Expressões algébricas

Uma livraria está com promoção na venda de livros. Verifique como é possível calcular quantos reais seriam gastos na compra de 3 ou 5 livros.

Portanto, seriam gastos R$ 38,70 na compra de 3 livros e R$ 64,50 na compra de 5 livros.

Para obter o preço a ser pago, foi multiplicado o valor unitário de cada livro pela quantidade de livros a ser comprada. Ao indicar por x a quantidade de livros a ser comprada, pode-se escrever a seguinte expressão algébrica para obter o preço total de cada compra.

Assim, para saber quantos reais uma pessoa vai pagar pela compra de 8 livros, por exemplo, basta substituir x por 8 e, então, efetuar o cálculo.

$12,90x=12,90\cdot 8=103,20$

Logo, uma pessoa vai pagar R$ 103,20 na compra de 8 livros.

Nesse caso, foi calculado o valor numérico da expressão $12,90x$, quando $x=8$.

A seguir, alguns exemplos de expressões algébricas.

• $4x$
• $3a+b$
• $18n+1$
• $a^3$

Nessas expressões, as letras são chamadas variáveis.

Questão 1. Considerando que uma pessoa aproveite a promoção de livros, calcule em seu caderno quantos reais ela vai pagar pela compra de:

a) 7 livros.

Resposta: R$ 90,30.

b) 10 livros.

Resposta: R$ 129,00.

c) 17 livros.

Resposta: R$ 219,30.

Questão 2. Nessa mesma livraria, há uma promoção de jogos de videogame. Sabendo que nessa promoção cada jogo custa R$ 123,90, escreva em seu caderno uma expressão algébrica para obter o preço total a ser pago pela compra de x jogos.

Resposta: $123,9x$.

Questão 3. Utilizando a expressão que você escreveu na questão 2, calcule a quantia paga na compra de 5 e na compra de 8 jogos e registre em seu caderno.

Resposta: 5 jogos: R$ 619,50; 8 jogos: R$ 991,20.

Simplificação de expressões algébricas

A professora Marcela propôs a seguinte atividade aos estudantes.

A seguir, apresentamos duas maneiras para simplificar a expressão algébrica do item a.

Utilizando figuras

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

Portanto, $4a+3a=7a$.

Questão 4. Em seu caderno, simplifique as demais expressões algébricas propostas pela professora Marcela.

Respostas: b) $4x$; c) $5b$; d) $8y$; e) $3c$; f) $6d$; g) $5f$; h) $4b$.

Questão 5. Calcule em seu caderno o valor numérico da expressão

a) do item c, quando $b=2$.

b) do item d, quando $y=1,5$.

c) do item e, quando $c=12$.

d) do item g, quando $f=2,3$.

Agora, confira como simplificar a expressão $3x+4y-1x+12$.

$3x+4y-1x+12=3x-1x+4y+12$ $=(3-1)x+4y+12=2x+4y+12$

Respostas: a) 10; b) 12; c) 36; d) 11,5.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Sabendo que n é um número natural, escreva em seu caderno uma expressão algébrica para cada item.

a) 25% desse número.

b) 8 unidades a mais do que esse número.

c) O antecessor desse número.

d) A quarta parte desse número.

e) O sucessor desse número.

f) A décima parte desse número.

g) O quíntuplo desse número.

Respostas: a) $\frac{25}{100}n$ ou $\frac{25n}{100}$ ou $0,25n$; b) $n+8$; c) $n-1$; d) $n:4$ ou $\frac{1}{4}n$ ou $\frac{n}{4}$ ou $0,25n$; e) $n+1$; f) $\frac{n}{10}$; g) $5n$.

2. Os triângulos que formam a sequência a seguir foram representados com palitos. A cada novo triângulo foi acrescentado 1 palito em cada lado do triângulo anterior.

a) Com base na imagem, determine a quantidade de palitos utilizados para representar o 4º e o 5º triângulos dessa sequência.

Resposta: 12 e 15 palitos, respectivamente.

b) Escreva uma expressão algébrica que expresse a quantidade de palitos necessários para representar um triângulo em uma posição qualquer da sequência. Para isso, denomine p o número natural que representa a posição do triângulo.

Resposta: $3p$.

c) Efetue os cálculos e descubra quantos palitos são necessários para representar o:

Respostas: 27 palitos; 63 palitos.

• 9º triângulo.
• 21º triângulo.

3. Escreva no caderno os três próximos termos de cada sequência.

a) $a+1,a+2,a+3,a+5,a+8,...$

b) $x+3,x+6,x+12,x+24,...$

c) $2y+8,3y+7,4y+6,...$

Respostas nas orientações ao professor.

4. Substitua as letras de cada sequência da atividade anterior por um número natural menor do que 10 e escreva no caderno a sequência numérica formada.

Respostas nas orientações ao professor.

