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Apresentação

Professor, esta Coleção tem como objetivo principal servir de apôio didático para suas aulas. No Manual do Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Observe que falamos “de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino mais processo de aprendizagem. Na escola, buscamos sempre que ambos andem juntos, complementem-se, e esse pressuposto guia a organização desta Coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser feita sempre com base no conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta Coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando a autonomia pedagógica na organização e gestão de suas aulas.

Partimos do pressuposto que o professor é o grande mediador na relação entre os estudantes e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus estudantes adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como na vida fora dos muros da escola.

Esta Coleção atende aos requisitos da Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê), abrangendo o desenvolvimento das competências e habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. A Coleção também traz à tona aspectos relacionados à interdisciplinaridade, aos temas contemporâneos transversais (tê cê tês), à utilização da história da Matemática, ao uso significativo das tecnologias digitais no ensino desta disciplina, ao pensamento computacional, entre outros.

Organizamos este Manual do Professor em duas partes:

• Na primeira parte (Orientações gerais), há considerações em relação à Bê êne cê cê e ao modo como as competências e habilidades previstas neste documento são desenvolvidas na Coleção. São apresentadas também reflexões acerca da interdisciplinaridade, dos temas contemporâneos transversais, do uso de tecnologias digitais, do pensamento computacional, de avaliações e das características dos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental com orientações de como ajudá-los a desenvolver as capacidades de criticar, criar, propor, argumentar e inferir. Há também sugestões de avaliações formativas relacionadas aos capítulos do Livro do Estudante, uma sugestão de avaliação de preparação para exames de larga escala, resoluções e comentários de todas as atividades propostas no Livro do Estudante e sugestões de leitura, sites e vídeos.

• Na segunda parte (Orientações), disposta em formato de U, há a reprodução comentada das páginas do Livro do Estudante. Nela, também são apresentadas as competências e habilidades da Bê êne cê cê desenvolvidas em cada tópico ou seção, os objetivos traçados com a justificativa da pertinência de cada um e, também, sugestões de como diagnosticar os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes e de como conduzir as aulas iniciais com base nesses diagnósticos. Além disso, estão presentes nestas Orientações sugestões de atividades interdisciplinares, de combate ao bullying e que auxiliam na promoção da saúde mental dos estudantes.

De modo geral, as orientações e sugestões deste Manual do Professor buscam auxiliar o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam de maneira significativa para uma formação mais integral, humana e crítica do estudante e do professor. Queremos que os estudantes pensem matematicamente, resolvam problemas diversos e concluam essa etapa da Educação Básica preparados para continuar seus estudos.

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Sumário

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Orientações gerais

A Bê êne cê cê E O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Bê êne cê cê é um documento do Ministério da Educação (Méqui) que define as aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica. Tais aprendizagens são organizadas com base em competências e habilidades que direcionam a formação integral de todos os estudantes em suas variadas dimensões (intelectual, afetiva, ética, física, sociopolítica etcétera).

Prevista nos principais documentos que regulam a educação do país, como a Constituição (1988), a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (élê dê bê ê ênê 9.394/1996) e o Plano Nacional de Educação (2014), sua aprovação e a implementação visam garantir uma educação de qualidade e mais igualitária a todos os estudantes brasileiros.

Na Bê êne cê cê, a Matemática é considerada uma área do conhecimento essencial para que estudantes resolvam problemas, investiguem, estabeleçam conjecturas, troquem ideias e desenvolvam projetos em que possam aplicar os conceitos e procedimentos estudados de maneira crítica e significativa. Nesse sentido, é importante que as competências gerais e as competências específicas da área sejam mobilizadas por meio de atividades frequentes e intencionais. Colocar estudantes diante de situações que os convidem a usar a Matemática para desenvolver suas capacidades intelectuais, bem como as habilidades de observação, exploração, análise e reflexão, favorece a formação integral em suas variadas dimensões. Dessa fórma, a Bê êne cê cê é trabalhada de fórma efetiva.

Na Bê êne cê cê, o ensino e a aprendizagem da área são organizados em cinco Unidades temáticas que se correlacionam: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Observe o esquema a seguir.

UNIDADES TEMÁTICAS	NÚMEROS Finalidade: desenvolver o pensamento numérico e aplicar conceitos da Matemática Financeira. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: resolver problemas com números naturais, inteiros e racionais, envolvendo as operações fundamentais, com seus diferentes significados, e utilizando estratégias diversas. Calcular porcentagens. Reconhecer, comparar e ordenar números reais.
	ÁLGEBRA Finalidade: desenvolver o pensamento algébrico (generalizar ideias matemáticas). Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: compreender os diferentes significados das letras em uma expressão. Generalizar propriedade. Investigar a regularidade de uma sequência numérica. Estabelecer a variação entre duas grandezas. Relacionar variável e função; incógnita e equação. Resolver equações e inequações de maneira algébrica e gráfica. Traduzir uma situação dada em diferentes linguagens.
	GEOMETRIA Finalidade: desenvolver o pensamento geométrico (investigar propriedades, estabelecer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes). Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: estudar as figuras geométricas e suas propriedades. Desenvolver os conceitos de congruência e semelhança. Reconhecer e representar figuras simétricas.
	GRANDEZAS E MEDIDAS Finalidade: estudar as relações métricas e articular os pensamentos numérico, geométrico e algébrico. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: resolver problemas envolvendo diferentes grandezas (comprimento, tempo, massa, área, volume, capacidade etc.) e suas respetivas unidades de medida. Explorar as unidades de medida de armazenamento de computadores.
	PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Finalidade: estudar a incerteza e o tratamento de dados. Expectativas para os Anos Finais do Ensino Fundamental: planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas, incluindo medidas de tendência central e tabelas e/ou gráficos de diferentes tipos.

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Para desenvolver o que se espera em cada unidade temática, a Bê êne cê cê prevê um conjunto de objetos de conhecimento e habilidades relacionadas. É o trabalho com estes objetos e habilidades que vai assegurar o desenvolvimento das competências específicas de Matemática que, por sua vez, promoverão o desenvolvimento das competências gerais, conforme mostra o esquema a seguir.

Esquema. À esquerda, três círculos. De dentro para fora: círculo vermelho com legenda Habilidades; círculo amarelo com legenda Objetos de conhecimento e círculo cinza com legenda Unidades temáticas. À direita, seta alaranjada saindo para um quadro com o texto Competências específicas de Matemática. À direita, seta alaranjada saindo para outro quadro com o texto Competências gerais. — Relação entre unidades temáticas, objetos de conhecimento, habilidades e competências.

A seguir, vamos nos debruçar sobre as competências gerais, as competências específicas de Matemática e as habilidades do 9º ano.

Competências gerais

A Bê êne cê cê elenca um conjunto de dez competências gerais que devem ser desenvolvidas de fórma integrada aos componentes curriculares, ao longo de toda a Educação Básica. Define-se competência como um atributo que permite mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, permitindo o pleno exercício da cidadania. Esse direcionamento está ligado aos princípios éticos, estéticos e políticos das Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (dê cê êne) e da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (éle dê bê).

