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UNIDADE

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Sequências

Ilustração de uma galáxia, em formato de espiral e um centro luminoso.
Imagem da Galáxia Messier 74, capturada pelo telescópio Hubble, cujos comprimentos dos arcos de suas espirais, traçados por faixas de poeira sinuosas, sugerem o padrão da sequência de Fibonacci.

Agora vamos estudar...

  • o conceito de sequências;
  • termo geral e enésimo termo de uma sequência;
  • sequências definidas por meio do termo geral;
  • sequências definidas por recorrência.

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Estudando sequências

Estudamos em anos anteriores que uma sequência é uma lista de elementos ordenados, que podem ser números, figuras ou letras, por exemplo. Cada elemento da sequência chama-se termo.

Verifique a seguir, um exemplo de sequência de figuras formadas por pontos.

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas em colunas, com duas bolinhas cada coluna. Na primeira posição há uma coluna, na segunda posição, duas, na terceira posição, três, na quarta posição, quatro, na quinta posição, cinco, reticências.

Podemos indicar a quantidade de pontos em cada figura pela seguinte sequência numérica: ( 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ) . Nela, o primeiro termo é 2, o segundo termo é 4, o terceiro termo é 6, e assim sucessivamente.

Podemos representar os termos de uma sequência por uma letra e um índice. Por exemplo, o primeiro termo pode ser expresso por a 1 (lê-se: a índice 1), o segundo termo por a 2 , o terceiro, por a 3 e assim sucessivamente.

Representamos um termo qualquer da sequência por a n (n-ésimo termo, lê-se: a índice n), em que n é um número natural não nulo e indica a posição ou a ordem do termo na sequência.

Quando uma sequência tem uma lei de formação, ou seja, a obtenção de cada um de seus termos obedece a determinado padrão ou regra, podemos obter os próximos termos, escrevendo o termo geral dela. Por exemplo, a sequência apresentada pode ser definida por meio do termo geral a n = 2 n para n > 0 , que relaciona a quantidade de pontos em cada imagem com a posição que o termo ocupa.

O termo geral de uma sequência nos permite obter qualquer um de seus termos com base na posição n que ele ocupa. Por exemplo, o décimo segundo termo da sequência é igual a 24, pois a 1 2 = 2 4 .

Note também como podemos obter os termos dessa sequência por meio de um fluxograma.

Fluxograma com os seguintes passos: Início; Seta para direita: Escolha uma posição n; Seta para direita: Calcule 2 n; Seta para direita: O resultado é o termo desejado; Seta para direita: Fim.

As sequências podem ser finitas ou infinitas. Dizemos que uma sequência é finita quando é composta por determinada quantidade de termos, ou seja, quando há um último termo. Caso contrário, diz-se que ela é infinita. A sequência apresentada anteriormente é um exemplo de sequência infinita.

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Agora, considere a sequência numérica ( 2 , 5 , 8 , 11 , ) , em que:

  • a 1 = 2
  • a 2 = 5 = 2 + 3
  • a 3 = 8 = 5 + 3
  • a 4 = 11 = 8 + 3

Nela, o primeiro termo é igual a 2, e cada termo, do segundo em diante, é igual ao anterior mais 3. Podemos definir essa sequência da seguinte maneira:

a 1 = 2

a n = a n 1 + 3 , para n > 1

Com isso, podemos calcular o quinto termo dessa sequência da seguinte maneira.

a 5 = a 4 + 3 = 11 a 4 + 3 = 1 4

Portanto, a 5 = 1 4 .

Quando definimos os termos de uma sequência em função dos termos anteriores a ele, dizemos que a sequência está definida por recorrência.

O fluxograma a seguir possibilita obter os termos da sequência ( 2, 5 , 8 , 11 , ) .

Fluxograma com os seguintes passos: Início; Seta para direita: Escolha uma posição n; Seta para direita: Calcule a, início de índice: n-1, fim de índice, mais 3; Seta para direita: O resultado é o termo desejado; Seta para direita: Fim.

