Medidas de comprimento

Medindo grandes comprimentos

Neste tópico, estudaremos algumas das unidades de medida de comprimento utilizadas para expressar medidas muito grandes, como a medida da distância média entre o Sol e alguns planetas do nosso Sistema Solar.

Questão 1. Você sabe quais são os planetas do nosso Sistema Solar? Escreva o nome de cada um deles em seu caderno.

Resposta: Espera-se que os estudantes conheçam os planetas do nosso Sistema Solar; Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

A seguir, é apresentada a medida da distância média aproximada entre alguns planetas e o Sol.

Fonte de pesquisa: PLANETÁRIO UFSC. O Sistema Solar. Disponível em: https://oeds.link/rWdxPJ. Acesso em: 19 jul. 2022.

Essas medidas também podem ser expressas em notação científica. Acompanhe dois exemplos.

• Terra: $149.600.000\text{km}=1,496\cdot {10}^8\text{km}$
• Marte: $227.940.000\text{km}\simeq 2,279\cdot {10}^8\text{km}$

Questão 2. Usando notação científica, escreva no caderno as medidas das distâncias médias aproximadas entre: Mercúrio e o Sol; Saturno e o Sol.

Resposta: Mercúrio: $5,791\cdot {10}^7\text{km}$; Saturno: $1,4294\cdot {10}^9\text{km}$.

Questão 3. Realize uma pesquisa e registre no caderno a medida, em quilômetros, da distância média aproximada entre o Sol e Vênus, Júpiter, Urano e Netuno.

Resposta: Vênus: $1,082\cdot {10}^8\text{km}$; Júpiter: $7,7833\cdot {10}^8\text{km}$; Urano: $2,87099\cdot {10}^9\text{km}$; Netuno: $4,5043\cdot {10}^9\text{km}$.

Para medir grandes distâncias no Sistema Solar, também é usada pelos cientistas a chamada unidade astronômica, indicada por $\text{UA}$, que é a medida da distância média aproximada entre a Terra e o Sol, ou seja:

Acompanhe os procedimentos utilizados pelo professor Saulo para converter a medida aproximada da distância média entre Saturno e o Sol, expressa em quilômetros, em unidades astronômicas.

Portanto, a medida da distância média aproximada entre Saturno e o Sol é $9,6\text{UA}$.

Questão 4. Em seu caderno, escreva em unidade astronômica a medida da distância média aproximada, com duas casas decimais, entre Mercúrio e o Sol.

Resposta: $0,39\text{UA}$.

Outra unidade usada para medir a distância entre o Sol e as estrelas ou entre o Sol e as galáxias e a Terra é o ano-luz, indicada por $\text{AL}$, que é a medida da distância percorrida pela luz, no vácuo, em um ano, ou seja:

Analise o quadro a seguir, o qual apresenta a medida da distância aproximada entre a Terra e algumas estrelas em anos-luz.

Fonte de pesquisa: NASA. Imagine the Universe. Disponível em: https://oeds.link/A5hs5S. Acesso em: 19 jul. 2022.

Agora, vamos escrever a medida $4,25\text{AL}$ (medida da distância aproximada entre a Terra e a Proxima Centauri) em quilômetros. Para isso, fazemos:

$4,25\text{AL}\simeq 4,25\cdot \underset{\text{aproximadamente}1\text{AL}}{\underbrace{9,46\cdot {10}^{12}\text{km}}}\simeq 4,021\cdot {10}^{13}\text{km}$

Questão 5. Em seu caderno, escreva, em quilômetros, a medida da distância aproximada entre a Terra e a Alpha Centauri.

Resposta: Aproximadamente $4,115\cdot {10}^{13}\text{km}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva no caderno as medidas a seguir em notação científica.

a) Medida aproximada da velocidade da luz: $300.000.000\text{m/s}$.

b) Medida aproximada da distância média do planeta-anão Éris ao Sol: $10.149.000.000\text{km}$.

c) Medida aproximada do diâmetro equatorial do planeta Júpiter: $142.984.000\mathrm{m}$.

d) Medida aproximada do diâmetro equatorial do Sol: $1.390.000\text{km}$.

Respostas: a) $3\cdot {10}^8\text{m/s}$; b) $1,0149\cdot {10}^{10}\text{km}$; c) $1,42984\cdot {10}^8\mathrm{m}$; d) $1,39\cdot {10}^6\text{km}$.

2. Copie as sentenças a seguir no caderno substituindo cada $\text{█}$ pelo número adequado.

a) $3,6725\cdot {10}^8\text{km}=\text{█}\text{UA}$.

b) $1,7628\cdot {10}^9\text{km}=\text{█}\text{UA}$.

c) $3,6\text{UA}=\text{█}\text{km}$.

d) $10\text{UA}=\text{█}\text{km}$.

e) $3,311\cdot {10}^{13}\text{km}=\text{█}\text{AL}$.

f) $7,568\cdot {10}^{13}\text{km}=\text{█}\text{AL}$.

g) $4\text{AL}=\text{█}\text{km}$.

h) $\text{█}\text{km}=6,5\text{AL}$.

Respostas: a) $3,6725\cdot {10}^8\text{km}\simeq 2,5\text{UA}$; b) $1,7628\cdot {10}^9\text{km}\simeq 11,8\text{UA}$; c) $3,6\text{UA}=5,3856\cdot {10}^8\text{km}$; d) $10\text{UA}=1,496\cdot {10}^9\text{km}$; e) $3,311\cdot {10}^{13}\text{km}=3,5\text{AL}$; f) $7,568\cdot {10}^{13}\text{km}=8\text{AL}$; g) $4\text{AL}=3,784\cdot {10}^{13}\text{km}$; h) $6,149\cdot {10}^{13}\text{km}=6,5\text{AL}$.