5. Para vender as roupas de sua loja, Judite acrescenta 28% ao preço de custo.

a) Escreva no caderno uma expressão algébrica em que se possa calcular o preço de venda de qualquer peça de roupa da loja.

Resposta nas orientações ao professor.

b) Por quantos reais Judite vai vender uma peça de roupa cujo preço de custo é:

• R$ 32,00?
• R$ 25,75?
• R$ 20,00?
• R$ 23,50?

Respostas: R$ 40,96; R$ 32,96; R$ 25,60; R$ 30,08.

6. Junte-se a um colega e analisem a quantidade de círculos em cada posição da sequência.

a) Escreva uma expressão algébrica que possibilite determinar a quantidade de círculos em uma posição qualquer dessa sequência.

Sugestão de resposta: $n^2$, em que n é o número natural que representa a posição da figura na sequência.

b) Quantos círculos há na 35ª posição dessa sequência? E na 52ª posição?

Sugestão de respostas: 1.225 círculos; 2.704 círculos.

7. Leia o diálogo de Daniele e Henrique.

a) Represente com expressões algébricas as falas de Daniele e Henrique.

Resposta: Indicando por x o número pensado por Daniele, obtemos: $\left(2x+2\right)-1$. Indicando por a o número pensado por Henrique, obtemos: $\frac{4a-8}{4}$.

b) Determine os resultados obtidos por Daniele e Henrique, sabendo que ela pensou no número 3 e ele pensou no número 8.

Resposta: Daniele: 7; Henrique: 6.

8. Para descobrir a quantia que Alberto, Carla, Gilberto e Heloisa têm, analise as informações a seguir, sabendo que Lúcio tem d reais.

• Alberto tem R$ 20,00 a mais do que Lúcio.
• Carla tem R$ 7,00 a menos do que Alberto.
• Gilberto tem o dobro da quantia de Carla.
• Heloísa tem a metade da quantia de Gilberto.

a) Represente no caderno a quantia de cada pessoa utilizando a variável d.

Resposta: Lúcio: d; Alberto: $d+20$; Carla: $\left(d+20\right)-7$ ou $d+13$; Gilberto: $2\left(d+13\right)$ ou $2d+26$; Heloísa: $\frac{2\left(d+13\right)}{2}$ ou $d+13$.

b) Sabendo que Lúcio tem R$ 21,00, quantos reais têm as demais pessoas?

Resposta: Alberto: R$ 41,00; Carla: R$ 34,00; Gilberto: R$ 68,00; Heloísa: R$ 34,00.

9. Em uma padaria, $1\text{L}$ de leite custa y reais. Com base no preço de $1\text{L}$ de leite, podemos escrever uma expressão algébrica para representar os preços de outros produtos dessa padaria.

Agora, escreva no caderno outras expressões algébricas para representar o preço de cada produto a seguir dessa padaria.

a) Um sonho custa R$ 0,65 a mais do que um pão de queijo.

b) Um pedaço de torta custa R$ 1,85 a menos do que uma caixinha de suco.

c) Uma fatia de bolo custa o dobro de um pedaço de torta.

d) Um biscoito custa a terça parte de uma caixinha de suco.

Sugestões de respostas: a) Um sonho: $\frac{y-0,50}{2}+0,65$ ou $\frac{y+0,80}{2}$; b) Um pedaço de torta: $2\left(y-1\right)-1,85$ ou $2y+0,15$; c) Uma fatia de bolo: $2\left(2y+0,15\right)$ ou $4y+0,30$; d) Um biscoito: $\frac{2\left(y+1\right)}{3}$ ou $\frac{2y+2}{3}$.

10. Associe as expressões algébricas aos seus respectivos itens equivalentes, escrevendo a letra e o número correspondentes.

a) $2x+4-x$

b) $4x-x+2$

c) $5x-2-2x$

1) $3x+2$

2) $3x-2$

3) $x+4$

Resposta: a-3; b-1; c-2.

11. A seguir estão representados um número natural, seu antecessor e seu sucessor.

a) Escreva em seu caderno as representações em ordem crescente.

b) Adicione esses 3 números e, em seguida, simplifique a expressão algébrica obtida.

Respostas: a) $y-1$, $y$, $y+1$; b) $y-1+y+y+1=3y$.

12. Examine como Jussara obteve e simplificou a expressão algébrica que representa a medida do perímetro do polígono.

Agora, determine a expressão algébrica que representa a medida do perímetro de cada figura. Em seguida, simplifique a expressão obtida.

A.

B.

Respostas: A. $10y+4$; B. $21b+7$.

13. Simplifique as expressões algébricas.

a) $x+x+x$

b) $2n+3n+2$

c) $4\left(7x+3\right)-x$

d) $m+1+\left(2-1\right)m$

e) $\frac{6a+9}{3}$

f) $5+\frac{2y+12}{2}$

Respostas: a) $3x$; b) $5n+2$; c) $27x+12$; d) $2m+1$; e) $2a+3$; f) $y+11$.

