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Apresentação

Professor, esta Coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do Professor, você encontra algumas reflexões sôbre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Observe que falamos “de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino mais processo de aprendizagem. Na escola, buscamos sempre que ambos andem juntos, complementem-se, e esse pressuposto guia a organização desta Coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser feita sempre com base no conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta Coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando a autonomia pedagógica na organização e gestão de suas aulas.

Partimos do pressuposto que o professor é o grande mediador na relação entre os estudantes e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus estudantes adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como na vida fóra dos muros da escola.

Esta Coleção atende aos requisitos da Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê), abrangendo o desenvolvimento das competências e habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. A Coleção também traz à tona aspectos relacionados à interdisciplinaridade, aos temas contemporâneos transversais (tê cê tês), à utilização da história da Matemática, ao uso significativo das tecnologias digitais no ensino desta disciplina, ao pensamento computacional, entre outros.

Organizamos este Manual do Professor em duas partes:

• Na primeira parte (Orientações gerais), há considerações em relação à Bê êne cê cê e ao modo como as competências e habilidades previstas neste documento são desenvolvidas na Coleção. São apresentadas também reflexões acerca da interdisciplinaridade, dos temas contemporâneos transversais, do uso de tecnologias digitais, do pensamento computacional, de avaliações e das características dos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental com orientações de como ajudá-los a desenvolver as capacidades de criticar, criar, propor, argumentar e inferir. Há também sugestões de avaliações formativas relacionadas aos capítulos do Livro do Estudante, uma sugestão de avaliação de preparação para exames de larga escala, resoluções e comentários de todas as atividades propostas no Livro do Estudante e sugestões de leitura, sites e vídeos.

• Na segunda parte (Orientações), disposta em formato de u, há a reprodução comentada das páginas do Livro do Estudante. Nela, também são apresentadas as competências e habilidades da Bê êne cê cê desenvolvidas em cada tópico ou seção, os objetivos traçados com a justificativa da pertinência de cada um e, também, sugestões de como diagnosticar os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes e de como conduzir as aulas iniciais com base nesses diagnósticos. Além disso, estão presentes nestas Orientações sugestões de atividades interdisciplinares, de combate ao bullying e que auxiliam na promoção da saúde mental dos estudantes.

De modo geral, as orientações e sugestões deste Manual do Professor buscam auxiliar o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam de maneira significativa para uma formação mais integral, humana e crítica do estudante e do professor. Queremos que os estudantes pensem matematicamente, resolvam problemas diversos e concluam essa etapa da Educação Básica preparados para continuar seus estudos.

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Sumário

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Orientações gerais

A Bê êne cê cê E O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Bê êne cê cê é um documento do Ministério da Educação (Méqui) que define as aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica. Tais aprendizagens são organizadas com base em competências e habilidades que direcionam a formação integral de todos os estudantes em suas variadas dimensões (intelectual, afetiva, ética, física, sociopolítica etcétera).

Prevista nos principais documentos que regulam a educação do país, como a Constituição (1988), a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (élê dê bê ê ênê 9.394/1996) e o Plano Nacional de Educação (2014), sua aprovação e a implementação visam garantir uma educação de qualidade e mais igualitária a todos os estudantes brasileiros.

Na Bê êne cê cê, a Matemática é considerada uma área do conhecimento essencial para que estudantes resolvam problemas, investiguem, estabeleçam conjecturas, troquem ideias e desenvolvam projetos em que possam aplicar os conceitos e procedimentos estudados de maneira crítica e significativa. Nesse sentido, é importante que as competências gerais e as competências específicas da área sejam mobilizadas por meio de atividades frequentes e intencionais. Colocar estudantes diante de situações que os convidem a usar a Matemática para desenvolver suas capacidades intelectuais, bem como as habilidades de observação, exploração, análise e reflexão, favorece a formação integral em suas variadas dimensões. Dessa fórma, a Bê êne cê cê é trabalhada de fórma efetiva.

Na Bê êne cê cê, o ensino e a aprendizagem da área são organizados em cinco Unidades temáticas que se correlacionam: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Observe o esquema a seguir.

UNIDADES TEMÁTICAS	NÚMEROS Finalidade: desenvolver o pensamento numérico e aplicar conceitos da Matemática Financeira. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: resolver problemas com números naturais, inteiros e racionais, envolvendo as operações fundamentais, com seus diferentes significados, e utilizando estratégias diversas. Calcular porcentagens. Reconhecer, comparar e ordenar números reais.
	ÁLGEBRA Finalidade: desenvolver o pensamento algébrico (generalizar ideias matemáticas). Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: compreender os diferentes significados das letras em uma expressão. Generalizar propriedade. Investigar a regularidade de uma sequência numérica. Estabelecer a variação entre duas grandezas. Relacionar variável e função; incógnita e equação. Resolver equações e inequações de maneira algébrica e gráfica. Traduzir uma situação dada em diferentes linguagens.
	GEOMETRIA Finalidade: desenvolver o pensamento geométrico (investigar propriedades, estabelecer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes). Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: estudar as figuras geométricas e suas propriedades. Desenvolver os conceitos de congruência e semelhança. Reconhecer e representar figuras simétricas.
	GRANDEZAS E MEDIDAS Finalidade: estudar as relações métricas e articular os pensamentos numérico, geométrico e algébrico. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: resolver problemas envolvendo diferentes grandezas (comprimento, tempo, massa, área, volume, capacidade etc.) e suas respetivas unidades de medida. Explorar as unidades de medida de armazenamento de computadores.
	PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Finalidade: estudar a incerteza e o tratamento de dados. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas, incluindo medidas de tendência central e tabelas e/ou gráficos de diferentes tipos.

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Para desenvolver o que se espera em cada unidade temática, a Bê êne cê cê prevê um conjunto de objetos de conhecimento e habilidades relacionadas. É o trabalho com estes objetos e habilidades que vai assegurar o desenvolvimento das competências específicas de Matemática que, por sua vez, promoverá o desenvolvimento das competências gerais, conforme mostra o esquema a seguir.

Esquema. À esquerda, três círculos. De dentro para fora: círculo vermelho com legenda Habilidades; círculo amarelo com legenda Objetos de conhecimento e círculo cinza com legenda Unidades temáticas. À direita, seta alaranjada saindo para um quadro com o texto Competências específicas de Matemática. À direita, seta alaranjada saindo para outro quadro com o texto Competências gerais. — Relação entre unidades temáticas, objetos de conhecimento, habilidades e competências.

A seguir, vamos nos debruçar sôbre as competências gerais, as competências específicas de Matemática e as habilidades do 8º ano.

Competências gerais

A Bê êne cê cê elenca um conjunto de dez competências gerais que devem ser desenvolvidas de fórma integrada aos componentes curriculares, ao longo de toda a Educação Básica. Define-se competência como um atributo que permite mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, permitindo o pleno exercício da cidadania. Esse direcionamento está ligado aos princípios éticos, estéticos e políticos das Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (dê cê êne) e da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (éle dê bê).

Reproduzimos a seguir o texto das competências gerais, segundo a Bê êne cê cê.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA
Competência geral 1	Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
Competência geral 2	Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 3	Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência geral 4	Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 5	Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
Competência geral 6	Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
Competência geral 7	Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
Competência geral 8	Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo- se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Competência geral 9	Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10	Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2018. p. 9-10. Disponível em: https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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Podemos sintetizar as 10 competências gerais da Bê êne cê cê, por meio do seguinte esquema:

Ilustração. À esquerda, de cima para baixo, Ícone com duas folhas brancas com traços horizontais e retângulos sem preenchimento, sobrepostas, em fundo vermelho. Representa a competência número 1 Conhecimento. Abaixo o texto: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital.

Abaixo, ícone com um gráfico com 4 barras, branco, com seta branca na parte superior indicando o crescimento das barras da direita para a esquerda, em fundo laranja. Representa a competência número 2 Pensamento científico, crítico e criativo. Abaixo, o texto: Exercitar a curiosidade intelectual e utilizar as ciências cm criticidade e criatividade.

Abaixo, Ícone com uma câmera fotográfica branca. Representa a competência número 3 Repertório cultural. Abaixo, o texto: Valorizar as diversas manifestações artísticas e culturais.

Abaixo, ícone com um círculo com olho e boca, branco, com ondas de som. Representa a competência número 4 Comunicação. Abaixo, o texto: Utilizar diferentes linguagens

Abaixo, ícone com um monitor branco, em fundo verde. Representa a competência número 5 Cultura digital. Abaixo, o texto: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de forma crítica, significativa e ética.

À direita, de cima para baixo, ícone com um lápis branco e dois traços horizontais brancos, em fundo rosa. Representa a competência número 6 Trabalho e projeto de vida. Abaixo, o texto: Valorizar e apropriar-se de conhecimentos e experiências.

Abaixo, ícone com dois balões de fala. Representa a competência número 7 Argumentação. Abaixo, o texto: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis.

Abaixo, ícone com uma lupa branca, em fundo roxo. Representa a competência número 8 Autoconhecimento e autocuidado. Abaixo, o texto: Conhecer-se, compreender-se na diversidade humana e apreciar-se.

Abaixo, ícone com uma xícara. Representa a competência número 9 Empatia e cooperação. Abaixo, o texto: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação.

Abaixo, ícone com um globo terrestre. Representa a competência número 10 Responsabilidade e cidadania. Abaixo, o texto: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação. — Esquema adaptado do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inépi)

Competências específicas de Matemática

A Bê êne cê cê estabelece também as competências específicas para cada componente curricular. Em articulação com as competências gerais da Educação Básica descritas na Bê êne cê cê, a Matemática deve garantir aos estudantes o desenvolvimento das seguintes competências específicas.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
Competência específica 1	Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Competência específica 2	Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3	Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Competência específica 4	Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
Competência específica 5	Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 6	Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
Competência específica 7	Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência específica 8	Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2018. página 267. https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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Habilidades

As habilidades presentes na Bê êne cê cê dizem respeito às aprendizagens essenciais que devem ser garantidas aos estudantes nos diferentes contextos escolares. O desenvolvimento delas visa promover a igualdade educacional, levando em consideração as particularidades do meio no qual cada escola está inserida.

O quadro a seguir relaciona cada unidade temática com seus objetos de conhecimento e as habilidades essenciais de Matemática a serem desenvolvidas no 8º ano, segundo a Bê êne cê cê.

Unidades temáticas	Objetos de conhecimento	Habilidades
Números	Notação científica	(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
	Potenciação e radiciação	(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
	O princípio multiplicativo da contagem	(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
	Porcentagens	(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
	Dízimas periódicas: fração geratriz	(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra	Valor numérico de expressões algébricas	(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.
	Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano	(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
	Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano	(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
	Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b	(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax2 = b.
	Sequências recursivas e não recursivas	(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
	Sequências recursivas e não recursivas	(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.
	Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais	(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
		(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
Geometria	Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros	(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
	Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares	(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
		(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

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Unidades temáticas	Objetos de conhecimento	Habilidades
Geometria	Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas	(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Geometria	Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação	(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas	Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência	(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determiner medida de terrenos.
	Volume de bloco retangular Medidas de capacidade	(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
	Volume de bloco retangular Medidas de capacidade	(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística	Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral	(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
	Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados	(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
	Organização dos dados de uma variável contínua em classes	(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.
	Medidas de tendência central e de dispersão	(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
	Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral	(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).
		(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2018. p. 312-315. Disponível em: https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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A Bê êne cê cê E A COLEÇÃO

Esta Coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro Unidades compostas de dois ou mais capítulos. Os volumes e os capítulos foram estruturados de modo a favorecer o desenvolvimento das competências gerais e específicas bem como das habilidades propostas para a Matemática, indicadas na Bê êne cê cê.

As competências gerais e específicas de Matemática na Coleção

Ao longo da Coleção, o desenvolvimento das competências gerais e específicas de Matemática é proporcionado de diferentes maneiras, por meio de textos teóricos, atividades, seções especiais, boxes etcétera A seguir, oferecemos informações detalhadas sôbre as seções e os boxes da Coleção e, também, sôbre como as competências gerais e específicas podem ter o seu desenvolvimento favorecido na proposta de cada um.

Seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Presente no início de cada volume, esta seção traz resumos seguidos de atividades dos principais conceitos e procedimentos estudados em anos anteriores. A seção é estruturada para cada um dos capítulos do Livro do Estudante a fim de que o professor explore seu conteúdo antes de iniciar o trabalho com cada capítulo. No entanto, caso o professor julgue oportuno, o conteúdo da seção também pode ser todo trabalhado no início do ano letivo. É importante enfatizar que o professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar o conteúdo da seção à realidade e às necessidades da turma e da escola.

Competências gerais: a seção traz atividades que exploram diferentes linguagens (competência geral 4). Algumas delas incentivam a argumentação e o diálogo e oferecem aos estudantes a oportunidade de exercitar a empatia (competências gerais 7 e 9).

Competências específicas: algumas atividades propostas desenvolvem o raciocínio lógico e o espírito de investigação (competência específica 2). Outras permitem aos estudantes relacionar conceitos de diferentes unidades temáticas (competência específica 3), utilizar processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas (competência específica 5) e empregar distintos registros e linguagens (competência específica 6). Além disso, são propostas atividades que estimulam a interação dos estudantes com seus pares e que os colocam diante de situações em que devem investigar, organizar, representar e comunicar informações (competências específicas 4 e 8).

Abertura de Unidade e seção É hora de extrapolar

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de uma das páginas de abertura de Unidade da coleção. Na página é possível identificar uma imagem que ocupa praticamente a página toda, a identificação do número da Unidade, uma lista dos capítulos que compõem a Unidade e um texto relacionado à imagem.
Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas, lado a lado, da seção É hora de extrapolar. Em ambas as páginas, é possível identificar etapas de um projeto, compostas por textos e atividades.

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A abertura de Unidade apresenta a lista de capítulos que a integram, além de uma cena acompanhada de algumas questões que têm por objetivo instigar a curiosidade dos estudantes para os assuntos que serão estudados na Unidade. A cena e as questões estão relacionadas com o conteúdo da seção É hora de extrapolar, que fecha a Unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, pois elas serão retomadas ao final da Unidade para que os estudantes reflitam sôbre o que aprenderam.

Competências gerais: as aberturas de Unidade estimulam a curiosidade, a reflexão e o diálogo entre os estudantes (competências gerais 2 e 9). Alguns dos contextos trazidos possibilitam a valorização da diversidade de saberes e vivências (competência geral 6), a argumentação com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 7) e levam os estudantes a refletir e cuidar da sua saúde física e emocional (competência geral 8).

Competências específicas: as situações e questões trazidas nas aberturas evidenciam como a Matemática e as outras áreas do conhecimento se integram (competência específica 3) e oferecem aos estudantes a oportunidade de fazer observações de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais (competência específica 4). As questões também fazem com que os estudantes enfrentem situações-problema em múltiplos contextos (competências específicas 2 e 6) e utilizem ferramentas matemáticas para resolvê-las (competência específica 5), bem como promovem a interação deles com os colegas (competência específica 8).

Ao final de cada Unidade, é proposta a seção É hora de extrapolar. Nela, os estudantes são convidados a realizar um trabalho colaborativo, como um pequeno projeto explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar. Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas, as quais promovem:

• entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;

• pesquisa individual ou coletiva;

• elaboração, em grupo, do produto proposto;

• apresentação e exposição do produto;

• reflexão sôbre a atuação do grupo e síntese do trabalho.

É nesta seção, ainda, que são retomadas as questões feitas na abertura de Unidade correspondente.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.

É recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.

Competências gerais: os trabalhos propostos na seção possibilitam aos estudantes investigar, refletir, analisar criticamente, imaginar e criar (competência geral 2). Em algumas seções eles terão a oportunidade de explorar obras de arte e pesquisar sôbre diferentes manifestações culturais (competência geral 3). Na seção, os estudantes também utilizam distintas linguagens para elaborar o produto final ou expô-lo (competência geral 4); podem recorrer à internet para pesquisar ou disseminar informações (competência geral 5); argumentam com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 7) e exercitam a empatia e o diálogo (competência geral 9).

Competências específicas: a seção desperta o espírito investigativo, a capacidade de argumentar e traz à tona a relação entre os diferentes campos da Matemática e também da Matemática com outras áreas do conhecimento, (competências específicas 2 e 3). Para concretizar alguns trabalhos, os estudantes deverão utilizar processos e ferramentas matemáticas e enfrentar situações-problema em múltiplos contextos (competências específicas 5 e 6). Algumas das propostas abordam assuntos de urgência social e dão aos estudantes a oportunidade de discuti-las (competências específicas 7 e 8).

Seção Trocando ideias

A seção Trocando ideias “abre” cada um dos capítulos e traz à tona temas do cotidiano que visam despertar o interesse dos estudantes para o que será estudado no capítulo e também busca, por meio de questões, identificar os conhecimentos prévios deles. A ideia é que as questões sejam discutidas coletivamente.

Competências gerais: os contextos e as questões propostos na seção despertam a curiosidade dos estudantes (competência geral 2), permitem a eles valorizar diferentes manifestações artísticas e culturais (competência geral 3) e, em alguns casos, mobilizam diferentes linguagens (competência geral 4). Há também propostas que proporcionam aos estudantes argumentarem com base em dados e informações confiáveis (competência geral 7) e refletem sôbre situações relacionadas à saúde física e emocional (competência geral 8). Além disso, incentiva o diálogo (competência geral 9).

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Competências específicas: a seção tem como características promover a interação entre os estudantes (competência específica 8), despertar a capacidade de argumentar (competência específica 2) e trazer à tona a relação entre os campos da Matemática e também entre a Matemática e outras áreas (competências específicas 3). Os estudantes também analisam aspectos quantitativos e qualitativos do cotidiano (competência específica 4) e utilizam ferramentas matemáticas para responder a alguma questão proposta (competência específica 5). A mobilização de diferentes registros e linguagens é exigência de algumas propostas que exploram, por exemplo, a leitura e a interpretação de gráficos e fluxogramas (competência específica 6).