3. A galáxia do Bode, ou M81, recebeu esse nome em referência ao astrônomo Johann Elert Bode, por tê-la descoberto em 1774. Assim como a Via Láctea, essa é uma galáxia espiral, pois sua estrutura tem o formato da curva espiral. Seu diâmetro mede aproximadamente 36.000 anos-luz e a medida da sua distância até a Terra é cerca de 12 milhões de anos-luz.

a) Qual é a medida aproximada, em quilômetros, do diâmetro da galáxia do Bode? E em unidades astronômicas? Escreva essas medidas em notação científica.

b) Qual é a medida aproximada, em unidades astronômicas, da distância entre a galáxia do Bode e a Terra? Escreva essa medida em notação científica.

Respostas: a) $3,4056\cdot {10}^{17}\text{km}$; $2,3\cdot {10}^9\text{UA}$; b) $7,6\cdot {10}^{11}\text{UA}$.

4. Plutão compõe o grupo dos planetas anões, que inclui Ceres, Haumea, Makemake e Éris. Eles são assim definidos por não serem os astros dominantes em suas órbitas. Plutão já foi considerado um planeta, mas em 2006 foi rebaixado a essa categoria, pois em sua órbita há outros objetos de tamanhos semelhantes ao dele. Sabendo que sua distância média até o Sol mede aproximadamente $40\text{UA}$, e seu diâmetro equatorial mede aproximadamente $2.320\text{km}$, faça o que se pede.

a) Calcule no caderno a medida da distância aproximada, em quilômetros, de Plutão até o Sol.

b) Escreva a medida do diâmetro equatorial de Plutão em metros.

c) Escreva no caderno as medidas obtidas nos itens a e b em notação científica.

Respostas: a) $5.984.000.000\text{km}$; b) $2.320.000\text{m}$; c) $5,984\cdot {10}^9\text{km}$; $2,32\cdot {10}^6\text{m}$.

5. Eclipse lunar é um fenômeno que bloqueia, total ou parcialmente, a chegada da luz solar até a superfície lunar. Ele acontece quando a Terra fica entre o Sol e a Lua, estando os três alinhados. Analisando a imagem a seguir, elabore um problema envolvendo notação científica, unidades astronômicas e anos-luz. Depois, dê para um colega responder. Por fim, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

Medindo pequenos comprimentos

No tópico anterior, estudamos algumas situações envolvendo medidas de comprimento muito grandes. Agora, vamos estudar situações envolvendo medidas de comprimento muito pequenas, como a medida do diâmetro de células, vírus, bactérias, protozoários, entre outros seres microscópicos, que são visíveis somente com a utilização de equipamentos que ampliem sua imagem, como os microscópios.

A função dos microscópios atuais não é só ampliar a imagem, mas também aumentar o poder de resolução do olho humano, permitindo observar estruturas muito menores do que as células.

Analise as seguintes informações.

Essas medidas também podem ser expressas usando a notação científica. Acompanhe o exemplo a seguir.

Célula eritrócito: $0,0000075\text{m}=7,5\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}$.

Questão 6. Usando notação científica, escreva no caderno a medida do comprimento da bactéria Escherichia coli.

Resposta: $2\cdot {10}^{-6}\text{m}$.

Também podemos expressar essas medidas utilizando uma unidade de medida chamada micrômetro ($\mu \text{m}$), que é um submúltiplo do metro. Na indicação $\mu \text{m}$, o símbolo $\mu$, que lemos "mi", é uma letra minúscula do alfabeto grego.

Acompanhe os procedimentos utilizados pela professora Jussara para converter a medida do diâmetro da célula eritrócito, expressa em metros, em micrômetros.

Portanto, o diâmetro da célula eritrócito mede $7,5\mu \text{m}$.

Questão 7. Em seu caderno, escreva, em micrômetros, a medida do comprimento da bactéria Escherichia coli.

Resposta: $\text{2}\mu \text{m}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. Escreva no caderno as medidas a seguir em notação científica.

a) $0,0000099\text{m}$.

b) $0,000000008\text{m}$.

c) $0,000000000208\text{m}$.

d) $0,00000011\text{m}$.

Respostas: a) $9,9\cdot {10}^{-6}\text{m}$; b) $8\cdot {10}^{-9}\text{m}$; c) $2,08\cdot {10}^{-10}\text{m}$; d) $1,1\cdot {10}^{-7}\text{m}$.

7. Copie as sentenças no caderno substituindo cada $\text{█}$ pelo número adequado.

a) $1,22\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}=\text{█}\mu \text{m}$.

b) $5\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}=\text{█}\mu \text{m}$.

c) $2,75\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}=\text{█}\mu \text{m}$.

d) $4\mu \text{m}=\text{█}\mathrm{m}$.

e) $275\mu \text{m}=\text{█}\mathrm{m}$.

f) $0,21\mu \text{m}=\text{█}\mathrm{m}$.

Respostas: a) $1,22\cdot {10}^{-5}\text{m =}12,2\mu \text{m}$; b) $5\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}=5\mu \text{m}$; c) $2,75\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}=0,0275\mu \text{m}$ ou $2,75\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}=2,75\cdot {10}^{-2}\mu \text{m}$; d) $4\mu \text{m =}4\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}$; e) $275\mu \text{m =}2,75\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}$; f) $0,21\mu \text{m =}2,1\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}$.

8. Microscópios permitem ampliar a imagem de objetos muito pequenos, como o diâmetro de uma célula, que na maioria dos casos é impossível de ser vista a olho nu. Em geral, existem basicamente dois tipos de microscópios: o óptico e o eletrônico. O primeiro é capaz de ampliar a imagem de um objeto em até $1.000$ vezes, enquanto o segundo, em até $500.000$ vezes.