Reproduzimos a seguir o texto das competências gerais, segundo a Bê êne cê cê.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA
Competência geral 1	Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
Competência geral 2	Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 3	Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Competência geral 4	Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 5	Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
Competência geral 6	Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
Competência geral 7	Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
Competência geral 8	Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo- se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Competência geral 9	Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10	Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2018. p. 9-10. Disponível em: https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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Podemos sintetizar as 10 competências gerais da Bê êne cê cê, por meio do seguinte esquema:

Ilustração. À esquerda, de cima para baixo, Ícone com duas folhas de papel sobrepostas, com traços horizontais e retângulos sem preenchimento. Representa a competência número 1 Conhecimento. Abaixo o texto: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital.

Abaixo, ícone com um gráfico com 4 barras, com seta na parte superior indicando o crescimento das barras da direita para a esquerda. Representa a competência número 2 Pensamento científico, crítico e criativo. Abaixo, o texto: Exercitar a curiosidade intelectual e utilizar as ciências cm criticidade e criatividade.

Abaixo, Ícone com uma câmera fotográfica. Representa a competência número 3 Repertório cultural. Abaixo, o texto: Valorizar as diversas manifestações artísticas e culturais.

Abaixo, ícone com um círculo com olho e boca, branco, com ondas de som. Representa a competência número 4 Comunicação. Abaixo, o texto: Utilizar diferentes linguagens

Abaixo, ícone com um monitor branco. Representa a competência número 5 Cultura digital. Abaixo, o texto: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de forma crítica, significativa e ética.

À direita, de cima para baixo, ícone com um lápis branco e dois traços horizontais brancos. Representa a competência número 6 Trabalho e projeto de vida. Abaixo, o texto: Valorizar e apropriar-se de conhecimentos e experiências.

Abaixo, ícone com dois balões de fala. Representa a competência número 7 Argumentação. Abaixo, o texto: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis.

Abaixo, ícone com uma lupa branca. Representa a competência número 8 Autoconhecimento e autocuidado. Abaixo, o texto: Conhecer-se, compreender-se na diversidade humana e apreciar-se.

Abaixo, ícone com uma xícara. Representa a competência número 9 Empatia e cooperação. Abaixo, o texto: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação.

Abaixo, ícone com um globo terrestre. Representa a competência número 10 Responsabilidade e cidadania. Abaixo, o texto: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação. — Esquema adaptado do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inépi)

Competências específicas de Matemática

A Bê êne cê cê estabelece também as competências específicas para cada componente curricular. Em articulação com as competências gerais da Educação Básica descritas na Bê êne cê cê, a Matemática deve garantir aos estudantes o desenvolvimento das seguintes competências específicas.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
Competência específica 1	Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Competência específica 2	Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3	Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Competência específica 4	Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
Competência específica 5	Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 6	Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
Competência específica 7	Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência específica 8	Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2018. página 267. https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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Habilidades

As habilidades presentes na Bê êne cê cê dizem respeito às aprendizagens essenciais que devem ser garantidas aos estudantes nos diferentes contextos escolares. O desenvolvimento delas visa promover a igualdade educacional, levando em consideração as particularidades do meio no qual cada escola está inserida.

O quadro a seguir relaciona cada unidade temática com seus objetos de conhecimento e as habilidades essenciais de Matemática a serem desenvolvidas no 9º ano, segundo a Bê êne cê cê.

Unidades temáticas	Objetos de conhecimento	Habilidades
Números	Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica	(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
		(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
	Potências com expoentes negativos e fracionários	(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
	Números reais: notação científica e problemas	(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
	Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos	(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
Álgebra	Funções: representações numérica, algébrica e gráfica	(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
	Razão entre grandezas de espécies diferentes	(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
	Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais	(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
	Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações	(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria	Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal	(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
	Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo	(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
	Semelhança de triângulos	(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

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Unidades temáticas	Objetos de conhecimento	Habilidades
Geometria	Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais	(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
		(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
	Polígonos regulares	(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
	Distância entre pontos no plano cartesiano	(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
	Vistas ortogonais de figuras espaciais	(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas	Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas Unidades de medida utilizadas na informática	(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Grandezas e medidas	Volume de prismas e cilindros	(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística	Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes	(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
	Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação	(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.
	Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos	(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
	Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório	(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, Distrito Federal, 2018. p. 316 - 319. Disponível em: https://oeds.link/pKEA59. Acesso em: 19 julho 2022.

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A Bê êne cê cê E A COLEÇÃO

Esta Coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro Unidades compostas de dois ou mais capítulos. Os volumes e os capítulos foram estruturados de modo a favorecer o desenvolvimento das competências gerais e específicas bem como das habilidades propostas para a Matemática, indicadas na Bê êne cê cê.

As competências gerais e específicas de Matemática na Coleção

Ao longo da Coleção, o desenvolvimento das competências gerais e específicas de Matemática é proporcionado de diferentes maneiras, por meio de textos teóricos, atividades, seções especiais, boxes etcétera A seguir, oferecemos informações detalhadas sobre as seções e os boxes da Coleção e, também, sobre como as competências gerais e específicas podem ter o seu desenvolvimento favorecido na proposta de cada um.

Seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Presente no início de cada volume, esta seção traz resumos seguidos de atividades dos principais conceitos e procedimentos estudados em anos anteriores. A seção é estruturada para cada um dos capítulos do Livro do Estudante a fim de que o professor explore seu conteúdo antes de iniciar o trabalho com cada capítulo. No entanto, caso o professor julgue oportuno, o conteúdo da seção também pode ser todo trabalhado no início do ano letivo. É importante enfatizar que o professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar o conteúdo da seção à realidade e às necessidades da turma e da escola.

Competências gerais: a seção traz atividades que exploram diferentes linguagens (competência geral 4). Algumas delas incentivam a argumentação e o diálogo e oferecem aos estudantes a oportunidade de exercitar a empatia (competências gerais 7 e 9).

Competências específicas: algumas atividades propostas desenvolvem o raciocínio lógico e o espírito de investigação (competência específica 2). Outras permitem aos estudantes relacionar conceitos de diferentes unidades temáticas (competência específica 3), utilizar processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas (competência específica 5) e empregar distintos registros e linguagens (competência específica 6). Além disso, são propostas atividades que estimulam a interação dos estudantes com seus pares e que os colocam diante de situações em que devem investigar, organizar, representar e comunicar informações (competências específicas 4 e 8).

Abertura de Unidade e seção É hora de extrapolar

Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de uma das páginas de abertura de Unidade da coleção. Na página é possível identificar uma imagem que ocupa praticamente a página toda, a identificação do número da Unidade, uma lista dos capítulos que compõem a Unidade e um texto relacionado à imagem. Esquema. Reprodução em tamanho reduzido de duas páginas, lado a lado, da seção É hora de extrapolar. Em ambas as páginas, é possível identificar etapas de um projeto, compostas por textos e atividades.

