APRESENTAÇÃO
Este livro foi elaborado para você e deve contribuir com o desenvolvimento das competências e das habilidades envolvidas no processo de aprendizagem, definidas na Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê).
Queremos que estude Matemática de fórma dinâmica e agradável. Nosso objetivo é ajudar você a descobrir que conhecer os números, as figuras geométricas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, que contribuirá para que você amplie seus conhecimentos, sua visão de mundo e sua participação na sociedade.
Procure fazer todas as atividades e explorar tudo o que este livro tem a oferecer. Aproveite também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções.
Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá que o saber proporciona grande satisfação pessoal e oportunidades para ampliar sua atuação no mundo.
Bom estudo!
CONHEÇA SEU LIVRO
Neste livro, você vai encontrar 4 unidades com 3 capítulos em cada uma.
SUMÁRIO
▸ Recorde 10
▸ Mostre o que você já sabe 12
unidade 1 14
CAPÍTULO 1 – Múltiplos e divisores 15
Múltiplos e divisores de um número natural 15
Critérios de divisibilidade 16
2. Decomposição em fatores primos 20
3. Máximo divisor comum (mdc) 22
4. Mínimo múltiplo comum (mmc) 23
▸ Estatística e Probabilidade – Estimativa da probabilidade 27
▸ Compreender um texto – Mulheres e ciência 30
CAPÍTULO 2 – Números inteiros 33
1. Números positivos e números negativos 33
3. Módulo, ou valor absoluto, de um número inteiro 40
4. Adição com números inteiros 42
5. Subtração com números inteiros 47
▸ Trabalho em equipe – Jogo de tabuleiro 49
▸ Educação Financeira – Para onde foi meu dinheiro? 52
7. Multiplicação com números inteiros 54
Propriedades da multiplicação 56
8. Divisão exata com números inteiros 58
9. Potenciação em que a base é um número inteiro 61
10. Raiz quadrada exata de um número inteiro 64
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de gráficos de barras com números inteiros 66
Medida da abertura de um ângulo 73
2. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes 76
3. Ângulos complementares e ângulos suplementares 77
5. Ângulos opostos pelo vértice 81
▸ Informática e Matemática – Ângulos opostos pelo vértice 85
6. Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 86
▸ Informática e Matemática – Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal 87
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos de barras 89
unidade 2 94
CAPÍTULO 4 – Números racionais 95
Conjunto dos números racionais 96
Representação dos números racionais na reta numérica 97
Módulo ou valor absoluto de um número racional 99
Comparação de números racionais 99
▸ Compreender um texto – O consumo consciente também pode ser divertido 102
2. Adição e subtração com números racionais 104
4. Multiplicação com números racionais 109
5. Divisão com números racionais 112
▸ Educação Financeira – Pagar com cartão... 116
6. Potenciação de números racionais 118
Propriedades 121
7. Raiz quadrada 123
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de pictogramas 126
CAPÍTULO 5 – Grandezas e medidas 130
2. Unidades de medida de comprimento 131
Múltiplos da unidade de medida metro 132
Submúltiplos da unidade de medida metro 132
3. Unidades de medida de tempo 134
4. Unidades de medida de massa 136
Múltiplos da unidade de medida grama 136
Submúltiplos da unidade de medida grama 136
5. Unidades de medida de volume 138
Medida do volume de paralelepípedos 138
6. Unidades de medida de capacidade 139
Múltiplos da unidade de medida litro 139
Submúltiplos da unidade de medida litro 140
▸ Trabalho em equipe – Consumo de água sem desperdício 144
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de pictogramas 145
CAPÍTULO 6 – Cálculo algébrico 149
Situação que envolve uma expressão algébrica 149
Uso de expressões algébricas 150
2. Valor numérico de expressões algébricas 152
Resolvendo problemas com o uso de letras 155
Representando os termos de sequências numéricas por meio de expressões algébricas 157
Sequências numéricas recursivas 160
▸ Informática e Matemática – Sequência de Fibonacci na planilha eletrônica 161
▸ Estatística e Probabilidade – Cálculo da média aritmética e da média aritmética ponderada 164
unidade 3 171
CAPÍTULO 7 – Equações e inequações do 1º grau 172
1. Igualdade 172
2. Equação 173
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação 174
