Página IIItrês

APRESENTAÇÃO

Caro professor, este Manual do Professor tem a finalidade de auxiliá-lo a desenvolver as situações didáticas propostas nesta coleção, auxiliando-o no encaminhamento do trabalho durante o ano letivo.

Organizamos o Manual em três partes:

• Na primeira parte (Orientações gerais), são apresentadas considerações em relação aos princípios norteadores da coleção, que consideraram a competência leitora e investigativa como abordagem metodológica; à BNCCBê êne cê cê e ao modo como as competências e habilidades previstas neste documento são propostas na coleção. São apresentadas também reflexões acerca da exploração de conhecimentos prévios dos estudantes, da resolução de problemas, dos Temas Contemporâneos Transversais (TCTstê cê tês), do letramento matemático, do pensamento computacional, entre outros assuntos pertinentes à reflexão da prática docente e também do ensino e aprendizagem dos estudantes.

• Na segunda parte (A coleção), são apresentadas as seções da coleção, as habilidades exploradas, as sugestões de avaliações formativas relacionadas aos capítulos do Livro do Estudante, as resoluções e os comentários das atividades propostas no Livro do Estudante.

• Na terceira parte (Orientações), dispostas em formato lateral, o professor encontrará a reprodução comentada das páginas do Livro do Estudante. Nela são apresentadas as competências e as habilidades da BNCCBê êne cê cê desenvolvidas em cada tópico ou seção, os objetivos traçados e as orientações pertinentes ao tema em questão.

De modo geral, as orientações e sugestões deste Manual do Professor buscam auxiliar o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam de maneira significativa para uma formação mais integral, humana e crítica do estudante e do professor. Queremos que os estudantes pensem matematicamente, resolvam problemas diversos e concluam essa etapa da Educação Básica preparados para continuar seus estudos.

Bom trabalho!

Página IVquatro

SUMÁRIO

Orientações gerais Vcinco

Competências gerais da BNCC VIseis

Unidades temáticas de Matemática VIIIoito

Competências específicas e as habilidades de Matemática para o Ensino Fundamental IXnove

As competências gerais e específicas da BNCC na coleção IXnove

A coleção XXIVvinte e quatro

Unidade 1 (capítulos 1, 2 e 3) XXX

Unidade 2 (capítulos 4, 5 e 6) XXX

Unidade 3 (capítulos 7, 8 e 9) XXX

Unidade 4 (capítulos 10, 11 e 12) XXXI

Capítulo 1 – Números naturais e sistemas de numeração XXXI

Capítulo 2 – Operações com números naturais XXXII

Capítulo 3 – Geometria: noções iniciais XXXIII

Capítulo 4 – Divisibilidade: múltiplos e divisores XXXIV

Capítulo 5 – Frações XXXVI

Capítulo 6 – Operações com frações XXXVII

Capítulo 7 – Retas e ângulos XXXVIII

Capítulo 8 – Números decimais XXXIX

Capítulo 9 – Operações com números decimais XL

Capítulo 10 – Localização e polígonos XLII

Capítulo 11 – Medidas de comprimento e medidas de área XLIII

Capítulo 12 – Medidas de tempo, de massa, de temperatura, de volume e de capacidade XLIV

Avaliação diagnóstica XLVI

Unidade 1 (capítulos 1, 2 e 3) XLVII

Unidade 2 (capítulos 4, 5 e 6) LXVI

Unidade 3 (capítulos 7, 8 e 9) LXXXIII

Unidade 4 (capítulos 10, 11 e 12) XCV

Avaliação de resultado CXV

Orientações 1

Página Vcinco

ORIENTAÇÕES GERAIS

Princípios norteadores da coleção

A produção desta coleção foi concebida tendo em vista o Decreto nº 9.0999099, de 18 de julho de 2017, que normatiza o Programa Nacional do Livro e do Material Didático (PNLD), com o intuito de atender aos seis objetivos (Ium – aprimorar o processo de ensino e aprendizagem nas escolas públicas de educação básica, com a consequente melhoria da qualidade da educação; IIdois – garantir o padrão de qualidade do material de apoio à prática educativa utilizado nas escolas públicas de educação básica; IIItrês – democratizar o acesso às fontes de informação e cultura; IVquatro – fomentar a leitura e o estímulo à atitude investigativa dos estudantes; Vcinco – apoiar a atualização, a autonomia e o desenvolvimento profissional do professor; e VIseis – apoiar a implementação da Base Nacional Comum Curricular), além dos demais dispositivos. Conforme salientado pelo Edital de Convocação 01/2022, o PNLD 2024 – Anos Finais será disponibilizado em contexto pós-pandêmico. Nesse sentido, é necessário ter especial atenção ao objetivo IVquatro supracitado, a fim de buscar reparar, durante o ciclo do PNLD 2024, problemas decorridos do isolamento social (BRASIL, 2022, p.página 34). Assim, o intuito desta coleção é dar oportunidade aos estudantes de desenvolver a capacidade leitora, de modo que o aprendizado dos Anos Iniciais seja consolidado e eles se preparem para o Ensino Médio. Tendo esse panorama em vista, serão foco também, de formafórma transversal, a leitura e a pesquisa no apoio à implementação da BNCCBê êne cê cê.

O desenvolvimento da competência leitora e investigativa na linguagem da Matemática apresenta o desafio gerado pela relação entre duas linguagens diferentes: a língua materna e os símbolos matemáticos. A leitura é ferramenta essencial para a aprendizagem em qualquer área do conhecimento e, segundo Rocha, Melo e Lopes (2012, p.página 4), trata-se de “um processo de compreensão de expressões formais e simbólicas que se dá a conhecer através de várias linguagens”.

Smole, Cândido e Stancanelli (1997, p.página 13) ressaltam as colaborações que a leitura e a Matemática podem desenvolver:

a) relacionar as ideias matemáticas à realidade, de formafórma a deixar clara e explícita sua participação, presença e utilização nos vários campos da atuação humana, valorizando assim o uso social e cultural da matemática;

b) relacionar as ideias matemáticas com as demais disciplinas ou temas de outras disciplinas;

c) reconhecer a relação entre diferentes tópicos da matemática relacionando várias representações de conceitos ou procedimentos umas com as outras;

d) explorar problemas e descrever resultados usando modelos ou representações gráficas, numéricas, físicas e verbais.

Nesse sentido, na produção desta coleção, foi considerada essa abordagem metodológica, que integra a competência leitora nas aulas de Matemática, com o intuito de “estimular, de formafórma recorrente, o pluralismo de ideias, o pensamento crítico e a investigação científica” (BRASIL, 2022, p.página 39), operando como um verdadeiro fio condutor ao longo de toda a Educação Básica. Assim, busca-se uma competência leitora e investigativa, com caráter transversal e amplificado, que atue como bússola para o desenvolvimento de currículos de Matemática em consonância com os projetos político-pedagógicos de cada sistema e unidade de ensino.

Dessa formafórma, a coleção traz atividades cujo objetivo é permitir que os estudantes desenvolvam a capacidade de: (ium) produzir análises críticas, criativas e propositivas; (iidois) argumentar; e (iiitrês) inferir informações, visando promover a competência leitora, por meio da análise de diversos tipos de texto, orais e escritos, a fim de que utilizem o conhecimento matemático para compreender fenômenos e os relacionem com fatos cotidianos, do mundo, do ambiente e da dinâmica da natureza.

Na figura, a seguir, é proposto um modelo de desenvolvimento de competência leitora e investigativa, com os pilares que podem ser trabalhados para que os estudantes a atinjam.

Fonte: Elaborado pelos autores com base nas informações de SMOLE, K. C. S.; CÂNDIDO, P. T.; STANCANELLI, R. Matemática e literatura infantil. 2. ed.segunda edição Belo Horizonte: Lê, 1997.

Página VIseis

Tendo esse modelo em vista, você, professor, também pode adequar seu trabalho às habilidades específicas da área, listadas pela Base Nacional Comum Curricular (BNCCBê êne cê cê), e voltar seu olhar para as diversidades sociais e regionais, bem como para a reformulação curricular, considerando os desafios impostos pelo período pós-pandêmico.

Nesse sentido, além da revisão dos currículos, outro grande desafio envolve a garantia do direito à aprendizagem matemática aos estudantes. Demanda-se, assim, ações estruturadas entre os educadores para que haja um planejamento especial que apoie os estudantes a aprenderem os conceitos fundamentais em cada componente curricular da Educação Básica. Por isso, nesta coleção, ao longo das Orientações neste Manual, haverá subsídios para você, professor, a fim de que construa aulas em conjunto com professores de outras áreas do conhecimento.

Múltiplos foram os impactos da pandemia da covid-19côvid dezenóve na implementação da BNCCBê êne cê cê, de modo que diversas correções de rota se fazem necessárias, a fim de apontar caminhos de superação dos desafios impostos pela atual conjuntura, notadamente no que diz respeito ao caráter transversal do desenvolvimento de competências gerais e específicas da área de Matemática pelos estudantes.

A proposta orientadora da coleção, ao enfatizar de formafórma transversal a leitura e a pesquisa alinhadas aos princípios da BNCCBê êne cê cê, pode auxiliar na implementação nas unidades escolares, garantindo a aprendizagem nesse contexto de pós-pandemia. Além disso, a coleção oferece a possibilidade de definir trajetórias específicas para cada grupo de estudantes, de acordoacôrdo com seus desafios e interesses, por meio do planejamento de estratégias de apoio, respeitando os diferentes perfis e escolas.

A Base Nacional Comum Curricular

A Base Nacional Comum Curricular (BNCCBê êne cê cê) é um documento de caráter normativo que delimita um conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais aos estudantes, em seu desenvolvimento, ao longo da trajetória na Educação Básica (BRASIL, 2018). Sua origem remonta à Constituição de 1988 e à Lei de Diretrizes e Bases (LDBéle dê bê) de 1996. Esses documentos determinam que todas as crianças e jovens do país aprendam, independentemente da idade, da origem, da raça, da religião, do gênero ou de qualquer outro elemento que, porventura, possa ameaçar a equidade educacional.

As discussões que culminaram na homologação da versão final da BNCCBê êne cê cê, em 14 de dezembro de 2018, iniciaram-se, de modo mais efetivo, em 2015, embora já houvesse diversas propostas desde a publicação da Constituição Federal de 1988. Contudo, foi em 2015, com a aprovação do Plano Nacional de Educação, que o movimento pela Base ganhou o impulso necessário. Em 2017, seguiu para o Conselho Nacional de Educação para análise final. A versão preliminar da Educação Infantil e do Ensino Fundamental foi homologada em 20 de dezembro dessedêsse ano, ao passo que a Base do Ensino Médio, apenas no ano seguinte.

A linha do tempo a seguir traz os principais marcos que culminaram na publicação da BNCCBê êne cê cê.

Fonte: INSTITUTO REÚNA. Linha do tempo: documentos curriculares. [São Paulo, 2020?]. Disponível em: https://oeds.link/Rv7zzZ. Acesso em: 2 jul.julho 2022.

A Base prevê a formação integral do cidadão, desde a Educação Infantil até a conclusão do Ensino Médio. De modo geral, podemos dizer que o principal objetivo da BNCCBê êne cê cê é fomentar a qualidade da Educação Básica, em todos os níveis e modalidades, assegurando um ensino de qualidade para todos, com melhoria do fluxo, da aprendizagem e dos indicadores avaliativos. Para isso, a BNCCBê êne cê cê visa oferecer igualdade de oportunidades por meio da definição das aprendizagens essenciais que crianças e jovens precisam desenvolver ano a ano durante a Educação Básica.

Competências gerais da BNCCBê êne cê cê

Com a missão de atender às demandas do século XXIvinte e um de formar cidadãos participativos, conscientes e integrados à sociedade e ao mundo do trabalho, a BNCCBê êne cê cê propõe que, ao longo do percurso escolar, sejam desenvolvidas dez competências gerais da Educação Básica que se inter-relacionam, sobrepondo-se e interligando-se na construção de conhecimentos e habilidades e na formação de atitudes e valores. São elas:

Página VIIsete

Fontes: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília; DFDistrito Federal: 2018; INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEPInépi). Competências gerais da nova BNCCBê êne cê cê. Brasília, DFDistrito Federal: [c. 2018]. Disponível em: https://oeds.link/0yufpV. Acesso em: 11 maio 2022.

Página VIIIoito

Esse conjunto de competências gerais norteia e estrutura as competências específicas de todas as componentes curriculares, dos Temas Contemporâneos Transversais e dos Itinerários Formativos.

De nossa parte, buscamos, nesta coleção, propor atividades e situações para que os estudantes possam adquirir efetivamente as habilidades e competências específicas de Matemática, bem como as competências gerais preconizadas pela BNCCBê êne cê cê, em especial a 9.

A competência geral 9 e o conjunto das outras competências gerais prescritas na BNCCBê êne cê cê deverão ser desenvolvidos no decorrer do Ensino Fundamental (Anos Iniciais e Finais) e no Ensino Médio, explicitando o compromisso da educação brasileira com a formação humana integral e com a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Unidades temáticas de Matemática

A BNCCBê êne cê cê propõe profundas mudanças na educação, em todos os níveis de ensino e em todas as componentes curriculares. Com a Matemática, não seria diferente. Nessa área, a BNCCBê êne cê cê indica cinco unidades temáticas (Álgebra, Números, Grandezas e medidas, Geometria e Probabilidade e estatística), intrinsecamente relacionadas, que orientam a formulação de habilidades e competências a serem desenvolvidas, assim como objetos de conhecimento a serem explorados ao longo do Ensino Fundamental. Tais objetos de conhecimento compreendem conteúdos, conceitos e processos cognitivos referentes às habilidades.

No campo da Álgebra, o foco recai sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico. Busca-se explorar objetos de conhecimento que permitam relacionar cognição, percepção e competências socioemocionais ao reconhecimento de padrões e regularidades, associados às propriedades operatórias, às ideias de proporcionalidade e à equivalência, entre outros conceitos. Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, as equações não são mais trabalhadas de formafórma técnico-procedimental, que induz à memorização de algoritmos. Pelo contrário, privilegia-se a resolução de problemas contextualizados, para os quais as ferramentas algébricas revelam sua utilidade, envolvendo ou não equações e inequações.

A unidade temática Números dá menor destaque à construção dos conjuntos numéricos, buscando criar condições para que o estudante reconheça diversas categorias numéricas e operações matemáticas e elabore estratégias de cálculo mental, sem precisar necessariamente memorizar algoritmos. Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, os estudos iniciais são aprofundados, sobretudo no ensino das frações, com a investigação de suas diferentes concepções como número (elemento dos racionais), operador (aplicado a inteiros discretos ou contínuos) ou representante de relações parte-todo ou razão entre partes.

Essa unidade temática também apresenta estreita relação com a unidade Grandezas e medidas, valorizando mais as grandezas não convencionais, por serem mais realistas e aplicáveis a situações-problema comuns ao contexto social do século XXIvinte e um. Os conceitos de comprimento, massa, capacidade, área e temperatura estão alocados nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, ao passo que, nos Anos Finais, a ênfase é dada à resolução de problemas (que não é mais compreendida como uma metodologia de ensino, mas sim uma filosofia de ensino), envolvendo medidas e mensurações com diferentes unidades, padronizadas ou não. Alguns conceitos matemáticos elementares, como área e volume, permitem uma articulação intramatemática direta com a unidade temática Geometria.

