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UNIDADE

Figuras geométricas planas e ângulos

Fotografia de uma mesa com uma figura sendo montada com pedaços de tecidos. Também sobre a mesa há uma xícara, rolos de linha, tesoura, prato com bolachas. — O *patchwork* (do inglês *patch*, que significa "peça ou remendo"; e *work*, "trabalho") é a arte de unir pedacinhos de tecidos com diferentes formatos, como triangulares e quadrangulares.

Agora vamos estudar...

ângulos;
algumas propriedades das retas paralelas cortadas por uma transversal;
polígonos;
triângulos;
circunferência.

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Ângulos

Utilizando duas tiras de papel, um pedaço de borracha e uma tachinha, uma professora de Matemática do 7º ano construiu um objeto e o levou para a sala de aula. Com esse objeto, ela realizou alguns movimentos e representou-os na lousa.

Objeto digital

Cena 1

Ilustração de uma lousa com uma mão na frente segurando duas tiras de papel que se assemelham a letra L, de modo a formar um giro de um quarto de volta entre elas. Na lousa há o desenho de duas semirretas de mesma origem e formando um giro de um quarto de volta entre elas.

Cena 2

Ilustração de uma lousa com uma mão na frente segurando duas tiras de papel sobrepostas, de modo a formar um giro inteiro entre elas. Na lousa há o desenho de duas semirretas de mesma origem e formando um giro inteiro entre elas.

Cena 3

Ilustração de uma lousa com uma mão na frente segurando duas tiras de papel que se assemelham a uma letra L espelhada na horizontal, de modo a formar um giro de três quartos de volta entre elas. Na lousa há o desenho de duas semirretas de mesma origem e formando um giro de três quartos de volta entre elas.

Cena 4

Ilustração de uma lousa com uma mão na frente segurando duas tiras de papel, alinhadas lado a lado, de modo a formar meio giro de volta entre elas. Na lousa há o desenho de duas semirretas de mesma origem e formando meio giro de volta entre elas.

Nessas cenas, cada registro que a professora fez na lousa para representar os movimentos corresponde a um ângulo.

Na cena 1, o ângulo que a professora representou corresponde a um giro de um quarto de volta para a esquerda.

Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com a mesma origem. Como as semirretas formam dois ângulos e precisamos definir a qual ângulo estamos nos referindo, destacamos com um pequeno arco apenas uma das regiões.

Um ângulo pode ser representado da seguinte maneira.

Ilustração de duas semirretas, denominados de 'lado', de mesma origem O, denominado vértice. Uma semirreta possui o ponto A e outra possui o ponto B, há um arco entre elas e entre elas é a 'região determinada por A O B'.

Os lados desse ângulo são as semirretas $O A$ e $O B$ .
O vértice é o ponto O.
Esse ângulo pode ser nomeado por $\hat{O}$ , $A \hat{O} B$ ou $B \hat{O} A$ .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Volte à página 144 e identifique em qual cena a professora desenhou um ângulo que representa os seguintes giros para a esquerda.

a) Meia-volta.

b) Três quartos de volta.

c) Uma volta completa.

2. Os ângulos podem ser identificados em diversas situações do dia a dia. Analise na imagem apresentada dois ângulos indicados.

Esquema com a fotografia de uma bicicleta. Nela há dois ângulos demarcados entre partes do seu quadro.

Escreva no caderno quatro lugares ou objetos nos quais você pode identificar ângulos.

3. Um dos parafusos da placa que indica a localização do evento de Matemática da escola se soltou. Para que todos encontrem o local correto, Jessé colocou o parafuso novamente e ajustou a posição da placa.

Ilustração de um menino com a mão no queixo e olhando para uma placa em um poste. Na placa há uma seta apontando para baixo. Ela está presa por um parafuso, enquanto o outro está no chão.

Ilustração de um menino girando em sentido anti-horário a placa anterior, em um poste.

Ilustração de um menino com a mão sobre a mesma placa anterior, em um poste. A seta da placa agora aponta para direita e está presa por dois parafusos.

a) Para ajustar a posição da placa, Jessé realizou o menor giro possível. A que fração de uma volta corresponde esse giro?

b) Desenhe em seu caderno uma placa com uma seta semelhante à da cena apresentada, mas que esteja apontando para algum outro lado que não tenha aparecido nas cenas.

c) Considerando a posição da placa na 1ª cena como a posição inicial, o giro que a placa com a seta vai realizar, com base na placa que você desenhou, corresponde a que fração de uma volta?

Versão adaptada acessível

b) Imagine a posição de uma placa com uma seta semelhante à da cena, mas que esteja apontando para algum outro lado que não tenha aparecido nas cenas.

c) Considerando a posição da placa na 1ª cena como a posição inicial, o giro que a placa com a seta vai realizar, com base na placa que você imaginou, corresponde a que fração de uma volta?

4. Escreva no caderno o nome, o vértice e os lados de cada ângulo.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem B, uma possui o ponto A e outra possui o ponto C. O ângulo tem medida maior do que 0 grau e menor do que 90 graus.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem K, uma possui o ponto J e outra possui o ponto L. O ângulo tem medida maior do que 90 graus e menor do que 180 graus.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem U, uma possui o ponto T e outra possui o ponto V. O ângulo tem medida maior do que 180 graus e menor do que 270 graus.

5. Desenhe no caderno um ângulo $A \hat{O} B$ e um $B \hat{O} C$ .

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Medindo ângulos

Para medirmos ângulos, utilizamos uma unidade de medida chamada grau, que indicamos pelo símbolo $°$ .

A ideia de medir ângulos surgiu na Mesopotâmia, região onde hoje se situa o Iraque, com base na divisão de um círculo em 360 partes iguais. Cada parte é associada ao ângulo de 1 grau ( $1 grau$ ).

Ilustração de uma circunferência com dois segmentos de reta indo de sua extremidade até seu centro e, entre eles, demarcado o ângulo de 1 grau. — O giro de uma volta completa corresponde a um ângulo de $360 graus$ .

Um dos instrumentos utilizados para medir a abertura de um ângulo, isto é, determinar sua medida, é o transferidor.

A seguir estão representados dois modelos diferentes de transferidor.

Ilustração de um transferidor de meia volta. A linha onde está marcado o número 0 é chamada linha de fé, e é uma linha na horizontal. E a linha onde está marcado o número 90 é denominada centro do transferidor e é vertical. — Transferidor de $180 graus$ meia volta.

Ilustração de um transferidor de volta inteira. A linha onde está marcado o número 0 é chamada linha de fé, e é uma linha na horizontal. E a linha onde está marcado o número 90 é denominada centro do transferidor e é vertical. — Transferidor de $360 graus$ (volta inteira).

Na imagem está apresentado o procedimento de medição de um ângulo usando um transferidor.

Ilustração de um ângulo demarcado na menor abertura entre duas semirretas de mesma origem A, no centro do transferidor de meia volta. Uma semirreta está alinhada com a demarcação do 0 grau e passa pelo ponto B, à direita do transferidor, e a outra com a demarcação de 75 graus, no sentido anti-horário, passando pelo ponto C. Há a demarcação da linha que passa no ângulo 0 e para ela a seguinte indicação: linha de fé do transferidor coincide com um dos lados do ângulo. E a demarcação no centro do transferidor com a frase 'centro do transferidor coincide com o vértice do ângulo'.

Atenção!

Para determinar qual medida do ângulo estamos considerando em cada situação, fazemos um pequeno "arco" na abertura correspondente.

Exemplos:

Ilustração de um arco na menor distância entre duas semirretas de mesma origem O. Uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. Está indicado que esse arco é a medida considerada.

Ilustração de um arco na maior distância entre duas semirretas de mesma origem O. Uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. Está indicado que esse arco é a medida considerada.

O ângulo $B \hat{A} C$ mede $75 graus$ (lê-se: setenta e cinco graus). Essa medida pode ser indicada como $medida do ângulo b a c igual a 75 graus$ ou $medida do ângulo a igual a 75 graus$ .

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Classificação dos ângulos

Podemos classificar os ângulos de acordo com sua medida.

Reto: ângulo cuja medida é $90 graus$ .
Agudo: ângulo cuja medida é maior do que $0 grau$ e menor do que $90 graus$ .
Raso: ângulo cuja medida é $180 graus$ .
Obtuso: ângulo cuja medida é maior do que $90 graus$ e menor do que $180 graus$ .

Analise alguns exemplos e suas classificações.

$medida do ângulo a b c igual a 90 graus$

$A \hat{B} C$ é reto.

$medida do ângulo k l m igual a 56 graus$

$K \hat{L} M$ é agudo.

$medida do ângulo r s t igual a 180 graus$

$R \hat{S} T$ é raso.

$medida do ângulo x y z igual a 110 graus$

$X \hat{Y} Z$ é obtuso.

Questão 1. No caderno, com o auxílio de um transferidor, construa os ângulos $A \hat{B} C$ , $K \hat{L} M$ , $R \hat{S} T$ e $X \hat{Y} Z$ citados anteriormente.

Ângulos congruentes

Ângulos com medidas iguais são chamados ângulos congruentes. Usamos o símbolo $≅$ para indicar a congruência dos ângulos, conforme está representado nas imagens.

Ilustração de um ângulo de 68 graus entre duas semirretas de mesma origem I, uma possui o ponto H e outra possui o ponto J. A abertura do ângulo está virada para cima.

Ilustração de um ângulo de 68 graus entre duas semirretas de mesma origem U, uma possui o ponto V e outra possui o ponto T. A abertura do ângulo está virada para baixo.

Nesse caso, $medida do ângulo h i j igual a medida do ângulo t u v igual a 68 graus$ , ou seja, os ângulos são congruentes. Assim, indicamos $H \hat{I} J ≅ T \hat{U} V$ .

Ângulos adjacentes

Quando dois ângulos têm um lado em comum e as regiões determinadas por eles não têm pontos em comum, dizemos que eles são adjacentes.

Na imagem apresentada, verificamos que $\vec{O C}$ é comum aos ângulos $A \hat{O} B$ e $B \hat{O} C$ , e nenhum ponto da região de $A \hat{O} B$ é comum à região $B \hat{O} C$ . Sendo assim, esses ângulos são adjacentes.

Nesse mesmo exemplo, $\vec{O B}$ é comum aos ângulos $A \hat{O} C$ e $B \hat{O} C$ , mas existe pelo menos um ponto na região determinada pelo ângulo $B \hat{O} C$ que também faz parte da região determinada pelo ângulo $A \hat{O} C$ . Portanto, eles não são adjacentes.

Ilustração de três semirretas com a mesma origem O. Em uma delas há o ponto A, em outra que está no meio há o ponto B e na outra, um ponto C. Está demarcado um ângulo entre as semirretas que têm o ponto A e B. E outro ângulo está demarcado entre as semirretas que têm o ponto B e C.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. De acordo com os transferidores, determine qual é a medida da abertura de cada um dos ângulos a seguir.

Ilustração de um ângulo demarcado na menor abertura entre duas semirretas de mesma origem, no centro do transferidor de meia volta. Uma semirreta está alinhada com a demarcação do 0 grau, à direita do transferidor, e a outra com a demarcação de 47 graus, no sentido anti-horário.

7. Classifique cada ângulo representado na atividade 6 em reto, agudo ou obtuso.

8. Uma equipe de tecnologia projetou um robô e registrou seus movimentos com as representações a seguir, indicando a vista superior, em malha quadriculada, de alguns caminhos percorridos por ele.

Ilustração de uma malha quadriculada com 4 caminhos desenhados. O caminho 1 é composto de 3 linhas que formam ângulos maiores que 90 graus entre si, o caminho 2 é composto de 4 linhas que que formam ângulos menores que 90 graus entre si, o caminho 3 é composto de 3 linhas que formam 90 graus entre si e o caminho 4 é composto de 3 linhas, onde apenas duas formam o ângulo de 90 graus entre elas.

Atenção!

As setas indicam o movimento inicial feito pelo robô.

Qual dos caminhos representados mostra que o robô mudou de direção apenas em ângulo reto?

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9. Com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos indicados na imagem.

Ilustração de vários segmentos de reta, contínuos, formando vários ângulos e passando, nessa ordem, pelos pontos: A, B, C, D, E, F, G, H. O ângulo b mede 30 graus, o c mede 45 graus, o d mede 90 graus, o e mede 110 graus, o f mede 60 graus e o ângulo g mede 180 graus.

10. Considerando os ângulos indicados na atividade anterior, responda às questões.

a) Qual ângulo é reto?

b) Quais são agudos?

c) Qual é obtuso?

d) Qual é raso?

11. Utilizando um transferidor, construa no caderno um ângulo:

a) de $62 graus$ .

b) de $112 graus$ .

c) reto.

d) raso.

12. Surfistas californianos, cansados de passar os dias esperando por boas ondas, colocaram rodinhas de patins em uma madeira que lembrava uma prancha. Foi aí que surgiu o skate, no final de 1950, na Califórnia, nos Estados Unidos.

