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UNIDADE

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Medidas de área

Fotografia. Estádio de futebol, com o campo de grama verde e com linhas que marcam o meio do campo, a área de gol e a limitação do campo. Há um telão e arquibancadas nas laterais. Também há luzes, e está noite.
Estádio Allianz Parque, sede oficial do time de futebol Palmeiras, em 2022, cuja medida da área, assim como outros estádios oficiais, obedece aos padrões da Federação Internacional de Futebol (FIFA).

Agora vamos estudar...

  • medida da área do paralelogramo, do triângulo, do trapézio e do losango;
  • medida da área do círculo;
  • medida da área de setor e de coroa circulares.

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Medida da área do paralelogramo

Ícone Objeto digital

Ideias relacionadas à medida de área já eram utilizadas há milhares de anos por vários povos antigos, como os egípcios.

Nesta unidade, estudaremos como as medidas das áreas de alguns polígonos podem ser calculadas.

No paralelogramo a seguir, cujo comprimento da base mede b e a altura mede h, vamos acompanhar os passos necessários para calcular a medida de sua área.

Primeiro, decompomos o paralelogramo em um triângulo e em um quadrilátero. Em seguida, fazemos uma recomposição, formando um retângulo.

1º. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base b e altura h. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base do paralelogramo.
2º. Ilustração do paralelogramo anterior com medida da altura destaca, separando o triângulo retângulo do restante da figura, transformando a figura em duas partes. No triângulo, há uma seta que vai da esquerda para a direita, indicando que o triângulo vai para o outro lado da figura.
3º. Ilustração de um retângulo formado pela montagem anterior: um triângulo retângulo, que tem o lado oposto ao ângulo reto encostado ao lado do paralelogramo. O retângulo tem medida de comprimento da base b e altura h.

O comprimento da base do retângulo tem a mesma medida do comprimento da base do paralelogramo, assim como a altura desse retângulo tem a mesma medida da altura do paralelogramo.

Você já deve ter estudado que, para calcular a medida da área de um retângulo, multiplicamos a medida do comprimento da base pela medida da sua altura. Sendo assim, a medida da área do paralelogramo pode ser obtida do mesmo modo que a medida da área do retângulo.

Para calcular a medida da área de um paralelogramo, multiplicamos a medida do comprimento de sua base pela medida de sua altura.

Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base b e altura h. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base do paralelogramo.

A = b h

A: medida da área do paralelogramo

b: medida do comprimento da base

h: medida da altura

A seguir, calcularemos a medida da área do paralelogramo, utilizando a fórmula.

Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: 4 centímetros e altura: 2 centímetros.

De acordo com as medidas indicadas, temos:

  • medida do comprimento da base: b = 4   cm ;
  • medida da altura: h = 2   cm .

Substituímos essas medidas na fórmula e efetuamos os cálculos:

A = b h = 4   cm 2   cm = 8   cm 2

Atenção!

Ao substituir as medidas na fórmula, elas devem estar na mesma unidade de medida.

Logo, a área desse paralelogramo mede 8   cm 2 .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Em seu caderno, calcule a medida da área de cada um dos paralelogramos a seguir.

A. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: 6 centímetros e altura: 3 centímetros.
B. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: 4 centímetros e altura: 3 centímetros.
C. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: 3,5 centímetros e altura: 4,5 centímetros.
D. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: 2,8 centímetros e altura: 6 centímetros.

2. Qual é a medida da base, em centímetros, de um paralelogramo que tem 187   cm 2 de área e 11   cm de altura?

3. Considere um paralelogramo cujo comprimento da base mede 8   cm e cuja altura corresponde a 30% da medida do comprimento da base.

Calcule no caderno a medida da área desse paralelogramo, em centímetros quadrados.

4. Ícone uso de instrumentos Junte-se a um colega e, usando transferidor, régua e compasso, construam, no caderno de vocês, paralelogramos cujas informações são dadas a seguir. Depois, determinem a medida da área A de cada um deles.

A. Paralelogramo BCDE

B C // E D

E H é a altura

H é um ponto de B C

med ( C B ˆ E ) = 60 °

B C = 5   cm

B E = 4   cm

E H = 3 , 5   cm

B. Paralelogramo FGHI

F G // H I

I J é a altura

J é um ponto de F G

med ( G F ˆ I ) = 45 °

F G = 7   cm

F I = 6 , 5   cm

I J = 4 , 6   cm

5. Cláudia comprou uma chácara cujo terreno tem o formato de um paralelogramo. Nesse terreno, ela deseja construir um jardim e uma horta, como representado na figura geométrica a seguir. No restante do terreno, Cláudia pretende construir uma casa. Calcule, no caderno, qual é a medida da área do terreno destinada à construção do jardim e da horta.

Ilustração de um terreno, visto de cima, formado por um retângulo no centro (casa de Cláudia) e 2 triângulos retângulos (um é o jardim e o outro, a horta, cada um de um lado do retângulo, em lados e posições opostas deixando o terreno em formato de um paralelogramo. Medidas de comprimento do retângulo: 100,6 metros de comprimento; 42 metros de largura. Medidas de comprimento do paralelogramo: 100,6 metros de altura; 84,5 metros de base.

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Medida da área do triângulo

No triângulo T 1 representado a seguir, b é a medida do comprimento da base e h é a medida do comprimento da altura.

Para calcular a medida da área desse triângulo, consideramos um triângulo T 2 , congruente ao triângulo T 1 , e compomos um paralelogramo com os triângulos T 1 e T 2 .

1º. Ilustração de dois triângulos iguais com medida de comprimento da base b e altura h. Um triângulo, identificado como T1 está com a base para baixo e o outro, está invertido, ou de ponta cabeça em relação ao outro, ele é identificado por T2. Ambos têm a medida da altura destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base do triângulo.
2º. Ilustração idêntica a anterior, porém os triângulos estão encostados em seu maior lado, formando um paralelogramo. O lado em comum dos triângulos corresponde a medida da diagonal do paralelogramo.

Os triângulos T 1 e T 2 compõem um paralelogramo com a mesma medida do comprimento da base e com a mesma medida de comprimento da altura do triângulo T 1 .

Assim, para obter a medida da área de cada triângulo, calculamos a medida da área do paralelogramo e dividimos por 2, pois os triângulos são congruentes.

