APRESENTAÇÃO
Este livro foi elaborado para você e deve contribuir com o desenvolvimento das competências e das habilidades envolvidas no processo de aprendizagem, definidas na Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê).
Queremos que estude Matemática de fórma dinâmica e agradável. Nosso objetivo é ajudar você a descobrir que conhecer os números, as figuras geométricas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, que contribuirá para que você amplie seus conhecimentos, sua visão de mundo e sua participação na sociedade.
Procure fazer todas as atividades e explorar tudo o que este livro tem a oferecer. Aproveite também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções.
Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá que o saber proporciona grande satisfação pessoal e oportunidades para ampliar sua atuação no mundo.
Bom estudo!
CONHEÇA SEU LIVRO
Neste livro, você vai encontrar 4 unidades: a primeira com 2 capítulos e as restantes com 3 capítulos em cada uma.
SUMÁRIO
▸ Recorde 10
▸ Mostre o que você já sabe 12
unidade 1 14
CAPÍTULO 1 – Potenciação e radiciação 15
1. Recordando alguns conjuntos numéricos 15
Conjunto dos números naturais 15
Conjunto dos números inteiros 16
Conjunto dos números racionais 18
O que há entre dois números racionais? 24
3. Conjunto dos números reais 26
▸ Trabalho em equipe – O número de ouro 28
4. Potência com expoente inteiro 29
Potência com expoente inteiro não negativo 30
Potência com expoente inteiro negativo 30
5. Propriedades da potenciação para potências com expoentes inteiros 35
Cálculo da raiz quadrada aproximada 40
Cálculo da raiz quadrada por fatoração 41
8. Potência com expoente fracionário 46
▸ Compreender um texto – Um enigma que fez história 48
▸ Estatística e Probabilidade – Construção de gráficos de linha 50
CAPÍTULO 2 – Retas e ângulos 55
1. Recordando alguns conceitos 55
Elementos primitivos da Geometria 55
Semirreta e segmento de reta 56
Ângulos 58
Posições entre duas retas no plano 60
2. Mediatriz e ponto médio de um segmento 62
3. Traçando retas perpendiculares e retas paralelas com régua e compasso 63
4. Bissetriz 65
Construção de alguns ângulos usando régua e compasso 67
▸ Informática e Matemática – Lugares geométricos 69
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos de linha 72
▸ Educação Financeira – Mensagens e mais mensagens! 75
unidade 2 81
CAPÍTULO 3 – Congruência de triângulos 82
Condição de existência de um triângulo 83
Classificação dos triângulos 84
Soma das medidas de abertura dos ângulos internos 85
Relação entre um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes 86
3. Pontos notáveis de um triângulo 87
Intersecção das medianas: baricentro 87
▸ Informática e Matemática – Investigando uma propriedade do baricentro 89
Intersecção das alturas: ortocentro 90
Intersecção das bissetrizes: incentro 91
Intersecção das mediatrizes: circuncentro 92
Casos de congruência de triângulos 95
5. Triângulos isósceles e triângulos equiláteros 99
Propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles 100
Propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero 100
▸ Informática e Matemática – Investigando os pontos notáveis em um triângulo 101
Propriedade da mediana,da altura e da bissetriz de um triângulo isósceles 103
6. Justificativa de algumas construções com régua e compasso 104
Bissetriz 104
Ângulo com medida de abertura de 60° 105
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos 106
CAPÍTULO 4 – Quadriláteros 110
1. Elementos de um quadrilátero 110
Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero 112
Paralelogramos 114
Trapézios 115
▸ Informática e Matemática – Algumas propriedades dos paralelogramos 117
3. Propriedades dos paralelogramos 118
Propriedade dos retângulos 120
▸ Informática e Matemática – Algumas propriedades dos trapézios isósceles 126
4. Propriedades dos trapézios isósceles 127
▸ Trabalho em equipe – Tangram 129
▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de informações que se complementam 130
1. Polígono e seus elementos 134
2. Número de diagonais de um polígono convexo 135
3. Ângulos de um polígono convexo 136
Relação entre os ângulos internos e externos de um polígono convexo 136
Ângulos nos polígonos regulares 140
Polígono regular inscrito em uma circunferência 142
Polígono regular circunscrito a uma circunferência 144
▸ Compreender um texto – Construções com régua e compasso 147
▸ Estatística e Probabilidade – Comparação de dados representados em diferentes tipos de gráfico 149
▸ Educação Financeira – Está na hora de trocar? 153
unidade 3 159
CAPÍTULO 6 – Área e volume 160