14. Escreva uma expressão algébrica que, ao ser simplificada, seja equivalente a:

a) $5x$

b) $2x+1$

c) $\frac{y}{2}$

d) $\frac{4n}{3}+10$

Sugestão de respostas: a) $3x+2x$; b) $\left(4x+2\right)-\left(2x+1\right)$; c) $y-\frac{y}{2}$; d) $\frac{4n}{3}-100+110$.

15. Leia a seguir o diálogo de Camila e Raí.

Agora, escreva no seu caderno uma expressão algébrica para representar a fala de Camila e Raí. Em seguida, simplifique as expressões.

Resposta: Camila: $x+2x-\frac{x}{8}+2=\frac{23}{8}x+2$; Raí: $\left(\frac{y}{2}+5\right)2+3y=4y+10$.

Fórmulas

Para saber a possível frequência cardíaca máxima de uma pessoa adulta quando se exercita, os fisiologistas^✚ utilizam a fórmula a seguir.

$B=220-i$

Nessa fórmula, B indica a quantidade de batimentos por minuto (bpm), enquanto i indica a idade em anos.

Fisiologista:

profissional que estuda as diversas funções dos organismos vivos, como a circulação, a nutrição, a respiração e o crescimento.^↰

Para determinar a frequência cardíaca máxima que uma pessoa pode atingir ao exercitar-se, deve-se substituir a letra i na fórmula pela idade em anos da pessoa. Analise os cálculos realizados para uma pessoa com 18 anos de idade.

$B=220-i=220-18=202$

Assim, quando uma pessoa com 18 anos se exercita, ela pode ter uma frequência cardíaca máxima de $202\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{m}$.

Questão 6. Em seu caderno, determine a frequência cardíaca máxima que uma pessoa pode atingir ao exercitar-se, caso ela tenha:

a) 25 anos.

b) 30 anos.

c) 45 anos.

d) 67 anos.

Respostas: a) $195\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{m}$; b) $190\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{m}$; c) $175\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{m}$; d) $153\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{m}$.

Professor, professora: Sugira aos estudantes que alterem algum valor de i para verificarem que o valor correspondente de B é atualizado automaticamente.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Em certa loja, quando os produtos são vendidos em 3 prestações iguais, há um acréscimo de 15% sobre o preço de etiqueta. O valor de cada prestação corresponde ao preço do produto com acréscimo, dividido em três partes iguais.

a) Com base nessas informações, qual das fórmulas a seguir fornece o valor de cada prestação?

b) Sabendo que nessa loja o preço de etiqueta de determinado produto é R$ 132,00, calcule o valor de cada prestação quando o produto é vendido em 3 prestações iguais.

Respostas: a) Alternativa C; b) R$ 50,60.

17. O lucro mensal de uma fábrica de calçados é dado pela fórmula $y=\frac{35x}{2}$, em que y é o lucro em reais, e x é a quantidade de pares de calçados produzidos no mês.

Qual é o lucro mensal dessa fábrica quando ela produz 488 pares de calçados?

Resposta: R$ 8.540,00.

18. A milha terrestre é uma unidade de medida de comprimento utilizada na Inglaterra e nos Estados Unidos. Dada uma medida em milhas, para encontrar a medida equivalente em metros, utiliza-se a fórmula $y=1.609,344x$, em que x é a medida da distância em milhas terrestres, e y é a medida da distância equivalente em metros. Com o auxílio do Calc, escreva as seguintes medidas em metros.

a) 0 milha.

b) 1 milha.

c) 2 milhas.

d) 1.000 milhas.

Respostas: a) $0\text{m}$; b) $1.609,344\text{m}$; c) $3.218,688\text{m}$; d) $1.609.344\text{m}$.

19. Amauri desenvolveu uma fórmula em uma planilha eletrônica que multiplica por 7 o número de entrada e subtrai 6 unidades do resultado dessa multiplicação, obtendo, assim, o número de saída.

a) Escreva no caderno a fórmula utilizada por Amauri na planilha eletrônica. Para isso, use a letra N para representar o número de entrada e R para o número de saída.

b) Com base nessa fórmula, calcule com o Calc o valor de R para os seguintes números de entrada.

Respostas: a) $R=7N-6$; b) 4: 22; 10: 64; 5,8: 34,6; 6,2: 37,4.

Sequências

Uma sequência é uma lista ordenada de objetos que podem ser letras, números, palavras, figuras etc. Os objetos que compõem a sequência são chamados termos da sequência.

Confira um exemplo a seguir em que é representada uma sequência listando seus termos separados por vírgula.

$4,6,8,10,12,14,16$.

Pode-se também denotar uma sequência escrevendo seus termos entre parênteses e separados por vírgula.

