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APRESENTAÇÃO

Este livro foi elaborado para você e deve contribuir com o desenvolvimento das competências e das habilidades envolvidas no processo de aprendizagem, definidas na Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê).

Queremos que estude Matemática de fórma dinâmica e agradável. Nosso objetivo é ajudar você a descobrir que conhecer os números, as figuras geométricas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, que contribuirá para que você amplie seus conhecimentos, sua visão de mundo e sua participação na sociedade.

Procure fazer todas as atividades e explorar tudo o que este livro tem a oferecer. Aproveite também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções.

Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá que o saber proporciona grande satisfação pessoal e oportunidades para ampliar sua atuação no mundo.

Bom estudo!

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CONHEÇA SEU LIVRO

Neste livro, você vai encontrar 4 unidades com 3 ou 2 capítulos em cada uma.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de uma das páginas da seção Recorde. Há um fio roxo, no canto superior direito, que associa a reprodução ao texto: Recorde. Esta seção ajuda você a lembrar de alguns conteúdos já estudados.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de uma das páginas da seção Mostre o que você já sabe. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Mostre o que você já sabe O objetivo desta seção é verificar seus conhecimentos sobre os conteúdos estudados anteriormente.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de uma das páginas de Abertura. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Página de abertura Em cada Unidade há uma abertura com uma imagem motivadora. Há um segundo fio roxo, no canto inferior direito, que associa a reprodução ao texto: Questões sobre o tema da abertura, no boxe Para começar..., são propostas com o objetivo de identificar e mobilizar os conhecimentos que você tem de alguns assuntos que serão tratados na Unidade.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas do livro. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Apresentação dos conteúdos e das atividades O conteúdo é desenvolvido de forma clara e organizada. Após a abordagem dos conteúdos, vem a seção Atividades, com propostas diversificadas.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas da seção Estatística e Probabilidade. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Estatística e Probabilidade O objetivo desta seção é desenvolver a interpretação, a comparação e a análise de dados apresentados em diversas formas e abordar temas relacionados ao cálculo de probabilidade.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de página da seção Atividades de revisão. Há um fio roxo, no canto superior direito, que associa a reprodução ao texto: Atividades de revisão São atividades que consolidam o conhecimento adquirido em cada capítulo da Unidade.

Esquema. Quadro com ícones. Ícones que indicam um tipo especial de atividade ou se ela deve ser feita em grupo ou dupla. ícone: ilustração de um alvo com flecha no centro. abaixo texto Desafio. ícone: ilustração de um rosto com o balão de pensamento. No balão de pensamento os sinais das operações de subtração, adição, divisão e multiplicação. abaixo texto Cálculo mental. ícone: ilustração de um círculo com rabiscos de ondas e um lápis. abaixo texto Elaboração de problemas. ícone: ilustração de uma calculadora com botões e os números 1, 2 e 3 no visor. abaixo texto Calculadora. ícone: ilustração de três personagens em um círculo. abaixo texto Grupo ou dupla. ícone: ilustração de um balão de pensamento com um fluxograma. abaixo texto Pensamento computacional.

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Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas da seção Compreender um texto. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Compreender um texto Esta seção tem o objetivo de desenvolver a competência leitora por meio da análise de diversos tipos de texto. Há um segundo fio roxo, no centro da página à direita, que associa a reprodução ao texto: Questões especialmente desenvolvidas orientam a interpretação e a análise do texto e exploram o conteúdo matemático estudado.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas da seção Educação Financeira. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Educação Financeira Esta seção apresenta atividades que farão você refletir sobre atitudes responsáveis e conscientes no planejamento e no uso de recursos financeiros em seu dia a dia.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de página da seção Informática e Matemática. Há um fio roxo, no canto superior esquerdo, que associa a reprodução ao texto: Informática e Matemática Esta seção trabalha conteúdos de Matemática por meio de tecnologias digitais como softwares de Geometria dinâmica, planilhas eletrônicas etc.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de página da seção Trabalho em equipe. Há um fio roxo, no canto superior direito, que associa a reprodução ao texto: Trabalho em equipe Além de proporcionar a integração com os colegas e estimular o espírito de pesquisa, esta seção visa à aplicação dos conceitos estudados.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de página da seção Para finalizar. Há um fio roxo, no canto superior direito, que associa a reprodução ao texto: Para finalizar Nesta seção, você poderá analisar o que foi estudado em cada capítulo da Unidade e avaliar seu aprendizado.