Em Geometria na BNCCBê êne cê cê, os objetos de estudo relativos à Geometria Clássica permanecem, mas o destaque é dado para a Geometria das Transformações, tanto nos Anos Iniciais quanto nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Assim como acontece na Álgebra, alguns objetos de conhecimento foram antecipados para os Anos Iniciais, como simetria e semelhança, além de noções práticas de Geometria aplicadas a movimentos humanos e da natureza, de modo geral. Nos Anos Finais, a BNCC Bê êne cê cêsugere articular algoritmos e fluxogramas, desenvolvendo o pensamento computacional, além do próprio pensamento geométrico.

Por fim, temos a unidade Probabilidade e estatística. Desde os Anos Iniciais, o estudante é convidado a produzir conhecimento científico, realizando investigações estatísticas, desde a escolha do tema (de relevância social, política, econômica, cultural e ambiental), o delineamento da pesquisa e a coleta de dados até a análise e a divulgação dos resultados. Gráficos estatísticos e tabelas são introduzidos, em níveis de complexidade gradativamente maiores, dos Anos Iniciais até o Ensino Médio. Nos Anos Finais, há um grande salto qualitativo no campo da Probabilidade: do reconhecimento de fenômenos aleatórios, da presença do acaso no cotidiano e da perspectiva probabilística clássica, predominantemente teórica, até uma abordagem frequentista, empírica, que demanda elaboração, execução e análise de experimentos aleatórios e simulações com recursos computacionais.

Para desenvolver o que se espera em cada unidade temática, a BNCC Bê êne cê cêprevê um conjunto de objetos do conhecimento e habilidades relacionadas. É o trabalho com esses objetos e as habilidades que vai assegurar o desenvolvimento das competências específicas de Matemática, que, por sua vez, promoverá o desenvolvimento das competências gerais, conforme mostra o esquema a seguir.

Página IXnove

Além dessa articulação entre unidades temáticas, objetos do conhecimento, habilidades e competências, espera-se que sejam contemplados os Temas Contemporâneos Transversais (TCTstê cê tês). Nesta coleção, ao se trabalhar determinado conteúdo de uma unidade temática, contextualizado de acordoacôrdo com os TCTstê cê tês, há nas Orientações neste Manual indicações ao professor para que entenda como esse conteúdo se articula com outras temáticas e, quando for o caso, com outras disciplinas.

Competências específicas e as habilidadesde Matemática para o Ensino Fundamental

Contemplar as diversas demandas apresentadas na BNCCBê êne cê cê para a área da Matemática constitui um grande desafio para os professores. No entanto, elas estão lá justamente para auxiliar os docentes, apontando direções, para que se atinjam os resultados desejados no processo de aprendizagem. As habilidades específicas de cada unidade temática, apresentadas em gradativa elevação do grau de complexidade, indicam um caminho para a organização e a gestão das situações de aprendizagem. Nesse sentido, faz-se necessário definir o que são competências e habilidades.

Uma competência pressupõe a existência de recursos mobilizáveis, mas não se confunde com eles. Nenhum recurso pertence exclusivamente a uma competência, pois pode ser mobilizado por outras. Dessa formafórma, a maioria dos conceitos é utilizável em muitos contextos e está a serviço de muitas intenções. Ocorre o mesmo com os conhecimentos. Philippe Perrenoudfílipe perrenô (2000) define competência como a capacidade de agir eficientemente em determinado tipo de situação, com o apoio de conhecimentos, mas sem se limitar a eles. Quase toda ação mobiliza conhecimentos, algumas vezes elementares, outras vezes complexos e organizados em rede.

Já Macedo (2009) estabelece que competência é um conjunto de saberes, de possibilidades ou de repertórios de atuação e compreensão. A BNCCBê êne cê cê, por sua vez, entende competência “como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p.página 8). Assim, as dez competências gerais definidas pela BNCCBê êne cê cê são aquelas que “[se inter-relacionam] e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica [...reticências], articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e valores”. A Base também indica competências específicas por área do conhecimento, uma vez que cada uma tem suas características.

De acordo acórdocom a BNCCBê êne cê cê, o componente curricular de Matemática deve garantir aos estudantes, no decorrer dos anos do Ensino Fundamental (Anos Iniciais e Finais), o desenvolvimento das seguintes competências específicas:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma fórmacooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles (BRASIL, 2018, p.página 267).

Sobre as habilidades matemáticas presentes na BNCCBê êne cê cê, vale a pena discutirmos alguns aspectos elementares sobre o tema. Primeiro, conforme a BNCCBê êne cê cê, as “habilidades expressam as aprendizagens essenciais que devem ser asseguradas aos estudantes nos diferentes contextos escolares” (BRASIL, 2018, p.página 29). Por mais que o professor organize as situações de aprendizagem do estudante almejando que ele desenvolva essa ou aquela habilidade, quando dá liberdade aos jovens, estes sempre apresentam respostas inusitadas. É uma grata surpresa quando, ao promover a discussão sobre as respostas, na institucionalização (BROUSSEAUBrussô, 1986), por meio de um quadro de respostas, por exemplo (SMOLE; DINIZ, 2009), o professor depara-se com uma solução mais rápida, mais prática, mais elegante, mais criativa do que a maioria dos estudantes e, às vezes, que ele mesmo pensou. Isso significa que planejamos o desenvolvimento de algumas habilidades específicas nas atividades matemáticas, mas aquelas que os estudantes desenvolverão não dependem exclusivamente do professor.

Nesta coleção, nossa intenção é consolidar, aprofundar e ampliar os conhecimentos, as habilidades, as atitudes e os valores desenvolvidos nos Anos Iniciais relacionados à Matemática. Muitas das atividades propostas estão contextualizadas às vivências dos estudantes e trabalham com observações empíricas do mundo real, a fim de que eles desenvolvam a capacidade de estabelecer relações entre essas observações e suas representações (tabelas, figuras e esquemas), fazendo induções e conjecturas.

As competências gerais e específicas da BNCCBê êne cê cê na coleção

A presente coleção, em sua organização, possui uma estrutura que favorece o desenvolvimento das competências gerais e específicas, bem como das habilidades propostas para a Matemática, indicadas na BNCCBê êne cê cê.

Página Xdez

Os capítulos da coleção estão agrupados em quatro unidades. A seguir, descrevemos de que modo a coleção está alinhada às competências gerais e específicas.

Toda Unidade começa e termina com um texto relacionado às vivências do estudante ou a assuntos que abordam temas ou fatos de interesse dele. Cada texto possui questões relacionadas ao tema em foco, à vida do estudante, ao que ele já sabe e a conceitos abordados no decorrer da Unidade. Dessedêsse modo, é possível “valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade [...reticências]” (competência geral 1), permitindo aos estudantes também, “exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses [...reticências]” (competência geral 2). Atrelada a essas duas competências gerais (1 e 2), está a competência específica 2, “desenvolver [...reticências] a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo” (BRASIL, 2018, p.página 9; p.página 267).

Em alguns textos de abertura e na seção Compreender um texto, os estudantes lidam com diferentes manifestações artísticas (competência geral 3), valorizam a diversidade de saberes e vivências culturais (competência geral 6), argumentam com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 7) e exercitam a empatia, o diálogo e a cooperação (competência geral 9). Além disso, a seção contribui para que os estudantes compreendam as relações entre conceitos dos diferentes campos da Matemática e de outras áreas do conhecimento (competência específica 3) e para que discutam diferentes questões com seus pares (competência específica 8).

Discutindo juntos e, posteriormente, compartilhando as ideias, os estudantes poderão, nas atividades em grupos ou em duplas propostas na coleção, “exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade dos indivíduos” (competência geral 9), agindo “com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários” (competência geral 10) (BRASIL, 2018, p.página 10).

O trabalho em grupo e sua socialização remetem à competência específica 8 (interagir com seus pares de formafórma cooperativa, resolvendo as questões, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles), reforçando as competências gerais 9 e 10, citadas anteriormente.

Vários textos da coleção remetem a discussões de projetos que apresentam questões sociais, valorizando sempre a diversidade de opiniões (competência específica 7).

No desenvolvimento dos capítulos de cada Unidade, a construção dos conceitos trabalhados é feita, na maioria das vezes, com base em situações vivenciadas pelos estudantes, permitindo que eles os liguem à realidade, de modo que tenham melhor compreensão dela. Há espaços para pensar, analisar e aplicar os conhecimentos que remetem à competência geral 1, valorizando e utilizando os conhecimentos construídos pela humanidade para entender e aplicar à realidade e, assim, continuar aprendendo e colaborando com a sociedade. Dessa formafórma, reconhece-se que “a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, que contribui para solucionar problemas” (competência específica 1) (BRASIL, 2018, ppágina.ponto 267). Nos capítulos em que a história da Matemática é resgatada, permite-se compreender o percurso percorrido pela humanidade, valorizando, assim, a diversidade de saberes e vivências culturais, apropriando-se de conhecimentos e experiências (competência geral 6).

As propostas de variadas atividades para serem resolvidas ao longo dos capítulos (problemas, questionamentos, investigações, análises, descobertas, reflexões) permitem desenvolver as competências específicas 2, 3, 5 e 6, pois os estudantes, por meio delas, vão “desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes” (competência específica 2), “compreender as relações entre os conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática e de outras áreas do conhecimento” (competência específica 3) e utilizarão “processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas do conhecimento” (competência específica 5). É possível também desenvolver a competência específica 6, pois, ao resolver as atividades, os estudantes podem “expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e em outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados)” (BRASIL, 2018, p.página 267).

Além disso, ao resolver as atividades propostas nos capítulos, individualmente ou em grupo, o estudante poderá apresentar argumentos para suas ideias e hipóteses (competência geral 7) utilizando-se de diferentes linguagens – verbal, corporal, visual, sonora e digital – para expressar-se (competência geral 4). Essas ações dialogam com as competências específicas 2 e 5.

Se as atividades propostas forem em grupo, as competências gerais 9 e 10, já citadas anteriormente, estarão em desenvolvimento com a competência específica 8, pois, assim, os estudantes interagirão com seus pares de formafórma cooperativa, trabalhando coletivamente para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

A seção Estatística e Probabilidade e a seção Informática e Matemática favorecem a compreensão e a utilização das tecnologias digitais de formafórma significativa (competência geral 5), pois em variadas atividades é indicado o uso de softwares (de Geometria dinâmica e outros) para fazer investigações e construções, verificar hipóteses e organizar dados em tabelas e gráficos que representem o resultado de uma pesquisa, tornando o estudante protagonista de sua aprendizagem.

A seção Informática e Matemática também contribui para que os estudantes exercitem a curiosidade intelectual e desenvolvam o raciocínio lógico e o espírito investigativo para elaborar e testar hipóteses (competência geral 2 e competência específica 2). Ainda por meio dessa seção, os estudantes utilizam as tecnologias digitais para resolver problemas e validar resultados (competência específica 5).

As propostas da coleção permitem estabelecer e “compreender as relações entre os conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade)” (competência específica 3), além de possibilitar aos estudantes “fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes” (competência específica 4), utilizar ferramentas matemáticas, inclusive as digitais, para resolver os problemas propostos (competência específica 5) e “expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados)” (competência específica 6) (BRASIL, 2018, p.página 267).

Página XIonze

A competência geral 3 (“valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas”) aparece nas situações em que obras artísticas são apresentadas para facilitar a compreensão dos conceitos que estão sendo trabalhados (BRASIL, 2018, p.página 9).

Na seção Trabalho em equipe, as diferentes propostas abordam as competências gerais 9 e 10, porque, por meio das trocas para se chegar ao produto final (proposta solicitada), estão em jogojôgo a empatia, a cooperação, o diálogo e o respeito ao outro, acolhendo e valorizando a diversidade dos saberes e de ideias, sem preconceitos de qualquer tipo (competência geral 9). Caminham juntas a responsabilidade, a flexibilidade, a resiliência, a autonomia e a tomada de decisões com base em princípios éticos e democráticos (competência geral 10). No que se refere às competências específicas relacionadas à seção Trabalho em equipe, estão a 7 (“desenvolver e/oue ou ou discutir projetos que abordem questões de urgência social, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos, sem preconceitos de qualquer natureza”) e a de número 8 ("trocar com os pares, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, respeitando o modo de pensar de cada um") (BRASIL, 2018, p.página 267).

Conforme algumas propostas de trabalho, pode ser atendida também a competência geral 8 (“compreender-se na diversidade humana para cuidar de sua saúde física e emocional”) (BRASIL, 2018, p.página 9).

Vale ainda ressaltar que, para produzir o solicitado em cada seção, os estudantes lançarão mão de diferentes linguagens para expressar suas respostas e sintetizar e compartilhar informações, ideias e conclusões (competência geral 4 e competência específica 4).

A seção Educação financeira apresenta diferentes situações nas quais os estudantes, ao pensar no que fariam se a vivessem, calculam e exercitam as competências gerais 1, 2, 4, 6, 7, 9 e 10, uma vez que se utilizarão de conhecimentos historicamente construídos, recorrendo ao pensamento científico, crítico e criativo para elaborar e testar suas hipóteses, argumentando, utilizando diferentes linguagens para expressar suas ideias e valorizando a diversidade de saberes dos grupos. No que se refere às competências específicas, podem ser desenvolvidas a 1 (Matemática como fruto das necessidades do ser humano), a 2 (argumentar), a 3 (compreender as relações entre as diferentes áreas da Matemática), a 4 (fazer observações sistemáticas/argumentação), a 5 (utilizar diferentes ferramentas para resolver os problemas), a 6 (expressar as respostas utilizando diferentes registros e linguagens) e a 8 (trabalhar em grupo respeitando as diferenças) (BRASIL, 2018, p.página 267).

Na seção Para finalizar, os estudantes vão observar, retomar, registrar e novamente terão a oportunidade de desenvolver a competência geral 1 (conhecimentos), a 2 (pensamento científico, crítico e criativo), a 4 (comunicação) e a 7 (argumentação), indo ao encontro das específicas já citadas anteriormente: 1, 2, 3, 4, 6 e 7 (discutir projetos que abordem questões sociais, valorizando a diversidade de opiniões).

A mobilização das competências gerais e específicas, fortalecida pelo desenvolvimento das habilidades, permitirá aos estudantes exercitar o “saber fazer”, utilizando-o em favor do seu crescimento pessoal como cidadão qualificado para o mundo do trabalho, participante de uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva.

A seguir, apresentamos um quadro-resumo que mostra a associação entre as competências gerais e específicas e algumas seções da coleção.

Há vários caminhos para o desenvolvimento dessas competências. Destacamos dois: exploração dos conhecimentos prévios do estudante e resolução de problemas.