Entre as células que não podem ser vistas a olho nu, encontram-se os basófilos, os quais estão relacionados à defesa do organismo. O diâmetro dessas células mede entre $\text{12}\mu \text{m}$ e $\text{15}\mu \text{m}$. Já as plaquetas são fragmentos de certas células, cujo diâmetro mede entre $\text{0,000001}\mathrm{m}$ e $\text{0,000002}\mathrm{m}$. Considere que o diâmetro de uma célula basófilo mede $\text{13}\mu \text{m}$ e o de uma plaqueta mede $\text{0,0000012}\mathrm{m}$.

a) Qual é a medida, em metros, do diâmetro da imagem dessa célula quando observada com um telescópio óptico, se a ampliação for a máxima possível?

b) Qual é a medida do diâmetro, em micrômetros, dessa plaqueta, quando observada com um telescópio eletrônico, se a ampliação for a máxima possível?

Respostas: a) $1,3\cdot {10}^{-2}\text{m}$; b) $6\cdot {10}^{-5}\mu \text{m}$.

9. A bactéria Helicobacter pylori, conhecida como H. pylori, é a principal causadora da gastrite, doença que provoca inflamação no revestimento do estômago. Essa bactéria tem forma curva ou espiralar, cujo diâmetro mede de $\text{0,5}\mu \text{m}$ a $1\mu \text{m}$ e cujo comprimento mede de $\text{2,5}\mu \text{m}$ a $\text{5}\mu \text{m}$. Ela tem ainda de 4 a 6 flagelos, cujo comprimento de cada um mede aproximadamente $\text{30}\mu \text{m}$, os quais facilitam sua mobilidade e penetração na mucosa do estômago, assegurando sua sobrevivência no corpo humano.

Com base nessas informações, elabore um problema e entregue-o para um colega resolver. Depois, verifique se ele respondeu corretamente.

Resposta pessoal.

Medidas de informática

Armazenamento de dados

Os primeiros computadores surgiram na década de 1940 e eram muito grandes.

Com a evolução da tecnologia, eles foram ficando cada vez menores e mais eficientes, até chegar aos que conhecemos atualmente.

Ao utilizarmos um computador, é importante saber, por exemplo, a medida de sua capacidade de armazenamento de dados, que é uma tecnologia que possibilita guardar arquivos e informações com o auxílio de um dispositivo, como um HD^✚ de computador, um cartão de memória e o pen drive. Para medir essa capacidade, são utilizadas as unidades de medida de informática.

HD:

iniciais de hard disk, termo em inglês para disco rígido. Consiste em um equipamento de computador que armazena diferentes arquivos e programas.^↰

Entre essas unidades, estão os bites e os baites ($\text{B}$). Um bite é a menor unidade de informação que um computador consegue entender. Ele pode ser um 0 (zero) ou um 1. Esse sistema de numeração com dois algarismos é chamado sistema binário.

Para um computador armazenar os dados em sistema binário, os bites são agrupados em conjuntos de 8 bites, formando assim 1 baite.

Assim, 1 baite é um conjunto de 8 bites que forma um único caractere^✚ guardado na memória do computador. A letra a, por exemplo, ocupa o espaço de 1 baite no computador. Quando o computador nos mostra a letra a como a conhecemos, em sua memória essa letra ficará arquivada como um conjunto de 8 bites (no caso, 01000001 bites).

caractere:

qualquer letra, algarismo, sinal gráfico ou matemático, espaço em branco etc. que pode ser digitado ou introduzido em um computador por outro dispositivo.^↰

Outros exemplos de unidades de medida de informática são o quilobaite, o megabaite, o gigabaite e o terabaite.

Objeto digital

Unidades de medida de informática

Unidade de medida	Quantidade de caracteres (em baite)	Medida do espaço ocupado na memória do computador
1 baite ($\text{B}$)	1	8 bites
1 quilobaite ($\text{KB}$)	1.024	$1.024\mathrm{B}$
1 megabaite ($\text{MB}$)	${1.024}^2=1.048.576$	$1.024\text{KB}$
1 gigabaite ($\text{GB}$)	${1.024}^3=1.073.741.824$	$1.024\text{MB}$
1 terabaite ($\text{TB}$)	${1.024}^4=1.099.511.627.776$	$1.024\text{GB}$

Ao analisar o quadro, percebemos que 1 quilobaite equivale a 1.024 baites e, portanto, tem capacidade de armazenar 1.024 caracteres. Analogamente, 1 megabaite equivale a 1.024 quilobaites, que equivalem a 1.048.576 baites, e assim por diante.

Podemos fazer conversões entre essas unidades de medida utilizando o seguinte esquema.

Questão 8. Em seu caderno, escreva um algoritmo que possibilite converter megabaite em quilobaite.

Resposta na seção Resoluções.

Capacidade de processamento de dados

Uma das características que diferencia os vários modelos de produtos tecnológicos presentes no dia a dia é sua Central Processing Unit (CPU – "Unidade Central de Processamento", em português), também conhecida como processador. Quanto maior a capacidade de processamento da CPU, mais rapidamente as instruções serão executadas.

A capacidade de processamento da CPU é geralmente medida em mega-hertz ($\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}$) ou em giga-hertz ($\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{z}$), que são múltiplos do hertz ($\mathrm{H}\mathrm{z}$). Essas unidades indicam a quantidade de ciclos por segundo que o componente eletrônico consegue processar.

Analise, no quadro a seguir, a quantidade de ciclos correspondente a cada uma dessas unidades de medida.

