APRESENTAÇÃO
Este livro foi elaborado para você e deve contribuir com o desenvolvimento das competências e das habilidades envolvidas no processo de aprendizagem, definidas na Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê).
Queremos que estude Matemática de fórma dinâmica e agradável. Nosso objetivo é ajudar você a descobrir que conhecer os números, as figuras geométricas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, que contribuirá para que você amplie seus conhecimentos, sua visão de mundo e sua participação na sociedade.
Procure fazer todas as atividades e explorar tudo o que este livro tem a oferecer. Aproveite também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções.
Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá que o saber proporciona grande satisfação pessoal e oportunidades para ampliar sua atuação no mundo.
Bom estudo!
CONHEÇA SEU LIVRO
Neste livro, você vai encontrar 4 unidades com 3 capítulos em cada uma.
SUMÁRIO
▸ Mostre o que você já sabe 12
unidade 1 14
CAPÍTULO 1 – Números naturais e sistemas de numeração 15
Sequência dos números naturais 16
Sucessor e antecessor de um número natural 16
Números naturais consecutivos 16
Comparação entre números naturais 17
2. Sistemas de numeração egípcio, maia e babilônico 19
Comparando os registros numéricos nos diferentes sistemas de numeração 20
3. Sistema de numeração romano 23
4. Sistema de numeração indo-arábico 25
Características do sistema de numeração indo-arábico 25
Leitura de números indo-arábicos 26
Representação dos números no ábaco e com material dourado 27
Escrita dos números indo-arábicos 28
▸ Compreender um texto – O que move as fake news? 30
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de dados em tabelas simples 32
CAPÍTULO 2 – Operações com números naturais 36
1. As operações no dia a dia 36
2. Adição com números naturais 37
3. Subtração com números naturais 41
Relação entre adição e subtração 44
4. Arredondamentos e cálculos aproximados 48
5. Multiplicação com números naturais 51
Algoritmos da multiplicação 53
Propriedades da multiplicação 55
6. Divisão com números naturais 59
Relação fundamental da divisão 65
▸ Trabalho em equipe – Jogo do resto 67
7. Potenciação com números naturais 68
Quadrado de um número ou potência de expoente 2 69
Cubo de um número ou potência de expoente 3 69
Potências com outros expoentes 70
8. Igualdade 72
▸ Estatística e Probabilidade – Coleta e organização de dados em tabelas simples 75
CAPÍTULO 3 – Geometria: noções iniciais 80
1. Geometria em documentos históricos 80
Elementos de um poliedro e planificação de sua superfície 83
Poliedros e corpos redondos com nomes especiais 85
3. Figuras geométricas planas 89
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de gráficos de barras (horizontais e verticais) 91
▸ Educação Financeira – Como são os seus gastos? 94
unidade 2 99
CAPÍTULO 4 – Divisibilidade: múltiplos e divisores 100
2. Múltiplos de um número natural 106
3. Divisores de um número natural 107
Reconhecimento de um número primo 110
5. Decomposição em fatores primos 111
2. Situações que envolvem frações 120
Propriedade das frações equivalentes 126
Frações com denominadores iguais 128
Frações com numeradores iguais 128
Frações com numeradores e denominadores diferentes 129
▸ Estatística e Probabilidade – Coleta e organização de dados em tabelas de dupla entrada 131
CAPÍTULO 6 – Operações com frações 135
1. Adição e subtração com frações 135
Frações com denominadores iguais 135
Frações com denominadores diferentes 136
2. Multiplicação com frações 138
Multiplicação de um número natural por uma fração 138
Multiplicação de duas ou mais frações 138
▸ Compreender um texto – Divisão proporcional em situações financeiras 141
Divisão de uma fração por um número natural 143
Divisão de um número natural por uma fração 144
Divisão de uma fração por outra fração 144
Processo prático 145
▸ Trabalho em equipe – Jogos e frações 147
4. Porcentagem 148
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de dados em tabelas de dupla entrada 150
▸ Educação Financeira – Você costuma pesquisar preços? 153
unidade 3 158
CAPÍTULO 7 – Retas e ângulos 159