Para calcular a medida da área de um triângulo, multiplicamos a medida do comprimento de sua base pela medida de comprimento de sua altura e dividimos o resultado por 2.

Ilustração de um triângulo com medida de comprimento da base b e altura h. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base do triângulo.

A = b h 2

A: medida da área do triângulo

b: medida do comprimento da base

h: medida do comprimento da altura

Atenção!

A altura de um triângulo é um segmento que liga um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com ele um ângulo reto. Nesse caso, esse lado oposto é chamado base do triângulo. Um triângulo tem três alturas, cada uma relativa a determinado lado.

Vamos calcular a medida da área do triângulo a seguir utilizando a fórmula.

Ilustração de um triângulo com medida de comprimento da base: 5 centímetros e altura 3 centímetros. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base do triângulo.

Conforme as medidas indicadas, temos:

  • medida do comprimento da base: b = 5   cm ;
  • medida do comprimento da altura: h = 3   cm .

Substituímos essas medidas na fórmula e efetuamos os cálculos:

A = b h 2 = 5   cm 3   cm 2 = 15   cm 2 2 = 7 , 5   cm 2

Logo, a área desse triângulo mede 7 , 5   cm 2 .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. No caderno, calcule a medida da área de cada um dos triângulos a seguir.

A. Ilustração de um triângulo retângulo com medida de comprimento da base: 5,3 centímetros e altura: 2 centímetros.
B. Ilustração de um triângulo retângulo com medida de comprimento da base: 3 centímetros e altura: 2,5 centímetros.
C. Ilustração de um triângulo isósceles formado por dois triângulos retângulos, encostados em suas respectivas alturas. O triângulo isósceles tem medida de comprimento da base: 5 centímetros e altura: 4,33 centímetros.

7. Em cada imagem a seguir, determine a medida da área da região colorida de amarelo e escreva as respostas em seu caderno.

A. Ilustração de um retângulo maior pintado de amarelo formado por um quadrado com medida do lado igual a 3 centímetros e um retângulo menor com medidas de comprimento: 4 centímetros de base e 3 centímetros de altura. Dentro do quadrado, há um triângulo azul em que o lado coincide com o lado do quadrado e sua altura encosta o outro lado do quadrado há 1 centímetro do vértice. Dentro do retângulo menor, há um triângulo retângulo azul, que corresponde à metade do retângulo.
B. Ilustração de um retângulo pintado de amarelo com medidas de comprimento: 4 centímetros de base e 3,5 centímetros de altura. Dentro do retângulo há um triângulo retângulo cuja medida do comprimento de sua base corresponde à medida de comprimento do retângulo e ele está a 1,5 centímetros de altura em relação à essa base.

8. Qual é a medida do comprimento da altura, em centímetros, de um triângulo cuja área mede 42   cm 2 e a base mede 6   cm ?

9. O comprimento da base de um triângulo mede 3 x e o comprimento da altura mede x.

a) Escreva no caderno uma expressão algébrica que represente a medida da área desse triângulo.

b) Supondo que a área desse triângulo meça 54   cm 2 , qual é o valor de x?

10. Ícone desafio. A figura geométrica a seguir é formada por 1 paralelogramo e 2 triângulos isósceles cujo comprimento da base mede x.

Ilustração de um triângulo formado por um paralelogramo de base x e altura y e dois triângulos menores e isósceles de base x e altura y. A base do triângulo maior é formada por um triângulo isósceles encostado em um dos lados do paralelogramo, ficando com uma base medindo 2 x. Acima do paralelogramo, que tem base x, está o outro triângulo isósceles, que também tem a mesma medida de base.

a) Escreva no caderno uma expressão algébrica que represente a medida da área total dessa figura geométrica.

b) Em seu caderno, calcule, em centímetro quadrado, a medida da área dessa figura geométrica, considerando x = 12   cm e y = x 2 + 5   cm .

11. No triângulo isósceles a seguir, o comprimento dos lados congruentes mede 10   cm e o comprimento da base mede 12   cm .

Ilustração de um triângulo com base medindo 12 centímetros de comprimento e altura 8 centímetros. Um dos lados do triângulo, tem medida de comprimento igual a 10 centímetros.

Utilizando essas informações, elabore um problema envolvendo medida de área e peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele resolveu corretamente.

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12. Ícone uso de instrumentos Herão foi um egípcio com formação grega, que nasceu, viveu e morreu em Alexandria. Dedicou seus estudos às áreas da Matemática, Física e Engenharia. Não se sabe ao certo a época exata em que ele viveu, mas estimativas de historiadores indicam a segunda metade do século I d.C.

Dos trabalhos que Herão fez relacionados à Geometria, o mais importante é A métrica, em que se encontra a dedução da fórmula para calcular a medida da área de um triângulo em função das medidas do comprimento de seus três lados. Essa fórmula ganhou o nome de fórmula de Herão.

Ilustração de um triângulo com os lados indicados por a, b e c.

A = p ( p a ) ( p b ) ( p c )

  • a, b e c são as medidas do comprimento dos lados do triângulo, na mesma unidade de medida;
  • p é a medida do semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da medida do seu perímetro ( p = a + b + c 2 ) .

Utilizando a fórmula de Herão, podemos calcular a medida da área do triângulo a seguir.

Ilustração de um triângulo com dois de seus lados medindo 10 metros e 8 metros.

p = 6 + 8 + 10 2 = 24 2 = 1 2

A =  12 ( 12 6 ) ( 12 8 ) ( 12 10 )

= 12 6 4 2 = 12 12 4 = 12 2 = 2 4

Logo, a área desse triângulo mede 24   cm 2 .

a) De maneira semelhante e com o auxílio de uma calculadora, determine a medida da área A de cada triângulo a seguir, utilizando a fórmula de Herão.

Atenção!

Se necessário, arredonde, para o centésimo mais próximo, os resultados obtidos em cada item.

