 x 9 = 0

  • 5 x 2 7 x + 8 = 0

  • 5 x + 18 = 0

  • 5 x 10 , 4 = 0

  • 2 x 2 + x 2 = 0

Resposta: Equações do 1º grau: 3 x 4 = 0 ; 5 x 10 , 4 = 0 ; 5 x + 18 = 0 . Equações do 2º grau: x 2 + 12 = 0 ; 5 x 2 7 x + 8 = 0 ; x 2 + 3 x + 5 = 0 ; 2 x 2 + x 2 = 0 .

25. Em cada quadrado, determine o valor de x.

A. Ilustração de um quadrado de lado x e com área medindo 64 metros quadrados.
B. Ilustração de um quadrado de lado 2 x e com área medindo 144 metros quadrados.

Respostas: A. x = 8   m ; B. x = 6   m .

26. Considerando a incógnita x , escreva no caderno duas equações do 2º grau:

a) completas.

Sugestão de resposta: x 2 + 8 x + 4 = 0 ; x 2 + 8 x + 9 = 0 .

b) incompletas do tipo a x 2 + b x = 0 , com a e b números reais e a 0 .

Sugestão de resposta: x 2 + 4 x = 0 ; 3 x 2 x = 0 .

c) incompletas do tipo a x 2 + c = 0 , com a e c números reais e a 0 .

Sugestão de resposta: 5 x 2 125 = 0 ; 2 x 2 + 72 = 0 .

27. Identifique os coeficientes das equações que você escreveu na atividade anterior.

Resposta: As respostas dependem das equações escritas pelos estudantes na atividade anterior.

28. Em cada quadro, são apresentados os coeficientes a , b e c de uma equação do 2º grau na forma a x 2 + b x + c = 0 . Escreva no caderno essas equações, na forma reduzida.

A. a = 1

b=-3

c = 7

B. a = 25

b = 3

c = 0

Respostas: A. x 2 3 x + 7 = 0 ; B. 2 5 x 2 + 3 x = 0

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29. A figura a seguir representa a planta baixa de uma sala de formato retangular, cujo perímetro mede 24   m . As medidas indicadas na imagem estão em metros.

Ilustração de uma planta baixa de uma sala de formato retangular, com a base medindo x ao quadrado mais 6 e a altura medindo 3.

a) Escreva no caderno uma equação do 2º grau, na forma reduzida, que possibilita determinar o valor de x indicado na planta baixa.

Resposta: 2 x 2 6 = 0 .

b) A equação do 2º grau que você escreveu é completa ou incompleta? Justifique sua resposta.

Resposta: Incompleta. Espera-se que o estudante perceba que o coeficiente b = 0 , ou seja, não tem o termo com x .

c) Considerando a figura anterior, elabore uma pergunta envolvendo equação do 2º grau e peça a um colega que a resolva. Depois, verifique se a resposta dele está correta.

Resposta pessoal.

30. Identifique os coeficientes de cada equação.

a) x 2 x + 1 = 0

b) 2 x 2 = 3

c) 5 x 2 2 = 3 x

d) 3 x 2 + 2 = 3 x + 2

e) 5 x 2 x 2 = 2

f) x 2 + 2 ( x 1 ) = 2 x 2

Respostas: a) a = 1 ; b = 1 ; c = 1 ; b) a = 2 ; b = 0 ; c = 3 ; c) a = 5 ; b = 3 ; c = 2 ; d) a = 3 ; b = 3 ; c = 0 ; e) a = 2 ; b = 5 ; c = 2 ; f) a = 1 ; b = 0 ; c = 0 .

31. Analise a seguinte figura.

Ilustração de 3 figuras encostadas. Do lado esquerdo fica o triângulo retângulo com a hipotenusa virada para o lado esquerdo e a base medindo 3 x. Do lado direito está o quadrado de lado medindo x mais 2 e em cima do quadrado está o retângulo com a base medindo x mais 2 e a altura medindo 2. O retângulo está com a base encostada no quadrado e a altura encostada no triângulo. Há uma cota indicando que a distância do final do retângulo até completar a altura do triângulo mede 2.

a) Sabendo que a medida da área do triângulo é igual à medida da área do quadrado mais a medida da área do retângulo, escreva no caderno uma equação do 2º grau, na forma reduzida, para representar a relação entre essas medidas de área.

b) Essa equação é completa ou incompleta? Quais são os seus coeficientes?

Respostas: a) x 2 + 6 x 16 = 0 ; b) Completa; a = 1 ; b = 6 ; c = 1 6 .

32. Escreva no caderno uma equação do 2º grau, na forma reduzida, para cada situação.

a) O quadrado de um número x mais seu triplo é igual a 10.

b) O dobro do quadrado de um número x mais sua quinta parte é igual a 12.

c) O triplo do quadrado de um número x menos 6 é igual ao quíntuplo desse número.

d) A medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede x + 1 é 52.

Agora, elabore em seu caderno três situações semelhantes às apresentadas nos itens e peça a um colega que as resolva. Depois, verifique se a resposta dele está correta.

Respostas na seção Resoluções.

33. Escreva no caderno uma equação do 2º grau, na forma a x 2 + b x + c = 0 , em que o produto dos coeficientes seja 35, a soma seja 13 e os coeficientes sejam números naturais tais que b < a < c .

Resposta: 5 x 2 + x + 7 = 0 .

34. Em cada item, descubra o valor de para que as condições sejam atendidas.

a) ( 3 + 1 ) x 2 x = 0

Deve ser uma equação do 2º grau.

b) x 2 + ( + 8 ) x 12 = 0

Deve ser uma equação do 2º grau completa.

c) 3 x 2 + x ( + 7 ) = 0

Deve ser uma equação do 2º grau incompleta.

Respostas: a) 1 3 ; b) 8 ; c) = 7 .

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Resolvendo equações do tipo a x 2 + c = 0

Em anos anteriores, você deve ter estudado como resolver equações do 1º grau com uma incógnita, isto é, como determinar o valor da incógnita da equação. Nos tópicos a seguir, aprofundaremos os estudos sobre a resolução de equações, em particular das equações do 2º grau com uma incógnita, visto que muitos problemas podem ser resolvidos por meio de uma equação desse tipo.

Questão 3. Realize uma pesquisa sobre as contribuições de Luca Pacioli e a obra Aritmética, de sua autoria, para a Matemática. Após a realização da pesquisa, registre no caderno as informações mais importantes.

Resposta: Espera-se que os estudantes verifiquem que Luca Pacioli apresentou várias contribuições para a Matemática, entre elas, Contabilidade, Aritmética e equações do 2º grau.

Atenção!

A pesquisa proposta na questão 3 pode ser feita com base em livros, revistas e sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

Analise o que Aline está dizendo.

Fotografia de uma mulher de braços cruzados perguntando: Um número multiplicado por ele mesmo é igual a 49. Qual é esse número?

Podemos responder à pergunta de Aline escrevendo uma equação do 2º grau com uma incógnita. Chamando o número desconhecido de x , temos:

x x = 49

x 2 = 4 9

Para resolver essa equação, precisamos obter um número que, multiplicado por ele mesmo, seja igual a 49. Nesse caso, temos dois números: 7 e 7 .

x = + 4 9

x = 7

7 7 = 4 9

ou

x = 4 9

x = 7

( 7 ) ( 7 ) = 4 9

Assim, o número que responde à pergunta de Aline pode ser 7 ou 7 . Dizemos que esses números são as raízes ou as soluções da equação x 2 = 4 9 .

Atenção!

A equação x 2 = 4 9 tem raízes 7 e 7 . Então, podemos registrá-las por x = 7 ou x = 7 ou por x 1 = 7 e x 2 = 7 .

Analise a seguir a resolução da equação 2 x 2 + 32 = 0 .