1. Ideia de ponto, reta e plano 159
Representação de ponto, reta e plano 160
Semirreta e segmento de reta 161
Medida de comprimento de um segmento de reta 161
2. Ângulos 164
Medida de abertura de um ângulo 166
Classificação dos ângulos em reto, agudo ou obtuso 167
Posição entre duas retas no plano 169
▸ Informática e Matemática – Figuras geométricas 171
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de gráficos de barras duplas 174
CAPÍTULO 8 – Números decimais 179
1. Representação decimal de uma fração 179
Frações decimais 180
Quadro de ordens 180
O material dourado e os números decimais 181
Propriedade dos números decimais 182
Transformação de um número na forma decimal para a forma de fração 183
Transformação de um número na forma de fração decimal para a forma decimal 184
3. Comparação de números decimais 186
▸ Trabalho em equipe – Modalidades esportivas 187
4. Números na forma decimal e fracionários na reta numérica 188
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos de barras duplas 190
CAPÍTULO 9 – Operações com números decimais 194
1. Adição e subtração com números decimais 194
Operações com calculadora,arredondamento e cálculo mental 195
2. Multiplicação com números decimais 196
Multiplicação de um número natural por um número decimal 196
Multiplicação de um número decimal por um número decimal 198
3. Divisão com números decimais 200
Divisão por um número natural diferente de zero 200
Divisão por um número decimal 201
4. Potenciação de números decimais 206
5. Cálculo de porcentagens 207
▸ Compreender um texto – E se o Brasil tivesse 100 pessoas? 210
▸ Estatística e Probabilidade – Gráficos de setores 212
▸ Educação Financeira – O álbum de figurinhas 215
unidade 4 221
CAPÍTULO 10 – Localização e polígonos 222
1. Localização 222
Coordenadas em um guia de ruas 222
2. Polígono 225
Polígono convexo e polígono não convexo 226
3. Triângulo 229
4. Quadrilátero 230
Paralelogramo 231
▸ Informática e Matemática – Quadriláteros 234
5. Construção de figuras semelhantes 236
▸ Estatística e Probabilidade – Cálculo da probabilidade de um evento 239
CAPÍTULO 11 – Medidas de comprimento e medidas de área 244
1. Grandezas 244
Ideia de medida 245
O Sistema Internacional de Unidades (SI) 246
▸ Compreender um texto – Como escolher o assento no avião 252
Metro quadrado 254
▸ Trabalho em equipe – Desenhando planta baixa 258
4. Medida de perímetro e medida de área 259
▸ Informática e Matemática – Cálculo da medida da área de um retângulo 262
5. Medida da área de retângulos 263
Medida da área do quadrado 265
6. Medida da área de um triângulo retângulo 267
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de tabelas e gráficos usando planilhas eletrônicas 268
CAPÍTULO 12 – Medidas de tempo, de massa, de temperatura, de volume e de capacidade 273
Hora e minuto 273
Minuto e segundo 274
Decímetro cúbico 281
5. Medida de volume de paralelepípedos 282
Relação entre medidas de volume e de capacidade 286
▸ Estatística e Probabilidade – Pesquisa estatística 288
▸ Educação Financeira – Será que posso reclamar? 291
▸ Mostre o que você aprendeu 297
Respostas 299
Referências bibliográficas comentadas 302
Recorde
Vamos rever alguns assuntos estudados em anos anteriores?
sistema de numeração decimal
Cada algarismo tem um valor de acôrdo com a posição que ocupa no número.
Frações, números decimais e porcentagem
Gráficos e tabelas
Orientações e sugestões didáticas
Recorde
• Verifique se os estudantes compreendem a estrutura do sistema de numeração decimal, principalmente se reconhecem que cada algarismo tem um valor de acôrdo com a posição que ocupa no número. Aproveite e verifique também como eles representam e localizam números na reta numérica e se fazem arredondamentos em diferentes ordens.
• Certifique-se de que eles estabelecem a relação entre números na fórma de fração e na fórma decimal e se a usam no cálculo da porcentagem de uma quantidade e no conceito de probabilidade.
• No trabalho com as operações básicas, certifique-se de que os estudantes reconhecem a adição e a subtração como operações inversas, assim como a multiplicação e a divisão. Explique que isso facilita os cálculos e a verificação de resultados.