1. Superfícies 160
Medida de área de uma superfície 161
2. Cálculo da medida de área de figuras planas 163
3. Cálculo aproximado de medidas de área 166
4. Medida de área de regiões circulares 168
Medida de área de um setor circular 169
Medida de área da coroa circular 169
▸ Compreender um texto – Embalagem longa–vida 173
CAPÍTULO 7 – Cálculo algébrico 180
Valor numérico de uma expressão algébrica 182
2. Monômio 184
4. Polinômio 193
Redução de termos semelhantes 196
Polinômio com uma variável 196
5. Adição algébrica de polinômios 198
Adição algébrica de polinômios 199
6. Multiplicação de polinômios 201
Multiplicação de monômio por polinômio 201
Multiplicação de polinômio por polinômio 201
Divisão de polinômio por monômio 203
Divisão de polinômio por polinômio 204
▸ Estatística e Probabilidade – Gráficos e porcentagem 206
▸ Educação Financeira – Decisões a tomar 209
CAPÍTULO 8 – Problemas de contagem 212
1. Contagem 212
2. Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem 213
Problemas que envolvem o princípio fundamental da contagem 215
▸ Trabalho em equipe – Gincana dos problemas de contagem 220
unidade 4 227
CAPÍTULO 9 – Equações e sistemas de equações 228
1. Equação do 1º grau com duas incógnitas 228
Representação gráfica das soluções 230
2. Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas 232
Resolução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas por tentativa e erro 233
Resolução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas pelo método da substituição 234
Resolução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas pelo método da adição 236
Análise da solução por meio da representação gráfica 239
3. Introdução às equações do 2º grau 243
▸ Informática e Matemática – Solução de equações do 2º grau do tipo ax2 = b 244
▸ Compreender um texto – Qual objeto cai mais rápido: o mais leve ou o mais pesado? 246
▸ Estatística e Probabilidade – Média aritmética, moda, mediana e amplitude 248
CAPÍTULO 10 – Proporcionalidade entre grandezas 253
1. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 253
2. Situações em que não há proporcionalidade 255
3. Representação no plano cartesiano da relação entre grandezas 256
▸ Estatística e Probabilidade – Distribuição de frequências em classes 260
▸ Educação Financeira – Indo ao supermercado 264
CAPÍTULO 11 – Transformações geométricas 267
1. Reflexão em relação a uma reta 267
2. Reflexão em relação a um ponto 269
3. Translação 270
4. Rotação 272
▸ Estatística e Probabilidade – Pesquisas estatísticas 274
▸ Trabalho em equipe – Quantos filhos? 277
▸ Mostre o que você aprendeu 281
Respostas 283
Referências bibliográficas comentadas 286
Recorde
Vamos relembrar alguns assuntos estudados em anos anteriores?
números negativos
Na reta numérica, os números inteiros estão organizados de modo crescente, da esquerda para a direita.
• O antecessor de
menos dezé ‒11.
• O sucessor de
menos cemé ‒ 99.
A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada valor absoluto, ou módulo, do número associado a esse ponto.
Operações:
Potência e raiz quadrada com base negativa:
Quando o expoente é par, o resultado é positivo.
Quando o expoente é ímpar, o resultado é negativo.
não é um número real.
Gráficos e pictogramas
Gráfico de barras com números negativos:
Gráfico de linhas com números negativos:
Pictograma: a legenda indica o valor que cada ícone representa.
média aritmética
Notas dos bimestres: 8,5; 7,8; 6,9 e 9,5.
Média aritmética:
Notas dos trabalhos: 7,0 (peso 1); 8,0 (peso 2) e 9,0 (peso 3).
Média aritmética ponderada:
Orientações e sugestões didáticas
Recorde
• Faça um levantamento dos conhecimentos prévios dos estudantes em relação aos números negativos. Incentive-os a dar exemplos de uso desses números e, principalmente, de números que fazem parte de um conjunto, mas não de outro. Leve-os a perceber que todo número natural é também um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.
• A reta numérica é um recurso importante para determinar o antecessor ou o sucessor de um número, compreender o significado de módulo e, também, comparar dois números inteiros.
• No trabalho com módulo de um número inteiro, se julgar necessário, retome os conceitos de simétrico e oposto por meio de exemplos com o suporte da reta numérica. Já em relação às operações, incentive os estudantes a expressarem suas dificuldades, principalmente quanto à regra de sinais, à potenciação e à raiz quadrada com números inteiros. Se julgar conveniente, explore outros exemplos. Se ainda restarem dúvidas, retome o estudo de potência por meio da observação de regularidades existentes.