4. Equação do 1º grau com uma incógnita 181
5. Equações e resolução de problemas 182
6. Desigualdade 189
Princípios de equivalência das desigualdades 190
▸ Educação Financeira – Comprar mais ou comprar menos? 193
7. Inequação do 1º grau com uma incógnita 195
▸ Estatística e Probabilidade – Média aritmética e amplitude 198
▸ Compreender um texto – Jovens na proteção do meio ambiente 201
CAPÍTULO 8 – Polígono, circunferência e círculo 205
1. Polígono e seus elementos 205
Polígono convexo e polígono não convexo 206
▸ Informática e Matemática – Mosaicos 209
2. Circunferência e círculo 211
Raio e diâmetro de uma circunferência 212
Comprimento de uma circunferência 212
Círculo 213
▸ Trabalho em equipe – Criando obra de arte 215
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de gráficos de setores 216
CAPÍTULO 9 – Triângulos e quadriláteros 221
1. Triângulos 221
2. Construção de triângulos com régua e compasso 222
Condição de existência de um triângulo 222
3. Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo 223
4. Classificação dos triângulos 225
Classificação dos triângulos de acordo com as medidas de comprimento dos lados 225
Classificação dos triângulos de acordo com as medidas de abertura dos ângulos 226
5. Relação entre lados e ângulos de um triângulo 226
6. Quadriláteros 229
Trapézios 229
Paralelogramos 229
7. Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero 230
8. Trapézios 232
Retângulo 234
Losango 234
Quadrado 234
10. Construção de quadrados com régua e compasso 236
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos de setores 239
unidade 4 247
CAPÍTULO 10 – Medida de área de quadriláteros e de triângulos 248
Medidas agrárias 249
2. Medida de área do retângulo 251
Medida de área do quadrado 252
3. Figuras equidecomponíveis 253
4. Medida de área do paralelogramo 254
5. Medida de área do triângulo 256
6. Medida de área do trapézio 258
7. Medida de área do losango 259
▸ Estatística e Probabilidade – Comparação de dados representados em gráficos de barras e de setores 261
CAPÍTULO 11 – Proporção e aplicações 264
1. Razão 264
Comparando por meio de uma razão 264
2. Proporção 267
Propriedade fundamental das proporções 268
Sequências de números diretamente proporcionais 270
Sequências de números inversamente proporcionais 270
3. Grandezas e medidas em nosso cotidiano 272
4. Grandezas diretamente proporcionais 272
5. Grandezas inversamente proporcionais 276
6. Regra de três 278
7. Porcentagem 281
Diferentes modos de calcular porcentagem 282
▸ Compreender um texto – Uma breve história sobre os impostos 284
8. Juro simples 286
Pagamento à vista e pagamento a prazo 286
Empréstimo 287
▸ Educação Financeira – Diferentes formas de pagamento 290
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de tabelas e gráficos usando planilhas eletrônicas 292
CAPÍTULO 12 – Transformações geométricas 297
1. Localização de pontos no plano 297
Par ordenado 299
2. Transformações geométricas no plano 301
3. Reflexão 302
Reflexão em relação a uma reta 302
Reflexão em relação a um ponto 306
4. Translação 308
▸ Informática e Matemática – Figuras obtidas por transformações geométricas 314
6. Outras transformações geométricas no plano cartesiano 316
Multiplicando as coordenadas por números inteiros não nulos maiores que ‒1 316
Multiplicando as coordenadas por números inteiros menores que ‒1 316
Multiplicando uma das coordenadas por números inteiros não nulos diferentes de ‒1 317
7. As transformações nas artes 318
▸ Estatística e Probabilidade – Pesquisa amostral e pesquisa censitária 321
▸ Trabalho em equipe – Hábitos esportivos 323
▸ Mostre o que você aprendeu 328
Respostas 330
Recorde
Vamos rever alguns assuntos estudados em anos anteriores?
potenciação com números naturais
Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação.
5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54
IGUALDADE
Toda igualdade continuará sendo válida se:
• adicionarmos ou subtrairmos o mesmo número de seus membros.
• multiplicarmos seus membros por um mesmo número ou dividirmos seus membros por um mesmo número diferente de zero.
Frações
Fração de uma quantidade
Luiz comprou 12 livros e, até o momento, leu
1 quartodeles. Portanto, Luiz já leu 3 dos livros que comprou.
de 12 é igual a 3, pois 12 : 4 = 3.
Frações equivalentes
Frações que representam a mesma quantidade em relação a uma unidade são frações equivalentes.
Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.
=
2 sexto=
4 12 avosOrientações e sugestões didáticas
Recorde
• Verifique se os estudantes compreendem que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais e se não confundem essa operação com a multiplicação – que é uma adição de parcelas iguais. Se julgar necessário, apresente-lhes outros exemplos. Algumas sugestões são:
10 2 = 10 ⋅ 10 = 100
7 4 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = .2401
Se julgar oportuno, aproveite o momento para verificar o conhecimento prévio dos estudantes acerca de potenciação envolvendo números decimais.
• As propriedades das igualdades serão de suma importância para a introdução e o desenvolvimento das noções algébricas abordadas neste volume. Certifique-se de que os estudantes não apresentam dificuldades relacionadas a essa temática e, se necessário, explore outros exemplos com a turma.
• Verifique se os estudantes compreendem a ideia de parte/todo relacionada às frações. Caso apresentem dificuldades, retome os conceitos que julgar necessários e proponha, a partir de figuras desenhadas no quadro, a escrita de frações que representem as partes pintadas. Além disso, verifique como eles realizam os cálculos de frações de uma quantidade – essa temática será importante para o cálculo de porcentagens.
• As frações equivalentes são um importante pré-requisito para o trabalho com a comparação de números racionais, bem como com as operações nesse campo numérico. Certifique-se de que os estudantes dominam esse conteúdo e, se necessário, apresente-lhes outros exemplos.
transformações
Transformação de um número na fórma decimal para a fórma de fração
2,4 (lemos: “dois inteiros e quatro décimos”)
2,4 = 2 + 0,4 =
20 décimos+
4 décimos=
24 décimosTransformação de um número na fórma de fração decimal para a fórma decimal
=
20 décimos+
1 décimo= 2 + 0,1 = 2,1
polígonos
Elementos de um polígono
Exemplos de quadriláteros
Exemplos de triângulos
probabilidade
Em uma urna há cinco bolinhas numeradas de 1 a 5. Ao sortearmos uma bolinha dessa urna, a probabilidade de ela conter o número 4 é
1 quinto, 20% ou 0,2.
Poliedros
Elementos de um poliedro
Exemplos de prismas
Exemplos de pirâmides
Orientações e sugestões didáticas
• Avalie como os estudantes realizam as transformações envolvendo números na fórma decimal e na fórma de fração. Esse conteúdo é fundamental para comparar números racionais e representá-los na reta numérica. Se julgar conveniente, proponha aos estudantes, utilizando essas transformações, que comparem os números 2,5 e
9 quartos.
• Ao trabalhar com a temática probabilidade, verifique se os estudantes percebem que a probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Se julgar necessário, questione-os a respeito da quantidade de bolinhas com o número 4 e do total de bolinhas que há na urna. Por fim, verifique se eles estabelecem a relação entre porcentagem, fração decimal e número decimal.
• Se necessário, leve para a sala de aula representações de poliedros para que os estudantes as manipulem e localizem os elementos apresentados na página. Além disso, desafie-os a quantificar esses elementos nas representações em questão.
• Represente alguns polígonos no quadro e questione a turma a respeito do número de lados, vértices e ângulos que eles possuem. Aproveite o momento e desafie os estudantes a nomearem os polígonos representados de acordo com o número de lados.
• A identificação de triângulos e seus elementos é de suma importância para a construção dessa figura e também para a investigação de algumas de suas propriedades. Aproveite os triângulos apresentados na página e faça questionamentos como: “Há triângulos com ângulos retos? Como esses triângulos são chamados?”, “Algum dos triângulos possui todos os lados de mesma medida de comprimento?”.
• Aproveite os quadriláteros apresentados para verificar o conhecimento prévio dos estudantes acerca dos paralelogramos e dos trapézios. Entre as figuras apresentadas na página, há um trapézio e um paralelogramo.
Avaliação diagnóstica
faça as atividades no caderno
MOSTRE O QUE VOCÊ JÁ SABE
1. A parte pintada de azul nesta figura representa a fração
1 terço.
Em qual alternativa está representada uma fração equivalente a
1 terço?
a)
2 sextosb)
3 sextosc)
1 nonod)
2 nonos2. Observe a reta numérica a seguir.