Desde então, o esporte evoluiu, assim como as manobras que fazem parte dele, incluindo o Frontside $180 graus$ Flip. Nessa manobra, tanto o skatista quanto o skate dão um giro de $180 graus$ .

a) O giro realizado pelo skatista na manobra Frontside $180 graus$ Flip corresponde a que fração de uma volta? E o giro realizado pelo skate?

b) Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre outras manobras realizadas por skatistas, anotando as informações que acharem mais interessantes e aquelas relacionadas a ângulos.

13. Gabriel construiu o ângulo a seguir em seu caderno.

Ilustração de uma folha de caderno com o desenho de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem A, uma possui o ponto C e outra possui o ponto B. Esse ângulo tem medida aproximada de 58 graus.

Com um transferidor, identifique qual dos ângulos a seguir é congruente ao que Gabriel construiu.

Ilustração de um ângulo demarcado entre duas semirretas de mesma origem D, uma possui o ponto E e outra possui o ponto F. Esse ângulo tem medida aproximada de 46 graus.

Ilustração de um ângulo demarcado entre duas semirretas de mesma origem G, uma possui o ponto H e outra possui o ponto I. Esse ângulo tem medida aproximada de 58 graus.

Ilustração de um ângulo demarcado entre duas semirretas de mesma origem J, uma possui o ponto K e outra possui o ponto L. Esse ângulo tem medida aproximada de 55 graus.

14. Analise os três ângulos destacados a seguir.

Ilustração de 4 semirretas com a mesma origem O. Em uma delas há o ponto E, em outra ao lado dessa há o ponto D, na próxima em sentido horário há o ponto C e na outra, o ponto B. Está demarcado um ângulo entre as semirretas que têm o ponto E e D, outro entre as semirretas com os pontos D e C e outro ângulo entre as semirretas que têm o ponto C e B.

Agora, determine os pares de ângulos adjacentes.

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Ângulos complementares e ângulos suplementares

Na imagem está representado o ângulo $A \hat{O} B$ . Com base na semirreta $O A$ , construímos um ângulo $A \hat{O} C$ medindo $90 graus$ .

Ilustração de uma semirreta, com origem O, passando pelo ponto A e a demarcação de que faz 90 graus com a outra semirreta também de origem O e que passa por C. Entre essas duas semirretas, há outra de origem O que passa pelo ponto B e forma dois ângulos entre A O C. Um deles é o ângulo A O B com 48 graus.

Como a soma das medidas de $A \hat{O} B$ e $B \hat{O} C$ é $90 graus$ , dizemos que $A \hat{O} B$ e $B \hat{O} C$ são ângulos complementares. Dizemos também que $B \hat{O} C$ é o complemento de $A \hat{O} B$ ou que $B \hat{O} C$ é o complementar de $A \hat{O} B$ , e vice-versa.

Nesta outra imagem está representado o ângulo $D \hat{O} E$ . Partindo da semirreta $O D$ , construímos um ângulo $D \hat{O} F$ medindo $180 graus$ .

Ilustração de uma semirreta, com origem O, passando pelo ponto F e a demarcação de que faz 180 graus com a outra semirreta também de origem O e que passa por D. Entre essas duas semirretas, há outra de origem O que passa pelo ponto E e forma dois ângulos entre F O D. Um deles é o ângulo D O E com 135 graus.

Como a soma das medidas de $D \hat{O} E$ e $E \hat{O} F$ é $180 graus$ , dizemos que $D \hat{O} E$ e $E \hat{O} F$ são ângulos suplementares. Dizemos também que $E \hat{O} F$ é o suplemento de $D \hat{O} E$ ou que $E \hat{O} F$ é o suplementar de $D \hat{O} E$ , e vice-versa.

Podemos obter as medidas dos ângulos $B \hat{O} C$ e $E \hat{O} F$ realizando os cálculos a seguir.

$med (B \hat{O} C) = med (A \hat{O} C) -$ $medida do ângulo a o b igual a 90 graus menos 48 graus igual a 42 graus$
$med (E \hat{O} F) = med (D \hat{O} F) -$ $medida do ângulo d o e igual a 180 graus menos 135 graus igual a 45 graus$

Dois ângulos são:

complementares quando a soma de suas medidas é $90 graus$ ;
suplementares quando a soma de suas medidas é $180 graus$ .

Questão 2. Calcule mentalmente e registre no caderno a medida do ângulo:

a) complementar de $72 graus$ .

b) suplementar de $72 graus$ .

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Ângulos opostos pelo vértice

As retas r e t a seguir são concorrentes. Ao se cruzarem, elas formam quatro ângulos.

Ilustração de duas retas, r e t que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo com medida 34 graus e o ângulo a são opostos pelo vértice horizontalmente; e os ângulos b e c são opostos pelo vértice verticalmente.

Atenção!

Daqui em diante, indicaremos a medida de um ângulo com uma letra minúscula com circunflexo.

Podemos obter a medida $\hat{a}$ sem utilizar transferidor com os seguintes procedimentos.

Os ângulos de medidas $\hat{b}$ e $\hat{a}$ , nesse caso, são suplementares.

$medida do ângulo b mais a medida do ângulo a igual a 180 graus$

Ilustração de duas retas, r e t que se cruzam formando um X. 2 dos respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo de cima da vertical é b e o ângulo da direita da horizontal é a.

Os ângulos de medidas $\hat{b}$ e $34 graus$ também são suplementares.

$medida do ângulo b mais 34 graus igual a 180 graus$

Dessas duas igualdades, temos que $\hat{b} + \hat{a}$ é igual a $medida do ângulo b mais 34 graus$ , então:

$medida do ângulo b mais a medida do ângulo a igual a medida do ângulo b mais 34 graus$

$medida do ângulo b mais medida do ângulo a menos medida do ângulo b igual a medida do ângulo b mais 34 graus menos medida do ângulo b$

$medida do ângulo a igual a 34 graus$

Portanto, $medida do ângulo a igual a 34 graus$ .

Questão 3. Converse com seus colegas a fim de obter uma maneira de determinar a medida $\hat{c}$ sem utilizar o transferidor.

Nesta imagem, os pares de ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{b}$ , $\hat{c}$ e $\hat{d}$ são chamados opostos pelo vértice.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. Assim, nesta imagem, temos $\hat{a} = \hat{b}$ e $\hat{c} = \hat{d}$ .

Ilustração de duas retas, r e t que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo a e o ângulo b são opostos pelo vértice horizontalmente; e os ângulos c e d que são opostos pelo vértice verticalmente.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

15. Utilizando um transferidor, meça os ângulos apresentados. Depois, para cada um deles, escreva a medida de seu complemento e a medida de seu suplemento.

Ilustração de um ângulo a, equivalente a 30 graus, demarcado entre duas semirretas de mesma origem.

Ilustração de um ângulo b, equivalente a 50 graus, demarcado entre duas semirretas de mesma origem.

Ilustração de um ângulo c, equivalente a 15 graus, demarcado entre duas semirretas de mesma origem.

Ilustração de um ângulo d, equivalente a 80 graus, demarcado entre duas semirretas de mesma origem.

Ilustração de um ângulo e, equivalente a 45 graus, demarcado entre duas semirretas de mesma origem.

16. Carolina dobrou um pedaço de cartolina em formato de retângulo, conforme a imagem.

Ilustração de uma cartolina em formato retangular e uma linha tracejada que vai do vértice inferior esquerdo até um ponto do lado direito do retângulo. Há uma seta indicando a dobradura do lado formado pela linha tracejada diante da outra parte. — Etapa 1

Ilustração de uma cartolina retangular dobrada, em que seu vértice inferior direito encosta no lado de cima. No vértice inferior esquerdo são formados os ângulos a e 40 graus. — Etapa 2

a) Determine a medida $\hat{a}$ do ângulo indicado.

b) Qual é a medida do complemento e a do suplemento do ângulo de medida $\hat{a}$ ?

17. Copie o quadro no caderno substituindo as letras pelas medidas adequadas.

Ângulo complementar e ângulo suplementar
ângulo	$6 graus$	$31 graus$	E	G	$136 graus$
complemento	A	C	$18 graus$	H
suplemento	B	D	F	$91 graus$	I

18. Junte-se a um colega e resolvam esta atividade no caderno. Sabendo que os ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{b}$ são complementares e que $\hat{a} = 2 \hat{b}$ , obtenha a medida de cada um deles.

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19. Sem utilizar transferidor ou outro instrumento, determine as medidas indicadas nas imagens a seguir.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo b e o ângulo c são opostos pelo vértice horizontalmente; e o ângulo de medida 74 graus e o ângulo a são opostos pelo vértice verticalmente.

Ilustração de três retas que se cruzam formando um triângulo. No primeiro vértice, há o ângulo interno de 25 graus e os ângulos externos e opostos pelo vértice h e i. No segundo vértice, há o ângulo interno k e os ângulos externos e opostos pelo vértice j e 115 graus. No terceiro vértice, há os ângulos externos e suplementares i e 90 graus.

20. Na imagem apresentada, a soma das medidas $\hat{a}$ e $\hat{c}$ é $102 graus$ . Qual é a medida $\hat{b}$ ?

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo a e o ângulo c são opostos pelo vértice horizontalmente; e o ângulo b está na parte de cima.

21. Efetue os cálculos e determine o valor de x e as medidas dos ângulos.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo x mais 18 graus e o ângulo 3 x são opostos pelo vértice horizontalmente;

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 4 x mais 9 graus e o ângulo 5 x menos 21 graus são opostos pelo vértice verticalmente.

22. Utilizando dois palitos de sorvete e uma tachinha, Marcela construiu o seguinte instrumento.

Ilustração de dois palitos de sorvete que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo d e o ângulo b são opostos pelo vértice horizontalmente; e os ângulos a e c que são opostos pelo vértice verticalmente.

a) Na imagem, podemos identificar dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Considerando esses pares, copie as afirmações a seguir no caderno substituindo o $█$ pela medida adequada.

O ângulo de medida $\hat{a}$ é oposto pelo vértice do ângulo de medida $█$ .

O ângulo de medida $\hat{d}$ é oposto pelo vértice do ângulo de medida $█$ .

b) De acordo com a abertura dos palitos, a soma das medidas $\hat{a}$ e $\hat{b}$ sofre variação? Converse com os colegas a respeito do motivo dessa ocorrência.

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Retas paralelas cortadas por uma transversal

Na imagem a seguir, as retas r e s são paralelas e são cruzadas por uma reta transversal, formando vários ângulos.

Ilustração de duas retas r e s, paralelas, cortadas por outra reta transversal t. Todos os ângulos estão demarcados. Entre t e r estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de r está o ângulo d; abaixo de r e à esquerda de t está o ângulo b. Acima de r e à esquerda de t está o ângulo a; e abaixo de r e à direita de t, o ângulo c. Entre t e s estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de s está o ângulo h; à esquerda de t e abaixo de s está o ângulo f; à esquerda de t e acima de s está o ângulo e; à direita de t e abaixo de s está o ângulo g. Abaixo dessa representação, há as letras r e s com duas barras entre elas.

Atenção!

A notação $r // s$ indica que as retas r e s são paralelas.

Os pares de ângulos indicados com a mesma cor nessa imagem são denominados ângulos correspondentes.

Questão 4. Utilizando um transferidor, faça as medições dos ângulos e escreva no caderno os seguintes pares de medidas.

a) $\hat{a}$ e $\hat{e}$

b) $\hat{b}$ e $\hat{f}$

c) $\hat{c}$ e $\hat{g}$

d) $\hat{d}$ e $\hat{h}$

Os pares de medidas que você obteve são iguais ou diferentes?

Na imagem anterior, os ângulos são formados por uma reta transversal que cruza retas paralelas. Nela, os pares de ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{e}$ , $\hat{b}$ e $\hat{f}$ , $\hat{c}$ e $\hat{g}$ , $\hat{d}$ e $\hat{h}$ são ângulos correspondentes.

Dois ângulos correspondentes têm medidas iguais quando são formados por retas paralelas e uma transversal. Assim, na imagem anterior, temos:

$\hat{a} = \hat{e}$

$\hat{b} = \hat{f}$

$\hat{c} = \hat{g}$

$\hat{d} = \hat{h}$

Quando as retas não são paralelas, não podemos estabelecer ângulos correspondentes com medidas iguais.

Ilustração de duas retas r e s, cortadas por outra reta transversal t. Todos os ângulos estão demarcados. Entre t e r estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de r está o ângulo d; abaixo de r e à esquerda de t está o ângulo b. Acima de r e à esquerda de t está o ângulo a; e abaixo de r e à direita de t, o ângulo c. Entre t e s estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de s está o ângulo h; à esquerda de t e abaixo de s está o ângulo f; à esquerda de t e acima de s está o ângulo e; à direita de t e abaixo de s está o ângulo g. Há uma projeção de reta paralela a s, passando na intersecção das retas r e t.

Atenção!