• Avalie como eles aplicam os algoritmos, se efetuam divisões exatas e não exatas e, também, se, nas expressões numéricas, efetuam primeiro as multiplicações ou as divisões na ordem que aparecem para depois resolver as adições e as subtrações. Dê alguns exemplos com o uso de parênteses para verificar se efetuam primeiro as operações que estão dentro deles.
• Espera-se que os estudantes reconheçam e façam a leitura da parte inteira e decimal dos números com vírgula. Aproveite também para verificar a fórma como comparam dois números decimais: primeiro a parte inteira e, se elas forem iguais, as partes decimais. Para isso, proponha alguns exemplos, como 5,421 < 5,437 e 0,218 < 1,260.
• Ainda em relação aos números decimais, verifique como os estudantes posicionam a vírgula nas operações básicas. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, eles devem perceber que a quantidade de casas decimais do produto é igual à quantidade de casas do fator em que o número está na fórma decimal. Já na divisão, eles devem inserir um zero e uma vírgula para separar as partes inteira e decimal nos casos em que o dividendo é menor que o divisor.
iguAldade
A relação de igualdade existente entre dois membros permanece ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir cada um dêsses membros por um mesmo número.
medidas
polígono
Lados: 5
Vértices: 5
Ângulos internos: 5
Diagonais: 6
poliedros
|
Sólido |
Número de vértices |
Número de faces |
Número de arestas |
|---|---|---|---|
|
|
12 |
8 |
18 |
|
|
4 |
4 |
6 |
coordenadas
As coordenadas dos pontos destacados são:
a(2, 3) e B(4, 5)
Orientações e sugestões didáticas
• Lembre os estudantes da importância em saber ler e interpretar as informações fornecidas em gráficos e tabelas.
• Para trabalhar as relações de igualdade matemática, um recurso muito utilizado é a balança de dois pratos. Certifique-se de que os estudantes compreendem o raciocínio em manter os pratos da balança em equilíbrio como uma igualdade matemática que permanece válida ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo número.
• Embora o trabalho com as grandezas e medidas vá além das equivalências entre unidades de medida de uma mesma grandeza, é importante verificar se os estudantes reconhecem essas unidades em contextos oriundos de situações reais e ou ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. Aproveite para verificar se eles sabem ler horas em relógios digitais e em relógios analógicos. Essa habilidade é um pré-requisito de outras habilidades envolvendo medidas de tempo, que serão ampliadas neste volume.
• É importante verificar se os estudantes reconhecem e quantificam corretamente as faces, os vértices e as arestas de diferentes poliedros. Essa percepção espacial será importante para que estabeleçam relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em razão do seu polígono da base.
• No trabalho com os pares ordenados, lembre os estudantes de que devemos respeitar a ordem dos números; caso contrário, obtemos pontos diferentes.
Avaliação diagnóstica
faça as atividades no caderno
MOSTRE O QUE VOCÊ JÁ SABE
1. No número .263121 o algarismo 3 representa que quantidade?
a) 3 mil
b) 3 centenas
c) 3 dezenas
d) 3 unidades
2. Os números que representam, respectivamente, o quociente e o resto da divisão 708 : 5, nessa ordem, são:
a) 141 e 5
b) 141 e 3
c) 14 e 0
d) 14 e 8
3. Identifique a alternativa que representa a reta numérica cujos números estão corretamente distribuídos.
a)
b)
c)
d)
4. O dono de uma padaria verificou que, em um dia, foram vendidos 20,325 quilogramas de pão no período da manhã e 8,2 quilogramas de pão no período da tarde. Quantos quilogramas de pão foram vendidos, no total, nesses dois períodos?
a) 28,525 quilogramas
b) 102,325 quilogramas
c) 20,407 quilogramas
d) 12,125 quilogramas
5. É correto afirmar que o polígono a seguir é um:
a) triângulo.
b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
6. Identifique a alternativa que apresenta um triângulo cujos ângulos internos são todos agudos.
a)
b)
c)
d)
7. Observe os quadriláteros desenhados na malha quadriculada.
Podemos afirmar que essas figuras representam:
a) quadrados.
b) retângulos.
c) paralelogramos.
d) trapézios.