Seção Lendo e aprendendo

A seção Lendo e aprendendo aparece no decorrer das Unidades e traz textos de jornais, revistas ou da internet que abordam temas atuais e de urgência social. O objetivo da seção é desenvolver a compreensão leitora por meio do desenvolvimento de vocabulário, fluência em leitura oral, compreensão de textos e produção de escrita. Além disso, a seção leva os estudantes a refletir sôbre os temas tratados e discuti-los.

Competências gerais: os estudantes lidam com diferentes manifestações artísticas (competência geral 3), valorizam a diversidade de saberes e vivências culturais (competência geral 6), argumentam com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 5) e exercitam a empatia, o diálogo e a cooperação (competência geral 9).

Competências específicas: a seção contribui para que os estudantes compreendam as relações entre conceitos dos diferentes campos da Matemática e de outras áreas do conhecimento (competência específica 3) e para que discutam diferentes questões com seus pares (competência específica 8).

Seção Tecnologias digitais em foco

A seção Tecnologias digitais em foco aparece no decorrer de alguns capítulos e explora conteúdos de Matemática por meio de tecnologias digitais, como softwares de Geometria dinâmica, planilhas eletrônicas, calculadoras etcétera A seção é, em geral, dividida em duas etapas denominadas Construa e Explore. Em Construa, são apresentados passos para que os estudantes construam, por exemplo, figuras geométricas. Em Explore, eles utilizam as ferramentas do software, para investigar e testar hipóteses a respeito de alguma característica ou propriedade da figura que construíram.

Competências gerais: o uso de tecnologias digitais exercita a curiosidade intelectual dos estudantes e os coloca diante de situações em que devem investigar, refletir e analisar (competências gerais 2 e 5). A seção também permite que os estudantes exercitem a empatia e o diálogo (competência geral 9).

Competências específicas: a seção ajuda os estudantes a desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de argumentar (competência específica 2). Ainda por meio desta seção, os estudantes utilizam as tecnologias digitais para resolver problemas e validar resultados (competência específica 5) e lidam com diferentes registros e linguagens (competência específica 6). A interação dos estudantes com seus pares ocorre principalmente nas tarefas propostas na etapa Explore (competência específica 8).

Página treze

Seção Resolvendo em equipe

Alguns capítulos apresentam esta seção que destaca as etapas que encaminham a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao estudante aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma competência exigida nas mais diversas profissões.

Competências gerais: a seção contribui para que os estudantes resolvam problemas (competência geral 2), utilizem diferentes linguagens (competência geral 4), argumentem com base em dados e informações confiáveis (competência geral 7) e exercitem a empatia (competência geral 9). É preciso, ainda, que diante da pluralidade de ideias, os estudantes sejam flexíveis (competência geral 10).

Competências específicas: os problemas a serem resolvidos desenvolvem o raciocínio lógico (competência específica 2), alguns envolvem conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática (competência específica 3) e outros precisam de processo e ferramentas matemáticas para serem solucionados (competência específica 5). Os contextos dos problemas são diversos e envolvem diferentes registros (competência específica 6). Além disso, o encaminhamento proposto incentiva os estudantes a compartilhar suas estratégias e conclusões (competência específica 2).

Seção Revisão dos conteúdos deste capítulo

Presente no final de cada capítulo, esta seção traz resumos seguidos de atividades dos principais conceitos e procedimentos estudados no capítulo. As revisões e atividades podem ser exploradas aos poucos, conforme se avança no estudo do capítulo, ou podem ser trabalhadas ao final com o objetivo de verificar o que os estudantes aprenderam e as principais dificuldades que ainda enfrentam.

Competências específicas: na seção, são propostas atividades que desenvolvem o raciocínio lógico e o espírito de investigação (competência específica 2), outras que demandam a utilização de processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas (competência específica 5) e ainda outras que fazem com que os estudantes mobilizem diferentes registros e linguagens (competência específica 6).

Seção Teste seus conhecimentos

Presente no final de cada volume, esta seção propõe questões de múltipla escolha com o objetivo de avaliar os conhecimentos adquiridos pelos estudantes no decorrer do ano letivo e prepará-los para a realização de exames de larga escala.

Competências gerais: algumas questões da seção possibilitam aos estudantes refletir e analisar (competência geral 2) e outras utilizam diferentes registros (competência geral 4). São propostas ainda questões em que os estudantes devem avaliar dados e informações confiáveis (competência geral 7).

Competências específicas: questões que estimulam o raciocínio lógico (competência específica 2) e que envolvem conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (competência específica 3) estão presentes nesta seção. Além disso, são propostos problemas cuja solução se dá via utilização de processos e ferramentas matemáticas e também problemas envolvendo diferentes registros (competências específicas 5 e 6).

Página catorze

Boxe Veja que interessante

Boxe que complementa e enriquece o conteúdo estudado. Ao final, é proposta uma atividade para o estudante.

Competências gerais: o boxe traz temas diversos relacionados ao mundo físico, social, cultural e digital (competência geral 1), exercita a curiosidade dos estudantes por meio de atividades sôbre esses temas (competência geral 2) e, em algumas propostas, os estudantes têm a oportunidade de apreciar manifestações artísticas e culturais (competência geral 3). O boxe possibilita, ainda, em alguns momentos a valorização da diversidade de saberes (competência geral 6) e coloca os estudantes diante de situações em que devem argumentar com base em informações confiáveis (competência geral 7). Algumas atividades solicitam aos estudantes que dialoguem com os colegas, e isso permite que desenvolvam a empatia e a capacidade de agirem com flexibilidade (competências gerais 9 e 10).

Competências específicas: alguns textos dêsse boxe possibilitam aos estudantes reconhecer como a Matemática contribui para solucionar problemas (competências específicas 1 e 2). Outros trazem à tona a relação da Matemática com as demais áreas do conhecimento (competência específica 3), e a atividade promove a interação entre os estudantes (competência específica 8).

Boxe Um pouco de história

Boxe que traz textos relacionados à história da Matemática para contextualizar alguns assuntos. Ao final, é proposta uma atividade para o estudante.

Competências gerais: é inerente à proposta dêsse boxe a valorização e utilização dos conhecimentos historicamente construídos (competência geral 1). A curiosidade, a investigação e a resolução de problemas são incentivados por meio das atividades propostas (competência geral 2). Os estudantes têm ainda a oportunidade de argumentar e dialogar com base em fatos e informações confiáveis a respeito da história da Matemática (competências gerais 7 e 10).

Competências específicas: os textos e as atividades propostos no boxe têm por objetivo levar os estudantes a reconhecer a Matemática como uma ciência viva que é resultado das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos (competência específica 1). A capacidade de argumentar (competência específica 2), de relacionar os campos da Matemática (competência específica 3), de lidar com diferentes registros e linguagens (competência específica 6) e de escultar os colegas com atenção e empatia (competência específica 8) são capacidades que podem ser desenvolvidas por meio das propostas dêsse boxe.

O quadro a seguir mostra as competências gerais e específicas de Matemática desenvolvidas em cada capítulo do volume 8 desta Coleção.

QUADRO DAS COMPETÊNCIAS GERAIS E ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA DO VOLUME 8
Capítulos	Competências gerais	Competências específicas
1 – Conjuntos numéricos	1, 3, 4, 7 e 9.	1, 3, 4 e 8.
2 – Potenciação e radiciação	9.	3, 5 e 8.
3 – Sistemas de equações do 1º grau	2, 4, 5, 9 e 10.	2, 3, 5, 6, 7 e 8.
4 – Ângulos e transformações geométricas	2, 5, 6, 7, 9 e 10.	2, 3 e 8.
5 – Polígonos	2, 4, 3, 6, 9 e 10.	5 e 8.
6 – Probabilidade	4, 7, 9 e 10.	5, 6, 7 e 8.
7 – Triângulos e quadriláteros	2, 3, 5, 6 e 9.	2, 3 e 8.
8 – Área, volume e capacidade	2, 4, 6, 7 e 9.	2 e 8.
9 – Equações do 2º grau	2, 4, 8 e 9.	2, 3, 5, 6 e 8.
10 – Grandezas e proporcionalidade	2 e 9.	2 e 8.
11 – Medidas de tendência central e pesquisa estatística	1, 7 e 9.	1, 2, 3, 4 e 8.
12 – Gráficos estatísticos	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.	2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

Página quinze

As habilidades da Bê êne cê cê na Coleção

A Matemática trabalhada nos Anos Finais do Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistematizar as aprendizagens anteriores dos estudantes, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do conhecimento, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do estudante.

Nesta Coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes relacionadas à formação cidadã do estudante. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos estudantes quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade.

O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender as especificidades de seus estudantes: o livro didático não pode ser uma amarra para o professor, mas, sim, um facilitador de seu trabalho.

O quadro a seguir apresenta uma visão geral de como as habilidades do 8º ano foram desenvolvidas em cada Unidade, capítulo a capítulo.

HABILIDADES DO 8º ANO
Unidades	Capítulos	Habilidades
1	1 – Conjuntos numéricos	EF08MA04, EF08MA05, EF08MA10 e EF08MA11.
	2 – Potenciação e radiciação	EF08MA01 e EF08MA02.
	3 – Sistemas de equações do 1º grau	EF08MA06, EF07MA07 e EF08MA08.
2	4 – Ângulos e transformações geométricas	EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18.
	5 – Polígonos	EF08MA15 e EF08MA16.
	6 – Probabilidade	EF08MA03 e EF08MA22.
3	7 – Triângulos e quadriláteros	EF08MA14 e EF08MA15.
	8 – Área, volume e capacidade	EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21.
	9 – Equações do 2º grau	EF08MA06 e EF08MA09.
4	10 – Grandezas e proporcionalidade	EF08MA12 e EF08MA13.
	11 – Medidas de tendência central e pesquisa estatística	EF08MA25 e EF08MA26.
	12 – Gráficos estatísticos	EF08MA04, EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27.

Página dezesseis

Exemplos concretos de trabalho com competências gerais, competências específicas e habilidades da Bê êne cê cê na Coleção

Uma das finalidades do trabalho com as habilidades é assegurar o desenvolvimento das competências específicas de Matemática que, por sua vez, podem promover o desenvolvimento de competências gerais.

O quadro a seguir mostra, por meio de exemplos concretos da Coleção, a diferença de se trabalhar com competências gerais, específicas e habilidades.

Página 282 do capítulo 12 do volume 6	Página 155 do capítulo 6 do volume 7
Nas atividades 18 e 19 da página 282, os estudantes vão realizar uma pesquisa estatística, o que permite o desenvolvimento da habilidade EF06MA33. Ambas as propostas envolvem o uso de tecnologias digitais para a organização dos dados coletados o que favorece o desenvolvimento da competência específica 5. Além disso, as pesquisas podem estar relacionadas à questões de urgência social e para serem realizadas é necessário que os estudantes interajam com seus pares, o que pressupõe o desenvolvimento das competências específicas 7 e 8. Por meio destas competências específicas desenvolvem-se as competências gerais 7, 9 e 10, que versam sobre argumentação, exercício da empatia e agir com flexibilidade e resiliência.	No tópico Resolução de problemas são apresentados exemplos de problemas que podem ser resolvidos por meio de equações do 1º grau com uma incógnita. Também são propostos problemas para os estudantes resolverem e isso favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Esses problemas permitem aos estudantes mobilizar conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A competência específica 5 também tem o seu desenvolvimento favorecido porque os problemas propostos são modelados e resolvidos por meio de equações. Já a variedade de problemas propostos é o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6. Essas competências específicas, por sua vez, contribuem para que as competências gerais 2 e 4 tenham o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que estão relacionadas à resolução de problemas e ao uso de diferentes linguagens, respectivamente.
Página 77 do capítulo 4 do volume 8	Página 29 do capítulo 1 do volume 9
O estudo das composições de transformações geométricas desenvolve a habilidade EF08MA18. Por meio desse estudo, os estudantes têm a oportunidade de verificar como Matemática e Arte se relacionam, contribuindo para que a competência específica 3 tenha o seu desenvolvimento favorecido. É por meio dessa competência que se desenvolvem as competências gerais 1, 2, 3, 4 e 6.	Ao trabalhar a representação dos números em notação científica, desenvolve-se a habilidade EF09MA04. O trabalho com essa habilidade possibilita aos estudantes reconhecer como esse conceito é empregado para expressar números muito grandes ou muito pequenos em diversas áreas como Astronomia e Química, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática, que, por sua vez, contribui para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

Página 282 do capítulo 12 do volume 6

Página 155 do capítulo 6 do volume 7

Nas atividades 18 e 19 da página 282, os estudantes vão realizar uma pesquisa estatística, o que permite o desenvolvimento da habilidade EF06MA33. Ambas as propostas envolvem o uso de tecnologias digitais para a organização dos dados coletados o que favorece o desenvolvimento da competência específica 5. Além disso, as pesquisas podem estar relacionadas à questões de urgência social e para serem realizadas é necessário que os estudantes interajam com seus pares, o que pressupõe o desenvolvimento das competências específicas 7 e 8. Por meio destas competências específicas desenvolvem-se as competências gerais 7, 9 e 10, que versam sobre argumentação, exercício da empatia e agir com flexibilidade e resiliência.

Imagem de página do livro do estudante com atividades de pesquisa estatística.

No tópico Resolução de problemas são apresentados exemplos de problemas que podem ser resolvidos por meio de equações do 1º grau com uma incógnita. Também são propostos problemas para os estudantes resolverem e isso favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Esses problemas permitem aos estudantes mobilizar conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A competência específica 5 também tem o seu desenvolvimento favorecido porque os problemas propostos são modelados e resolvidos por meio de equações. Já a variedade de problemas propostos é o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6. Essas competências específicas, por sua vez, contribuem para que as competências gerais 2 e 4 tenham o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que estão relacionadas à resolução de problemas e ao uso de diferentes linguagens, respectivamente.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de página do livro referente ao tópico Resolução de problemas. É possível identificar a apresentação e resolução de duas situações-problema.

Página 77 do capítulo 4 do volume 8

Página 29 do capítulo 1 do volume 9

O estudo das composições de transformações geométricas desenvolve a habilidade EF08MA18. Por meio desse estudo, os estudantes têm a oportunidade de verificar como Matemática e Arte se relacionam, contribuindo para que a competência específica 3 tenha o seu desenvolvimento favorecido. É por meio dessa competência que se desenvolvem as competências gerais 1, 2, 3, 4 e 6.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de uma página em que há a seção Trocando ideias. É possível identificar que há um pequeno texto, uma imagem de peças de cerâmica com grafismos e algumas questões. O ícone do tema pluralidade cultural também aparece na reprodução da página.

Ao trabalhar a representação dos números em notação científica, desenvolve-se a habilidade EF09MA04. O trabalho com essa habilidade possibilita aos estudantes reconhecer como esse conceito é empregado para expressar números muito grandes ou muito pequenos em diversas áreas como Astronomia e Química, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática, que, por sua vez, contribui para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de página do livro referente ao estudo da notação científica. É possível identificar o texto teórico, imagem do planeta Terra e duas atividades.

Página dezessete

OS ESTUDANTES NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

O estudante que se encontra nos Anos Finais do Ensino Fundamental está inserido na transição entre a infância e a adolescência, período marcado por intensas e profundas mudanças nos aspectos físico, psicológico, social e emocional. Ele é um sujeito “em desenvolvimento, com singularidades e formações identitárias e culturais próprias, que demandam práticas escolares diferenciadas, capazes de contemplar suas necessidades e diferentes modos de inserção social” (BRASIL, 2018, página 60).

Por isso, é preciso compreendê-lo, e para tanto é necessário aprender a ouvi-lo por meio da comunicação afetiva, em um movimento de aproximação, trocando experiências, vivências e histórias, em um ressignificar do processo de ensino e de aprendizagem.

É importante também estar atento às interações que eles estabelecem com os grupos sociais dos quais fazem parte, o que permite entender seus modos de agir e suas necessidades.

Assim, o ambiente escolar precisa refletir o clima de diálogo, do saber ouvir, da empatia e da boa convivência, combatendo toda fórma de violência, como a prática do bullying, comportamento intencional e agressivo na fórmade insultos, xingamentos, apelidos, ameaças, difamação, isolamento e exclusão social. Enfim, fazer do ambiente escolar um espaço inclusivo em todos os sentidos, pensando na formação do estudante como um sujeito ativo, protagonista do seu processo de aprendizagem e agente de transformação da sociedade.

A fim de garantir que isso aconteça diante da heterogeneidade das turmas, o professor precisa estar atento a tais necessidades, revendo sua prática e refletindo sôbre as estratégias utilizadas.

Uma das formas de se trabalhar com grupos grandes de fórma mais eficaz é pensar nas tarefas matemáticas propostas. A professora Jo Boaler, autora do livro Mentalidades Matemáticas, propõe o uso das tarefas abertas, pois permite a participação de toda a turma. Segundo ela, toda tarefa pode ser transformada numa tarefa aberta desde que se pergunte aos estudantes “sôbre suas diferentes maneiras de ver e resolver questões matemáticas e encorajando a discussão dos diversos modos de ver os problemas” (2018, página 83). Outro ponto é oferecer distintas opções de tarefa com diferentes níveis e áreas da matemática envolvidos, as quais são escolhidas pelo estudante, e não pelo professor. É uma mudança de ponto de vista, o que possibilitará ao estudante escolher suas próprias rotas de aprendizagem, “encontrando conteúdo individualizado, acompanhado por oportunidades para o trabalho em grupo e colaboração” (2018, página 104).