2 x 2 + 32 = 0

2 x 2 + 32 32 = 0 3 2

2 x 2 = 3 2

x 2 = 1 6

Como não existe um número real x que elevado ao quadrado seja igual a 1 6 , essa equação não tem solução real.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Efetue os cálculos no caderno e determine as raízes das equações.

a) x 2 = 2 5

b) x 2 16 = 0

c) 2 x 2 128 = 0

d) x 2 144 = 0

e) 3 x 2 + 15 = 12 3

f) x 2 7 = 2

Respostas: a) 5 e 5; b) 4 e 4; c) 8 e 8; d) 1 2 e 12; e) 6 e 6; f) 5 e 5 .

36. Calcule no caderno o valor de x para que a expressão:

a) x 2 1 2 seja igual a 8 ;

b) 2 x 2 7 seja igual a x 2 + 4 2 ;

c) 3 x 2 11 2 seja igual a 2 x 2 + 3 5 .

Respostas: a) 2 ou 2; b) 7 ou 7; c) 9 ou 9.

37. Escreva no caderno uma equação do 2º grau para representar a situação de cada item. Em seguida, resolva essas equações.

a) O quadrado de um número é igual a 121. Qual é esse número?

b) O quadrado de uma quantia em reais menos R$ 45,00 é igual a R$ 396,00. Qual é essa quantia?

Respostas: a) x 2 = 12 1 ; 11 ou 1 1 ; b) x 2 45 = 39 6 ; R$ 21,00.

38. A área do retângulo a seguir mede 54   m 2 . Quais são as medidas de suas dimensões?

Ilustração de um retângulo com base medindo 3 x e altura medindo 2 x.

Resposta: Medida do comprimento: 9   m ; medida da largura: 6   m .

39. Uma piscina é coberta por uma lona retangular cuja área mede 39 2   m 2 . A medida do comprimento da lona é o dobro da medida da largura. De acordo com essas informações, elabore em seu caderno o enunciado de um problema e peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se ele resolveu o problema corretamente.

Resposta pessoal.

40. Entre as equações a seguir, quais não têm raízes reais?

A. 2 x 2 + 18 = 0

B. 1 2 x 2 32 = 0

C. 3 x 2 7 = 2 0

D. x 2 49 = 0

E. 2 3 x 2 + 22 = 0

F. x 2 = 1 6

Resposta: Equações A, D e E.

41. Quais são as possibilidades de quantidade de raízes de uma equação do tipo a x 2 + c = 0 , com a e c números reais e a 0 ? Caso a equação tenha raízes, quais podem ser as relações entre elas?

Espera-se que os estudantes concluam que as equações desse tipo podem ter uma (caso em que as duas raízes são iguais), duas ou nenhuma raiz. Quanto à relação entre as raízes, quando existir, espera-se que eles concluam que elas podem ser iguais ou opostas.

42. A figura a seguir é formada por cinco quadrados congruentes.

Ilustração de 5 quadrados de lado medindo x encostados uns aos outros. Há 3 quadrados na horizontal e no quadrado do meio tem um quadrado a cima dele e outro abaixo dele.

Sabendo que a área dessa figura mede 45   m 2 , determine a medida do comprimento do lado de cada quadrado.

Resposta: 3   m .

43. Ícone desafio. Calcule no caderno a medida do perímetro da figura, sabendo que ela é formada por um quadrado e um triângulo equilátero.

Ilustração de um quadrado com a indicação: Medida da área do quadrado: 256 metros quadrados. E um triângulo encostado e em cima do quadrado, com a base medindo o mesmo tamanho que o lado do quadrado e com um dos lados indicando medir 2 x.

Resposta: 80   m .

Página 99

Resolvendo equações do tipo a x 2 + b x = 0

Antônio cortou dois pedaços de madeira, um com a forma de um quadrado e outro com a forma de um retângulo. Cada um desses pedaços está representado a seguir, e as medidas indicadas estão expressas em centímetros.

Ilustração de um quadrado representando ser de madeira com o lado medindo x.
Ilustração de um retângulo representando ser de madeira com a base medindo 2 x e a altura medindo 2.

Sabendo que esses dois pedaços de madeira têm a mesma medida de área, qual é a medida do perímetro de cada um deles?

Para responder a essa pergunta, precisamos obter o valor de x . Nesse caso, inicialmente escrevemos uma equação e a deixamos na forma reduzida.

Esquema de 3 linhas com a expressão: Primeira linha: x vezes x é igual a 2 x vezes 2. Nessa linha há cotas indicando, no primeiro membro: medida da área do quadrado e no segundo membro: medida da área do retângulo. Segunda linha: x ao quadrado é igual a 4 x. Terceira linha: x ao quadrado menos 4 x é igual a 0.

Temos que x é o fator comum aos dois termos do 1º membro da equação. Por isso, podemos colocá-lo em evidência.

x 2 4 x = 0

x ( x 4 ) = 0

Se o produto de dois fatores é igual a zero, então, um deles é zero. Portanto, x pode assumir dois valores:

x = 0

ou

x 4 = 0

x = 4

Logo, as raízes da equação x 2 4 x = 0 são 0 e 4. Para essa situação, consideremos apenas a raiz x = 4 , pois a medida de comprimento x indicada em um dos pedaços de madeira é maior do que zero.

Agora, calculamos a medida do perímetro do quadrado e do retângulo.

Medida do perímetro do quadrado

x + x + x + x = 4 x = 4 4 = 1 6

16   c m

Medida do perímetro do retângulo

2 x + 2 + 2 x + 2 = 4 x + 4 = 4 4 + 4 = 2 0

20   c m

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

44. Determine as raízes de cada equação.

a) x 2 3 x = 0

b) 4 x 2 = 16 x

c) 0 , 5 x 2 + 10 x = 0

d) x 2 + 5 2 x = 0

e) 3 4 x 2 15 x = 0

f) 9 x 2 + 16 , 8 x = x 2

g) 2 x 2 12 x = x 2 + 5 x

h) x 2 5 x = 4 x 2 2 x

Respostas: a) 0 e 3; b) 0 e 4 ; c) 0 e 2 0 ; d) 0 e 5 2 ; e) 0 e 20; f) 0 e 2 , 1 ; g) 0 e 17; h) 0 e 3 5 .

45. Quantas são as raízes de uma equação do tipo a x 2 + b x = 0 , com a e b números reais não nulos? Quais são as características das raízes desse tipo de equação?

Resposta: Espera-se que os estudantes percebam que as equações do 2° grau desse tipo têm duas raízes reais: uma igual a zero e outra diferente de zero.

46. (Saresp-2005) A equação x 2 + 3 x = 0 :

a) não tem raízes reais.

b) tem uma raiz nula e outra negativa.

c) tem uma raiz nula e outra positiva.

d) tem duas raízes reais e simétricas.

Resposta: Alternativa b.

47. O cubo e o paralelepípedo reto retângulo representados a seguir têm a mesma medida de volume.

Ilustração de um cubo com o lado medindo x.
Ilustração de um paralelepípedo reto retângulo com o comprimento medindo x mais 3, a largura medindo x e a altura medindo x menos 1.

a) Sabendo que as medidas estão em centímetros, quais são as medidas dos comprimentos das arestas dessas figuras geométricas espaciais?

b) Quanto é a medida do volume de cada figura geométrica espacial?

Respostas: a) Cubo: 1,5   cm ; paralelepípedo: 4,5   cm ; 1,5   cm e 0,5   cm ; b) A medida do volume de ambas as figuras é 3 , 37 5   cm 3 .

48. Em cada figura, as retas r , s e t são paralelas. Calcule no caderno o valor de x indicado em cada figura.

Atenção!

Utilize o teorema de Tales para resolver esta atividade.