8. Observe o que está escrito na faixa de uma loja.
O desconto indicado no cartaz é referente:
a) a três quartos do valor original.
b) à metade do valor original.
c) a um quarto do valor original.
d) a um décimo do valor original.
Respostas e comentários
1. alternativa a
2. alternativa b
3. alternativa d
4. alternativa a
5. alternativa d
6. alternativa c
7. alternativa c
8. alternativa b
Orientações e sugestões didáticas
Avaliação diagnóstica
• A atividade 1 propicia a identificação do valor posicional de algarismos de um número natural. Proponha outros números no quadro, destacando o valor posicional de cada algarismo. O uso de ábacos, quadro de ordens e material dourado ajuda nessa compreensão.
• Aproveite a atividade 2 para retomar a divisão não exata. Uma atividade interessante é organizar os estudantes em grupos e distribuir uma quantidade de feijões, por exemplo, para que cada grupo os divida igualmente entre seus integrantes e verifique qual foi o resto dessa divisão.
• Após a exploração da atividade 3, retome os critérios de comparação de números decimais com ou sem o suporte da reta numérica. Leve os estudantes a perceber que, caso as partes inteiras dos números que estão sendo comparados sejam iguais, devemos comparar suas partes decimais. Para isso, comparamos inicialmente os décimos, depois os centésimos, os milésimos e assim por diante.
• Para favorecer a compreensão da atividade 4, retome o algoritmo da adição com números na fórma decimal, ressaltando que devemos adicionar os respectivos milésimos, centésimos, décimos, unidades, dezenas, e assim por diante. Também pode ser interessante conversar com os estudantes sobre estratégias de cálculo mental, estimativa e arredondamento.
• Na atividade 5, certifique-se de que os estudantes reconhecem o nome de alguns polígonos de acôrdo com o número de lados, ressaltando, de modo informal, o significado dos prefixos em outros contextos: tri, quadri, penta, hexa, hepta, octa etcétera. Se julgar oportuno, explique que nem todos os polígonos recebem nomes especiais e, nesses casos, são nomeados pela indicação da quantidade de lados, por exemplo, polígono de 17 lados.
• A atividade 6 favorece momentos de discussão e argumentação para evidenciar os motivos dos equívocos cometidos e uma possível intervenção individual ou coletiva. É importante verificar se os estudantes tomam como base o ângulo reto para fazer a classificação em agudo ou obtuso.
• Na atividade 7, talvez alguns estudantes não identifiquem o paralelismo na malha pelo prolongamento de lados do losango e do paralelogramo que não estão sobre as linhas horizontais ou verticais da malha quadriculada. Para intervir, é importante certificar-se de que os estudantes reconhecem, entre os quadriláteros, os paralelogramos e os trapézios; e, entre os paralelogramos, aqueles que recebem nomes especiais: retângulos, losangos e quadrados.
• Para identificar os possíveis equívocos na atividade 8, uma sugestão é analisar os registros das diferentes estratégias utilizadas pelos estudantes. Se julgar conveniente, retome o significado de metade, um quarto, três quartos e um décimo.
9. Amanda, Bianca e Camila estão caminhando em uma pista de corrida. Supondo que Amanda percorreu
Sentença matemática. Fração 1 sobre 8.da medida de comprimento da pista, Bianca percorreu
Sentença matemática. Fração 3 sobre 24.e Camila percorreu
Sentença matemática. Fração 2 sobre 16.da medida de comprimento da pista, podemos afirmar que:
a) Amanda percorreu a maior medida de distância.
b) Bianca percorreu a maior medida de distância.
c) Camila percorreu a maior medida de distância.
d) Amanda, Bianca e Camila percorreram a mesma medida de distância.