Esta mesma autora também sugere o uso das estratégias equitativas com o objetivo de tornar a Matemática mais inclusiva. Como fórma de melhorar o desempenho coletivo, ela propõe que se ofereçam conteúdos matemáticos de alto nível a todos os estudantes, e não somente àqueles que sempre tiram as melhores notas. Isso está imbricado à outra ideia que precisa ser mudada: a de que somente alguns podem ter êxito na Matemática. Por isso, oportunizar a todos o pensar profundamente a Matemática. Isso implica, por sua vez, trazer experiências práticas, um currículo baseado em projetos e com aplicabilidade na vida real, além de trabalhar colaborativamente, fato que precisa ser ensinado. Trabalhar em grupo é fundamental para um bom desempenho matemático. E por último, é preciso rever a ideia do dever de casa. Para a autora, é necessário mudar a natureza das tarefas, fazendo “perguntas que os incentivem a pensar na Matemática da aula e focar as ideias fundamentais” que são importantes para a aprendizagem (2018, página 94).

Isso tudo dialoga com outra proposta de trabalho, conectada com as atuais necessidades das diferentes turmas de estudante: as metodologias ativas, que, segundo José Moran (2019, página 7), são “alternativas pedagógicas que colocam o foco do processo de ensino e de aprendizagem nos aprendizes, envolvendo-os na aquisição do conhecimento por descoberta, por investigação ou resolução de problemas numa visão de escola como comunidade de aprendizagem (onde há participação de todos os agentes educativos, professores, gestores, familiares e comunidade de entorno e digital)”.

São exemplos de metodologias ativas a aprendizagem baseada em problemas, aprendizagem baseada em projetos e a sala de aula invertida.

• Aprendizagem baseada em problemas: é uma metodologia organizada por temas em torno de problemas e não de disciplinas. Nela os estudantes combinam teoria e prática para solucionar problemas.

• Aprendizagem baseada em projetos: é uma metodologia em que os estudantes se envolvem para resolver um problema ou desenvolver um projeto que tenha relação com a sua vida fóra da sala de aula. Nesta metodologia, eles lidam com questões interdisciplinares e trabalham em equipe.

• Sala de aula invertida: o estudante se apropria do conteúdo previamente, e a aula torna-se o lugar de aprendizagem ativa, onde há perguntas, discussões e atividades práticas. O professor pode explorar as dificuldades dos estudantes em vez de expor o conteúdo da disciplina.

Página dezoito

Em todas elas, os recursos tecnológicos podem ou não estar presentes. Quando presentes, o seu uso pode auxiliar o desenvolvimento da autonomia, empatia, protagonismo, responsabilidade, participação e cooperação.

Nesse contexto, é importante também levar em consideração elementos da cultura juvenil (funk, hip-hop, grafite, tatuagem, esportes, entre outros) e os comportamentos construídos por eles nos diferentes contextos sociais e culturais dos quais participam. Ao fazer isso, o processo de construção de conhecimento é enriquecido. Uma das fórmas de se trabalhar as culturas juvenis com os estudantes é por meio da aprendizagem baseada em projetos que, nesta Coleção, são sugeridos principalmente na seção É hora de extrapolar. Outras possibilidades são as discussões em sala de aula e os fóruns promovidos pela escola. Essa inserção da cultura juvenil ressignifica o espaço escolar, intensifica o processo de reflexão e crítica e promove a aprendizagem.

Assim, é possível vislumbrar possibilidades de aprendizagem para toda a turma, aguçando o olhar inclusivo do professor, que, ao acolher as dificuldades, busca meios para atendê-las, sem deixar de lado os diferentes níveis de conhecimento que habitam a sala de aula.

Capacidade de criticar, criar e propor

A criatividade e o pensamento crítico vêm ganhando cada vez mais espaço nas pautas de discussões sôbre o que precisamos desenvolver nos estudantes. A criatividade tem relação com o potencial do ser humano para enfrentar o novo e seguir avançando na ciência, na tecnologia, na comunicação, na arte e em outras áreas do conhecimento. Pode ser compreendida também como a elaboração de ideias, processos e/ou produtos que apresentem algum grau de ineditismo, mesmo que seja para a própria pessoa. O pensamento crítico, por sua vez, é a competência de a pessoa se posicionar de modo racional e analítico diante de diferentes situações cotidianas.

A Matemática é uma área do conhecimento com potencial para desenvolver as capacidades de criticar, criar e propor, na medida em que coloca os estudantes diante de situações em que devem resolver problemas, generalizar propriedades, analisar dados, construir figuras etcétera Para resolver um problema, por exemplo, o estudante precisa, primeiro, entender o enunciado e analisá-lo de maneira crítica. Depois, precisa imaginar como vai solucioná-lo. Em seguida, deve colocar em prática as ideias e, por fim, testar e refletir sôbre o que fez.

O infográfico a seguir traz algumas orientações de como ajudar os estudantes a produzir análises críticas, criativas e propositivas:

Esquema. À esquerda, uma lâmpada com o texto: Como auxiliar os estudantes a desenvolver a capacidade de criticar, criar e propor? Da lâmpada saem, 5 setas para a direita: vermelha, laranja, amarela, verde e azul. Seta vermelha para boxe com o texto: Encoraje a criatividade dos estudantes propondo desafios interessantes e valorizando suas ideias. Peça, por exemplo, que façam esquemas dos problemas e das soluções. O uso da cor pode aumentar a compreensão em Geometria, frações e divisões. À direita do boxe, a imagem de um lápis cruzado com uma régua graduada. Seta laranja para boxe com o texto: Instigue-os a descobrir uma maneira própria de resolver as situações-problema propostas. À direita do boxe, a imagem do perfil da cabeça de uma pessoa com os olhos vendados. Acima, a representação de um olho.Seta amarela para boxe com o texto: Convide os estudantes a pensar aberta e livremente sobre as diferentes propostas de trabalho. À direita do boxe, a imagem de parte do perfil da cabeça de uma pessoa com uma lâmpada acima. Seta verde para boxe com o texto: Incentive os estudantes a compreender que as ideias matemáticas envolvem profundidade do pensamento, relações e conexões. Permita que eles perguntem e discutam. Provoque a turma contra-argumentando as ideias trazidas. À direita do boxe, a imagem de um esquema composto por 4 circunferências com o busto de uma pessoa representado no interior de cada uma. Seta azul para boxe com o texto: Apresente situações e convide os estudantes a formular as próprias questões matemáticas. À direita do boxe, a imagem do busto de uma mulher com um balão de fala com ponto de interrogação dentro.

Página dezenove

Capacidade de argumentar

A aprendizagem em Matemática muitas vezes é um processo dialógico, ou seja, pressupõe o desenvolvimento da capacidade de argumentar. Na Bê êne cê cê, essa capacidade está prevista nas competências específicas 2 e 4 de Matemática e na competência geral 7 e tem relação com a capacidade do indivíduo de explicar sua fórma de pensar verbalmente ou por escrito.

Em Matemática, os estudantes são incentivados a argumentar quando são colocados diante de situações que devem resolver problemas, demonstrar propriedades, realizar experimentações, validar ou generalizar resultados, analisar erros, ler e interpretar dados representados em tabelas e/ou gráficos, construir figuras utilizando instrumentos de desenhos etcétera

O esquema a seguir traz algumas sugestões de como auxiliar os estudantes a desenvolver a capacidade de argumentar.

Esquema. No centro, um círculo de fundo branco com a seguinte questão em seu interior: Como ajudar o estudante a desenvolver a capacidade de argumentar?. Da circunferência partem 6 setas: verde, azul, vermelha, laranja, amarela e roxa.
Seta verde para boxe com o texto: Proponha tarefas abertas para que a turma possa pensar sobre os diferentes pontos de vista e representações.
Seta azul para boxe com o texto:
Permita que o estudante explique por que determinada solução faz sentido.
Seta vermelha para boxe com o texto: Proponha atividades de experimentação envolvendo o uso de tecnologias digitais.
Seta laranja para boxe com o texto: Trabalhe com jogos.
Seta amarela para boxe com o texto: Proporcione situações em que o estudante possa representar o seu pensamento visualmente (desenhos, imagens, codificação com cores).
Seta roxa para boxe com o texto:
Proponha situações nas quais o estudante precise convencer e ser convencido.

Capacidade de inferir

Inferir é tirar conclusões com base em uma ou mais proposições utilizando o raciocínio lógico. Essa é uma habilidade essencial que pode propiciar aprendizagens significativas não só na Matemática, como em outras áreas do conhecimento.

Em Matemática, os estudantes podem inferir informações embasadas em dados estatísticos representados em tabelas e/ou gráficos. Também podem analisar sequências numéricas e inferir a regra de formação delas ou, ainda, inferir quando realizam tarefas investigativas.

O esquema a seguir traz algumas sugestões de como contribuir para que os estudantes desenvolvam a capacidade de inferir.

Esquema, No centro, um círculo de fundo branco com a seguinte questão em seu interior: Como ajudar o estudante a desenvolver a capacidade de inferir? Da circunferência partem 4 setas: verde, vermelha, laranja e amarela.
Seta verde para boxe com o texto: Proponha tarefas investigativas.
Seta vermelha para boxe com o texto: Incentive o estudante a pensar sobre os procedimentos utilizados e os resultados encontrados.
Seta laranja para boxe com o texto: Estimule-o a analisar e entender os erros cometidos.
Seta amarela para boxe com o texto: Incentive-o a ir além em atividades que envolvam a leitura e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos.

Página vinte

A INCLUSÃO DOS ESTUDANTES COM DEFICIÊNCIA

A Lei Brasileira de Inclusão de Pessoa com Deficiência instituiu o Estatuto da Pessoa com Deficiência (Lei 13.146/2015), garantindo, entre outros aspectos, o acesso à educação, e assegurando a inclusão escolar em todos os níveis e modalidades de ensino de acordo com os interesses e as necessidades de aprendizagem de cada um.

Com base nas premissas da lei, uma escola inclusiva é aquela que acolhe e inclui a todos sem discriminação, respeitando as diferenças e dificuldades, acreditando que todos podem aprender e que o processo de aprendizagem de cada pessoa é único, daí ser necessário adequar as estratégias e as condições para que todos possam aprender e desenvolver seu potencial.

As diferentes deficiências (visual, auditiva, intelectual, física, múltiplas) devem ser trabalhadas na sua especificidade para que possa ser garantida a aprendizagem de cada um. As altas habilidades ou superdotação também precisam de um olhar pontual.

Nesse sentido, são grandes os desafios enfrentados pela escola como um todo e pela equipe escolar em particular. Em muitos casos, faz-se necessário a existência de equipe multidisciplinar para orientar as possibilidades de trabalho de acordo com uma necessidade específica. Além, é claro, do investimento na formação continuada do professor e de todos que vão trabalhar com determinado tipo de deficiência ou dificuldade a fim de criar uma rede de apôio, aprimorando os conhecimentos, flexibilizando os materiais e as intervenções com estes e os demais alunos.

Outro ponto a ser destacado refere-se à existência de um projeto pedagógico inclusivo, ou seja, que contenha ações que viabilizem a aquisição de materiais necessários ao atendimento de todas as diferenças bem como a flexibilização do currículo para acolher a realidade de cada um.

A contribuição do professor de Matemática

Cada professor dentro da sua especificidade e com a ajuda da equipe encontrará os melhores meios para adequar as propostas a fim de promover o desenvolvimento da aprendizagem de todos. Contudo, disponibilizar momentos de trocas entre os membros da equipe escolar permitirá aumentar as estratégias e os materiais que possam contribuir para as dificuldades referentes à inclusão.

O professor precisa estar atento ao tipo da deficiência para planejar seu trabalho e fazer as adequações necessárias. Em se tratando de deficiência auditiva, é possível o uso da Língua Brasileira de Sinais (Libras), instituída pela Lei 10.436/2002, a qual é uma combinação do movimento das mãos e de pontos no corpo e no espaço em que os sinais são feitos.

Esquema. Mão de uma pessoa fechada com os 5 dedos paralelos. À esquerda, as letras A maiúscula e minúscula.
Esquema Mão de uma pessoa com os dedos mindinho, anelar, médio e indicador esticados para cima e bem juntos. O polegar está dobrado. À esquerda, as letras B maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra C invertida. À esquerda, as letras C maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra C invertida. A mão parece chacoalhar para cima e para baixo. À esquerda a letra C cedilha.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra d minúscula. À esquerda, as letras D maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos parcialmente dobrados, formando uma garra. À esquerda, as letras E maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal que lembra a letra f minúscula cursiva. O indicador está na horizontal e o polegar está atravessado na frente do indicador, um pouco inclinado. Os dedos médio e anelar estão cruzados na vertical. À esquerda as letras F maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos mindinho, anelar e médios dobrados e os dedos indicador e polegar erguidos. O indicador e o polegar estão bem juntinhos. À esquerda, as letras G maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem juntinhos. Os demais dedados estão dobrados. Há uma seta indicando um movimento de meia lua da mão com os dedos nessa posição. À esquerda, letras H maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo mindinho erguido. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, letras I maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo mindinho erguido. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta indicando que a mão faz um movimento de meia lua com os dedos nessa posição. À esquerda, letras J maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta vertical, indicando que a mão se movimenta para cima com os dedos nessa posição. À esquerda, letras K maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra L maiúscula com o indicador e polegar. À esquerda, as letras L maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa os dedos anelar, médio e indicador esticados e bem juntinhos de cabeça para baixo. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras M maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa os dedos anelar e médio esticados e bem juntinhos de cabeça para baixo. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras N maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra o minúscula. Os dedos estão voltados para o lado esquerdo. À esquerda, as letras O maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa posicionada na horizontal. O dedo indicador aponta levemente para cima e o dedo médio está parcialmente dobrado para baixo. À esquerda, as letras P maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo indicador apontando para baixo e os demais dedos parcialmente dobrados. À esquerda, as letras Q maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com o dedos indicador e médio erguidos e cruzados. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras R maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa fechada. O polegar está atravessado sobre os demais dedos. À esquerda, as letras S maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com o indicador na horizontal e o polegar atravessado atrás dele, um pouco inclinado. Os dedos médio e anelar estão erguidos e um pouco afastados. À esquerda as letras T maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem juntinhos. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda as letras U maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda as letras V maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos anelar, médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta vertical apontando para cima indicando que a mão com os dedos nesta posição se movimenta para cima. À esquerda as letras W maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa posicionada na horizontal. O dedo indicador está parcialmente dobrado. Há uma seta para a esquerda indicando que a mão com os dedos nesta posição se movimenta para a esquerda. À esquerda letras X maiúscula e minúscula.
Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos mindinho e polegar erguidos. Os demais dedos estão parcialmente dobrados. À esquerda, letras Y maiúscula e minuscula.
Esquema. Indicador de uma pessoa fazendo o traçado da letra Z. À esquerda as letras Z maiúscula e minúscula.

Página vinte e um

Os algarismos também são representados por sinais. Como são menos, é mais fácil memorizá-los, e você poderá utilizá-los para as explicações:

Esquema. Mão direita de uma pessoa fazendo um sinal parecido com o número zero. Abaixo, o número zero.
Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. O polegar está apontando para cima e os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 1.
Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. O polegar está apontando para cima e o indicador para a direita. Os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 2.
Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. Os dedos anelar, médio e indicador estão apontando para a direita. Os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 3.
Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. Os dedos mindinho, anelar, médio e indicador estão apontando para a direita. O polegar está dobrado. Abaixo, o número 4.
Esquema. Mão de uma pessoa vista de frente. O polegar está completamente dobrado e os demais dedos estão dobrados parcialmente. Abaixo, o número 5.
Esquema. Mão direita de uma pessoa com o polegar apontando para cima e os demais dedos curvados, encostando no centro dele. Abaixo, o número 6.
Esquema. Mão direita de uma pessoa com o indicador apontando para o alto e para a direita. Os demais dedos estão dobrados. Abaixo, o número 7.
Esquema. Mão direita de uma pessoa com todos os dedos dobrados. Abaixo, o número 8.
Esquema. Mão direita de uma pessoa com o polegar apontando para baixo e os demais dedos curvados, encostando no centro dele. Abaixo, o número 9.

O ideal seria que todo estudante com deficiência auditiva tivesse um intérprete de Libras que pudesse traduzir as aulas. Outra possibilidade para incluir estes estudantes, é a utilização de vídeos relativos aos conteúdos que contenham intérprete de Libras.

Quando se trata de deficiência visual, pode-se utilizar o Braille: sistema de sinalização ou de comunicação tátil. Este sistema possibilita escrever as atividades e complementar as explicações. Para tanto, é necessário o uso da máquina de escrever Braille. Vale lembrar que outros meios podem ser utilizados pelas pessoas com deficiência visual, como caracteres ampliados, linguagem escrita e oral, dispositivos multimídia, sistemas auditivos e os meios de voz digitalizados.

No que se refere às deficiências intelectuais, é preciso adequar as propostas tendo em vista a idade e as necessidades de cada estudante. O uso de materiais manipulativos é uma estratégia que contribui bastante nesses casos. Neles estão inclusos tampinhas, ábaco, colar de contas, material dourado para a contagem e a construção da ideia de número, canudos, linhas, palitos, massinha para a Geometria Espacial; geoplano, entre outros.

Jogos de tabuleiro, quebra-cabeças e jogos de memória são também ferramentas que possibilitam o trabalho de diferentes conteúdos matemáticos e podem ser adequados aos diferentes graus de dificuldades da turma. As propostas precisam conter desafios possíveis de serem executados, aumentando, posteriormente, as regras, os números de participantes e, até mesmo, o grau de complexidade.

Também, há muitos softwares e programas que podem ser utilizados e que tornam ainda mais significativo o processo de ensino e de aprendizagem quando se trata da inclusão.

Além disso, o uso das metodologias ativas pode ser bastante inclusivo, uma vez que poderá fortalecer o protagonismo dos estudantes por meio de “desafios, atividades e jogos colaborativos; uso de tecnologias; realização de projetos; aprendizado através de problemas e situações reais (informação contextualizada); e a sala de aula invertida” (PAVÃO, A. C. O.; PAVÃO, S. M. O., 2021, página 30). Cabe a cada professor adequar as propostas de acordo com a realidade de sua turma.

A inclusão é um direito. É importante acolher os estudantes com deficiência e dar a eles todas as condições necessárias para que se sintam motivados a desenvolver o seu potencial.