A. Ilustração de um feixe retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas u e v não paralelas que cruzando transversalmente as retas r, s, t. Parte da reta u que está entre a reta r e a reta s há a indicação que esse segmento mede 3 x e o segmento que está entre a reta s e a reta t mede x. Parte da reta v que está entre a reta r e a reta s há a indicação que esse segmento mede 3 e a parte que está entre a reta s e a reta t mede 2 x.
B. Ilustração de um feixe retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas r, s, t. As retas r, s, t estão na direção vertical. Em cima, na reta u há: um segmento medindo 4 x menos 1 que está entre a reta r e a reta s e um segmento medindo início de fração, numerador: 9 x, denominador: 2, fim de fração que está entre a reta s e a reta t. Embaixo na reta v há: um segmento medindo 4 que está entre a reta r e a reta s e um segmento medindo 6 x que está entre a reta s e a reta t.

Respostas: A. x = 1 2 ; B. x = 1 .

49. De acordo com as figuras a seguir, elabore um problema envolvendo equações do 2º grau e o entregue para um colega resolver. Depois, verifique se a resposta dele está correta.

A. Ilustração de um retângulo com a base medindo 2 x e a altura medindo x menos 3.
B. Ilustração de um triângulo retângulo com a base medindo 2 x e a altura medindo x mais 9.

Resposta pessoal.

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Resolvendo equações do tipo a x 2 + b x + c = 0

Acompanhamos, anteriormente, a resolução de equações do 2º grau incompletas e, agora, resolveremos equações do 2º grau completas, isto é, aquelas em que todos os coeficientes são diferentes de zero.

Podemos calcular as raízes de uma equação do 2º grau completa de várias maneiras, como por meio da fatoração, do método de completar quadrados ou da fórmula resolutiva.

Fatoração

Uma das maneiras de obter as raízes de uma equação do 2º grau completa é por fatoração.

Atenção!

Lembre-se que fatorar é escrever um número ou uma adição algébrica na forma de um produto.

Por exemplo, consideremos a equação x 2 + 6 x + 9 = 3 6 . O 1º membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito. Portanto, podemos escrevê-lo da seguinte maneira:

x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) ( x + 3 ) = ( x + 3 ) 2

A representação geométrica do trinômio x 2 + 6 x + 9 corresponde à medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede ( x + 3 ) .

Medida da área das quatro partes nas quais o quadrado foi dividido:

x 2 + 3 x + 3 x + 9 = x 2 + 6 x + 9

Medida da área do quadrado maior:

( x + 3 ) ( x + 3 ) = ( x + 3 ) 2

Ilustração de um quadrado com o lado medindo x mais 3. Cada lado é dividido em uma medida x e outra medida 3. A medida de x é maior do que 3. O quadrado é composto por: 2 retângulos de lado menor medindo 3, lado maior medindo x, área medindo 3 x; um quadrado menor de lado medindo 3, área medindo 9; um quadrado maior com lado medindo x e área medindo x ao quadrado.

Como as duas expressões obtidas representam a medida da área da mesma figura, temos:

x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) 2

Assim, ( x + 3 ) 2 é a forma fatorada de x 2 + 6 x + 9 .

Agora, voltamos à equação e escrevemos o 1º membro na forma fatorada:

x 2 + 6 x + 9 = 3 6

( x + 3 ) 2 = 3 6

Como há dois números que, elevados ao quadrado, são iguais a 36, temos:

x + 3 = + 3 6

x + 3 = 6

x = 6 3

x = 3

ou

x + 3 = 3 6

x + 3 = 6

x = 6 3

x = 9

Portanto, os números 3 e 9 são as raízes da equação x 2 + 6 x + 9 = 3 6 .

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Método de completar quadrados

Em algumas equações completas do 2º grau, o 1º membro não é um trinômio quadrado perfeito. Nesses casos, para obter as raízes da equação, utilizamos o método de completar quadrados.

Questão 4. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre as contribuições de Al-Khwarizmi e do livro Al-Jabr wa'l muqabalah, de sua autoria, para a Matemática. Depois, registre no caderno as informações que achar mais interessantes.

Resposta: Espera-se que os estudantes verifiquem que Al-Khwarizmi teve várias contribuições para a Matemática e para a Física, entre elas, a escrita de tabelas astronômicas, tratados sobre o relógio de Sol, o desenvolvimento da Álgebra e da Aritmética, entre outras.

Fotografia do rosto do matemático árabe Mohammed ibn Musa Al Khwarizmi.
O método de completar quadrados foi utilizado pelo matemático árabe Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi, por volta de 825 d.C., em seu livro chamado Al-Jabr wa'l muqabalah.

Atenção!

A pesquisa proposta na questão 4 pode ser feita com base em livros, revistas e sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

Acompanhe como podemos obter as raízes da equação x 2 + 10 x + 9 = 0 utilizando esse método.

Nessa equação, o 1º membro não é um trinômio quadrado perfeito. Assim, para que possamos fatorá-la, acrescentamos convenientemente um mesmo número aos dois membros da equação.

Para obter esse número, inicialmente isolamos o termo independente da equação no 2º membro.

x 2 + 10 x + 9 9 = 0 9

x 2 + 10 x = 9

Agora, vamos analisar, por meio de representação geométrica, o 1º membro da equação. Para facilitar essa visualização, trocamos 10 x por 2 5 x .

Ilustração de um quadrado e 2 retângulos com a base encostada um ao lado e outro abaixo do quadrado. Nos 2 retângulos o lado menor mede 5, o lado maior mede x e a área mede 5 x; o quadrado tem lado medindo x e área medindo x ao quadrado.
Esquema com a expressão: x ao quadrado mais 10 x é igual, x ao quadrado mais 2 vezes 5 vezes x. No termo 10 x há a indicação: 10 vezes x é igual a 2 vezes 5 vezes x. No segundo termo x ao quadrado há a indicação: medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede x. No termo 5 vezes x há a indicação: medida da área de um retângulo com dimensões medindo 5 e x.

Na figura, percebemos que, para completar o quadrado, é necessário acrescentar a ela um quadrado com 5 unidades de lado.

1º. Ilustração de um quadrado e 2 retângulos com a base encostada um ao lado e outro abaixo do quadrado. Nos 2 retângulos o lado menor mede 5, o lado maior mede x e a área mede 5 x; o quadrado tem lado medindo x e área medindo x ao quadrado. Há um quadrado menor com lado medindo 5 que está a direita de um retângulo e abaixo do outro como se fosse completar a figura formando uma quadrado maior de lado medindo parte x e parte 5.
2º. Ilustração de um quadrado com o lado medindo x mais 5. Cada lado é dividido em uma medida x e outra medida 5. A medida de x é maior do que 5. O quadrado é composto por: 2 retângulos de lado menor medindo 5, lado maior medindo x, área medindo 5 x; um quadrado menor de lado medindo 5, área medindo 5 ao quadrado; um quadrado maior com lado medindo x e área medindo x ao quadrado.

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Assim, para que a expressão x 2 + 2 5 x seja um trinômio quadrado perfeito, precisamos acrescentar 5 2 a ela.

Esquema com a expressão: x ao quadrado mais 2 vezes 5 vezes x mais 5 ao quadrado é igual a x ao quadrado mais 10 x mais 25. No segundo membro há indicação: trinômio quadrado perfeito.

Logo, para não alterar a igualdade x 2 + 10 x = 9 , precisamos acrescentar 5 2 aos dois membros:

x 2 + 10 x + 5 2 = 9 + 5 2

x 2 + 10 x + 25 = 1 6

Fatorando o 1º membro da equação, obtemos suas raízes.

Esquema com a expressão: abre parênteses x mais 5 fecha parênteses ao quadrado é igual a 16. Há uma cota embaixo da expressão mostrando 2 cálculos de raízes, um para cada lado. Lado esquerdo: na primeira linha: x mais 5 é igual a mais raiz quadrada de 16; na segunda linha: x mais 5 é igual a 4; na terceira linha: x é igual a 4 menos 5 e na quarta linha: x é igual a menos 1. Lado direito: na primeira linha: x mais 5 é igual a menos raiz quadrada de 16; na segunda linha: x mais 5 é igual a menos 4; na terceira linha: x é igual a menos 4 menos 5 e na quarta linha: x é igual a menos 9.

Atenção!