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de página da seção Mostre o que você aprendeu. Há um fio roxo, no canto superior direito, que associa a reprodução ao texto: Mostre o que você aprendeu Nesta seção, você vai verificar os conhecimentos adquiridos neste ano.

Esquema. Quadro com ícones. Ícones que indicam os Temas Contemporâneos Transversais. ícone: ilustração de uma meia amarela com o cifrão. abaixo texto Economia. ícone: ilustração, em verde, de três bonecos interligados. abaixo texto Cidadania e civismo. ícone: ilustração, em vermelho, de uma mão segurando um coração. No centro do coração há uma linha em ziguezague. abaixo texto Saúde. ícone: ilustração, em azul, de uma circunferência com uma flor no centro. Na parte inferior da circunferência 5 folhas. abaixo texto Multiculturalismo. ícone: ilustração, em verde, de uma árvore com duas setas circulares. abaixo texto Meio ambiente. ícone: ilustração, em roxo, de um microscópio. abaixo texto Ciência e tecnologia.

Quadro com texto. Os links expressos nesta coleção podem estar indisponíveis após a data de publicação deste material.

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SUMÁRIO

▸ Recorde 10

▸ Mostre o que você já sabe 12

unidade 1 14

CAPÍTULO 1 – Números reais 15

1. Números naturais, números inteiros e números racionais 15

2. Representação de números racionais na forma decimal 16

3. Números irracionais 19

4. Números reais 24

A reta numérica 24

▸ Estatística e Probabilidade – Pictogramas 27

▸ Atividades de revisão 30

CAPÍTULO 2 – Potenciação e radiciação 31

1. Potências 31

Propriedades da potenciação para potências com expoentes inteiros 34

Notação científica 34

▸ Trabalho em equipe – Conhecendo o mundo microscópico 38

2. Raiz enésima de um número real 38

Radicais 42

▸ Compreender um texto – Saturno, um planeta colossal 46

3. Operações com radicais 48

Adição algébrica com radicais 48

Multiplicação e divisão com radicais 50

Potenciação e radiciação com radicais 51

4. Racionalização de denominadores 53

5. Potência com expoente fracionário 55

6. Porcentagem 57

▸ Educação Financeira – Quando o barato sai caro 60

▸ Estatística e Probabilidade – Gráficos e média aritmética 62

▸ Atividades de revisão 64

CAPÍTULO 3 – Circunferência 65

1. Circunferência e círculo 65

2. Posições relativas 66

Posições de um ponto em relação a uma circunferência 66

Posições de uma reta em relação a uma circunferência 67

Posições relativas entre duas circunferências 71

3. Ângulos na circunferência 73

Arco de circunferência 73

Ângulo central 73

Medida de arco (em grau) 74

Ângulos inscritos 76

▸ Informática e Matemática – Ângulos em uma circunferência 76

Relação entre ângulo inscrito e ângulo central 77

▸ Estatística e Probabilidade – Média aritmética, mediana e moda 80

▸ Atividades de revisão 84

▸ Para finalizar 86

Ilustração. Em um quarto com janela e parede amarela, menina branca, com cabelo castanho preso, camiseta vermelha com detalhe amarelo e calça azul, sentada em cadeira verde e, em sua frente, uma mesa verde. Está com a mão esquerda apoiada em teclado cinza e a mão direita em mouse cinza, olhando para o monitor com o software de geometria aberto, traçando uma circunferência.

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unidade 2 88

CAPÍTULO 4 – Produtos notáveis e fatoração 89

1. Produtos notáveis 89

Quadrado da soma de dois termos 90

Quadrado da diferença de dois termos 93

Produto da soma pela diferença de dois termos 95

2. Fatoração de expressões algébricas 98

Fator comum em evidência 99

Agrupamento 101

Diferença de dois quadrados 103

Trinômio quadrado perfeito 105

▸ Compreender um texto – Agricultura familiar 108

▸ Estatística e Probabilidade – Planejamento e execução de pesquisa amostral 110

▸ Trabalho em equipe – Pesquisa sobre o transporte público 112

▸ Atividades de revisão 113

CAPÍTULO 5 – Semelhança 115

1. Retomando alguns conceitos 115

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 115

Razão e proporção 119

2. Figuras semelhantes 121

3. Polígonos semelhantes 123

Propriedades de polígonos semelhantes 126

4. Triângulos semelhantes 128

Casos de semelhança de triângulos 129

Tales e a aplicação da semelhança de triângulos 131

▸ Informática e Matemática – Teorema de Tales 133

5. Teorema de Tales 134

Demonstração do teorema de Tales 135

▸ Estatística e Probabilidade – Leitura e interpretação de gráficos que se complementam 137