Exploração dos conhecimentos prévios

Hoje, considera­‑se que o conhecimento escolar não é restrito aos conteúdos dos livros didáticos, nem somente aos conhecimentos dos professores. O estudante dessedêsse segmento já passou por diversas vivências escolares e familiares e, portanto, já acumulou certa “bagagem”. Esses conhecimentos adquiridos, na escola ou forafóra dela, são chamados de conhecimentos prévios. Para muitos teóricos, como David Ausubel, eles são considerados uma âncora na aprendizagem de um novo conceito, em que o antigo conceito é modificado ou detalhado para se obter um novo. Ou seja, o novo se integra à estrutura cognitiva do estudante, ancorando­‑se em um conhecimento antigo.

Segundo Ausubel, a essência do processo de aprendizagem significativa está em que ideias simbolicamente expressas sejam relacionadas de maneira não arbitrária e substantiva (não literal) ao que o aprendiz já sabe, ou seja, a algum aspecto relevante da sua estrutura de conhecimento (i.e., um subsunçor que pode ser, por exemplo, algum símbolo, conceito ou proposição já significativo (MOREIRA; MASINI, 1982, p.página 13-14).

Entendemos, então, que a aprendizagem terá significado se, antes de introduzir um novo conceito, o professor retomar um conteúdo matemático que os estudantes já dominam ou partir de uma situação do dia a dia, para que haja interação dessedêsse conhecimento com o novo.

Esse processo se contrapõe ao aprendizado mecânico, em que os estudantes devem saber resolver tipos de atividade ou decorar um conceito. A retomada de um conteúdo matemático e a conexão com um novo conceito permitem perceber algumas relações da rede de conceitos.

Outro aspecto relevante é a introdução de um conceito ancorado em uma situação cotidiana, o que, além de resgatar os conhecimentos prévios, pode ser motivador, criando um ambiente favorável ao aprendizado.

Também é preciso lembrar que o conhecimento matemático pode ser apresentado em relação com os contextos que lhe deram origem ou que demandam sua aplicação. Trata­‑se de um conhecimento historicamente construído, em estreita conexão com a realidade das comunidades que o produziram e com as outras ciências que nele se embasam, que lhe propõem novos problemas ou que utilizam seus instrumentos.

Resolução de problemas

Os aspectos estruturais da Matemática abarcam conhecimentos de termos, procedimentos e conceitos usualmente ensinados nas escolas, mas também incluem saber de que formafórma esses aspectos são estruturados e empregados. Muitas vezes, os estudantes estão familiarizados com os aspectos estruturais da Matemática, mas não conhecem a natureza dessedêsse conhecimento ou a maneira de utilizá‑lo na resolução de um problema. Eles devem ser capazes de aplicar a Matemática aprendida na escola – problemas de livros didáticos – na vida diária, em contextos menos estruturados, nos quais as instruções não são tão claras.

Página XIIdoze

Mesmo havendo concordância de que um problema se caracteriza por uma situação da qual se deseja partir para, por meio de uma série de operações, chegar a um estado final, existem diferenças entre os problemas escolares e os problemas do cotidiano. Em geral, os problemas do cotidiano são mais difíceis, por ser maior a quantidade de conhecimentos necessários à sua solução. Dessa formafórma, a natureza do problema e o tipo de conhecimento prévio que o sujeito que executa a tarefa possui são dois fatores relevantes no estudo dos processos de solução de problemas.

Cabe destacar que um aspecto importante da representação matemática de um problema é o conhecimento prévio que os estudantes têm sobre o assunto. Segundo Chi & Glaser (1992), ao formar uma representação do problema, os estudantes recuperam na memória os procedimentos adequados à situação. É essa representação que orienta a recordação de tais procedimentos. Ao deparar com um problema, os indivíduos recorrem a esquemas já assimilados que lhes permitem formar uma representação apropriada da situação.

Os estudantes devem, assim, tomar decisões quanto à relevância de certo conhecimento naquela situação e à maneira de aplicá‑lo da formafórma mais útil, ou seja, devem aprender a empregar a Matemática em situações diversificadas.

A resolução de problemas requer dos estudantes o uso de competências e habilidades adquiridas durante sua escolarização e em experiências de vida. O processo de resolução de problemas é chamado pela Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico (OCDEÔ cê dê É), no documento PISA 2022 Quadro Conceptual de Matemática Draft (2018), de modelagem matemática. Esse processo pode ser entendido em etapas:

• partir de um problema situado na realidade;

• organizá‑lo de acordoacôrdo com conceitos matemáticos e identificar ideias matemáticas relevantes;

• delimitar gradualmente a realidade por meio de processos, como formular premissas, generalizar e formalizar, que promovem os aspectos matemáticos da situação e transformam o problema do mundo real em um problema matemático que represente a situação;

• resolver o problema matemático;

• dar sentido à solução em termos de situação real, identificando as limitações da solução do problema real.

A modelagem matemática envolve, inicialmente, traduzir um problema da vida real para a Matemática. Esse processo inclui atividades como:

• identificar a Matemática relevante em relação a um problema situado na realidade;

• representar o problema de formafórma diferente, organizá‑lo de acordoacôrdo com conceitos matemáticos e formular premissas apropriadas;

• compreender relações entre a linguagem do problema e a linguagem simbólica e formal necessária para interpretá‑lo matematicamente;

• encontrar regularidades, relações, padrões;

• reconhecer aspectos isomórficos em relação a problemas conhecidos;

• traduzir o problema para um modelo matemático.

Uma vez traduzido o problema para o modelo matemático, todo o processo deve prosseguir dentro da Matemática, empregando habilidades conhecidas. Essa parte do processo de modelagem inclui o uso de:

• diferentes representações e a conversão entre tais representações;

• linguagem e operações simbólicas, formais e técnicas;

• modelos matemáticos;

• argumentação;

• generalização.

O último passo do processo de resolução de problemas envolve a reflexão sobre todo o processo de modelagem matemática e seus resultados. Há necessidade, então, de interpretar os resultados com atitude crítica e de validar todo o processo. Nesse momento, o processo de modelagem passa da solução matemática para a solução real.

Um ponto importante é que, muitas vezes, acredita-se que as dificuldades apresentadas pelos estudantes ao ler e interpretar um problema ou exercício de Matemática estão associadas à pouca habilidade que eles têm para leitura nas aulas da língua materna. É cada vez mais importante que a leitura seja objeto de preocupação também nas aulas de Matemática, o que envolve não apenas a decodificação de termos e sinais específicos, mas também a compreensão da linguagem matemática e a organização da escrita, nem sempre similar à que encontramos nos textos da língua materna, o que exige um processo particular de leitura.

Uma das dificuldades dos estudantes ao resolver problemas está ligada à ausência de um trabalho específico com o texto do problema. O estilo com que os problemas de Matemática geralmente são escritos, a falta de compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos da Matemática – que, portanto, não fazem parte do cotidiano do estudante – e até mesmo de palavras que têm significados diferentes na Matemática e forafóra dela – como “total”, “diferença”, “ímpar”, “fração”, “média”, “volume”, “produto” – podem constituir obstáculos à compreensão de um problema. É imprescindível que o professor esteja atento a isso e ciente de que uma de suas tarefas mais importantes é ajudar os estudantes a resolver um problema; e isso não é fácil, pois demanda tempo e dedicação. Os estudantes devem adquirir experiência em trabalhar de formafórma autônoma, mas, se forem deixados sozinhos para resolver um problema, sem a ajuda do professor, talvez não progridam. Se, no entanto, o professor ajudar demais, também não progredirão.

Um problema envolve três componentes: as situações ou os contextos em que se situa o problema, o conteúdo matemático que deve ser utilizado para resolver o problema e as competências a serem ativadas para conectar a Matemática e o mundo real em que o problema é gerado.

Situações ou contextos

As situações ou os contextos em que se situam os problemas podem ser da vida real ou da própria Matemática. O contexto envolve todos os elementos para a resolução de um problema.

Um aspecto importante a avaliar é o “fazer Matemática em qualquer situação”. Estudos mostram que a escolha de procedimentos e representações matemáticos depende da situação em que um problema é apresentado. Para a OCDEÔ cê dê É, há quatro tipos de contexto. São eles: o pessoal, que envolve atividades sobre o estudante, sua família ou conhecidos; ocupacional, que se relaciona ao mundo do trabalho; social, que se refere às questões da comunidade (local, nacional ou global); e científico, que são os tópicos relacionados à ciência e à tecnologia (OCDEÔ cê dê É, 2018, p.página 29-30).

O contexto de um problema inclui todos os elementos detalhados usados para formulá-lo, incluindo os aspectos matemáticos.

Página XIIItreze

Um problema da vida real deve oferecer um contexto autêntico para o uso da Matemática. Se uma tarefa se refere a objetos, símbolos ou estruturas matemáticas e não faz referência a termos estranhos ao mundo da Matemática, o contexto da tarefa é considerado intramatemático, e a tarefa é classificada como pertencente a uma situação científica. Mas os problemas encontrados nas vivências dos estudantes não são formulados em termos explicitamente matemáticos; eles se referem a objetos do mundo real. Esses contextos de tarefa são denominados extramatemáticos, e os estudantes precisam traduzi­‑los para uma formafórma matemática. Cabe destacar que é possível ainda introduzir nas atividades matemáticas um contexto hipotético, desde que apresente alguns dados reais, isto é, desde que não esteja tão distante da vida real, e permita o uso da Matemática para solucioná­‑lo.

Conteúdos matemáticos

O próximo componente do mundo real que deve ser considerado é o conteúdo matemático a que os estudantes recorrem na resolução de um problema. Os conteúdos matemáticos são apresentados nos currículos em torno de grandes eixos ou temas. O documento PISA 2022 Quadro Conceptual de Matemática Draft destaca essa organização em quatro categorias: quantidade; incerteza e dados; variações e relações; e espaço e formafórma (OCDEÔ cê dê É, 2018, p.página 10).

Já a BNCCBê êne cê cê orienta a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental por meio das cinco unidades temáticas – Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística –, que devem ser exploradas de formafórma integrada e com ênfase variável, dependendo do ano de escolarização.

Competências

As competências matemáticas necessárias para resolver um problema relacionam­‑se com a natureza do problema, com o sistema de representações utilizado e com os conteúdos envolvidos. Quando se fala em competências matemáticas, com alguma frequência elas são identificadas com as competências elementares de cálculo ou, no máximo, com competências para efetuar algumas operações algébricas. Trata­‑se de uma ideia equivocada. Aprender procedimentos de cálculo isolados, por si só, não promove o contato dos estudantes com as ideias e os modos de pensar fundamentais da Matemática e não garante que sejam capazes de ativar os conhecimentos relevantes quando tiverem de enfrentar as situações­‑problema ­– mesmo as mais simples ­– que surgem em contextos diferentes.

Temas Contemporâneos Transversais (TCTstê cê tês)

Para trabalhar com as mudanças preconizadas pela BNCCBê êne cê cê e garantir a aprendizagem efetiva de todas as crianças e de todos os jovens do país, esta coleção traz diferentes situações de ensino de Matemática e de contextualização desses TCTstê cê tês. Neste Manual, o professor terá subsídios para fazer essa articulação entre unidades temáticas e TCTstê cê tês, por meio das orientações das atividades, nas quais terão indicação de cada Tema Contemporâneo Transversal trabalhado.

Os TCTstê cê tês servem para contextualizar os conteúdos a serem ensinados, de modo a trazer assuntos de interesse dos estudantes e que sejam relevantes para que se desenvolvam como cidadãos (BRASIL, 2019a, p.página 7). Assim, nesta coleção os Temas Contemporâneos Transversais foram contemplados por meio de diferentes atividades, buscando garantir aquilo que a BNCCBê êne cê cê preconiza a seu respeito:

[...reticências] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de formafórma transversal e integradora (BRASIL, 2018, p.página 19).

Os TCTstê cê tês não se referem a uma área específica, mas a todas elas, e são eles:

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCCBê êne cê cê: Contexto Histórico e Pressupostos Pedagógicos. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2019a.

Página XIVcatorze

Nesta coleção, os TCTstê cê tês aparecem indicados por ícones, de acordoacôrdo com sua macroárea.

Letramento matemático

A BNCCBê êne cê cê, bem como os currículos que dela emergem, ressaltam a importância da promoção do letramento em suas mais diversas manifestações: financeira, cartográfica, estatística, computacional, entre outras, incluindo o multiletramento. O mundo precisa de bons leitores, de pessoas que saibam interpretar as informações com facilidade e rapidez. Isso é verdade em todas as áreas e, em Matemática, não seria diferente.

Se, nas gerações anteriores, obter acesso à informação era dificultoso, no século XXIvinte e um a situação é bem diferente. Estamos imersos em dados, e muitos deles podem ter origem e qualidade duvidosas. O aprimoramento das competências leitoras instrumentaliza o cidadão a ler o mundo, a compreendê-lo melhor e, assim, ser capaz de tomar decisões assertivas embasadas em evidências científicas.

KleimanClêiman (1995) acredita que o letramento tem poder transformador sobre a ordem social. Dá ao indivíduo empoderamento que permite o acesso e a manipulação da informação. Segundo essa autora, o termo “letramento” surgiu nos meios acadêmicos durante a busca por uma formafórma de separação das investigações sobre os impactos da escrita sobre a sociedade e as investigações sobre os processos individuais de alfabetização. De modo simplista, a alfabetização está para a esfera individual assim como o letramento está para a esfera social.

Soares (2016), por sua vez, aponta duas dimensões de letramento, intrinsecamente relacionadas: a individual e a social. Individualmente, a pessoa letrada é aquela que tem domínio satisfatório sobre as tecnologias mentais de ler e escrever. No que se refere à dimensão social, o letramento é compreendido como um fenômeno cultural que reúne um conjunto de atividades sociais que dependem, direta ou indiretamente, da língua escrita. Nessa perspectiva, letrado é o indivíduo capaz de participar plenamente das atividades que requerem letramento em seu grupo social e em sua comunidade. Mais do que ler e escrever, letramento implica interação social consciente e crítica. E como isso está relacionado ao letramento matemático?

Segundo o PISA 2022 (OCDEÔ cê dê É, 2018, p.página 7), o letramento matemático é a capacidade de um indivíduo de raciocinar matematicamente e de formular, empregar e interpretar a Matemática para resolver problemas em distintos contextos reais. Incluem-se raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticos para descrever, explicar e predizer fenômenos. Dessa maneira, possibilita aos indivíduos reconhecer o papel que a Matemática exerce no mundo, de modo que sejam cidadãos construtivos, engajados e reflexivos que possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar decisões.

Smole e Diniz (2009, p.página 15) ressaltam que “aprender Matemática exige comunicação, pois é através dos recursos da comunicação que as informações, os conceitos e as representações são veiculados entre as pessoas”. Um recurso básico da comunicação, além da oralidade, é a escrita, pois possibilita o enquadramento da realidade. Ler, interpretar, reorganizar as ideias, representar graficamente (escrita em língua materna, gráficos, diagramas, tabelas, quadros), expressar ideias oralmente e argumentar com base em dados são habilidades necessárias para a autonomia plena na sociedade da informação.

Em consonância com essas ideias, a BNCCBê êne cê cê orienta:

O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogojôgo intelectual da matemática, como o aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição) (BRASIL, 2018, p.página 266).