Para comprovar se 1 e 9 são as raízes, substitua cada uma na equação ( x + 5 ) 2 = 1 6 e verifique que a relação de igualdade permanece.

Portanto, as raízes da equação x 2 + 10 x + 9 = 0 são 1 e 9 .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

50. Fatore o 1º membro de cada equação e determine suas raízes.

a) x 2 + 6 x + 9 = 4

b) x 2 + 18 x + 81 = 3 6

c) x 2 + 14 x + 49 = 1 6

d) x 2 24 x + 144 = 2 5

e) x 2 12 x + 36 = 0

Atenção!

Em todas as equações desta atividade, o 1º membro é um trinômio quadrado perfeito.

Respostas: a) ( x + 3 ) 2 = 4 ; 5 e 1 ; b) ( x + 9 ) 2 = 3 6 ; 1 5 e 3 ; c) ( x + 7 ) 2 = 1 6 ; 1 1 e 3 ; d) ( x 12 ) 2 = 2 5 ; 17 e 7; e) ( x 6 ) 2 = 0 ; 6.

51. Utilizando o método de completar quadrados, determine as raízes de cada equação.

a) x 2 + 8 x + 12 = 0

b) x 2 + 6 x 16 = 0

c) x 2 + 12 x 28 = 0

d) x 2 + 10 x + 21 = 0

e) x 2 + 2 x 8 = 7

f) x 2 + 20 x + 105 = 6

Respostas: a) 6 e 2 ; b) 2 e 8 ; c) 2 e 1 4 ; d) 3 e 7 ; e) 3 e 5 ; f) 1 1 e 9 .

52. De acordo com as figuras, escreva no caderno uma equação do 2º grau e determine as suas raízes.

Ilustração duas figuras. A figura da esquerda é composta por: um quadrado e 2 retângulos com a base encostada um ao lado e outro abaixo do quadrado. Nos 2 retângulos o lado menor mede 3, o lado maior mede y; o quadrado tem lado medindo y. A figura da direita é um retângulo com base medindo 8 e altura medindo 5. Em cima da primeira figura há indicação: primeiro membro. Em cima da segunda figura há indicação: segundo membro. Entre as indicações há um sinal de igual.

Atenção!

Para escrever a equação, considere a medida da área total das figuras em cada membro.

Resposta: y 2 + 6 y = 4 0 ; 1 0 e 4.

Página 104

Fórmula resolutiva

Anteriormente, estudamos como resolver equações completas do 2º grau por meio da fatoração e do método de completar quadrados. Outra maneira de obter as raízes desse tipo de equação é por meio da fórmula resolutiva, que é uma generalização desse método.

A seguir, deduziremos a fórmula resolutiva utilizando o método de completar quadrados.

Para isso, começamos com a equação a x 2 + b x + c = 0 , com a , b e c números reais e a 0 .

Primeiro, dividimos cada termo dessa equação por a e isolamos, no 2º membro, o termo independente.

a a x 2 + b a x + c a = 0

x 2 + b a x = c a

Agora, representamos geometricamente o 1º membro da equação.

Para facilitar essa representação, trocamos b a x pela expressão algébrica equivalente 2 b 2 a x .

Esquema com a expressão: x ao quadrado mais início de fração, numerador: b, denominador: a, fim de fração, x é igual a, x ao quadrado mais 2 vezes início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, vezes x. No segundo termo x ao quadrado há indicação: medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede x. No último termo há indicação: medida da área de um retângulo cujas dimensões medem início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração e x.

Na figura a seguir, percebemos que, para completar o quadrado, é necessário acrescentar a ela um quadrado cujo comprimento dos lados mede b 2 a .

Ilustração de um quadrado e 2 retângulos com a base encostada um ao lado e outro abaixo do quadrado. Nos 2 retângulos o lado menor mede início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, o lado maior mede x e a área mede início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, vezes, x; o quadrado tem lado medindo x e área medindo x ao quadrado.
1º. Ilustração de um quadrado e 2 retângulos com a base encostada um ao lado e outro abaixo do quadrado. Nos 2 retângulos o lado menor mede início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, o lado maior mede x e a área mede início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, vezes, x; o quadrado tem lado medindo x e área medindo x ao quadrado. Há um quadrado menor com lado medindo início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração que está a direita de um retângulo e abaixo do outro como se fosse completar a figura formando uma quadrado maior de lado medindo parte x e parte início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração.
2º. Ilustração de um quadrado com o lado medindo x mais início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração. Cada lado é dividido em uma medida x e outra medida início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração. A medida de x é maior do que início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração. O quadrado é composto por: 2 retângulos de lado menor medindo início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, lado maior medindo x, área medindo início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, vezes, x; um quadrado menor de lado medindo início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, área medindo abre parênteses início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração fecha parênteses ao quadrado; um quadrado maior com lado medindo x e área medindo x ao quadrado.

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Assim, para que o 1º termo da equação seja um trinômio quadrado perfeito, precisamos acrescentar ( b 2 a ) 2 aos dois membros da equação:

Esquema com a expressão: x ao quadrado mais início de fração, numerador: b, denominador: a, fim de fração, x mais abre parênteses início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, fecha parênteses ao quadrado é igual a início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, fecha parênteses ao quadrado menos início de fração, numerador: c, denominador: a, fim de fração. No primeiro membro há indicação: trinômio quadrado Perfeito abre parênteses x mais início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, fecha parênteses ao quadrado. No primeiro termo do segundo membro há indicação: início de fração, numerador: b ao quadrado, denominador: 4, a, ao quadrado, fim de fração.

Fatoramos o 1º membro da equação obtida e a desenvolvemos até isolarmos a incógnita x no 1º membro.

Esquema de 5 linhas com a expressão: Primeira linha: abre parênteses x mais início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, fecha parênteses ao quadrado é igual a início de fração, numerador: b ao quadrado, denominador: 4, a, ao quadrado, fim de fração menos início de fração, numerador: c, denominador: a, fim de fração. Segunda linha: abre parênteses x mais início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração, fecha parênteses ao quadrado é igual a início de fração, numerador: b ao quadrado menos 4, a, c, denominador: 4, a ao quadrado, fim de fração. Nessa linha há uma cota no segundo membro com indicação: Se b ao quadrado menos 4, a, c é maior ou igual a zero, podemos extrair a raiz quadrada dos dois membros da equação. Terceira linha: x mais início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração é igual a, mais ou menos raiz quadrada de, início de fração, numerador: b ao quadrado menos 4, a, c, denominador: 4, a, ao quadrado, fim de fração. Quarta linha: x é igual a, menos início de fração, numerador: b, denominador: 2 a, fim de fração mais ou menos início de fração, numerador: raiz quadrada de b ao quadrado menos 4, a, c, denominador: 2 a, fim de fração. Quinta linha: x é igual a início de fração, numerador: menos, b, mais ou menos raiz quadrada de, b, ao quadrado menos, 4, a, c, denominador: 2, a, fim de fração, ou x é igual a, início de fração, numerador: menos, b, mais ou menos, raiz quadrada de, delta que está indicado por um triângulo pequeno, denominador: 2 a, fim de fração. Nessa última linha há uma cota saindo da raiz de delta com a seguinte indicação: Podemos substituir, b ao quadrado menos 4, a, c, por triângulo pequeno abre parênteses, lê-se delta, fecha parênteses, que é chamado discriminante da equação. Há outra cota em toda a linha com indicação: fórmula resolutiva.

Atenção!

O símbolo ± (lê-se mais ou menos) indica que há dois valores associados: um positivo e outro negativo.

Ilustração do alfabeto grego, cada letra está representada na sua forma maiúscula e na forma minúsculo, logoabaixo o nome por extenso. Na primeira linha estão as letras: alfa, beta, gama, delta, épisilon, zéta, eta, théta. Na segunda linha estão as letras: iota, capa, lambida, mu, nu, xi, omicron, pi. Na terceira linha estão as letras: ro, sigma, tau, upisilon, fi, chi, pisi, ômega.
As letras gregas são muito utilizadas em notações matemáticas, entre elas, a delta, que é a 4ª letra do alfabeto grego.