Na imagem por exemplo, as retas r e s não são paralelas. Assim:

$\hat{a} \neq \hat{e}$

$\hat{b} \neq \hat{f}$

$\hat{c} \neq \hat{g}$

$\hat{d} \neq \hat{h}$

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Utilizando um transferidor, podemos verificar que a medida $\hat{a}$ na imagem a seguir é $47 graus$ .

Ilustração de duas retas paralelas, r e s, cortadas por uma transversal, t. O cruzamento de t com r forma o ângulo de 47 graus à esquerda e abaixo do cruzamento. Do mesmo modo, o cruzamento de t com s forma o ângulo a à direita e acima do cruzamento. Há um transferidor de meia volta com a reta s em cima do marco 0 e o destaque para a reta t passando pelo marco de 47 graus.

Também podemos determinar a medida $\hat{a}$ sem fazer medições. Para isso, vamos indicar na imagem o ângulo de medida $\hat{c}$ . Temos $medida do ângulo c igual a 47 graus$ , pois $\hat{c}$ e $47 graus$ são medidas de ângulos opostos pelo vértice. Como os ângulos de medidas $\hat{c}$ e $\hat{a}$ são correspondentes, temos $medida do ângulo a igual a medida do ângulo c igual a 47 graus$ .

Ilustração de duas retas paralelas, r e s, cortadas por uma transversal, t. O cruzamento de t com r forma o ângulo: c à direita e acima do cruzamento e forma o ângulo de 47 graus à esquerda e abaixo do cruzamento. Do mesmo modo, o cruzamento de t com s forma o ângulo a à direita e acima do cruzamento.

Na imagem a seguir, os ângulos são formados por uma reta transversal que cruza retas paralelas. Nela, os pares de ângulos de medidas $\hat{b}$ e $\hat{h}$ , $\hat{c}$ e $\hat{e}$ são chamados ângulos alternos internos, e os ângulos de medidas $\hat{d}$ e $\hat{f}$ , $\hat{a}$ e $\hat{g}$ , ângulos alternos externos.

Atenção!

Os pares de ângulos alternos internos ou alternos externos têm medidas iguais quando são formados por retas paralelas e uma transversal. Assim, na imagem a seguir, temos:

• medida dos ângulos alternos internos:

$\hat{b} = \hat{h}$

$\hat{c} = \hat{e}$

• medida dos ângulos alternos externos:

$\hat{d} = \hat{f}$

$\hat{a} = \hat{g}$

Quando as retas não são paralelas, não podemos estabelecer ângulos alternos com medidas iguais.

Atenção!

Nesta imagem, por exemplo, as retas r e s não são paralelas. Assim:

$\hat{b} \neq \hat{h}$

$\hat{c} \neq \hat{e}$

$\hat{d} \neq \hat{f}$

$\hat{a} \neq \hat{g}$

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Na imagem, os ângulos são formados por uma reta transversal que cruza as retas paralelas. Nela, os pares de ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{f}$ , por exemplo, são chamados ângulos colaterais externos, e os ângulos de medidas $\hat{c}$ e $\hat{h}$ , por exemplo, são chamados ângulos colaterais internos.

A seguir, vamos verificar a relação entre esses pares de ângulos.

Os ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{e}$ são correspondentes assim $\hat{a} = \hat{e}$ . Além disso, os ângulos de medidas $\hat{e}$ e $\hat{f}$ são suplementares, ou seja, $medida do ângulo e mais medida do ângulo f igual a 180 graus$ . Portanto, concluímos que $medida do ângulo a mais a medida do ângulo f igual a 180 graus$ .
Os ângulos de medidas $\hat{d}$ e $\hat{h}$ são correspondentes assim $\hat{d} = \hat{h}$ . Além disso, os ângulos de medidas $\hat{d}$ e $\hat{c}$ são suplementares, ou seja, $medida do ângulo d mais medida do ângulo c igual a 180 graus$ . Portanto, concluímos que $medida do ângulo c mais a medida do ângulo h igual a 180 graus$ .

Assim, demonstramos que o par de ângulos colaterais externos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{f}$ e o par de ângulos colaterais internos de medidas $\hat{c}$ e $\hat{h}$ são suplementares.

Questão 5. Em seu caderno, use procedimento semelhante ao apresentado para os demais pares de ângulos colaterais indicados na imagem e conclua que eles também são suplementares.

Os pares de ângulos colaterais internos ou colaterais externos são suplementares quando são formados por retas paralelas e uma transversal. Assim, na imagem anterior temos:

medidas dos ângulos colaterais internos:

$medida do ângulo b mais medida do ângulo e igual a 180 graus$

$medida do ângulo c mais a medida do ângulo h igual a 180 graus$

medidas dos ângulos colaterais externos:

$medida do ângulo a mais a medida do ângulo f igual a 180 graus$

$medida do ângulo d mais medida do ângulo g igual a 180 graus$

Quando as retas não são paralelas, não podemos estabelecer ângulos colaterais suplementares.

Atenção!

Nesta imagem, por exemplo, as retas r e s não são paralelas. Assim:

$medida do ângulo b mais medida do ângulo e diferente de 180 graus$

$medida do ângulo c mais medida do ângulo h diferente de 180 graus$

$medida do ângulo a mais medida do ângulo f diferente de 180 graus$

$medida do ângulo d mais medida do ângulo g diferente de 180 graus$

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Instrumentos e softwares

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal com o GeoGebra

Com as orientações do professor e o passo a passo a seguir, vamos verificar algumas relações entre as medidas dos ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal.

1º. Com a ferramenta Reta, marque dois pontos A e B para traçar a reta r. Depois, usando a ferramenta Reta Paralela, marque um ponto C não pertencente à reta r. Em seguida, clique na reta r para traçar a reta s. Por fim, novamente com a ferramenta Reta, clique em B e C para traçar uma reta t transversal à r e s.

Ilustração de uma página de computador com software de geometria. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de uma reta está selecionado. Ainda na aba, há desenhado duas retas paralelas r e s, com r contendo os pontos A e B e s contendo o ponto C. Ainda, há uma reta transversal t que cruza s em C e cruza r em B.

2º. Com a ferramenta Ponto, clique sobre as retas e marque os pontos D, E, F, G e H, como na imagem.

Ilustração de uma página de computador com software de geometria. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de ponto e a letra A ao lado está selecionado. Ainda na aba, há desenhado duas retas paralelas r e s, com r contendo os pontos A e B e s contendo o ponto C. Ainda, há uma reta transversal t que cruza s em C e cruza r em B. Ainda na reta r há o ponto E à direita de B e na reta s há o ponto H à esquerda e o ponto F à direita de C. Na reta t há o ponto d acima de B e G abaixo de C.

3º. Com a ferramenta Ângulo, clique em $E$ , $B$ e $D$ , nessa ordem, para medir o ângulo $E \hat{B} D$ . De maneira semelhante, meça os demais ângulos, como na imagem. Deixe ângulos correspondentes com mesma cor clicando com o botão direito, escolhendo a opção Configurações e selecionando a aba Cor.

Ilustração de uma página de computador com software de geometria. Há vários botões de ferramentas e um com o desenho de ângulo está selecionado. Ainda na aba, há desenhado duas retas paralelas r e s, com r contendo os pontos A e B e s contendo o ponto C. Ainda, há uma reta transversal t que cruza s em C e cruza r em B. Ainda na reta r há o ponto E à direita de B e na reta s há o ponto H à esquerda e o ponto F à direita de C. Na reta t há o ponto d acima de B e G abaixo de C. Entre t e r estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de r está o ângulo 45 graus; abaixo de r e à esquerda de t está o ângulo 45 gruas. Acima de r e à esquerda de t está o ângulo 135 graus; e abaixo de r e à direita de t, o ângulo 135 graus. Entre t e s estão os seguintes ângulos: à direita de t e acima de s está o ângulo 45 graus; à esquerda de t e abaixo de s está o ângulo 45 graus; à esquerda de t e acima de s está o ângulo 135 graus; à direita de t e abaixo de s está o ângulo 135 graus.

Faça o teste: com a ferramenta Mover, clique e arraste os pontos A, B ou C e verifique se os ângulos correspondentes permanecem congruentes.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

23. De acordo com a figura geométrica a seguir, escreva no caderno as letras que indicam as medidas de dois pares de ângulos:

a) correspondentes.

b) opostos pelo vértice.

c) alternos internos.

d) alternos externos.

24. Em relação à figura geométrica a seguir, apenas uma das afirmações é falsa. Identifique-a e reescreva-a corrigida no caderno.

Ilustração de três retas paralelas, r, s e t, cortadas por duas transversais, u e v. Nos cruzamentos da reta u: formam com a reta r os ângulos de 115 graus à direita e acima do cruzamento e o ângulo a à esquerda e acima do cruzamento, forma com a reta s o ângulo b à direita e acima do cruzamento e o ângulo 65 graus à esquerda e acima do cruzamento e forma com a reta t o ângulo c à esquerda e acima do cruzamento e 115 graus à esquerda e abaixo do cruzamento. Do mesmo modo, nos cruzamentos da reta v: forma com a reta r o ângulo e à esquerda e acima do cruzamento, forma com a reta s o ângulo f à esquerda e abaixo do cruzamento, o ângulo g à direita e abaixo do cruzamento e 85 graus à direita e acima do cruzamento e forma com a reta t o ângulo h à direita e acima do cruzamento. Abaixo dessa representação, há as letras r, s e t com duas barras entre cada uma.

a) A medida $\hat{b}$ é $115 graus$ .

b) Os ângulos de medidas $\hat{e}$ e $\hat{h}$ são suplementares.

c) Os ângulos de medidas $\hat{a}$ e $\hat{c}$ são correspondentes.

d) A medida $\hat{c}$ é $60 graus$ .

e) Os ângulos de medidas $\hat{f}$ e $\hat{g}$ juntos formam um ângulo de $180 graus$ .

25. Utilizando esquadros e um transferidor, Flávia construiu a figura geométrica a seguir.

Ilustração de uma folha de papel com linhas desenhadas três retas m, n, o, paralelas e verticais, cortadas por duas retas transversais, r e s. Nos cruzamentos da reta r: forma com a reta m o ângulo d à direita e acima do cruzamento, forma com a reta n o ângulo b à direita e acima do cruzamento e forma com a reta, o, o ângulo 92 graus à direita e acima do cruzamento. Do mesmo modo, nos cruzamentos da reta s: forma com a reta m o ângulo e à esquerda e acima do cruzamento, forma com a reta n o ângulo c à direita e acima do cruzamento e 93 graus à direita e abaixo do cruzamento, forma com a reta, o, o ângulo 'a à esquerda e abaixo do cruzamento.

Determine as medidas $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{c}$ , $\hat{d}$ e $\hat{e}$ , sabendo que as retas m, n e o são paralelas.

26. Efetue os cálculos em seu caderno e obtenha o valor de x e as medidas dos ângulos indicados.

Ilustração de duas retas paralelas, r e s cortadas por uma reta transversal t. Há 2 ângulos demarcados. Um deles tem medida 7 x e está à esquerda de t e abaixo de r. Também está demarcado o ângulo 3 x mais 20 graus que está acima de s e à direita de t. Abaixo dessa representação, há as letras r e s com duas barras entre elas.

Ilustração de duas retas paralelas, m e n cortadas por uma reta transversal p. Há 2 ângulos demarcados. Um deles tem medida 4 x menos 7 graus e está à direita de p e acima de m. Também está demarcado o ângulo 5 x mais 7 graus que está acima de n e à esquerda de p. Abaixo dessa representação, há as letras m e n com duas barras entre elas.

Ilustração de duas retas paralelas, k, j, cortadas por duas transversais, e, e f. Nos cruzamentos da reta e: forma com a reta j o ângulo '3 x mais 1 grau' à esquerda e abaixo do cruzamento, forma com a reta k o ângulo '5 x mais 3 graus' à direita e abaixo do cruzamento. Do mesmo modo, nos cruzamentos da reta f: forma com a reta j um ângulo não denominado, à direita e abaixo do cruzamento, forma com a reta k o ângulo '5 x mais 3' à esquerda e abaixo do cruzamento. Abaixo dessa representação, há as letras j e k com duas barras entre elas.

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27. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam um par de ângulos alternos internos cujas medidas são $2 x mais 30 graus$ e $4 x menos 20 graus$ .

a) Qual é o valor de x?

b) Determine as medidas de cada ângulo.

28. Na imagem, o triângulo $A B D$ é equilátero, e o segmento $A B$ é paralelo ao segmento $C E$ .

Ilustração de um triângulo A B D e ao lado há o triângulo C E F, ambos com suas bases sobre um mesmo segmento de reta, além disso o lado C E cruza o lado B D do triângulo anterior, formando um ângulo x, dentro do triângulo C E F, o qual também possui no vértice F um ângulo interno reto.