$\left(4,6,8,10,12,14,16\right)$

Na sequência apresentada, 4 é o primeiro termo, 6 é o segundo, 8 é o terceiro, e assim por diante. Os termos das sequências podem ser representados por uma letra e um índice. Por exemplo:

$a_1$: primeiro termo.

$a_2$: segundo termo.

$a_3$: terceiro termo.

$a_4$: quarto termo.

$...$

$a_n$: n-ésimo termo (n é natural maior do que zero).

Verifique outros exemplos de sequências.

A. $\left(\text{amarelo,}\text{azul,}\text{vermelho}\right)$

B. $\left(1,3,5,7,9,11,...\right)$

Questão 7. Qual é o primeiro termo da sequência A? E o sexto termo da sequência B?

Respostas: Amarelo; 11.

Em certos casos, podemos descrever uma sequência por meio de uma lei de formação. Por exemplo, considere a sequência cuja lei de formação é $a_n=3n+1$, para todo $n>0$. Para obter os seus respectivos termos, deve-se substituir os valores de n na lei de formação. Nesse caso, obtemos a seguinte sequência:

$\left(4,7,10,13,16,19,22,...\right)$

Questão 8. Represente em seu caderno a sequência cuja lei de formação é $a_n=n+9$, para todo $n>0$.

Resposta: $\left(10,11,12,13,14,...\right)$.

A resposta é negativa para a pergunta da página anterior. Não há como garantir qual será o próximo termo de uma sequência conhecendo apenas alguns de seus termos.

Por exemplo, considere a sequência $\left(3,5,7,...\right)$. Podemos supor que essa seja a sequência dos números ímpares maiores do que 2 em ordem crescente e, nesse caso, o próximo termo seria 9. Porém, existem infinitas sequências cujos primeiros termos são 3, 5 e 7, como é o caso da sequência dos números primos ímpares maiores do que 2 em ordem crescente – nesse caso, o próximo termo seria 11.

Sequências definidas por recorrência

Em algumas situações, é possível indicar uma sequência utilizando uma expressão que possibilite calcular um termo da sequência em função dos termos anteriores. Essa expressão é chamada relação de recorrência.

Por exemplo, considere uma sequência em que $a_1=3$ e que satisfaça a relação $a_n=a_{n-1}+2$ para todo $n>1$. Nesse caso, temos:

• $a_1=3$
• $a_2=a_1+2=3+2=5$
• $a_3=a_2+2=5+2=7$
• $a_4=a_3+2=7+2=9$
• $a_5=a_4+2=9+2=11$
• $a_6=a_5+2=11+2=13$

Portanto, obtemos a seguinte sequência:

$\left(3,5,7,9,11,13,...\right)$

A ideia de recorrência (recursividade) não está presente apenas na Matemática, mas também nas Artes e na Literatura, como no poema "Velocidade", de Ronaldo Azeredo, produzido em 1957 e publicado em 1958. As imagens a seguir foram elaboradas, com base nesse poema, por dois estudantes da professora Adélia. Em uma delas a palavra VELOCIDADE foi trocada por MATEMÁTICA e na outra por INSPIRAÇÃO.

Perceba que, nas imagens elaboradas por Marcos e Paula, de baixo para cima, a partir da segunda linha, a próxima é igual à anterior, porém com a última letra excluída e um M ou I, respectivamente, acrescido à esquerda.

Questão 9. Junte-se a um colega e pesquisem outros poemas e obras de arte em que seja possível identificar a ideia de recorrência. Depois, apresentem seus resultados aos colegas.

Resposta pessoal.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Escreva em seu caderno a sequência definida por:

a) $a_n=5n+2$, para todo $n>0$, em que $a_1=7$.

Resposta: $\left(7,12,17,22,27,\dots \right)$.

b) $a_n=\frac{n}{2}+10$, para todo $n>0$.

Resposta: $\left(\frac{21}{2},11,\frac{23}{2},12,\dots \right)$.

c) $a_n=5a_{n-1}+1$, para todo $n>1$, em que $a_1=2$.

Resposta: $\left(2,11,56,281,\dots \right)$.

d) $a_n=\frac{2n}{3}+n$, para todo $n>0$.

Resposta: $\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{15}{3},\frac{20}{3},\dots \right)$.

e) $a_n=a_{n-1}+2n+5$, para todo $n>1$, em que $a_1=0$.

Resposta: $\left(0,9,20,33,\dots \right)$.

f) $a_n=5n$, para todo $n>2$, em que $a_1=a_2=1$.

Resposta: $\left(1,1,15,20,\dots \right)$.

Entre as sequências definidas anteriormente, quais foram descritas por meio de uma lei de formação?

Resposta: As sequências dos itens a, b, d e f.

21. Considere a sequência definida por $a_n=2\cdot a_{n-1}-3$, para todo $n>1$, em que $a_1=4$.

a) Escreva os 5 primeiros termos dessa sequência.