Página 106

Usando a fórmula resolutiva, podemos obter, por exemplo, as raízes da equação x 2 3 x + 2 = 0 . Nela, temos a = 1 , b = 3 e c = 2 . Assim, calculando o valor do discriminante da equação, obtemos:

Δ = b 2 4 a c = ( 3 ) 2 4 1 2 = 9 8 = 1

Sendo assim:

x = b ± Δ 2 a = ( 3 ) ± 1 2 1 = 3 ± 1 2

Consequentemente:

x 1 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

x 2 = 3 1 2 = 2 2 = 1

Portanto, as raízes dessa equação são x 1 = 2 e x 2 = 1 .

Para verificar se a resolução está correta, substituímos os valores de x 1 e x 2 na equação x 2 3 x + 2 = 0 .

x 1 = 2

( 2 ) 2 3 2 + 2 = 0

4 6 + 2 = 0

0 = 0

x 2 = 1

( 1 ) 2 3 1 + 2 = 0

1 3 + 2 = 0

0 = 0

De fato, x 1 = 2 e x 2 = 1 são as raízes da equação.

Equações literais

Na equação a seguir, de incógnita x , também aparece a letra p . Nesse caso, a letra p , chamada parâmetro, faz parte dos coeficientes da equação.

x 2 + 4 p x 5 p 2 = 0

Nessa equação, temos a = 1 , b = 4 p e c = 5 p 2 . Esse tipo de equação é chamado equação literal.

Podemos resolvê-la usando a fórmula resolutiva.

Δ = b 2 4 a c = ( 4 p ) 2 4 1 ( 5 p 2 ) = 3 6 p 2

x = b ± Δ 2 a = 4 p ± 3 6 p 2 2 1 = 4 p ± 6 p 2

Consequentemente:

x 1 = 4 p + 6 p 2 = p

x 2 = 4 p 6 p 2 = 5 p

Portanto, as raízes dessa equação são x 1 = p e x 2 = 5 p .

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Considere agora a equação x 2 + 5 x 4 m = 0 , de incógnita x , que tem uma das raízes igual a 3. Para obter a outra raiz dela, podemos substituir a incógnita x pela raiz conhecida e, assim, determinamos o valor do parâmetro m . Em seguida, resolvemos a equação.

3 2 + 5 3 4 m = 0

9 + 15 4 m = 0

m = 24 4

m = 6

Substituímos o valor de m e resolvemos a equação.

x 2 + 5 x 4 6 = 0

x 2 + 5 x 24 = 0

Consequentemente, x 1 = 8 e x 2 = 3 .

Portanto, a outra raiz dessa equação é 8 .

Equações fracionárias

As equações que apresentam pelo menos uma fração com incógnita em seu denominador são chamadas equações fracionárias. Nelas, o denominador de cada fração deve ser diferente de zero.

Acompanhe como podemos obter as raízes da equação fracionária 3 x 4 2 = 5 x , com x 4 e x 0 .

Calculamos inicialmente o mmc de x e x 4 , que é x ( x 4 ) , e multiplicamos cada termo da equação pelo mmc para eliminarmos os denominadores. Em seguida, simplificamos a equação, deixando-a na forma reduzida, e usamos a fórmula resolutiva, obtendo, assim, as raízes da equação.

3 x 4 2 = 5 x

3 x 4 x ( x 4 ) 2 x ( x 4 ) = 5 x x ( x 4 )

3 x 2 x ( x 4 ) = 5 ( x 4 )

3 x 2 x 2 + 8 x = 5 x 2 0

2 x 2 + 6 x + 20 = 0

Atenção!

As raízes desta equação devem ser diferentes de 0 e de 4. Caso contrário, um dos denominadores se anularia.

Utilizando a fórmula resolutiva, por exemplo, obtemos x 1 = 2 e x 2 = 5 .

Por fim, verificamos se as raízes obtidas atendem às condições de existência da equação.

2 0

2 4

5 0

5 4

Portanto, as raízes da equação são x 1 = 2 e x 2 = 5 .

Página 108

Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Resolva no caderno as equações do 2º grau a seguir usando a fórmula resolutiva.

a) x 2 7 x + 6 = 0

b) a 2 + 3 a 18 = 0

c) 2 y 2 6 y 20 = 0

d) 4 y 2 + 8 y + 3 = 0

e) 7 x 2 21 x = 0

f) a 2 2 a 9 = 0

Respostas: a) 1 e 6; b) 6 e 3; c) 2 e 5; d) 1 2 e 3 2 ; e) 0 e 3; f) 1 + 1 0 e 1 1 0 .

54. Jorge é professor de Matemática e sempre que lhe fazem alguma pergunta durante a aula, gosta de usar a Matemática em sua resposta. Analise o que ele respondeu quando lhe perguntaram a idade de seus filhos.

Ilustração de uma aluna perguntando ao professor: Professor Jorge, qual é a idade de seus filhos? O professor responde: Paula é mais velha do que Henrique, e a idade deles, em anos, corresponde às raízes dessa equação. No fundo deles a uma lousa com a expressão: x ao quadrado menos 26 x mais 165 é igual a 0.

Qual é a idade dos filhos do professor Jorge?

Resposta: Paula: 15 anos; Henrique: 11 anos.

55. No caderno, escreva cada equação na forma reduzida e, em seguida, resolva-as da maneira que preferir.

a) 3 ( 6 x 6 ) + 2 x 2 = x 2 + 11 x 2 8

b) 5 ( 2 x + 3 ) 3 x 2 = 1 2 x 2

c) 2 x ( x 4 ) + 5 = x 2 + 7 x 7

d) ( x + 2 ) ( 2 x 3 ) = 5 x 2 + x 11 4

Respostas: a) x 2 + 7 x + 10 = 0 ; 5 e 2 ; b) x 2 + 10 x 16 = 0 ; 2 e 8; c) 3 x 2 15 x + 12 = 0 ; 1 e 4; d) 3 x 2 + 108 = 0 ; 6 e 6.

56. Sabendo que as medidas dos comprimentos dos lados das figuras a seguir estão indicadas em metros, determine o valor de x e a medida do perímetro de cada figura.

A. Ilustração de um retângulo com a base medindo 2 x e a altura medindo x mais 1. Há a indicação: Medida da Área:24 metros quadrados.
B. Ilustração de um triângulo retângulo com base medindo 3 x menos 2, altura medindo x mais 1 e hipotenusa medindo 2 x mais 1. Há a indicação: Medida da Área: 6 metros quadrados.

Respostas: A. x = 3 ; 20   m ; B. x = 2 ; 12   m .

57. As medidas indicadas no triângulo a seguir estão expressas em centímetros.

Ilustração de um triângulo retângulo com base medindo 3 x mais 3, altura medindo x mais 6 e hipotenusa medindo 6 x menos 3.

Medida do perímetro: 36   cm

Medida da área: 54   cm 2

a) Utilizando a medida do perímetro desse triângulo, escreva uma equação que possibilite determinar o valor de x .

b) Utilizando a medida da área desse triângulo, escreva uma equação que possibilite determinar o valor de x .

c) Entre as equações obtidas nos itens a e b, qual é do 2º grau?

d) Determine a medida do comprimento de cada lado do triângulo resolvendo a equação escrita no item b.

Respostas: a) 10 x 30 = 0 ; b) 3 x 2 + 21 x 90 = 0 ; c) A equação obtida no item b; d) 9   cm , 12   cm e 15   cm .

Página 109

58. Ao determinar as raízes da equação x 2 x 6 = 0 , obtemos dois números:

a) pares.

b) ímpares.

c) cuja soma é igual a 1.

d) cujo produto é igual a 1 .

Resposta: Alternativa c.

59. Sabendo que a soma dos quadrados de dois números inteiros e consecutivos é 113, determine esses números.

Resposta: 7 e 8 e 8 e 7 .