Qual é a medida $\hat{x}$ ?

a) $80 graus$

b) $90 graus$

c) $100 graus$

d) $110 graus$

e) $120 graus$

29. Na imagem, as retas r e s são paralelas.

Ilustração de duas retas paralelas, r e s, cortadas cada uma por uma transversal, as quais se encontram entre as retas r e s, formando o ângulo e' no menor ângulo. A reta transversal que cruza a reta r forma o ângulo a, à esquerda e acima do cruzamento, a à direita e abaixo do cruzamento, b à direita e acima e b à esquerda e abaixo do cruzamento. A reta transversal que cruza a reta s forma o ângulo d, à esquerda e acima do cruzamento, d à direita e abaixo do cruzamento, c à direita e acima e c à esquerda e abaixo do cruzamento.

Podemos calcular a medida $\hat{e}$ sem usar o transferidor. Para isso, traçamos arbitrariamente uma reta v paralela à reta r e à reta s passando pelo vértice do ângulo. Assim, $\hat{e} = \hat{a} + \hat{c}$ .

Ilustração de duas retas paralelas, r e s, cortadas cada uma por uma transversal, as quais se encontram na projeção de outra reta v paralela entre as retas r e s, formando o ângulo a' acima de v e ângulo c abaixo de v. A reta transversal que cruza a reta r forma o ângulo a, à esquerda e acima do cruzamento, ângulo a, à direita e abaixo do cruzamento, ângulo b à direita e acima e ângulo b à esquerda e abaixo do cruzamento. A reta transversal que cruza a reta s forma o ângulo d, à esquerda e acima do cruzamento, ângulo d à direita e abaixo do cruzamento, ângulo c à direita e acima e ângulo c à esquerda e abaixo do cruzamento.

Atenção!

A reta v é tracejada, pois representa uma reta imaginária.

Agora, determine, no caderno, a medida $\hat{x}$ para cada item.

Ilustração de duas retas paralelas, r e s, cortadas cada uma por uma transversal, as quais se encontram na projeção de outra reta paralela entre as retas e r s, formando o ângulo x no menor ângulo. A reta transversal que cruza a reta r forma o ângulo de 116 graus, à esquerda e acima do cruzamento, enquanto a que cruza a reta s forma o ângulo de 32 graus, à esquerda e acima do cruzamento. Abaixo dessa representação, há as letras r, s e t com duas barras entre cada uma.

Ilustração de um esquema com duas retas horizontais paralelas, t, u e duas projeções de retas também paralelas a essas entre elas. Há três segmentos de retas transversais. A primeira está acima e cruza a reta t formando um ângulo 118 graus à direita da reta transversal e acima de t. A segunda transversal está abaixo, cruza com a transversal de cima, na projeção superior, formando um ângulo x no menor ângulo entre as retas. E a terceira transversal cruza com a segunda, na projeção inferior, formando um ângulo de 57 graus no menor ângulo entre as retas. Ela também encontra com a reta u, formando um ângulo de 26 graus acima de u e à esquerda da transversal. Abaixo dessa representação, há as letras t e u com duas barras entre elas.

30. Amanda vai construir um portão de madeira semelhante à representação a seguir.

Ilustração de um portão de madeira com ripas na horizontal e duas se cruzando nas diagonais. Há a demarcação de um ângulo alfa entre o cruzamento das duas madeiras, à esquerda. Também há a demarcação que as madeiras das diagonais formam ângulo beta com linha horizontal.

Todas as madeiras horizontais do portão são paralelas. Sabendo que $β$ mede $23 graus$ , determine a medida de $α$ .

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31. A figura geométrica a seguir é formada por uma reta transversal que corta duas retas paralelas. Cada par de ângulos colaterais internos e de ângulos colaterais externos estão destacados com a mesma cor. Com base nessas informações, resolva o que se pede nos itens.

a) Calcule $\hat{b} + \hat{e}$ e $\hat{c} + \hat{h}$ .

b) Qual é a soma das medidas de cada par de ângulos colaterais internos?

c) Calcule $\hat{a} + \hat{f}$ e $\hat{d} + \hat{g}$ .

d) Qual é a soma das medidas de cada par de ângulos colaterais externos?

e) Os ângulos colaterais internos e colaterais externos são complementares ou suplementares?

32. Na imagem, as retas r e s são paralelas.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos: a', b, 90 graus. Há uma reta s cruzando o lado entre os vértices com ângulos internos a e b, formando 120 graus à direita e acima desse cruzamento. Paralela à reta s, há a reta r, que passa pelo vértice que possui o ângulo interno a, formando 140 graus entre r e a continuidade do lado entre vértices com ângulos a e 90 graus.

Quais são as medidas $\hat{a}$ e $\hat{b}$ ?

33. As retas r e s na figura geométrica a seguir podem ser paralelas? Justifique sua resposta.

Ilustração de duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t. O cruzamento com a reta r forma o ângulo: 133 graus à esquerda e acima do cruzamento. Do mesmo modo, o cruzamento com a reta s forma o ângulo: 44 graus à esquerda e abaixo do cruzamento.

34. A seguir, as retas j e k são paralelas cortadas pela transversal i.

Ilustração de duas retas paralelas, j e k, cortadas por uma transversal, i. O cruzamento de i com j forma o ângulo: n à esquerda e abaixo do cruzamento. Do mesmo modo, o cruzamento de i com k forma o ângulo m à direita e acima do cruzamento.

Determine a afirmação verdadeira.

a) os ângulos de medidas $\hat{m}$ e $\hat{n}$ são complementares.

b) os ângulos de medidas $\hat{m}$ e $\hat{n}$ são suplementares.

c) os ângulos de medidas $\hat{m}$ e $\hat{n}$ são iguais.

d) os ângulos de medidas $\hat{m}$ e $\hat{n}$ são adjacentes.

35. Na figura geométrica a seguir, as retas r e s são paralelas cortadas pelas transversais t e u.

Ilustração de três retas, s, t, u que se cruzam formando um triângulo. No vértice formado pelo cruzamento das retas a e u, há o ângulo interno a. No vértice formado pelo cruzamento das retas s e t, há o ângulo interno e; e o ângulo externo e suplementar f. No vértice formado pelo cruzamento das retas u e t, há o ângulo interno c, há uma reta r paralela a reta s passando pelo vértice formando pelo cruzamento das retas u e t, nela há a representação dos ângulos externos e suplementares na reta r, ângulo b e, ângulo a.

Podemos afirmar que:

a) $\hat{f} = \hat{b} + \hat{c}$

b) $\hat{a} = \hat{e}$

c) $\hat{c} + \hat{d} = \hat{e} + \hat{f}$

d) $\hat{f} = \hat{d}$

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Polígonos

Você provavelmente já estudou polígonos, seus elementos e algumas de suas características. Neste momento, vamos estudar também os seus ângulos internos.

Considere algumas linhas em um plano. Tais linhas podem ser abertas ou fechadas, cruzando-se ou não.

Classificação para linhas em um plano
Linhas	Que se cruzam (não simples)	Que não se cruzam (simples)
Abertas
Fechadas

Uma linha do plano fechada, formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam, de maneira que dois segmentos consecutivos não são parte de uma mesma reta, é chamada polígono. Cada segmento de reta é um lado do polígono.

A região interna a um polígono é a região plana delimitada por ele. Um polígono e sua região interna determinam uma região poligonal. No entanto, exceto quando dito o contrário, também vamos usar a palavra polígono para nos referir à região poligonal correspondente, ou seja, à figura geométrica plana formada por seus lados (contorno) e sua região interna.

A seguir, alguns elementos de um polígono foram destacados.

Ilustração de um quadrilátero A B C D, com a demarcação de vértice, lado e ângulo interno.

Vértices: A, B, C e D.
Lados: $\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D}$ e $\overline{A D}$ .
Ângulos internos: $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ e $\hat{D}$ .

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Podemos nomear um polígono conforme a quantidade de lados que ele tem. Exemplos:

Polígonos
Quantidade de lados do polígono	Nome do polígono
3	triângulo
4	quadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octógono
9	eneágono
10	decágono
11	undecágono
12	dodecágono

Ilustração de um polígono de 4 lados com seus ângulos internos demarcados. — Quadrilátero.

Ilustração de um polígono de 5 lados com seus ângulos internos demarcados. — Pentágono.

Ilustração de um polígono de 6 lados com seus ângulos internos demarcados. — Hexágono.

Ilustração de um polígono de 7 lados com seus ângulos internos demarcados. — Heptágono.

Ilustração de um polígono de 8 lados com seus ângulos internos demarcados. — Octógono.

Ilustração de um polígono de 9 lados com seus ângulos internos demarcados. — Eneágono.

Os polígonos que têm todos os lados com a mesma medida de comprimento e todos os ângulos internos com a mesma medida são denominados polígonos regulares.

Os polígonos também podem ser classificados em convexos ou não convexos.

Um polígono é convexo quando qualquer reta que passa por seu interior corta seus lados em somente dois pontos. Analise dois exemplos.

Ilustração de um polígono de 5 lados com uma reta o cruzando e cortando seus lados em dois pontos.

Ilustração de um polígono de 6 lados com uma reta o cruzando e cortando seus lados em dois pontos.

Um polígono é não convexo quando existe pelo menos uma reta que passa por seu interior cortando seus lados em mais de dois pontos. Analise dois exemplos.

Ilustração de um polígono de 4 lados com uma reta que cruza seus 4 lados em 4 pontos.

Ilustração de um polígono de 10 lados com duas reta, uma cruzando 4 de seus lados em 4 pontos e a outra também cruzando 4 de seus lados em 4 pontos.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

36. Classifique os polígonos a seguir conforme a quantidade de lados.

Ilustração de um polígono irregular de 5 lados.

Ilustração de um polígono irregular de 7 lados.

Ilustração de um polígono irregular de 4 lados.

Ilustração de um polígono irregular de 6 lados.

37. Muitos artistas utilizam figuras geométricas planas como fonte de inspiração para compor suas obras. Entre eles, podemos citar o holandês Piet Mondrian (1872-1944) e o brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003), um dos principais artistas do abstracionismo^✚ no Brasil.

Analise a seguir duas obras desses artistas. Depois, identifique polígonos em cada uma delas e classifique-os conforme a quantidade de lados.

Abstracionismo:: ou arte abstrata, é conhecido por não se preocupar em representar seres ou objetos com formatos reais. No abstracionismo geométrico, comumente usam-se figuras geométricas, linhas e cores para compor a obra.^↰

Fotografia de uma pintura com tons de vermelho, composta por polígonos de 3, 4, 5 e 6 lados. — Concreção 8601, de Luiz Sacilotto. Têmpera vinílica sobre tela, $90 centímetros por 90 centímetros$ , 1986.

Fotografia de uma pintura com polígonos de 4 lados, de vários tamanhos, branco, azul, vermelho e amarelo. — Composição II com vermelho, azul e amarelo, de Piet Mondrian. Óleo sobre tela, $46 centímetros por 46 centímetros$ , 1929.

38. No caderno, nomeie os lados, vértices e ângulos internos dos polígonos a seguir.

Ilustração de um pentágono irregular de vértices, em sentido horário, B, A, E, D, C e com seus ângulos internos demarcados.

Ilustração de um polígono irregular com 7 lados de vértices, em sentido horário, G, F, K, J, I, H e com seus ângulos internos demarcados.

Ilustração de um quadrilátero irregular de vértices, em sentido horário, G, F, K, J, I, H e com seus ângulos internos demarcados.

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39. Classifique os polígonos em convexos ou não convexos.

Ilustração de um polígono irregular de 7 lados em que todos os seus ângulos internos são maiores que 90 graus.

Ilustração de um polígono irregular de 8 lados em que alguns de seus ângulos internos medem 90 graus e outros medem mais que 90 graus.

Ilustração de um polígono irregular de 11 lados em que 5 lados do polígono estão dispostos em zig-zag o mesmo do outro lado com outros 5 lados, e um lado fecha a base do polígono.

Ilustração de um polígono de 4 lados, semelhante a uma trapézio retângulo.

40. Qual é a menor quantidade de lados de um polígono?

41. O polígono a seguir foi dividido em outros dois.

Polígono original

Ilustração de um polígono de 7 lados com uma linha tracejada o cortando simetricamente ao meio.

Polígono dividido

Ilustração de dois polígonos de 5 lados, iguais, mas espelhados, lado a lado.

a) Classifique o polígono original, antes de ser dividido, de acordo com a quantidade de lados.

b) Agora, classifique os polígonos obtidos após a divisão de acordo com a quantidade de lados.

42. Alguns polígonos foram desenhados em uma malha formada por triângulos regulares.

Ilustração de uma malha triangular com 5 polígonos pintados. O polígono A é um hexágono com lados com diferentes medidas; o polígono B é um losango com todos os lados iguais e ângulos internos com medidas diferentes; o polígono C é um triângulo com todos os lados e ângulos internos com medidas iguais; o polígono D é um paralelogramo com lados com diferentes medidas; e o polígono E é um hexágono com todos os lados e ângulos internos com medidas iguais.

Quais desses polígonos são regulares?

43. Quais polígonos formam as faces de:

a) um prisma de base triangular?

b) uma pirâmide de base quadrada?

44. Classifique, em relação à quantidade de lados, os polígonos que formam os mosaicos a seguir.

Ilustração de um mosaico formado por polígonos de 6 lados e de por polígonos de 3 lados.