▸ Educação Financeira – Por que eu tenho de fazer isso? 140

▸ Atividades de revisão 142

▸ Para finalizar 144

Ilustração. Menino cadeirante, branco, cabelo preto, camiseta vermelha com detalhes em verde e cinza, calça azul e tênis amarelo com detalhes brancos. Está sentado em cadeira de rodas preta e cinza. O braço direito está apoiado no braço da cadeira e o esquerdo está levantando, apenas com o cotovelo apoiado, e com a palma da mão para cima. Ilustração. Mulher branca, ruiva, vestindo blusa azul e camisa branca por cima, calça azul e sapato vermelho. Ela despeja areia de um cone verde que segura nas mãos em um recipiente transparente, cilíndrico, que está em cima de uma mesa cinza ao seu lado.

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unidade 3 146

CAPÍTULO 6 – Relações métricas no triângulo retângulo 147

1. Primeira relação métrica: teorema de Pitágoras 147

▸ Informática e Matemática – Verificação experimental 148

Demonstração do teorema de Pitágoras 149

2. Outras relações métricas no triângulo retângulo 151

Segunda relação métrica 152

Terceira relação métrica 153

Quarta relação métrica 154

3. Aplicações do teorema de Pitágoras 156

Medida de comprimento da diagonal de um quadrado 156

Medida de comprimento da altura de um triângulo equilátero 157

Medida de distância entre dois pontos no plano cartesiano 160

▸ Estatística e Probabilidade – Construção, leitura e interpretação de gráficos em planilhas eletrônicas 164

▸ Trabalho em equipe – Dados estatísticos e o trânsito 167

▸ Compreender um texto – Cidadania digital 168

▸ Atividades de revisão 170

CAPÍTULO 7 – Equações do 2º grau 173

1. Equação do 2º grau com uma incógnita 173

Raízes de uma equação do 2º grau 174

2. Resolução de uma equação do 2º grau incompleta 176

Quando ax ² + c = 0 176

Quando ax ² + bx = 0 177

3. Resolução de uma equação do 2º grau completa 179

Quando o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito 179

Quando o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito 180

Fórmula de resolução de uma equação do 2º grau 182

4. Sistema de equações do 2º grau 186

▸ Estatística e Probabilidade – Análise de gráficos que induzem ao erro 190

▸ Educação Financeira – Que conversa é essa? 192

▸ Atividades de revisão 194

▸ Para finalizar 196

Ilustração. Quatro crianças, lado a lado, de diferentes etnias, sentadas à frente de computadores que estão sobre uma mesa azul. Todos estão com as mãos apoiadas nos teclados e mouses. Balão de fala da primeira criança, da esquerda para a direita, com o texto: Ah, como os dados estão representados em porcentagem, o melhor gráfico é o de setores. Balão de fala da segunda criança, da esquerda para a direita, com o texto: Mas não conseguimos representar todos os dados em um gráfico de setores... Balão de fala da terceira criança, da esquerda para a direita, com o texto: E o gráfico de linhas também não é o mais adequado porque não estamos mostrando uma evolução ao longo do tempo. Balão de fala da quarta criança, da esquerda para a direita, com o texto: O gráfico de barras agrupadas pode representar esse conjunto de dados. Nele será fácil visualizar e comparar o acesso à internet nas Regiões.

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unidade 4 198

CAPÍTULO 8 – Funções 199

1. Ideia de função 199

Lei de formação da função 200

Variáveis 200

2. A notação f (x) 202

Valor de uma função 202

3. Representação gráfica de uma função 204

Construção do gráfico de uma função 207

Todo gráfico representa uma função? 208

▸ Estatística e Probabilidade – Analisar os dados de gráficos fazendo inferências 210

▸ Educação Financeira – Você gosta de ostentar? Cuidado! 212

▸ Atividades de revisão 214

CAPÍTULO 9 – Função afim 215

1. Função afim 215

Gráfico da função afim 217

▸ Informática e Matemática – Gráfico da função afim 219

Zero da função afim 221

Análise do gráfico de uma função afim 222

2. Função linear e proporcionalidade 225

▸ Compreender um texto – De olho na bateria 230

▸ Estatística e Probabilidade – Probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes 232