• Ainda em relação aos números inteiros, verifique se os estudantes reconhecem os sentidos dos eixos verticais e/ou horizontais nos gráficos quando houver dados negativos.
• Espera-se que os estudantes não demonstrem dificuldade no cálculo da média aritmética simples, no entanto, é importante certificar-se de que eles fazem distinção da média aritmética ponderada. Promova um momento de discussão para levantar hipóteses acerca de possíveis equívocos.
ângulos
e
ângulo B O Csão complementares.
e
ângulo B O Dsão suplementares.
e
ângulo C O Dnão são complementares nem suplementares.
e
ângulo C O Fsão opostos pelo vértice.
e
ângulo D O Fsão opostos pelo vértice.
cálculo algébrico
Medida do perímetro:
2 x mais y mais z mais 2
O valor numérico para
x igual a 2,
y igual a 3e
z igual a menos 1é
8.
GRANDEZAS DIRETaMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
a vezes d é igual à b vezes c20
Grandezas diretamente proporcionais
|
Preço do combustível (R$) |
Medida de capacidade (litro) |
|---|---|
|
6 |
1 |
|
45 |
x |
Grandezas inversamente proporcionais
|
Medida da velocidade (km/h) |
Medida de tempo do percurso (hora) |
|---|---|
|
45 |
4 |
|
90 |
x |
equação e inequação
2 é raiz da equação
3 x mais 4 é igual a 10, pois:
3x + 4
igual a10
3 ⋅ 2 + 4
igual a10
6 + 4
igual a10
10
igual a10
O par ordenado
abscissa 3, ordenada 1é solução da equação
x mais y é igual a 4, pois
3 mais 1 é igual a 4.
Ao resolver a inequação
x mais 5 é menor que 12em
U é igual ao conjunto dos números inteiros, temos:
x + 5 < 12
x + 5 ‒ 5 < 12 ‒ 5
x < 7
medida de área de quadriláteros e de triângulos
Orientações e sugestões didáticas
• Proponha aos estudantes que construam no caderno outros pares de ângulos complementares e suplementares adjacentes, assim como ângulos opostos pelo vértice. Aproveite para verificar se reconhecem o conceito de bissetriz de um ângulo e de pares de ângulos congruentes formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal com exemplos no quadro.
• Certifique-se de que eles reconhecem as representações algébricas expressadas por meio de generalizações. Se for conveniente, formule algumas expressões ditadas ou por escrito para que traduzam para a linguagem algébrica, como: “a diferença entre dois números ao quadrado”, “o triplo de um número menos a terça parte de outro”. É interessante propor ainda alguns problemas para que possam focar tanto na tradução das linguagens quanto na resolução de problemas.
• Explore alguns exemplos de sequências numéricas e questione os estudantes se a sequência é finita ou infinita. Na representação por meio de expressões algébricas, é importante verificar se eles identificam corretamente a ordem dos termos á, á, á etcétera Leve-os a perceber que a variável n (que não é uma incógnita) pode ser substituída por qualquer número natural não nulo.
• Embora o trabalho com as grandezas e medidas vá além do processo prático para resolver problemas envolvendo quatro valores a partir de três já conhecidos, ou seja, da “regra de três”, certifique-se de que os estudantes compreenderam como ocorre a variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas. Desafie-os a listarem outras situações envolvendo grandezas proporcionais e não proporcionais para verificar se eles fazem essa distinção. No caso das grandezas inversamente proporcionais, sempre que possível, ressalte a importância de inverter uma das razões ao montar a proporção.
• Na resolução de equações ou inequação do 1º grau com uma incógnita, é importante verificar se os estudantes identificam os princípios aditivo e multiplicativo envolvidos nas (des)igualdades para evitar a simples mecanização dos processos operatórios. É importante que eles reconheçam que a relação de igualdade se mantém quando adicionamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um mesmo número. Essa habilidade é pré-requisito de outras habilidades envolvendo equações e inequações, que serão ampliadas neste volume.
• Se julgar oportuno, retome o cálculo da medida de área de quadriláteros e triângulos por meio de figuras equidecomponíveis, ou seja, que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos. Para evitar a simples memorização, é importante que eles compreendam a equivalência entre figuras de diferentes formatos. O que deve ser avaliado nesse momento é a ideia de que, a partir da “decomposição” de figuras, os estudantes compreendam e consigam determinar com facilidade as equações. Se for possível, ajude-os a determinar a expressão de cálculo da medida de área das figuras geométricas, mesmo que de maneira breve.