De acordo com as correspondências apresentadas no quadro, podemos escrever as seguintes equivalências.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

10. Copie as sentenças a seguir no caderno substituindo cada $\text{█}$ pelo número adequado.

a) $2\text{MB}=\text{█}\text{baites}$.

b) $256\text{GB}=\text{█}\text{TB}$.

c) $3.072\text{MB}=\text{█}\text{GB}$.

d) $3,5\text{MB}=\text{█}\text{KB}$.

Respostas: a) $2\text{MB =}2.097.152\text{baites}$; b) $256\text{GB =}0,25\text{TB}$; c) $3.072\text{MB =}3\text{GB}$; d) $3,5\text{MB =}3.584\text{KB}$.

11. Calcule em seu caderno a quantidade de ciclos por segundo que uma CPU consegue processar, sabendo que ela tem uma capacidade de:

a) $25\text{Hz}$.

b) $1,5\text{MHz}$.

c) $0,25\text{GHz}$.

d) $75\text{Hz}$.

Respostas: a) 25; b) 1.500.000; c) 250.000.000; d) 75.

12. Leia as informações referentes ao computador representado e responda às questões a seguir.

$8\text{GB}$ de memória RAM ^✚

HD de $\text{1}\text{TB}$

RAM:

iniciais de random access memory, termo em inglês para memória de acesso aleatório. É uma memória temporária que permite a leitura e a gravação das informações quando requeridas. ^↰

a) Qual é a medida de capacidade de processamento desse desktop? Expresse essa medida em hertz.

b) Qual é a medida da capacidade de armazenamento de dados do HD?

c) Qual é a medida da capacidade de armazenamento da memória RAM?

Respostas: a) $2,4\text{GHz}$; $2.400.000.000\text{Hz}$; b) $\text{1}\text{TB}$; c) $8\text{GB}$.

13. Em cada item, indique a unidade de medida mais adequada ($\text{KB}$, $\text{MB}$, $\text{GB}$ ou $\text{TB}$) para representar a medida:

a) da capacidade de armazenamento do HD de um computador de mesa.

b) do arquivo de uma foto.

c) da memória interna de um tablet.

d) do arquivo de um vídeo curto.

Respostas: a) $\text{TB}$; b) $\text{KB}$; c) $\text{GB}$; d) $\text{MB}$.

14. Cada informação a seguir corresponde à configuração básica de um computador.

a) Qual desses computadores tem maior medida de capacidade de armazenamento de dados no HD? E na memória RAM?

Respostas: C; B.

b) O HD do computador A tem quantos gigabaites de medida de capacidade a menos do que o do computador B?

Resposta: $524\text{GB}$.

c) O computador B tem quantos gigabaites de memória RAM a mais do que o computador C?

Resposta: $3\text{GB}$.

d) Se você fosse adquirir um computador, quais seriam as características mais importantes, na sua opinião, no momento da compra? Por quê?

Resposta pessoal.

15. O armazenamento em nuvem é uma tecnologia que permite armazenar e acessar dados em servidores, por meio da internet. Há várias empresas que oferecem esse serviço, com diferentes medidas de capacidade de armazenamento.

Marina pretende aderir a um plano de armazenamento em nuvem para sua empresa. Para isso, ela realizou uma pesquisa nas principais empresas e obteve os seguintes pacotes de serviços.

a) Considerando que, na empresa de Marina, há 50 funcionários, que geram $2\mathrm{G}\mathrm{B}$ de dados mensalmente cada um, e que esses dados devem ficar armazenados durante 1 ano, qual dos planos é o mais vantajoso para ela?

Resposta: Plano de $2\mathrm{T}\mathrm{B}$ da empresa B.

b) Você acha importante o desenvolvimento de tecnologias para armazenamento de dados? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal.

c) Faça uma pesquisa sobre a importância das tecnologias de armazenamento e os benefícios do armazenamento em nuvem. Em seguida, converse com seus colegas e professor expondo as informações obtidas.

Resposta pessoal.

d) Após sua pesquisa, você mudou de ideia sobre a importância das tecnologias de armazenamento? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal.

16. As câmeras fotográficas digitais têm um dispositivo eletrônico que armazena as fotos no cartão de memória. A câmera fotográfica digital de Márcia tem um cartão de memória com medida de capacidade igual a $2\text{GB}$. Ela tirou algumas fotos que ocuparam $809,6\text{MB}$ da memória. Sabendo que cada foto tirada por ela tem, em média, $3,2\text{MB}$, quantas fotos ela tirou? E quantas fotos como essas ela ainda pode tirar?

Resposta: 253 fotos; 387 fotos.

17. Com auxílio do Calc, escreva:

a) $3,5\text{MB}$ em baites.

b) $2.150,4\text{MB}$ em gigabaites.

c) $629.145,6\text{MB}$ em gigabaites.

d) $7,5\text{MB}$ em quilobaites.

e) $0,25\text{MB}$ em baites.

f) $8.074.035\text{,2}\text{MB}$ em terabaites.

Respostas: a) $3.670.016\text{B}$; b) $2,1\text{GB}$; c) $614,4\text{GB}$; d) $7.680\text{KB}$; e) $262.144\text{B}$; f) $7,7\text{TB}$.

18. Os dados apresentados na forma de textos, imagens, sons e vídeos em um computador também podem ser armazenados em CDs, DVDs, cartões de memória etc. Embora os dois primeiros sejam tecnologias mais antigas, não deixaram de ser utilizados.

A seguir, estão apresentados alguns dispositivos físicos de armazenamento de dados.

a) Entre os dispositivos apresentados, qual tem a maior medida de capacidade de armazenamento de dados?

b) Quantos megabaites de informação é possível armazenar em 15 CDs? Esse valor é equivalente a quantos gigabaites?

c) Quantos CDs são necessários para armazenar a mesma quantidade de informações que é possível armazenar em um DVD?

d) É possível armazenar no máximo quantos megabaites no cartão de memória apresentado? E no DVD?