Qual das seguintes frações deve ocupar a posição indicada pelo ponto a?
a)
1 terçob)
2 quintosc)
5 quartosd)
7 quartos3. Em uma escola,
1 terçodos estudantes pratica futebol,
1 oitavopratica natação e
1 quartopratica vôlei. Sabendo que cada estudante pratica apenas um tipo de esporte, qual fração dos estudantes dessa escola pratica futebol, natação ou vôlei?
a)
3 quinze avosb)
4 11 avosc)
3 24 avosd)
17 24 avos4. Júlio está comprando um computador no valor de .2500 reais. Como ele fará o pagamento à vista, ganhou um desconto de 15%. Qual é o valor que Júlio pagará por esse computador?
a) 375 reais
b) .2000 reais
c) .2125 reais
d) .2875 reais
5. Um cientista está realizando um experimento no laboratório. Inicialmente, a substância que ele está preparando estava a uma temperatura cuja medida era de 20 graus Celsius. Em seguida, ele aqueceu a substância até atingir o triplo dessa medida de temperatura. Ao final, ele resfriou essa substância para que sua medida de temperatura diminuísse em 50 graus Celsius.
Qual é a medida da temperatura final dessa substância, em grau Celsius?
a) 0
b) 10
c) 30
d) 70
6. Ricardo construiu a sequência numérica a seguir, porém, ele acabou apagando um dos números que escreveu.
Qual dos seguintes números deve ocupar a posição daquele que Ricardo apagou na sequência numérica construída por ele?
a) 14
b) 15
c) 17
d) 18
7. Observe a seguir a balança de dois pratos em equilíbrio.
Qual é a medida da massa da caixa x?
a) 100 gramas
b) 150 gramas
c) 300 gramas
d) 500 gramas
8. As figuras a seguir foram construídas na mesma malha quadriculada.
Respostas e comentários
1. alternativa a
2. alternativa c
3. alternativa d
4. alternativa c
5. alternativa b
6. alternativa d
7. alternativa c
Orientações e sugestões didáticas
Avaliação diagnóstica
• Uma maneira de auxiliar os estudantes com dificuldade na resolução da atividade 1 é dividir cada parte da figura ao meio, obtendo seis partes iguais, observando que teríamos, nesse caso, duas partes em 6. Pode também ser feita uma divisão em nove partes iguais, para que os estudantes percebam que a fração equivalente de denominador 9 precisaria ser
3 nonos.
• Para explorar a representação de números racionais na fórma fracionária em uma reta numérica, como na atividade 2, pode ser abordada a representação mista, por exemplo,
Sentença matemática. 7 quartos é igual a 1 vezes 3 quartos, com o intuito de estabelecer relação com as representações de números maiores do que 1 inteiro.
• Na atividade 3, os estudantes que indicaram a alternativa a podem apenas ter escolhido uma fração com numerador igual à soma dos numeradores e denominador igual à soma dos denominadores das três frações envolvidas. Para auxiliar os estudantes na adição de números racionais na fórma fracionária, pode ser retomado o estudo das frações equivalentes, recorrendo a representações gráficas para facilitar a compreensão das transformações.
• Os estudantes que escolheram a alternativa a, na atividade 4, podem ter calculado corretamente a porcentagem, mas tiveram dificuldade em determinar o preço final do produto. Para favorecer a compreensão desse conteúdo, podem ser levados para a sala de aula folhetos de lojas contendo preços de produtos e porcentagens relacionadas a descontos ou acréscimos para que os estudantes interpretem os dados e efetuem os cálculos corretamente.
• Para sanar as dúvidas da turma em relação à atividade 5, pode ser utilizada a reta numérica para a interpretação dos resultados, considerando que as adições ocorram por deslocamentos para a direita, enquanto as subtrações devem estar associadas a deslocamentos para a esquerda.
• Para contribuir com a compreensão da atividade 6, peça aos estudantes que calculem as diferenças entre dois termos sucessivos de uma sequência para que, ao identificarem a regularidade, possam determinar um termo qualquer a partir da regularidade observada.
• Para favorecer a aprendizagem do conteúdo explorado na atividade 7, podem ser propostos aos estudantes outros problemas envolvendo balança de dois pratos e sua resolução utilizando expressões numéricas, de modo a favorecer posteriormente a construção de expressões algébricas.