60. Calcule no caderno o valor de x na figura a seguir.

Ilustração de um feixe retas paralelas r, s, t em que s está entre r e t, com duas retas u e v não paralelas que cruzam transversalmente as retas r, s, t. As retas r, s, t estão oblíquas em relação às retas r, s e t. Em cima, na reta u há: um segmento medindo 3 x que está entre a reta r e a reta s e um segmento medindo 2 x mais 6 que está entre a reta s e a reta t. Embaixo na reta v há: um segmento medindo 2 x que está entre a reta r e a reta s e um segmento medindo 2 x menos 4 que está entre a reta s e a reta t.

Resposta: x = 1 2 .

61. Para obtermos a quantidade de diagonais de um polígono convexo, podemos utilizar a seguinte fórmula:

D = n ( n 3 ) 2

n : quantidade de lados

D : quantidade de diagonais

Usando essa fórmula, podemos calcular, por exemplo, quantos lados tem um polígono convexo com 14 diagonais, da seguinte maneira:

14 = n ( n 3 ) 2

n ( n 3 ) = 14 2

n 2 3 n = 2 8

n 2 3 n 28 = 0

No caderno, resolva essa equação e determine quantos lados tem esse polígono convexo.

Resposta: 7 lados.

62. As medidas indicadas no paralelepípedo reto retângulo estão em centímetros. Calcule a medida do volume desse paralelepípedo, sabendo que a medida da área de sua planificação é 18 8   cm 2 .

Ilustração de um paralelepípedo reto retângulo com o comprimento medindo x mais 2, a largura medindo 2 x menos 1 e a altura medindo 4.

Resposta: 16 8   cm 3 .

63. Escreva no caderno uma equação para representar as informações de cada item, usando a incógnita x , e resolva-a.

a) O quadrado de um número é igual a 8 menos o dobro desse número.

b) O quadrado de um número mais seu dobro é igual a esse número mais 2.

Respostas: a) x 2 = 8 2 x ; 4 e 2; b) x 2 + 2 x = x + 2 ; 2 e 1.

64. Para produzir morangos, um agricultor utiliza um terreno retangular cuja medida da área é 60 0   m 2 . Com o objetivo de aumentar a produção, o agricultor decidiu aumentar as medidas do terreno em x metros na largura e x + 8 metros no comprimento.

Ilustração de um retângulo que representa a vista de um terreno em que parte dele está com plantação e a outra parte não e será aumentada. O lado menor da parte plantada mede 20 metros e será aumentado x. O lado maior da parte plantada mede 30 metros e será aumentada em x mais 8.

Qual deve ser o valor de x para que a medida da área de plantio seja aumentada em 1 . 000   m 2 ?

Resposta: 12   m .

Página 110

65. Usando a fórmula da atividade 61, efetue os cálculos no caderno e determine quantos lados tem um polígono convexo com:

a) 20 diagonais;

b) 35 diagonais;

c) 65 diagonais;

d) 90 diagonais.

Respostas: a) 8 lados; b) 10 lados; c) 13 lados; d) 15 lados.

66. O produto de um número inteiro x por seu consecutivo é igual a 380. Quais são esses números?

Resposta: 19 e 20 ou 2 0 e 1 9 .

67. Determine as raízes das equações literais, a seguir, com incógnita x .

a) x 2 3 p x 4 p 2 = 0

b) 9 x 2 + 6 p x + 3 p 2 = 0

c) 3 p x 2 + 2 p x 5 p = 0

d) 3 p 2 x 2 5 p x 2 = 0

e) 6 x 2 12 p x = 0

f) 2 p x 2 8 p = 0

Respostas: a) 4 p e p ; b) p 3 e p ; c) 5 3 e 1 ; d) 2 p e 1 3 p , com p 0 ; e) 0 e 2 p ; f) 2 e 2.

68. Obtenha, se existirem, as raízes das equações fracionárias a seguir.

a) x 2 + 9 2 x = 5 , com x 0 .

Resposta: 9 e 1 .

b) x + 10 x = 5 , com x 0 .

Resposta: Não tem raízes reais.

c) x 21 11 = 11 x + 1 , com x 1 .

Resposta: 10.

d) 4 x 2 = 2 6 x , com x 0 e x 2 .

Resposta: 1 e 6.

e) 4 x + 2 = 3 x + 1 , com x 0 e x 1 .

Resposta: Não tem raízes reais.

f) x 2 ( x + 1 ) + x 3 x + 1 = 0 , com x 1 e x 1 3 .

Resposta: 0 e 3.

g) 2 x + 1 3 x = 2 x x + 1 , com x 0 e x 1 .

Resposta: Não tem raízes reais.

69. Em cada equação, com incógnita x , foi apresentada uma das raízes. Determine no caderno a outra raiz.

A. x 2 + 6 x 4 m = 0

Raiz: x = 2

B. x 2 9 m 4 = 0

Raiz: x = 7

Respostas: A. x = 8 ; B. x = 7 .

70. Para que a expressão x + 1 x , com x 0 , seja igual a 2 x 3 4 , qual deve ser o valor de x ?

Resposta: 1 2 ou 4.

71. Para divulgar uma peça de teatro que seria apresentada na escola, Leandro e alguns amigos ficaram responsáveis pela distribuição de 84 panfletos. No dia da distribuição, 3 pessoas não puderam participar dela. Com isso, cada pessoa entregou 9 panfletos a mais. Para saber quantas pessoas entregaram os panfletos, podemos representar por x o número de pessoas que combinaram de distribuí-los e escrever a seguinte equação.

Esquema com a expressão: início de fração, numerador: 84, denominador: x menos 3, fim de fração é igual a início de fração, numerador: 84, denominador: x, fim de fração mais 9. Há também as indicações ao lado: Com x diferente de 3 e x diferente de 0. No primeiro membro há indicação: quantidade de panfletos distribuídos por pessoa. No segundo membro há indicação: quantidade de panfletos que seriam distribuídos por pessoa.

a) Resolva no caderno essa equação e determine quantas pessoas distribuíram os panfletos.

b) Quantos panfletos cada pessoa entregou?

Respostas: a) x = 7 ; 4 pessoas; b) 21 panfletos.

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Estudo das raízes de uma equação do 2º grau

O discriminante e a quantidade de raízes

Analise três equações do 2º grau que Bruna resolveu. Em cada resolução, verifique o valor de Δ e a quantidade de raízes de cada equação.

A.

x 2 + 3 x 4 = 0

Δ = 3 2 4 1 ( 4 )

Δ = 9 + 16

Δ = 2 5

x = 3 ± 2 5 2 1

Consequentemente:

x 1 = 3 + 5 2 = 1

x 2 = 3 5 2 = 4

B.

x 2 + 6 x + 9 = 0

Δ = 6 2 4 1 9

Δ = 36 36

Δ = 0

x = 6 ± 0 2 1

Consequentemente:

x 1 = 6 + 0 2 = 3

x 2 = 6 0 2 = 3

x 1 = x 2 = 3

C.

2 x 2 + 2 x + 7 = 0

Δ = 2 2 4 2 7

Δ = 4 5 6

Δ = 5 2

x = 2 ± 5 2 2 2

A equação não tem raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.

De modo geral, na resolução de qualquer equação do 2º grau, temos três casos.

  • Se Δ é um número positivo ( Δ > 0 ), a equação tem duas raízes reais e diferentes.
  • Se Δ é igual a zero ( Δ = 0 ), a equação tem duas raízes reais e iguais.
  • Se Δ é um número negativo ( Δ < 0 ), a equação não tem raízes reais.

Relações envolvendo as raízes e os coeficientes

Usando os coeficientes de uma equação do 2º grau na forma a x 2 + b x + c = 0 , podemos escrever duas relações envolvendo a soma ( S ) e o produto ( P ) de suas raízes x 1 e x 2 .