Respostas: a) HD portátil; b) $10.500\text{MB}$; aproximadamente $10,25\text{GB}$; c) 7 CDs; d) $65.536\text{MB}$; $4.812,8\text{MB}$.

19. Giovana quer fazer o backup das informações que estão em seu computador para um sistema de armazenamento em nuvem, isto é, copiar seus arquivos com a finalidade de poder recuperá-los posteriormente, caso ocorra algum problema com o arquivo original. Sabendo que ela tem $123.456.450\text{KB}$ de dados e que no sistema de nuvem que ela vai utilizar não há arquivos, ou seja, ela terá toda a capacidade disponível, responda às questões.

a) O sistema de armazenamento que Giovana utiliza oferece $50\text{GB}$ grátis. Para realizar esse backup, ela precisará fazer um upgrade em seu plano? Justifique sua resposta.

b) Para que seu irmão também armazene arquivos na nuvem, Giovana fez um upgrade de seu plano. Agora, a operadora lhe oferece $200\text{GB}$. Após realizar o backup de suas informações, quantos gigabaites sobrarão para o irmão de Giovana usar?

Respostas: a) Será necessário realizar um upgrade no plano, pois $123.456.450\text{KB}$ é maior do que $50\text{GB}$; b) Aproximadamente $82,26\text{GB}$.

Taxa de transferência de dados

A seguir é apresentado o cartaz de uma propaganda de certa operadora que oferece planos de internet.

Nesse cartaz, as informações "10 mega", "50 mega" e "75 mega" são maneiras de indicar a taxa de transferência de dados dos planos de internet. O plano "50 mega", por exemplo, indica que, em condições favoráveis, são transmitidos no máximo 50 megabites por segundo nessa conexão.

Ao contratar um plano de internet de $50\text{Mb/s}$, por exemplo, é incorreto imaginar que um arquivo de $50\text{MB}$ será baixado em apenas 1 segundo. Esse tipo de pensamento ocorre por ser mais comum o uso da unidade megabaite ($\text{MB}$) no dia a dia.

Questão 9. O cartaz de propaganda apresenta todas as informações necessárias sobre o serviço? Em sua opinião, qual é a importância de conhecer a taxa de transferência de dados ao se deparar com o anúncio de uma propaganda semelhante à apresentada?

Resposta: Não. Espera-se que os estudantes percebam que a medida indicada no anúncio não corresponde a uma taxa de transferência de dados, assim como não contribui para distinguir megabites de megabaite.

Afinal, quantos megabaites ou quilobaites podem ser transferidos, no máximo, em uma conexão de $50\text{Mb/s}$?

Como 1 baite equivale a um conjunto de 8 bites, segue que 1 megabaite equivale a 8 megabites. Assim, para determinar quantos megabaites ou quilobaites podem ser transferidos por segundo, nessa conexão, fazemos:

Portanto, em uma conexão de $50\text{Mb/s}$, é possível transferir, no máximo, $6,25\text{MB}$ por segundo ($6,25\text{MBps}$ ou $6,25\text{MB/s}$) ou $6.400\text{KB}$ por segundo ($6.400\text{KBps}$ ou $6.400\text{KB/s}$).

Agora, vamos determinar qual é a medida do tempo mínimo necessário para fazer o download de um arquivo de $2\text{GB}$ em uma conexão de $50\text{Mb/s}$, por exemplo. Para isso, procedemos da seguinte maneira:

1º. Convertemos gigabaites em megabaites. Como $1\text{GB}=1.024\text{MB}$, temos:

$2\text{GB}=\underset{2\cdot 1.024}{\underbrace{2.048}}\text{MB}$

2º. Como $50\text{Mb/s}$ equivale a $6,25\text{MB/s}$, temos:

$\frac{2.048\cancel{\text{MB}}}{6,25\cancel{\text{MB}}\text{/s}}=327,68\text{s}$

3º. Como $1\text{min}=60\text{s}$, temos:

$\frac{327,68}{60}\simeq 5,46$

Portanto, são necessários, no mínimo, aproximadamente $5,46\text{min}$ para transferir um arquivo de $2\text{GB}$ em uma conexão de $50\text{Mb/s}$.

Também podemos calcular quantos megabaites podem ser transferidos em $10\text{min}$ nessa mesma conexão. Para isso, procedemos da seguinte maneira:

1º. Convertemos minutos em segundos. Como $1\text{min}=60\text{s}$, temos:

$10\text{min}=\underset{10\cdot 60}{\underbrace{600}}\text{s}$

2º. Como $50\text{Mb/s}$ equivale a $6,25\text{MB/s}$, temos:

$6,25\text{MB/}\cancel{\text{s}}\cdot 600\cancel{\text{s}}=3.750\text{MB}$

Portanto, em $10\text{min}$, é possível transferir, no máximo, $3.750\text{MB}$ em uma conexão de $50\text{Mb/s}$.

Além do megabite por segundo, existem outras unidades de medida de taxa de transferência de dados, e as mais usadas são quilobites por segundo ($\text{Kbps}$ ou $\text{Kb/s}$), gigabites por segundo ($\text{Gbps}$ ou $\text{Gb/s}$) e terabites por segundo ($\text{Tbps}$ ou $\text{Tb/s}$). Analise no quadro a seguir a equivalência entre algumas dessas unidades de medida.

Podemos fazer conversões entre essas unidades de medida utilizando o seguinte esquema.

Acompanhe alguns exemplos.