Ilustração de um mosaico formado por polígonos de 4 lados e por polígonos de 5 lados.

45. Analise o prisma A e a pirâmide B.

Ilustração de um prisma de base pentagonal.

Ilustração de um prisma de base hexagonal.

Com base nas figuras que você analisou, indique a afirmação verdadeira.

a) As faces laterais do prisma A são pentágonos, e as bases, triângulos.

b) As duas figuras geométricas espaciais têm faces que são pentágonos.

c) Nenhuma das figuras geométricas espaciais tem faces hexagonais.

d) Podemos nomear os polígonos que formam as faces e a base da pirâmide B de triângulos e hexágono, respectivamente.

e) As faces e as bases do prisma A são polígonos com a mesma quantidade de lados.

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Triângulos

Você já deve ter estudado anteriormente que o triângulo é o polígono com a menor quantidade de lados. Agora, vamos conhecer outros elementos e propriedades a respeito dele.

Triângulo é um polígono que tem 3 lados e, consequentemente, 3 vértices, 3 ângulos internos e 3 ângulos externos.

Na imagem, está representado um triângulo e alguns de seus elementos.

Ilustração de um triângulo A B C com ângulos internos a minúsculo, b minúsculo e c minúsculo. O ângulo externo e suplementar de a minúsculo é d minúsculo. O ângulo externo e suplementar de c minúsculo é f minúsculo. O ângulo externo e suplementar de b minúsculo é e minúsculo.

Nome: triângulo $A B C$ ou $△ A B C$ .
Lados: $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ e $\overline{A C}$ .
Vértices: $A$ , $B$ e $C$ .
Medidas dos ângulos internos: $\hat{a}$ , $\hat{b}$ e $\hat{c}$ .
Medidas dos ângulos externos: $\hat{d}$ , $\hat{e}$ e $\hat{f}$ .

Nesse triângulo, o lado $\overline{B C}$ é chamado lado oposto ao ângulo de medida $\hat{a}$ e, do mesmo modo, o ângulo de medida $\hat{a}$ é chamado ângulo oposto ao lado $\overline{B C}$ .

Os triângulos podem ser classificados conforme as medidas dos comprimentos dos lados e a medida dos seus ângulos internos.

Classificação de triângulos de acordo com as medidas dos lados.

Equilátero

Triângulo que tem todos os lados com medidas de comprimento iguais.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é c minúsculo; lado B C é a minúsculo; e lado A C é b minúsculo. Há um risquinho cortando cada lado do triângulo indicando que todos possuem a mesma medida.

$a = b = c$ .

Isósceles

Triângulo que tem pelo menos 2 lados com medidas de comprimento iguais.

Ilustração de um triângulo D E F. As medidas de comprimentos dos lados são: lado D E é f minúsculo; lado E F é d minúsculo; e lado D F é e minúsculo. Há dois risquinhos cortando os lados D F e E F indicando que possuem a mesma medida. Há um risquinho cortando o lado D E.

$e = d$ .

Escaleno

Triângulo que tem os 3 lados com medidas de comprimento diferentes.

Ilustração de um triângulo G H I. As medidas de comprimentos dos lados são: lado G H é i minúsculo; lado H I é g minúsculo; e lado G I é h minúsculo. Há dois risquinhos cortando os lados G I e H I indicando que possuem a mesma medida. Há um risquinho cortando o lado G H.

$i \neq g$ , $g \neq h$ e $i \neq h$ .

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Classificação de triângulos conforme as medidas dos ângulos internos.

Acutângulo

Triângulo que tem os 3 ângulos internos agudos.

Ilustração de um triângulo de vértices J L K, com seus 3 ângulos internos demarcados: j minúsculo, i minúsculo, k minúsculo.

$0 grau menor do que medida do ângulo j menor do que 90 graus$ , $0 grau menor do que medida do ângulo k menor do que 90 graus$ e $0 grau menor do que medida do ângulo i menor do que 90 graus$

Retângulo

Triângulo que tem 1 ângulo interno reto.

$medida do ângulo n igual a 90 graus$

Obtusângulo

Triângulo que tem 1 ângulo interno obtuso.

Ilustração de um triângulo de vértices R Q P, com seus 3 ângulos internos demarcados: r minúsculo, q minúsculo, p minúsculo.

$90 graus menor do que medida do ângulo p menor do que 180 graus$

Analise, agora, algumas construções com palitos de sorvete e tachinhas.

Ilustração de 3 palitos de sorvete ligados um ao outro por suas extremidades, com tachinhas, formando um triângulo.

Ilustração de 4 palitos de sorvete ligados um ao outro por suas extremidades, com tachinhas, formando um quadrado.

Ilustração de 4 palitos de sorvete ligados um ao outro por suas extremidades, com tachinhas, formando um paralelogramo com ângulos internos diferentes de 90 graus. Ao fundo há a projeção desses palitos formando um quadrilátero com ângulos internos de 90 graus.

Ilustração de 4 palitos de sorvete ligados um ao outro por suas extremidades, com tachinhas, formando um losango.

A construção com formato triangular é a única que não permite ser deformada. Essa característica é conhecida como rigidez do triângulo.

Com os demais formatos, é possível obter outras construções mantendo a quantidade e as medidas do comprimento dos lados e variando as medidas dos ângulos internos.

Atenção!

A característica de rigidez do triângulo é motivo pelo qual as estruturas triangulares são usadas, por exemplo, em objetos do dia a dia e em construções.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de um triângulo de sinalização em uma via e ao fundo um carro parado. — Triângulo de sinalização.

Fotografia da vista de baixo de um telhado, com sua estrutura de madeira possuindo formato triangular. — Estrutura de madeira de uma cobertura.

Página 167

Imagine três segmentos de reta com as suas respectivas medidas de comprimento. Será que podemos construir um triângulo usando as medidas de comprimento desses segmentos como medidas dos lados? A seguir, estudaremos a condição de existência dos triângulos para descobrir a resposta a essa pergunta.

Nas imagens, estão apresentados dois exemplos de construções impossíveis.

Ilustração de um segmento de reta, com seus pontos das extremidades A, B e sua medida comprimento indicada de 6 centímetros. Cada ponto A e B é centro de um arco pontilhado traçado cruzando o próprio segmento. O arco com centro em A possui um segmento de reta partindo de A ate um ponto D no arco, esse segmento mede 2,2 centímetros. O arco com centro em A possui um segmento de reta partindo de B até um ponto C no arco, esse segmento mede 3,4 centímetros. A figura final lembra um triângulo sem um de seus vértices.

$6 maior do que 2 vírgula 2 mais 3 vírgula 4. está indicado que 2 vírgula 2 mais 3 vírgula 4 corresponde a 5 vírgula 6$

Ilustração de um segmento de reta, com seus pontos das extremidades E, F e sua medida comprimento indicada de 6,4 centímetros. Cada ponto E e F é centro de um arco pontilhado traçado cruzando o próprio segmento. O arco com centro em E possui um segmento de reta partindo de E ate um ponto H no arco, esse segmento mede 2,3 centímetros. O arco com centro em F possui um segmento de reta partindo de F até um ponto G no arco, esse segmento mede 4,1 centímetros. A figura final lembra um triângulo sem um de seus vértices.

$6 vírgula 4 igual a 2 vírgula 3 mais 4 vírgula 1 está indicado que 2 vírgula 3 mais 4 vírgula 1 corresponde a 6 vírgula 4$

Agora, a imagem mostra o exemplo de uma construção possível de triângulo.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é 6,9 centímetros; lado B C é 5,3 centímetros; e lado A C é 3,7 centímetros.

$6 vírgula 9 menor do que 3 vírgula 7 mais 5 vírgula 3 está indicado que 3 vírgula 7 mais 5 vírgula 3 corresponde a 9$
$3 vírgula 7 menor do que 6 vírgula 9 mais 5 vírgula 3. está indicado que 6 vírgula 9 mais 5 vírgula 3 corresponde a 12 vírgula 2$
$5 vírgula 3 menor do que 6 vírgula 9 mais 3 vírgula 7. está indicado que 6 vírgula 9 mais 3 vírgula 7 corresponde a 10 vírgula 6$

Para a construção de um triângulo ser possível, a medida do comprimento de cada lado dele precisa ser menor do que a soma das medidas do comprimento dos outros dois. Assim, se considerarmos três segmentos de reta tais que um tem medida de comprimento maior do que a soma da medida do comprimento dos outros dois, não podemos formar um triângulo com essas medidas de comprimento de segmentos de reta.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é c minúsculo; lado B C é a minúsculo; e lado A C é b minúsculo.

Em termos gerais, para ser possível a construção de um triângulo com seus lados medindo a, b e c de comprimento, a condição de existência precisa ser satisfeita.

$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$

Ou seja, se essas sentenças são verdadeiras, o triângulo pode ser construído com essas medidas.

Questão 6. Escreva no seu caderno um número representando uma medida de comprimento em centímetros. Depois, junte-se a dois colegas, reúnam a medida de cada um formando três medidas e, com uma calculadora, verifique se é possível construir um triângulo com elas.

Página 168

Instrumentos e softwares

Construindo triângulo com régua e compasso

Com as orientações do professor e o passo a passo a seguir, construa um triângulo cujas medidas dos comprimentos dos lados são $5 centímetros$ , $4 centímetros$ e $3 centímetros$ .

1º. Trace um segmento de reta $A B$ com uma das medidas de comprimento, nesse caso, $5 centímetros$ .

Ilustração de um lápis traçando uma reta que passa nos pontos A e B, com o auxílio de uma régua. O ponto A está no marco 0 e o ponto B está no marco 5.

2º. Com a ponta-seca do compasso em $A$ e abertura de $4 centímetros$ , trace um arco de circunferência.

Ilustração de um compasso traçando um arco, com sua ponta seca no ponto A do segmento de reta que vai do ponto A ao ponto B.

3º. Com a ponta-seca do compasso em $B$ e abertura de $3 centímetros$ , trace um arco de circunferência. O ponto em que os arcos se cruzam é o vértice $C$ do triângulo.

Ilustração de um compasso traçando um arco, com sua ponta seca no ponto B do segmento de reta que vai de um ponto A ao ponto B. O arco traçado cruza com outro já desenhado.

4º. Com a régua, trace os segmentos $B C$ e $A C$ e obtenha o triângulo $A B C$ . Por fim, apague as marcas dos arcos.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é 5 centímetros; lado B C é 3 centímetros; e lado A C é 4 centímetros.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Nomeie os vértices, as medidas dos ângulos internos e as dos ângulos externos de cada triângulo.

Ilustração de um triângulo C D F com ângulos internos c minúsculo, d minúsculo, f minúsculo. O ângulo externo e suplementar de c minúsculo é g minúsculo. O ângulo externo e suplementar de d minúsculo é h minúsculo. O ângulo externo e suplementar de f minúsculo é i minúsculo.

Ilustração de um triângulo M N O com ângulos internos m minúsculo, n minúsculo, o minúsculo. O ângulo externo e suplementar de m minúsculo é p minúsculo. O ângulo externo e suplementar de n minúsculo é q minúsculo. O ângulo externo e suplementar de o minúsculo é r minúsculo.

47. Copie no caderno cada item substituindo o $█$ pela palavra adequada.

a) Em um triângulo, o ponto comum de cada 2 lados é chamado $█$ .

b) O triângulo é um polígono formado por $█$ segmentos de reta.

c) Qualquer polígono de 3 lados é chamado $█$ .

d) Um triângulo tem $█$ vértices.

48. Junte-se a um colega e respondam às seguintes questões.

a) Quando um triângulo é chamado isósceles?

b) Quais são as medidas de comprimento dos outros dois lados de um triângulo equilátero, sabendo que um deles mede $5 centímetros$ de comprimento?

c) A soma das medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo escaleno é $15 centímetros$ . Quais são as possíveis medidas de comprimento inteiras para os lados dele?

d) Como é classificado, quanto às medidas dos lados, um triângulo com os lados medindo $3 centímetros$ , $5 centímetros$ e $5 centímetros$ de comprimento?

49. Classifique os triângulos representados a seguir conforme a medida do comprimento dos seus lados.

Ilustração de um triângulo G H I. As medidas de comprimentos dos lados são: lado G H é 4 metros; lado H I é 5,8 metros; e lado G I é 4 metros.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é 3 metros; lado B C é 3 metros; e lado A C é 4 metros.

Ilustração de um triângulo M N O. As medidas de comprimentos dos lados são: lado M N é 3 metros; lado N O é 3 metros; e lado O M é 3 metros.

Ilustração de um triângulo D E F. As medidas de comprimentos dos lados são: lado D E é 6 metros; lado E F é 2,8 metros; e lado D F é 8,3 metros..

50. Classifique cada triângulo a seguir em acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Ilustração de um triângulo M N O com a indicação de todos os seus ângulos internos de 60 graus.

Ilustração de um triângulo G H I com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 45 graus; 43 graus; e 92 graus.