I. Ilustração de um triângulo com medidas dos lados iguais a 7 metros, 14 metros e 9 metros.
II. Ilustração de um triângulo com medidas dos lados iguais a 12 metros, 4 metros e 10 metros.
III. Ilustração de um triângulo com medidas dos lados iguais a 9 metros, 12 metros e 15 metros.
IV. Ilustração de um triângulo com medidas dos lados iguais a 10 metros, 9 metros e 8 metros.

b) Realize uma pesquisa para obter o nome de outros trabalhos desenvolvidos por Herão de Alexandria. Depois, compartilhe-a com os colegas e o professor.

Atenção!

A pesquisa proposta nesta atividade pode ser feita em livros, revistas e sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

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Medida da área do trapézio

No trapézio T 1 representado a seguir, B é a medida do comprimento da base maior, b é a medida do comprimento da base menor e h é a medida da altura.

Para calcular a medida da área desse trapézio, consideramos um trapézio T 2 , congruente ao trapézio T 1 , e compomos um paralelogramo com os trapézios T 1 e T 2 .

1º. Ilustração de dois trapézios iguais com as medidas: base menor, b minúsculo; base maior, B maiúsculo; altura, h. Um trapézio, identificado como T1 está com a base maior para baixo e o outro, está invertido, de ponta cabeça em relação ao outro, ele é identificado por T2. Ambos têm a medida da altura destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.
2º. Ilustração idêntica a anterior, porém os trapézios estão encostados em um de seus lados, formando um paralelogramo. A base do paralelogramo é identificada por B maiúsculo mais b minúsculo.

Os trapézios T 1 e T 2 compõem um paralelogramo cuja medida do comprimento da base é a soma das medidas do comprimento das bases maior com a menor dos trapézios, e cuja medida da altura é a mesma do trapézio T 1 .

Assim, basta calcular a medida da área do paralelogramo e dividi-la por 2 para obter a medida da área de cada trapézio, pois eles são congruentes.

Para calcular a medida da área de um trapézio, adicionamos a medida do comprimento de sua base maior com a medida do comprimento de sua base menor e multiplicamos a soma por sua medida da altura. Depois, dividimos o resultado por 2.

Ilustração de um trapézio com as medidas: base menor, b minúsculo; base maior, B maiúsculo; altura, h. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.

A = ( B + b ) h 2

A: medida da área do trapézio

B: medida do comprimento da base maior

b: medida do comprimento da base menor

h: medida do comprimento da altura

Analise como podemos calcular a medida da área do trapézio a seguir, utilizando a fórmula.

Ilustração de um trapézio com as medidas: base menor, 2 centímetros; base maior, 4 centímetros; altura, 1,5 centímetros. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.

De acordo com as medidas indicadas, temos:

  • medida de comprimento da base maior: B = 4   cm ;
  • medida de comprimento da base menor: b = 2   cm ;
  • medida de comprimento da altura: h = 1 , 5   cm .

Substituímos essas medidas na fórmula e efetuamos os cálculos:

A = ( B + b ) h 2 = ( 4   cm + 2   cm ) 1 , 5   cm 2 = 6   cm 1 , 5   cm 2 = 9   cm 2 2 = 4 , 5   cm 2

Logo, a área desse trapézio mede 4 , 5   cm 2 .

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É possível também calcular a medida da área do hexágono regular a seguir, decompondo-o em 2 trapézios congruentes.

1º. Ilustração de um hexágono regular com a medida do lado igual a 2 centímetros. Está indicada a altura do hexágono de 2 raiz quadrada de 3 centímetros e a medida de um vértice até o vértice oposto alinhado horizontalmente, está indicada como 4 centímetros de comprimento.
2º. Ilustração de dois trapézios iguais com as medidas: base menor, 2 centímetros; base maior, 4 centímetros; altura, raiz quadrada de 3 centímetros. Um trapézio, está invertido em relação ao outro e estão encostados em suas bases maiores, de maneira a formar um hexágono. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.

Calculamos a medida da área de um dos trapézios:

A = ( B + b ) h 2 = ( 4   cm + 2   cm ) 3   cm 2 =

= 6   cm 3   cm 2 = 3 3   cm 2

Atenção!

Para obter a medida da altura ( h ) de um dos trapézios, basta dividir a medida da altura do hexágono regular por 2, ou seja, 2 3   cm 2 = 2 3   cm 2 = 3   cm .

Por último, multiplicamos o resultado por 2 para obter a medida da área do hexágono regular.

2 3 3   cm 2 = 6 3   cm 2

Portanto, a área desse hexágono regular mede 6 3   cm 2 .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Calcule no caderno a medida da área de cada trapézio mostrado a seguir.

A. Ilustração de um trapézio com as medidas: base menor, 2,5 centímetros; base maior, 6 centímetros; altura, 3,2 centímetros. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.
B. Ilustração de um trapézio retângulo com as medidas: base menor, 2,8 centímetros; base maior, 5 centímetros; altura, 3,4 centímetros.
C. Ilustração de um trapézio formado por um retângulo e dois triângulos retângulos iguais. Medidas do retângulo: base menor, 3 centímetros; altura 2,7 centímetros. A medida da base do triângulos retângulos: 1,75 centímetros e a medida de suas alturas coincidem com a altura do retângulo.

14. A área do trapézio representado a seguir mede 20   m 2 .

a) Determine o valor de x.

b) Qual é a medida do comprimento da base maior desse trapézio?

Ilustração de um trapézio com as medidas: base menor, 4 metros; base maior, x mais 3 metros; altura, 4 metros. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.

15. Considere um trapézio tal que:

a área meça 35   cm 2 ;

a altura meça 5   cm ;

o comprimento da base maior meça 10   cm .

Calcule no caderno a medida do comprimento da base menor desse trapézio.

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16. Determine a medida, em centímetros quadrados, da área de cada trapézio a seguir.

Ilustração de uma malha quadriculada com 5 quadriláteros. O quadrilátero A: trapézio retângulo: base maior: 10 quadradinhos; base menor: 5 quadradinhos; altura: 5 quadradinhos. O quadrilátero B: trapézio retângulo: base maior: 10 quadradinhos; base menor: 7 quadradinhos; altura: 3 quadradinhos. O quadrilátero C: trapézio isósceles: base maior: 10 quadradinhos; base menor: 4 quadradinhos; altura: 3 quadradinhos. O quadrilátero D: trapézio isósceles: base maior: 6 quadradinhos; base menor: 2 quadradinhos; altura: 4 quadradinhos. O quadrilátero E: trapézio retângulo: base maior: 6 quadradinhos; base menor: 2 quadradinhos; altura: 4 quadradinhos.