10. Observe a reta numérica a seguir.
Podemos afirmar que a e B são, respectivamente:
a) a = 0,25 e B =
Sentença matemática. Fração 5 sobre 4.b) a = 0,25 e B =
Sentença matemática. Fração 9 sobre 4.c) a = 0,5 e B =
Sentença matemática. Fração 5 sobre 4.d) a = 0,5 e B =
Sentença matemática. Fração 9 sobre 4.11. João dirigiu
Sentença matemática. Número misto 2 inteiros e 1 quarto.do percurso compreendido entre sua casa e o trabalho. Esse número corresponde ao número decimal:
a) 0,5
b) 2,14
c) 2,25
d) 2,4
12. Um lápis e uma borracha custam ao todo 4 reais. O lápis custa o triplo do valor da borracha. Entre as igualdades a seguir, qual representa o problema?
a) 2 + 2 = 4
b) 1 + 3 ⋅ 1 = 4
c) 4 ‒ 1 = 3
d) 4 ‒ 3 = 1
13. Jean pretende guardar seus brinquedos em duas caixas, de modo que em uma delas haja o dobro de brinquedos que na outra. Sabendo que Jean tem no total 30 brinquedos, qual é a quantidade de brinquedos que Jean deve guardar em cada uma das caixas?
a) 15 e 15
b) 10 e 20
c) 13 e 17
d) 2 e 28
14. Observe o que Fábio está falando.
Qual das alternativas indica o resultado do cálculo de Fábio?
a) 20 +
Fração 1 sobre 6.b)
Sentença matemática. Fração 10 sobre 3.c) 10
d) 2
15. A imagem a seguir representa um dado comum, com faces de 1 a 6 pontos.
Ao lançá-lo, qual é a probabilidade de obter um número par?
a)
Fração 1 sobre 6.b)
Sentença matemática. Fração 1 sobre 3.c)
Sentença matemática. Fração 1 sobre 2.d)
Sentença matemática. Fração 5 sobre 6.16. Observe o tangram a seguir.
Podemos afirmar que as peças de um tangram são:
a) triângulos e quadriláteros.
b) triângulos e hexágonos.
c) quadriláteros e hexágonos.
d) pentágonos e hexágonos.
Respostas e comentários
9. alternativa d
10. alternativa a
11. alternativa c
12. alternativa b
13. alternativa b
14. alternativa c
15. alternativa c
16. alternativa a
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 9, leve os estudantes a perceber que, quando as frações não possuem o mesmo denominador, precisamos obter frações equivalentes às primeiras com o mesmo denominador. Nesta atividade, oriente-os a simplificar as frações.
• Se julgar oportuno, para explorar a atividade 10, apresente aos estudantes os dois números em sua fórma decimal. Primeiro, faça uma comparação entre eles, definindo o maior e o menor. Depois, localize esses números na reta numérica e destaque os números naturais próximos a eles, pois podem ser usados como referência. Faça o mesmo para as duas frações.
• Na atividade 11, diga aos estudantes que o número misto é uma fórma de representar uma fração imprópria. Dê outros exemplos, apoiados por representação de figuras divididas em partes iguais e, também, contextualizadas por meio de situações do cotidiano, como a divisão de bolos e pizzas.
• Para a atividade 12, proponha aos estudantes que, em pequenos grupos, reproduzam outras situações que envolvam a partilha de quantidades em partes desiguais, de modo que construam estratégias que possam ser utilizadas posteriormente na resolução dos problemas.
• Verifique a possibilidade de reproduzir na prática a situação presente na atividade 13, com material de contagem, de modo a favorecer que construam estratégias próprias. Verifique se os estudantes percebem que as quantidades apresentadas nas alternativas a, c e d não são o dobro uma da outra.
• Na atividade 14, é importante analisar os registros dos estudantes. Proponha um momento de discussão para que eles apresentem seus argumentos e concluam que a expressão representada no balão de fala é
Fração 1 sobre 6⋅ 12 + 8.
• Para explorar a atividade 15 e as ideias de probabilidade, providencie um dado de seis faces e proponha algumas questões como: “Que face pode ficar voltada para cima após o lançamento dêsse dado?”; “É possível prever qual das faces ficará voltada para cima antes de lançar esse dado? Por quê?”; “Todas as faces têm a mesma probabilidade de ser obtidas?”; entre outros questionamentos.
• Verifique, na atividade 16, se os estudantes identificam figuras além de triângulos e quadriláteros ao considerar a composição justaposta de duas ou mais peças do tangram, demonstrando equívoco na interpretação do enunciado. Se julgar conveniente, leve um tangram para a sala de aula e deixe que os estudantes manuseiem livremente. Proponha a construção de alguns polígonos ou figuras a partir de silhuetas.