▸ Trabalho em equipe – Fotografia e Matemática 234

▸ Atividades de revisão 235

CAPÍTULO 10 – Figuras geométricas não planas e medida de volume 236

1. Figuras geométricas não planas 236

Secções de figuras não planas 237

Planificação 237

2. Poliedros 238

3. Projeção ortogonal 241

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano 241

Projeção ortogonal de figuras geométricas sobre um plano 241

Vistas ortogonais de figuras geométricas 241

Desenhando objetos 243

A perspectiva nas artes visuais 245

4. Medida de volume de um prisma 248

Medida de volume de um paralelepípedo 249

Medida de volume de um prisma qualquer 250

5. Medida de volume de uma pirâmide 251

6. Medida de volume de um cilindro 254

7. Medida de volume de um cone 256

▸ Estatística e Probabilidade – Comunicando resultados de pesquisa amostral 258

▸ Atividades de revisão 261

▸ Para finalizar 263

▸ Mostre o que você aprendeu 265

Respostas 267

Referências bibliográficas comentadas 270

Ilustração. No centro, um globo terrestre ligado por fios azuis a círculos com ilustração de pessoas. Na parte superior esquerda, fio azul do globo terrestre saindo da América do Norte para círculo azul, com ilustração de uma mulher branca, ruiva, com blusa verde, à frente de notebook rosa, acenando com a mão direita para tela. Na parte inferior, ligado a esse círculo por meio de uma linha tracejada e um balão de fala, está outro círculo azul com ilustração de um homem branco, cabelo castanho, vestindo camisa amarela com detalhe em branco, segurando um celular com a mão esquerda e acenando para a tela com a mão direita. Esse círculo também está ligado por fio ao globo terrestre, em um país do lado esquerdo da América do Sul. Na parte superior direita, fio azul do globo terrestre saindo do continente Africano para círculo azul, com ilustração de uma mulher negra, cabelo preto, vestindo regata listrada de rosa e branco, segurando com as duas mãos um tablet e olhando para ele. No lado direito do círculo anterior, ligado por meio de uma linha tracejada azul e um envelope com um arroba, está outro círculo azul com ilustração de um homem branco, cabelo castanho, vestindo camisa branca com detalhes em azul e com crachá, com headset, sentado à frente de um notebook cinza apoiado em uma mesa, com a mão esquerda apoiada no teclado. Na parte inferior, ligado a esse círculo por meio de uma linha tracejada e um retângulo com cifrão, está outro círculo azul com ilustração de um homem branco, cabelo preto, vestindo terno preto, camisa branca e gravata azul, segurando, com a mão direita, um celular azul e olhando para a tela. Esse círculo também está ligado por fio ao globo terrestre, em um país do lado direito da América do Sul.

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Recorde

Vamos rever alguns assuntos estudados em anos anteriores?

Notação científica

Um número escrito em notação científica é expresso como um produto a ⋅ 10elevado a k, em que a é um número escrito na fórma decimal cuja parte inteira tem um único algarismo diferente de zero e k é um número inteiro. Exemplos:

4 ⋅ 10elevado a 5

2,3 ⋅ 10elevado a menos 2

9 ⋅ 10elevado a menos 31

1 ⋅ 10elevado a 11

Cálculo com porcentagens

7% de 225 =

\frac{7}{100}

⋅ 225 =

\frac{1 575}{100}

= 15,75

10,5% de 50 =

\frac{10, 5}{100}

⋅ 50 = 0,105 ⋅ 50 = 5,25

Valor numérico de uma expressão algébrica

O valor numérico da expressão

\frac{1}{2}

aelevado a 2, para a = 10, é 50, pois:

\frac{1}{2}

⋅ 10² =

\frac{1}{2}

⋅ 100 = 50

Operações com polinômios

Adição

abre parênteses2x + 3yz + 4zfecha parênteses + abre parêntesesx + y + 7z menos 2fecha parênteses =

= 2x + 3yz + 4z + x + y + 7z menos 2 =

= 2x + x + 4z + 7z + 3yz + y menos 2 =

= 3x + 11z + 3yz + y menos 2

Subtração

abre parêntesesx + z + 4zwfecha parênteses menos abre parêntesesmenos2x + y + 3zfecha parênteses =

= x + z + 4zw + 2x menos y menos 3z =

= x + 2x + z ‒ 3z + 4zw menos y =

= 3x menos 2z + 4zw menos y

Multiplicação

abre parêntesesxelevado a 2 + 1fecha parênteses ⋅ abre parêntesesx menos 1fecha parênteses = xelevado a 3 menos xelevado a 2 + x menos 1

Divisão

O quociente de 4xelevado a 2 menos x + 5 por abre parêntesesx menos 1fecha parênteses é 4x + 3, com resto 8.