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O PROFESSOR E SEU LOCAL DE FALA

Uma das missões do professor é criar ambientes que acolham os estudantes e forneçam uma boa experiência de aprendizado. Nesse contexto, a interação professor/estudantes é fundamental, pois possibilita compreender como vivem, suas necessidades, seus anseios, seu projeto de vida e o que pode motivá-los para ter uma aprendizagem significativa. Por meio dessa interação, é possível explorar problemas reais e buscar as informações de maneira coletiva, reconhecendo que os próprios estudantes podem ser a fonte de conhecimento. É importante encorajar a troca e a construção entre eles e se envolver nas discussões e nos trabalhos.

Esta relação com os estudantes também é uma fórma de criar, valorizar e manter uma cultura de paz dentro das salas de aula e, consequentemente, na comunidade escolar como um todo. De acordo com as orientações da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco), para promover a cultura de paz nas escolas é preciso construir, no dia a dia, um ambiente pacífico e conciliador. Nesse âmbito, o professor pode desempenhar papel fundamental criando um ambiente de confiança, colocando-se à disposição para ouvir os estudantes e fornecendo condições para que tenham uma conduta respeitosa entre si na sala de aula e além dos muros da escola.

Trabalhar de fórma colaborativa com outros professores da escola e também com os demais profissionais da comunidade escolar como secretários, inspetores, merendeiras etcétera (caso estes tenham interesse) permite criar uma comunidade de aprendizagem que pode ser propícia para a concepção e execução de projetos que respondam às demandas do desenvolvimento humano integral e podem trazer retorno para a própria comunidade ao redor da escola.

INTERDISCIPLINARIDADE

Partindo do pressuposto que o conhecimento não é compartimentado, é necessário investir numa visão interdisciplinar da sua concepção a fim de garantir sua construção de umafórma global. A interdisciplinaridade, tão discutida desde o século passado, é quando dois ou mais componentes curriculares se relacionam para aprofundar o conhecimento, integrando os saberes e superando essa visão fragmentada.

Podemos dizer que é uma fórma de encontrar conexões entre as áreas do conhecimento para o estudo de um tema de interesse, objetivando responder aos questionamentos por ele gerados. Esse processo dá significação e significado à aprendizagem, permitindo ao estudante estabelecer também ligações com conceitos já estudados e com o seu cotidiano. O que reforça a ideia de que interdisciplinaridade e aprendizagem significativa caminham imbricadas entre si.

Quando um estudante se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e Dufour (2002) observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensão, que não necessariamente se restringem aos componentes curriculares; entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relação entre as diferentes áreas do conhecimento para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar.

Assim, nesta Coleção, são favorecidas situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação e a tomada de decisão.

Tudo isso corrobora com a visão interdisciplinar e estabelece um diálogo com a Bê êne cê cê e as competências gerais de aprendizagem, uma vez que permite, também, compreender a realidade, investigar, levantar hipóteses, defender ideias, respeitar a si e ao outro, contextualizando a aprendizagem com as necessidades e os interesses do estudante e favorecendo a tomada de decisões pautadas na ética.

Dessa maneira, o professor, que é pesquisador de sua prática, buscará os melhores caminhos para planejar boas estratégias e exercitar a interdisciplinaridade.

Um deles é o uso das metodologias ativas, como a aprendizagem baseada em projetos. A seção É hora de extrapolar, por exemplo, oferece oportunidades para que sejam desenvolvidos projetos que envolvam temáticas com potencial de mobilizar conhecimentos de diferentes áreas.

Vale ressaltar que, utilizando a ótica de escuta e observação, também é possível elaborar sequências de atividades envolvendo temas de interesse dos estudantes, sem constituir um projeto, mas com o foco interdisciplinar.

Atitudes interdisciplinares

Para que a interdisciplinaridade seja colocada em prática, é necessário que a escola invista na formação continuada de todos os segmentos, de fórmaa promover o estudo das necessidades prementes da turma e das novas estratégias para serem colocadas em prática. Aprofundar o conhecimento do professor nas metodologias ativas, por exemplo, permite a prática interdisciplinar.

Página vinte e três

Criar momentos de interações e trocas entre as equipes gestoras e os professores abre espaço para a discussão das diferentes ideias e da própria prática, por meio de experiências exitosas que permitirão ressignificá-la. Além disso, investir nas reflexões sobre a gestão do tempo em sala de aula é uma fórma de buscar organizar as atividades.

Planejar as sequências do que será trabalhado seja em conjunto com outros professores, seja consigo mesmo é fundamental, bem como garantir momentos para replanejar o que não está dando certo ou que precisa de ajustes.

Outro ponto é trabalhar a pesquisa, aspecto que requer bastante atenção, uma vez que este é um procedimento que precisa ser ensinado e retomado constantemente. Aprender a pesquisar ajuda a investigar as hipóteses e encontrar as soluções.

O uso da gamificação é também uma fórma de promover a interdisciplinaridade. A gamificação consiste em utilizar elementos de jogos e técnicas de design de jogos em contextos diferentes. Em atividades ou propostas gamificadas, espera-se que os estudantes se engajem na resolução de problemas ou na superação de desafios, que aceitem as regras do jogo, que concordem em jogar com pessoas diferentes e que aceitem feedback corretivo para alcançar o resultado desejado. Em resumo, a gamificação não é transformar qualquer atividade em um game, mas, sim, aprender a partir dos games, ou seja, aproveitar elementos dos games que podem melhorar uma experiência de aprendizagem sem ignorar o mundo real.

O trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido por uma equipe comprometida. Além disso, os professores, mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. Para auxiliar nesse processo, esta Coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo das Orientações, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com a sua realidade. Nesse sentido, cabe a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente com as propostas da escola e que seja enriquecedor para o estudante.

TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS (tê cê tês)

Em 1996, os Parâmetros Curriculares Nacionais (pê cê ênes) traziam os temas transversais, os quais contemplavam temáticas relacionadas à vida cotidiana e à vida das pessoas. Não eram novas disciplinas curriculares, mas sim áreas do conhecimento que perpassavam os campos disciplinares. Em outras palavras, buscavam inserir questões sociais como objeto de aprendizagem.

Com a Bê êne cê cê, tais conceitos foram ampliados, e os temas contemporâneos transversais foram introduzidos, objetivando explicitar a ligação entre os diferentes componentes curriculares e as situações vivenciadas pelo estudante no cotidiano. Essas situações podem ser relacionadas aos problemas do mundo atual que afligem os estudantes, afetando a vida humana em escala local, regional e global.

Os tê cê tês estão distribuídos em seis macroáreas temáticas: Cidadania e Civismo, Ciência e Tecnologia, Economia, Meio Ambiente, Multiculturalismo e Saúde, englobando 15 temas contemporâneos.

Esquema. No centro, quadro com a legenda: Temas Contemporâneos Transversais BNCC. Em volta, 6 setas apontando para 6 quadros.
Acima, quadro com a legenda: MEIO AMBIENTE - Educação Ambiental; Educação para o Consumo.
Abaixo, quadro com a legenda: CIDADANIA E CIVISMO - Vida familiar e social; Educação para o Trânsito; Educação em Direitos Humanos; Direitos da Criança e do Adolescente; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso.
Na parte superior direita, quadro com a legenda: ECONOMIA - Trabalho; Educação financeira; Educação fiscal.
Na parte inferior direita, quadro com legenda: SAÚDE - Saúde; Educação Alimentar e Nutricional.
Na parte superior esquerda, quadro com a legenda: CIÊNCIA E TECNOLOGIA - Ciência e Tecnologia.
Na parte inferior esquerda, quadro com a legenda: MULTICULTURALISMO - Diversidade Cultural; Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras. — BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais na Bê êne cê cê: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: Méqui, 2019. página 13 . Disponível em: https://oeds.link/8QEVqz. Acesso em: 19 julho 2022.

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Para que o trabalho aconteça em sala de aula, é imprescindível refletir sobre o que estamos ensinando e o que os estudantes precisam aprender no que se refere a estas temáticas, mapeando quais tê cê tês poderão ser trabalhados atendendo a tais necessidades. Analisar como esses temas podem perpassar a área de conhecimento a partir do conteúdo a ser trabalhado é outro aspecto importante. Por exemplo, ao trabalhar porcentagem em Matemática é possível discutir o consumo e o consumismo (o que realmente necessitamos obter e o que compramos desnecessariamente), bem como a distribuição da renda e o trabalho.

Para isto a leitura e a pesquisa são fundamentais juntamente com as trocas estabelecidas a partir do trabalho em grupo, a socialização das ideias e a sistematização de discussões.

Os tê cê tês na Coleção

Os tê cê tês são abordados em diferentes momentos da Coleção: seções, boxes e atividades diversas. Nesse trabalho, os estudantes são incentivados a refletir, defender suas opiniões e a pesquisar sôbre diferentes assuntos. O trabalho muitas vezes dialoga com as competências específicas e gerais da Bê êne cê cê.

Na Coleção, utilizam-se ícones para identificar a possibilidade de trabalho com os tê cê tês.

Ícones que indicam o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais

Ícone FORMAÇÃO CIDADÃ.
Ícone SAÚDE.
Ícone do tema PLURALIDADE CULTURAL.
Ícone EDUCAÇÃO FINANCEIRA.
Ícone do tema MEIO AMBIENTE.
Ícone do tema CIÊNCIA E TECNOLOGIA.

Cada um destes ícones se relaciona com uma das macroáreas temáticas conforme mostra o quadro a seguir.

RELAÇÃO ENTRE AS MACROÁREAS TEMÁTICAS E OS ÍCONES DA COLEÇÃO
Macroáreas temáticas	Meio ambiente	Economia	Saúde	Cidadania e civismo	Multiculturalismo	Ciência e tecnologia
Ícones da Coleção

O quadro a seguir apresenta um panorama geral de como o trabalho com os temas contemporâneos transversais é distribuído ao longo dos capítulos do volume 8.

O TRABALHO COM OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS NO VOLUME 8

Capítulo 8.	Capítulos 8, 11 e 12	Capítulos 1, 6, 9, 10 e 12.	Capítulos 3, 4, 6, 8, 9 e 12.	Capítulos 4 e 7.	Capítulos 1, 2 e 11.

Além dos momentos sinalizados no Livro do Estudante, outros são sugeridos nas Orientações presentes neste Manual do Professor, podendo enriquecer ainda mais as atividades propostas.

Página vinte e cinco

A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos estudantes a percepção de que a Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu ao longo do tempo e continua se desenvolvendo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos estudantes, com o objetivo de promover a compreensão do desenvolvimento histórico de diferentes conceitos e, consequentemente, ampliar os horizontes da aprendizagem matemática.

No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer elementos sobre sua história, os locais onde a Geometria se desenvolveu, as características sociais e geográficas dêsses locais pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto matemático em estudo se desenvolveu.

A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Nesta Coleção, o boxe Um pouco de história busca trazer informações que podem servir de ponto de partida para a complementação e o aprofundamento dos conteúdos abordados.

AS TECNOLOGIAS DIGITAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Atualmente, tanto a computação como as tecnologias digitais de informação e comunicação (tê dê i cê) estão presentes na sociedade, moldando a comunicação, o meio de transporte, as relações interpessoais e influenciando a vida das pessoas. A ciência e a tecnologia evoluem rapidamente, e essa constante transformação reflete diretamente no funcionamento da sociedade e, consequentemente, no mundo do trabalho e da educação.

A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os estudantes para o uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e que saibam se prevenir.

No que diz respeito à utilização das tecnologias digitais no ensino de Matemática, deseja-se que este uso possibilite a expansão das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para a aprendizagem da Matemática devem favorecer, entre outras coisas, a busca por novas estratégias para a resolução de problemas ou o desenvolvimento do raciocínio lógico. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008, p. 64):

A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática podem desafiar o estudante a pensar sôbre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a articular os significados e as conjecturas sôbre os meios utilizados e os resultados obtidos, conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo.

É importante que o uso do computador na escola não se limite apenas à função do uso dos editores de texto ou de slides; os estudantes devem aprender a utilizá-lo como uma ampliação das faculdades cognitivas e capacidades humanas. A sociedade contemporânea demanda um grande conhecimento tecnológico, não apenas em relação ao uso das tecnologias de maneira eficaz, mas também referente à elaboração de soluções para problemas cotidianos simples ou complexos de qualquer natureza.

Nesta Coleção, o uso de tecnologias digitais é incentivado por meio da seção Tecnologias digitais em foco e também por meio de atividades identificadas pelo ícone Calculadora e softwares:

Calculadora e softwares

A intenção é colocar os estudantes diante de situações em que devem resolver problemas, experimentar, formular hipóteses e argumentar. As propostas podem envolver estratégias como o uso de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria dinâmica como o GeoGebra. Nesse contexto, espera-se criar um ambiente favorável para que eles se sintam motivados a aprender cada vez mais e de maneira significativa os conteúdos da disciplina.

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PENSAMENTO COMPUTACIONAL

A expressão “pensamento computacional” surgiu em 2006, no artigo Computational Thinking, da pesquisadora Jeanéte Uingue. Nele, Uín relaciona o termo à resolução de problemas de maneira sistemática, decompondo um problema complexo em subproblemas e automatizando a solução, de fórma que pudesse ser executada por uma máquina.

O pensamento computacional se apoia em quatro pilares. São eles:

• Decomposição: consiste em quebrar um problema em partes menores (subproblemas) ou etapas, de maneira que a resolução de cada uma das partes ou etapas resulte na resolução do problema inicial. Dessa maneira, um problema ou uma situação complexa podem ser resolvidos aos poucos, com estratégias e abordagens diversas.

• Reconhecimento de padrões: ocorre ao se perceber similaridade da situação enfrentada com outra previamente resolvida, o que permite o reaproveitamento de uma estratégia conhecida. Esse reconhecimento de padrões pode se dar entre instâncias distintas de um problema ou dentro dele mesmo, quando há repetições de etapas ou padrões em sua resolução.

• Abstração: no contexto do pensamento computacional, significa filtrar as informações e os dados relevantes à resolução, eliminando dados desnecessários. Permite-se, assim, uma modelagem do problema mais limpa e eficaz.

• Algoritmo: a aplicação dos pilares anteriores pode facilitar o surgimento de um algoritmo, que é uma generalização da resolução e permite resolver toda uma família de problemas similares. Um algoritmo pode ser definido como uma sequência finita de passos cuja finalidade é resolver um problema ou executar uma tarefa.

É importante salientar que, dependendo do problema, nem todos os pilares serão necessários e estarão presentes. Além disso, para desenvolver o pensamento computacional e trabalhar com ele em sala de aula, apesar de a intenção ser a implementação computacional de uma solução, não é necessário um computador.

O pensamento computacional na Coleção

A Bê êne cê cê considera que a aprendizagem de Álgebra contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, uma vez que precisam mobilizar diferentes linguagens para traduzir situações-problema. Além disso, o documento destaca que:

Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que podem ser objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que permite resolver um determinado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um procedimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos (BRASIL, 2018, página 271).

Nesta Coleção, são propostas diferentes atividades envolvendo construção, leitura e interpretação de fluxogramas. Essas atividades favorecem o desenvolvimento da competência especifica 6 de Matemática e da competência geral 4 da Bê êne cê cê e são identificadas pelo ícone Pensamento computacional.

Pensamento computacional

Na Coleção, os fluxogramas também são utilizados na sistematização de alguns conteúdos.

De modo geral, o pensamento computacional também está presente, na Coleção, por meio da aplicação de algoritmos e procedimentos (algoritmos das operações, métodos para determinar o ême ême cê ou ême dê cê de números naturais, aplicação da fórmula resolutiva de equações do 2º grau etcétera), reconhecimento de padrões em sequências numéricas ou de figuras e, também, quando se propõe a elaboração e/ou resolução de problemas.

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SUGESTÕES DE CRONOGRAMAS

O quadro a seguir oferece ao professor possibilidades de trabalho com os capítulos do volume 8 da Coleção durante o ano letivo. O professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar as sugestões aqui indicadas de acordo com a realidade e as necessidades da turma e da escola, uma vez que a aprendizagem depende da combinação de muitos fatores e, por conseguinte, os métodos e as estratégias que se mostram eficientes com um grupo de estudantes podem não ter o mesmo resultado com outro.

O arranjo dêsse quadro possibilita ao professor a previsão de uma organização bimestral, trimestral ou semestral.

SUGESTÕES DE CRONOGRAMAS (BIMESTRAL, TRIMESTRAL E SEMESTRAL)
	Capítulos do volume 8	Bimestres	Trimestres	Semestres
UNIDADE 1	Capítulo 1 – Conjuntos numéricos	1º bimestre	1º trimestre	1º semestre
	Capítulo 2 – Potenciação e radiciação
	Capítulo 3 – Sistemas de equações do 1º grau
UNIDADE 2	Capítulo 4 – Ângulos e transformações geométricas	2º bimestre
	Capítulo 5 – Polígonos		2º trimestre
	Capítulo 6 – Probabilidade
UNIDADE 3	Capítulo 7 – Triângulos e quadriláteros	3º bimestre		2º semestre
	Capítulo 8 – Área, volume e capacidade
	Capítulo 9 – Equações do 2º grau		3º trimestre
UNIDADE 4	Capítulo 10 – Grandezas e proporcionalidade	4º bimestre
	Capítulo 11 – Medidas de tendência central e pesquisa estatística
	Capítulo 12 – Gráficos estatísticos

ORIENTAÇÕES PARA AVALIAÇÃO

Avaliar é algo complexo e muito discutido entre as equipes escolares, principalmente quando almeja-se uma avaliação focada na evolução e no desenvolvimento das aprendizagens dos estudantes. Para isso, é necessário ir além da simples demonstração dos resultados, trazendo o “percurso, os obstáculos e os novos caminhos a serem percorridos para o alcance dos objetivos ainda não atingidos”.