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A abertura de Unidade apresenta a lista de capítulos que a integram, além de uma cena acompanhada de algumas questões que têm por objetivo instigar a curiosidade dos estudantes para os assuntos que serão estudados na Unidade. A cena e as questões estão relacionadas com o conteúdo da seção É hora de extrapolar, que fecha a Unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, pois elas serão retomadas ao final da Unidade para que os estudantes reflitam sobre o que aprenderam.

Competências gerais: as aberturas de Unidade estimulam a curiosidade, a reflexão e o diálogo entre os estudantes (competências gerais 2 e 9). Alguns dos contextos trazidos possibilitam a valorização da diversidade de saberes e vivências (competência geral 6), a argumentação com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 7) e levam os estudantes a refletir e cuidar da sua saúde física e emocional (competência geral 8).

Competências específicas: as situações e questões trazidas nas aberturas evidenciam como a Matemática e as outras áreas do conhecimento se integram (competência específica 3) e oferecem aos estudantes a oportunidade de fazer observações de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais (competência específica 4). As questões também fazem com que os estudantes enfrentem situações-problema em múltiplos contextos (competências específicas 2 e 6) e utilizem ferramentas matemáticas para resolvê-las (competência específica 5), bem como promovem a interação deles com os colegas (competência específica 8).

Ao final de cada Unidade, é proposta a seção É hora de extrapolar. Nela, os estudantes são convidados a realizar um trabalho colaborativo, como um pequeno projeto explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar. Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas, as quais promovem:

• entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;

• pesquisa individual ou coletiva;

• elaboração, em grupo, do produto proposto;

• apresentação e exposição do produto;

• reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.

É nesta seção, ainda, que são retomadas as questões feitas na abertura de Unidade correspondente.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.

É recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.

Competências gerais: os trabalhos propostos na seção possibilitam aos estudantes investigar, refletir, analisar criticamente, imaginar e criar (competência geral 2). Em algumas seções eles terão a oportunidade de explorar obras de arte e pesquisar sobre diferentes manifestações culturais (competência geral 3). Na seção, os estudantes também utilizam distintas linguagens para elaborar o produto final ou expô-lo (competência geral 4); podem recorrer à internet para pesquisar ou disseminar informações (competência geral 5); argumentam com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 7) e exercitam a empatia e o diálogo (competência geral 9).

Competências específicas: a seção desperta o espírito investigativo, a capacidade de argumentar e traz à tona a relação entre os diferentes campos da Matemática e também da Matemática com outras áreas do conhecimento, (competências específicas 2 e 3). Para concretizar alguns trabalhos, os estudantes deverão utilizar processos e ferramentas matemáticas e enfrentar situações-problema em múltiplos contextos (competências específicas 5 e 6). Algumas das propostas abordam assuntos de urgência social e dão aos estudantes a oportunidade de discuti-las (competências específicas 7 e 8).

Seção Trocando ideias

A seção Trocando ideias “abre” cada um dos capítulos e traz à tona temas do cotidiano que visam despertar o interesse dos estudantes para o que será estudado no capítulo e também busca, por meio de questões, identificar os conhecimentos prévios deles. A ideia é que as questões sejam discutidas coletivamente.

Competências gerais: os contextos e as questões propostos na seção despertam a curiosidade dos estudantes (competência geral 2), permitem a eles valorizar diferentes manifestações artísticas e culturais (competência geral 3) e, em alguns casos, mobilizam diferentes linguagens (competência geral 4). Há também propostas que proporcionam aos estudantes argumentarem com base em dados e informações confiáveis (competência geral 7) e refletem sobre situações relacionadas à saúde física e emocional (competência geral 8). Além disso, incentiva o diálogo (competência geral 9).

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Competências específicas: a seção tem como objetivos promover a interação entre os estudantes (competência específica 8), despertar a capacidade de argumentar (competência específica 2) e trazer à tona a relação entre os campos da Matemática e também entre a Matemática e outras áreas (competências específicas 3). Os estudantes também analisam aspectos quantitativos e qualitativos do cotidiano (competência específica 4) e utilizam ferramentas matemáticas para responder a alguma questão proposta (competência específica 5). A mobilização de diferentes registros e linguagens é exigência de algumas propostas que exploram, por exemplo, a leitura e a interpretação de gráficos e fluxogramas (competência específica 6).

Seção Lendo e aprendendo

A seção Lendo e aprendendo aparece no decorrer das Unidades e traz textos de jornais, revistas ou da internet que abordam temas atuais e de urgência social. O objetivo da seção é desenvolver a compreensão leitora por meio do desenvolvimento de vocabulário, fluência em leitura oral, compreensão de textos e produção de escrita. Além disso, a seção leva os estudantes a refletir sobre os temas tratados e discuti-los.

Competências gerais: os estudantes lidam com diferentes manifestações artísticas (competência geral 3), valorizam a diversidade de saberes e vivências culturais (competência geral 6), argumentam com base em fatos, dados e informações confiáveis (competência geral 5) e exercitam a empatia, o diálogo e a cooperação (competência geral 9).

Competências específicas: a seção contribui para que os estudantes compreendam as relações entre conceitos dos diferentes campos da Matemática e de outras áreas do conhecimento (competência específica 3) e para que discutam diferentes questões com seus pares (competência específica 8).

Seção Tecnologias digitais em foco

A seção Tecnologias digitais em foco aparece no decorrer de alguns capítulos e explora conteúdos de Matemática por meio de tecnologias digitais, como softwares de Geometria dinâmica, planilhas eletrônicas, calculadoras etcétera A seção é, em geral, dividida em duas etapas denominadas Construa e Explore. Em Construa, são apresentados passos para que os estudantes construam, por exemplo, figuras geométricas. Em Explore, eles utilizam as ferramentas do software, para investigar e testar hipóteses a respeito de alguma característica ou propriedade da figura que construíram.

Competências gerais: o uso de tecnologias digitais exercita a curiosidade intelectual dos estudantes e os coloca diante de situações em que devem investigar, refletir e analisar (competências gerais 2 e 5). A seção também permite que os estudantes exercitem a empatia e o diálogo (competência geral 9).

Competências específicas: a seção ajuda os estudantes a desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de argumentar (competência específica 2). Ainda por meio desta seção, os estudantes utilizam as tecnologias digitais para resolver problemas e validar resultados (competência específica 5) e lidam com diferentes registros e linguagens (competência específica 6). A interação dos estudantes com seus pares ocorre principalmente nas tarefas propostas na etapa Explore (competência específica 8).

Página treze

Seção Resolvendo em equipe

Alguns capítulos apresentam esta seção que destaca as etapas que encaminham a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao estudante aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma competência exigida nas mais diversas profissões.

