Medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano

Imagine um plano cartesiano construído em uma malha quadriculada na qual estão indicados os pontos A e B, cujas coordenadas são diferentes. Considerando como unidade de medida o comprimento de cada lado dos quadradinhos da malha, traçamos um segmento AB que une os pontos A e B. A medida do comprimento desse segmento é igual à medida da distância entre os pontos A e B.

A seguir, vamos calcular a medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Para isso, analisaremos inicialmente dois casos.

Abscissas iguais

Os pontos A e B têm abscissas iguais. Nesse caso, a medida da distância entre esses pontos é dada por $AB=\left|7-1\right|=6$, ou seja, 6 unidades de comprimento ($6\mathrm{u}.\mathrm{c}.$).

Ordenadas iguais

Os pontos C e D têm ordenadas iguais. Nesse caso, a medida da distância entre esses pontos é dada por $CD=\left|8-2\right|=6$, ou seja,$6\mathrm{u}.\mathrm{c}.$

E como fazer para determinar a medida da distância entre dois pontos que têm abscissas e ordenadas respectivamente diferentes?

Nesses casos, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, assunto que você estudou na unidade 6 deste volume.

Como exemplo, vamos calcular a medida da distância entre os pontos $E(2,2)$ e $F(6,5)$ no plano cartesiano. Para isso, vamos construir inicialmente um plano cartesiano na malha quadriculada, indicar esses pontos e traçar o segmento EF, cuja medida do comprimento é igual à medida da distância entre os pontos E e F.

Note que não é possível contar quantas unidades de comprimento há entre E e F, mas podemos determinar quantas unidades têm a projeção de $\overline{EF}$ no eixo x e no eixo y.

Indicando no plano cartesiano o ponto G, de forma que $\overline{EG}$ seja paralelo ao eixo x e que $\overline{GF}$ seja paralelo ao eixo y, obtemos o triângulo retângulo EFG, cujos catetos medem 4 e 3 unidades de comprimento.

Assim, para determinar a medida da distância entre E e F, calculamos a medida do comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo EFG usando o teorema de Pitágoras.

Portanto, a medida da distância entre os pontos E e F é 5 u.c.

Questão 1. Apresentamos, anteriormente, um caso em que foi necessário utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano e casos em que o teorema não foi necessário. Explique a um colega por que isso ocorreu.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que, nos casos em que as abscissas ou as ordenadas dos pontos são iguais, é possível contar quantas unidades de comprimento há entre os pontos, bastando realizar a projeção nos eixos e efetuar uma subtração. Já no caso em que as abscissas ou as ordenadas dos pontos são respectivamente diferentes, é necessário utilizar o teorema de Pitágoras, pois não é possível contar quantas unidades de comprimento há entre os pontos.

Medida da área e do perímetro de figuras planas construídas no plano cartesiano

De acordo com o que foi estudado até agora, vamos determinar a medida do perímetro e a medida da área de polígonos no plano cartesiano.

A seguir, apresentamos um retângulo e um triângulo retângulo no plano cartesiano.

Para calcular a medida do perímetro do triângulo, por exemplo, vamos determinar inicialmente a medida do comprimento de todos os lados.

Agora, calculamos a medida do perímetro P.

$P=6+4+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}$

Conhecendo a medida do comprimento dos lados EF e EG, podemos calcular a medida da área A do triângulo retângulo da seguinte maneira:

$A=\frac{EF\cdot EG}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12$

Portanto, a medida do perímetro e a medida da área do triângulo são $\left(10+2\sqrt{13}\right)$ u.c. e 12 u.a. (unidades de área), respectivamente.

Questão 2. Utilizando os mesmos procedimentos apresentados, determine em seu caderno a medida da área e a medida do perímetro do retângulo representado no plano cartesiano.

Resposta: 21 unidades de área; 20 unidades de comprimento.

Ponto médio de um segmento de reta

Analise o que Fábio está falando.

No plano cartesiano a seguir, está representado o segmento AB e seu ponto médio M.

Quais são as coordenadas do ponto médio M do segmento AB?

Para responder a essa pergunta, vamos considerar as projeções do segmento AB nos eixos x e y e fazer a seguinte análise.

• Em relação ao eixo x, o valor 2 divide a projeção de $\overline{AB}$ em dois segmentos congruentes.
• Em relação ao eixo y, o valor 2,5 divide a projeção de $\overline{AB}$ em dois segmentos congruentes.

Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento AB são $M\left(2;2,5\right)$.

Questão 3. No caderno, determine as coordenadas do ponto médio do segmento CD indicado no plano cartesiano a seguir.

Resposta: $\left(0,5;3\right)$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. No plano cartesiano a seguir, foram dispostos alguns pontos.

a) Determine as coordenadas desses pontos.

b) Calcule a medida da distância entre a origem e cada um desses pontos.

Respostas: a) $A\left(4,0\right)$; $B\left(3,3\right)$; $C\left(-3,-2\right)$; $D\left(-4,4\right)$; $E\left(2,-3\right)$; b) A: $4\text{u.c.}$; B: $3\sqrt{2}\text{u.c.}$; C: $\sqrt{13}\text{u.c.}$; D: $4\sqrt{2}\text{u.c.}$; E: $\sqrt{13}\text{u.c.}$

2. Calcule a medida do perímetro de cada polígono a seguir.

Resposta: $P_{ABC}=12\text{u.c.}$; $P_{DEF}$ $=\left(6+6\sqrt{2}\right)\text{u.c.}$; $P_{GHIJ}=4\sqrt{13}\text{u.c.}$

3. Sabendo que $\left(2,2\right)$ são as coordenadas do ponto médio de $\overline{AB}$ e $B\left(6,5\right)$, determine a medida do comprimento do segmento $AB$.

Resposta: 10 u.c.

4. A seguir, estão representados dois polígonos no plano cartesiano.

Calcule:

a) a medida do perímetro de cada polígono.

Resposta: $P_{ABCD}=\left(8+2\sqrt{13}\right)\text{u.c.}$; $P_{EFG}=\left(9+\sqrt{41}\right)\text{u.c.}$

b) a medida da área de cada polígono.

Resposta: $A_{ABCD}=12\text{u.a.}$; $A_{EFG}=10\text{u.a.}$

5. Analise o polígono a seguir.

Agora, pense em uma estratégia para calcular a medida da área desse polígono e calcule essa medida.

Resposta: $A=30\text{u.a.}$

6. Considere o triângulo $ABC$ a seguir.

a) O triângulo $ABC$ é isósceles?

b) Determine as coordenadas dos pontos $D$, $E$ e $F$ sabendo que:

• $D$ é o ponto médio do lado $\overline{BC}$.
• $E$ é o ponto médio do lado $\overline{AC}$.
• $F$ é o ponto médio do lado $\overline{AB}$.

c) O triângulo $DEF$ é isósceles?

d) Calcule a medida da área e do perímetro dos triângulos $ABC$ e $DEF$.

Respostas: a) Sim; b) $D\left(3,4\right)$; $E\left(2,1\right)$; $F\left(1,4\right)$; c) Sim; d) $A_{ABC}=12\text{u.a.}$; $A_{DEF}=3\text{u.a.}$; $P_{ABC}=\left(4+4\sqrt{10}\right)\text{u.c.}$; $P_{DEF}=\left(2+2\sqrt{10}\right)\text{u.c.}$

7. Os pontos $A\left(-1,-2\right)$, $B\left(-3,2\right)$ e $C\left(1,4\right)$ são vértices de um triângulo em um plano cartesiano. Sabendo que esse triângulo é retângulo em B, responda às questões.

a) Esse triângulo é isósceles?

b) Calcule as medidas do perímetro e da área desse triângulo.

Respostas: a) Sim; b) $P_{ABC}=\left(4\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\text{u.c.}$; $A_{ABC}=10\text{u.a.}$

8. Se $\overline{AM}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{BC}$, calcule a medida do comprimento de $\overline{AM}$.

Resposta: $\sqrt{5}\text{u.c.}$

9. As localizações das casas de Alice e Bianca foram representadas pelos pontos A e B, respectivamente, no plano cartesiano a seguir.

Se a escola em que elas estudam fica no ponto médio entre suas casas, calcule as coordenadas do ponto que representa a localização da escola nesse plano cartesiano.

Resposta: $\left(4,3\right)$

10. Construa um plano cartesiano em uma malha quadriculada e elabore o enunciado de um problema que envolva o ponto médio de um segmento. Depois, troque com um colega para que ele o resolva. Por último, juntos, verifiquem se as respostas dos problemas estão corretas.

Resposta pessoal.