Avaliação diagnóstica
faça as atividades no caderno
MOSTRE O QUE VOCÊ JÁ SABE
1. As imagens a seguir representam os primeiros passos na construção do triângulo de . Ele recebe esse nome porque foi criado pelo matemático polonês (1882-1969).
Quantos triângulos brancos haverá na etapa 3?
a) 12
b) 15
c) 27
d) 81
2. Luís, Mateus e Lílian dividiram uma pizza de 12 fatias iguais. Luís comeu 6 fatias, Mateus comeu 4 e Lílian comeu 2. Considere a razão entre as fatias que Mateus comeu e o total de fatias da pizza. Qual item indica essa quantidade na fórma de fração irredutível, na fórma decimal e na fórma de porcentagem, nessa ordem?
a)
um terço; aproximadamente 0,33 e aproximadamente 33%
b)
um terço; 1,3 e 30%
c)
um quarto; 0,25 e 25%
d)
um terço; aproximadamente 3,33 e aproximadamente 3,33%
3. A professora de Matemática propôs o seguinte desafio para a turma do 8º ano.
Qual alternativa contém essa expressão algébrica?
a)
n 1 elevado a 2, mais n 2 elevado a 2, mais n 3 elevado a 2b)
abre parêntese, n menos 1, fecha parêntese, elevado a 2, mais n elevado a 2, mais, abre parêntese, n mais 1, fecha parêntese, elevado a 2c)
abre colchete, abre parêntese, n menos 1, fecha parêntese, mais n, mais, abre parêntese, n mais 1, fecha parênteses, fecha colchete, elevado a 2d)
abre parêntese, 1 mais 2 mais 3, fecha parêntese, elevado a 24. Considere as equações e os valores de x.
A)
3 x menos 2 é igual a 10
B)
2 x mais 1 é igual a 5
C)
3 x é igual a 15
um) 5
dois) 4
três) 2
Qual é a alternativa que indica a associação correta entre uma equação e sua raiz?
a) A-um; B-dois; C-três
b) A-dois; B-um; C-três
c) A-três; B-um; C-dois
d) A-dois; B-três; C-um
5. Em certa partida de basquete, a equipe de Juliana marcou 65 pontos, dos quais 15 foram marcados por ela. Qual é a fração irredutível que apresenta a razão entre o número de pontos marcados por Juliana e o número total de pontos?
a)
1 sobre 51b)
3 sobre 13c)
1 sobre 15d)
13 sobre 36. Observe a figura.
Quais são as coordenadas do simétrico desse triângulo em relação ao eixo x?
a)
ponto A linha, de coordenadas 2 e menos 2,
ponto B linha, de coordenadas 6 e menos 2e
ponto C linha, de coordenadas 3 e menos 5b)
ponto A linha, de coordenadas menos 2 e 2,
ponto B linha, de coordenadas menos 6 e 2e
ponto C linha, de coordenadas menos 3 e 5c)
ponto A linha, de coordenadas 2 e menos 5,
ponto B linha, de coordenadas 6 e menos 5e
ponto C linha, de coordenadas 3 e menos 2d)
ponto A linha, de coordenadas 2 e 0,
ponto B linha, de coordenadas 6 e 0e
ponto C linha, de coordenadas 3 e 3Respostas e comentários
1. alternativa c
2. alternativa a
3. alternativa c
4. alternativa d
5. alternativa b
6. alternativa a
Orientações e sugestões didáticas
Avaliação diagnóstica
• Para resolver a atividade 1, os estudantes precisam reconhecer que a quantidade de triângulos brancos é o triplo da quantidade obtida na etapa anterior e associar esse número a uma potência de base 3. Se julgar conveniente, retome o trabalho com potências de expoente inteiro.
• O objetivo da atividade 2 é que os estudantes escrevam a razão de uma parte em relação ao todo e obtenham uma fração irredutível, além de representá-la na fórma decimal e em porcentagem. Para levantar as dificuldades individuais ou coletivas e propor intervenções, analise os registros, os cálculos e as diferentes estratégias utilizadas pelos estudantes.
• Para resolver a atividade 3, os estudantes precisam compreender a ideia de variável em uma expressão algébrica, reconhecer que três números consecutivos podem ser representados por n ‒ 1, n e n + 1 e saber a diferença entre “a soma do quadrado de três números” e “o quadrado da soma de três números”. Proponha algumas questões para ajudar os estudantes na construção da expressão, por exemplo, “O que são números consecutivos?”, “Como podemos representá-los simbolicamente?”, “Qual é o resultado da adição de 2 e 3 ao quadrado? E de 2 ao quadrado adicionado a 3 ao quadrado?”, entre outras questões.