Competências gerais: a seção contribui para que os estudantes resolvam problemas (competência geral 2), utilizem diferentes linguagens (competência geral 4), argumentem com base em dados e informações confiáveis (competência geral 7) e exercitem a empatia (competência geral 9). É preciso, ainda, que diante da pluralidade de ideias, os estudantes sejam flexíveis (competência geral 10).

Competências específicas: os problemas a serem resolvidos desenvolvem o raciocínio lógico (competência específica 2), alguns envolvem conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática (competência específica 3) e outros precisam de processo e ferramentas matemáticas para serem solucionados (competência específica 5). Os contextos dos problemas são diversos e envolvem diferentes registros (competência específica 6). Além disso, o encaminhamento proposto incentiva os estudantes a compartilhar suas estratégias e conclusões (competência específica 2).

Seção Revisão dos conteúdos deste capítulo

Presente no final de cada capítulo, esta seção traz resumos seguidos de atividades dos principais conceitos e procedimentos estudados no capítulo. As revisões e atividades podem ser exploradas aos poucos, conforme se avança no estudo do capítulo, ou podem ser trabalhadas ao final com o objetivo de verificar o que os estudantes aprenderam e as principais dificuldades que ainda enfrentam.

Competências específicas: na seção, são propostas atividades que desenvolvem o raciocínio lógico e o espírito de investigação (competência específica 2), outras que demandam a utilização de processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas (competência específica 5) e ainda outras que fazem com que os estudantes mobilizem diferentes registros e linguagens (competência específica 6).

Seção Teste seus conhecimentos

Presente no final de cada volume, esta seção propõe questões de múltipla escolha com o objetivo de avaliar os conhecimentos adquiridos pelos estudantes no decorrer do ano letivo e prepará-los para a realização de exames de larga escala.

Competências gerais: algumas questões da seção possibilitam aos estudantes refletir e analisar (competência geral 2) e outras utilizam diferentes registros (competência geral 4). São propostas ainda questões em que os estudantes devem avaliar dados e informações confiáveis (competência geral 7).

Competências específicas: questões que estimulam o raciocínio lógico (competência específica 2) e que envolvem conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (competência específica 3) estão presentes nesta seção. Além disso, são propostos problemas cuja solução se dá via utilização de processos e ferramentas matemáticas e também problemas envolvendo diferentes registros (competências específicas 5 e 6).

Página catorze

Boxe Veja que interessante

Boxe que complementa e enriquece o conteúdo estudado. Ao final, é proposta uma atividade para o estudante.

Competências gerais: o boxe traz temas diversos relacionados ao mundo físico, social, cultural e digital (competência geral 1), exercita a curiosidade dos estudantes por meio de atividades sobre esses temas (competência geral 2) e, em algumas propostas, os estudantes têm a oportunidade de apreciar manifestações artísticas e culturais (competência geral 3). O boxe possibilita, ainda, em alguns momentos a valorização da diversidade de saberes (competência geral 6) e coloca os estudantes diante de situações em que devem argumentar com base em informações confiáveis (competência geral 7). Algumas atividades solicitam aos estudantes que dialoguem com os colegas, e isso permite que desenvolvam a empatia e a capacidade de agirem com flexibilidade (competências gerais 9 e 10).

Competências específicas: alguns textos desse boxe possibilitam aos estudantes reconhecer como a Matemática contribui para solucionar problemas (competências específicas 1 e 2). Outros trazem à tona a relação da Matemática com as demais áreas do conhecimento (competência específica 3), e a atividade promove a interação entre os estudantes (competência específica 8).

Boxe Um pouco de história

Boxe que traz textos relacionados à história da Matemática para contextualizar alguns assuntos. Ao final, é proposta uma atividade para o estudante.

Competências gerais: é inerente à proposta desse boxe a valorização e utilização dos conhecimentos historicamente construídos (competência geral 1). A curiosidade, a investigação e a resolução de problemas são incentivados por meio das atividades propostas (competência geral 2). Os estudantes têm ainda a oportunidade de argumentar e dialogar com base em fatos e informações confiáveis a respeito da história da Matemática (competências gerais 7 e 10).

Competências específicas: os textos e as atividades propostos no boxe têm por objetivo levar os estudantes a reconhecer a Matemática como uma ciência viva que é resultado das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos (competência específica 1). A capacidade de argumentar (competência específica 2), de relacionar os campos da Matemática (competência específica 3), de lidar com diferentes registros e linguagens (competência específica 6) e de escutar os colegas com atenção e empatia (competência específica 8) são capacidades que podem ser desenvolvidas por meio das propostas desse boxe.

O quadro a seguir mostra as competências gerais e específicas de Matemática desenvolvidas em cada capítulo do volume 9 desta Coleção.

QUADRO DAS COMPETÊNCIAS GERAIS E ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA DO VOLUME 9
Capítulos	Competências gerais	Competências específicas
1 ‒ Potenciação e radiciação com números reais	2, 4, 5, 7 e 9.	2, 3, 4, 7 e 8.
2 ‒ Matemática financeira	9.	8.
3 ‒ Segmentos proporcionais e semelhança	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
4 ‒ Fatoração e equações do 2º grau	2, 4, 9 e 10.	1, 2, 3, 5, 6 e 8.
5 ‒ Função afim	2, 5, 9 e 10.	1, 2, 3, 5 e 8.
6 ‒ Função quadrática	2, 7 e 9.	1, 2, 3, 5, 6 e 8.
7 ‒ Relações métricas no triângulo retângulo	9.	2, 3 e 8.
8 ‒ Circunferência, arcos e ângulos	2, 3, 5, 6 e 9.	2, 5 e 8.
9 ‒ Polígonos regulares	2, 4, 7, 9 e 10.	2, 3, 4, 5, 7 e 8.
10 ‒ Vistas ortogonais e volume	1, 3, 6 e 9.	8.
11 ‒ Construção de gráficos estatísticos	2, 4, 5, 6 e 9.	2, 3, 6, 5 e 8.
12 ‒ Probabilidade e estatística	2, 5, 7, 9 e 10.	2, 4, 5, 6, 7 e 8.

Página quinze

As habilidades da Bê êne cê cê na Coleção

A Matemática trabalhada nos Anos Finais do Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistematizar as aprendizagens anteriores dos estudantes, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do conhecimento, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do estudante.

Nesta Coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes relacionadas à formação cidadã do estudante. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos estudantes quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade.

O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender as especificidades de seus estudantes: o livro didático não pode ser uma amarra para o professor, mas, sim, um facilitador de seu trabalho.

O quadro a seguir apresenta uma visão geral de como as habilidades do 9º ano foram desenvolvidas em cada Unidade, capítulo a capítulo.