Considerando cada quadradinho da malha como uma unidade de medida de área (u.a.), em relação à medida da área das figuras 1 e 2, podemos afirmar que:
a) A figura 1 mede aproximadamente 15 unidades de medida de área e a figura 2, aproximadamente 15 unidades de medida de área
b) A figura 1 mede aproximadamente 15 unidades de medida de área e a figura 2, aproximadamente 18 unidades de medida de área
c) A figura 1 mede aproximadamente 20 unidades de medida de área e a figura 2, aproximadamente vinte e uma unidades de medida de área
d) A figura 1 mede aproximadamente 17 unidades de medida de área e a figura 2, aproximadamente 18 unidades de medida de área
9. Observe o mosaico apresentado a seguir.
Quais figuras geométricas planas estão presentes nesse mosaico?
a) Triângulos e hexágonos.
b) Triângulos e quadriláteros.
c) Quadriláteros e pentágonos.
d) Pentágonos e hexágonos.
10. Guilherme comprou um reservatório de água para instalar em sua chácara e pretende utilizá-lo para armazenar água da chuva. O formato e as medidas desse reservatório são indicados a seguir.
Qual é a medida de volume de água que pode ser armazenada nesse reservatório?
a) 26 decímetros cúbicos
b) 64 decímetros cúbicos
c) 224 decímetros cúbicos
d) 640 decímetros cúbicos
11. Na malha quadriculada a seguir, foram construídos um triângulo e um retângulo.
Que relação podemos estabelecer entre as medidas de área dessas figuras?
a) O triângulo e o retângulo têm mesma medida de área.
b) A medida da área do triângulo é o dobro da medida da área do retângulo.
c) A medida da área do triângulo é metade da medida da área do retângulo.
d) A medida da área do triângulo é o triplo da medida da área do retângulo.
12. João está brincando com seus amigos com um jogo de tabuleiro. A cada rodada, ele precisa lançar um dado honesto de seis faces.
Qual é a probabilidade de João obter o número 6 no lançamento do dado?
a)
1 sextob)
1 meioc)
5 sextosd)
6 sextos13. O gráfico a seguir apresenta a taxa de desmatamento da Floresta Amazônica brasileira medida em quilômetro quadrado.
Em qual ano ocorreu a maior taxa de desmatamento durante esse período?
a) 2017
b) 2018
c) 2019
d) 2020
Respostas e comentários
8. alternativa b
9. alternativa b
10. alternativa d
11. alternativa a
12. alternativa a
13. alternativa d
Orientações e sugestões didáticas
• Diante de dificuldades para resolver a atividade 8, pode ser realizado um trabalho para contribuir com a interpretação e a resolução de problemas envolvendo figuras equidecomponíveis ou não, nos quais os estudantes verificam se figuras de formatos diferentes têm a mesma medida de área por meio da decomposição por quadrados ou retângulos. Se julgar oportuno, proponha problemas semelhantes a esse ou peça aos estudantes que construam figuras em papel quadriculado ou em softwares de Geometria dinâmica, com o objetivo de estudar a medida de área por meio da decomposição das figuras com base na malha considerada.
• Para a atividade 9, pode ser realizado um trabalho com a construção de polígonos com régua e compasso, bem como a construção de mosaicos e ladrilhamentos utilizando tipos específicos de polígono, de modo que os estudantes relacionem corretamente as nomenclaturas com o número de lados dos polígonos. Para evitar acidentes, oriente os estudantes a manusear o compasso com cuidado.
• Na resolução da atividade 10, é importante discutir com a turma a diferença entre os conceitos de medida de área e de medida de volume e a relação com as medidas de comprimento, de largura e de altura. Proponha aos estudantes outros problemas que envolvam o cálculo de medidas de volumes de blocos retangulares, utilizando outras unidades de medida.
• Para complementar a atividade 11, podem ser apresentadas outras figuras em malhas quadriculadas, para que os estudantes avaliem a medida de suas áreas e calculem a medida de área em função da medida de área de cada quadradinho da malha, estabelecendo as relações entre essas medidas.
• Para explorar a atividade 12, pode ser proposto aos estudantes um jogo que utilize dados, para que pensem nos possíveis resultados. Em seguida, é importante discutir com eles as chances de um evento acontecer, explorando o conceito de probabilidade.
• O trabalho com gráficos que abordam temas atuais e da realidade, como o da atividade 13, é essencial para a vivência em sociedade. Assim, podem ser apresentados aos estudantes gráficos diversos, extraídos de jornais, internet, revistas, para que eles interpretem e escrevam conclusões simples, mas que evidenciem a compreensão do tema e das informações do gráfico.