Atenção!

O comprimento do lado de cada Ilustração de um quadrado. da malha mede 0 , 5   cm .

17. As medidas apresentadas nos quadros a seguir referem-se a trapézios. Efetue os cálculos no caderno e obtenha os valores de x, y e z.

A. Trapézio ABCD

Comprimento das bases: A B = 6   cm e C D = 9   cm

Altura: h = 4 , 6   cm

Área: A = x

B. Trapézio EFGH

Comprimento das bases: E F = y e G H = 8   cm

Altura: h = 6   cm

Área: A = 30   cm 2

C. Trapézio IJKL

Comprimento das bases: K L = 4 , 8   cm e I J = z

Altura: h = 4   cm

Área: A = 16 , 5   cm 2

18. A figura geométrica a seguir representa a vista superior do tampo de uma mesa.

Ilustração de um octógono dividido em dois trapézios isósceles, com um retângulo entre eles. Medidas do retângulo: base: 4,8 centímetros, que coincidem com as bases maiores dos trapézios e com altura 2 centímetros. Trapézios: base menor: 2 centímetros e altura: 1,4 centímetro.

Sabendo que esse tampo é formado por 2 trapézios isósceles congruentes e por 1 retângulo, determine a medida da área de sua superfície.

19. Determine a medida da área total da superfície do prisma reto representado a seguir, sabendo que suas bases são trapézios isósceles.

Ilustração de um prisma cuja base é um trapézio com medidas de comprimento: base menor: 2,5 centímetros; base maior: 4 centímetros. A altura do prisma mede 3 centímetros.
Prisma.
Ilustração de um trapézio com altura medindo 2,4  centímetros e um dos lados com medida igual a 2,5 centímetros.
Base do prisma.

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Medida da área do losango

No losango a seguir, D é a medida do comprimento da diagonal maior e d é a medida do comprimento da diagonal menor.

Ilustração de um losango com a indicação da diagonal maior como D maiúsculo e a diagonal menor, d minúsculo.

Para calcular a medida da área desse losango, traçamos um retângulo cuja medida do comprimento da base corresponde à medida do comprimento da diagonal maior do losango e cuja medida da altura corresponde à medida do comprimento da diagonal menor.

Ilustração do losango anterior, dentro de um retângulo que tem os lados tracejados. Os vértices do losango coincidem exatamente com o meio de cada um dos lados do retângulo.

Esse retângulo é composto de 8 triângulos congruentes, e 4 desses triângulos formam o losango.

Assim, a medida da área do losango é a metade da medida da área desse retângulo.

Para calcular a medida da área de um losango, multiplicamos a medida do comprimento de sua diagonal maior pela medida do comprimento de sua diagonal menor e dividimos o resultado por 2.

Ilustração de um losango com a indicação da diagonal maior como D maiúsculo e a diagonal menor, d minúsculo.

A = D d 2

A: medida da área do losango

D: medida do comprimento da diagonal maior

d: medida do comprimento da diagonal menor

Acompanhe o cálculo da medida da área do losango a seguir, utilizando a fórmula.

Ilustração de um losango com as medidas de comprimento: diagonal maior: 5 centímetros; diagonal menor: 4 centímetros.

De acordo com as medidas indicadas, temos:

  • medida do comprimento da diagonal maior: D = 5   cm ;
  • medida do comprimento da diagonal menor: d = 4   cm .

Substituímos essas medidas na fórmula e efetuamos os cálculos:

A = D d 2 = 5   cm 4   cm 2 = 20   cm 2 2 = 10   cm 2

Atenção!

Lembre-se de que, ao substituir as medidas na fórmula, elas devem estar na mesma unidade de medida.

Logo, a área desse losango mede 10   cm 2 .

teste

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Calcule no caderno a medida da área dos seguintes losangos.

A. Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é 3 centímetros, e da diagonal menor é 2 centímetros.
B. Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é 5 centímetros, e da diagonal menor é 2,9 centímetros.
C. Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é 3,7 centímetros, e da diagonal menor é 2,3 centímetros.
D. Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é 4 centímetros, e da diagonal menor é 2,8 centímetros.

21. Sabendo que a área de um losango mede 54   cm 2 e o comprimento de sua diagonal menor mede 9   cm , determine a medida do comprimento da diagonal maior.

22. Determine a medida do comprimento da diagonal menor de um losango que tenha   36   cm 2 de medida de área e cujo comprimento da diagonal maior meça 9   cm .

23. A área do losango representado a seguir mede 75   m 2 .

Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é x mais 5 metros, e da diagonal menor é 10 metros.

a) Em seu caderno, determine o valor de x.

b) Qual é a medida do comprimento da diagonal maior desse losango?

24. A figura geométrica a seguir é um prisma reto, cujas bases são losangos.

Ilustração de um prisma de base quadrada com medida de lado igual a 5 metros. A altura do prisma mede 11 metros.
Prisma.
Ilustração de um losango com as duas diagonais traçadas formando ângulos retos na intersecção entre elas. A medida de comprimento da diagonal maior é 8 metros, e da diagonal menor é 6 metros.
Base do prisma.

De acordo com as medidas indicadas, determine a medida da área total da superfície desse prisma.

25. Utilizando a imagem a seguir, elabore um problema envolvendo cálculo da medida de área.

Ilustração de uma praça, vista de cima, em formato de um losango. Medidas de comprimento: diagonal maior: 88 metros; diagonal menor: 42 metros.

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

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Medida da área do círculo

O círculo é a reunião da circunferência com todos os pontos que estão em sua região interna. Acompanhe os procedimentos para obter a fórmula que permite calcular a medida da área de um círculo.

Ilustração de um círculo. Há um ponto que indica o centro O. O contorno do círculo é denominado circunferência, e dentro é denominada região interna. Um segmento, que vai do centro até a circunferência, está indicado por raio.

Inicialmente, decompomos o círculo em partes iguais. Por exemplo, na figura a seguir, o círculo de raio medindo r foi decomposto em 14 partes iguais.

Ilustração de um círculo formado por 14 partes, ou, setores circulares, todos com o mesmo centro. A parte que vai do centro até a circunferência, está indicada por r.