HABILIDADES DO 9º ANO
Unidades	Capítulos	Habilidades
1	1 ‒ Potenciação e radiciação com números reais	EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18.
	2 ‒ Matemática financeira	EF09MA05.
	3 ‒ Segmentos proporcionais e semelhança	EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14.
2	4 ‒ Fatoração e equações do 2º grau	EF09MA09.
	5 ‒ Função afim	EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08.
	6 ‒ Função quadrática	EF09MA06.
3	7 ‒ Relações métricas no triângulo retângulo	EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16.
	8 ‒ Circunferência, arcos e ângulos	EF09MA11.
	9 ‒ Polígonos regulares	EF09MA15.
4	10 ‒ Vistas ortogonais e volume	EF09MA17 e EF09MA19.
	11 ‒ Construção de gráficos estatísticos	EF09MA21 e EF09MA22.
	12 ‒ Probabilidade e estatística	EF09MA20 e EF09MA23.

Página dezesseis

Exemplos concretos de trabalho com competências gerais, competências específicas e habilidades da Bê êne cê cê na Coleção

Uma das finalidades do trabalho com as habilidades é assegurar o desenvolvimento das competências específicas de Matemática que, por sua vez, podem promover o desenvolvimento de competências gerais.

O quadro a seguir mostra, por meio de exemplos concretos da Coleção, a diferença de se trabalhar com competências gerais, específicas e habilidades.

Página 282 do capítulo 12 do volume 6	Página 155 do capítulo 6 do volume 7
Nas atividades 18 e 19 da página 282, os estudantes vão realizar uma pesquisa estatística, o que permite o desenvolvimento da habilidade EF06MA33. Ambas as propostas envolvem o uso de tecnologias digitais para a organização dos dados coletados o que favorece o desenvolvimento da competência específica 5. Além disso, as pesquisas podem estar relacionadas à questões de urgência social e para serem realizadas é necessário que os estudantes interajam com seus pares, o que pressupõe o desenvolvimento das competências específicas 7 e 8. Por meio destas competências específicas desenvolvem-se as competências gerais 7, 9 e 10, que versam sobre argumentação, exercício da empatia e agir com flexibilidade e resiliência.	No tópico Resolução de problemas são apresentados exemplos de problemas que podem ser resolvidos por meio de equações do 1º grau com uma incógnita. Também são propostos problemas para os estudantes resolverem e isso favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Esses problemas permitem aos estudantes mobilizar conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A competência específica 5 também tem o seu desenvolvimento favorecido porque os problemas propostos são modelados e resolvidos por meio de equações. Já a variedade de problemas propostos é o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6. Essas competências específicas, por sua vez, contribuem para que as competências gerais 2 e 4 tenham o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que estão relacionadas à resolução de problemas e ao uso de diferentes linguagens, respectivamente.
Página 77 do capítulo 4 do volume 8	Página 29 do capítulo 1 do volume 9
O estudo das composições de transformações geométricas desenvolve a habilidade EF08MA18. Por meio desse estudo, os estudantes têm a oportunidade de verificar como Matemática e Arte se relacionam, contribuindo para que a competência específica 3 tenha o seu desenvolvimento favorecido. É por meio dessa competência que se desenvolvem as competências gerais 1, 2, 3, 4 e 6.	Ao trabalhar a representação dos números em notação científica, desenvolve-se a habilidade EF09MA04. O trabalho com essa habilidade possibilita aos estudantes reconhecer como esse conceito é empregado para expressar números muito grandes ou muito pequenos em diversas áreas como Astronomia e Química, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática, que, por sua vez, contribui para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

Página 282 do capítulo 12 do volume 6

Página 155 do capítulo 6 do volume 7

Nas atividades 18 e 19 da página 282, os estudantes vão realizar uma pesquisa estatística, o que permite o desenvolvimento da habilidade EF06MA33. Ambas as propostas envolvem o uso de tecnologias digitais para a organização dos dados coletados o que favorece o desenvolvimento da competência específica 5. Além disso, as pesquisas podem estar relacionadas à questões de urgência social e para serem realizadas é necessário que os estudantes interajam com seus pares, o que pressupõe o desenvolvimento das competências específicas 7 e 8. Por meio destas competências específicas desenvolvem-se as competências gerais 7, 9 e 10, que versam sobre argumentação, exercício da empatia e agir com flexibilidade e resiliência.

Imagem de página do livro do estudante com atividades de pesquisa estatística.

No tópico Resolução de problemas são apresentados exemplos de problemas que podem ser resolvidos por meio de equações do 1º grau com uma incógnita. Também são propostos problemas para os estudantes resolverem e isso favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Esses problemas permitem aos estudantes mobilizar conceitos e procedimentos de diferentes campos da Matemática, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A competência específica 5 também tem o seu desenvolvimento favorecido porque os problemas propostos são modelados e resolvidos por meio de equações. Já a variedade de problemas propostos é o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6. Essas competências específicas, por sua vez, contribuem para que as competências gerais 2 e 4 tenham o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que estão relacionadas à resolução de problemas e ao uso de diferentes linguagens, respectivamente.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de página do livro referente ao tópico Resolução de problemas. É possível identificar a apresentação e resolução de duas situações-problema.

Página 77 do capítulo 4 do volume 8

Página 29 do capítulo 1 do volume 9

O estudo das composições de transformações geométricas desenvolve a habilidade EF08MA18. Por meio desse estudo, os estudantes têm a oportunidade de verificar como Matemática e Arte se relacionam, contribuindo para que a competência específica 3 tenha o seu desenvolvimento favorecido. É por meio dessa competência que se desenvolvem as competências gerais 1, 2, 3, 4 e 6.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de uma página em que há a seção Trocando ideias. É possível identificar que há um pequeno texto, uma imagem de peças de cerâmica com grafismos e algumas questões. O ícone do tema pluralidade cultural também aparece na reprodução da página.

Ao trabalhar a representação dos números em notação científica, desenvolve-se a habilidade EF09MA04. O trabalho com essa habilidade possibilita aos estudantes reconhecer como esse conceito é empregado para expressar números muito grandes ou muito pequenos em diversas áreas como Astronomia e Química, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática, que, por sua vez, contribui para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

Ilustração. Reprodução em tamanho reduzido de página do livro referente ao estudo da notação científica. É possível identificar o texto teórico, imagem do planeta Terra e duas atividades.

Página dezessete

OS ESTUDANTES NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

O estudante que se encontra nos Anos Finais do Ensino Fundamental está inserido na transição entre a infância e a adolescência, período marcado por intensas e profundas mudanças nos aspectos físico, psicológico, social e emocional. Ele é um sujeito “em desenvolvimento, com singularidades e formações identitárias e culturais próprias, que demandam práticas escolares diferenciadas, capazes de contemplar suas necessidades e diferentes modos de inserção social” (BRASIL, 2018, página 60).

Por isso, é preciso compreendê-lo, e para tanto é necessário aprender a ouvi-lo por meio da comunicação afetiva, em um movimento de aproximação, trocando experiências, vivências e histórias, em um ressignificar do processo de ensino e de aprendizagem.

É importante também estar atento às interações que eles estabelecem com os grupos sociais dos quais fazem parte, o que permite entender seus modos de agir e suas necessidades.