Ilustração de um triângulo A B C com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 37 graus; 53 graus; e 90 graus.

Ilustração de um triângulo J K L com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 62 graus; 43 graus; e 75 graus.

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51. Em seu caderno, escreva um algoritmo apresentando o passo a passo da construção de um triângulo qualquer, dada a medida de comprimento dos três lados, usando os mesmos procedimentos indicados na seção Instrumentos e softwares da página 168. Por último, represente-o por meio de um fluxograma.

52. Usando os mesmos passos da seção Instrumentos e softwares da página 168, construa um triângulo cujos comprimentos dos lados medem $7 centímetros$ , $6 centímetros$ e $5 centímetros$ . Em seguida, organize em um fluxograma os procedimentos que você realizou para fazer essa construção.

Agora, meça com um transferidor os ângulos internos do triângulo construído e verifique se ele é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Versão adaptada acessível

52. Junte-se a um colega e, usando os mesmos passos da seção Instrumentos e softwares da página 168, construam um triângulo cujos comprimentos dos lados meçam 7 cm, 6 cm e 5 cm. Em seguida, organizem em um fluxograma os procedimentos que vocês realizaram para fazer essa construção.

Agora, meçam com um transferidor os ângulos internos do triângulo construído e verifiquem se ele é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

53. Igor fortaleceu o portão de sua horta colocando uma madeira na transversal, como a representação a seguir.

Ilustração de um portão de madeira com ripas de madeira na vertical. Na parte superior e na inferior do portão há uma ripa de madeira na horizontal, pregada nas verticais, e outra na diagonal das duas horizontais.

Por que a madeira colocada por Igor fortaleceu o portão?

54. Considere um serralheiro que dispõe de várias barras de ferro cujas medidas são $9 metros$ , $12 metros$ e $3 metros$ de comprimento. Cite algumas combinações de três dessas barras que tornam possível construir um triângulo.

55. Para confeccionar uma maquete, Paula pretende montar a estrutura do telhado de uma casa em formato de triângulo. Para isso, ela dispõe de 3 palitos cujas medidas de comprimento são $7 centímetros$ , $5 centímetros$ e $2 centímetros$ , respectivamente. É possível usá-los para construir essa figura geométrica? Por quê?

56. Quais dos quadros a seguir apresentam 3 medidas de comprimento com as quais é possível construir um triângulo?

A. $8 centímetros$ , $3 centímetros$ e $5 centímetros$ .

B. $7 vírgula 2 centímetros$ , $2 vírgula 8 centímetros$ e $12 centímetros$ .

C. $6 centímetros$ , $4 vírgula 2 centímetros$ e $3 vírgula 5 centímetros$ .

D. $5 vírgula 5 centímetros$ , $2 centímetros$ e $4 vírgula 8 centímetros$ .

E. $6 vírgula 8 centímetros$ , $6 vírgula 2 centímetros$ e $12 centímetros$ .

57. Escreva no caderno a menor e a maior medida de comprimento inteira possíveis para x em cada um dos triângulos a seguir.

Ilustração de um triângulo A B C. As medidas de comprimentos dos lados são: lado A B é 6 centímetros; lado B C é x; e lado A C é 2 centímetros.

Ilustração de um triângulo D E F. As medidas de comprimentos dos lados são: lado D E é x; lado E F é 4 centímetros; e lado F D é 3 centímetros.

Ilustração de um triângulo G H I. As medidas de comprimentos dos lados são: lado G H é 5 centímetros; lado H I é 3 centímetros; e lado G I é x.

Ilustração de um triângulo J K L. As medidas de comprimentos dos lados são: lado J K é 4 centímetros; lado K L é x; e lado J L é 1 centímetros.

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Ângulos internos em polígonos convexos

Daniela desenhou um triângulo, marcou seus ângulos internos com cores diferentes e mediu cada um deles.

Ilustração de uma folha de caderno com um triângulo A B C desenhado. Há um transferidor medindo cada ângulo interno do triângulo e as informações: medida do ângulo A igual a 42 graus, medida do ângulo B igual a 57 graus e medida do ângulo C igual a 81 graus.

Em seguida, Daniela adicionou as medidas obtidas nesse triângulo.

$△ A B C$ : $medida do ângulo a mais medida do ângulo b mais medida do ângulo c igual a 42 graus mais 57 graus mais 81 graus igual a 180 graus$

Note que, ao adicionarmos as medidas dos ângulos internos do triângulo apresentado, obtemos $180 graus$ . Isso ocorre em qualquer triângulo.

Agora, vamos realizar a atividade a seguir.

Ilustração de um papel com um triângulo desenhado. Os ângulos internos do triângulo estão demarcados com as cores verde, laranja e roxa. — Primeiro, construímos um triângulo qualquer em uma folha de papel, destacamos seus ângulos internos e o recortamos.

Ilustração com o triângulo anterior recortado em 3 partes. O recorte separa cada ângulo interno. — Separamos o triângulo em 3 partes, cada uma com um de seus ângulos internos.

Ilustração com as 3 partes recortadas do triângulo anterior. Essas partes estão encaixadas lado a lado, com um vértice em comum e os três ângulos internos formando um ângulo de 180 graus. — Encaixamos essas partes lado a lado e concluímos que os três ângulos internos juntos formam um ângulo de $180 graus$ .

Portanto, concluímos na prática que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é $180 graus$ .

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Agora, vamos demonstrar que essa propriedade é válida para todos os triângulos.

Considere o triângulo $A B C$ a seguir e a medida de cada ângulo interno sendo $\hat{a}$ , $\hat{b}$ e $\hat{c}$ .

Ilustração de um triângulo A B C com ângulos internos a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo, respectivamente.

Traçando uma reta paralela ao lado $\overline{B C}$ que passa pelo vértice $A$ , obtemos os ângulos de medida $\hat{x}$ e $\hat{y}$ , indicados a seguir.

Ilustração de um triângulo A B C com ângulos internos a minúsculo, b minúsculo, c minúsculo, respectivamente. Há uma reta passando pelo vértice A paralela ao lado BA do triângulo. Os ângulos externos e suplementares de a são x e y.

Nesse caso, $\hat{x} = \hat{b}$ e $\hat{y} = \hat{c}$ , pois são as medidas dos ângulos alternos internos. Assim:

Esquema formado pelas equações: ângulo x mais ângulo a mais ângulo y, igual a 180 graus. Abaixo há a outra equação: ângulo a mais ângulo b mais ângulo c, igual a 180 graus. O ângulo x da primeira equação está relacionado com o ângulo b da segunda e o ângulo y da primeira equação está relacionado com o ângulo c da segunda.

Esse procedimento pode ser feito para qualquer triângulo e chegaremos à mesma conclusão. Assim, a propriedade vale sempre. Com isso, concluímos que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180 graus$ .

Para obtermos a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, podemos dividi-lo em triângulos não sobrepostos, ligando alguns de seus vértices não consecutivos. Depois, multiplicamos por $180 graus$ a quantidade de triângulos obtidos. Como exemplo, vamos aplicar esse procedimento no pentágono convexo a seguir.

Atenção!

Ao decompor um polígono convexo em triângulos, os vértices dos triângulos devem coincidir com os do polígono.

Ilustração de um pentágono irregular A B C D E.

Ilustração de um pentágono irregular A B C D E. Internamente há as os segmentos de reta tracejados indo de A. a D e de A. a C.

$3 vezes 180 graus igual a 540 graus$

3 triângulos.

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é $540 graus$ .

Página 173

Atividades

Faça as atividades no caderno.

58. Calcule mentalmente e indique em quais dos triângulos a seguir o ângulo x mede $51 graus$ .

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 94 graus; 33 graus; e x.

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 74 graus; 55 graus; e x.

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 82 graus; x; e x.

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: 22 graus; 107 graus; e x.

59. Os polígonos a seguir estão divididos em triângulos. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de cada um deles.

Ilustração de um pentágono irregular dividido em 3 triângulos.

Ilustração de um octógono dividido em 6 triângulos.

Ilustração de um heptágono irregular dividido em 5 triângulos.

Ilustração de um hexágono irregular dividido em 4 triângulos.

60. Determine as medidas de $\hat{b}$ e $\hat{c}$ no triângulo a seguir, sabendo que $\hat{b}$ é o dobro de $\hat{a}$ .

Ilustração de um triângulo com as seguintes medidas de seus ângulos internos: a minúsculo igual a 40 graus; b minúsculo; e c minúsculo.

61. Douglas desenhou um polígono de acordo com os seguintes comandos.

Trace um segmento de reta:

$A B$ de $3 vírgula 5 centímetros$ ;
$B C$ de $3 vírgula 3 centímetros$ formando um ângulo $A \hat{B} C$ de $60 graus$ ;
de $A$ até $C$ .

Realize as medições necessárias e verifique qual dos polígonos a seguir Douglas desenhou.

Ilustração de um triângulo A B C com a medida do ângulo B menor que 60 graus.

Ilustração de um triângulo A B C com A B medindo 3,5 centímetros, B C medindo 3,3 centímetros e o ângulo b medindo 60 graus.

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62. De acordo com as medidas indicadas em cada polígono, determine quais são os polígonos regulares.

Ilustração de um pentágono com os lados demarcados medindo, em sentido horário, 2,1 centímetros, 3,1 centímetros, 4 centímetros, 2 centímetros e 3,6 centímetros. Os ângulos internos desse polígono medem, em sentido horário, 119 graus, 98 graus, 93 graus, 127 graus e 103 graus.

Ilustração de um quadrilátero com todos os lados demarcados e medindo 2,4 centímetros e os 4 ângulos internos medindo 90 graus.

Ilustração de um pentágono com todos os lados demarcados e medindo 3,1 centímetros e os 5 ângulos internos medindo 108 graus.

63. Existem elementos que lembram polígonos tanto nas construções como na natureza. Na natureza, um exemplo são os alvéolos construídos pelas abelhas.

Fotografia de dois favos de mel com destaque para um alvéolo visto de cima. Ele se assemelha a um polígono regular de 6 lados. — Favos de mel.

a) A vista de cima de cada alvéolo lembra um polígono regular. Qual é o nome dele?

b) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que você citou no item a?

c) Qual é a medida de cada ângulo interno dele?

64. Junte-se a um colega e analisem as figuras a seguir.

Ilustração de um trapézio de vértices A B C D.

Ilustração de um paralelogramo de vértices M N O P. E com ângulos internos diferentes de 90 graus.

Ilustração de um triângulo de vértices E F G.

Ilustração de um pentágono de vértices Q R S T U.

Ilustração de um quadrilátero de vértices H I J K.

Quais das afirmações a seguir são verdadeiras?

a) Os polígonos $A B C D$ e $M N O P$ são regulares.

b) A soma das medidas dos ângulos internos do polígono $H I J K$ é igual à do $M N O P$ .

c) A soma das medidas dos ângulos internos do polígono $Q R S T U$ é quatro vezes a soma das medidas dos ângulos internos do polígono $E F G$ .

d) A soma das medidas dos ângulos internos do polígono $H I J K$ é $360 graus$ .

65. Considerando as afirmações da atividade 64, reescrevam no caderno as falsas, corrigindo-as.

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Ângulos externos em polígonos convexos

Analise experimentalmente a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo, conforme os procedimentos a seguir.

Nas imagens, estão representados os ângulos externos de cada polígono sendo recortados e, em seguida, encaixados.

Ilustração de um papel com o desenho de um triângulo e seus 3 ângulos externos demarcados. Há uma tesoura começando a cortar o ângulo externo.

Ilustração com os 3 ângulos externos recortados do triângulo anterior. Essas partes estão encaixadas lado a lado, com um vértice em comum e os 3 ângulos formando um ângulo de 360 graus.

Ilustração de um papel com o desenho de um quadrilátero e seus 4 ângulos externos demarcados. Há uma tesoura começando a cortar o ângulo externo.

Ilustração com os 4 ângulos externos recortados do quadrilátero anterior. Essas partes estão encaixadas lado a lado, com um vértice em comum e os 4 ângulos formando um ângulo de 360 graus.

Ilustração de um papel com o desenho de um pentágono e seus 5 ângulos externos demarcados. Há uma tesoura começando a cortar o ângulo externo.

Ilustração com os 5 ângulos externos recortados do pentágono anterior. Essas partes estão encaixadas lado a lado, com um vértice em comum e os 5 ângulos formando um ângulo de 360 graus.

Questão 7. De acordo com as imagens, o que podemos notar em relação à soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo?

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre $360 graus$ .

Agora, vamos estudar outra propriedade envolvendo os ângulos internos e externos em um triângulo. Para isso, considere um triângulo $A B C$ qualquer. Prolongando o lado $\overline{B C}$ , determinamos um ângulo externo cuja medida será indicada por $\hat{x}$ .

Ilustração de um triângulo de vértices A B C, com seus 3 ângulos internos demarcados: a, b, c. — Triângulo $A B C$ .

Ilustração de um triângulo de vértices A B C, com seus 3 ângulos internos demarcados: a, b, c. Há um prolongamento do lado B C e está demarcado o ângulo externo x, suplementar a c. — Lado $\overline{B C}$ prolongado e ângulo externo $\hat{x}$ .