Página XVquinze

Não vamos, nesse momento, nos aprofundar nessa discussão, pois ela será retomada, sempre que necessário, ao longo desta obra, mas, para ilustrar a ideia, trazemos aqui uma das facetas do letramento.

Fonte: CAZORLA, I. M.; UTSUMI, M. C. Reflexões sobre o ensino de Estatística na Educação Básica. In: CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. S. (org.organizador). Do tratamento da informação ao letramento estatístico. Itabuna: Via Litterarum, 2010.

O letramento estatístico exemplifica como elementos cognitivos e afetivos, intrinsecamente relacionados às competências socioemocionais, articulam-se para ampliar a visão de mundo das pessoas – em nosso caso, do estudante, que é o centro de nossas atenções nos processos de ensino e de aprendizagem.

Tendo em vista a relevância dessedêsse tema, esta coleção se propõe a oferecer recursos didáticos para dar subsídios ao professor na gestão e no desenvolvimento de situações de aprendizagem que visem promover o letramento matemático nos estudantes, de modo que desenvolvam a capacidade de raciocinar, representar, comunicar e argumentar.

Sabemos que, muitas vezes, promover esse letramento nos estudantes é uma tarefa árdua tendo em vista as dificuldades enfrentadas no âmbito escolar. Estas podem estar relacionadas à infraestrutura da escola (desde o acesso a saneamento básico até a falta de recursos, como bibliotecas, laboratórios etc.etcétera), à realidade socioeconômica da região, aos diferentes perfis dos estudantes, entre outras. Na sala de aula, o professor tem o desafio de lidar com turmas numerosas, que abarcam estudantes dos mais diferentes perfis, podendo ser jovens com deficiências, que retornaram de evasão escolar, que conciliam trabalho e estudo, que têm diferenças significativas de conhecimentos, habilidades, atitudes e valores.

Nesse sentido, uma das formas de se trabalhar com grupos grandes de formafórma mais eficaz é pensar nas tarefas matemáticas propostas. A professora Jo Boaler, autora do livro Mentalidades Matemáticas, propõe o uso das tarefas abertas, pois permitem a participação de toda a turma. Segundo ela, toda tarefa pode ser transformada em uma tarefa aberta desde que se pergunte aos estudantes “sobre suas diferentes maneiras de ver e resolver questões matemáticas e encorajando a discussão dos diversos modos de ver os problemas” (2018, p.página 83). Outro ponto é oferecer diferentes opções de tarefa com distintos níveis e áreas da Matemática envolvidos, as quais são escolhidas pelo estudante e não pelo professor. É uma mudança de ponto de vista, o que possibilitará ao estudante escolher as próprias rotas de aprendizagem, “encontrando conteúdo individualizado, acompanhado por oportunidades para o trabalho em grupo e colaboração” (2018, p.página 104).

Página XVIdezesseis

Essa autora também sugere o uso das estratégias equitativas com o objetivo de tornar a Matemática mais inclusiva. Como uma formafórma de melhorar o desempenho coletivo, ela propõe que se ofereçam conteúdos matemáticos de alto nível a todos os estudantes e não somente àqueles que sempre tiram as melhores notas. Isso está imbricado a outra ideia que precisa ser mudada: a de que somente alguns podem ter êxito na Matemática. Por isso, é preciso oportunizar a todos – meninos e meninas, ricos e pobres, brancos, pardos e pretos – o pensar profundamente a Matemática. Isso implica, por sua vez, trazer experiências práticas, um currículo baseado em projetos e com aplicabilidade na vida real, além de trabalhar colaborativamente, o que, por sua vez, precisa ser ensinado. Trabalhar em grupo é fundamental para um bom desempenho matemático. E, por último, é preciso rever a ideia do dever de casa. Para a autora, é necessário mudar a natureza das tarefas, fazendo “perguntas que os incentive a pensar na matemática da aula e focar as ideias fundamentais” que são importantes para a aprendizagem (2018, p.página 94).

Pensamento computacional

A evolução de técnicas e tecnologias representa um desafio para a formação de cidadãos construtivos, engajados e reflexivos. Nesse sentido, o Pisa 2022 (OCDEÔ cê dê É, 2018) compreende a Matemática no contexto de um mundo em rápida mudança, em que os indivíduos formulam juízos e tomam decisões não rotineiras para utilização individual e no âmbito da sociedade em que vivem. Isso coloca em foco a capacidade de raciocinar matematicamente, que sempre fez parte do quadro conceitual do Pisa, conforme a figura a seguir.

Fonte: ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO E O DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO (OCDEÔ cê dê É). Pisa 2022: quadro conceptual de Matemática. 2018. Disponível em: https://oeds.link/FSa7dH. Acesso em: 2 jul.julho 2022.

Essa mudança tecnológica também cria a necessidade de os estudantes entenderem os conceitos de pensamento computacional que fazem parte da literacia matemática. Interpretar e avaliar na perspectiva do raciocínio matemático, segundo o Pisa 2022 (OCDEÔ cê dê É, 2018), inclui atividades em que se utilizam o pensamento matemático e o pensamento computacional para fazer previsões e fornecer evidências para argumentar, testar e comparar soluções propostas.

O conceito de pensamento computacional, de acordoacôrdo com a definição de WingUín (2006), está estritamente associado às ideias de resolução de problemas, design de sistemas e compreensão de comportamentos norteados por conceitos fundamentais da Ciência da Computação. Na concepção dessedêsse autor, o desenvolvimento do pensamento computacional ao longo da Educação Básica deve ser abordado nas perspectivas de conceituar em vez de programar; de contrapor habilidade fundamental e não utilitária; de complementar e combinar a Matemática com a Engenharia – ou seja, a Matemática como base de inovação para o crescimento econômico via ciência, tecnologia e engenharia –; de gerar ideias, e não artefatos; de ser para todos e estar em qualquer lugar.

Página XVIIdezessete

O pensamento computacional configura-se como uma habilidade voltada à resolução de problemas de maneira sistemática, ou seja, uma habilidade que consiste em abstrair as informações de determinado problema, identificar padrões que geram esse tipo de problema e, finalmente, propor uma solução algorítmica, na qual se obtém a solução de uma classe de problemas por meio de uma sequência finita e bem definida de passos a serem seguidos, a exemplo da figura a seguir.

Fonte: Os autores.

Apesar de haver indícios da transferência de competências entre os domínios da Matemática e do pensamento computacional, faz-se necessário um mapeamento no corpo de conhecimentos de ambas as áreas. A articulação entre pensamento computacional e Matemática exige clara identificação dos momentos em que essa relação pode ocorrer ao longo do currículo escolar (BARCELOS; SILVEIRA, 2012).

São exemplos dessa proximidade a ideia de variável e a identificação de padrões em sequências. Além disso, em Matemática, é muito comum encontrarmos o termo “algoritmo”; por exemplo, algoritmo da adição, algoritmo da subtração, algoritmo da divisão euclidiana e afins.

Nesse sentido, a BNCCBê êne cê cê, para a área de Matemática, enfatiza processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação e de desenvolvimento, considerados potencialmente ricos para o acréscimo de competências fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional. Este último é evidenciado na apresentação da área nas orientações de trabalho na unidade temática Álgebra conforme a seguir:

Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a Números, Geometria e Probabilidade e estatística, podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.

Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que podem ser objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que permite resolver um determinado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um procedimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos (BRASIL, 2018, p.página 271).

Página XVIIIdezoito

Assim, em consonância com as ideias propostas na BNCCBê êne cê cê e no Pisa 2022, esta coleção dá a oportunidade de os estudantes desenvolverem noções de pensamento computacional, com a identificação de padrões, por meio de propostas de atividades ou exploração de conceitos que permitem que eles usem diferentes processos cognitivos, como analisar, compreender, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções. Esse conteúdo aparecerá em boxes, intitulados Pensamento computacional, ou em atividades, nas quais será identificado com o ícone de mesmo nome, que apresentam situações que ajudarão os estudantes a organizar sistematicamente o pensamento no processo de resolução de um problema. Neste Manual, haverá sugestões e orientações para o professor para o trabalho com o pensamento computacional.

Níveis de conhecimento

Este item descreve os três níveis de conhecimento que podem ser acionados em uma atividade matemática.

Para promover uma diversidade de possibi­lidades, é fundamental considerar o nível de conhecimento ativado na resolução de uma questão. Sugere­‑se como referência a classificação de Aline Robertróbert, que, em seu artigo “Ferramentas de análise dos conteúdos matemáticos a ensinar” (1998), classifica o tipo de conheci­mento acionado pelo estudante em três níveis: técnico, mobi­lizável e disponível.

Os estudantes põem em funcionamento um conhecimento de nível técnico quando resolvem uma atividade simples que corresponde à aplicação imediata de um conhecimento. Em geral, há indicação do método a adotar.

Os descritores principais são: reproduzir atividades já praticadas e realizar operações de rotina, como “resolva a equação”, “calcule a média aritmética”, “identifique as arestas do cubo”.

No nível de funcionamento mobilizável, os conhecimentos a serem utilizados estão bem identificados no enunciado da atividade, mas necessitam de alguma adaptação ou de alguma reflexão antes de serem colocados em funcionamento.

Os itens associados a esse nível de conhecimento requerem alguma evidência do conteúdo presente na tarefa, por exemplo: “Uma porção de alimento com medida de massa igual a 500 ggramas custa R$ 12,00doze reais, e uma porção do mesmo alimento medindo 800 ggramas custa R$ 15,00quinze reais. Qual das duas porções de alimento tem o melhor preço proporcionalmente?”.

O nível de funcionamento disponível corresponde a resolver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos que favorecem a resolução, como: “Em um campo de futebol com medidas de comprimento e de largura iguais a 100 mmétros e 50 mmétros, respectivamente, foi realizado um show. Todos os lugares cobertos foram vendidos, e muitos espectadores ficaram na parte descoberta. É possível estimar o número de pessoas que havia nesse show?”.

Entendemos que, para a aprendizagem acontecer de formafórma significativa, o tipo de conhecimento acionado pelo estudante deve circular entre os três níveis, o técnico, o mobilizável e o disponível, dependendo do momento em que os conteúdos são explorados. Procuramos dosar isso nesta coleção.

O processo de ensino e aprendizagem mediado pelas Tecnologias da Informação e Comunicação

---

---

O uso de tecnologias nos ambientes escolares vem se desenvolvendo intensamente nos últimos anos, com a ampliação de salas de informática e a capacitação de professores para atuar nessa área. Essa demanda está diretamente relacionada à velocidade das transformações tecnológicas vividas pela sociedade atual. A cada ano, as grandes empresas de tecnologia, que dominam o mercado mundial, divulgam e comercializam equipamentos e softwares cada vez mais potentes, mais ágeis, mais leves, mais interativos e mais acessíveis.

De acordoacôrdo com a BNCCBê êne cê cê:

Em decorrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argumentar característicos da vida escolar. Todo esse quadro impõe à escola desafios ao cumprimento do seu papel em relação à formação das novas gerações. É importante que a instituição escolar preserve seu compromisso de estimular a reflexão e a análise aprofundada e contribua para o desenvolvimento, no estudante, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais. Contudo, também é imprescindível que a escola compreenda e incorpore mais as novas linguagens e seus modos de funcionamento, desvendando possibilidades de comunicação (e também de manipulação), e que eduque para usos mais democráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital. Ao aproveitar o potencial de comunicação do universo digital, a escola pode instituir novos modos de promover a aprendizagem, a interação e o compartilhamento de significados entre professores e estudantes (BRASIL, 2018, p.página 61).

Nesse novo cenário, o professor assume um papel importante, pois cabe a ele criar novas atividades e maneiras de utilizar o conhecimento, tendo nos recursos digitais a possibilidade de ampliar seu campo de ação didática.

Em relação à Matemática, o uso das tecnologias digitais é um facilitador, pois há inúmeros recursos disponíveis, como objetos de aprendizagem e softwares, que podem auxiliar na construção de conhecimentos matemáticos.

Nesta coleção, são propostas atividades que utilizam softwares de Geometria dinâmica e planilhas eletrônicas, além da calculadora. Também são indicados sites que complementam o processo de ensino e aprendizagem.

Ensino e aprendizagem

A diversidade dá cor ao mundo. No campo da educação, por muito tempo, buscou‑se a padronização. Alguns, em uma atitude anacrônica, ainda a perseguem. No entanto, hoje é quase consenso entre os profissionais da educação que é preciso promover a inclusão, a tolerância às diferenças e a empatia.

Conforme salienta o Parecer 11/2010,

tem se firmado, ainda, como resultado de movimentos sociais, o direito à diferença, como também tem sido chamado o direito de grupos específicos verem atendidas suas demandas, não apenas de natureza social, mas também individual. Ele tem como fundamento a ideia de que devem ser consideradas e respeitadas as diferenças que fazem parte do tecido social e assegurado lugar à sua expressão. O direito à diferença, assegurado no espaço público, significa não apenas a tolerância ao outro, aquele que é diferente de nós, mas implica a revisão do conjunto dos padrões sociais de relações da sociedade, exigindo uma mudança que afeta a todos, o que significa que a questão da identidade e da diferença tem caráter político. O direito à diferença se manifesta por meio da afirmação dos direitos das crianças, das mulheres, dos jovens, dos homossexuais, dos negros, dos indígenas, das pessoas com deficiência, entre outros, que para de fato se efetivarem, necessitam ser socialmente reconhecidos (BRASIL, 2010).

Página XIXdezenove

Nesse sentido, é preciso olhar cuidadosamente para o estudante dos Anos Finais do Ensino Fundamental. Ele está inserido na transição entre a infância e a adolescência, período marcado por intensas e profundas mudanças nos aspectos físico, psicológico, social e emocional. Ele é um sujeito, como define a BNCCBê êne cê cê, “em desenvolvimento, com singularidades e formações identitárias e culturais próprias, que demandam práticas escolares diferenciadas, capazes de contemplar suas necessidades e diferentes modos de inserção social” (BRASIL, 2018, p.página 60).

No ambiente escolar, o professor é um dos atores que mais têm contato com esse estudante, por isso o papel docente é essencial na promoção dos direitos dos estudantes (à aprendizagem, à diferença etc.etcétera). Por meio da interação do professor com seus estudantes, é possível compreender como vivem, suas necessidades, seus anseios, seu projeto de vida e o que pode motivá-los para uma aprendizagem significativa. Por meio dessa interação, é possível explorar problemas reais e buscar as informações de maneira coletiva, reconhecendo que os próprios estudantes podem ser a fonte de conhecimento. É importante encorajar a troca e a construção entre eles e se envolver em discussões e trabalhos.

O professor também é, muitas vezes, a ponte entre os estudantes e os demais profissionais da escola. Não raro, parte-se da observação do docente de um problema real em sala de aula e chega-se à sua solução em âmbito da comunidade escolar. Quando o professor se depara com estudantes de educação inclusiva, por exemplo, é possível que articule projetos que propiciem a real inclusão desses estudantes, promovendo um aprendizado de fato. Um exemplo dessa situação aconteceu no Pará, por meio do Projeto Libras na Escola, que foi viabilizado quando observou-se que estudantes surdos da Escola do Município de Vigia não tinham suas diferenças contempladas. Esse projeto expandiu-se e chegou a outras escolas. Para saber mais sobre ele, acesse o artigo “Projeto Libras na Escola e as interações inclusivas em uma comunidade escolar”, de Ataíde, Furtado e Silva-Oliveira (2020), disponível na seção Referências bibliográficas comentadas, neste Manual.