Retas paralelas

Duas retas no plano são ditas paralelas quando não se cruzam, ou seja, não têm ponto em comum.

As retas r e t são paralelas.

Ilustração. Duas retas azuis horizontais mantendo a mesma distância uma da outra. A reta de cima é nomeada r e a debaixo t.

Orientações e sugestões didáticas

Recorde

• Após retomar o trabalho com notação científica, escreva no quadro alguns números e solicite aos estudantes que identifiquem quais estão escritos em notação científica. A seguir estão apresentadas algumas sugestões de números:

2,3

4,3 ⋅ 10elevado a 7

12,3 ⋅ 10elevado a 2

4 ⋅ 97

• Ao trabalhar com cálculo de porcentagens, verifique se os estudantes compreendem o conceito de porcentagem, bem como a relação desse conteúdo com frações e números decimais. Se julgar necessário, informe-lhes que taxa percentual ou porcentagem é a razão entre um número p e 100, que indicamos por

\frac{p}{100}

ou p%.

• A compreensão do valor numérico de uma expressão algébrica é necessária para o desenvolvimento de alguns conteúdos relacionados a equações e funções. Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que determinem o valor numérico de outras expressões algébricas, por exemplo:

2x + 3, para x = 10

4yx + 2z menos 3y, para x = 3, y = 1 e z = 7

• Em cada exemplo de operações com polinômios, foram destacadas as variáveis e os expoentes que sofreram alteração em relação ao seu valor inicial. Caso os estudantes apresentem dificuldades ao operar com polinômios, retome o trabalho com monômios, monômios semelhantes, operações com monômios, polinômios e oposto de um polinômio.

• O uso de um software de Geometria dinâmica pode auxiliar os estudantes na compreensão do assunto sobre retas paralelas.

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Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo tem um dos ângulos internos reto.

Figura geométrica. Triângulo um ângulo dos ângulos internos reto.

MEDIDA DE Área de quadriláteros, de triângulo e de círculo

Esquema. Fórmula da área do retângulo: A maiúsculo igual a b minúsculo vezes a minúsculo. Cota abaixo do b indicando medida de comprimento da base. Cota abaixo do a minúsculo indicando medida da altura relativa à base. Esquema. Fórmula da área do triângulo: A maiúsculo igual a fração com numerador b minúsculo vezes a minúsculo e denominador 2. Cota acima do b indicando medida de comprimento da base. Cota acima do a minúsculo indicando medida da altura relativa à base. Esquema. Fórmula da área do losango: A maiúsculo igual a fração com numerador d1, com 1 subscrito vezes d2, com 2 subscrito e denominador 2. Cota acima do d1 indicando medida de comprimento da diagonal menor. Cota acima do d2 indicando medida de comprimento da diagonal maior. Esquema. Fórmula da área do paralelogramo: A maiúsculo igual a b minúsculo vezes a minúsculo. Cota abaixo do b indicando medida de comprimento da base. Cota abaixo do a minúsculo indicando medida da altura relativa à base. Esquema. Fórmula da área do trapézio: A maiúsculo igual a fração com numerador a minúsculo vezes abre parênteses b1, com 1 subscrito vezes b2, com 2 subscrito fecha parênteses e denominador 2. Cota acima do a indicando medida da altura. Cota acima do b1 indicando medida de comprimento da base menor. Cota acima do b2 indicando medida de comprimento da base maior. Esquema. Fórmula da área do círculo: A maiúsculo igual a pi vezes r elevado a 2. Cota abaixo do r indicando medida de comprimento raio.

Princípio fundamental da contagem

É possível formar 648 números de três algarismos distintos. Para justificar essa afirmação, podemos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Esquema. 9 vezes 9 vezes 8 igual 648. A palavra ‘centena’ em azul e uma seta apontando para ela indicando ‘9 modos’ em vermelho, e abaixo ‘Qualquer algarismo, exceto o zero.’ Ao lado direito, a palavra ‘dezena’ em azul e uma seta apontando para ela indicando ‘9 modos’ em vermelho, e abaixo ‘Qualquer algarismo não escolhido para a casa da centena.’ Ao lado direito, a palavra ‘unidade’ em azul e uma seta apontando para ela indicando ‘8 modos’ em vermelho, e abaixo ‘Qualquer algarismo que ainda não foi escolhido.’