Os ângulos de medida $\hat{c}$ e $\hat{x}$ são adjacentes, pois têm apenas o lado $\overline{A C}$ comum. Pela construção feita, esses ângulos são suplementares. Então, $medida do ângulo c mais medida do ângulo x igual a 180 graus$ ou, ainda, $medida do ângulo c igual a 180 graus menos medida do ângulo x$ .

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Além disso, como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é $180 graus$ , então $medida do ângulo a mais medida do ângulo b mais medida do ângulo c igual a 180 graus$ . Substituindo $\hat{c}$ por $180 graus menos a medida do ângulo x$ nessa igualdade, obtemos:

Esquema formado pelas equações: ângulo a mais ângulo b mais ângulo c, igual a 180 graus. Na segunda linha há a equação: ângulo a mais ângulo b mais 180 graus menos ângulo x, igual a 180 graus. O ângulo c da primeira equação está relacionado com o ângulo 180 gruas menos ângulo x da segunda. Na terceira linha: ângulo a mais ângulo b mais 180 graus menos ângulo x menos 180 graus, igual a 180 graus menos 180 graus. Na quarta linha: ângulo a mais ângulo b menos ângulo x, igual a 0. Na quinta linha: ângulo x, igual a ângulo a mais ângulo b, com a indicação que o ângulo x é a medida do ângulo externo ao ângulo de medida c; o ângulo a e o ângulo b são as medidas dos ângulos internos não adjacentes ao ângulo de medida x.

Esse procedimento pode ser feito com qualquer vértice do triângulo e chegaremos à mesma relação entre as medidas dos ângulos. Assim, mostramos a validade da propriedade a seguir.

Em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Ângulos internos e ângulos externos em polígonos regulares

Como visto anteriormente, polígonos regulares têm lados com medidas iguais e ângulos internos congruentes. Como consequência, os ângulos externos de um polígono regular também são todos congruentes. Exemplos:

Ilustração de um triângulo com ângulos internos e externos demarcados. Os ângulos internos medem 60 graus e os ângulos externos medem 120 graus.

Ilustração de um quadrilátero com ângulos internos e externos demarcados. Os ângulos internos medem 90 graus e os ângulos externos medem 90 graus.

Ilustração de um pentágono com ângulos internos e externos demarcados. Os ângulos internos medem 108 graus e os ângulos externos medem 72 graus.

Atenção!

Cada ângulo interno e seu ângulo externo adjacente são suplementares.

Para calcular a medida do ângulo externo de um polígono, dividimos $360 graus$ pela quantidade de lados dele.

Para calcular a medida do ângulo interno, subtraímos a medida do ângulo externo de $180 graus$ .

Exemplos:

Cálculo da medida do ângulo externo do octógono regular.

Esquema com uma igualdade. Início de fração, numerador: 360 graus, denominador: 8, fim de fração, igual 45 graus. Está indicado que 360 graus corresponde a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono. E 8 corresponde a quantidade de lados do octógono.

Portanto, cada ângulo externo do octógono regular mede $45 graus$ .

Cálculo da medida do ângulo interno do decágono regular.

Esquema com as igualdades: 180 graus, menos, abre parênteses, início de fração, numerador: 360 graus, denominador: 10, fim de fração, fecha parênteses, igual a 180 graus, menos 36 graus, igual a 144 graus. Está indicado que a fração é a medida de um ângulo externo do dodecágono regular.

Portanto, cada ângulo interno do decágono regular mede $144 graus$ .

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Instrumentos e softwares

Construindo polígono regular com régua e transferidor

Com as orientações do professor e o passo a passo a seguir, podemos construir um pentágono regular $A B C D E$ cujos lados medem $4 centímetros$ de comprimento.

1º. Calcule a medida do ângulo interno do pentágono regular, nesse caso, $108 graus$ .

2º. Com a régua, trace o lado $\overline{A B}$ com $4 centímetros$ .

Ilustração de um lápis traçando uma reta que passa nos pontos A e B, com o auxílio de uma régua. O ponto A está no marco 0 e o ponto B está no marco 4.

3º. Posicione o centro do transferidor em $B$ e a linha de fé com $\overline{A B}$ e marque $108 graus$ .

Ilustração de um transferidor de meia volta, com o ponto B no centro, e ponto A ao lado de 0, de forma que a semirreta A B passa por 0 e mede 4 centímetros. Há um lápis fazendo um ponto em cima do marco 108 do transferidor.

4º. Com a régua alinhada nessa marca, trace o lado $\overline{B C}$ com $4 centímetros$ partindo de $B$ .

Ilustração de um segmento de reta A B, com 4 centímetros e há uma régua com o marco 0 posicionado no ponto B e marco 4 posicionado no ponto C, traçando um segmento de reta B C, que forma 108 graus com A B.

5º. Repita os dois passos anteriores mais duas vezes: a primeira posicionando o transferidor em $C$ para traçar o lado $\overline{C D}$ e a segunda em $D$ para compor o lado $\overline{D E}$ . Por fim, trace o lado $\overline{A E}$ .

Ilustração de um pentágono de vértices A B C D E com ângulos internos demarcados. Os ângulos internos medem 108 graus e os lados medem 4 centímetros.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

66. Determine a medida desconhecida de cada ângulo em destaque nos triângulos.

Ilustração de um triângulo A B C com ângulos internos 41 graus, 87 graus, c, respectivamente. O ângulo externo e suplementar ao de 41 graus é d. O ângulo externo e suplementar ao de 87 graus é e. O ângulo externo e suplementar ao de c é f.

Ilustração de um triângulo D E F com ângulos internos d, e, f, respectivamente. O ângulo externo e suplementar ao d é 111 graus. O ângulo externo e suplementar ao e é g. O ângulo externo e suplementar ao f é 113 graus.

67. Em cada triângulo, determine as medidas dos ângulos indicados por letras.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos medindo a; 75 graus; e 60 graus. O ângulo externo e suplementar de a é b.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos medindo c; d; 35 graus. O ângulo externo e suplementar ao d é 70 graus.

Ilustração de um triângulo com ângulos internos medindo um valor não descrito, 60 graus e f. O ângulo externo e suplementar do ângulo não descrito é 120 graus. O ângulo externo e suplementar de 60 graus é g. Os ângulos externos e suplementares de f são g e h.

Ilustração de dois triângulos, com um lado em comum. O da esquerda possui os ângulos internos demarcados medindo 30 graus, 90 graus, i. O triângulo da direita possui só um dos ângulos internos demarcados, o j, que é suplementar ao i.

68. Determine as medidas $\hat{a}$ e $\hat{b}$ , conforme as informações da imagem.

Ilustração de duas retas paralelas, r e s. Há uma reta transversal que cruza as retas r e s, formando o ângulo 65 graus, à esquerda e acima do cruzamento com s; ângulo a, estando à direita e acima do cruzamento com r. Há outra reta que cruza r, formando o ângulo 2 b menos 5 graus, à esquerda e acima do cruzamento com r e se cruza com a outra reta transversal acima de r, formando o ângulo b, abaixo do x do cruzamento.

69. No mosaico a seguir, os hexágonos e quadriláteros são regulares. Usando uma calculadora, determine as medidas $\hat{x}$ e $\hat{y}$ .

Ilustração de um mosaico formado por hexágonos regulares, octógonos e quadrados. Está demarcado um ângulo x que gira externamente todo o vértice do hexágono e um ângulo interno y do octógono. O ângulo y forma 360 graus com mais dois ângulos internos dos hexágonos que estão do lado e mais um ângulo interno do quadrado.

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70. Usando os mesmos procedimentos apresentados na seção Instrumentos e softwares da página 177 construa um quadrado $A B C D$ com comprimento dos lados medindo $4 centímetros$ e um pentágono regular $E F G H I$ com comprimento dos lados medindo $3 centímetros$ . Depois, descreva por escrito e por meio de um fluxograma, em seu caderno, os procedimentos que você utilizou nessa construção.

Versão adaptada acessível

70. Junte-se a um colega e, usando os mesmos procedimentos apresentados na seção Instrumentos e softwares da página 177, construam um quadrado ABCD com compimento dos lados medindo 4 cm e um pentágono regular EFGHI com comprimento dos lados medindo 3 cm. Depois, descrevam por escrito e por meio de um fluxograma os procedimentos que vocês utilizaram nessas construções.

71. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é $720 graus$ . Determine a medida de cada um desses ângulos.

72. Determine a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo do triângulo.

Ilustração de um triângulo A B C, com ângulos internos a, b, c, respectivamente e ângulos externos e suplementar ao ângulo a; f, suplementar ao ângulo b; e g suplementar ao ângulo c,. Há um transferidor de meia volta medindo o ângulo interno a, equivalente a 45 graus, e um transferidor de meia volta medindo o ângulo externo g, equivalente a 94 graus.

73. Na figura, $A B = A C$ , $B P = B R$ , $C Q = C R$ e a medida do ângulo $A \hat{Q} R$ é $123 graus$ .

Ilustração de um triângulo de vértices A B C. Entre os vértices B e C há o ponto R, entre os vértices A e B, há o ponto P e entre os vértices A e C, há o ponto Q. Estão também demarcados os triângulos B P R, R Q C e o ângulo P R Q.

Atenção!

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.

O ângulo $P \hat{R} Q$ mede:

a) $48 graus$ .

b) $57 graus$ .

c) $66 graus$ .

d) $68 graus$ .

e) $123 graus$ .

74. Calcule, em seu caderno, as medidas dos ângulos indicados por letras no paralelogramo.

Ilustração de dois triângulos lado a lado, com um lado em comum, que juntos formam um paralelogramo. O da esquerda possui vértices A B D e o da direita, B C D. Do primeiro triângulo citado, está demarcado o ângulo D A B, equivalente à y, e do segundo triângulo está demarcado o ângulo C D B, equivalente a 51 graus e o ângulo D B C, equivalente a x. Há a demarcação de um ângulo externo no vértice B de 63 graus, de modo que esse ângulo, x e o ângulo A B D são suplementares.

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75. Um mosaico pode ser caracterizado como uma superfície composta de ladrilhos ou pequenas peças de diversas cores e formatos, colocadas lado a lado sem sobreposição. Eles podem ser encontrados em objetos artesanais, como bandejas, jarras, porta-retratos e espelhos, e em decorações de paredes e pisos.

Existem apenas três tipos de mosaicos regulares e uniformes, ou seja, tendo apenas peças com formato de polígonos regulares idênticos, combinados a cada vértice. As peças deles têm formato de triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares. Nesses casos, as medidas dos ângulos internos compõem $360 graus$ .

Ilustração de um mosaico formado por triângulos equiláteros. Há uma demarcação de que o encontro de 6 triângulos em um vértice em comum é composto por cada ângulo interno dos triângulos de 60 graus. — Triângulos equiláteros

$6 vezes 60 graus igual a 360 graus$

Ilustração de um mosaico formado por quadrados. Há uma demarcação de que o encontro de 4 quadrados em um vértice em comum é composto por cada ângulo interno dos quadrados de 90 graus. — Quadrados

$4 vezes 90 graus igual a 360 graus$

Ilustração de um mosaico formado por hexágonos regulares. Há uma demarcação de que o encontro de 3 hexágonos em um vértice em comum é composto por cada ângulo interno dos quadrados de 120 graus. — Hexágonos regulares

$3 vezes 120 graus igual a 360 graus$

Outro padrão de mosaico que pode ser criado são os chamados semirregulares, pois apresentam peças com formato de polígonos regulares, mas não necessariamente idênticas. A seguir são apresentados alguns mosaicos semirregulares.

Ilustração de um mosaico formado por hexágonos regulares e triângulos regulares.

Ilustração de um mosaico formado por quadrados e triângulos regulares, de forma que as figuras se organizam linearmente.

Ilustração de um mosaico formado por quadrados e triângulos regulares.

Ilustração de um mosaico formado por hexágonos, quadrados e triângulos regulares.

Agora, em seu caderno, determine a medida $\hat{a}$ nos próximos quatro tipos de mosaicos semirregulares apresentados.

Ilustração de um mosaico formado por hexágonos e triângulos regulares. Está demarcado um ângulo interno, a, do hexágono.

Ilustração de um mosaico formado por dodecágonos e triângulos regulares. Está demarcado um ângulo a, interno do dodecágono.

Ilustração de um mosaico formado por octógonos e quadrados regulares. Está demarcado um ângulo, a, que gira externamente todo o vértice do octógono.

Ilustração de um mosaico formado por dodecágonos, hexágonos e quadrados regulares. Há demarcado um ângulo, a, que gira externamente todo o vértice do quadrado.

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Circunferência

O aspecto visual e as características das formas circulares foram e ainda são fontes de inspiração para várias áreas, como Engenharia, Artes e Arquitetura.

Fotografia aérea de uma ponte que possui um formato circular em seu percurso. — Ponte Laguna Garzon, no Uruguai, em 2021.