Acompanhe outros exemplos de sequências.

a) A sequência ( 6 , 6 , 6 , 6 , ) , na qual os termos são todos iguais a 6, é um exemplo de sequência constante.

b) A sequência ( 1 , 3 , 5 , 7 , ) pode ser definida pelo termo geral a n = 2 n 1 , com n 1 . Essa é a sequência dos números ímpares positivos.

c) Se definirmos a 1 = 6 e a n = a n 1 + 5 , para n 2 , obtemos uma sequência em que os seis primeiros termos são:

a 1 = 6

a 2 = 6 + 5 = 1 1

a 3 = 11 + 5 = 1 6

a 4 = 16 + 5 = 2 1

a 5 = 21 + 5 = 2 6

a 6 = 26 + 5 = 3 1

Questão 1. Em seu caderno, defina a sequência ( 2, 4 , 6 , 8 , 10 , ) por recorrência. Essa é a mesma sequência cujo termo geral foi apresentado na página anterior.

Questão 2. É possível definir a sequência constante do exemplo a por recorrência? Em caso afirmativo, apresente essa definição.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva no caderno o termo geral de cada sequência.

a) ( 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , )

b) ( 13 , 25 , 37 , 49 , )

c) ( 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , )

d) ( 2 x , 4 x , 6 x , 8 x , )

e) ( x , x 2 , x 3 , x 4 , )

f) ( 1 x , 2 x 2 , 3 x 3 , 4 x 4 , )

2. Em cada item, é dado o termo geral, em que n é um número natural não nulo. Escreva em seu caderno os cinco primeiros termos das sequências.

a) a n = 22 n 7

b) a n = ( n 1 ) 3

c) a n = n 2 3 n

d) a n = ( n 1 ) 2 + 1 n

3. Analise a sequência de bolinhas.

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas. Na primeira posição há cinco bolinhas, na segunda posição, sete bolinhas, na terceira posição, nove, na quarta posição, onze, na quinta posição, treze, reticências.

a) Quantas bolinhas terá a figura 6 dessa sequência?

b) Escreva a sequência que representa a quantidade de bolinhas na posição correspondente.

c) Qual dos itens apresenta o termo geral da sequência que você escreveu no item anterior?

I) a n = 2 n + 3 , com n > 0 .

II) a n = 2 n 3 , com n > 0 .

III) a n = 3 2 n , com n > 0 .

IV) a n = 2 + 3 n , com n > 0 .

d) Determine a quantidade de bolinhas da figura 12 da sequência.

e) Defina a sequência que você escreveu no item b por recorrência.

4. Ícone desafio. Quais das sequências a seguir estão definidas por recorrência?

a) a n = n ( n 1 ) , com n > 0 .

b) a n = 3 n + n + 1 + 2 , com n > 0 .

c) a n = 2 ( a n 1 + 3 ) , com a 1 = 0 e n > 1 .

d) a n = a n 1 n a n 1 , com a 1 = 10 e n > 1 .

5. Milena escreveu uma sequência na qual um termo é obtido adicionando os dois termos imediatamente anteriores. Ela considerou a 1 = 2 e a 2 = 3 .

a) Escreva essa sequência até o 7º termo.

b) Essa sequência pode ser definida por um termo geral? Em caso afirmativo, escreva como obtê-la.

c) Essa sequência pode ser definida por recorrência? Em caso afirmativo, escreva como obtê-la.

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6. Junte-se a um colega e analisem a sequência a seguir.

( 8 , 3 , 2 , 7 , 12 , )

a) Construam um fluxograma por meio do qual seja possível obter um termo qualquer dessa sequência.

b) Usando o fluxograma que vocês construíram, determine os próximos 3 termos dessa sequência.

7. Analise as sequências.

Sequência 1

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas em colunas, com duas bolinhas cada coluna. Na primeira posição há duas colunas, na segunda posição, três, na terceira posição, quatro, na quarta posição, cinco, na quinta posição, seis, reticências.