9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648

Medidas de tendência central

Nome	Marta	Cláudio	Pedro	João	Teobaldo
Idade (em ano)	23	34	18	25	23

• A idade média das pessoas apresentadas no quadro é 24,6 anos, pois:

\frac{23 + 34 + 18 + 25 + 23}{5}

\frac{123}{5}

= 24,6

• A idade que mais aparece no quadro é 23 anos. Nesse caso, dizemos que a moda das idades é 23 anos.

• A mediana do conjunto de dados é 23 anos, pois ao organizarmos as idades em ordem crescente, por exemplo, obtemos:

Ilustração. Quadro com uma linha e cinco colunas preenchido com os números 18, 23, 23, 25 e 34. O número 23 da terceira coluna está em destaque com o fundo azul. Abaixo do quadro, alinhado com o número em destaque, o texto: termo central.

Orientações e sugestões didáticas

• Aproveite o triângulo retângulo apresentado e questione os estudantes acerca de seus elementos. Faça perguntas como: “Se o triângulo já tem um ângulo interno reto, qual é a soma dos outros dois ângulos internos?”, “Um triângulo retângulo pode ser isósceles?” ou “Um triângulo retângulo pode ter a medida dos três ângulos internos iguais?”. Conhecer os elementos do triângulo retângulo, bem como suas características, é importante para o desenvolvimento dos conteúdos propostos no Capítulo 6.

• Para verificar se os estudantes calculam corretamente a medida de área, proponha atividades com retângulos, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos para que eles calculem as respectivas medidas de áreas – nessas figuras devem ser indicadas as medidas necessárias para o uso das fórmulas. Além disso, questione-os sobre qual fórmula eles utilizariam para calcular a medida da área de um quadrado. Nesse momento, espera-se que eles saibam que todo quadrado é retângulo e, consequentemente, utilizem a fórmula A = b ⋅ a, com b = a, ou seja, A = aelevado a 2, em que a é a medida de comprimento do lado do quadrado.

• Proponha aos estudantes que resolvam outros problemas utilizando o princípio fundamental da contagem. A seguir são apresentadas algumas sugestões.

1. Quantos números com 4 algarismos podemos formar?

2. De quantas maneiras diferentes é possível que 6 pessoas se sentem em 4 cadeiras?

Caso apresentem dificuldades, proponha-lhes situações mais simples com o uso do quadro e da árvore de possibilidades.

• É de suma importância a compreensão das medidas de tendência central de um conjunto de dados, uma vez que os estudantes devem representar algumas dessas medidas em gráficos. Caso apresentem dificuldades na compreensão desse assunto, retome o trabalho para que as dúvidas sejam sanadas.

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Avaliação diagnóstica

faça as atividades no caderno

MOSTRE O QUE VOCÊ JÁ SABE

1. Observe a reta numérica a seguir.

Gráfico. Reta numérica com o sentido para a direita e os números 0, fração 3 quintos, 1 vírgula 75, 3 e 4 indicados nela. A reta possui traços alinhados com os números indicados.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 0 e o traço correspondente a fração 3 quintos, ponto com indicação da letra A.
No trecho da reta entre o traço correspondente a fração 3 quintos e o traço correspondente ao número 1 vírgula 75, mais próximo do 1 vírgula 75, ponto com indicação da letra B.
No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 1 vírgula 75 e o traço correspondente ao 3, ponto com a indicação da letra C. No trecho da reta entre o traço correspondente ao número 3 e o traço correspondente ao 4, ponto com a indicação da letra D.

Qual dos pontos indicados na reta corresponde ao número

\frac{4}{3}

a) A

b) B

c) C

d) D

2. Gabriela comprou um notebook e instalou os programas que precisa para trabalhar. Após esse processo, ela verificou a seguinte informação.

Ilustração. Notebook cinza, aberto. Na tela, fundo azul com ilustração de um disco rígido e, ao lado, uma barra cinza sendo carregada com a cor vermelha e o texto em preto: Disco local, abre parênteses, C dois pontos, fecha parênteses, 150 gigabytes de espaço livre em um total de 250 gigabytes.

Gabriela pretende organizar o espaço restante em pastas com capacidade para 600 megabytes cada uma. Sabendo que 1 gigabyte corresponde a

2^{10}

megabytes, identifique a alternativa que indica a quantidade de pastas que podem ser criadas nessas condições.

a) duzentas e cinquenta e seis pastas.

b) quinhentas e doze pastas.

c) seiscentas pastas.

d) 4.096 pastas.