Resposta: 4, 5, 7, 11 e 19.

b) A sequência foi definida por recorrência ou por meio de uma lei de formação?

Resposta: Recorrência.

c) Se o primeiro termo fosse 3, qual seria a sequência obtida?

Resposta: $\left(3,3,3,3,\dots \right)$.

22. A professora de Paulo apresentou aos estudantes a seguinte sequência:

$\left(8,15,22,29,36,\dots \right)$

Entre as expressões a seguir, quais podem descrever a sequência apresentada pela professora?

a) $a_n=8n$, para todo $n>0$.

b) $a_n=7n+1$, para todo $n>0$.

c) $a_n=a_{n+1}+8$, para todo $n>1$, em que $a_1=8$.

d) $a_n=a_{n+1}+7$, para todo $n>1$, em que $a_1=8$.

e) $a_n=a_{n+1}+7$, para todo $n>1$, em que $a_1=1$.

Resposta: Expressões dos itens b e d.

O que podemos concluir em relação às expressões indicadas por você?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que, apesar de duas definições aparentemente diferentes, elas representam a mesma sequência.

23. Determine o 38º termo da sequência definida por:

a) $a_n=10+n$, em que $n>0$.

b) $a_n=2n-5$, em que $n>0$.

Respostas: a) $a_{38}=48$; b) $a_{38}=71$.

24. Considerando a sequência dos números ímpares em ordem crescente $\left(1,3,5,...\right)$, responda às questões.

a) A sequência é finita ou infinita?

b) Qual é a lei de formação dessa sequência?

c) Qual é o 100º termo dessa sequência?

Respostas: a) Infinita; b) $a_n=2n-1$, para todo $n>0$; c) 199.

25. Defina cada uma das sequências por meio de uma lei de formação ou por recorrência.

a) $\left(16,17,18,19,...\right)$

Sugestões de resposta: $a_n=n+15$, para todo $n>0$; $a_n=a_{n-1}+1$, para todo $n>1$, com $a_1=16$.

b) $\left(6,10,14,18,...\right)$

Sugestões de resposta: $a_n=4n+2$, para todo $n>0$; $a_n=a_{n-1}+4$, para todo $n>1$, com $a_1=6$.

26. Analise a sequência de figuras representadas com palitos de fósforo.

a) Quantos palitos de fósforo são necessários para representar a 2ª figura dessa sequência? E a 4ª figura?

Respostas: 5 palitos para representar a 2ª figura e 9 palitos para a 4ª figura.

b) Escreva no caderno uma expressão que represente a quantidade de palitos necessárias para uma figura em posição qualquer da sequência.

Sugestão de resposta: $a_n=2n+1$, para todo $n>0$, em que n é o número natural que representa a posição da figura na sequência.

c) Quantos palitos de fósforo são necessários para representar a 9ª figura da sequência? E a 25ª figura?

Sugestão de respostas: 19 palitos para a 9ª figura e 51 palitos para a 25ª figura.

27. Com um programa de computador, Antônio construiu a seguinte sequência de retângulos.

a) Com base nessa sequência, qual é a medida da área do 2º retângulo? E do 4º retângulo?

Respostas: $6{\text{cm}}^2$ para o 2º retângulo e $10{\text{cm}}^2$ para o 4º retângulo.

b) Escreva uma expressão que represente a medida da área, em centímetros quadrados, de um retângulo em uma posição qualquer da sequência.

Sugestão de resposta: $a_n=2\left(n+1\right)$, para todo $n>0$, em que n é o número natural que representa a posição do retângulo na sequência.

c) Quanto mede a área do 525º retângulo dessa sequência?

Sugestão de resposta: $1.052{\text{cm}}^2$.

28. A professora de Conceição e de Jorge solicitou aos estudantes que escrevessem a lei de formação da sequência dos números pares em ordem crescente. A seguir estão apresentadas as leis de formação por Conceição e Jorge.

• Conceição: $a_n=2n-2$, para $n>0$.
• Jorge: $a_n=2\left(n-1\right)$, para $n>0$.

Ao analisar a resposta deles, quem escreveu a lei de formação corretamente? Justifique sua resposta.

Resposta: Ambos escreveram a lei de formação corretamente, pois as expressões escritas por Conceição e Jorge são equivalentes.

Igualdades

Tobias e Teobaldo participam de um clube de leitura. Durante o ano de 2023, Tobias leu 2 livros por mês, enquanto Teobaldo leu 6 livros a cada bimestre.

Questão 10. Quais cálculos devem ser efetuados para determinar a quantidade de livros lidos por Tobias no ano de 2023? E para determinar a quantidade de livros lidos por Teobaldo?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes efetuem multiplicações para determinar as quantidades de livros lidos pelas personagens do problema.