Em seguida, organizamos essas partes, como mostra a imagem a seguir.

Ilustração das 14 partes da figura anterior que agora formam uma figura semelhante a um retângulo. As partes são colocadas alternadamente, uma para cima e outra para baixo. Há uma indicação das medidas de comprimento da figura: altura r e base início de fração: numerador: 2 vezes pi vezes r; denominador: 2; fim de fração.

Organizando as partes do círculo dessa maneira, obtemos uma figura geométrica que lembra um paralelogramo, cuja medida do comprimento da base é aproximadamente metade da medida do comprimento da circunferência e cuja medida da altura é aproximadamente a medida do comprimento do raio do círculo.

Atenção!

Lembre-se de que a medida C do comprimento de uma circunferência de comprimento de raio medindo r é C = 2 π r .

Quanto maior for a quantidade de partes em que o círculo é decomposto, menos "inclinado" é o lado do paralelogramo. Assim, aumentando significativamente a quantidade de partes, a figura geométrica obtida lembra um retângulo, cuja medida do comprimento da base é metade da medida do comprimento da circunferência e cuja medida da altura é a medida do comprimento do raio do círculo.

Para calcular a medida da área de um paralelogramo, multiplicamos a medida do comprimento de sua base (b) pela medida da sua altura (h). Nesse caso, temos b = 2 π r 2 e h = r . Assim:

A = b h = 2 π r 2 r = π r r = π r 2

Como essa figura geométrica é formada por todas as partes do círculo, a medida da área do círculo é dada por:

A = π r 2

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Agora, vamos calcular a medida aproximada da área do círculo a seguir, utilizando a fórmula A = π r 2 e considerando π = 3 , 1 4 .

Ilustração de um círculo de centro O e raio 2,6 metros.

A = π r 2 = 3 , 14 ( 2 , 6   m ) 2 = 3 , 14 6 , 76   m 2 = 21 , 2 264   m 2

Portanto, a área desse círculo mede aproximadamente 21 , 2 264   m 2 .

Arredondando esse valor ao centésimo mais próximo, obtemos 21 , 23   m 2 .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Calcule no caderno a medida da área de cada círculo de centro O representado a seguir.

Atenção!

Para resolver as atividades desta unidade, utilize π = 3 , 1 4 e, quando necessário, arredonde os resultados ao centésimo mais próximo do valor final.

A. Ilustração de um círculo de centro O e raio 1,2 metros.
B. Ilustração de um círculo de centro O e raio 0,7 metros.
C. Ilustração de um círculo de centro O e raio 1,9 metros.
D. Ilustração de um círculo de centro O e raio 1,7 metros.
E. Ilustração de um círculo de centro O e diâmetro 1,5 metros.
F. Ilustração de um círculo de centro O e diâmetro 2,4 metros.

27. Calcule no caderno a medida da área do círculo cujo comprimento do raio mede 5 2   m .

28. Cada figura a seguir representa uma fração de um círculo de centro O. De acordo com a fração e a medida do comprimento do raio, determine, em seu caderno, a medida aproximada da área de cada uma dessas figuras.

A. Ilustração de metade de um círculo de centro O e raio 2,3 centímetros. Dentro da figura está indicado a fração um meio.
B. Ilustração de um quarto de volta um círculo de centro O e raio 1,6 centímetros. Dentro da figura está indicado a fração um quarto.
C. Ilustração de um oitavo de volta de um círculo de centro O e raio 4,2 centímetros. Dentro da figura está indicado a fração um oitavo.
D. Ilustração de três quartos de volta de um círculo de centro O e raio 2,2 centímetros. Dentro da figura está indicado a fração: três quartos.

29. Determine a medida da área do círculo cujo comprimento da circunferência mede 37 , 68   cm .

30. Qual é a medida do comprimento do raio do círculo cuja área mede 28 , 26   cm 2 ?

Página 256

31. No Papiro de Rhind, encontra-se uma aproximação para a medida da área de um círculo, que seria igual à de um quadrado com comprimento de lado medindo 8 9 da medida do comprimento do diâmetro do círculo. Utilizando a fórmula da medida da área do círculo e o método utilizado no Papiro de Rhind, realize os cálculos e obtenha a medida da área de um círculo cujo comprimento do raio mede 9   m . Depois, verifique se os resultados obtidos são próximos entre si.

32. Para plantar hortaliças, Pedro separou uma região em seu sítio com formato de quadrado, cujo comprimento do lado mede 50   m .

Para facilitar a irrigação, ele separou uma região circular no interior da região quadrada, onde fará o plantio.

a) Qual deve ser a medida do comprimento do raio da região circular para que a medida de sua área seja máxima?

b) Calcule a medida dessa área.

33. A prefeitura de uma cidade vai construir uma praça em um terreno com formato retangular como representado na figura a seguir. A região com formato circular está reservada para a construção de um parque para as crianças.

Ilustração de um retângulo com medidas de comprimento: 66 metros de comprimento e 32 metros de largura. Bem no centro do retângulo, há uma circunferência que toca os lados do retângulo, e tem um diâmetro de mesma medida da largura.

Calcule no caderno a medida da área aproximada do terreno que não está reservada para a construção do parque.

34. Calcule a medida da área da região verde em cada figura a seguir, sendo O, P, Q e T os centros dos círculos.

A. Ilustração de três círculos em cor roxa: grande, médio e pequeno, colocados nessa ordem, um encostado no outro, alinhados por seus centros, horizontalmente. Os centros são, O, P e Q. Diâmetro de O: 3 metros; Diâmetro de P: 2 metros; Diâmetro de Q: 1,5 metros. Os círculos estão dentro de um retângulo verde que tem medida de comprimento igual à soma das medidas dos diâmetros e altura igual ao diâmetro do círculo de centro O.
B. Ilustração de um triângulo retângulo de cor roxa inscrito em um círculo de cor verde de centro T. A base do triângulo corresponde ao diâmetro do círculo, 4,2 metros; e a altura vai do ponto T até um ponto da circunferência, sendo assim correspondendo ao raio.