• $5.120\text{Kb/s}=\frac{5.120}{1.024}\text{Mb/s}=5\text{Mb/s}$
• $3\text{Gb/s}=3\cdot 1.024\cdot 1.024\text{Kb/s}$$=3\cdot {1.024}^2\text{Kb/s}=3.145.728\text{Kb/s}$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Em um plano de internet de $100\text{Mb/s}$, o provedor promete uma taxa de upload de até 50% da taxa de transferência máxima. Nessas condições, faça os cálculos no caderno e determine:

a) a medida do tempo mínimo, em minutos, necessária para fazer o upload de um arquivo de $15\text{GB}$.

b) o percentual máximo baixado de um arquivo de $10\text{GB}$, 3 minutos após o início do download.

Respostas: a) Aproximadamente 41 minutos; b) aproximadamente 9,1%.

21. Para facilitar o acesso a seus arquivos, que juntos somam $6\text{GB}$, Lucas fez o upload deles em um serviço de armazenamento em nuvem, a uma taxa de transferência de $1,2\text{Mbps}$. Dias depois, ele precisou acessar uma parte desses arquivos, que tinha $3\text{GB}$, e fez seu download a uma taxa de transferência medindo $4,8\text{Mbps}$. Calcule no caderno as medidas do tempo, em horas, minutos e segundos, que Lucas levou para fazer esse upload e esse download.

Respostas: $11\text{h}22\text{min}40\text{s}$; $1\text{h}\text{25}\text{min}\text{20}\text{s}$.

22. O gráfico a seguir apresenta a taxa média diária de download fornecida pela rede móvel contratada por Juliana nos sete primeiros dias do mês de agosto de 2023.

Fonte de pesquisa: registro do celular de Juliana.

a) No dia 2 desse mês, Juliana baixou um vídeo de $44\text{MB}$ e, no dia 4, ela baixou outro vídeo, de $38\text{MB}$. Em qual desses dias foi necessária uma medida de tempo menor para concluir o download?

b) Sabendo que Juliana fez o download de um vídeo de $720\text{MB}$ no dia 3, qual foi, em minutos e segundos, a medida de tempo mínima necessária para concluí-lo?

Respostas: a) Dia 2; b) $10\text{min}40\text{s}$.

23. A tabela a seguir apresenta a taxa média de download e de upload disponibilizada por três empresas de telefonia móvel no primeiro semestre de 2023 na velocidade $4\mathrm{G}$.

Fonte de pesquisa: empresas A, B e C.

Qual das alternativas apresentadas a seguir é verdadeira?

a) Na empresa A, a taxa máxima de upload corresponde a 72% da taxa máxima de download.

b) A empresa B é a que apresenta a melhor taxa máxima de upload relativa à taxa máxima de download.

c) Na empresa C, a taxa máxima de upload é menor do que 25% da taxa máxima de upload.

d) A taxa máxima de upload da empresa B é igual a 20% da taxa máxima de download.

e) A taxa máxima de download na empresa C é igual a 350% da taxa máxima de download.

Resposta: Alternativa d.

Medidas de volume

Objeto digital

Você já deve ter estudado assuntos relacionados a volume e capacidade. Também deve ter aprendido a calcular a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo e do cubo. Neste tópico, vamos retomar esses assuntos e aprofundar o estudo com o cálculo da medida do volume de prismas e de cilindros.

Acompanhe a seguir algumas informações sobre as Cataratas do Iguaçu, localizadas em Foz do Iguaçu (PR).

Essa vazão de $1.500{\text{m}}^3$ por segundo significa que, a cada segundo, flui um volume de água cuja medida é $1.500{\text{m}}^3$.

Questão 10. Você acha que essa é uma grande quantidade de água?

Resposta pessoal.

No caso relacionado às Cataratas do Iguaçu, constatamos uma situação envolvendo volume. Assim como podemos medir a massa de uma fruta, o comprimento de um fio e a área de um campo de futebol, também é possível medir o volume de um objeto tridimensional.

A unidade de medida de volume do Sistema Internacional (SI) é o metro cúbico (${\text{m}}^3$).

Além do metro cúbico, as outras unidades de medida de volume mais utilizadas são o centímetro cúbico (${\text{cm}}^3$) e o decímetro cúbico (${\text{dm}}^3$).

• Um centímetro cúbico é igual à medida do volume de um cubo cujo comprimento das arestas mede $1\text{cm}$.

• Um decímetro cúbico é igual à medida do volume de um cubo cujo comprimento das arestas mede $1\text{dm}$.

Analise as pilhas construídas por André, com cubos cujo comprimento das arestas mede $1\text{cm}$.

A pilha A, por exemplo, é formada por 6 cubos cujo comprimento das arestas mede $1\text{cm}$, ou seja, por 6 cubos cujo volume mede $1{\text{cm}}^3$. Desse modo, o volume dessa pilha mede $6{\text{cm}}^3$.

Questão 11. Qual é a medida do volume, em centímetros cúbicos, da:

a) pilha B.

b) pilha C.

c) pilha D.

Respostas: a) $\text{6}{\text{cm}}^3$; b) $8{\text{cm}}^3$; c) $7{\text{cm}}^3$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Determine a medida do volume de cada empilhamento a seguir, sabendo que eles são formados por cubos cuja medida do comprimento da aresta é $1\text{cm}$.

A.

B.

C.

D.

Respostas: A. $\text{19}{\text{cm}}^3$; B. $\text{22}{\text{cm}}^3$; C. $\text{16}{\text{cm}}^3$; D. $\text{18}{\text{cm}}^3$.

25. As figuras A, B, C e D representam empilhamentos de cubos cujo comprimento de aresta mede $1\text{dm}$.

A.