3. Observe a promoção feita por uma loja para um determinado modêlo de aparelho celular.

Ilustração. Folheto de promoção com fundo azul e duas fotos de um celular preto. À esquerda, a parte de trás do aparelho. À direita, parte da frente do aparelho, com a tela na cor branca e vermelha. No canto superior direito, balão amarelo com contorno em vermelho, com várias pontas, e texto em vermelho: PROMOÇÃO!
Na parte inferior central, texto amarelo com contorno vermelho: 8 vezes 150 reais e abaixo o texto "ou 960 reais à vista".

Qual é a porcentagem de desconto oferecida nessa promoção para pagamento à vista?

a) 10%

b) 15%

c) 20%

d) 24%

4. Diego é gerente de uma loja de móveis. Para a queima de estoque, ele ofereceu um desconto de 15% para pagamento à vista de um sofá cujo valor inicial era de R$ 2.000,00dois mil reais. Após essa promoção, ele reajustou o preço do sofá, aumentando-o em 15% em relação ao valor à vista durante a promoção.

Qual é o preço final desse sofá após esse aumento?

a) R$ 1.700,00mil setecentos reais

b) R$ 1.955,00mil novecentos e cinquenta e cinco reais

c) R$ 2.000,00dois mil reais

d) R$ 2.300,00dois mil trezentos reais

5. Em um petshop, cada quilograma de ração para cães é vendido por R$ 4,50quatro reais e cinquenta centavos e cada quilograma de ração para gatos por R$ 5,90cinco reais e noventa centavos.

Se um cliente comprar x quilogramas de ração para cães e y quilogramas de ração para gatos, qual expressão algébrica permite calcular o valor que será gasto por ele nessa compra?

10, 40 \cdot x \cdot y

10, 40 \cdot x

5, 90 \cdot x + 4, 50 \cdot y

4, 50 \cdot x + 5, 90 \cdot y

6. Tatiana trabalha como vendedora em uma loja de cosméticos. Mensalmente ela recebe um salário fixo de R$ 1.500,00mil quinhentos reais, além de uma comissão a cada venda realizada. O valor dessa comissão é de 5% do valor total das vendas feitas por ela ao longo do mês.

Representando o salário de Tatiana por s e o valor total das vendas feitas por ela em um mês por v, qual expressão algébrica indica o salário recebido por Tatiana no mês?

s = 1 505 \cdot v

s = 1 500 + v

s = 1 500 + 0, 05 \cdot v

s = 1 500 + 5 \cdot v

Respostas e comentários

1. alternativa b

2. alternativa a

3. alternativa c

4. alternativa b

5. alternativa d

6. alternativa c

Orientações e sugestões didáticas

Avaliação diagnóstica

• Na atividade 1, para sanar as dúvidas dos estudantes e ajudá-los a reconhecer a posição de números racionais na reta numérica, pode ser proposto um trabalho que permita a eles focar mais nas conversões entre as representações fracionária e decimal, inclusive com o uso da calculadora, auxiliando na identificação de números racionais na reta numérica.

• Na atividade 2, a retomada de conteúdos envolvendo unidades de medida de armazenamento de dados relacionados à informática propicia aos estudantes estabelecer uma relação com os números reais e as potências, e favorecer a compreensão desse conteúdo, bem como a resolução de problemas semelhantes.

• Na atividade 3, o trabalho com situações reais, como a análise de propagandas feitas por lojas por meio de diferentes meios de comunicação, pode contribuir com o estudo de questões semelhantes, visto que apresenta aos estudantes aplicações reais dos conceitos envolvidos. O emprego das calculadoras também pode favorecer a resolução.

• Para solucionar a atividade 4, os estudantes precisam perceber que um desconto e um aumento sucessivos, sob uma mesma taxa, podem gerar um resultado diferente. Por isso, se julgar oportuno, proponha outros problemas que permitam a eles observar esse tipo de situação e compreender as estratégias de cálculo de porcentagens.

• Na resolução da atividade 5, os estudantes podem ser instigados a construir um quadro que mostre a quantidade comprada de cada ração e o preço cobrado, escolhendo diferentes quantidades para x e y e efetuando os cálculos correspondentes, de fórma a generalizarem a ideia empregada nessa estratégia para a construção da expressão algébrica solicitada.