35. As imagens a seguir mostram uma lata com formato de cilindro reto e sua planificação.

Ilustração de uma lata de leite em pó, em formato de um cilindro. As medidas da lata estão indicadas: altura com comprimento de 12 centímetros e o raio está indicado com 5 centímetros de comprimento.
Ilustração da mesma lata de leite anterior, planificada. A planificação é formada por um retângulo: rótulo da lata de leite; e dois círculos: que são a base e a tampa da lata.

De acordo com essas imagens, elabore um problema envolvendo medida de área e peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se ele resolveu corretamente.

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Medida da área do setor circular

Setor circular é uma parte de um círculo determinada por um ângulo central qualquer. Por exemplo, a parte pintada em rosa no círculo a seguir é um setor circular, determinado pelo ângulo central de medida α (lê-se: alfa).

Ilustração de um círculo verde de centro O. Há dois segmentos diferentes que vão de um ponto da circunferência até o centro O. A região interna delimitada por esses dois segmentos está pintada de rosa e é denominado 'setor circular'. Também está destacado o ângulo formado entre elas e com vértice O, indicando a medida 'alfa'.

Atenção!

Nesse círculo, a parte verde também é um setor circular.

A medida da área de um setor circular é diretamente proporcional à medida do ângulo central que o determina.

Na imagem a seguir estão representados um círculo de centro O com comprimento de raio medindo 2   cm e um setor circular determinado por um ângulo central de medida 60 ° .

Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 2 centímetros. Há um setor circular destacado, indicando 60 graus.

Para calcular a medida da área desse setor, inicialmente calculamos a medida da área do círculo, considerando π = 3 , 1 4 .

A = π r 2 = 3 , 14 2 2 = 3 , 14 4 = 12 , 5 6

Como a medida da área do setor circular é diretamente proporcional à medida do ângulo central que o determina, podemos escrever a seguinte proporção:

Medida da área ( cm 2 )

12,56

A S

Medida do ângulo (graus)

360

60

Igualdade de frações: início de fração, numerador: 12,56, denominador: A s, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 360 denominador: 60, fim de fração. Nessa fração o 360 e 0 60 estão simplificados com um traço em cima e está escrito 'dividido por 10'. Há um sinal de multiplicação sobre o símbolo de igual. Na segunda linha: 12,56 vezes 6 igual a A s vezes 36. Terceira linha: início de fração, numerador: 36 vezes A s, denominador: 36, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 75,36, denominador: 36, fim de fração. E quarta linha: A s é aproximadamente igual a 2 vírgula zero 9.

Assim, a área desse setor circular mede aproximadamente 2 , 09   cm 2 .

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Agora, analise o círculo de centro O com comprimento de raio medindo r e o setor circular de ângulo central de medida α .

Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo r. Há um setor circular com o ângulo destacado, indicando a medida 'alfa'.

Sabemos que a medida da área total do círculo é π r 2 e que um círculo completo corresponde a 360 ° . Assim, podemos determinar a fórmula para calcular a medida da área desse setor circular.

Medida da área ( cm 2 )

π r 2

A S

Medida do ângulo (graus)

360

α

Esquema com a seguinte igualdade: início de fração, numerador: pi vezes r elevado ao quadrado, denominador: A s, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 360 denominador: alfa, fim de fração. Há um sinal de multiplicação sobre o símbolo de igual. Na segunda linha: A s vezes 360 igual a alfa vezes pi r elevado ao quadrado. Terceira linha: início de fração, numerador: A s vezes 360, denominador: 360, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: alfa vezes pi r elevado ao quadrado, denominador: 360, fim de fração. Nessa linha está escrito: 'Dividimos os dois membros da equação por 360 para que em um dos membros fique apenas A s.'. E quarta linha: A s é igual a início de fração, numerador: alfa, denominador: 360, fim de fração, vezes pi vezes r elevado ao quadrado.

Assim, podemos calcular a medida da área do setor circular de medida α pela seguinte fórmula.

A S = α 360 π r 2

A seguir, acompanhe os procedimentos de cálculo da medida da área do setor circular da página anterior, de medida 60 ° , utilizando essa fórmula e considerando π = 3 , 1 4 .

A S = α 360 π r 2

A S = 60 360 3 , 14 2 2

A S = 753 , 6 360

A S 2 , 09 3

Portanto, a área do setor circular mede aproximadamente 2 , 09   cm 2 .

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Medida da área da coroa circular

A parte dourada em cada moeda a seguir lembra uma coroa circular.

Fotografia de uma moeda de 1 real na face coroa. Está escrito '1 real'.
Moeda de 1 real.
Fotografia de uma moeda de 1 euro na face coroa. Está escrito '1 euro'.
Moeda de 1 euro.

Imagem com elementos não proporcionais entre si.

A região compreendida entre dois círculos concêntricos, de raios com medidas de comprimentos diferentes, é chamada coroa circular.

Por exemplo, na figura, a parte pintada de verde é uma coroa circular.

A medida da área de uma coroa circular é a diferença entre a medida da área do círculo maior e a medida da área do círculo menor.

Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno, de cor amarela, tem medida indicada por r minúsculo. E o raio do círculo externo indicada por R maiúsculo. E a região entre o raio maior e o raio menor está pintada de verde e indicada por 'coroa circular'.

Atenção!

Analogamente ao conceito de circunferências concêntricas, círculos concêntricos são aqueles que têm o mesmo centro.

Acompanhe como podemos calcular a medida da área da coroa circular ( A C ) citada, sendo R a medida do comprimento do raio do círculo maior e r a medida do comprimento do raio do círculo menor.

Esquema. Resolução de uma equação. Primeira linha: A c igual pi vezes R (maiúsculo) ao quadrado menos pi vezes r (minúsculo) ao quadrado. Há uma seta com a indicação: 'colocamos o fator comum pi em evidência'. Segunda linha: A c igual pi vezes abre parênteses R (maiúsculo) ao quadrado menos r (minúsculo) ao quadrado fecha parênteses.

Assim, para obtermos a medida da área de uma coroa circular, utilizamos a fórmula.

A C = π ( R 2 r 2 )

Por exemplo, vamos calcular a medida da área da coroa circular a seguir, indicada em verde, utilizando essa fórmula e considerando π = 3 , 1 4 .

Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno, de cor roxa, tem medida igual a 2 metros. E o raio do círculo externo, de cor verde, tem medida igual a 5 metros.