Realizando os cálculos necessários, concluímos que, em 2023, Tobias e Teobaldo leram 24 livros cada um. Nesse caso, podemos escrever a seguinte igualdade.

Só foi possível escrever essa igualdade pelo fato de as operações $12\cdot 2$ e $4\cdot 6$ apresentarem resultados iguais. A seguir, apresentamos outros exemplos de igualdades.

• $5=12-7$
• $-3,5=20-23,5$
• $12:4=1\cdot 3$
• $25=2\cdot 5+15$
• $63-100=-2-35$
• $1+2\cdot 3=6+5-4$

Em anos anteriores, foram estudadas as seguintes propriedades de uma igualdade.

Propriedade 1: Ao adicionar ou subtrair um mesmo número em ambos os membros de uma igualdade, a relação de igualdade se mantém.

Propriedade 2: Ao multiplicar ou dividir ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número positivo, a relação de igualdade se mantém.

A propriedade 2 pode ser estendida para números negativos, ou seja, ao multiplicar ou dividir ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero (positivo ou negativo), a relação de igualdade se mantém. A seguir, apresentamos dois exemplos.

Questão 11. Escreva em seu caderno duas igualdades. Depois, compartilhe com um colega para verificar se essas igualdades são verdadeiras.

Resposta pessoal.

Equações

Marília e Rodrigo estão brincando de desafios matemáticos. O desafio que Marília propôs está indicado a seguir.

Objeto digital

Para responder à pergunta de Marília, podemos escrever uma equação.

A seguir, apresentamos um exemplo de equação com a indicação de seus elementos.

Resolver uma equação é determinar o valor da incógnita, ou seja, obter sua solução.

Agora, vamos denominar x o número que Marília pensou para, então, escrever a seguinte equação.

$x+5=12$

Para resolvê-la, ou seja, para determinar o valor da incógnita x, procedemos da seguinte maneira.

Portanto, o número em que Marília pensou é 7.

Na vez de Rodrigo, ele propôs o seguinte desafio.

Para responder à pergunta de Rodrigo, podemos também escrever uma equação. Nesse caso, o número desconhecido será indicado por n. Com isso, obtemos a seguinte equação.

$2n-8=18$

Para resolvê-la, procedemos da seguinte maneira.

Portanto, o número em que Rodrigo pensou é 13.

Para verificar se a solução obtida está correta, podemos substituir a incógnita da equação pelo valor obtido. Assim, é possível verificar se as equações resolvidas neste tópico estão corretas.

Substituindo x por 7 em $x+5=12$, obtemos:

Substituindo n por 13 em $2n-8=18$, obtemos:

Como a relação de igualdade se mantém em ambas as equações, as resoluções estão corretas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

29. Entre as sentenças a seguir, quais são equações?

a) $x-2=3$

b) $3y+17$

c) $18b-36=0$

d) $m^2-3=12$

e) $8-3=5$

f) $4x>12$

Resposta: Alternativas a, c e d.

30. Resolva as equações em seu caderno.

a) $x+14=25$

b) $3x+3=9$

c) $4x=24$

d) $5x-7=38$

e) $6x+2=50$

f) $7x-47=2$

Respostas na seção Respostas e na seção Resoluções.

31. Ao triplicar a quantia que Leonardo tem em reais e subtrair R$ 18,00, ele obterá a quantia de R$ 15,60. Em reais, qual é a quantia que Leonardo tem?

Resposta: R$ 11,20.

32. Podemos resolver mentalmente as equações $x+8=12$ e $2x=14$ da seguinte maneira.

Com base na informação apresentada, resolva mentalmente as seguintes equações.

a) $x+15=20$

b) $x-6=12$

c) $x+11=31$

d) $3x=15$

e) $x-8=34$

f) $4x=72$

g) $7x-10=60$

h) $2x+1=13$

Respostas: a) $x=5$; b) $x=18$; c) $x=20$; d) $x=5$; e) $x=42$; f) $x=18$; g) $x=10$; h) $x=6$.

33. A figura a seguir representa um terreno retangular. Com base nas indicações, determine a medida do comprimento do terreno em metros.

Resposta: $x=25$; Medida do comprimento: $25\text{m}$.

34. Analise os elementos a seguir.

• 5

• $\cdot$

• $-$

• n

• 3

• 15

• 12

• $=$

• $+$

• 9

a) Com base nesses elementos, Silas montou a seguinte equação.

• 3

• $\cdot$

• n

• $-$

• 12

• $=$

• 15

Qual é o valor de n?

Resposta: $n=1$.

b) Junte-se a um colega e, com os elementos apresentados anteriomente, escrevam uma equação cujo valor de n seja:

• 7.
• maior do que 12.
• menor do que 7.
• maior do que 7 e menor do que 13.

Sugestão de respostas: $3\cdot n-9=12$; $n-9=5$; $5\cdot n=15$; $n-3=9$.