A Bê êne cê cê vem propor uma ressignificação da avaliação, uma vez que há uma progressão na aquisição das habilidades, o que implica buscar mecanismos que mostrem o desenvolvimento do estudante no processo de ensino e de aprendizagem, no que se refere à aquisição ou não de tais habilidades.

Para isso é preciso refletir sôbre o que avaliar e como fazê-lo. O professor precisa ter claro o que espera que cada turma aprenda em cada situação didática planejada. Necessita planejar intervenções que levem em consideração as orientações nacionais, mas também as necessidades de cada turma e cada estudante em particular.

É importante que as avaliações sejam aplicadas de fórma contínua ao longo do processo educativo. A análise dos dados obtidos ao longo dêsse caminhar permitirá ao professor reorientar o processo de ensino e de aprendizagem. Ao estudante, fornecerá elementos para reforçar e incentivar a aprendizagem, tornando-se, assim, parte ativa do seu processo de aprendizagem.

Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, de fórma a melhorar as oportunidades para que o estudante mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor dúvidas e, especialmente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.

Página vinte e oito

Cabe ao professor, com base no conhecimento que tem de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios utilizados devem ser explicitados aos estudantes.

Entretanto, independentemente do instrumento escolhido, é necessário registrar os resultados obtidos por meio de pautas de observação, registros escritos ou audiovisuais e portfólios, a fim de acompanhar o desenvolvimento de cada um. A seguir, apresentamos uma sugestão de quadro que você pode utilizar para avaliar algumas capacidades desenvolvidas pelos estudantes ao longo do ano letivo.

SUGESTÃO DE QUADRO PARA REGISTRO DA AVALIAÇÃO DE CAPACIDADES DESENVOLVIDAS PELOS ESTUDANTES
Capacidade avaliada	Desempenho individual
Nome: _____
Turma: _____	Data: ___/___/___
Capacidade avaliada	Plenamente satisfatório	Satisfatório	Insatisfatório
Elaborar e resolver problemas.
Compreender conceitos e procedimentos.
Realizar cálculos mentais.
Mobilizar diferentes linguagens e registros.
Compreender textos publicados em diferentes mídias.
Mobilizar conhecimentos de diferentes unidades temáticas.
Realizar investigações utilizando tecnologias digitais.
Criticar, criar e propor.
Argumentar.
Inferir.
Construir, ler e interpretar tabelas e gráficos estatísticos.
Trabalhar em equipe.

O professor pode e deve se sentir à vontade para definir o critério que vai utilizar durante o preenchimento do quadro e até mesmo pode mudar as capacidades avaliadas, de acôrdo com a realidade da sua turma ou da escola em que trabalha. Também podem ser feitas versões similares do mesmo quadro, levando em consideração as habilidades e competências da Bê êne cê cê.

Outro ponto é a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do estudante deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também, devem ser considerados. Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem papel fundamental nesse processo.

Na Coleção, as atividades da seção Revisão de conteúdos de anos anteriores podem compor avaliações diagnósticas e as atividades da seção Revisão dos conteúdos deste capítulo, por sua vez, podem servir para que sejam elaboradas avaliações formativas.

Página vinte e nove

Propomos a seguir sugestões de avaliações de caráter formativo (uma relacionada a cada capítulo do Livro do Estudante) e uma sugestão de avaliação de preparação para exames de larga escala.

Sugestões de avaliação formativa

Para o capítulo 1: Conjuntos numéricos

Questões	Objetivos
1	Analisar conjuntos numéricos.
2	Analisar sequência numérica recursiva.
3	Comparar números racionais.
4	Resolver situação-problema envolvendo porcentagem.

1. Avalie cada afirmação a seguir sôbre conjuntos numéricos como verdadeira ou falsa.

a) Todo número natural tem antecessor.

b) Todo número racional é real.

c) Todo número irracional é real.

d) O menor número inteiro que existe é o 0.

2. Considere a lei de formação de uma sequência dada por áindice de 1 = −2 e áindice de nmais 1 = (áíndice n)elevado a 2 + 1. A soma dos quatro primeiros termos dessa sequência é:

a) 677

b) 706

c) 709

d) 710

3. Copie cada sentença em seu caderno, trocando

por > ou <.

a) 4,0

1,4

b) −5,12

3,5

c) −8,29

−8,3

d) −1,0

0,95

4. Luana é dona de uma loja de eletrodomésticos. Em uma promoção, ela pretende mudar o preço de certo produto de R$ 1.325,00mil trezentos e vinte e cinco reais para R$ 1.166,00mil cento e sessenta e seis reais. Para isso, ela deve dar um desconto de:

a) 12%

b) 14%

c) 86%

d) 88%

Respostas

1. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Verdadeira

d) Falsa

2. alternativa b

3. a) >

b) <

c) >

d) <

4. alternativa a

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero cinco. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre as relações entre os conjuntos numéricos e os elementos que os compõem. Espera-se que eles percebam que o 0 não tem antecessor no conjunto dos números naturais e que os números negativos são menores do que 0 no conjunto dos números inteiros. Eles podem cometer equívocos ao analisar essas relações ou considerar os números irracionais como não sendo números reais. Em caso de dificuldades, convém retomar cada conjunto numérico e apresentar exemplos de seus elementos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um um. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre a determinação de elementos de uma sequência numérica recursiva a partir da lei de formação. Eles precisam determinar os quatro primeiros termos dessa sequência. Espera-se que percebam que o segundo termo é obtido elevando o primeiro termo ao quadrado e adicionando 1. Utilizando esse raciocínio, conseguem determinar também o terceiro e o quarto termos. Além disso, precisam calcular a soma dêsses quatro termos. Eles podem cometer equívocos ao calcular essa soma, não atentando ao sinal negativo do primeiro termo. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de sequência recursiva.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero cinco. Essa questão apresenta pares de números racionais na fórma decimal para que os estudantes possam comparar. Espera-se que eles fiquem atentos aos sinais dos números para decidir qual deles é o maior. Eles podem cometer equívocos ao utilizar os sinais de comparação ou não compreender a ordem dos números racionais. Nesse caso, convém utilizar a reta numérica para realizar a comparação dos números.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero quatro. Nessa questão, os estudantes precisam analisar os preços do produto antes e depois da mudança para calcular o percentual dêsse desconto. Para isso, podem calcular o quociente de .1166 : .1325 e descobrir que o novo preço será 88% do preço antigo, ou seja, o desconto percentual a ser dado deve ser de 12%. Eles podem cometer equívocos ao calcular o quociente com outros valores ou não analisar o percentual encontrado. Nesse caso, convém retomar o conceito de cálculo de porcentagem.

Para o capítulo 2: Potenciação e radiciação

Questões	Objetivos
1	Analisar potências de base real e expoente inteiro.
2	Escrever números em notação científica.
3	Analisar propriedades da potenciação.
4	Representar raiz como potência de expoente fracionário.

1. Em relação ao número −1,1, avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

a) −1,1elevado a 2 = −1,21

b) (−1,1)elevado a 0 = −1

c) (−1,1)elevado a 4 = −1,4641

d) −1,1elevado a menos 1 =

‒ \frac{1}{1, 1}

2. Vítor estudou os planetas do Sistema Solar e descobriu que a distância média entre Marte e o Sol mede cércade 228 milhões de quilômetros. Essa medida pode ser indicada em notação científica por:

a) 2,28 · 10elevado a menos 8 quilômetros.

b) 2,28 · 10elevado a 6 quilômetros.

c) 228 · 10elevado a 6 quilômetros.

d) 2,28 · 10elevado a 8 quilômetros.

3. Observe as sentenças que Vilma escreveu a seguir.

{(\frac{1}{4})}^{6} : {(\frac{1}{4})}^{‒ 2} = {\frac{1}{4}}^{6 : (‒ 2)}

{(0, 2)}^{‒ 5} \cdot {(0, 2)}^{4} = 0, 2^{‒ 5 + 4}

{(4 + 3 ‒ 2)}^{6} = 4^{2} + 3^{2} ‒ 2^{2}

{(‒ 18 : 6)}^{4} = {(‒ 18)}^{4} : 6^{4}

{[{(12, 7)}^{5}]}^{2} = 12, 7^{5 \cdot 2}

Identifique as sentenças verdadeiras.

4. O número

\sqrt[4]{21 + \sqrt{41 ‒ \sqrt{29 ‒ \sqrt{16}}}}

pode ser representado como:

3^{\frac{3}{4}}

3^{\frac{4}{3}}

17^{\frac{1}{4}}

17^{4}

Página trinta

Respostas

1. a) Verdadeira

b) Falsa

c) Falsa

d) Verdadeira

2. alternativa d

3. itens b, d, ê

4. alternativa a

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero um. Essa questão apresenta potências de base real com expoente inteiro para que os estudantes avaliem se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Espera-se que eles recordem que todo número real não nulo elevado a 0 é igual a 1 e prestem atenção ao sinal da base em cada item. Eles podem cometer equívocos, por exemplo, ao considerar que o sinal do item a deve ser positivo, entretanto, o sinal negativo da base não está elevado ao quadrado. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de potenciação de base real com expoente inteiro.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero um. Essa questão apresenta a medida da distância média de Marte até o Sol, em quilômetro, para que os estudantes identifiquem a notação científica correspondente. Eles podem cometer equívocos ao considerar a quantidade de casas decimais ou ao não considerar que a notação científica deve ser escrita como o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de notação científica.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero um. Nessa questão, os estudantes precisam analisar cada sentença para verificar se Vilma aplicou corretamente as propriedades da potenciação para potências de base real com expoente inteiro. Espera-se que eles percebam que a sentença será verdadeira se os dois membros da igualdade representarem o mesmo valor. Para isso, não há necessidade de realizar os cálculos, basta recordar as propriedades estudadas. Em caso de dificuldades, pode-se retomar essas propriedades com exemplos mais simples.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero dois. Nessa questão, os estudantes precisam simplificar o número apresentado calculando a raiz a partir de 16 e realizando as operações internas às outras raízes. Com isso, devem chegar a

\sqrt[4]{27}

. Ao escrever essa raiz como potência de expoente fracionário, conseguem identificar o item que apresenta o número equivalente ao número dado. Eles podem cometer equívocos ao simplificar a raiz ou escrever a raiz como potência de expoente fracionário. Nesse caso, convém retomar esse conceito.

Para o capítulo 3: Sistemas de equações do 1º grau

Questões	Objetivos
1	Localizar pontos no plano cartesiano.
2	Escrever equação do 1º grau com duas incógnitas para representar situações.
3	Resolver situação-problema envolvendo sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

1. Luís representou um plano cartesiano e marcou os pontos a(‒3, 5), B(1, 1), C(3, 3) e D(5, 5). Depois, ele uniu esses pontos em ordem alfabética, obtendo:

a) uma reta.

b) o contôrno de um triângulo.

c) o contôrno de um quadrilátero.

d) o contôrno de um pentágono.

2. Muniz quer representar um retângulo cuja altura mede x centímetros e o comprimento mede o quádruplo da altura. Considerando a medida do comprimento igual a y centímetros, avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

a) Se a altura mede 16 centímetros, então o comprimento mede 4 centímetros.

b) As medidas do comprimento e da altura podem se relacionar por meio da equação

\frac{y}{4} - x = 0

c) Se o comprimento mede 20 centímetros, então a altura mede 5 centímetros.

d) A equação y = x + 4 relaciona as medidas do comprimento e da altura.

3. Regina foi ao banco retirar 215 reais em dinheiro. Ela pediu à atendente que désse apenas cédulas de 20 reais e de 5 reais. Sabendo que ela saiu do banco com 22 cédulas, determine a quantidade de cada tipo de cédula.

Respostas

1. alternativa b

2. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Verdadeira

d) Falsa

3. 7 cédulas de 20 reais e 15 cédulas de 5 reais.

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero sete. Essa questão verifica o conhecimento dos estudantes sobre localização de pontos no plano cartesiano a partir de pares ordenados. Eles precisam perceber que são dados quatro pares ordenados e que os pontos B, C e D estão alinhados. Assim, ao unir os quatro pontos, obtêm o contôrno de um triângulo. Eles podem cometer equívocos ao não analisar a posição dos pontos, considerando apenas a quantidade. Em caso de dificuldades, pode-se retomar a localização de pontos no plano cartesiano.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero seis. Nessa questão, os estudantes precisam identificar a relação que há entre as medidas do comprimento y e da altura x do retângulo que Muniz quer representar, ou seja, y = 4x. A partir da manipulação algébrica, eles podem encontrar outras equações equivalentes e analisar a relação entre essas medidas em cada item. Podem cometer equívocos durante essa manipulação ou não compreender a relação entre as medidas do comprimento e da altura. Nesse caso, convém retomar o conceito de equação do 1º grau com duas incógnitas para representar situações.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero oito. Nessa questão, os estudantes podem resolver a situação-problema apresentada considerando que Regina saiu do banco com x cédulas de 20 reais e y cédulas de 5 reais, em que x e y são números naturais. Assim, podem montar e resolver um sistema de equações, sabendo que 20x + 5y = 215 e x + y = 22, utilizando qualquer um dos métodos estudados. Eles podem cometer equívocos ao interpretar o enunciado ou não compreender o significado da solução encontrada. Em caso de dificuldades, convém retomar a resolução dêsse tipo de sistema.

Página trinta e um

Para o capítulo 4: Ângulos e transformações geométricas

Questões	Objetivos
1	Analisar ângulos e simetria em um trapézio.
2	Reconhecer propriedades da mediatriz.
3	Realizar a translação de um polígono.
4	Realizar rotações de um ponto no plano cartesiano.

1. Observe o trapézio que Elis desenhou e avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

Figura geométrica. Trapézio isósceles ABCD. Os lados BC e AD são paralelos. Os lados AB e CD são congruentes. O ângulo ABC mede 135 graus, o ângulo BCD mede 135 graus, o ângulo CDA mede 45 graus e o ângulo DAB mede 45 graus,

a) Esse trapézio tem dois ângulos obtusos e dois ângulos agudos.

b) Os ângulos

D \hat{A} B

A \hat{B} C

são congruentes.

c) Ao traçar a bissetriz do ângulo

C \hat{D} A

, obtêm-se dois ângulos cuja abertura mede 90graus.

d) Esse trapézio é simétrico em relação à mediatriz de

\overline{B C}

2. Ronaldo desenhou um segmento de reta e traçou a mediatriz dêsse segmento. Depois, ele uniu um ponto da mediatriz às extremidades do segmento. Com base nessas informações, indique quais destas figuras geométricas ele pode obter:

• segmento de reta;

• quadrado;

• triângulo isósceles;

• triângulo escaleno;

• triângulo equilátero.

3. No caderno, copie a malha quadriculada a seguir, o triângulo ABC e o vetor. Depois, represente a figura obtida pela translação do triângulo á bê cê no sentido, na direção e na distância do vetor dado.

Figura geométrica. Malha quadriculada com triângulo ABC e vetor diagonal DE.
Tomando o vértice B como referência: o vértice A está 2 quadradinhos para a direita e 2 quadradinhos para cima; o vértice C está 4 quadradinhos para a direita e 1 quadradinho para baixo.
O vetor DE correspondente à movimentação de 1 quadradinho para cima e 3 quadradinhos para a direita.

4. Tiago realizou algumas rotações no plano cartesiano. Acompanhe os procedimentos dele:

1º) Marcou o centro de rotação na origem do plano cartesiano.

2º) Marcou o ponto a(2, 4).

3º) Rotacionou o ponto A no sentido anti-horário em um giro de 180graus, obtendo um ponto á linha.

4º) Rotacionou o ponto á linha no sentido horário em um giro de 135graus, obtendo um ponto á duas linhas.

Para obter o ponto á duas linhas realizando uma única rotação do ponto A com centro na origem do plano cartesiano, Ronaldo poderia ter realizado:

a) um giro de 45graus no sentido horário.

b) um giro de 45graus no sentido anti-horário.

c) um giro de 225graus no sentido horário.

d) um giro de 225graus no sentido anti-horário.

Respostas

1. a) Verdadeira

b) Falsa

c) Falsa

d) Verdadeira

2. Segmento de reta, triângulo isósceles ou triângulo equilátero.

Figura geométrica. Malha quadriculada com triângulo ABC, vetor diagonal DE e triângulo A linha B linha C linha.
Tomando o vértice B como referência: o vértice A está 2 quadradinhos para a direita e 2 quadradinhos para cima; o vértice C está 4 quadradinhos para a direita e 1 quadradinho para baixo.
O vetor DE correspondente à movimentação de 1 quadradinho para cima e 3 quadradinhos para a direita.
O triângulo A linha B linha C linha é obtido pela translação do triângulo ABC a partir do vetor DE.

4. alternativa b

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco, ê éfe zero oito ême ah um sete e ê éfe zero oito ême ah um oito. Essa questão apresenta um trapézio isósceles. Os estudantes precisam analisar cada item para avaliar a relação entre os ângulos mencionados, além de perceber a existência de uma simetria ao traçar determinada mediatriz. Eles podem cometer equívocos ao utilizar conceitos de bissetriz, mediatriz e ângulos congruentes. Nesse caso, convém recordar cada um dêsses conceitos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um sete. Essa questão verifica o conhecimento dos estudantes sôbre mediatriz. Espera-se que eles percebam que o enunciado não menciona exatamente qual ponto da mediatriz foi tomado. Se o ponto pertencer ao segmento de reta, obtém-se um segmento de reta; se o ponto da mediatriz não pertencer ao segmento de reta, então forma-se um triângulo, que pode ser equilátero, dependendo das medidas de comprimento dos três lados, mas com certeza é isósceles, devido à definição da mediatriz como lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de dois pontos fixos dados. Em caso de dificuldades, convém retomar mediatriz e essa definição dela como lugar geométrico.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um oito. Nessa questão, os estudantes precisam identificar os vértices do triângulo ABC e, considerando o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento, perceber que o vetor indica que cada vértice deve ser transladado três unidades de medida de comprimento para a direita e uma unidade de medida de comprimento para cima. Assim, podem determinar a localização dos três vértices após a translação e unir os pontos obtidos, encontrando o triângulo transladado. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de translação de polígonos.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um oito. Nessa questão, os estudantes podem fazer um esboço da situação para verificar o que ocorre com o ponto a cada rotação que Tiago fez. Eles precisam ficar atentos ao sentido e às medidas de abertura dos ângulos rotacionados. Espera-se que eles percebam que a primeira rotação equivale a uma reflexão do ponto A em relação à origem do plano cartesiano, já que a abertura do ângulo de rotação mede 180graus. Ao realizar essa rotação no sentido anti-horário e uma nova rotação com giro de 135graus no sentido horário, tem-se uma rotação do ponto A em relação à origem do plano cartesiano com giro de 45graus (180graus ‒ 135graus) no sentido anti-horário para obter o ponto á duas linhas. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de rotação.