Acreditamos que o professor deve tentar se apropriar do maior número possível de metodologias de ensino, explorando-as com os estudantes, aprendendo com eles. Diversificar estratégias de ensino permite atender de formafórma mais ampla turmas heterogêneas.

Em consonância com essa realidade, proliferam por todo o mundo novas metodologias de ensino. As chamadas metodologias ativas ganham forçafôrça no Brasil, impulsionadas pela BNCCBê êne cê cê, oferecendo estratégias inovadoras aos docentes para que possam explorar ao máximo o potencial dos estudantes, os protagonistas de suas aprendizagens, de formafórma reflexiva (BACICHBaciqui; MORAN, 2018).

Algumas das metodologias às quais o professor pode recorrer estão indicadas na imagem a seguir.

Fonte: Os autores.

Página XXvinte

Tais metodologias dão oportunidade aos estudantes de construir ativamente os conhecimentos, para empoderá-los nos processos de tomada de decisões e, assim, incentivá-los a conquistar maior autonomia, aptidão na resolução de problemas, criticidade, empatia, responsabilidade, confiança e participação em trabalho colaborativo. Elas permitem a integração entre as componentes curriculares tradicionais, os Temas Contemporâneos Transversais (BRASIL, 2019a) e os Itinerários Formativos (BRASIL, 2019b).

Nas salas de aula, estão estudantes com os mais variados perfis. Além da realidade socioeconômica de cada um, que interfere na aprendizagem do indivíduo, há características individuais que se somam ao contexto onde os estudantes estão inseridos para determinar a formafórma como eles se sentirão mais motivados para compreender o conteúdo. Há os cinestésicos, que privilegiam os sentidos do olfato, do tato e do paladar para registrar suas experiências. Há também estudantes com perfil auditivo, que privilegiam a oralidade, a escuta ativa, gostam de gravar palestras, assistir a vídeos, ouvir podcasts e de participar de chats, debates, rodas de conversa, saraus. Muitas vezes, gravam suas próprias ideias em vez de anotá-las. Temos ainda os estudantes com perfil visual, que se destacam ao desenhar, elaborar esquemas, gráficos, fluxogramas, que costumam grifar seus textos, copiar o que está no quadro, elaborar listas e tabelas, colorir, sublinhar e circular palavras-chave, usar mapas mentais. Finalmente, temos estudantes que se destacam na leitura e escrita: são geralmente aqueles que conseguem conciliar características dos estudantes auditivos e visuais.

Embora essa seja uma tipologia um pouco simplista e haja muitas outras categorizações possíveis, o que queremos destacar é que, por mais que o professor se esforce, sempre que optar por determinada metodologia de ensino, beneficiará mais alguns estudantes do que outros. Não há uma estratégia que contemple a todos da mesma maneira, ainda que direcionemos nossos esforços para agir com equidade e respeito às diversidades, o que nos leva de volta à nossa ideia inicial: trabalhar com múltiplas abordagens para atender aos interesses de todos os estudantes.

Hoje, novas propostas emergem no mundo pós-pandêmico. Fala-se de neurociências, mindsetmáindissét, big databígui data, machine learningmachine lãrnin, competências socioemocionais, inteligências múltiplas (GARDNERGardner; CHEN; MORAN, 2009). A pluralidade de estratégias, públicos e conceitos matemáticos envolvidos na implementação de metodologias ativas (BACICHBaciqui; MORAN, 2018) oferece novas oportunidades de contemplar os diferentes perfis de inteligência.

Ao expor para o mundo a necessidade do reconhecimento de múltiplas inteligências, GardnerGardner (1995) leva em conta que nem todas as pessoas apresentam os mesmos interesses, habilidades e competências, tampouco aprendem da mesma maneira, e que ninguém pode aprender tudo o que há para ser aprendido. Cabe aos educadores o desafio de tentar compreender as capacidades e os interesses dos estudantes e, tendo em vista esse conhecimento, desenvolver situações de aprendizagem e elaborar instrumentos de avaliação. Os especialistas responsáveis pela construção de propostas curriculares deveriam tentar combinar os perfis, os objetivos e os interesses dos estudantes com a organização curricular e com determinados estilos de aprendizagem. A maior preocupação de Gardner está direcionada aos estudantes que não se destacam nos testes padronizados e que, por esse motivo, são taxados como não possuidores de nenhum tipo de talento especial. Seu trabalho evidencia a necessidade de o professor oferecer oportunidades para que todos os estudantes possam brilhar, cada qual à sua maneira.

Refletindo sobre essas questões no campo da Educação Matemática Crítica, Skovsmose (2013) enaltece a criação de um currículo crítico com princípios imbuídos de valores que duelam com os currículos atuais, que são dissociados de problemas distantes do ambiente escolar. Sendo o bullying um tema que atinge diversas classes sociais, dentro do universo escolar, ele pode ser visto como uma possibilidade para a elaboração de atividades que podem servir de base para o desenvolvimento de projetos por meio de tarefas significativas e humanizadas.

Segundo o caderno de práticas e aprofundamentos de apoio à implementação da BNCCBê êne cê cê (BRASIL, 2019c), as competências socioemocionais como fator de proteção à saúde mental e ao bullying encontram-se presentes em todas as competências gerais e sugerem que as escolas as contemplem em seus currículos.

Diante dessa demanda, a educação socioemocional refere-se ao processo de entendimento e manejo das emoções, com empatia e pela tomada de decisão responsável, sinalizando que, para que isso ocorra, é fundamental a promoção dessedêsse tipo de educação nas mais diferentes situações, dentro e forafóra da escola, pelo desenvolvimento de competências como a habilidade de interação social, que se relaciona  com as habilidades de ouvir com empatia, falar clara e objetivamente, cooperar com os demais, resistir à pressão social inadequada (ao bullying, por exemplo), solucionar conflitos de modo construtivo e respeitoso, bem como auxiliar o outro quando for o caso.

Em uma perspectiva de caracterização daquilo que é quantificável, Ferreira (2019) sugere que os dados matemáticos a respeito do bullying, por exemplo, podem se constituir de significados quando interpretados à luz das questões sociais. Com esse olhar, a investigação matemática pode ser utilizada pelo professor como metodologia ativa, visando à interpretação de dados e de informações pelos estudantes, além dos números dispostos em uma tabela. Nesse sentido, dados estatísticos a respeito do bullying podem nortear a compreensão do processo, do como e do porquê ele acontece. Da mesma maneira, dados históricos a respeito de casos de bullying podem ser interpretados em uma tentativa de compreendê-los para, porventura, abordá-los por meio da promoção de debates sobre dados estatísticos reais, que fizeram ou fazem parte da realidade.

Em uma atividade como essa, é possível envolver outros professores ou até diferentes profissionais, como psicólogos, e promover palestras ou outras ações que tratem da importância de combater os diversos tipos de violência, especialmente o bullying.

Nessa linha, a educação socioemocional também permite a promoção da saúde mental. Segundo o Levantamento internacional de boas práticas de saúde mental nas escolas (2021), uma “escola promotora de saúde é aquela que se fortalece constantemente como ambiente seguro e saudável para viver, aprender e trabalhar, envolvendo aspectos físicos, socioemocionais e psicológicos, além dos resultados educacionais positivos”. Assim, é importante ter em vista que devem ser pensadas ações de promoção, prevenção e recuperação da saúde mental, que devem ser adotadas em momentos oportunos (VOZES DA EDUCAÇÃO; FUNDAÇÃO LEMANN, 2021).

Página XXIvinte e um

Nesse sentido, há algumas possibilidades de atividades que podem ser desenvolvidas para a promoção da saúde mental de modo interdisciplinar, considerando a participação de profissionais da saúde, que consistem em rodas de conversa, nas quais os estudantes treinem a habilidade de reconhecer os próprios sentimentos, de ouvir os outros de formafórma respeitosa e de expressar o próprio ponto de vista sobre temas relevantes a eles. Também podem ser ofertados materiais diversos que gerem um gatilho para as conversas com os estudantes, como podcasts, filmes, livros, artigos, histórias em quadrinhos etcetcétera.

No entanto, embora as atividades extracurriculares proporcionem um bom momento para o trabalho com as competências socioemocionais, é importante o professor ter em vista que elas devem ser estimuladas a todo momento, ou seja, todas as aulas geram oportunidades para o trabalho com as competências socioemocionais, que pode vir à tona por causa de um conflito surgido entre estudantes, de um tema proposto no livro didático, do trabalho com algum Tema Contemporâneo Transversal ou até de um assunto que esteja em voga na sociedade.

Essas novas demandas trazem desafios e oportunidades. Nesta obra, há atividades que podem e devem ser adaptadas pelos docentes de acordoacôrdo com a realidade de sua escola e, dentro de uma mesma unidade escolar, de suas diferentes turmas, pois cada uma delas é singular.

Tendo tudo isso em vista, espera-se que o professor tenha um olhar para as diferenças, para as nuances das produções discentes, para as respostas divergentes, considerando que um mesmo problema matemático deve ser observado por um prisma que permite a visão de um amplo espectro de respostas, que podem ser intrinsecamente coerentes. Como diz Balacheff (1995), pode não se tratar de um erro, mas de um conhecimento deslocado de seu domínio de validade. Assim, muitas vezes, antes de avaliar o estudante, se faz necessário ouvi-lo, buscando compreender sua formafórma peculiar de pensamento.

Avaliação em Matemática

Em um cenário no qual muitos estudantes no Brasil não aprendem Matemática, a proposta apresentada pela BNCCBê êne cê cê para essa área curricular representa uma possibilidade significativa de mudança, principalmente pelo foco que tem no desenvolvimento do letramento matemático e de processos de raciocínio a ele relacionados, que permitem que se aprenda o conteúdo adequado à faixa etária, indo além do conhecimento de fatos e procedimentos. No entanto, o Instituto Reúna (2020) alerta sobre duas situações:

A primeira diz respeito ao distanciamento existente entre as altas expectativas de aprendizagem para Matemática trazidas pelos currículos alinhados à BNCC e as aprendizagens atuais dos estudantes nessa disciplina – e esse distanciamento não é pequeno, a considerar os dados de proficiência das avaliações de escala. A segunda diz respeito à interrupção da implementação dos currículos causada pela suspensão das aulas em face da pandemia da covid-19côvid dezenóve. Juntos, esses dois aspectos podem comprometer o avanço dos estudantes na aprendizagem adequada de Matemática (p.página 13).

Esse aspecto apresenta uma série de implicações imediatas para as escolhas didáticas do professor, o qual precisa ter foco nas competências e nas habilidades que deseja desenvolver nos estudantes, em especial no letramento matemático, selecionar os temas e as atividades, planejar e replanejar cuidadosamente e avaliar de modo constante. Portanto, faz-se extremamente necessário não perder de vista que planejamento e avaliação devem caminhar juntos.

As avaliações auxiliam no monitoramento permanente dos resultados de aprendizagem dos estudantes, subsidiando a tomada de decisão e o planejamento de ações com base em evidências pelos diversos atores educacionais em variadas instâncias.

O documento do Pisa 2022 propõe um ciclo de desenvolvimento do raciocínio matemático que envolve as capacidades de interpretar e avaliar sendo utilizadas na definição de literacia matemática, que se centra na capacidade dos indivíduos de refletir sobre soluções matemáticas, resultados ou conclusões e interpretá-los no contexto da vida real. Isso envolve a tradução dos resultados matemáticos em soluções adequadas e a avaliação de sua razoabilidade no contexto, conforme o ciclo proposto na figura a seguir.

Fonte: ORGANIZAÇÃO PARA A COOPERAÇÃO E O DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO (OCDEÔ cê dê É). PISA 2022: Quadro Conceptual de Matemática Draft. 2022. Disponível em: https://oeds.link/FSa7dH. Acesso em: 3 jul.julho 2022.

Especificamente, esse processo de interpretação, aplicação e avaliação de resultados matemáticos inclui atividades de interpretar informações apresentadas na formafórma de gráficos e/oue ou ou diagramas; avaliar um resultado matemático; interpretar um resultado matemático no contexto do mundo real; avaliar a razoabilidade das soluções matemáticas de um problema do mundo real; entre outras.

No âmbito da Avaliação em Matemática do Pisa 2021, os resultados das avaliações são relatados em uma única escala unidimensional e subescalas para o domínio principal em cada ciclo, ao descrever as competências dos estudantes em diferentes áreas da Matemática, que permitem que os formuladores de políticas compreendam melhor o foco das atividades de remediação e mudanças no currículo. (BRASIL, 2021, p.página 74-75).

Além das matrizes de avaliação em larga escala, a avaliação formativa tem sido foco de discussão contínua no âmbito educacional nacional e internacional, já que ela rompe os tipos de avaliação mensuráveis tradicionalmente adotados em diversos contextos escolares.

Página XXIIvinte e dois

É reconhecido internacionalmente que a avaliação formativa tem ainda pouca aderência na sala de aula de Matemática, verificando-se que existe uma supremacia de práticas de avaliação somativa em detrimento de práticas avaliativas formativas (SANTIAGO et al., 2012). As práticas de avaliação formativa, em particular na área de Matemática, permanece configurando-se em uma dificuldade o seu desenvolvimento de formafórma expressiva e continuada.

Na avaliação formativa,

o professor investiga durante todo o tempo, na sala de aula, se os alunos estão ou não aprendendo e por quê. Essas informações servem para replanejar as atividades seguintes, de modo a atender às necessidades da turma ou de grupos de estudantes. Também permitem ao docente dar as orientações que os alunos precisam para se desenvolverem melhor, estimulando o protagonismo deles (YURIE, 2022). 

Nesse aspecto, os estudos de Santos (2022) sinalizam que o feedback pode ser um poderoso instrumento para apoiar a aprendizagem, de modo que dá a oportunidade de o estudante voltar a pensar, a refletir sobre o que fez, decidindo como prosseguir para seu aperfeiçoamento. A avaliação formativa tem a missão de atribuir aos estudantes o papel de sujeitos coautores e participativos no desenvolvimento de sua aprendizagem e, consequentemente, no seu processo de formação.

Nesta coleção, trazemos sugestões de tipos de avaliação a serem aplicados durante o ano letivo. Para isso, faz-se necessário que o professor compreenda os instrumentos dessedêsse tipo de avaliação que visam situar o nível de desenvolvimento dos estudantes. No esquema a seguir, há as avalições sugeridas, onde encontrá-las e o momento sugerido para aplicá-las.

A primeira avaliação proposta, para ser aplicada no início do ano letivo, é a diagnóstica, cujo objetivo é averiguar os conhecimentos e as habilidades dos estudantes trazidos de anos anteriores.