A C = π ( R 2 r 2 )

A C = π ( 5 2 2 2 )

A C = π ( 25 4 )

A C = 3 , 14 2 1

A C = 65 , 9 4

Logo, a área dessa coroa circular mede aproximadamente 65 , 94   m 2 .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

36. Calcule no caderno a medida da área aproximada do setor circular amarelo de centro O, em cada círculo a seguir.

A. Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 4 metros. Há um setor circular destacado em amarelo, com ângulo central de medida 82 graus.
B. Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 2,5 metros. Há um setor circular destacado em amarelo, com um ângulo central de medida 50 graus.

37. A seguir é apresentada outra maneira de calcular a medida da área de um setor circular, considerando a fração do círculo que ele representa. Para isso, considere o setor circular verde representado.

Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 3 metros. Há um setor circular destacado em verde, com um ângulo central de medida 30 graus.

Esse setor é determinado por um ângulo central de medida 30 ° em um círculo de centro O e comprimento de raio medindo 3   m .

Inicialmente, determinamos a razão entre a medida do ângulo central e do círculo: 30 360 = 1 12 . Nesse caso, o setor circular é 1 12 do círculo.

Depois, calculamos a medida da área total do círculo (A), considerando π = 3 , 1 4 .

A = π r 2 = 3 , 14 3 2 = 3 , 14 9 = 28 , 2 6

Por último, calculamos 1 12 da medida da área total do círculo.

1 12 A = 1 12 28 , 26 = 28 , 26 12 2 , 3 5

Portanto, a área do setor circular mede aproximadamente 2 , 35   m 2 .

De maneira semelhante, calcule a medida da área aproximada de cada setor circular laranja, sendo O o centro de cada círculo.

A. Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 3,5 metros. Há um setor circular destacado em laranja, com um ângulo central de medida 92 graus.
B. Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 4,5 metros. Há um setor circular destacado em laranja, com um ângulo central de medida 74 graus.
C. Ilustração de um círculo de centro O, com raio medindo 3 metros. Há um setor circular destacado em laranja, com um ângulo central de medida 45 graus.

Página 261

38. A figura geométrica a seguir representa um semicírculo.

Ilustração de metade de um círculo de diâmetro 12 centímetros, formado por dois setores circulares. Um setor é verde com ângulo central A O C, com medida x menos 12 graus. E o outro setor é laranja com um ângulo central B O C com medida 2 x menos 3 graus.

a) Quais são as medidas dos ângulos A O ˆ C e B O ˆ C ?

b) Qual é a medida da área aproximada do setor circular laranja? E do setor circular verde?

39. As figuras a seguir representam um cone e sua planificação.

Ilustração de um cone circular com a medida de sua lateral igual a 14,4 centímetros. Ao lado há a planificação desse cone, formada por uma figura indicada por 'setor circular' e um círculo com raio medindo 3 centímetros. O ângulo central no setor está destacado e tem medida 75 graus.

a) Com o auxílio do transferidor, meça o ângulo central da planificação desse cone.

b) Calcule no caderno a medida da área total da superfície do cone.

40. Em seu caderno, calcule a medida aproximada da área da figura a seguir.

Ilustração de uma figura formada por um quadrado de lado medindo 3 centímetros e uma parte que foi tirada de um dos cantos desse quadrado Essa parte corresponde a um quarto de volta de um círculo, com raio medindo 1,5 centímetros. Os ângulos retos do quadrado estão indicados.

41. Considere as medidas indicadas e calcule no caderno a medida da área da coroa circular de cada item, sabendo que O é o centro dos círculos.

A. Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno tem medida igual a 1,5 metros. E o raio do círculo externo tem medida igual a 4 metros.
B. Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno tem medida igual a 2 metros. E o raio do círculo externo tem medida igual a 6 metros.
C. Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno tem medida igual a 1 metro. E o raio do círculo externo tem medida igual a 5 metros.
D. Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno tem medida igual a 3 metros. E o raio do círculo externo tem medida igual a 7 metros.

Página 262

42. Na figura a seguir estão representados 4 círculos concêntricos, de centro O.

Ilustração de 4 círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno, com cor roxa tem medida igual a 1 metro, e os outros círculos têm raios que vão aumentando de 1 em 1 metro, sendo que a medida do raio do círculo menor junto às outras medidas compõem o raio do círculo maior. As cores dos círculos são, do interno para o maior: roxo, verde, vermelho e amarelo, respectivamente.

De acordo com as medidas indicadas, calcule no caderno a medida da área das coroas circulares pintadas de amarelo, vermelho e verde.

43. Janaína vai gravar as fotos digitais que estão em seu computador em 3 DVDs, que serão identificados por meio de etiquetas. Para isso, ela foi a uma papelaria e comprou uma folha com três etiquetas adesivas que serão destacadas e coladas.

A figura a seguir representa a folha com as etiquetas.

Ilustração de um retângulo de base medindo 21 centímetros e altura medindo 29,7 centímetros. Dentro desse retângulo, há três coroas circulares iguais com medida do diâmetro do círculo interno igual a 4 centímetros e medida do diâmetro do círculo externo igual a 11,5 centímetros.

a) Qual é a medida da área da folha com as etiquetas?

b) Determine a medida da área aproximada de cada etiqueta.

c) Em relação à folha, qual medida da área não faz parte das etiquetas?

44. Ícone desafio. Calcule no caderno a medida da área da região verde a seguir, formada por setores circulares de centro O.

Ilustração de um setor circular, com centro O, que faz parte de uma coroa circular de cor verde, com raio do círculo maior medindo 9 metros e está indicado na coroa, que a medida é de 2 metros. O ângulo central no setor está destacado, indicando 120 graus.

45. (Enem-2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6   m , é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8   m , o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100   m 2 de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para π .

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque

a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21   m 2 .

b) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24   m 2 .

c) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48   m 2 .

d) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108   m 2 .

e) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120   m 2 .

Página 263

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Um paralelogramo tem 255   cm 2 de medida de área e o comprimento de sua base mede 15   cm . Qual é a medida da altura desse paralelogramo?

2. O triângulo, o retângulo e o trapézio representados a seguir foram obtidos a partir de quadrados com medidas de áreas iguais.