Página trinta e dois

Para o capítulo 5: Polígonos

Questões	Objetivos
1	Analisar características de polígonos.
2	Calcular o número de diagonais de um polígono.
3	Reconhecer a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono.
4	Calcular medidas de abertura do ângulo interno e do ângulo externo de polígono regular.

1. Considere um pentágono e um octógono quaisquer para avaliar cada afirmação como verdadeira ou falsa.

a) O pentágono tem mais diagonais do que o octógono.

b) A soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do pentágono é 900graus.

c) A soma das medidas das aberturas dos ângulos externos do pentágono é igual à soma das medidas das aberturas dos ângulos externos do octógono.

d) Se os dois polígonos forem regulares, a medida de abertura de cada ângulo interno do octógono é maior do que a medida de abertura de cada ângulo interno do pentágono.

2. Evandro trabalha com composições artísticas. Ele vai construir um polígono de 14 lados e colorir cada diagonal com uma cor de tonalidade diferente. Para esse trabalho, ele vai precisar de quantas cores?

a) 63

b) 70

c) 77

d) 84

3. Um polígono cuja soma das medidas das aberturas de seus ângulos internos é .3420graus tem:

a) 19 lados.

b) 21 lados.

c) 22 lados.

d) 23 lados.

4. Bruna vai utilizar o seguinte polígono regular como molde para construir uma mesa que será utilizada em uma peça teatral. Determine a medida de abertura aproximada com duas casas decimais de cada ângulo interno e de cada ângulo externo dêsse molde sem utilizar instrumentos de medição.

Figura geométrica. Polígono ABCDEFGHIJKLMN.

Respostas

1. a) Falsa

b) Falsa

c) Verdadeira

d) Verdadeira

2. alternativa c

3. alternativa b

4. Medida de abertura do ângulo interno: 154,29graus; medida de abertura do ângulo externo: 25,71graus

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um seis. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sobre diagonais, ângulos internos e ângulos externos de um polígono qualquer. Eles precisam perceber que o pentágono é um polígono formado por 5 lados, enquanto o octógono é formado por 8 lados. Assim, podem descobrir a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de cada polígono. Eles podem cometer equívocos ao considerar que o octógono tem soma das medidas das aberturas dos ângulos externos maior do que a soma das medidas das aberturas dos ângulos externos do pentágono ou não perceber a relação entre a quantidade de lados e as medidas das aberturas de ângulos internos no caso de polígonos regulares. Em caso de dificuldades, convém retomar os conceitos envolvidos nessa questão.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um seis. Nessa questão, os estudantes precisam calcular o número de diagonais de um polígono de 14 lados. Espera-se que eles recordem que esse número pode ser obtido ao multiplicar o número de lados pelo número de lados menos 3 unidades e ao calcular metade dêsse produto. Em caso de dificuldades, convém recordar esse cálculo.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um seis. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono pode ser obtida multiplicando o número de lados menos 2 unidades por 180graus. Assim, podem obter uma equação do 1º grau para descobrir o número de lados n do polígono: .3420graus = (n ‒ 2) · 180graus. Em caso de dificuldades, convém recordar o cálculo da soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um cinco e ê éfe zero oito ême ah um seis. Nessa questão, os estudantes precisam observar que o molde apresentado tem 14 lados. Com isso, podem calcular a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos dêsse polígono (.2160graus) e dividir pelo número de lados para descobrir a medida da abertura de cada ângulo interno. Considerando que o ângulo interno e o externo correspondente são suplementares, conseguem descobrir a medida da abertura do ângulo externo. Eles também podem se lembrar que a soma das medidas das aberturas dos ângulos externos é 360graus. Em caso de dificuldades, convém recordar esses conceitos.

Para o capítulo 6: Probabilidade

Questões	Objetivos
1	Identificar os possíveis resultados de um experimento aleatório.
2	Aplicar o princípio multiplicativo.
3	Comparar a quantidade de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
4	Calcular uma probabilidade.

1. Amanda está participando de um jogo de tabuleiro em que a cada rodada é jogada uma “moeda honesta” e um “dado honesto” de quatro faces numeradas com os primeiros números ímpares. Escreva quais são os possíveis resultados em uma rodada.

Página trinta e três

2. Uma senha é formada, nesta ordem, por dois algarismos diferentes de 0 a 9 e um símbolo, dos que são disponibilizados ao usuário. Sabendo que o número de possibilidades de formar essa senha é .5400, a quantidade de símbolos disponibilizados ao usuário é:

a) 54

b) 60

c) 66

d) 75

3. Para proteger o computador com uma senha, Ricardo está em dúvida nas seguintes possibilidades:

A: senha com três algarismos quaisquer de 0 a 9.

B: senha com dois algarismos quaisquer de 0 a 9 e uma das 26 letras do alfabeto.

C: senha com um algarismo qualquer de 0 a 9 e duas letras das 26 do alfabeto, sendo a primeira uma vogal e a segunda uma consoante.

Qual dessas possibilidades é a mais segura?

4. O professor Fernando vai realizar um sorteio para decidir qual dos 3 grupos de estudantes (amarelo, azul ou vermelho) começará a apresentar uma pesquisa realizada. Para isso, ele escreverá o nome de cada estudante em um pedaço de papel, colocará em uma urna e retirará um aleatoriamente para identificar qual grupo começará a apresentação. Sabendo que o grupo amarelo tem 8 estudantes, o grupo azul tem 6 e o grupo vermelho tem 10, qual é a probabilidade de começar com o grupo azul?

a) 25%

b) 33%

c) 42%

d) 50%

Respostas

1. (cara, 1), (cara, 3), (cara, 5), (cara, 7), (coroa, 1), (coroa, 3), (coroa, 5), (coroa, 7)

2. alternativa b

3. Possibilidade B

4. alternativa a

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero três. Essa questão apresenta uma situação comum envolvendo um jogo de tabuleiro. Os estudantes precisam perceber que há duas possibilidades para a moeda (cara ou coroa) e quatro possibilidades para o dado (1, 3, 5 ou 7). Ao escrever os resultados possíveis da moeda e do dado juntos, eles obtêm a lista com as 8 possibilidades. Eles podem cometer equívocos ao considerar números pares ou não compreender o enunciado. Nesse caso, convém recordar o conceito de número de possibilidades com outras situações.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero três. Nessa questão, os estudantes precisam reconhecer o princípio multiplicativo e considerar que a senha é formada por dois algarismos diferentes; portanto, para o primeiro algarismo há 10 possibilidades e para o segundo há 9 possibilidades. Ao multiplicar 90 pelo número de possibilidades x dos símbolos, chega-se a .5400, ou seja, eles podem resolver a equação 90x = .5400 para descobrir a quantidade de símbolos. Podem cometer equívocos ao considerar que os algarismos podem se repetir ou que não pode ter algarismo 0 no início da senha. Nesse caso, convém retomar o enunciado e o conceito de princípio multiplicativo.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero três. Nessa questão, os estudantes precisam analisar cada possibilidade e calcular quantas senhas é possível obter em cada caso. Espera-se que eles percebam que a mais segura é formada pela maior quantidade de possibilidades de senha. Para a possibilidade A, precisam calcular 10 · 10 · 10; para a possibilidade B, precisam calcular 10 · 10 · 26; para a possibilidade C, precisam calcular 10 · 5 · 21. Eles podem cometer equívocos ao não considerar as restrições indicadas para cada caso. Se isso ocorrer, convém retomar o princípio multiplicativo com foco nas restrições do enunciado.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois dois. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que a probabilidade é calculada pela razão entre o número de casos favoráveis do evento e o número de elementos do espaço amostral. Ao calcular o total de estudantes (soma dos participantes dos grupos), chega-se ao número de elementos do espaço amostral (24). Como deseja-se calcular a probabilidade de sortear o grupo azul, consideram-se os 6 participantes dêsse grupo como os casos favoráveis do evento. Os estudantes podem cometer equívocos ao interpretar incorretamente o enunciado ou ao realizar o cálculo de probabilidade. Nesse caso, convém retomar esse conceito.

Para o capítulo 7: Triângulos e quadriláteros

Questões	Objetivos
1	Classificar triângulos quanto às medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos.
2	Reconhecer os pontos notáveis de um triângulo.
3	Reconhecer casos de congruência de triângulos.

1. Leia o que cada estudante afirmou sobre classificação de triângulos.

Aline: “Triângulo retângulo é aquele que tem dois ângulos internos retos.”

Caio: “Todo triângulo equilátero é também isósceles.”

Luana: “Se um triângulo é escaleno, então ele é obtusângulo.”

Maciel: “No triângulo acutângulo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é menor que 180graus.”

Quais estudantes fizeram uma afirmação errada?

2. Associe cada definição ao respectivo ponto notável.

um Ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo.

dois Ponto de encontro das retas suporte das alturas de um triângulo.

três Ponto de encontro das medianas de um triângulo.

quatro Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.

A. Baricentro.

B. Ortocentro.

C. Circuncentro.

D. Incentro.

3. Identifique qual das afirmações a seguir não se refere a um caso de congruência de triângulos.

a) Dois triângulos são congruentes quando têm três lados correspondentes congruentes.

b) Dois triângulos são congruentes quando um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado são, respectivamente, congruentes.

c) Dois triângulos são congruentes quando têm três ângulos correspondentes congruentes.

d) Dois triângulos são congruentes quando dois lados e o ângulo compreendido entre eles são, respectivamente, congruentes.

Respostas

1. Aline, Luana e Maciel.

2. um-D; dois-B; três-A; quatro-C.

3. alternativa c

Página trinta e quatro

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro. Essa questão apresenta classificações de triângulos quanto às medidas de comprimento dos lados e quanto às medidas de abertura dos ângulos internos. Espera-se que os estudantes recordem que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de todo triângulo é igual a 180graus, portanto, ele não pode ter dois ângulos retos, apenas um. Eles podem cometer equívocos ao não perceber que um triângulo equilátero tem três lados de mesma medida de comprimento, logo, tem pelo menos dois lados congruentes, ou seja, é isósceles. Além disso, espera-se que lembrem que escaleno é uma classificação referente às medidas de comprimento dos lados, podendo ser acutângulo, obtusângulo ou retângulo. Em caso de dificuldades, convém retomar as classificações de triângulos quanto às medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sobre os pontos notáveis de um triângulo, relacionando-os às medianas, às alturas, às bissetrizes ou às mediatrizes de um triângulo. Em caso de dificuldades, convém retomar essas definições.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro. Nessa questão, os estudantes precisam recordar quais são os casos que garantem a congruência entre dois triângulos sem a necessidade de analisar todos os ângulos e os lados correspondentes. Espera-se que percebam que é possível desenhar dois triângulos que tenham ângulos correspondentes congruentes, mas com diferentes medidas de comprimento dos lados. Em caso de dificuldades, pode-se retomar os casos de congruência de triângulos.

Para o capítulo 8: Área, volume e capacidade

Questões	Objetivos
1	Calcular a medida de área de quadrado e retângulo.
2	Comparar as medidas de área de triângulo e paralelogramo.
3	Calcular a medida de área de trapézio e losango.
4	Calcular a medida de área de coroa circular e setor circular.
5	Resolver problema que envolva o cálculo da medida de capacidade de recipiente com formato de paralelepípedo.

1. Bruno tem um tapete com formato de quadrado e pretende trocar por um tapete com formato de retângulo de mesma medida de área e que tenha 1,5 métro de medida do comprimento. Sabendo que o comprimento do lado do tapete quadrado mede 1,2 métro, qual deve ser a medida da largura do novo tapete?

a) 0,72 métro

b) 0,96 métro

c) 1,25 métro

d) 1,80 métro

2. Para avaliar cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa, considere um triângulo cujo comprimento da base mede b e o comprimento da altura mede a, e um paralelogramo cujo comprimento da base mede a e o comprimento da altura mede b.

a) A medida da área do triângulo é

\frac{1}{2} a b

b) A medida da área do triângulo é equivalente à medida da área do paralelogramo.

c) O paralelogramo tem o dobro da medida da área do triângulo.

d) O triângulo tem o dobro da medida da área do paralelogramo.

3. Para a decoração da festa de aniversário do filho de Mônica, será montado um painel formado por um trapézio e dois losangos idênticos. No trapézio, o comprimento da base maior mede 3 métros, o comprimento da base menor mede 2 métros e o comprimento da altura mede 1,5 métro. Nos losangos, as diagonais medem 2 métros e 1 métro de comprimento. Sabendo que esse painel será feito com apenas uma camada de papel e que cada metro quadrado dêsse papel custa R$ 8,00oito reais, copie o texto a seguir no caderno substituindo cada

pelo valor adequado.

Mônica vai precisar de

métros quadrados de papel para o trapézio e

métros quadrados para cada um dos losangos. No total, ela precisará de

métros quadrados de papel para o painel, custando R$

4. A imagem a seguir mostra uma região circular com grama cuja medida de comprimento do raio é 6 métros e uma coroa circular vermelha cuja medida de comprimento do raio maior é 8 métros. A partir do centro do gramado será construído um setor circular com ângulo central de 36graus de medida de abertura para fazer um canteiro de flores. Considere π = 3 e avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

Ilustração. Vista de cima de uma rotatória com 4 carros e um carro para entrar nela. Ao centro da rotatória, região circular com grama e árvores. Ao redor dessa região circular, coroa circular vermelha.

a) A medida de área da coroa circular vermelha é 21 métros quadrados.

b) A medida de área atual ocupada pelo gramado circular é 108 métros quadrados.

c) O canteiro de flores a ser construído terá medida de área aproximada de 38,88 métros quadrados.

d) O canteiro de flores vai ocupar uma área menor do que a área pintada de vermelho.

5. Giovani precisa construir um recipiente com formato de paralelepípedo de modo que a largura interna meça 20 centímetros e o comprimento meça 35 centímetros. Sabendo que esse recipiente deve armazenar exatamente 10,5 litros de água, a altura deve medir:

a) 0,15 centímetro

b) 1,5 centímetro

c) 10,5 centímetros

d) 15 centímetros

Respostas

1. alternativa b

2. a) Verdadeira

b) Falsa

c) Verdadeira

d) Falsa

3. 3,75; 1; 5,75; 46,00

Página trinta e cinco

4. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Falsa

d) Verdadeira

5. alternativa d

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah um nove. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que a medida de área de um quadrado é calculada elevando ao quadrado a medida de comprimento do lado; logo, a medida de área do tapete quadrado é 1,44 métro quadrado. Como Bruno quer trocar por um tapete retangular com mesma medida de área, para calcular a medida da largura, basta dividir a medida de área encontrada por 1,5 métro. Os estudantes podem cometer equívocos ao relacionar as duas medidas de área. Em caso de dificuldades, convém recordar o cálculo das medidas de área dessas figuras planas.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah um nove. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre o cálculo da medida de área de triângulos e paralelogramos a partir de expressões algébricas. Espera-se que recordem que a medida de área de um triângulo é calculada pela metade do produto das medidas de comprimento da altura e da base, enquanto a medida de área de um paralelogramo é calculada pelo produto das medidas de comprimento da altura e da base. Na questão, a medida de área do triângulo é

\frac{1}{2} a b

e a do paralelogramo é A bê. Eles podem cometer equívocos ao comparar essas medidas de área, não reconhecendo a relação entre elas. Em caso de dificuldades, convém retomar o cálculo dessas medidas de área.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah um nove. Nessa questão, os estudantes precisam compreender que o painel será formado por três figuras planas: um trapézio e dois losangos congruentes. Basta calcular a medida de área de cada figura e adicioná-las para descobrir a quantidade de papel necessária. Multiplicando o preço de cada metro quadrado pela medida da área do painel, eles devem descobrir o valor a ser pago por Mônica. Eles podem cometer equívocos ao calcular a medida de área de cada figura ou não compreender a quantidade necessária de papel para descobrir o custo. Em caso de dificuldades, convém recordar o cálculo das medidas de área de trapézios e losangos.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah um nove. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre resolução de situações-problema envolvendo coroa circular e setor circular. Eles precisam compreender o contexto envolvendo essas partes do círculo e recordar como calcular suas medidas de área. Podem ocorrer equívocos durante esse cálculo ao não perceber que as medidas dadas no enunciado são do comprimento do raio de cada círculo. Em caso de dificuldades, convém recordar como calcular as medidas de área da coroa circular e do setor circular.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois zero e ê éfe zero oito ême ah dois um. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que a medida do volume de um paralelepípedo é calculada pelo produto das medidas de comprimento, largura e altura, e que 1 decímetro cúbico = 1 litro. Considerando as medidas do comprimento e da largura do recipiente, respectivamente, como 3,5 decímetros e 2 decímetros e x como a medida da altura, em decímetro, podem resolver a seguinte equação: 3,5 decímetros · 2 decímetros · x = 10,5 decímetros cúbicos. Eles podem cometer equívocos durante os cálculos ou no tratamento com as unidades de medida. Em caso de dificuldades, convém recordar o cálculo da medida de volume de um paralelepípedo.