As autoavaliações, por sua vez, que são encontradas nas Orientações, neste Manual, ao final de cada capítulo, têm o intuito de promover a reflexão dos estudantes sobre dificuldades de aprendizagem, de modo a proporcionar a eles o agir com autonomia e a responsabilidade quanto a suas aprendizagens.

Já na seção Atividades de revisão, os estudantes fazem exercícios que retomam o conteúdo estudado.

No Livro do Estudante, encontra-se também uma seção denominada Para finalizar, na qual os estudantes são estimulados a organizar as ideias trabalhadas durante as seções, analisar o que foi estudado em cada capítulo da Unidade e avaliar os aprendizados, no intuito de consolidar o conhecimento adquirido. As questões apresentam-se em formafórma de síntese dos conceitos trabalhados nas unidades.

No que diz respeito às avaliações formativas, há uma sugestão de avaliação para cada capítulo deste volume disponível mais adiante, neste Manual. É importante avaliar a pertinência e a adequação das propostas, bem como de suas orientações, para que tanto o professor quanto o estudante estejam cientes e comprometidos com tal avaliação.

Página XXIIIvinte e três

Ainda, sobre a avaliação de resultado, disponível após o último capítulo do Livro do Estudante, sugerimos sua aplicação no fim do ano letivo. O objetivo é averiguar os conhecimentos e as habilidades dos estudantes apreendidos durante o ano.

Para aplicar essas avaliações, sugerimos que sejam escolhidos diferentes métodos, como escrita individual, escrita em dupla, atividade oral, por meio de trabalhos ou com resolução de atividades no quadro, com jogos etcetcétera. Dessa formafórma, a visão da aprendizagem dos estudantes poderá ser amplificada e será possível replanejar o trabalho docente em sala de aula, caso seja necessário. Já, para colher os resultados, é importante ter em mente que as avaliações não devem ser vistas somente como mais uma prova; é preciso que sejam analisadas todas as respostas dos estudantes. Há sempre uma intencionalidade por trás de uma resposta, e elas sempre trazem uma indicação do conhecimento do estudante. Quando ele assinala certo item considerado errado, o faz por alguma razão: por confundir algum conceito, não ter ainda aquele conhecimento consolidado, ter dificuldade para interpretar a questão, entre outras razões, as quais devem ser analisadas caso a caso.

Conforme já salientado, as avaliações propostas neste material buscam averiguar a aprendizagem dos estudantes em cada fase do processo de ensino e as habilidades desenvolvidas por eles nesse percurso. Nesse sentido, vale explanar que as habilidades evidenciadas em nossas avaliações, em especial a diagnóstica, as formativas e a de resultado, foram escolhidas tendo por base os Mapas de Foco da BNCCBê êne cê cê, propostos pelo Instituto Reúna. Dado o recente cenário pandêmico e que os estudantes talvez apresentem defasagens em seu aprendizado, esses mapas foram criados com o intuito de identificar as habilidades da BNCCBê êne cê cê essenciais aos estudantes. Dessedêsse modo, foram assim classificadas: aprendizagens focais, aprendizagens complementares e expectativa de fluência. As aprendizagens focais são aquelas consideradas elementares para o desenvolvimento dos estudantes; são “inegociáveis e essenciais para aprender e avançar em um componente” (INSTITUTO REÚNA, 2020, p.página 8) – e essas é que foram priorizadas em nossas avaliações. As aprendizagens complementares são as que podem ser desenvolvidas com as focais. Já as expectativas de fluência compreendem os conhecimentos que precisam ser mobilizados com fluência ou automaticidade no intuito de facilitar o desenvolvimento das aprendizagens focais (REÚNA, 2020).

Para que os mapas cumpram sua função de apoiar a seleção de habilidades para a flexibilização curricular, o Instituto Reúna recomenda a análise e a seleção criteriosa das habilidades classificadas como focais, por serem as mais estruturantes e essenciais para o desenvolvimento dos estudantes. Essa análise poderá oferecer elementos tanto para avaliar o que já foi trabalhado e assegurado aos estudantes quanto para projetar o futuro, definindo aquilo que será priorizado e o tempo para sua efetivação.

Além das avaliações propostas nesta coleção, o professor pode planejar outras, tendo em vista o cenário em que se encontra e a realidade de sua turma. Nesse sentido, também indicamos que sejam feitas perguntas aos estudantes após a leitura de textos – atividade que pode ser realizada em duplas, dando também margem para uma organização de trabalhos em grupo. Ainda, sugerimos que seja proposto aos estudantes em grupos que criem problemas e compartilhem com os colegas, de modo que resolvam os problemas elaborados por eles. Nessa proposta, caso não consigam resolver algum problema, peça que justifiquem o motivo: se faltou informações no enunciado, se o enunciado não era claro ou havia erros ou conflitos de informação etc.etcétera, o que configura um exercício potencialmente rico para avaliarem o que é importante ter em mente ao criar um problema.

No que tange à proposta do trabalho em grupo, a avaliação do professor poderá ser efetivada com base em três aspectos, conforme a figura a seguir.

Fonte: Os autores.

Caso o professor julgar necessário, poderá propor atividades que auxiliem os estudantes a superar as dificuldades diagnosticadas na compreensão dos conceitos. Nesta coleção, há atividades sugeridas que podem ser usadas para esse fim. É também sugerido que o professor adapte ou crie novas atividades, de acordoacôrdo com o contexto e a realidade da turma.

Página XXIVvinte e quatro

A COLEÇÃO

Estrutura e seções

A coleção está dividida em quatro volumes, com quatro unidades cada um. A obra apresenta a seguinte estrutura: Abertura de Unidade, Conteúdos, Atividades, Estatística e Probabilidade, Atividades de revisão, Compreender um texto, Educação financeira, Informática e Matemática, Trabalho em equipe, Para finalizar, Recorde, Mostre o que você aprendeu e Mostre o que você já sabe.

Ao longo da obra, além de atividades e problemas envolvendo situações contextualizadas, a coleção propõe o uso da calculadora, a resolução de desafios, o trabalho em grupo, o cálculo por estimativa e os cálculos mentais. A obra incentiva os estudantes a raciocinar, relacionar ideias, usar a experiência adquirida forafóra da escola, refletir sobre a resolução de problemas e sobre os procedimentos utilizados para chegar à solução, produzir análises críticas, criativas e propositivas e desenvolver as capacidades de argumentar e de inferir.

Abertura

Em todas as unidades, há uma página de abertura.

A principal função da Abertura é servir de ligação entre o que os estudantes já sabem e o que devem saber ao final da Unidade. Por esse motivo, em cada uma há o boxe Para começar..., cuja finalidade é identificar os conhecimentos prévios deles. As atividades dessedêsse boxe podem ser discutidas em grupo, e suas conclusões, compartilhadas com a turma.

Conteúdo e atividades

Em todas as unidades, procura­‑se desenvolver os conteúdos de formafórma clara e precisa, ampliando­‑os a cada abordagem e proporcionando, assim, uma visão global do assunto. Os conteúdos estão subdivididos em tópicos, intercalados por seções de atividades que exploram o conteúdo tratado naquele tópico.

No trabalho com os conteúdos, há questionamentos variados em boxes, como Para analisar, Para resolver, entre outros, que têm o objetivo de levar os estudantes à reflexão, à investigação, ao aprofundamento ou à dedução de algo que continuará estudando. Na seção Atividades, o objetivo é apresentar situações em que o conteúdo pode ser aplicado. Elas são organizadas da mais fácil para a mais difícil, incentivando os estudantes a raciocinar.

As atividades propostas envolvem os três níveis de conhecimento que podem ser acionados na resolução de uma questão: os conhecimentos de nível técnico, em propostas de atividades simples, que correspondem a aplicações imediatas do conhecimento desenvolvido no tópico; os conhecimentos de nível mobilizável, identificados no enunciado da atividade, mas que necessitam de reflexão antes de ser colocados em funcionamento; e os conhecimentos de nível disponível, que correspondem a situações propostas sem nenhuma indicação de resolução em seu enunciado.

A seguir, apresentamos um exemplo de cada tipo de atividade.

Página XXVvinte e cinco

Entre as atividades, destacamos algumas especiais, que são os desafios e as atividades de calculadora e de cálculo mental, distribuídas por toda a coleção, em momentos variados.

Esta seção foi elaborada para ajudar você, professor, a identificar as possíveis dificuldades, individuais ou coletivas, em relação aos principais conteúdos estudados em anos anteriores, considerados pré-requisitos para as habilidades que serão desenvolvidas neste volume. Esperamos que esta seção contribua com o diagnóstico para que você possa avaliar a necessidade de intervenções ou retomada de algum conteúdo. A maneira como os estudantes demonstram entendimento sobre o assunto, os registros e os cálculos dão indícios dos principais equívocos cometidos por eles.

Mostre o que você já sabe

Por meio desta seção, que está localizada no início do volume, vai ser possível fazer uma avaliação diagnóstica dos conhecimentos prévios dos estudantes. As questões que compõem essa avaliação são de múltipla escolha, sempre com quatro alternativas, sendo três distratores e uma resposta correta. O conteúdo das questões é relativo ao que foi trabalhado no ano anterior, mas tem relação com alguma habilidade importante do ano corrente.

Mostre o que você aprendeu

A exemplo da seção Mostre o que você já sabe, que busca dar um diagnóstico dos conhecimentos prévios dos estudantes, esta seção, Mostre o que você aprendeu, tem a intenção de avaliar o que eles aprenderam durante o ano letivo. Por essa razão, ela aparece sempre no fim do volume. As questões que compõem essa avaliação são de múltipla escolha, sempre com quatro alternativas, sendo três distratores e uma resposta correta. O conteúdo das questões é relativo ao que foi trabalhado no ano corrente.

A sociedade contemporânea exige a seleção e a análise de uma diversidade de informações. A Estatística, com seus conceitos e métodos para coletar, analisar e organizar dados, tem se revelado um poderoso aliado para compreender a realidade. Por esse motivo, a seção Estatística e Probabilidade recebeu destaque nesta coleção.

Os conhecimentos que esta seção explora referem­‑se à capacidade de analisar índices, fazer sondagens, escolher amostras e outras situações importantes ao cotidiano.

As atividades de revisão proporcionam aos estudantes a oportunidade de retomar os conteúdos estudados no capítulo. Muitas dessas atividades são contextualizadas tendo como base assuntos do interesse deles.

O uso desta seção deve se adequar ao planejamento do curso e ao andamento de cada turma; ela pode ser trabalhada em grupo, como atividade para ser realizada em casa ou indicada como opcional.

Na seção Compreender um texto, é apresentado um texto de interesse dos estudantes, acompanhado de atividades. Essas atividades estão relacionadas à compreensão do texto e aos assuntos matemáticos tratados na Unidade.

O trabalho com textos não pode ser restrito à área de Língua Portuguesa. É importante que todos os professores, incluindo os de Matemática, trabalhem as competências leitora e escritora, pois elas devem ser desenvolvidas pela escola como um todo. Atualmente, muitos textos de circulação social, como reportagens, informativos variados e relatórios, quase sempre são acompanhados de números, e a não apropriação da grandeza numérica envolvida, ou ainda da noção de porcentagem, por exemplo, inviabiliza sua compreensão.

Na seção Educação financeira, apresenta-se uma situação cotidiana que envolve finanças e, a partir daí, são discutidas possibilidades para resolver e enfrentar a situação – os estudantes devem se imaginar naquela situação (O que você faria?) e procurar soluções. Depois, em Calcule, são apresentadas algumas atividades referentes à situação inicial ou alguma similar. E, em Reflita, os estudantes são questionados sobre suas ações e atitudes diante de determinadas situações financeiras.

O foco dessas discussões não são conceitos como juro e porcentagem, mas a postura como consumidor. São abordadas questões como consumo consciente, controlecontrôle da impulsividade diante de tantas opções e direitos e deveres do consumidor.

Esta seção trabalha os conteúdos matemáticos por meio de tecnologias digitais como softwares de Geometria dinâmica, planilhas eletrônicas etcetcétera. Ela é composta de duas partes: Construa e Investigue. Em Construa, é apresentado um texto instrucional para que os estudantes sigam os passos e construam as figuras solicitadas. Após a construção, em Investigue, por meio das ferramentas do software, que permitem uma vasta possibilidade de testes e análises, eles podem medir, investigar e levantar hipóteses a respeito da figura que construíram, o que fomenta a discussão e a interação entre eles e o aprofundamento do conteúdo estudado.

A seção Trabalho em equipe, como o próprio nome diz, é muito importante para o desenvolvimento de atitudes como saber esperar sua vez de falar, comprometer­‑se com uma tarefa, ajudar os colegas, lidar com diferentes opiniões, fazer uma exposição oral com desenvoltura etcetcétera. Em todas as unidades, essa seção apresenta os objetivos, a justificativa, o produto do trabalho e algumas orientações para que a atividade seja realizada a contento.

A seção Para finalizar é dividida em duas partes. Em Organize suas ideias, os estudantes fazem uma retrospectiva do que aprenderam na Unidade e respondem a algumas questões. Dessa formafórma, fazem uma autoavaliação, e o professor pode acompanhar o progresso de suas turmas. Em Para conhecer mais, sugerimos a leitura de livros e sites que complementam os assuntos explorados na Unidade para enriquecer o conteúdo matemático.

Página XXVIvinte e seis

As habilidades da BNCCBê êne cê cê na coleção

A seguir, são apresentados quadros que relacionam os capítulos da coleção aos objetos de conhecimento e às habilidades a serem desenvolvidas no 6º ano, segundo a BNCCBê êne cê cê.

Essas correlações também aparecem indicadas nas orientações página a página do guia em formato lateral.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 300-305.

Página XXVIIvinte e sete

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 300-305.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 300-305.

Página XXVIIIvinte e oito

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 300-305.

Fonte: BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DFDistrito Federal: MECMéqui, 2018. p.página 300-305.

Página XXIXvinte e nove

Os Temas Contemporâneos Transversais na coleção

Os Temas Contemporâneos Transversais (TCTstê cê tês) foram assim distribuídos no 6º ano.

---

Sugestões de cronogramas

O quadro a seguir oferece possibilidades de trabalho com os capítulos do volume 6 da coleção durante o ano letivo. O professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar as sugestões aqui indicadas de acordoacôrdo com a realidade e as necessidades da turma e da escola.

O arranjo deste quadro possibilita ao professor a previsão de uma organização bimestral, trimestral ou semestral.

Página XXXtrinta

---

Justificativa dos objetivos

Unidade 1 (capítulos 1, 2 e 3)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Números, Álgebra, Geometria e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF06MA01ê éfe zero seis ême ah zero um, EF06MA02ê éfe zero seis ême ah zero dois, EF06MA03ê éfe zero seis ême ah zero três, EF06MA12ê éfe zero seis ême ah um dois, EF06MA14ê éfe zero seis ême ah um quatro, EF06MA17ê éfe zero seis ême ah um sete, EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um, EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois, EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três e EF06MA34ê éfe zero seis ême ah três quatro.

De modo a corroborar com o processo da construção de número, é importante que os estudantes compreendam o fato de que os símbolos numéricos eram diferentes dos usados hoje e que eles foram criados conforme a necessidade de cada povo. Dessa maneira, encaminhamos o estudo da origem e das características do sistema de numeração decimal, destacando o valor posicional dos algarismos e a função do zero.