Assim, o ambiente escolar precisa refletir o clima de diálogo, do saber ouvir, da empatia e da boa convivência, combatendo toda fórma de violência, como a prática do bullying, comportamento intencional e agressivo na fórma de insultos, xingamentos, apelidos, ameaças, difamação, isolamento e exclusão social. Enfim, fazer do ambiente escolar um espaço inclusivo em todos os sentidos, pensando na formação do estudante como um sujeito ativo, protagonista do seu processo de aprendizagem e agente de transformação da sociedade.

A fim de garantir que isso aconteça diante da heterogeneidade das turmas, o professor precisa estar atento a tais necessidades, revendo sua prática e refletindo sobre as estratégias utilizadas.

Uma das formas de se trabalhar com grupos grandes de fórma mais eficaz é pensar nas tarefas matemáticas propostas. A professora Jo Boaler, autora do livro Mentalidades Matemáticas, propõe o uso das tarefas abertas, pois permite a participação de toda a turma. Segundo ela, toda tarefa pode ser transformada numa tarefa aberta desde que se pergunte aos estudantes “sobre suas diferentes maneiras de ver e resolver questões matemáticas e encorajando a discussão dos diversos modos de ver os problemas” (2018, página 83). Outro ponto é oferecer distintas opções de tarefa com diferentes níveis e áreas da matemática envolvidos, as quais são escolhidas pelo estudante, e não pelo professor. É uma mudança de ponto de vista, o que possibilitará ao estudante escolher suas próprias rotas de aprendizagem, “encontrando conteúdo individualizado, acompanhado por oportunidades para o trabalho em grupo e colaboração” (2018, página 104).

Esta mesma autora também sugere o uso das estratégias equitativas com o objetivo de tornar a Matemática mais inclusiva. Como fórma de melhorar o desempenho coletivo, ela propõe que se ofereçam conteúdos matemáticos de alto nível a todos os estudantes, e não somente àqueles que sempre tiram as melhores notas. Isso está imbricado à outra ideia que precisa ser mudada: a de que somente alguns podem ter êxito na Matemática. Por isso, oportunizar a todos o pensar profundamente a Matemática. Isso implica, por sua vez, trazer experiências práticas, um currículo baseado em projetos e com aplicabilidade na vida real, além de trabalhar colaborativamente, fato que precisa ser ensinado. Trabalhar em grupo é fundamental para um bom desempenho matemático. E por último, é preciso rever a ideia do dever de casa. Para a autora, é necessário mudar a natureza das tarefas, fazendo “perguntas que os incentivem a pensar na Matemática da aula e focar as ideias fundamentais” que são importantes para a aprendizagem (2008, p. 64):

Isso tudo dialoga com outra proposta de trabalho, conectada com as atuais necessidades das diferentes turmas de estudante: as metodologias ativas, que, segundo José Moran (2019, página 7), são “alternativas pedagógicas que colocam o foco do processo de ensino e de aprendizagem nos aprendizes, envolvendo-os na aquisição do conhecimento por descoberta, por investigação ou resolução de problemas numa visão de escola como comunidade de aprendizagem (onde há participação de todos os agentes educativos, professores, gestores, familiares e comunidade de entorno e digital)”.

São exemplos de metodologias ativas a aprendizagem baseada em problemas, aprendizagem baseada em projetos e a sala de aula invertida.

• Aprendizagem baseada em problemas: é uma metodologia organizada por temas em torno de problemas e não de disciplinas. Nela os estudantes combinam teoria e prática para solucionar problemas.

• Aprendizagem baseada em projetos: é uma metodologia em que os estudantes se envolvem para resolver um problema ou desenvolver um projeto que tenha relação com a sua vida fora da sala de aula. Nesta metodologia, eles lidam com questões interdisciplinares e trabalham em equipe.

• Sala de aula invertida: o estudante se apropria do conteúdo previamente, e a aula torna-se o lugar de aprendizagem ativa, onde há perguntas, discussões e atividades práticas. O professor pode explorar as dificuldades dos estudantes em vez de expor o conteúdo da disciplina.

Página dezoito

Em todas elas, os recursos tecnológicos podem ou não estar presentes. Quando presentes, o seu uso pode auxiliar o desenvolvimento da autonomia, empatia, protagonismo, responsabilidade, participação e cooperação.

Nesse contexto, é importante também levar em consideração elementos da cultura juvenil (funk, hip-hop, grafite, tatuagem, esportes, entre outros) e os comportamentos construídos por eles nos diferentes contextos sociais e culturais dos quais participam. Ao fazer isso, o processo de construção de conhecimento é enriquecido. Uma das formas de se trabalhar as culturas juvenis com os estudantes é por meio da aprendizagem baseada em projetos que, nesta Coleção, são sugeridos principalmente na seção É hora de extrapolar. Outras possibilidades são as discussões em sala de aula e os fóruns promovidos pela escola. Essa inserção da cultura juvenil ressignifica o espaço escolar, intensifica o processo de reflexão e crítica e promove a aprendizagem.

Assim, é possível vislumbrar possibilidades de aprendizagem para toda a turma, aguçando o olhar inclusivo do professor, que, ao acolher as dificuldades, busca meios para atendê-las, sem deixar de lado os diferentes níveis de conhecimento que habitam a sala de aula.

Capacidade de criticar, criar e propor

A criatividade e o pensamento crítico vêm ganhando cada vez mais espaço nas pautas de discussões sobre o que precisamos desenvolver nos estudantes. A criatividade tem relação com o potencial do ser humano para enfrentar o novo e seguir avançando na ciência, na tecnologia, na comunicação, na arte e em outras áreas do conhecimento. Pode ser compreendida também como a elaboração de ideias, processos e/ou produtos que apresentem algum grau de ineditismo, mesmo que seja para a própria pessoa. O pensamento crítico, por sua vez, é a competência de a pessoa se posicionar de modo racional e analítico diante de diferentes situações cotidianas.

A Matemática é uma área do conhecimento com potencial para desenvolver as capacidades de criticar, criar e propor, na medida em que coloca os estudantes diante de situações em que devem resolver problemas, generalizar propriedades, analisar dados, construir figuras etcétera Para resolver um problema, por exemplo, o estudante precisa, primeiro, entender o enunciado e analisá-lo de maneira crítica. Depois, precisa imaginar como vai solucioná-lo. Em seguida, deve colocar em prática as ideias e, por fim, testar e refletir sobre o que fez.