35. Leia o que Jéssica está dizendo e determine a medida da massa corporal dela.

Resposta: $47\text{kg}$.

36. Antes de resolver as equações $3x+4+2x-1=18$ e $11\left(y+2\right)-3=29$, Marcos fez uma simplificação.

Termine de resolver as equações no caderno e obtenha os valores de x e y.

Resposta: $x=3$; $y=\frac{10}{11}$.

37. Simplifique cada equação e obtenha sua solução.

a) $4y-y-2=34$

b) $2x+2+3x-4=1$

c) $5\left(y+2y\right)+2=12$

d) $3\left(x-1\right)+2\left(x+4\right)=20$

Respostas: a) $y=12$; b) $x=\frac{3}{5}$; c) $y=\frac{2}{3}$; d) $x=3$.

38. Leia o problema apresentado a seguir.

a) Entre as equações a seguir, qual permite obter a solução desse problema?

A. $x+x=105$

B. $x-2x=105$

C. $x+2x=105$

D. $x+105=2x$

b) Resolva a equação escolhida no item a e determine a resposta do problema.

Respostas: a) Alternativa C; b) $x=35$; Márcia: R$ 35,00; Nivaldo: R$ 70,00.

39. Um número p mais seu sucessor é igual a 79. Represente em seu caderno essa situação usando uma equação para, depois, resolver.

Resposta: $p+\left(p+1\right)=79$; $p=39$.

40. Simone, Jaqueline e Mauro são primos. Os números que representam suas idades são consecutivos. Sabendo que a soma das idades dos três é 39, qual é a idade de cada um deles?

Resposta: Jaqueline: 14 anos; Simone: 13 anos; Mauro: 12 anos.

41. Nos prismas e nas pirâmides, a quantidade de vértices (V) mais a quantidade de faces (F) é igual à quantidade de arestas (A) mais 2. Podemos representar essa relação pela seguinte fórmula.

Em certo prisma, a quantidade de vértices é 4 unidades a mais do que a quantidade de faces. Sabendo que esse prisma tem 18 arestas, responda às questões.

a) Quantas faces tem esse prisma? E quantos vértices?

b) Qual é o nome desse prisma?

Respostas: a) 8 faces; 12 vértices; b) Prisma de base hexagonal.

42. Escreva o enunciado de um problema cuja solução seja dada pela equação a seguir.

Depois, compartilhe o problema escrito com um colega para que resolva e, então, verifique se a resposta obtida está correta.

Resposta pessoal.

Estudando mais equações

A balança representada a seguir está em equilíbrio, ou seja, a massa dos objetos que estão em um prato tem medida igual à massa dos objetos que estão no outro.

Em uma balança desse tipo, podemos acrescentar ou retirar objetos com medidas de massa iguais nos dois pratos sem que ela perca o equilíbrio.

Sabendo que as caixas nessa balança têm a mesma medida de massa, qual é a medida da massa de cada caixa?

Para responder a essa pergunta, vamos indicar a medida da massa de cada caixa por x e escrever uma equação.

$4x+3=2x+9$

Feito isso, é momento de resolver essa equação.

1º. Inicialmente, é necessário retirar $3\text{kg}$ de cada prato da balança. Na equação, são subtraídas 3 unidades de cada membro.

$4x+3-3=2x+9-3$

$4x=2x+6$

2º. Em seguida, deve-se retirar 2 caixas de cada prato da balança. Na equação, são subtraídos $2x$ de cada membro.

$4x-2x=2x+6-2x$

$2x=6$

Na balança do 2º passo, 2 caixas juntas correspondem a $6\text{kg}$. Assim, para obter a medida da massa de uma caixa, deve-se dividir $6\text{kg}$ por 2. Na equação, deve-se dividir cada membro por 2.

$\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}$

$x=3$

Portanto, a massa de cada caixa mede $3\text{kg}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

43. Nas balanças em equilíbrio representadas a seguir, caixas de mesma cor têm medidas de massa iguais.

A.

B.

C.

D.

a) Associe cada balança à respectiva equação representada a seguir. Para isso, escreva o par de letras correspondentes.

E. $4x=3x+3$

F. $2y+1=y+2$

G. $3a+3=a+4$

H. $2b+1=5$

b) Resolva as equações e determine a medida da massa de cada caixa.

Respostas: a) C-F; B-E; D-G; A-H; b) Caixa verde: $2\text{kg}$; caixa amarela: $3\text{kg}$; caixa vermelha: $1\text{kg}$; caixa roxa: $\frac{1}{2}\text{kg}$.

44. Analise a representação da balança em equilíbrio. Sabendo que as caixas têm a mesma medida de massa, escreva e resolva no caderno uma equação que permita calcular a medida da massa de cada caixa.

Resposta: $2x+3+3=x+6+2$; $x=2$; $2\text{kg}$.