Também, por meio de situações diversas, os estudantes são incentivados a mobilizar diferentes estratégias – como cálculo mental, arredondamento, algoritmos e o uso de calculadora – para resolver problemas e cálculos envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais.

Já o estudo da igualdade é explorado, inicialmente, com base em uma balança de dois pratos em equilíbrio, para que os estudantes possam compreender de formafórma mais ilustrativa o conceito de igualdade e suas propriedades para que, depois, possam elaborar igualdades equivalentes e aplicá-las na resolução de problemas.

Em relação ao estudo da Geometria neste volume, o ponto de partida é entender que o conhecimento geométrico é resultado do desenvolvimento de vários povos em diferentes momentos. O estudo dos sólidos geométricos e das figuras planas contribui com o desenvolvimento da percepção espacial dos estudantes, bem como das capacidades de comunicação, de análise e de reflexão.

Além disso, a Unidade explora o assunto das fake news para discussão em sala de aula, aliado a um fluxograma, representando uma linguagem para descrever um algoritmo a fim de analisar criticamente se uma informação merece ou não ser compartilhada. A exploração dessedêsse tema se faz necessária, uma vez que os estudantes têm acesso a uma grande quantidade de informações e é imprescindível que eles reflitam sobre a veracidade do conteúdo antes de compartilhá-lo com outras pessoas, por meio digital ou não.

Por fim, a leitura e a interpretação de dados em tabelas e gráficos, bem como a transposição desses dados entre as representações, contribuem para que os estudantes compreendam diferentes situações e contextos.

Unidade 2 (capítulos 4, 5 e 6)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Números, Álgebra e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF06MA04ê éfe zero seis ême ah zero quatro, EF06MA05ê éfe zero seis ême ah zero cinco, EF06MA06ê éfe zero seis ême ah zero seis, EF06MA07ê éfe zero seis ême ah zero sete, EF06MA09ê éfe zero seis ême ah zero nove, EF06MA10ê éfe zero seis ême ah um zero, EF06MA13ê éfe zero seis ême ah um três, EF06MA14ê éfe zero seis ême ah um quatro, EF06MA15ê éfe zero seis ême ah um cinco, EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um e EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois.

O estudo envolvendo frações parte de situações cotidianas com o intuito de explorar os conhecimentos prévios que os estudantes trazem sobre esse assunto, de modo a validar os contextos em que os números naturais não foram suficientes para representar a medida de uma grandeza ou o resultado de uma divisão, por exemplo. Assim, são ampliadas as situações em que as frações estão relacionadas às ideias de parte-todo, medida, razão, quociente e operador.

Já a introdução do conceito de frações equivalentes permite aos estudantes reconhecerem que um mesmo número pode ser representado por infinitas frações equivalentes. Esse entendimento é fundamental no trabalho com as operações que envolvem frações de denominadores diferentes, principalmente a adição e a subtração – momento em que haverá a ampliação do sentido das operações com números naturais para aquelas com números na formafórma fracionária. A investigação das relações de igualdade é ampliada com a resolução de problemas.

Também se faz necessário relacionar a porcentagem à notação fracionária e vice-versa, uma vez que essa compreensão possibilita que os cálculos sejam realizados usando diferentes estratégias. Estudar porcentagem é fundamental para a compreensão de questões que envolvem temas de educação financeira, como o uso consciente de recursos financeiros, além de informações divulgadas na mídia, contribuindo para a formação crítica e cidadã dos estudantes.

Em relação ao trabalho com a leitura e a interpretação de gráficos e de tabelas de dupla entrada, contribui-se para o desenvolvimento dos sensos analítico e crítico, da convivência em grupo e da capacidade de elaborar questões com base nessas representações.

Unidade 3 (capítulos 7, 8 e 9)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Números, Álgebra, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF06MA01ê éfe zero seis ême ah zero um, EF06MA02ê éfe zero seis ême ah zero dois, EF06MA08ê éfe zero seis ême ah zero oito, EF06MA11ê éfe zero seis ême ah um um, EF06MA13ê éfe zero seis ême ah um três, EF06MA14ê éfe zero seis ême ah um quatro, EF06MA22ê éfe zero seis ême ah dois dois, EF06MA23ê éfe zero seis ême ah dois três, EF06MA25ê éfe zero seis ême ah dois cinco, EF06MA26ê éfe zero seis ême ah dois seis, EF06MA27ê éfe zero seis ême ah dois sete, EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um e EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois.

Nesta Unidade, os estudantes reconhecem que os números racionais positivos também podem ser expressos na formafórma fracionária e na formafórma decimal, realizando a transposição de uma representação para outra e vice-versa. Nesse sentido, cabe o destaque para o fato de que a representação na reta numérica de um número racional positivo, seja na formafórma decimal, seja na formafórma fracionária, é semelhante à representação de frações em figuras geométricas, exigindo a subdivisão da reta (assim como das figuras geométricas) em partes iguais.

Além disso, com a intenção de ampliar as regras do sistema de numeração decimal (SND) para a representação decimal, as ideias de decomposição e de valor posicional são retomadas. A leitura, a escrita, a comparação e a ordenação de números racionais positivos na formafórma decimal também são propiciadas em contextos que envolvem o sistema monetário brasileiro, medições e recordes de modalidades esportivas.

Já a compreensão das operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) com números na formafórma decimal está atrelada ao entendimento do modo como as realizamos com números naturais. As diferentes estratégias apresentadas visam ampliar o repertório de estratégias de cálculo dos estudantes; assim, convém deixá-los livres para empregar a que julgarem ser mais adequada na resolução dos problemas. Além disso, fazer cálculos aproximados é uma habilidade importante no dia a dia e contribui para que os estudantes verifiquem a razoabilidade dos resultados obtidos ao realizar cálculos via algoritmo usual, por exemplo.

Acresce-se que relacionar a representação de uma porcentagem com a escrita fracionária e a decimal permite a resolução de problemas por meio de diferentes estratégias, com a ideia de proporcionalidade.

Em relação ao estudo do ponto, da reta e do plano, este precede o estudo de ângulos, como a identificação e a classificação deles. A utilização de instrumentos, como a régua e o compasso, bem como de softwaresófitiuér de Geometria dinâmica contribui com o exercício de investigação, de testes de hipóteses e com o desenvolvimento da linguagem matemática.

Página XXXItrinta e um

Adicionalmente, a transposição de dados apresentados em tabelas de dupla entrada para gráficos de barras duplas propicia uma representação mais sofisticada, geralmente empregada pelos meios de comunicação para veicular informações. Nesse sentido, este é um momento oportuno para pôr em debate assuntos atuais, ao mesmo tempo que os estudantes identificam características específicas dos gráficos.

Nesta Unidade, os estudantes ainda constroem gráficos de setores considerando que a medida de abertura do ângulo central de cada setor do gráfico é diretamente proporcional à porcentagem que ele representa. Tal proposta favorece a compreensão das relações entre diferentes campos da Matemática, neste caso entre Números, Geometria e Estatística, possibilitando aos estudantes aplicar seus conhecimentos com autonomia, a fim de buscar soluções para representar dados estatísticos.

Unidade 4 (capítulos 10, 11 e 12)

Nesta Unidade, serão trabalhados os objetos de conhecimento relacionados às unidades temáticas Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, que, entre outros objetivos, favorecerão o desenvolvimento das habilidades da BNCCBê êne cê cê: EF06MA16ê éfe zero seis ême ah um seis, EF06MA18ê éfe zero seis ême ah um oito, EF06MA19ê éfe zero seis ême ah um nove, EF06MA20ê éfe zero seis ême ah dois zero, EF06MA21ê éfe zero seis ême ah dois um, EF06MA22ê éfe zero seis ême ah dois dois, EF06MA23ê éfe zero seis ême ah dois três, EF06MA24ê éfe zero seis ême ah dois quatro, EF06MA28ê éfe zero seis ême ah dois oito, EF06MA29ê éfe zero seis ême ah dois nove, EF06MA30ê éfe zero seis ême ah três zero e EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três.

Para o estudo dos polígonos, os estudantes mobilizam os assuntos estudados na Unidade anterior e, então, classificam-nos quanto ao número de vértices, às medidas de comprimento dos lados, às medidas de abertura dos ângulos e ao paralelismo e ao perpendicularismo dos lados. Tal processo se dá pela observação e apreciação de obras de arte e pelo uso de software de Geometria dinâmica.

Com relação aos problemas envolvendo grandezas e medidas, é importante que os estudantes compreendam a noção de que medir é comparar uma unidade de medida padrão com o que se pretende medir. Assim, esse objeto de estudo é propício para integrar as unidades temáticas Grandezas e medidas e Números, pois muitas vezes as medidas são indicadas como um número racional na formafórma decimal. As unidades de base do Sistema Internacional de Unidades (SIésse Í) também corroboram para o estudo dessedêsse assunto. Assim, os estudantes resolvem problemas envolvendo medidas de comprimento e de área, diferenciando e estabelecendo relações entre a medida do perímetro e a medida de área de quadrados.

Ademais, as situações apresentadas sobre as medidas de tempo envolvem o uso de relógios analógicos e digitais, refletindo o cotidiano das pessoas. A rotina também é uma situação que contribui com esse estudo, uma vez que os horários e intervalos estão presentes.

Já a elaboração e a resolução de problemas nesta Unidade incluem: as unidades de medida de massa e as relações entre elas, as unidades de medida de volume e as relações entre elas e as unidades de medida de capacidade e as relações entre elas.

Adicionalmente, é importante os estudantes terem consciência de como a medida da temperatura está presente em nosso dia a dia e como sua variação pode interferir na vida, seja na agricultura, seja na pecuária, por exemplo.

Por fim, para compreender e calcular a probabilidade como a medida da chance de um evento acontecer, os estudantes mobilizam os conhecimentos relacionados a frações e porcentagens. Esse estudo refere-se às noções de probabilidade, com a identificação de eventos aleatórios e do espaço amostral de um evento, que serão ampliadas nos próximos anos do Ensino Fundamental.

---

Sugestões de avaliação formativa

Capítulo 1 – Números naturais e sistemas de numeração

1. Copie e escreva no caderno o antecessor e o sucessor de cada número a seguir.

a) ____, 999.000999000, ____

b) ____, 10.100.99910100999, ____

c) ____, 12.000.00012000000, ____

d) ____, 9.000.0999000099, ____

2. Os antigos egípcios usavam símbolos chamados hieróglifos para representar os números. Sobre esse sistema de numeração, identifique a alternativa correta.

a) O símbolo correspondia sempre ao mesmo valor, independentemente da posição que ocupava, e tinha um símbolo específico para unidade, dezena, centena, milhar etcetcétera.

b) O valor do número variava conforme a posição do símbolo.

c) Era um sistema que exigia menos símbolos para representar um número que o sistema indo-arábico, que usamos hoje.

d) Havia um símbolo para representar o zero, ou seja, a ausência de quantidade.

3. Associe cada número à sua escrita por extenso.

a) 900

b) 9.0009000

c) 900.000900000

d) 9.000.0009000000

Ium) Nove mil.

IIdois) Novecentos mil.

IIItrês) Nove milhões.

IVquatro) Novecentos.

4. Classifique os itens a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso), considerando o sistema de numeração decimal indo-arábico.

a) São empregados apenas dez símbolos – denominados algarismos – para representar qualquer número.

b) O valor de cada algarismo é o mesmo, independentemente de sua posição na representação do número.

c) Há um símbolo que representa o zero, indicando a ausência de quantidade.

d) Uma dezena são 10 unidades, uma centena são 100 dezenas e uma unidade de milhar são 1.0001000 centenas.

5. Produto Interno Bruto (PIBPíbi) é a soma de todos os bens e serviços finais produzidos por um país, estado ou cidade, geralmente durante um ano. A tabela a seguir mostra o PIBPíbi aproximado de apenas cinco estados brasileiros que representam mais da metade da participação na produção nacional de riquezas.

Página XXXIItrinta e dois

Fonte: IBGEí bê gê É. Produto Interno Bruto – PIBPíbi. 2022. Disponível em: https://oeds.link/CKsHue. Acesso em: 4 jul.julho 2022

Em 2019, quantos estados brasileiros obtiveram PIBPíbi maior do que 500 milhões de reais?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Resoluções e comentários da avaliação

1. Espera-se que os estudantes não demonstrem dificuldade em escrever o antecessor e o sucessor de números naturais. Podem fazê-lo mentalmente, subtraindo ou adicionando uma unidade. Possíveis equívocos estão relacionados à ordem dos números “grandes”, múltiplos de 10 (no caso do antecessor) ou terminados em 9 (no caso do sucessor), pois essas operações resultam em alteração na ordem do número.

a) 998.999998999; 999.001999001

b) 10.100.99810100998; 10.101.00010101000

c) 11.999.99911999999; 12.000.00112000001

d) 9.000.0989000098; 9.000.1009000100

2. Caso os estudantes apontem as alternativas b, c ou d, é necessário retomar o sistema egípcio e construir exemplos de representação dos números. Leve-os a perceber que um número de apenas 4 algarismos, por exemplo, 3.4563456, exige o uso de quase 30 hieróglifos, ressaltando que o sistema posicional permite usar um mesmo símbolo para indicar valores diferentes.

alternativa a

3. Caso os estudantes demonstrem dificuldades no reconhecimento das classes dos milhões, dos milhares e das unidades simples pelos agrupamentos de três ordens por vez, da direita para a esquerda, retome outros exemplos com mais de um tipo de representação possível, como o quadro de ordens, o ábaco por escrito ou o material dourado.

a-IVquatro; b-Ium; c-IIdois; d-IIItrês

4. Respostas diferentes da esperada indicam que o estudante possivelmente tem dificuldade em reconhecer algumas das características do sistema de numeração decimal. Nesse caso, é conveniente propor exemplos que ressaltem que o sistema decimal utiliza apenas 10 símbolos, que possui um símbolo que representa o zero, que contamos formando grupos de 10 e, principalmente, que o valor de cada algarismo depende de sua posição na representação do número. Se achar conveniente, peça aos estudantes que justifiquem os itens que julgam ser falsos.

verdadeiros: a, c; falsos: b, d

5. Respostas incorretas indicam que o estudante possivelmente teve dificuldade em interpretar os dados contidos na tabela, não conseguindo identificar aqueles que correspondem a valores maiores do que 500 milhões ou, ainda, na representação de números na formafórma mista. Nesse caso, retome os elementos principais que constituem as tabelas e mostre novamente como os números podem ser apresentados com algarismos e por extenso.

alternativa c

Capítulo 2 – Operações com números naturais

1. Classifique os itens a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da adição e da multiplicação com os números naturais:

a) (abre parênteses a + b )​ + c = a + ​( abre parêntesesb + c )fecha parênteses​

b) a + b = b + a

c) a + 0 = 0 + a = 0

d) (abre parênteses a ⋅ b )​ ⋅ c = a ⋅ ​( abre parêntesesb ⋅ c )fecha parênteses​

e) a ⋅ b = b ⋅ a

f) a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = 1

g) a ⋅ ​(abre parênteses b + c )fecha parênteses​ = a + b ⋅ a + c

2. Associe cada potência de base 10 ao seu resultado.

a) 10​​ ⁰elevado a 0​

b) 10​​ ¹elevado a 1​

c) 10​​ ²elevado a 2​

d) 10​​ ³elevado a 3​

Ium) 10

IIdois)  100

IIItrês) 1.0001000

IVquatro) 1

3. Copie e complete a frase a seguir, substituindo cada ◼ pelo nome da operação, de acordoacôrdo com a ordem que deve ser seguida para calcular o valor de qualquer expressão numérica que contenha as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

4. Em uma divisão, ao multiplicar ou dividir o dividendo e o divisor pelo mesmo número, diferente de zero, o quociente não se altera. Observe.