Sequência 2

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas. Na primeira posição há onze bolinhas, 2 colunas com 6 bolinhas e 1 coluna com 1 bolinha, na segunda posição, doze, 2 colunas com 6 bolinhas e 1 coluna com 2 bolinha, na terceira posição, treze, 2 colunas com 6 bolinhas e 1 coluna com 3 bolinha, na quarta posição, quatorze, 2 colunas com 6 bolinhas e 1 coluna com 4 bolinha, na quinta posição, quinze, 3 colunas com 6 bolinhas, reticências.

Sequência 3

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas. Na primeira posição há uma bolinha, na segunda posição, cinco, na terceira posição, nove, na quarta posição, treze, na quinta posição, dezessete, reticências.

a) Para cada uma das sequências, escreva uma fórmula que possibilite obter a quantidade de bolinhas que há em cada figura em função da posição ocupada na sequência.

b) Construa, para cada sequência, um fluxograma que possibilite determinar a quantidade de bolinhas em cada figura de acordo com sua posição.

8. Considere a sequência definida por a n = a n 1 n , com a 1 = 1 e n > 1 .

a) Construa um fluxograma que possibilite obter os termos dessa sequência.

b) Usando o fluxograma feito no item anterior, escreva os seis primeiros termos dessa sequência.

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9. Considere a sequência A, definida por a n = 2 n + 5 , com n > 0 , e a sequência B, definida por a n = 2 a n 1 1 , com a 1 = 2 e n > 1 .

a) Qual das sequências foi definida por recorrência?

b) Associe cada uma das sequências ao fluxograma que permite obter seus termos.

I. Fluxograma com os seguintes passos: Início; Seta para direita: Escolha a posição n maior que 1 de um termo da sequência; Seta para direita: Calcule 2 vezes a início de índice: n menos 1, fim de índice, menos 1; Seta para direita: O resultado obtido é o termo desejado; Seta para direita: Fim.
II. Fluxograma com os seguintes passos: Início; Seta para direita: Escolha a posição n de um termo da sequência; Seta para direita: Calcule 2 n mais 5; Seta para direita: O resultado obtido é o termo desejado; Seta para direita: Fim.

c) Escreva os 8 primeiros termos de cada uma dessas sequências.

10. Ícone desafio. Analise o que o professor Marcelo está dizendo.

Ilustração de um menino com dois balões de fala. No balão da esquerda está escrito: Vamos escrever uma sequência, na qual o primeiro termo precisa ser um número natural maior do que 1. No balão da direita está escrito: Para obtermos um termo dessa sequência, a partir do segundo, vamos analisar o termo anterior.
Ilustração de um menino com dois balões de fala. No balão da esquerda está escrito: Se o termo anterior for ímpar, vamos subtrair 1 e multiplicar por 2. Se for par, dividiremos por 2. No balão da direita está escrito: Repetiremos os cálculos até obter o número 1, que será o último termo da sequência.

a) Se os estudantes optaram por usar a 1 = 1 0 , qual foi a sequência escrita?

b) Elabore um fluxograma para obter os termos dessa sequência.

c) Usando o fluxograma, escreva em seu caderno essa sequência após escolher um número natural maior do que 1 e diferente de 10 para ser o primeiro termo.

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11. Quantos coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano, considerando que a cada mês ocorre a produção de um par de coelhos e que um par de coelhos começa a produzir coelhos quando completa dois meses.