Para o capítulo 9: Equações do 2º grau

Questões	Objetivos
1	Identificar equação do 2º grau.
2	Analisar a raiz de uma equação do 2º grau.
3	Resolver equação do 2º grau da forma ax2 + c = 0.
4	Resolver situação-problema utilizando equação do 2º grau.

1. Analise cada equação a seguir e a classifique em EC (equação do 2º grau completa), EI (equação do 2º grau incompleta) ou N (não é equação do 2º grau). Se necessário, reescreva a equação para sua análise.

a) −2xelevado a 2 − 4x + abre parêntesesx + 2fecha parênteseselevado a 2 = 0

b) xelevado a 2 + 12x menos xelevado a 3 = xelevado a 2

\frac{2}{5} x^{2} - 4 x = 8

d) xelevado a 2 − 121 = 0

2. Considere a equação 3xelevado a 2 − 15x = 0 e avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

a) Essa equação tem duas raízes positivas.

b) O número 0 é raiz dessa equação.

c) O número −5 é raiz dessa equação.

d) Se a equação fosse 3xelevado a 2 + 15x = 0, então −5 seria raiz dessa equação.

3. Considerando o conjunto dos números reais como conjunto universo, associe cada equação a suas raízes.

um 4xelevado a 2 − 256 = 0

dois −2xelevado a 2 + 162 = 0

três 4xelevado a 2 + 256 = 0

quatro 15xelevado a 2 + .1215 = .1215 − 10xelevado a 2

a. Não tem raízes reais.

b. 0

c. −8 ou 8

d. −9 ou 9

4. Fabrício tem um terreno com formato de quadrado. Ele quer comprar o terreno de seu vizinho cuja área mede 640 métros quadrados e equivale a 40% da medida da área de seu terreno. Qual é a medida de comprimento do lado do terreno de Fabrício?

a) 8 métros

b) 10 métros

c) 16 métros

d) 40 métros

Respostas

1. a) EI

b) N

c) EC

d) EI

2. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Falsa

d) Verdadeira

3. um-c; dois-d; três-a; quatro-b.

4. alternativa d

Página trinta e seis

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah zero nove. Nessa questão, os estudantes precisam analisar cada equação apresentada e reescrevê-la, se necessário, para identificar se é uma equação do 2º grau completa, uma equação do 2º grau incompleta ou não é uma equação do 2º grau. Espera-se que eles percebam que, no item a, temos a equação −xelevado a 2 + 4 = 0 e, no item b, temos −xelevado a 3 + 12x = 0. Eles podem cometer equívocos ao analisar os expoentes das equações. Caso isso ocorra, convém recordar a definição de equação do 2º grau.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah zero nove. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre raiz de uma equação. Espera-se que eles observem que estão diante de uma equação do 2º grau incompleta. Espera-se que percebam que 0 e 5 são raízes dessa equação, ou seja, uma raiz é nula e a outra é positiva. Em caso de dificuldades, convém recordar o conceito de raiz de uma equação do 2º grau.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah zero nove. Nessa questão, os estudantes precisam analisar e resolver cada equação para identificar as raízes correspondentes. Espera-se que eles percebam que, em todos os casos apresentados, pode-se isolar xelevado a 2 para calcular a raiz quadrada do número que está do outro lado da igualdade. Caso ele seja negativo, não existe raiz no conjunto dos números reais. Em caso de dificuldades, convém retomar a resolução de equações incompletas do 2º grau da fórma axelevado a 2 + c = 0.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah zero nove. Nessa questão, os estudantes podem resolver a situação-problema considerando que o comprimento do lado do terreno quadrado de Fabrício mede x. Como o terreno do vizinho corresponde a 40% da medida da área do terreno de Fabrício, então a área dele mede 0,4xelevado a 2. Assim, pode-se chegar à seguinte equação: 0,4xelevado a 2 = 640. Os estudantes podem cometer equívocos ao não interpretar corretamente a situação-problema ou não encontrar uma equação que a represente. Nesse caso, convém apresentar outras situações-problema similares para que eles analisem.

Para o capítulo 10: Grandezas e proporcionalidade

Questões	Objetivos
1	Identificar a relação de proporcionalidade entre grandezas.
2	Resolver situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais.
3	Resolver situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais.
4	Analisar representação da relação de grandezas inversamente proporcionais no plano cartesiano.

1. Leia cada afirmação sôbre proporcionalidade entre grandezas e avalie como verdadeira ou falsa.

a) A velocidade média e o espaço percorrido são grandezas inversamente proporcionais.

b) Não há proporcionalidade entre o número de gols feitos por um time e o tempo de duração do jogo de futebol.

c) O valor pago e o comprimento de um tecido são grandezas diretamente proporcionais.

d) A massa corporal e a idade de uma pessoa são grandezas diretamente proporcionais.

2. Elisângela trabalha com a impressão 3D de carrinhos em miniatura. Observe os dados obtidos por ela sôbre a produção da fábrica.

Número de miniaturas impressas	Medida de tempo de funcionamento da impressora 3D
15	8 h 45 min
24	14 h

A medida de tempo de impressão para que essa impressora 3D imprima 18 miniaturas é:

a) 10 horas 21 minutos

b) 10 horas 30 minutos

c) 11 horas 15 minutos

d) 12 horas 35 minutos

3. Em um experimento com duas grandezas proporcionais A e B, constataram-se as seguintes informações.

A	1,5	6	24
B	18	x	1,125

Com base nessas informações, o valor x é:

a) 4,5

b) 5,625

c) 6,375

d) 8,4375

4. Mariana representou a relação entre duas grandezas inversamente proporcionais em um plano cartesiano. Sabendo que ela marcou os pontos abre parênteses4,2; 28fecha parênteses e abre parênteses21; 5,6fecha parênteses, determine a abscissa do ponto cuja ordenada é 1,12.

Respostas

1. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Verdadeira

d) Falsa

2. alternativa b

3. alternativa a

4. 105

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah um dois. Essa questão apresenta pares de grandezas e afirma a relação de proporcionalidade que há entre elas. Os estudantes precisam analisar se, de fato, aquela relação é válida. Espera-se que eles pensem em valores numéricos para cada situação, a fim de facilitar a comparação das grandezas. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de proporcionalidade direta ou indireta e não proporcionalidade entre grandezas.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e ê éfe zero oito ême ah um três. Nessa questão, os estudantes precisam analisar os valores apresentados no enunciado e perceber que as grandezas são diretamente proporcionais. Ao calcular a constante de proporcionalidade, podem concluir que essa impressora 3D produz uma miniatura a cada 35 minutos, portanto, 18 miniaturas são produzidas em 630 minutos, o que equivale a 10 horas 30 minutos. Eles podem cometer equívocos ao calcular a constante de proporcionalidade. Nesse caso, convém retomar situações envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um dois e ê éfe zero oito ême ah um três. Nessa questão, os estudantes precisam analisar os valores apresentados pelas duas grandezas para perceber que se trata de grandezas inversamente proporcionais. À medida que os valores da grandeza A quadruplicam, os valores da grandeza B são reduzidos à quarta parte. Com isso, é possível calcular o valor de x, sendo um quarto de 18. Em caso de dificuldades, convém recordar a relação de grandezas inversamente proporcionais.

Página trinta e sete

A questão 4 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah um dois e ê éfe zero oito ême ah um três. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre pontos no plano cartesiano que representam a relação de grandezas inversamente proporcionais. Espera-se que eles percebam que o produto dos valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais é constante, ou seja, o produto das coordenadas de cada ponto é constante. Assim, tem-se a seguinte relação: 4,2 · 28 = 21 · 5,6 = x · 1,12. Em caso de dificuldades, convém recordar a relação entre os pares ordenados da representação de grandezas inversamente proporcionais no plano cartesiano.

Para o capítulo 11: Medidas de tendência central e pesquisa estatística

Questões	Objetivos
1	Analisar o tipo de amostragem realizada.
2	Analisar variáveis qualitativas.
3	Avaliar o tipo de variável utilizada em uma pesquisa.
4	Analisar amplitude, mediana e média de um conjunto de dados.

1. Leia a descrição de cada pesquisa amostral a seguir e indique se a técnica utilizada para obter a amostra foi sistemática (S), casual simples (CS) ou estratificada (E).

a) Para saber a opinião dos estudantes sôbre a qualidade dos lanches vendidos em uma escola com 500 estudantes, durante uma semana foi entregue um papel com número para cada estudante diferente que comprou algo na cantina. Com o auxílio de um software, foram sorteados 120 números. Os estudantes que estavam associados a esses números foram entrevistados.

b) Para saber a opinião dos clientes sôbre o atendimento de um caixa de supermercado, foi decidido que, a cada 10 clientes que passassem por aquele caixa, seria entregue um papel para avaliação.

c) O curso técnico em edificações precisava avaliar qual seria a nova matéria a ser inserida no currículo, entre duas opções possíveis, de acordo com a opinião dos estudantes. Para isso, selecionaram-se 33% dos estudantes da manhã, 33% dos estudantes da tarde e 34% dos estudantes da noite para avaliar as duas opções.

2. Classifique cada variável qualitativa a seguir como ordinal ou nominal.

a) Cidade em que trabalha.

b) Grau de proficiência em alemão.

c) Meio de transporte utilizado para ir à escola.

d) Estado civil.

e) Nível técnico ocupado em uma empresa (um, dois ou três).

3. Para a realização de uma atividade de Educação Física, o professor vai separar os estudantes por faixas de medida da altura. Para descobrir em que faixa cada estudante vai ficar, foi necessário perguntar a medida da altura de todos. Ao fazer essa pesquisa, o professor está tratando com uma variável:

a) qualitativa ordinal.

b) qualitativa nominal.

c) quantitativa discreta.

d) quantitativa contínua.

4. Uma pesquisa realizada em uma loja de jogos eletrônicos questionou a idade, em ano, das 10 pessoas que mais compram nessa loja. Observe os dados obtidos:

16 24 22 17 45 22 18 42 36 20

sôbre essa situação, avalie cada afirmação como verdadeira ou falsa.

a) A amplitude desse conjunto de dados é 45 anos.

b) A mediana desse conjunto de dados é 22 anos.

c) A mediana desse conjunto de dados é maior do que a média aritmética.

d) Se retirarmos a maior idade, a mediana dêsse conjunto de dados continuará a mesma.

Respostas

1. a) CS

b) S

c) E

2. a) Nominal

b) Ordinal

c) Nominal

d) Nominal

e) Ordinal

3. alternativa d

4. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Falsa

d) Verdadeira

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois seise ê éfe zero oito ême ah dois sete. Essa questão avalia o conhecimento dos estudantes sôbre a técnica de amostragem utilizada. Espera-se que eles percebam as características que diferenciam cada caso apresentado para decidir como a amostra é selecionada. Eles podem cometer equívocos ao não compreender o conceito de cada técnica. Nesse caso, convém retomar essas técnicas, apresentando outros exemplos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois seis e ê éfe zero oito ême ah dois sete. Nessa questão, os estudantes precisam analisar cada variável qualitativa para decidir se é nominal ou ordinal. Espera-se que eles recordem que esse tipo de variável representa uma característica ou atributo, sendo ordinal quando os valores podem ser ordenados e nominal quando não há possibilidade de ordenação. Em caso de dificuldades, convém recordar esses conceitos e apresentar mais exemplos para que eles possam classificar.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois seise ê éfe zero oito ême ah dois sete. Nessa questão, os estudantes precisam analisar a situação apresentada e perceber que a variável envolvida se trata da medida da altura dos estudantes, podendo ser expressa por números reais, por exemplo, 1,56 métro e 1,64 métro. É um tipo de questão em que os estudantes precisam recordar a diferença entre variáveis qualitativas e quantitativas, além dos tipos referentes a cada uma dessas variáveis. Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de cada variável.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois cinco. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que a mediana de um conjunto de dados é obtida ao ordená-los e identificar o elemento que está na posição central (no caso de uma quantidade ímpar de dados) ou a média dos elementos que ocupam as duas posições centrais (no caso de uma quantidade par de dados). Espera-se que eles percebam que a mediana desse conjunto de dados é 22 anos, enquanto a média aritmética é 26,2 anos. No item d, ao retirar a maior idade (45 anos), a mediana continua sendo 22 anos. Em caso de dificuldades, convém retomar os conceitos de amplitude, mediana e média de um conjunto de dados.

Página trinta e oito

Para o capítulo 12: Gráficos estatísticos

Questões	Objetivos
1	Interpretar tabela de distribuição de frequência.
2	Identificar moda em gráfico de barras horizontais.
3	Analisar gráfico de setores.

1. Observe a seguir a tabela de distribuição de frequência da variável idade em uma pesquisa realizada com frequentadores de uma academia no período matutino em 2023.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DAS IDADES DOS FREQUENTADORES DA ACADEMIA NO PERÍODO MATUTINO
Idade (em ano)	Frequência (F)
18 ⟝ 28	16
28 ⟝ 38	12
38 ⟝ 48	10
48 ⟝ 58	9
58 ⟝ 68	8
68 ⟝ 78	4
78 ⟝ 88	1

Dados obtidos pela academia em 2023.

sôbre essa situação, avalie cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.

a) A amplitude de cada classe é 70 anos.

b) No período matutino, 60 pessoas frequentam essa academia.

c) A frequência relativa da classe 28 ⟝ 38 é 20%.

d) A classe 48 ⟝ 58 apresenta a maior frequência.

2. Para identificar a moda de um conjunto de dados expresso em um gráfico de barras horizontais, é necessário localizar:

a) o menor valor expresso no gráfico.

b) o maior valor expresso no gráfico.

c) o valor que aparece com maior frequência no gráfico.

d) o valor central que aparece expresso no gráfico.

3. O gráfico de setores a seguir mostra o resultado de uma pesquisa feita com clientes que frequentaram certo restaurante durante o primeiro fim de semana de 2024. Cada pessoa escolheu apenas uma resposta quando lhe foi perguntado sôbre o nível da refeição daquele restaurante.

Gráfico de setores. Título: NÍVEL DA REFEIÇÃO DO RESTAURANTE. Ótimo: 45 por cento. Bom: 28 por cento. Regular: 16 por cento. Ruim: 11 por cento. — Dados obtidos pelo restaurante durante o primeiro fim de semana de 2024.

Sabendo que foram entrevistadas .2400 pessoas, no caderno, complete a quantidade de pessoas que respondeu cada nível no lugar de cada

Ótimo:

pessoas.

Bom:

pessoas.

Regular:

pessoas.

Ruim:

pessoas.

Respostas

1. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Verdadeira

d) Falsa

2. alternativa c

3. .1080; 672; 384; 264

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah dois quatro. Essa questão avalia a interpretação dos estudantes de uma tabela de distribuição de frequência que mostra as frequências absolutas das classes de idades dos frequentadores de uma academia. Espera-se que eles saibam calcular a frequência relativa, considerando o total de frequentadores do período matutino (60). Em caso de dificuldades, convém retomar o conceito de tabela de distribuição de frequência.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois três e ê éfe zero oito ême ah dois sete. Essa questão retoma o conceito de moda, estudado no capítulo anterior, e avalia como os estudantes localizam essa medida de tendência central em um gráfico de barras horizontais. Os estudantes devem identificar que o valor que aparece com maior frequência é a moda. Em caso de dificuldades, convém retomar gráficos de barras.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah dois três e ê éfe zero oito ême ah dois sete. Nessa questão, os estudantes precisam analisar as porcentagens apresentadas em cada setor do gráfico da questão e interpretar a legenda para poder calcular a quantidade de pessoas que votaram em cada opção. Essa questão também relembra o cálculo de porcentagem, pois os estudantes precisam utilizar isso para descobrir a quantidade de pessoas. Em caso de dificuldades, convém retomar a interpretação de gráfico de setores e o cálculo de porcentagem.

Sugestão de avaliação para a preparação para exames de larga escala

Questões	Objetivos
1	Resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens.
2	Efetuar cálculos com potências de expoente inteiro.
3	Associar uma equação do 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
4	Aplicar o conceito de lugar geométrico na resolução de problemas.
5	Reconhecer propriedades de hexágonos regulares e de triângulos na resolução de problemas.
6	Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
7	A partir das propriedades de paralelogramos e de congruência de triângulos, identificar as medidas de abertura de ângulos.

Página trinta e nove

Questões	Objetivos
8	Resolver problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas (quadriláteros e triângulos) correspondentes ao formato de terrenos.
9	Resolver problemas relacionados a medidas de área que possam ser representados por equações do 2º grau da forma ax2 + c = 0.
10	Identificar se duas grandezas são diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
11	Identificar as medidas de tendência central (média, moda e mediana) e a amplitude de um conjunto de dados.
12	Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

1. Pesquisando preços na internet, Pedro viu no site de uma loja que o celular que ele queria custava R$ 490,00quatrocentos e noventa reais e um aparelho de TV custava 20% a mais que o celular. No dia seguinte, quando foi à loja, Pedro notou que o preço do aparelho de tê vê estava 10% mais barato que o preço indicado no site e que o preço do celular estava 8% mais caro. Considerando essas informações, é possível afirmar que:

a) Pedro pagará R$ 1.078,00mil setenta e oito reais pelos dois produtos se comprar na loja.

b) o novo preço do celular é igual ao novo preço do aparelho de TV na loja.

c) comprando os dois produtos na loja, Pedro economizará pelo menos R$ 50,00cinquenta reais.

d) para comprar esses dois produtos na loja, Pedro gastará mais do que se comprar pelo site.

2. Considerando que a é um número racional diferente de zero, a professora Júlia propôs à turma a seguinte expressão:

[aelevado a 6 · (aelevado a 2)elevado a 2 : aelevado a menos 3]elevado a menos 2 : (aelevado a 6 : aelevado a 2)elevado a 3

Qual das alternativas a seguir apresenta a simplificação dessa expressão?

a^{4}

a^{10}

{(\frac{1}{a})}^{22}

{(\frac{1}{a})}^{38}

3. Lívia escreveu a seguinte equação de 1º grau com duas incógnitas: 2x ‒ y = 2

Assinale a representação gráfica dessa equação, em que x e y são números reais.