Descubra o valor do ● em cada caso.

a) ● :dividido por 6 = 120 :dividido por 60

b) 15 :dividido por 3 = ● :dividido por 6

c) 120 :dividido por 24 = 40 :dividido por c

d) 100 :dividido por ● = 25 :dividido por 1

Página XXXIIItrinta e três

5. Copie e complete o quadro, efetuando os arredondamentos.

Resoluções e comentários da avaliação

1. Para resolver esta questão, os estudantes precisam reconhecer as propriedades da adição e da multiplicação em sua representação algébrica, levando em consideração que elas são válidas para qualquer aa, b e c naturais. Possíveis equívocos estão relacionados à noção de generalização. Por isso, é importante apresentar diversos exemplos numéricos para que a abstração aconteça de formafórma natural. Se achar conveniente, peça aos estudantes que justifiquem os itens que julgam ser falsos.

verdadeiros: aa, b, d, eê; falsos: c, f, g

2. Para resolver esta questão, os estudantes precisam reconhecer que uma potência de base 10 tem como resultado o número 1 como primeiro algarismo, seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente. Caso demonstrem dificuldades, escolha alguns estudantes para responder aos itens propostos e explicar como chegaram àquela resposta, de modo que fique claro como resolver de maneira prática potências de base 10, sem precisar realizar cálculos.

a-IVquatro; b-Ium; c-IIdois; d-IIItrês

3. É importante enfatizar que existe uma ordem entre as operações em uma expressão numérica, dando prioridade para as potenciações, depois para as multiplicações e divisões e, por último, para as adições e subtrações, com exceção daquelas que estiverem entre parênteses, colchetes e chaves. estão relacionados à noção de generalização. Por isso, apresente diversos exemplos numéricos e contextualizados para que a abstração aconteça de formafórma natural.

potenciações; multiplicações; divisões; adições; subtrações

4. Respostas incorretas indicam que o estudante não identificou a relação de igualdade existente ou, ainda, que compreendeu a relação, mas teve dificuldades no cálculo da operação inversa necessária para determinar o número pelo qual o dividendo e o divisor foram multiplicados/divididos. Nesse caso, faça comparações entre as igualdades em contextos de balanças de dois pratos, questionando-os sobre se a balança continuaria em equilíbrio caso a medida de massa de ambos os pratos fosse duplicada, triplicada, reduzida pela metade etcetcétera.

a) ● :dividido por 6 = 120 :dividido por 60

12

b) 15 :dividido por 3 = ● :dividido por 6

30

c) 120 :dividido por 24 = 40 :dividido por ●

8

d) 100 :dividido por ● = 25 :dividido por 1

4

5. Respostas incorretas indicam que o estudante não compreendeu as técnicas de arredondamento utilizadas ou ainda confunde a ordem numérica. Proponha novas atividades que utilizem as técnicas de arredondamento e em que haja a oportunidade para comparar cálculos exatos e aproximados, ressaltando que o arredondamento facilita o cálculo por estimativas.

Capítulo 3 – Geometria: noções iniciais

1. Classifique os sólidos geométricos a seguir em poliedro ou corpo redondo.

a)

b)

d)

c)

2. Associe cada sólido ao seu nome.

a)

b)

Página XXXIVtrinta e quatro

c)

d)

Ium) Prisma de base triangular.

IIdois) Pirâmide de base hexagonal.

IIItrês) Poliedro.

IV) Cone.

3. Para cada item, escreva se o texto traz as características dos prismas ou das pirâmides.

a) As faces laterais são sempre paralelogramos. Possuem duas faces paralelas e congruentes, chamadas bases.

b) As faces laterais são sempre triangulares. A base pode ser um polígono qualquer.

4. Copie e complete o quadro a seguir com as quantidades de arestas de uma das bases (aa), faces (F), arestas (Aa) e vértices (Vvê) de cada prisma.

Quais regularidades podemos observar entre:

• aa e Aa?

• aa e F?

5. Cite ao menos uma semelhança e uma diferença entre as características do cilindro e do cone.

Resoluções e comentários da avaliação

1. Possíveis equívocos são indícios de que o estudante não se apropriou dos critérios para classificar os sólidos em poliedros ou corpos redondos ou que ainda os confunde. Nesse caso, retome as características desses sólidos, evidenciando o formato arredondado na superfície, quando houver, se possível com o auxílio de materiais manipuláveis, como embalagens de produtos.

poliedros: b, c; corpos redondos: aa, d

2. Possíveis equívocos são indícios de que o estudante não distingue uma pirâmide e um prisma entre poliedros e não distingue o cone entre corpos redondos. Podem indicar também que o estudante reconhece as características desses poliedros e corpos redondos, mas confunde os nomes.

aa-IIdois; b-Ium; c-IVquatro; d-IIItrês

3. Caso os estudantes invertam a resposta, possivelmente demonstram que desconhecem ou não reconhecem as principais características que diferenciam prismas e pirâmides sem o suporte de imagens. Retome os conceitos e as características de prismas e pirâmides, se possível recorrendo a objetos manipuláveis.

a) Prismas.

b) Pirâmides.

4. Espera-se que os estudantes observem os prismas e suas respectivas quantidades de vértices, faces, arestas e arestas de uma das bases, estabelecendo, assim, relações entre elas. Pode ocorrer de alguns estudantes não conseguirem perceber as regularidades nas relações e encaminharem respostas diferentes das esperadas. Respostas diferentes podem estar relacionadas à contagem incorreta de algum dos elementos. Várias respostas incorretas no mesmo sólido possivelmente se devem à inversão ou à não apropriação dos conceitos de face, aresta e vértice.

Espera-se que os estudantes observem que a quantidade de arestas do sólido é igual ao triplo da quantidade de arestas de uma das bases (abre parêntesesAa = 3aa)fecha parênteses; e que a quantidade de faces de cada prisma é igual à quantidade de arestas de uma das bases mais 2 (abre parêntesesF = aa + 2)fecha parênteses.

5. Espera-se que os estudantes reconheçam pelo menos uma semelhança e uma característica entre o cilindro e o cone, principalmente relacionada à superfície formada por uma parte arredondada. Caso eles demonstrem dificuldades nesta atividade, possivelmente não associam o nome ao sólido ou apenas não conseguem se expressar usando termos adequados, como base e vértice.

Exemplo de resposta: uma semelhança é o fato de que o cilindro e o cone são corpos redondos, e uma das suas diferenças é que o cone tem um vértice, já o cilindro não tem vértices.

Capítulo 4 – Divisibilidade: múltiplos e divisores

Página XXXVtrinta e cinco

1. Qual sequência apresentada em cada um dos itens a seguir é composta apenas de números primos?

a) 3; 13; 33; 43; 53

b) 7; 17; 27; 37; 47

c) 2; 13; 15; 17; 23

d) 2; 7; 11; 23; 37

2. O algoritmo a seguir descreve o passo a passo para verificar se um número natural é par ou ímpar. No entanto, estão faltando alguns termos.

1º) Escolha um número.

2º) Divida esse número por 2.

3º) Verifique o resto da divisão.

4 º) Se o resto da divisão for ____, o número será ____. Se o resto da divisão não for _____, o número será ____.

Identifique a alternativa que contém os termos que completam as lacunas, na ordem correta.

a) 0; ímpar; 0; par

b) 0; par; 0; ímpar

c) 0; par; 1; ímpar

d) 1; par; 1; ímpar

3. Certa árvore de Natal é decorada com um cordão de luzes azuis e vermelhas, que piscam com frequências diferentes e ficam acesas por 1 segundo. As azuis piscam a cada 2 segundos e as vermelhas piscam a cada 5 segundos. Ao ligá-las pela primeira vez, as duas cores piscam ao mesmo tempo. Quanto tempo, no mínimo, é necessário para que as duas luzes pisquem juntas novamente depois de ligadas?

a) 2 segundos

b) 5 segundos

c) 10 segundos

d) 20 segundos

4. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) O zero é divisor de todos os números naturais.

b) O 1 não é divisor de nenhum número natural.

c) Todo número natural diferente de zero tem como divisor ele mesmo.

d) A quantidade de divisores de um número natural diferente de zero é finita.

e) O número zero não é primo nem composto.

f) O número 1 é primo.

g) O número 2 é primo.

5. O gráfico a seguir apresenta a quantidade de estudantes matriculados do 6º ao 9º ano em certa escola.

Dados obtidos pela secretaria da escola em março de 2023.

a) Qual é o ano com maior número de matrículas?

b) Quantos estudantes, no total, estão matriculados do 6º ao 9º ano nessa escola?

Resoluções e comentários da avaliação

1. Espera-se que os estudantes percebam que, nas sequências dos itens aa, b e c, os números 33, 27 e 15, respectivamente, são múltiplos de 3 (ou são divisíveis por 3), uma vez que a soma de seus algarismos é um número divisível por 3. Respostas sobre essas alternativas indicam que o estudante possivelmente não aplicou ou aplicou incorretamente o critério de divisibilidade e não foi até a alternativa d.

alternativa d

2. Possíveis equívocos podem estar relacionados à interpretação do algoritmo, especialmente no último passo ou, ainda, na inversão dos conceitos de par e ímpar. Ao indicar o item c, por exemplo, o estudante pode ter lido a última frase do quarto passo com desatenção, considerando que “se o resto da divisão for 1, o número será ímpar”, não percebendo a negativa na frase do enunciado.

alternativa b

3. Para resolver esta questão, os estudantes devem considerar a sequência dos múltiplos naturais de 2 e a sequência dos múltiplos naturais de 5 e identificar, com exceção do zero, quais são os múltiplos comuns de 2 e 5 simultaneamente, em particular, o menor deles. Embora envolva o conceito de mínimo múltiplo comum, pode ser resolvido por estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos, prática que deve ser estimulada.

Espera-se que os estudantes indiquem a alternativa c como resposta; no entanto, alguns estudantes poderão cometer equívocos de cálculos ou não compreender o enunciado e indicar outra alternativa. O estudante que assinalou a alternativa d, por exemplo, possivelmente verificou que 20 é múltiplo de 2 e de 5 simultaneamente, mas não considerou que 10 é o menor múltiplo comum desses números, ou seja, o tempo mínimo necessário para as duas luzes piscarem juntas.

alternativa c

4. Possíveis equívocos estão relacionados ao conceito de múltiplos e divisores ou à noção de generalização. Por isso, é importante apresentar diversos exemplos e contraexemplos numéricos para que a abstração aconteça de formafórma natural, principalmente com os números zero e 1. Verifique se os estudantes compreenderam a correspondência entre “é múltiplo de” e “é divisível por”. Se achar conveniente, peça a eles que justifiquem os itens que julgam ser falsos.

verdadeiras: c, d, e, g; falsas: aa, b, f

5. A resolução desta atividade depende da identificação dos elementos constitutivos de um gráfico de barras verticais. Para responder ao item aa, os estudantes devem identificar o valor correspondente à maior barra vertical, comparando não somente a altura de cada barra, mas também o valor informado acima dela. Já para responder ao item b, os estudantes devem obter a soma das quantidades nas quatro barras. É possível que uma resposta diferente esteja associada a equívocos na comparação, na adição ou na interpretação incorreta dos dados.

a) 6º ano

b) 357 estudantes

Página XXXVItrinta e seis

Capítulo 5 – Frações

1. Qual fração a seguir corresponde à parte pintada da figura a seguir?

2. Associe os pares de figuras que representam frações equivalentes, escrevendo a letra e o número romano correspondentes.

a)

b)

c)

Ium) 

IIdois) 

IIItrês) 

3. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) Em uma fração, o número acima do traço representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número abaixo do traço indica a quantidade de partes consideradas do todo.

b) Quando adicionamos um mesmo número natural ao numerador e ao denominador de uma fração ou subtraímos deles esse número, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.

c) Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem o maior numerador.

d) Quando simplificamos uma fração e obtemos numerador e denominador que têm apenas o 1 como divisor comum, dizemos que a fração é irredutível, ou seja, ela não pode ser mais simplificada.

4. Qual número misto corresponde à parte pintada das figuras a seguir?

5. Complete, no caderno, os itens a seguir, substituindo cada ◼ pelo símbolo > (maior que) ou < (menor que).

Resoluções e comentários da avaliação

alternativa d

2. Há mais de uma maneira de determinar os pares de figuras que representam frações equivalentes. Uma delas é visualmente, pela associação dos pares aa-IIItrês e b-Ium, pois as partes pintadas estão em regiões correspondentes da figura. Outra possibilidade é escrever a fração correspondente de cada figura e determinar frações equivalentes. Equívocos geralmente estão relacionados ao procedimento de obtenção da fração equivalente, por exemplo; alguns estudantes podem tentar adicionar ou subtrair um mesmo número natural ao denominador e ao numerador da fração, pensando em obter uma fração equivalente à primeira.

aa-IIItrês; b-Ium; c-IIdois

Página XXXVIItrinta e sete

3. Possíveis equívocos estão relacionados aos conceitos de fração de um inteiro, de fração equivalente ou fração irredutível. Por isso, é importante apresentar alguns exemplos e contraexemplos numéricos para que a abstração aconteça de formafórma natural, principalmente com a propriedade das frações equivalentes e os procedimentos para determinação delas ou, ainda, com a noção de fração de um inteiro, caso alguns estudantes julguem a afirmação a verdadeira. Se possível, promova um momento de discussão para que os estudantes justifiquem os itens que julgam ser falsos.

verdadeiras: c, d; falsas: aa, b

4. Ao indicar as alternativas aa ou d, o estudante possivelmente associou a parte inteira à quantidade de partes pintadas no inteiro à esquerda ou aos dois inteiros, respectivamente. Ao indicar a alternativa c, talvez tenha associado a parte fracionária à quantidade total de partes pintadas nos dois inteiros.

alternativa b

5. Espera-se que os estudantes não demonstrem dificuldade na comparação de frações com denominadores iguais, exceto pelo fato de que as frações não acompanham a respectiva representação por meio de figuras. Já no caso de pares de frações com denominadores diferentes, alguns estudantes poderão cometer equívocos, possivelmente por terem comparado apenas o numerador, sem obter frações equivalentes às frações iniciais ou, ainda, por terem dificuldade para realizar o procedimento para determinar as frações equivalentes.

a) <

b) >

c) >

d) <

Capítulo 6 – Operações com frações