Para determinar essas relações, consideremos x 1 e x 2 da seguinte maneira:

x 1 = b + Δ 2 a e x 2 = b Δ 2 a , em que Δ = b 2 4 a c

Podemos estabelecer essas relações da seguinte maneira.

Soma das raízes

S = x 1 + x 2 = b + Δ 2 a + b Δ 2 a = b + Δ b Δ 2 a = b b 2 a = 2 b 2 a = b a

Página 112

Produto das raízes

P = x 1 x 2 = b + Δ 2 a b Δ 2 a = ( b + Δ ) ( b Δ ) 4 a 2 = ( b ) 2 ( Δ ) 2 4 a 2 =

= b 2 Δ 4 a 2 = b 2 ( b 2 4 a c ) 4 a 2 = b 2 b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a

Assim:

S = x 1 + x 2 = b a

P = x 1 x 2 = c a

Atenção!

As relações de soma e produto das raízes possibilitam resolver algumas equações do 2º grau de maneira prática.

Quando o coeficiente a da equação do 2º grau é 1, podemos obter mentalmente suas raízes utilizando as relações de soma e produto.

S = b a = b 1 = b

P = c a = c 1 = c

Assim, se a = 1 , a soma das raízes é o oposto do coeficiente b e o produto das raízes é o próprio coeficiente c .

Podemos obter as raízes da equação x 2 + 7 x + 10 = 0 usando essas relações da seguinte maneira.

Inicialmente, determinamos dois números cuja soma seja o oposto do coeficiente b , nesse caso, ( + 7 ) = 7 . Algumas possibilidades são:

1 e 6

2 e 5

4 e 3

1 0 e 3

9 e 2

Como o produto das raízes é o coeficiente c , ou seja, 10, as raízes são 2 e 5 , pois elas satisfazem as duas relações.

S = 2 + ( 5 ) = 7

e

P = ( 2 ) ( 5 ) = 1 0

Analise, agora, a seguinte situação.

Uma das raízes da equação 2 x 2 7 x + 3 = 0 é x 1 = 1 2 . Podemos obter a outra raiz dessa equação sem utilizar a fórmula resolutiva. Faremos isso de duas maneiras, utilizando as relações de soma ( S ) e produto ( P ) das raízes.

x1+x2=ba

12+x2=(7)2

x 2 = 7 2 1 2

x 2 = 6 2

x 2 = 3

x 1 x 2 = c a

1 2 x 2 = 3 2

x 2 2 = 3 2

x 2 = 3

Note que, tanto na relação da soma das raízes quanto na de produto, chegamos à mesma solução. Logo, a outra raiz dessa equação é x 2 = 3 .

Página 113

Com as relações de soma e produto das raízes, podemos escrever uma equação do 2º grau do tipo a x 2 + b x + c = 0 , com a 0 , de outra maneira.

Inicialmente, vamos dividir todos os termos da equação por a .

a x 2 a + b x a + c a = 0

x 2 + b x a + c a = 0

Substituindo as relações S = b a e P = c a na equação, obtemos:

x 2 ( b a ) x + c a = 0

x 2 S x + P = 0

Atenção!

Note que b a x = ( b a ) x .

Essa forma é útil para escrever uma equação do 2º grau, conhecendo suas raízes. Por exemplo, para escrever uma equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 7 , procedemos da seguinte maneira:

S = x 1 + x 2 = 1 + ( 7 ) = 1 7 = 6

P = x 1 x 2 = 1 ( 7 ) = 7

x 2 S x + P = 0

x 2 ( 6 ) x + ( 7 ) = 0

x 2 + 6 x 7 = 0

Equação do 2º grau e sua forma fatorada

Vamos escrever a equação do 2º grau a x 2 + b x + c = 0 , com a 0 , cujas raízes reais são x 1 e x 2 , em sua forma fatorada. Para isso, executamos as seguintes etapas.

1º. Colocamos o coeficiente a em evidência.

a ( x 2 + b a x + c a ) = 0

2º. Se x 1 + x 2 = b a e x 1 x 2 = c a , escrevemos:

a [ x 2 ( x 1 + x 2 ) x + ( x 1 x 2 ) ] = 0

a [ x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 ] = 0

3º. Colocando os fatores comuns em evidência, obtemos a forma fatorada da equação do 2º grau.

a [ x ( x x 1 ) x 2 ( x x 1 ) ] = 0

a ( x x 1 ) ( x x 2 ) = 0

Agora, escreveremos uma equação do 2º grau cujas raízes são 2 e 7 usando a forma fatorada.

a ( x 2 ) [ x ( 7 ) ] = 0

a ( x 2 + 7 x 2 x 14 ) = 0

a ( x 2 + 5 x 14 ) a = 0 a

x 2 + 5 x 14 = 0

Portanto, a equação cujas raízes são 2 e 7 é x 2 + 5 x 14 = 0 .

Página 114

Atividades

Faça as atividades no caderno.

72. Calcule no caderno o discriminante ( Δ ) e descubra quantas raízes cada equação tem. Depois, obtenha, se existirem, as raízes de cada uma delas.

a) 4 x 2 + 8 x + 32 = 0

Resposta: Δ > 0 . Duas raízes reais diferentes. 2 e 4.

b) 3 x 2 5 x = 3

Resposta: Δ < 0 . Não tem raízes reais.

c) 1 2 x 2 8 = 3 x

Resposta: Δ > 0 . Duas raízes reais diferentes. 8 e 2.

d) x 2 8 x + 2 = 0

Resposta: Δ = 0 . Duas raízes reais iguais a 4.

73. Utilizando as relações, determine a soma S e o produto P das raízes de cada equação.

a) x 2 + 2 x 8 = 0

b) 5 x 2 + 25 x 3 = 0

c) 2 x 2 + 16 = 0

d) x 2 7 = 0

Respostas: a) S = 2 ; P = 8 ; b) S = 5 ; P = 3 5 ; c) S = 0 ; P = 8 ; d) S = 0 ; P = 7 .

74. Considere a equação literal 2 n x 2 2 x + 5 = 0 , de incógnita x . Nessa equação, temos a = 2 n , b = 2 e c = 5 . A fim de determinar valores de n , com n 0 , para os quais a equação tem duas raízes reais diferentes, procedemos da seguinte maneira.

Esquema de 8 linhas com a expressão: Primeira linha: delta maior do que 0. Segunda linha: b ao quadrado menos 4, a, c, maior do que 0. Terceira linha: abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao quadrado menos 4 vezes 2, n ,vezes 5, maior do que 0. Quarta linha: 4 menos 40 n maior do que 0. Quinta linha: menos 40 n maior do que menos 4. Sexta linha: 40 n menor do que 4. Sétima linha: n menor do que início de fração, numerador: 4, denominador: 40, fim de fração. Oitava linha: n menor do que início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração. Nas 3 primeiras linhas há uma cota indicando: Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes, devemos ter delta maior do que 0. Então, escrevemos a inequação: b ao quadrado menos 4, a, c, maior do que 0 e substituímos os valores dos coeficientes. Na quinta e sexta linha há uma cota indicando: Multiplicamos os dois membros da inequação por menos 1. Com isso, invertemos a desigualdade.

Portanto, quando n < 1 10 , com n 0 , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Agora, determine para quais valores de n essa equação:

a) tem duas raízes reais iguais;

b) não tem raízes reais.

Respostas: a) n = 1 10 ; b) n > 1 10 .

75. Determine as raízes de cada equação efetuando mentalmente os cálculos da soma e do produto das raízes.

a) x 2 8 x + 15 = 0

b) x 2 3 x + 2 = 0

c) x 2 11 x + 28 = 0

Respostas: a) 3 e 5; b) 1 e 2; c) 4 e 7.

76. De acordo com as raízes em cada item, escreva uma equação do 2º grau, na forma reduzida, com incógnita x e coeficiente de x 2 igual a 1.

a) x 1 = 4 e x 2 = 5

b) x 1 = 1 e x 2 = 2

c) x 1 = 3 e x 2 = 3

d) x 1 = 0 e x 2 = 1 5

Respostas: a) x 2 9 x + 20 = 0 ; b) x 2 x 2 = 0 ; c) x 2 3 = 0 ; d) x 2 15 x = 0 .