Quadrado

A. Ilustração de um quadrado formado por 4 peças coloridas: três quadriláteros e um triângulo.
B. Ilustração de um quadrado formado por 4 triângulos coloridos.
C. Ilustração de um quadrado formado por 4 peças coloridas: 2 quadriláteros e dois triângulos.

Figura obtida

Ilustração de um triângulo formado com as mesmas 4 peças que formam o quadrado A.
Triângulo.
Ilustração de um retângulo formado por 4 peças coloridas, as mesmas usadas para a construção do quadrado B.
Retângulo.
Ilustração de um trapézio formado com as mesmas 4 peças que formam o quadrado C.
Trapézio.

Esses polígonos têm medidas de áreas iguais ou diferentes? Por quê?

3. Junte-se a um colega e calculem, em uma folha de papel avulsa, a medida da área de cada figura representada a seguir.

A. Ilustração de um quadrado e dois triângulos isósceles. O quadrado tem o lado medindo 4 metros. Acima e ao lado do quadrado estão os triângulos com base igual à do lado do quadrado e altura 3 metros.
B. Ilustração de um paralelogramo e dois trapézios isósceles. O paralelogramo tem medida da base igual a 5 metros e altura 3,5 metros. Acima e abaixo do paralelogramo estão os trapézios com base maior igual à da base do paralelogramo, base menor: 3 metros e altura: 2 metros.
C. Ilustração de uma figura formada por dois retângulos: um maior e um menor e um trapézio isósceles. Na base da figura está o retângulo maior com medida da base igual a 10 metros e altura 4 metros. Acima, na extremidade esquerda do retângulo, está o trapézio com a base menor: 5 metros e altura: 3 metros. Seguido do trapézio está o retângulo de base 2 metros e altura também igual a 3 metros.

4. Determine o valor de x em cada polígono a seguir.

A. Ilustração de um triângulo isósceles, com altura x e base 5,2 metros. A altura está indicada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto bem ao meio da base do triângulo.

medida da área do triângulo: 7 , 8   m 2

B. Ilustração de um trapézio com as medidas: base menor, x metros; base maior, 6 metros; altura, 2 metros. A medida da altura está destacada por uma linha pontilhada, formando um ângulo reto com a base maior do trapézio.

medida da área do trapézio: 10   m 2

C. Ilustração de um losango com a medidas de comprimento: diagonal maior: 5 metros; diagonal menor: x.

medida da área do losango: 6 , 25   m 2

D. Ilustração de um paralelogramo com medida de comprimento da base: x e altura: 2 vírgula 4 metros.

medida da área do paralelogramo: 11 , 52   m 2

5. Ícone desafio. (Obmep-2006) No retângulo a seguir, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de encontro de suas diagonais.

Ilustração de um retângulo com a indicação do ponto O, bem ao centro, os pontos A e C estão no meio de cada de dois lados paralelos do retângulo, A está à esquerda e C à direita; e o ponto B, está no meio do comprimento (na parte superior do retângulo). Há 3 triângulos dentro do retângulo que formam a parte sombreada da figura. Dois deles são triângulos retângulos, com vértice: A, vértice do retângulo, e B; o outro com vértice C, vértice do retângulo, e B. O outro triângulo é maior: seus vértices coincidem com os vértices bases do retângulo e o ponto O.

A área da região sombreada é

a) 1 4 da área do retângulo.

b) 1 3 da área do retângulo.

c) 1 2 da área do retângulo.

d) 3 5 da área do retângulo.

e) 2 3 da área do retângulo.

Página 264

6. Calcule, em uma folha de papel avulsa, a medida da área da região verde em cada figura a seguir.

A. Ilustração de uma figura composta por um quadrado com lado medindo 4 centímetros. E duas representações de 3 quartos de círculos de centros O1 e O2, com raio medindo 2 centímetros que coincidem com o vértice do quadrado. Toda a figura está colorida em verde.

Atenção!

Na figura B, as partes amarelas são semicírculos.

B. Ilustração de um quadrado verde com lado medindo 4,7 centímetros. Há dois semi círculos amarelos, em lados opostos, que estão dentro do quadrado e têm centros O1 e O2 e diâmetros que coincidem com o lado do quadrado.

7. Na figura a seguir, a circunferência com centro B é tangente interna à circunferência de centro A. Qual é a medida da área da região laranja?

Ilustração de dois círculos: um dentro do outro. O maior, em cor laranja, com centro A e raio medindo 6 centímetros. E um menor, em cor amarela, com exatamente a mesma medida do raio do círculo maior, com centro B.

8. Calcule, em uma folha de papel avulsa, a medida da área da região laranja em cada figura a seguir, sendo O o centro de cada círculo.

A. Ilustração de um círculo laranja de centro O, com raio medindo 4 metros.
B. Ilustração de um círculo de cor verde de centro O, com raio medindo 3 metros. Há um setor circular destacado cor laranja, com um ângulo central de medida 280 graus.
C. Ilustração de dois círculos, um dentro do outro e com o mesmo centro O. O raio do círculo interno, de cor verde tem medida igual a 2 metros. E o diâmetro do círculo externo, de cor laranja tem medida igual a 5 metros.
D. Ilustração de uma figura formada por um retângulo de cor laranja e um círculo de cor verde, de centro O. O círculo está sobreposto ao retângulo. A medida da altura do retângulo é 3 metros e a medida da base, coincide com raio do círculo de medida 2 metros e um dos vértices do retângulo coincidem com o centro do círculo.

9. Os círculos com centro A, B, C, D e E a seguir têm raio com mesma medida de comprimento.

Ilustração de uma figura composta por um quadrado e 4 círculos cujos centros coincidem com os vértices do quadrado. E, ainda, dentro do quadrado, há um outro círculo bem ao centro, que tangencia os outros quatro. Todas as partes que estão dentro do quadrado, ou seja, o círculo central e 4 partes de um quarto dos círculos, estão pintadas de verde. As outras partes, fora do quadrado, estão pintadas de laranja.

Sabendo que o círculo com centro E é tangente aos demais círculos, determine a razão entre a medida da área indicada em verde e a medida da área indicada em laranja.

a) 1 5

b) 2 4

c) 1 3

d) 2 3

e) 1 4