B.

C.

D.

a) Qual desses empilhamentos tem o volume medindo $24{\text{dm}}^3$?

Resposta: C.

b) Quantos cubos iguais aos utilizados precisam ser retirados ou acrescentados nos outros empilhamentos para que eles fiquem com volume medindo $24{\text{dm}}^3$?

Resposta: A: acrescentar 11 cubos; B: acrescentar 11 cubos; D: retirar 4 cubos.

Medida do volume do paralelepípedo reto retângulo e do cubo

Analise o paralelepípedo reto retângulo (imagem A) e sua decomposição em cubos (imagem B), em que o volume de cada um deles mede $1{\text{cm}}^3$.

Podemos determinar a medida do volume desse paralelepípedo multiplicando a quantidade de cubos em cada camada pela quantidade de camadas.

Portanto, a medida do volume desse paralelepípedo reto retângulo é $12{\text{cm}}^3$.

No caso apresentado, mostramos que a fórmula do volume do paralelepípedo reto retângulo é verdadeira quando a, b e c são números inteiros. Entretanto, essa fórmula também é válida quando as medidas não são números inteiros.

O cubo também é um paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas das dimensões são iguais. Assim, a medida do volume V de um cubo em que o comprimento da aresta mede a é $V=a^3$.

Medida do volume de um prisma

Na imagem a seguir estão representadas duas folhas de papel de espessura de mesma medida, como se estivessem apoiadas sobre uma superfície plana. Uma delas tem o formato de um retângulo, e a outra, de um hexágono, ambas com a mesma medida de área.

Ao empilharmos certa quantidade das folhas de papel do formato retangular e empilharmos essa mesma quantidade de folhas de formato hexagonal, obteremos duas pilhas de papéis com formatos que lembram figuras geométricas espaciais, sendo um paralelepípedo reto retângulo e um prisma de base hexagonal. Logo, essas figuras geométricas espaciais têm a mesma medida de volume. Como ambas as folhas têm a mesma medida de espessura e a mesma medida de área, as pilhas têm a mesma medida de altura e bases com áreas de mesma medida.

Como esses empilhamentos têm a mesma medida de volume, podemos obter a medida do volume do prisma de base hexagonal da mesma maneira que a medida do volume de um paralelepípedo reto retângulo, isto é, multiplicando a medida da área da base pela medida da altura.

Essa relação é baseada no chamado princípio de Cavalieri, em homenagem ao matemático Bonaventura Cavalieri (1598-1647). O princípio de Cavalieri pode ser enunciado conforme apresentado na página seguinte.

Questão 12. Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre a vida de Bonaventura Cavalieri. Depois, compartilhem com a turma os resultados que vocês obtiveram.

Resposta nas orientações ao professor.

Agora, acompanhe como podemos calcular a medida do volume do prisma a seguir.

Inicialmente, calculamos a medida da área da base ($A_b$) do prisma, que é um triângulo retângulo.

$A_b=\frac{4\cdot 3}{2}=6$

Em seguida, calculamos a medida do volume.

$V=A_b\cdot h=6\cdot 4,5=27$

Portanto, o volume desse prisma mede $27{\text{dm}}^3$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Calcule no caderno a medida do volume do prisma indicado em cada item.

a) Paralelepípedo reto retângulo.

b) Cubo.

c) Prisma de base triangular.

Respostas: a) $3.330{\text{cm}}^3$; b) $15,625{\text{m}}^3$; c) $108{\text{dm}}^3$.

27. Utilizando uma calculadora, determine a medida do comprimento da aresta de um cubo cujo volume mede:

a) $125{\text{cm}}^3$.

b) $343{\mathrm{m}}^3$.

c) $729{\text{dm}}^3$.

d) $42,875{\text{cm}}^3$.

Respostas: a) $5\text{cm}$; b) $7\mathrm{m}$; c) $9\text{dm}$; d) $3,5\text{cm}$.

28. O empilhamento a seguir é formado por cubos cujo comprimento da aresta mede $1\text{dm}$.

Sabendo que não há cubos escondidos atrás do empilhamento, responda às questões.

a) Qual é a medida do volume desse empilhamento?

b) Quantos decímetros cúbicos faltam para que esse empilhamento tenha a mesma medida de volume de um paralelepípedo cujas dimensões medem $6\text{dm}$, $6\text{dm}$ e $4\text{dm}$?

Respostas: a) 85 cubos ou $85{\text{dm}}^3$; b) $59{\text{dm}}^3$.

29. Na figura está representado um objeto feito de madeira que pode ser dividido em 6 cubos em que o volume de cada um deles mede $27{\text{cm}}^3$.

Qual é a quantidade máxima de objetos iguais a esse que podem ser colocados dentro de uma caixa como a representada a seguir?

Resposta: 120 objetos.

30. Efetue os cálculos no caderno e determine a medida do volume do objeto a seguir.

Resposta: $31{\mathrm{m}}^3$.

31. De acordo com as medidas indicadas nas figuras geométricas espaciais a seguir, determine a medida do volume de cada uma delas.

A.

B.

Respostas: A. $77.400{\text{cm}}^3$; B. $144.000{\text{cm}}^3$.

32. Os recipientes A e B estão com certa quantidade de água.

A.

B.

a) Desconsiderando a medida da espessura do vidro e sabendo que $1{\text{cm}}^3$ equivale a $1\text{mL}$, quantos mililitros de água há em cada recipiente?

b) Para um experimento, despejou-se a água do recipiente A no recipiente B até enchê-lo. Qual é a medida do volume de água que sobrou no recipiente A? Qual é a medida da altura atingida pela água que sobrou no recipiente A?