77. Uma das raízes da equação x 2 3 x 10 = 0 é 2 . Utilizando a forma fatorada, determine a outra raiz.

Respostas: 5.

78. No caderno, elabore dois problemas semelhantes ao apresentado na atividade anterior e peça a um colega que os resolva. Depois, verifique se as respostas dele estão corretas.

Resposta pessoal.

79. Utilizando as relações de soma e produto das raízes, determine a outra raiz de cada equação.

a) x 2 3 x 10 = 0 ; x 1 = 5

b) 3 x 2 7 x + 2 = 0 ; x 1 = 2

c) 2 x 2 3 x 5 = 0 ; x 1 = 5 2

Atenção!

Em cada item é dada uma equação e uma de suas raízes.

Respostas: a) x 2 = 2 ; b) x 2 = 1 3 ; c) x 2 = 1 .

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Escreva, em uma folha de papel avulsa, um trinômio quadrado perfeito para representar a medida da área do quadrado roxo.

Ilustração de um quadrado com o lado medindo 2 x. Cada lado tem uma parte medindo y, indicada em dois lados no mesmo vértice. O quadrado é composto por: 1 quadrado menor formado pelo tracejado de lado y, 1 quadrado roxo maior de lado desconhecido e 2 retângulos de lado menor medindo y, lado maior com a mesmo tamanho que o lado do quadrado roxo.

Resposta: 4 x 2 4 x y + y 2 .

2. Em uma folha de papel avulsa, associe a diferença de quadrados à sua forma fatorada. Para isso, escreva a letra e o número correspondentes.

A. x 2 9

B. x 2 1 6

C. x 2 2 5

1. ( x + 5 ) ( x 5 )

2. ( x + 4 ) ( x 4 )

3. ( x + 3 ) ( x 3 )

Resposta: A-3; B-2; C-1.

3. Copie os itens em uma folha de papel avulsa e substitua cada por um dos polinômios a seguir, de modo que a igualdade permaneça.

  • ( x + 7 )

  • ( 2 y + 3 )

  • ( 2 x + 2 y )

  • ( 2 x + 2 y )

  • ( 2 y 3 )

a) ( x 7 ) = x 2 4 9

b) = 4 y 2 9

c) 9 x + = 4 x 2 + 4 y 2 + 9 x

Respostas: a) ( x + 7 ) ( x 7 ) = x 2 4 9 ; b) ( 2 y + 3 ) ( 2 y 3 ) = 4 y 2 9 ou ( 2 y 3 ) ( 2 y + 3 ) = 4 y 2 9 ; c) 9 x + ( 2 x + 2 y ) ( 2 x + 2 y ) = 4 x 2 + 4 y 2 + 9 x ou 9 x + ( 2 x + 2 y ) ( 2 x + 2 y ) = 4 x 2 + 4 y 2 + 9 x .

4. O produto da idade de João pelo dobro da idade de José é igual a 280. José tem 4 anos a menos do que João. Chamando a idade de João de x , escreva, em uma folha de papel avulsa, uma equação do 2º grau, na forma reduzida, que represente essa situação.

Resposta: 2 x 2 8 x 280 = 0 .

5. A medida da área do paralelogramo a seguir é igual à medida de seu perímetro.

Ilustração de um paralelogramo com base medindo 5 x menos 4, e lados paralelos medindo x mais 2 e a altura indicada medindo x mais 1.

a) Escreva, em uma folha de papel avulsa, uma equação do 2º grau, na forma reduzida, que represente essa igualdade.

b) A equação do 2º grau que você escreveu é completa ou incompleta? Quais são seus coeficientes?

Respostas: a) 5 x 2 11 x = 0 ; b) Incompleta; a = 5 ; b = 1 1 ; c = 0 .

6. A soma das medidas das áreas de todas as faces de um cubo, de aresta com comprimento medindo x , é igual a 1.176   c m 2 . Escreva, em uma folha de papel avulsa, uma equação que represente essa situação. Depois, determine a medida do comprimento de cada aresta do cubo.

Resposta: 6 x 2 = 1 . 176 ; x = 14   cm .

7. Guilherme pediu a um amigo que descobrisse a quantia em reais que ele tinha na carteira. Para isso, deu a seguinte dica:

O dobro do quadrado da quantia que tenho mais o quádruplo da quantia que tenho é igual ao triplo do quadrado dessa quantia menos dez vezes a quantia que tenho.

Quantos reais Guilherme tinha na carteira?

Resposta: R$ 14,00.

8. (OBM-2006) A soma de 3 números naturais consecutivos é igual ao produto desses 3 números. A soma dos quadrados desses números é:

a) 14

b) 15

c) 18

d) 24

e) 36

Resposta: Alternativa a.

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9. A medida do comprimento de um terreno retangular cuja área mede 240   m 2 é 8   m maior do que a medida de sua largura.

a) Em uma folha de papel avulsa, escreva uma equação de incógnita x que relacione as medidas dos comprimentos dos lados desse terreno com a sua medida de área.

b) Resolva, em uma folha de papel avulsa, essa equação utilizando o método de completar quadrados e determine as medidas das dimensões desse terreno.

Respostas: a) x 2 + 8 x 240 = 0 ; b) Medida do comprimento: 20   m ; medida da largura: 12   m .

10. Paulo vai cercar o jardim que há no terreno de sua casa, representado na figura a seguir. Na imagem, o fio em vermelho representa a cerca que será construída.

Ilustração da vista de um terreno de uma casa em formato retangular. Parte desse retângulo representa o jardim que tem formato de quadrado com lado medindo parte x e parte 1 metro. A parte com medida de x é maior do que a parte com medida 1 metro.

Sabendo que a área do jardim mede 15   m 2 , calcule, em uma folha de papel avulsa o valor de x que aparece na figura e a medida do comprimento dessa cerca.

Resposta: x = 3   m ; 8   m .

11. Um triângulo com o comprimento da base e da altura medindo, respectivamente, 8   cm e 6   cm teve um aumento de 2 x   cm na medida do comprimento da base e de x   cm na medida do comprimento da altura. Qual deve ser o valor de x para que a medida da área do triângulo seja aumentada em 39   cm 2 ?

Resposta: 3   cm .

12. (Obmep-2006) No dia de seu aniversário, em 2006, o avô de Júlia disse a ela: "Eu nasci no ano x 2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?".

a) 61

b) 64

c) 67

d) 70

e) 72

Resposta: Alternativa d.

13. (IFSP-2011) Considere a equação do 2º grau, em x , dada por 2 x 2 + b x + c = 0 . Se as raízes dessa equação são r 1 = 2 e r 2 = 3 , então a diferença b c é igual a:

a) 8

b) 14

c) 19

d) 23

e) 27

Resposta: Alternativa b.

14. Eduardo pensou em um número x que, dividido por 2, é igual a 3 2 dividido por ( x 16 ) .

a) Represente essa situação em uma folha de papel avulsa.

b) Em que número Eduardo pensou?

Respostas: a) x 2 = 32 x 16 , com x 1 6 ; b) 8.

15. Uma empresa de táxi compra diariamente 560   L de combustível para abastecer sua frota. Essa quantidade de combustível é dividida igualmente entre os táxis da frota. Em certo dia, 2 táxis estavam quebrados e o combustível destinado a eles foi dividido igualmente entre os demais. Sabendo que nesse dia cada táxi recebeu 5   L a mais do que recebe diariamente, qual é a quantidade de táxis da frota?

Resposta: 16 táxis.

16. Se multiplicarmos as raízes reais da equação 6 x 2 26 x + 24 = 0 , obteremos um número:

a) primo.

b) ímpar.

c) par.

d) menor do que 2.

e) maior do que 6.

Resposta: Alternativa c.