O infográfico a seguir traz algumas orientações de como ajudar os estudantes a produzir análises críticas, criativas e propositivas:

Esquema. À esquerda, uma lâmpada com o texto: Como auxiliar os estudantes a desenvolver a capacidade de criticar, criar e propor? Da lâmpada saem, 5 setas para a direita: vermelha, laranja, amarela, verde e azul. Seta vermelha para boxe com o texto: Encoraje a criatividade dos estudantes propondo desafios interessantes e valorizando suas ideias. Peça, por exemplo, que façam esquemas dos problemas e das soluções. O uso da cor pode aumentar a compreensão em Geometria, frações e divisões. À direita do boxe, a imagem de um lápis cruzado com uma régua graduada. Seta laranja para boxe com o texto: Instigue-os a descobrir uma maneira própria de resolver as situações-problema propostas. À direita do boxe, a imagem do perfil da cabeça de uma pessoa com os olhos vendados. Acima, a representação de um olho. Seta amarela para boxe com o texto: Convide os estudantes a pensar aberta e livremente sobre as diferentes propostas de trabalho. À direita do boxe, a imagem de parte do perfil da cabeça de uma pessoa com uma lâmpada acima. Seta verde para boxe com o texto: Incentive os estudantes a compreender que as ideias matemáticas envolvem profundidade do pensamento, relações e conexões. Permita que eles perguntem e discutam. Provoque a turma contra-argumentando as ideias trazidas. À direita do boxe, a imagem de um esquema composto por 4 circunferências com o busto de uma pessoa representado no interior de cada uma. Seta azul para boxe com o texto: Apresente situações e convide os estudantes a formular as próprias questões matemáticas. À direita do boxe, a imagem do busto de uma mulher com um balão de fala com ponto de interrogação dentro.

Página dezenove

Capacidade de argumentar

A aprendizagem em Matemática muitas vezes é um processo dialógico, ou seja, pressupõe o desenvolvimento da capacidade de argumentar. Na Bê êne cê cê, essa capacidade está prevista nas competências específicas 2 e 4 de Matemática e na competência geral 7 e tem relação com a capacidade do indivíduo de explicar sua fórma de pensar verbalmente ou por escrito.

Em Matemática, os estudantes são incentivados a argumentar quando são colocados diante de situações em que devem resolver problemas, demonstrar propriedades, realizar experimentações, validar ou generalizar resultados, analisar erros, ler e interpretar dados representados em tabelas e/ou gráficos, construir figuras utilizando instrumentos de desenhos etcétera

O esquema a seguir traz algumas sugestões de como auxiliar os estudantes a desenvolver a capacidade de argumentar.

Esquema, No centro, um círculo de fundo branco com a seguinte questão em seu interior: Como ajudar o estudante a desenvolver a capacidade de argumentar?. Da circunferência partem 6 setas: verde, azul, vermelha, laranja, amarela e roxa. Seta verde para boxe com o texto: Proponha tarefas abertas para que a turma possa pensar sobre os diferentes pontos de vista e representações. Seta azul para boxe com o texto: Permita que o estudante explique por que determinada solução faz sentido. Seta vermelha para boxe com o texto: Proponha atividades de experimentação envolvendo o uso de tecnologias digitais. Seta laranja para boxe com o texto: Trabalhe com jogos. Seta amarela para boxe com o texto: Proporcione situações em que o estudante possa representar o seu pensamento visualmente (desenhos, imagens, codificação com cores). Seta roxa para boxe com o texto: Proponha situações nas quais o estudante precise convencer e ser convencido.

Capacidade de inferir

Inferir é tirar conclusões com base em uma ou mais proposições utilizando o raciocínio lógico. Essa é uma habilidade essencial que pode propiciar aprendizagens significativas não só na Matemática, como em outras áreas do conhecimento.

Em Matemática, os estudantes podem inferir informações embasadas em dados estatísticos representados em tabelas e/ou gráficos. Também podem analisar sequências numéricas e inferir a regra de formação delas ou, ainda, inferir quando realizam tarefas investigativas.

O esquema a seguir traz algumas sugestões de como contribuir para que os estudantes desenvolvam a capacidade de inferir.

Esquema, No centro, um círculo de fundo branco com a seguinte questão em seu interior: Como ajudar o estudante a desenvolver a capacidade de inferir? Da circunferência partem 4 setas: verde, vermelha, laranja e amarela. Seta verde para boxe com o texto: Proponha tarefas investigativas. Seta vermelha para boxe com o texto: Incentive o estudante a pensar sobre os procedimentos utilizados e os resultados encontrados. Seta laranja para boxe com o texto: Estimule-o a analisar e entender os erros cometidos. Seta amarela para boxe com o texto: Incentive-o a ir além em atividades que envolvam a leitura e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos.

Página vinte

A INCLUSÃO DOS ESTUDANTES COM DEFICIÊNCIA

A Lei Brasileira de Inclusão de Pessoa com Deficiência instituiu o Estatuto da Pessoa com Deficiência (Lei 13.146/2015), garantindo, entre outros aspectos, o acesso à educação, e assegurando a inclusão escolar em todos os níveis e modalidades de ensino de acôrdo com os interesses e as necessidades de aprendizagem de cada um.

Com base nas premissas da lei, uma escola inclusiva é aquela que acolhe e inclui a todos sem discriminação, respeitando as diferenças e dificuldades, acreditando que todos podem aprender e que o processo de aprendizagem de cada pessoa é único, daí ser necessário adequar as estratégias e as condições para que todos possam aprender e desenvolver seu potencial.

As diferentes deficiências (visual, auditiva, intelectual, física, múltiplas) devem ser trabalhadas na sua especificidade para que possa ser garantida a aprendizagem de cada um. As altas habilidades ou superdotação também precisam de um olhar pontual.

Nesse sentido, são grandes os desafios enfrentados pela escola como um todo e pela equipe escolar em particular. Em muitos casos, faz-se necessário a existência de equipe multidisciplinar para orientar as possibilidades de trabalho de acôrdo com uma necessidade específica. Além, é claro, do investimento na formação continuada do professor e de todos que vão trabalhar com determinado tipo de deficiência ou dificuldade a fim de criar uma rede de apôio, aprimorando os conhecimentos, flexibilizando os materiais e as intervenções com estes e os demais alunos.

Outro ponto a ser destacado refere-se à existência de um projeto pedagógico inclusivo, ou seja, que contenha ações que viabilizem a aquisição de materiais necessários ao atendimento de todas as diferenças bem como a flexibilização do currículo para acolher a realidade de cada um.

A contribuição do professor de Matemática

Cada professor dentro da sua especificidade e com a ajuda da equipe encontrará os melhores meios para adequar as propostas a fim de promover o desenvolvimento da aprendizagem de todos. Contudo, disponibilizar momentos de trocas entre os membros da equipe escolar permitirá aumentar as estratégias e os materiais que possam contribuir para as dificuldades referentes à inclusão.

O professor precisa estar atento ao tipo da deficiência para planejar seu trabalho e fazer as adequações necessárias. Em se tratando de deficiência auditiva, é possível o uso da Língua Brasileira de Sinais (Libras), instituída pela Lei 10.436/2002, a qual é uma combinação do movimento das mãos e de pontos no corpo e no espaço em que os sinais são feitos.