45. A balança representada a seguir não está em equilíbrio. Para equilibrá-la, nessa situação, deve-se colocar 5 latas de achocolatado no prato da esquerda e 1 lata no prato da direita.

Sabendo que todas as latas de achocolatado têm massas com mesma medida, qual é a medida da massa de cada lata em quilogramas?

Resposta: $0,75\text{kg}$.

46. Resolva no caderno as equações a seguir.

a) $2x+4=28$

b) $3x-7=2x+1$

c) $4x-1=x+11$

d) $2+5x=2x+10$

e) $9x-2=7x+4$

f) $4x-2x+1=x+1$

46. Respostas: a) $x=12$; b) $x=8$; c) $x=4$; d) $x=\frac{8}{3}$; e) $x=3$; f) $x=0$.

47. Associe cada problema à equação que permite resolvê-lo escrevendo a letra e o número correspondentes. Depois, escreva em seu caderno e resolva as equações para, então, obter a resposta de cada um deles.

Respostas: A-3, B-1, C-2, D-4; A. 18 anos; B. R$ 46,00; C. 6 canetas; D. 5 peixes.

48. Uma prestadora de serviços telefônicos cobra R$ 24,90 pelo plano de ligações locais, com direito a 200 minutos por mês, além de um valor fixo por minuto excedente. Sabendo que em um mês Renato usou 453 minutos e pagou R$ 45,14, quanto ele pagou por minuto excedente?

Resposta: R$ 0,08.

49. Com base na fala de Marisa e Andrei, escreva no caderno uma equação para cada fala e, em seguida, resolva essas equações.

Resposta: Marisa: $2x-140=x+15$; $x=155$; $155\text{cm}$; Andrei: $5y=124+y$; $y=31$; 31 figurinhas.

50. Escreva no caderno uma equação e determine a medida de cada ângulo interno do triângulo a seguir.

Resposta: $2x+90°=180°$; $\text{med}\left(B\hat{A}C\right)=60°$; $\text{med}\left(A\hat{B}C\right)=42°$; $\text{med}\left(A\hat{C}B\right)=78°$.

51. Júlia e Isadora estão disputando um jogo de perguntas e respostas. Nesse jogo, para cada resposta certa, ganham-se 4 pontos, e, para cada resposta errada, perdem-se 2 pontos. Em cada rodada são feitas 15 perguntas.

A seguir está indicada a quantidade de respostas certas e erradas de Júlia e Isadora em 2 rodadas.

1ª rodada

Jogadora	Acertou	Errou
Júlia	8	7
Isadora	6	9

2ª rodada

Jogadora	Acertou	Errou
Júlia	5	10
Isadora	7	8

a) Quantos pontos Júlia e Isadora fizeram na 1ª rodada?

b) Quantos pontos Júlia e Isadora fizeram na 2ª rodada?

c) Entre as expressões algébricas a seguir, qual permite obter a quantidade de pontos de um jogador em uma rodada, sabendo que x representa a quantidade de respostas certas?

I)$4x+2x$

II)$4x-2\left(15-x\right)$

III)$4x-2\left(15+x\right)$

IV)$4x-2\cdot 15-2x$

d) Em certa rodada, Júlia obteve 24 pontos e Isadora, 36 pontos. Quantos acertos cada uma delas teve nessa rodada?

Respostas: a) Júlia: 18 pontos; Isadora: 6 pontos; b) Júlia: 0 ponto; Isadora: 12 pontos; c) II; d) Júlia: 9 acertos; Isadora: 11 acertos.

52. Na sexta-feira, uma sorveteria vendeu y sorvetes. No sábado, vendeu 15 sorvetes a mais do que havia vendido na sexta-feira e, no domingo, o dobro da quantidade de sorvetes que havia vendido no sábado. Sabendo que essa sorveteria vendeu 273 sorvetes nesses 3 dias, determine a quantidade de sorvetes vendidos em cada dia.

Resposta: Sexta-feira: 57 sorvetes; sábado: 72 sorvetes; domingo: 144 sorvetes.

53. A medida do perímetro do retângulo A é igual ao dobro da medida do perímetro do quadrado B.

A.

B.

Qual é a medida da área de cada figura em metros quadrados?

Resposta: Retângulo: $22,4{\text{m}}^2$; quadrado: $5,76{\text{m}}^2$.

54. Vanderlei e 4 amigos alugaram um veículo para uma viagem e decidiram dividir igualmente a quantia do aluguel. No dia da viagem, 2 pessoas não puderam ir. Por esse motivo, cada uma das pessoas restantes pagou R$ 75,00 a mais do que o combinado inicialmente.

a) Quantos reais cada pessoa pagaria inicialmente?

b) Por quantos reais o veículo foi alugado?

Respostas: a) R$ 112,50; b) R$ 562,50.