• Na atividade 6, é retomado o trabalho com porcentagem, principalmente no que se refere ao seu cálculo e sua representação na fórma decimal, contribuindo para que os estudantes resolvam a situação-problema. Além disso, o cálculo do salário para alguns valores específicos de venda pode favorecer a compreensão e a construção da expressão algébrica solicitada.

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7. Para finalizar um serviço de jardinagem nas dependências da prefeitura de uma cidade, cinco jardineiros precisam trabalhar durante quatro horas. Se oito jardineiros forem indicados para esse mesmo serviço, em quanto tempo eles conseguirão finalizá-lo?

a) duas horas e meia

b) 4 horas

c) 6 horas e meia

d) 10 horas

8. Uma empresa de engenharia pretende lançar um novo condomínio horizontal. Para isso, ela está projetando os terrenos e as ruas que integrarão esse condomínio. De acôrdo com o projeto, será construída uma praça no formato de um triângulo retângulo no centro desse condomínio. Para isso, precisa estabelecer as dimensões dessa praça, considerando os ângulos internos desse triângulo. Identifique qual dos seguintes itens atende aos objetivos dessa empresa para a praça.

Ilustração. Triângulo vermelho com indicação de dois ângulos internos: 50 graus e 70 graus.

Ilustração. Triângulo vermelho com indicação de dois ângulos internos: 30 graus e 30 graus.

Ilustração. Triângulo vermelho com indicação de dois ângulos internos: 50 graus e 40 graus.

Ilustração. Triângulo vermelho com indicação de dois ângulos internos: 60 graus e 40 graus.

9. Em uma turma composta de 20 estudantes, dos quais 8 são meninas e o restante meninos, a professora de Matemática está sorteando aqueles que serão os representantes da turma para a gincana escolar. Sabendo que o primeiro estudante sorteado é uma menina, qual é a probabilidade de que o segundo estudante sorteado seja um menino?

\frac{1}{19}

\frac{3}{5}

\frac{8}{20}

\frac{12}{19}

10. Em uma urna, foram depositadas 5 bolas azuis, 9 bolas vermelhas e duas bolas amarelas, todas de mesmo tamanho e mesma medida de massa. Duas bolas serão sorteadas e não serão repostas. Se no primeiro sorteio foi retirada uma bola amarela dessa urna, qual é a probabilidade de que no segundo sorteio seja retirada outra bola amarela?

\frac{1}{16}

\frac{1}{15}

\frac{14}{15}

\frac{1}{2}

11. Observe a expressão algébrica que Fernanda escreveu em seu caderno.

Ilustração. Folha de caderno com texto em azul: abre parênteses, x mais 2y, fecha parênteses elevado a 2.

Qual das seguintes expressões algébricas é equivalente à expressão escrita por Fernanda?

x^{2} + 2 y^{2}

x^{2} + 4 y^{2}

x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}

x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}

Respostas e comentários

7. alternativa a

8. alternativa c

9. alternativa d

10. alternativa b

11. alternativa d

Orientações e sugestões didáticas

• Na atividade 7, as dúvidas a respeito da diferenciação entre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais podem ser sanadas a partir de uma conversa com toda a turma a respeito desse assunto. Se julgar oportuno, sugira exemplos com atividades desenvolvidas pelos estudantes na escola envolvendo relações de proporcionalidade direta e inversa, permitindo aos estudantes compartilhar suas percepções acerca do tema.

• Na atividade 8, pode ser desenvolvido um trabalho de classificação de triângulos quanto à medida de comprimento de lado e medida de abertura de ângulo, reforçando as características dos triângulos retângulos e destacando que eles podem ter diferentes medidas de comprimento de lados e de abertura de ângulos internos, desde que a medida de abertura de um dos ângulos meça 90graus.

• A situação retratada na atividade 9 pode ser simulada em sala de aula para que os estudantes percebam a mudança no espaço amostral com o primeiro sorteio.

• Diante das dificuldades manifestadas pelos estudantes na atividade 10, proponha estudos práticos envolvendo sorteios realizados em sala de aula de modo a propiciar aos estudantes a compreensão do espaço amostral e do evento, bem como do cálculo de probabilidades. Podem ser consideradas também outras variações da mesma situação para que eles reflitam sobre as semelhanças e as diferenças observadas.

• Durante a resolução da atividade 11, é importante verificar a compreensão dos estudantes a respeito de monômios e polinômios, fazendo questionamentos que permitam avaliar a compreensão deles sobre o tema, essencial no estudo de equações e funções polinomiais.