Indicando a quantidade de pares de coelhos do mês n por a n , obtemos:

a 1 = 1 (um par de coelhos jovem)

a 2 = 1 (um par de coelhos adulto, no período fértil)

a 3 = 2 (dois pares de coelhos: um adulto e um jovem)

a 4 = 3 (três pares de coelhos: dois adultos e um jovem)

a 5 = 5 (cinco pares de coelhos: três adultos e dois jovens)

Ícone Objeto digital

Esquema com pares de coelhos ilustrados em linhas, que representam os meses. Na primeira linha há um par de coelhos jovem, a linha está indicada pelo número 1. Na segunda linha, há o mesmo par de coelhos que estava na primeira, mas agora é um par adulto, está linha também está indicada pelo número 1. Na terceira linha, há o mesmo par de coelhos adulto que estava na segunda linha e um novo par de coelhos jovem gerado por ele, há dois traços ligando esses dois pares de coelhos ao par de coelhos da linha anterior. Essa linha está indicada pelo número 2. Na quarta linha há os dois pares que estavam na segunda linha, e um novo par, gerado a partir do par que já era adulto. Essa linha está indicada pelo número 3. Na quinta linha, há cinco pares de coelhos, dois jovens e três adultos. Essa linha está indicada pelo número 5.
Pintura a óleo de um homem, Leonardo Finonacci, visto do peitoral para cima, com pele clara, sem barba, sem bigode e com um lenço enrolado na cabeça.
Gravura de Leonardo Finonacci, feita possivelmente entre 1843 e 1850.

Se continuarmos esse processo, obtemos a seguinte sequência:

( 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ... )

Essa sequência foi nomeada Sequência de Fibonacci, em homenagem ao matemático Leonardo de Pisa (1175-1250), também conhecido como Leonardo Fibonacci.

Nessa sequência, os dois primeiros termos são iguais a 1 e cada termo seguinte é obtido adicionando os dois termos anteriores.

a) Determine o 13º termo dessa sequência.

b) Junte-se a um colega e analisem como os termos dessa sequência são formados. Em seguida, definam-na por recorrência.

c) Faça uma pesquisa a respeito de Leonardo Fibonacci e as contribuições dele para a Matemática. Em seguida, monte um cartaz com imagens e informações e exponha sua produção para os colegas.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Considere a sequência ( 1 , 6 5 , 9 7 , 4 3 , 15 11 , 18 13 , ) . Determine:

a) o termo geral da sequência.

b) o termo a 5 0 .

2. Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por a n = a n 1 2 , com a 1 = 2 . 048 e n > 1 .

3. A seguir, em cada item, determine a 2 5 dado o termo geral da sequência.

a) a n = n 1 3 , com n > 0 .

b) a n = 6 n 10 0 , com n > 0 .

c) a n = ( n 5 ) 2 , com n > 0 .

d) a n = n + 15 2 , com n > 0 .

e) a n = 2 n 5 , com n > 0 .

f) a n = 4 n , com n > 0 .

4. Considerando a 1 = 1 4 e a n = a n 1 + 2 n , para todo número natural n > 1 , construa um fluxograma para obter os termos dessa sequência e escreva os cinco primeiros termos.

5. Analise a sequência de imagens e determine o termo geral para obter a quantidade de bolinhas em cada posição.

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas. Na primeira posição há seis bolinhas, na segunda posição, nove, na terceira posição, doze, na quarta posição, quinze, na quinta posição, dezoito, reticências.

6. Analise a sequência.

( 1 , 1 , 4 3 , 2 , 16 5 , 16 3 , )

a) Entre as alternativas a seguir, determine o termo geral da sequência.

I) a n = n 2 2 n , com n > 0

II) a n = 2 n 2 n , com n > 0

III) n 2 n + 2 , com n > 0

b) Elabore um fluxograma que permita determinar os termos dessa sequência.

c) Com o fluxograma elaborado no item anterior, determine o décimo termo da sequência.

7. Daniel construiu a sequência de figuras apresentada.

Esquema com uma sequência de bolinhas agrupadas. Na primeira posição há dezoito bolinhas, na segunda posição, quinze, na terceira posição, doze, na quarta posição, nove, na quinta posição, seis, reticências.

a) Defina recursivamente a sequência que determina a quantidade de bolinhas em cada posição.

b) Determine a quantidade de bolinhas na sexta posição dessa sequência.