Respostas: a) A: $180\text{mL}$; B: $234\text{mL}$; b) $54{\text{cm}}^3$; $1,5\text{cm}$.

33. Elabore um problema envolvendo o recipiente representado a seguir.

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

34. Qual é a medida do volume mínimo de concreto necessário para transformar a escada representada em uma rampa, como mostra a figura?

Resposta: $97.200{\text{cm}}^3$.

35. (Enem-2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem $10\text{cm}$ de altura e base de $20\text{cm}$ por $10\text{cm}$. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa.

Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de $1.000{\text{cm}}^3$, e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar.

O volume máximo, em ${\text{cm}}^3$, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é

a) 450.

b) 500.

c) 600.

d) 750.

e) 1.000.

Resposta: Alternativa c.

Medida do volume do cilindro

Partindo da mesma ideia do princípio de Cavalieri, assunto estudado anteriormente, vamos calcular a medida do volume de um cilindro. Para isso, considere duas folhas de papel do mesmo tipo e de espessura de mesma medida, como se estivessem apoiadas sobre uma superfície plana, uma com o formato de retângulo e a outra com o formato de círculo, ambas com a mesma medida de área.

Ao empilharmos a mesma quantidade dessas folhas de papel em formato de retângulos e de círculos, obtemos duas pilhas com a mesma medida de volume, cujos formatos lembram figuras geométricas espaciais, sendo um paralelepípedo reto retângulo e um cilindro.

Como esses empilhamentos têm a mesma medida de volume, podemos obter a medida do volume do cilindro da mesma maneira que a medida do volume do paralelepípedo reto retângulo, isto é, multiplicando a medida da área da base pela medida da altura.

Acompanhe, por exemplo, como calcular a medida do volume do cilindro a seguir utilizando essa fórmula e considerando $\pi =3,14$.

$V=\pi r^2\cdot h=3,14\cdot 3^2\cdot 12=339,12$

Portanto, o volume desse cilindro mede aproximadamente $339,12{\text{cm}}^3$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

36. O empilhamento a seguir é formado por três cilindros.

Efetue os cálculos no caderno e determine a medida do volume desse empilhamento.

Resposta: Aproximadamente $3.529,36{\mathrm{m}}^3$.

37. As medidas de capacidade são usadas, em geral, para indicar a quantidade de líquido ou gás que pode ser colocado em um recipiente, isto é, a capacidade de um recipiente é igual a seu volume interno. Uma unidade de medida de capacidade muito utilizada o litro ($\mathrm{L}$), o qual não faz parte das unidades do SI, porém é aceito e usado no cotidiano.

Um submúltiplo do litro, que também é muito utilizado no cotidiano, é o mililitro ($\mathrm{m}\mathrm{L}$).

Podemos relacionar as unidades de medida de volume e de capacidade. Por exemplo, um recipiente cujo volume interno mede $1{\text{dm}}^3$ tem medida de capacidade igual a $1\mathrm{L}$, isto é, $1{\text{dm}}^3=1\text{L}$.

Qual é a medida da capacidade aproximada de um recipiente de forma cilíndrica, em litros, cujo raio interno da base mede $7\mathrm{d}\mathrm{m}$ e a altura, $12,8\mathrm{d}\mathrm{m}$?

Resposta: Aproximadamente $1.969,4\text{L}$.

38. Uma fábrica produz peças de ferro. Na figura está representada uma peça na forma de paralelepípedo reto retângulo produzida por essa fábrica. No centro da peça há uma abertura de forma cilíndrica, cujo diâmetro mede $2\text{cm}$.

Qual é a medida do volume aproximado dessa peça, em centímetros cúbicos?

Resposta: Aproximadamente $10,93{\text{cm}}^3$.

39. Um objeto foi colocado em um recipiente cilíndrico, conforme apresentado a seguir. Na imagem, estão indicadas medidas internas do recipiente.

a) Qual é a medida da capacidade aproximada do recipiente, em litros?

b) Aproximadamente quantos litros de água há no recipiente?

c) Qual é a medida do volume do objeto que foi colocado no recipiente, em decímetros cúbicos?

Respostas: a) Aproximadamente $100,48\text{L}$; b) Aproximadamente $56,52\text{L}$; c) Aproximadamente $33,912{\text{dm}}^3$.

40. Elabore um problema envolvendo o reservatório representado a seguir, cujo formato é cilíndrico.

Depois, peça a um colega que o resolva. Por fim, verifique se a resposta obtida por ele está correta.

Resposta pessoal.

41. Uma caixa-d'água de formato cúbico, cujo comprimento das arestas mede $1\mathrm{m}$, estava completamente cheia. Sabendo que foram retirados $120\text{L}$ de água dessa caixa, quantos centímetros o nível da água baixou?

Resposta: $12\text{cm}$.

42. Lucas tem a jarra a seguir, de formato cilíndrico. Ele vai despejar o líquido dela nos 2 recipientes A e B, que têm formato de um cilindro e de um paralelepípedo reto retângulo.

Sabendo que as medidas indicadas são internas, calcule no caderno a medida da capacidade de cada recipiente, em mililitros, e verifique se o líquido da jarra será suficiente para encher todos eles. Se não for, calcule quantos mililitros vão faltar.

Respostas: Recipiente A: aproximadamente $\text{904,32}\text{mL}$; recipiente B: $2.400\text{mL}$; o líquido será suficiente.

43. Em um recipiente com formato cilíndrico, podem ser colocados, no máximo, $\text{900}\text{mL}$ de água. Sabendo que o diâmetro interno da base desse recipiente mede $11\text{cm}$, calcule no caderno a medida da altura interna aproximada desse recipiente.

Resposta: Aproximadamente $52,11\text{cm}$.