Figura geométrica. Plano cartesiano representado em uma malha quadriculada.
Eixo x com as representações dos números menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, e 3 e eixo y com as representações dos números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4.
No plano está representada uma reta que passa por um ponto de abscissa 0 e ordenada menos 1 e por um ponto de abscissa 1 e ordenada 2.

4. O esquema a seguir representa a metade de uma quadra de futebol de salão. Observe a posição de 5 jogadores (A, B, C, D e E) e a posição da bola.

Ilustração. Metade de uma quadra de futebol de salão. À esquerda um semicírculo, correspondente à metade do círculo central. À direita, figura parecida com um semicírculo achatado verticalmente, correspondente à área de penalidade. Entre a parte do círculo central e a área de penalidade, estão 5 pontos: A, B, D, E e um ponto correspondente à bola, de modo que D é o único próximo à bola. Dentro da área de penalidade, está o ponto C.

Quais jogadores estão à mesma medida da distância da bola? Para responder, copie a figura no caderno e utilize o conceito de lugar geométrico.

a) B e D

b) A e C

c) A e E

d) B e C

5. Observe o quadrilátero BDEG representado a seguir.

Figura geométrica. Quadrilátero BDEG, dividido em 3 polígonos: triângulo ABC, hexágono ACDEFH e triângulo FGH. Quatro ângulos estão destacados: ângulo CDE ou BDE que mede W; ângulo EGB ou FGH que mede X; ângulo GFH que mede Y; ângulo ABC ou GBD que mede Z.

Sabendo que a figura definida por ACDEFH é um hexágono regular, a soma das medidas de abertura x, y, z e w é:

a) 260graus

b) 300graus

c) 180graus

d) 540graus

6. Para fazer uma brincadeira com seus amigos, Natália colocou 10 bolinhas em uma urna, sendo 4 azuis, 4 amarelas e duas vermelhas. Qual é a probabilidade de, sem olhar, um dos amigos retirar, entre as 10 bolinhas, uma bolinha azul, amarela ou vermelha?

\frac{2}{10}

, ou seja, 0,2

\frac{4}{10}

, ou seja, 0,4

\frac{8}{10}

, ou seja, 0,8

\frac{10}{10}

, ou seja, 1

Página quarenta

7. Observe o paralelogramo representado a seguir.

Figura geométrica. Paralelogramo dividido a partir de uma das diagonais em 2 triângulos. Em um triângulo, os ângulos internos medem 73 graus, C e A, de modo que A corresponde à medida de um dos ângulos do paralelogramo. No outro triângulo, dois ângulos internos estão destacados: um que mede B e outro que mede 60 graus, de modo que 60 graus corresponde à medida de um dos ângulos do paralelogramo. A união das medidas B e C corresponde à medida de um dos ângulos do paralelogramo.

Podemos concluir que a soma das medidas de abertura a, b e c é igual a:

a) 123graus

b) 180graus

c) 220graus

d) 243graus

8. A família de Lucas comprou um terreno e pretende dividi-lo conforme a representação a seguir.

Figura geométrica. Trapézio reto ABCD cuja base maior AB mede 10 metros, a base menor CD mede 8 metros e a altura AD mede 5 metros.
O trapézio está dividido a partir de suas diagonais AC e BD, formando alguns triângulos, como CDA, ABD e BCD.

De acordo com essa representação, assinale a alternativa correta.

a) Esse terreno tem medida de área igual à de um terreno retangular cujos lados medem 8 métros e 5 métros de comprimento.

b) A medida de área da parte indicada por cê dê á corresponde à metade da medida de área do terreno.

c) A medida de área da parte indicada por á bê dê é igual à medida de área da parte bê cê dê.

d) A medida de área do terreno a bê cê dê é igual a 45 métros quadrados.

9. Observe os quadrados representados a seguir com suas medidas de comprimento dos lados.

Figura geométrica. Quadrado com lados que medem X. Figura geométrica. Quadrado com lados que medem 2X.

Sabendo que a medida de área do quadrado maior é igual a 400 métros quadrados, qual é a medida do perímetro, em metro, e a medida da área, em metro quadrado, do quadrado menor?

a) A medida do perímetro é 100 métros e a medida da área é 100 métros quadrados.

b) A medida do perímetro é 40 métros e a medida da área é 100 métros quadrados.

c) A medida do perímetro é 100 métros e a medida da área é 40 métros quadrados.

d) A medida do perímetro é 40 métros e a medida da área é 40 métros quadrados.

10. Observe este quadro, que mostra os valores de duas grandezas.

A	B
8	4
16	2
64	0,5
4	8

Comparando esses valores, podemos afirmar que:

a) não há proporcionalidade direta entre as duas grandezas.

b) as grandezas A e B são diretamente proporcionais.

c) as grandezas A e B são inversamente proporcionais.

d) a constante de proporcionalidade entre os valores das grandezas A e B é 16.

11. A gerente de uma escola de idiomas registrou a quantidade de novas matrículas feitas durante 20 dias de certo mês. Observe esses dados no quadro a seguir.

1	11	6	2	0	2	5	3	4	6
4	2	1	0	5	9	2	6	3	7

De acordo com os dados registrados pela gerente, é possível afirmar que:

a) a moda desse conjunto de dados é 11 e 9.

b) a mediana desse conjunto de dados é 5.

c) a amplitude desse conjunto de dados é 6.

d) a média aritmética simples desse conjunto de dados é 3,95.

12. Em uma reunião da empresa onde trabalha, Alice pretende apresentar, em um mesmo gráfico, o resultado das vendas em cada mês dos dois últimos anos. Nesse caso, qual é o tipo de gráfico mais apropriado para Alice utilizar?

a) Gráfico de setores.

b) Gráfico de segmentos.

c) Gráfico de barras verticais.

d) Gráfico de barras horizontais.

Respostas

1. alternativa b

2. alternativa d

3. alternativa d

4. alternativa c

5. alternativa b

6. alternativa d

7. alternativa b

8. alternativa d

9. alternativa b

10. alternativa c

11. alternativa d

12. alternativa b

Comentários da avaliação

Na questão 1, se julgar necessário, solicite aos estudantes que calculem o valor de cada produto anunciado no site e anunciado na loja e, depois, analisem as afirmações. Espera-se que obtenham os seguintes valores:

	Preço no site	Preço na loja
Celular	R$ 490,00	R$ 529,20
Aparelho de TV	R$ 588,00	R$ 529,20

Caso ocorra algum erro, é provável que haja algum problema de interpretação. Nesse caso, acompanhe a resolução para identificar possíveis equívocos.

Na questão 2, caso os estudantes assinalem a alternativa a, é possível que tenham adicionado os expoentes no cálculo de potências de potências. Nesse caso, retome as propriedades da potenciação com expoentes inteiros.

Na questão 3, caso ocorra algum equívoco, retome com os estudantes a representação de uma equação de 1º grau com duas incógnitas como uma reta no plano cartesiano. Além disso, verifique se eles notam que pode ser escrita uma equação equivalente à equação dada, por exemplo: y = 2x ‒ 2. Eles podem identificar pontos nos gráficos e conferir se as coordenadas desses pontos satisfazem a equação.

Na questão 4, verifique se os estudantes percebem que podem aplicar o conceito de circunferência ou de mediatriz como lugar geométrico para resolver esse problema. Para a circunferência, a bola será o ponto fixo (centro) e os dois jogadores serão pontos da circunferência, ou seja, pontos do plano que equidistam do ponto fixo; para a mediatriz, os dois jogadores serão os pontos fixos (extremidades de um segmento de reta) e a bola será o ponto da mediatriz, ou seja, um ponto do plano equidistante dos dois pontos fixos. Em caso de dificuldades, retome esses conceitos.

Página quarenta e um

Na questão 5, verifique se os estudantes conseguem identificar que, por ser um hexágono regular, a medida de abertura w, ou de qualquer outro ângulo interno desse polígono, é igual a 120graus. Como o ângulo

G \hat{F} H

é suplementar a um dos ângulos internos do hexágono, sua medida de abertura y é igual a 60graus. Sabendo que o ângulo

F \hat{H} G

também é suplementar a um ângulo interno do hexágono e que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, é possível calcular que a medida de abertura x é igual a 60graus. Considerando que os ângulos

C \hat{A} B

A \hat{C} B

também são suplementares a ângulos internos do hexágono, então, determinamos que a medida de abertura do ângulo z é igual a 60graus. Portanto, a soma das medidas de abertura x, y, z e w é dada por: 60graus + 60graus + 60graus + 120graus = 300graus

Se julgar necessário, retome com os estudantes o estudo sôbre ângulos suplementares e medidas de abertura de ângulos internos de polígonos regulares.

Na questão 6, confira se os estudantes identificam que o número de casos favoráveis (bolinha azul, amarela ou vermelha) é 10, mesmo número de elementos do espaço amostral. Permita que eles resolvam a questão identificando também separadamente a probabilidade de cada cor de bolinha ser retirada da urna:

• bolinha azul:

\frac{4}{10}

;

• bolinha amarela:

\frac{4}{10}

;

• bolinha vermelha:

\frac{2}{10}

Depois, devem adicionar essas probabilidades para obter a resposta:

\frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{10}{10}

Caso tenham dúvidas, retome o conceito de probabilidade.

Na questão 7, considerando que a diagonal do paralelogramofórma dois triângulos, os estudantes podem notar que esses triângulos são congruentes pelo caso LLL, pois lados opostos de paralelogramos são congruentes e a diagonal é lado comum dos triângulos.

Assim, ficará mais fácil a identificação de que a medida de abertura a é igual a 60graus e a medida de abertura b é igual 73graus. Para determinar a medida de abertura c, basta os estudantes relembrarem que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180graus. Portanto, devem concluir que a medida de abertura c é igual a 47graus e que a + b + c = 180graus. Se julgar necessário, retome os estudos sôbre os casos de congruência de triângulos e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo.

Na questão 8, para analisar as afirmações de cada alternativa, os estudantes devem calcular medidas de área de quadriláteros e triângulos. Caso apresentem dificuldades, retome o estudo do cálculo de medidas de área de figuras geométricas planas.

Na questão 9, verifique se os estudantes conseguem escrever a equação do 2º grau correspondente à medida de área do quadrado maior (4xelevado a 2 = 400) e, com base nela, determinar a medida de comprimento x do lado do quadrado menor. Sabendo esse valor, espera-se que eles calculem a medida do perímetro e a medida de área do quadrado menor. Caso tenham dúvidas, retome o estudo sôbre medidas de perímetro e de área de um quadrado.

Na questão 10, os estudantes devem analisar os valores das grandezas no quadro para verificar se há alguma relação entre eles. Se julgar necessário, oriente-os a reorganizar os valores no quadro para que a análise seja facilitada. Por exemplo:

A	B
4	8
8	4
16	2
64	0,5

Desse modo, é mais fácil verificar que, ao dobrar um valor da grandeza A, o valor correspondente da grandeza B se reduz pela metade, sendo possível identificar que essas grandezas são inversamente proporcionais. Caso os estudantes apresentem dúvidas, retome o conceito de grandezas direta ou inversamente proporcionais e o cálculo da constante de proporcionalidade.

Na questão 11, se os estudantes tiverem dificuldades, é provável que não tenham clareza sôbre o conceito das medidas de tendência central e de amplitude. Nesse caso, retome o estudo sôbre média, moda, mediana e amplitude.

Na questão 12, converse com os estudantes sôbre o que Alice pretende representar no gráfico e saliente que é preciso fazer essa avaliação para escolher o tipo de gráfico mais adequado. Destaque a eles que diferentes tipos de gráficos podem ser usados para representar os mesmos dados, mas alguns são mais adequados para transmitir determinadas informações. Leve-os a perceber que um gráfico de setores não seria adequado para a situação pois os dados não são partes de um todo, e que os gráficos de barras poderiam ser usados, mas não possibilitam a visualização de crescimentos ou decrescimentos ao longo do tempo tão bem como o gráfico de segmentos.

Página quarenta e dois

SUGESTÕES PARA PESQUISA OU CONSULTA PARA O PROFESSOR

Sugestões de livros

BOALER, J. Mentalidades matemáticas: estimulando o potencial dos estudantes por meio da matemática criativa, das mensagens inspiradoras e do ensino inovador. Tradução de: Daniel Bueno. Porto Alegre: Penso, 2018.

O livro aponta por que a Matemática é vista como vilã pelas pessoas. Por meio de pesquisas, mostra aos professores e pais como ajudar os estudantes a transformar as experiências negativas com a Matemática em mentalidades de crescimento. Aborda ainda a questão do erro como uma fórma de crescimento e traz atividades práticas que podem ser aplicadas dentro e fóra da sala de aula.

BOALER, J.; MUNSON, J.; Willian, C. Mentalidades matemáticas na sala de aula: ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2019.

Este livro traz atividades práticas e desafiadoras – alinhadas à Bê êne cê cê – que permitem ao professor engajar seus estudantes a partir de uma nova concepção de Matemática, mais aberta e criativa e que promove o protagonismo dos estudantes.

bréquiman, C. P. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação do Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre: u éfe érre gê ésse, 2017.

Essa pesquisa teve como objetivo verificar a possibilidade de desenvolver o pensamento computacional na Educação Básica utilizando exclusivamente atividades desplugadas abre parêntesessem o uso de computadoresfecha parênteses. Nesse trabalho encontram-se diferentes sugestões de atividades que podem ser realizadas em sala de aula sem o uso do computador.

NACARATO, A. M.; CUSTÓDIO, I. A. abre parêntesesorganizadorfecha parênteses. O desenvolvimento do pensamento algébrico na educação básica [livro eletrônico]: compartilhando propostas de sala de aula com o professor que ensina abre parêntesesensinaráfecha parênteses matemática. Brasília: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2018.

A obra compartilha propostas de sala de aula relacionadas ao Pensamento Algébrico que vão da Educação Infantil ao Fundamental dois. Traz tarefas elaboradas e colocadas em prática, bem como os resultados obtidos com esse trabalho nas diferentes turmas pelos integrantes do Grucomat (Grupo Colaborativo de Matemática). O link de acesso para a obra está disponível em: https://oeds.link/aAkXIR.

PONTE, J. P. et al. Investigações matemáticas na sala de aula. quarta edição Belo Horizonte: Autêntica, 2019.

O livro mostra como práticas de investigação desenvolvidas por matemáticos podem ser usadas na sala de aula e as vantagens e as dificuldades de se trabalhar nessa perspectiva.

TORRES, J. D. S. Jogos de Matemática e de Raciocínio Lógico. segunda edição Petrópolis: Vozes, 2013.

O livro apresenta uma coletânea de jogos de matemática e raciocínio lógico, que podem ser propostos em qualquer momento do ano letivo. São propostos jogos com números, jogos com xadrez e dominó, sofismas e diferentes tipos de enigma.

Sugestões de sites

• Sociedade Brasileira de Educação Matemática abre parêntesesSBEMfecha parênteses:

https://oeds.link/lb9F2Z

Acesso em: 5 junho 2022.

Disponibiliza informações sôbre eventos regionais, nacionais e internacionais na área de educação matemática.

• Educação Matemática e Tecnologia Informática abre parêntesesEdumatecfecha parênteses:

https://oeds.link/9hnp7K

Acesso em: 5 junho 2022.

O site oferece softwares, atividades, artigos e links de interesse para o professor de Matemática.

• Laboratório de Ensino de Matemática abre parêntesesLEMfecha parênteses:

https://oeds.link/4YrYcr

Acesso em: 5 junho 2022.

Site do Laboratório de Ensino de Matemática, objetiva difundir o ensino de Matemática por meio do computador, trazendo softwares educacionais, apostilas e informações nessa área.

• Plataforma Laplace

https://oeds.link/RvGtfc

Acesso em: 5 junho 2022.

A plataforma traz questões com resoluções completas, jogos, resumos teóricos e videoaulas por assunto ou habilidade. O professor pode ainda gerar provas digitais e simulados dos principais vestibulares com correção automática.

• Plataforma Youcubed:

https://oeds.link/QDTlNL

Acesso em: 5 junho 2022.

A plataforma foi desenvolvida pela Universidade de Stanford, pelas professoras Jo Boaler e Cathy Willians. Foi traduzido pelo Instituto Sidarta e Itaú Social. Traz conteúdos como atividades, jogos, aplicativos e videoaulas para ensinar Matemática de fórma criativa. É baseado nas ideias do livro Mentalidades matemáticas, de Jo Boaler.

• Rede Mentalidades Matemáticas abre parêntesesRede MMfecha parênteses:

https://oeds.link/FDvIim

Acesso em: 19 julho 2022.

O site é uma criação do Instituto Sidarta em parceria com o Centro de Pesquisas Youcubed, da Universidade de Stanford, com o suporte do Itaú Social. Traz informações, recursos, cursos, artigos científicos e atividades variadas para a aplicação das ideias das mentalidades matemáticas, propagadas pela professora Jo Boaler.

• Site oficial da família e dos admiradores do matemático Malba Tahan:

https://oeds.link/SOhmBi

Acesso em: 19 julho 2022.

O site traz teses, dissertações, artigos e relatos referentes a esse matemático que esteve à frente do seu tempo, propondo uma Matemática com significado. Possui desafios matemáticos.

• Nova escola:

https://oeds.link/oJstGh

Acesso em: 8 agosto 2022.

Disponibiliza diversos recursos digitais gratuitos que poderão ajudá-lo na inclusão de estudantes com deficiência.

Sugestões de vídeos

• Coleção Matemática Multimídia, da Universidade de Campinas abre parêntesesUnicampfecha parênteses:

https://oeds.link/Lmtg7P

Acesso em: 5 junho 2022.

O site traz diversos vídeos com conteúdos de Matemática voltados para o Ensino Médio. Alguns desses conteúdos podem ser trabalhados com estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental e são acompanhados de um “Guia do Professor”. Além dos vídeos, no site é possível encontrar experimentos, softwares e áudios.