• Ao resolver a atividade 4, podem ser manifestadas dificuldades relacionadas ao conceito de raiz, ou nos cálculos envolvidos nessa verificação. Para sanar possíveis dúvidas, proponha aos estudantes algumas questões e peça a eles que as traduzam por meio de equações, por exemplo, “Qual é o número que adicionado a 3 resulta em 12?”, “O triplo de um número é 6, que número é esse?”.
• Na resolução da atividade 5, os estudantes precisam interpretar a razão que está sendo avaliada e representá-la na fórma de fração irredutível. Para intervir, retome a atividade e promova um momento para que os estudantes se manifestem e apresentem seus argumentos. Proponha e resolva outros exemplos para melhor compreensão do assunto, com o apoio de figuras sempre que possível.
• Para favorecer a compreensão da atividade 6, podem ser realizados trabalhos utilizando desenhos e recortes para que os estudantes reconheçam a utilização das transformações em diferentes figuras com o auxílio da malha quadriculada e, posteriormente, do plano cartesiano. É importante ainda verificar se os estudantes são capazes de localizar os pares ordenados no plano cartesiano.
• Alerte os estudantes, sempre que necessário, quanto ao uso da tesoura no trabalho com recorte, a fim de preservar sua integridade física e a dos colegas.
7. Um relógio com defeito atrasa 5 minutos por dia. Quantos dias são necessários para ele atrasar uma hora?
a) 5 dias
b) 10 dias
c) 12 dias
d) 20 dias
8. Qual é a medida da área total da figura a seguir?
a) 14 centímetros quadrados
b) 16 centímetros quadrados
c) 20 centímetros quadrados
d) 28 centímetros quadrados
9. Acompanhe a conversa de Vicente e Luan. Leia a pergunta que Vicente encontrou no seu antigo caderno.
Qual alternativa representa as possíveis respostas para essa pergunta?
a)
b)
c)
d)
10. A prefeitura de uma cidade encomendou uma pesquisa para saber o nível de satisfação com o serviço de transporte público no município durante o primeiro semestre de 2022. O gráfico a seguir apresenta o resultado dessa pesquisa.
Dados obtidos pela empresa de pesquisa estatística em julho de 2022.
Sabendo que .2000 pessoas foram entrevistadas, quantas acharam o transporte público ótimo?
a) 25 pessoas
b) quinhentas pessoas
c) duzentas e cinquenta pessoas
d) .1000 pessoas
11. Entre as alternativas a seguir, qual apresenta a descrição de um polígono cuja área mede 36 centímetros quadrados?
a) Um quadrado cujos lados medem 6 centímetros de comprimento.
b) Um triângulo cujo comprimento do lado mede 6 centímetros e o da altura relativa a esse lado também mede 6 centímetros.
c) Um losango cujas diagonais medem 4 centímetros e 9 centímetros de comprimento.
d) Um quadrado cujos lados medem 9 centímetros de comprimento.
Respostas e comentários
7. alternativa c
8. alternativa c
9. alternativa d
10. alternativa b
11. alternativa a
Orientações e sugestões didáticas
• Na atividade 7, retome as ideias relacionadas à variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, ressaltando o uso da propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios). Explore algumas situações que envolvam a variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas.
• Para resolver a atividade 8, os estudantes podem calcular a medida da área do paralelogramo ou decompô-lo e adicionar as medidas das áreas dos triângulos e dos retângulo obtidos.
• Na atividade 9, se julgar necessário intervir, leve-os a perceber que, nesse caso, há mais de uma resposta para a pergunta. Para isso, liste os números 0, 1, 2, 3 e 4 no quadro e faça questionamentos para que os estudantes determinem os números naturais que adicionados a eles resulta em 4. Em seguida, faça associações simétricas entre esses pares, por exemplo, (1, 3) e (3, 1), evidenciando a relação com as duas possibilidades para os pares ordenados (x, y).
• Para resolver a atividade 10, os estudantes precisam interpretar o gráfico de setores, identificando que 25% das pessoas entrevistadas consideram o transporte público ótimo, e calcular a quantidade correspondente a essa porcentagem num total de .2000 pessoas entrevistadas. Se julgar conveniente, peça aos estudantes para interpretar os outros setores do gráfico e a calcular as quantidades correspondentes em relação ao total de 2 000 pessoas.
• Na atividade 11, pode ser realizado um trabalho de retomada de conteúdos visando reforçar as decomposições e as composições para estabelecer a expressão de cálculo por meio da ideia de figuras equidecomponíveis. Se julgar necessário, calcule no quadro a medida de área de cada polígono dessa atividade.