Uma linha fechada, em um plano, formada por pontos equidistantes^✚ de um ponto fixo (centro) é chamada circunferência.

Atenção!

A circunferência é o lugar geométrico – conjunto de pontos do plano que têm uma mesma propriedade – de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma medida de distância de um ponto fixo.

Equidistante:: que apresenta a mesma distância.^↰

Na circunferência a seguir, podemos identificar:

Ilustração de uma circunferência de centro O. Há um segmento de reta A B com os pontos A e B na circunferência, passando por O. Além disso, acima de A e B, na circunferência, há os pontos C, D e um segmento de reta entre eles. Também há na circunferência os pontos E e F e um segmento de reta entre eles, que cruza o segmento de reta A B.

o centro $O$ ;
os raios $\overline{O A}$ e $\overline{O B}$ ;
as cordas $\overline{A B}, \overline{C D}$ e $\overline{E F}$ ;
o diâmetro $\overline{A B}$ .

O raio da circunferência é qualquer segmento de reta que une o centro da circunferência a um de seus pontos.
A corda da circunferência é qualquer segmento de reta que une dois pontos distintos dela.
O diâmetro da circunferência é qualquer corda que passa pelo centro da circunferência.
A medida do comprimento do diâmetro é o dobro da medida do comprimento do raio.

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Comprimento da circunferência

A medida do comprimento de uma circunferência é a mesma de seu contorno. Assim, para medir o comprimento da borda de um objeto com formato circular, como uma lata em forma de cilindro, podemos usar uma fita métrica e obter a medida aproximada do comprimento da circunferência desse objeto.

Existe uma relação entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do comprimento de seu diâmetro. A razão entre eles é um número próximo de 3,14, que é uma aproximação do número $π$ (lê-se pi).

Esquema com as igualdades: pi, igual a, início de fração, numerador: c, denominador: d, fim de fração, ou, C, igual a d, vezes pi. Está indicado que o C da primeira igualdade é a medida do comprimento da circunferência e o d da primeira igualdade é a medida do comprimento do diâmetro.

Ilustração de um menino tocando em uma lata em forma de cilindro em cima de um balcão.

Essa razão é a mesma para todas as circunferências. No quadro, estão apresentadas medidas aproximadas obtidas de alguns objetos.

Imagens não proporcionais entre si.

Medidas aproximadas de alguns objetos
Objeto	CD.	Prato.	Tampa de pote.
Medida aproximada do comprimento da circunferência ( $C$ )	$37 vírgula 7 centímetros$	$70 centímetros$	$30 centímetros$
Medida aproximada do comprimento do diâmetro ( $d$ )	$12 centímetros$	$22 centímetros$	$9 vírgula 6 centímetros$
Razão aproximada $\frac{C}{d}$	$3 vírgula 14$	$3 vírgula 18$	$3 vírgula 12$

Questão 8. Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, filósofo, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego. Em seus estudos, ele concluiu que o número $π$ estava entre $início de fração, numerador: 223, denominador: 71, fim de fração$ e $início de fração, numerador: 22, denominador: 7, fim de fração$ . Considerando a conclusão de Arquimedes, determine uma aproximação para $π$ com duas casas decimais.

Temos que $pi igual a 3 vírgula 1 4 1 5 9 2 6 5...$ , porém utilizaremos apenas duas casas decimais e vamos considerar $pi igual a 3 vírgula 14$ .

Sendo $d igual a 2 vezes r$ , em que d é o diâmetro e r é o raio, podemos ter:

$C igual a d vezes pi. está indicado que d corresponde a 2 vezes r. Assim C igual a 2 vezes r vezes pi$

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Instrumentos e softwares

Construindo circunferência com régua e compasso

Com as orientações do professor e o passo a passo a seguir, vamos construir uma circunferência com $2 centímetros$ de medida de raio.

1º. Com o auxílio da régua, marque a abertura do compasso igual à medida do raio, nesse caso, $2 centímetros$ .

2º. Fixe a ponta-seca do compasso em um ponto O qualquer e, mantendo a abertura, gire-o uma volta completa.

Ilustração de uma régua e um compasso com abertura correspondente a 2 centímetros. A ponta-seca está posicionada no marco 0 da régua e a outra ponta no marco 2.

Ilustração de uma mão segurando um compasso com a ponta seca no ponto O e o girando em sentido anti-horário. Há uma seta apontando para um círculo de centro O.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

76. Em cada item, estão traçados alguns segmentos de reta nas circunferências. Sabendo que em cada circunferência o ponto O é seu centro, identifique em seu caderno os raios, as cordas e os diâmetros traçados nelas.

Ilustração de uma circunferência de centro O. Há um segmento de reta A D com os pontos A e D na circunferência, passando por O. Na circunferência também há um ponto B e um segmento de reta O B. Além disso, na circunferência há os pontos E e C e um segmento de reta entre eles, que cruza o segmento de reta A D.

Ilustração de uma circunferência de centro O. Há um segmento de reta G J com os pontos G e J na circunferência, passando por O. Há um segmento de reta K H com os pontos K e H na circunferência, passando por O. Na circunferência também há um ponto I e um segmento de reta O I. Além disso, na circunferência há o ponto F e um segmento de reta F K.

Ilustração de uma circunferência de centro O. Há um segmento de reta S P com os pontos S e P na circunferência, passando por O. Na circunferência também há um ponto Q e M e os segmentos de reta O Q e O M. Além disso, na circunferência há os pontos L, N e R e os segmentos de reta L N e S R.

77. Analise a circunferência de centro O.

Ilustração de uma circunferência de centro O e raio de 3,5 centímetros.

a) Com o auxílio de uma régua, determine a medida do comprimento do raio e a medida do comprimento do diâmetro dessa circunferência.

b) Qual é a relação entre essas medidas?

c) Essa relação ocorre em qualquer circunferência? Justifique sua resposta.

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78. Construa no caderno uma circunferência com:

a) raio $\overline{O A}$ medindo $3 centímetros$ .

b) raio $\overline{B C}$ medindo $6 centímetros$ .

c) diâmetro $\overline{E F}$ medindo $5 vírgula 4 centímetros$ .

d) diâmetro $\overline{G H}$ medindo $4 centímetros$ .

79. Construa uma circunferência com diâmetro medindo $5 centímetros$ . Em seguida, usando o mesmo centro, construa outra circunferência com raio medindo $8 centímetros$ .

80. Considere o quadrado cujo comprimento do lado mede $4 centímetros$ e o ponto P em seu interior, ambos representados na malha quadriculada.

Ilustração de uma malha quadriculada com um quadro de 8 quadradinhos de lado. Há um ponto P que está há 3 quadrinhos da base e 3 da altura do quadrado.

Quantos pontos que estão sobre os lados desse quadrado estão a exatamente $2 centímetros$ do ponto P?

81. Escolha 3 objetos circulares, meça o comprimento da circunferência e do diâmetro deles. Depois, com uma calculadora, determine a razão entre as medidas. Para realizar os registros, copie e complete o quadro a seguir no caderno, substituindo cada $█$ pelas informações que você coletou.

Medidas aproximadas de alguns objetos
Objeto	Medida do comprimento da circunferência ( $C$ )	Medida do diâmetro ( $d$ )	Razão $\frac{C}{d}$
$█$	$█$	$█$	$█$
$█$	$█$	$█$	$█$
$█$	$█$	$█$	$█$

As razões $\frac{C}{d}$ calculadas estão próximas do valor do número $π$ ?

82. O comprimento de uma circunferência mede $79 vírgula 76 centímetros$ . Podemos afirmar que o raio da circunferência mede aproximadamente:

a) $12 centímetros$ .

b) $12 vírgula 7 centímetros$ .

c) $13 centímetros$ .

d) $13 vírgula 22 centímetros$ .

e) $13 vírgula 5 centímetros$ .

83. Utilizando um programa de computador, Rômulo fez uma composição artística utilizando circunferências.

Ilustração de várias circunferências com partes sobrepostas, cada uma com um tamanho e cor interna.

Agora é sua vez! Com o auxílio de um compasso, faça uma composição artística utilizando circunferências. Por fim, pinte-a.

Versão adaptada acessível

Agora, junte-se a um colega e conversem a respeito de como vocês fariam uma composição artística com circunferências. Depois, façam essa composição artística.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Desenhe em uma folha de papel avulsa um ângulo $A \hat{O} B$ .

a) Qual é o vértice do ângulo $A \hat{O} B$ ?

b) Quais são os seus lados?

c) O ângulo $A \hat{O} B$ é agudo, reto, obtuso ou raso?

2. Considerando os ângulos representados na figura, indique quais afirmações a seguir são verdadeiras.

a) A medida do ângulo $A \hat{O} B$ é maior do que o ângulo $A \hat{O} C$ .

b) A medida do ângulo $B \hat{O} C$ é menor do que o ângulo $A \hat{O} C$ .

c) O ângulo $A \hat{O} B$ é agudo.

d) A medida do ângulo $A \hat{O} C$ é maior do que $180 graus$ .

e) A medida do ângulo $B \hat{O} C$ é menor do que $90 graus$ .

3. Junte-se a um colega e resolvam os itens a seguir.

a) Se o ângulo $\hat{A}$ mede x, e seu suplementar mede o triplo, qual é a medida de $\hat{A}$ e a de seu complementar?

b) O ângulo $\hat{B}$ é suplementar de $\hat{C}$ . Sabendo que $medida do ângulo b igual a x mais 32 graus$ e $medida do ângulo c igual a 3 x$ , qual é a medida dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ ?

c) Os ângulos $\hat{D}$ e $\hat{F}$ são complementares. A medida de $\hat{F}$ é cinco vezes a medida de $\hat{D}$ . Qual é a medida do ângulo suplementar de $\hat{D}$ ?

4. Pedro fez o desenho representado a seguir.

Ilustração de um retângulo A C, vértice não identificado, F. Internamente dentro do retângulo há um losango G B D E, com seus vértices nos lados do retângulo. O vértice G está entre F e A, o vértice B está entre A e C, o vértice D está entre C e o vértice não identificado, o vértice E está entre o ângulo não identificado e F. estão demarcados os ângulos G B D; A B G; C B D; B G A; F G E.

Sabendo que $medida do ângulo a g b igual a 50 graus$ e que $med (A \hat{B} G) = med (C \hat{B} D)$ , qual é a medida do ângulo $G \hat{B} D$ ?

5. Na imagem apresentada, as retas i e e são paralelas, assim como f e p.

Ilustração das retas paralelas i, e. Há as retas transversais às anteriores e paralelas entre si, f, p. As retas formam entre si um quadrilátero com ângulos internos medindo a, b, c, d.

a) Indique quais são os ângulos da imagem com mesma medida.

b) Calcule as medidas dos ângulos $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{c}$ e $\hat{d}$ , sabendo que o maior ângulo entre as retas e e p mede $106 graus$ .

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6. Sem realizar medições, determine em cada polígono a medida do ângulo destacados em rosa.

Ilustração de um triângulo de vértices A B C, com seus 3 ângulos internos demarcados: 63 graus, ângulo destacado em rosa e 86 graus.

Ilustração de um hexágono de vértices M N O P Q R, com seus 6 ângulos internos demarcados: 104 graus, 144 graus, 108 graus, 108 graus, 144 graus e ângulo destacado em rosa.

Ilustração de um trapézio de vértices H I J K, com seus 4 ângulos internos demarcados: 47 graus, 53 graus, ângulo destacado em rosa e 136 graus.

7. Considere o eneágono regular.

a) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse eneágono?

b) Qual é a medida de cada ângulo interno desse eneágono?

c) Escreva em uma folha de papel avulsa as estratégias que você utilizou para responder aos itens a e b.

8. Na figura a seguir, os pontos A, B e C estão na mesma reta.

Ilustração de uma reta com os pontos A B C. Há um triângulo com dois vértices sendo A e B e outro com dois dos vértices sendo os pontos B e C. Os dois triângulos possui os ângulos internos demarcados.

Determine a soma das medidas dos ângulos destacados.

9. Sem realizar medições, determine a medida do ângulo externo de cada polígono regular.

Ilustração de um pentágono regular com um de seus ângulos internos demarcados e seu respectivo ângulo externo também demarcado.

Ilustração de um octógono regular com um de seus ângulos internos demarcados e seu respectivo ângulo externo também demarcado.

Ilustração de um decágono regular com um de seus ângulos internos demarcados e seu respectivo ângulo externo também demarcado.

Ilustração de um hexágono regular com um de seus ângulos internos demarcados e seu respectivo ângulo externo também demarcado.

10. Considere a circunferência de centro O apresentada a seguir.

Ilustração de uma circunferência de centro O. Há um segmento de reta com os pontos A e D na circunferência, passando por O. Na circunferência também há um ponto E e um segmento de reta O E. Além disso, na circunferência há os pontos B e C e um segmento de reta entre eles.

Agora, classifique em raio, corda ou diâmetro o:

a) $\overline{O E}$ .

b) $\overline{B C}$ .

c) $\overline{A D}$ .