Esquema. Mão de uma pessoa fechada com os 5 dedos paralelos. À esquerda, as letras A maiúscula e minúscula. Esquema Mão de uma pessoa com os dedos mindinho, anelar, médio e indicador esticados para cima e bem juntos. O polegar está dobrado. À esquerda, as letras B maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra C invertida. À esquerda, as letras C maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra C invertida. A mão parece chacoalhar para cima e para baixo. À esquerda a letra C cedilha. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra d minúscula. À esquerda, as letras D maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos parcialmente dobrados, formando uma garra. À esquerda, as letras E maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal que lembra a letra f minúscula cursiva. O indicador está na horizontal e o polegar está atravessado na frente do indicador, um pouco inclinado. Os dedos médio e anelar estão cruzados na vertical. À esquerda as letras F maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos mindinho, anelar e médios dobrados e os dedos indicador e polegar erguidos. O indicador e o polegar estão bem juntinhos. À esquerda, as letras G maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem juntinhos. Os demais dedados estão dobrados. Há uma seta indicando um movimento de meia lua da mão com os dedos nessa posição. À esquerda, letras H maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo mindinho erguido. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, letras I maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo mindinho erguido. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta indicando que a mão faz um movimento de meia lua com os dedos nessa posição. À esquerda, letras J maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta vertical, indicando que a mão se movimenta para cima com os dedos nessa posição. À esquerda, letras K maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra L maiúscula com o indicador e polegar. À esquerda, as letras L maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa os dedos anelar, médio e indicador esticados e bem juntinhos de cabeça para baixo. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras M maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa os dedos anelar e médio esticados e bem juntinhos de cabeça para baixo. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras N maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fazendo um sinal parecido com a letra o minúscula. Os dedos estão voltados para o lado esquerdo. À esquerda, as letras O maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa posicionada na horizontal. O dedo indicador aponta levemente para cima e o dedo médio está parcialmente dobrado para baixo. À esquerda, as letras P maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com o dedo indicador apontando para baixo e os demais dedos parcialmente dobrados. À esquerda, as letras Q maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com o dedos indicador e médio erguidos e cruzados. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda, as letras R maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa fechada. O polegar está atravessado sobre os demais dedos. À esquerda, as letras S maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com o indicador na horizontal e o polegar atravessado atrás dele, um pouco inclinado. Os dedos médio e anelar estão erguidos e um pouco afastados. À esquerda as letras T maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem juntinhos. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda as letras U maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. À esquerda as letras V maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos anelar, médio e indicador erguidos e bem afastados. Os demais dedos estão dobrados. Há uma seta vertical apontando para cima indicando que a mão com os dedos nesta posição se movimenta para cima. À esquerda as letras W maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa posicionada na horizontal. O dedo indicador está parcialmente dobrado. Há uma seta para a esquerda indicando que a mão com os dedos nesta posição se movimenta para a esquerda. À esquerda letras X maiúscula e minúscula. Esquema. Mão de uma pessoa com os dedos mindinho e polegar erguidos. Os demais dedos estão parcialmente dobrados. À esquerda, letras Y maiúscula e minuscula. Esquema. Indicador de uma pessoa fazendo o traçado da letra Z. À esquerda as letras Z maiúscula e minúscula.

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Os algarismos também são representados por sinais. Como são menos, é mais fácil memorizá-los, e você poderá utilizá-los para as explicações:

Esquema. Mão direita de uma pessoa fazendo um sinal parecido com o número zero. Abaixo, o número zero. Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. O polegar está apontando para cima e os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 1. Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. O polegar está apontando para cima e o indicador para a direita. Os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 2. Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. Os dedos anelar, médio e indicador estão apontando para a direita. Os demais dedos estão fechados. Abaixo, o número 3. Esquema. Parte de trás da mão direita de uma pessoa. Os dedos mindinho, anelar, médio e indicador estão apontando para a direita. O polegar está dobrado. Abaixo, o número 4. Esquema. Mão de uma pessoa vista de frente. O polegar está completamente dobrado e os demais dedos estão dobrados parcialmente. Abaixo, o número 5. Esquema. Mão direita de uma pessoa com o polegar apontando para cima e os demais dedos curvados, encostando no centro dele. Abaixo, o número 6.Esquema. Mão direita de uma pessoa com o indicador apontando para o alto e para a direita. Os demais dedos estão dobrados. Abaixo, o número 7. Esquema. Mão direita de uma pessoa com todos os dedos dobrados. Abaixo, o número 8. Esquema. Mão direita de uma pessoa com o polegar apontando para baixo e os demais dedos curvados, encostando no centro dele. Abaixo, o número 9.

O ideal seria que todo estudante com deficiência auditiva tivesse um intérprete de Libras que pudesse traduzir as aulas. Outra possibilidade para incluir estes estudantes, é a utilização de vídeos relativos aos conteúdos que contenham intérprete de Libras.

Quando se trata de deficiência visual, pode-se utilizar o Braille: sistema de sinalização ou de comunicação tátil. Este sistema possibilita escrever as atividades e complementar as explicações. Para tanto, é necessário o uso da máquina de escrever Braille. Vale lembrar que outros meios podem ser utilizados pelas pessoas com deficiência visual, como caracteres ampliados, linguagem escrita e oral, dispositivos multimídia, sistemas auditivos e os meios de voz digitalizados.

No que se refere às deficiências intelectuais, é preciso adequar as propostas tendo em vista a idade e as necessidades de cada estudante. O uso de materiais manipulativos é uma estratégia que contribui bastante nesses casos. Neles estão inclusos tampinhas, ábaco, colar de contas, material dourado para a contagem e a construção da ideia de número, canudos, linhas, palitos, massinha para a Geometria Espacial; geoplano, entre outros.

Jogos de tabuleiro, quebra-cabeças e jogos de memória são também ferramentas que possibilitam o trabalho de diferentes conteúdos matemáticos e podem ser adequados aos diferentes graus de dificuldades da turma. As propostas precisam conter desafios possíveis de serem executados, aumentando, posteriormente, as regras, os números de participantes e, até mesmo, o grau de complexidade.

Também, há muitos softwares e programas que podem ser utilizados e que tornam ainda mais significativo o processo de ensino e de aprendizagem quando se trata da inclusão.

Além disso, o uso das metodologias ativas pode ser bastante inclusivo, uma vez que poderá fortalecer o protagonismo dos estudantes por meio de “desafios, atividades e jogos colaborativos; uso de tecnologias; realização de projetos; aprendizado através de problemas e situações reais (informação contextualizada); e a sala de aula invertida” (PAVÃO, A. C. O.; PAVÃO, S. M. O., 2021, página 30). Cabe a cada professor adequar as propostas de acôrdo com a realidade de sua turma.

A inclusão é um direito. É importante acolher os estudantes com deficiência e dar a eles todas as condições necessárias para que se sintam motivados a desenvolver o seu potencial.

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O PROFESSOR E SEU LOCAL DE FALA

Uma das missões do professor é criar ambientes que acolham os estudantes e forneçam uma boa experiência de aprendizado. Nesse contexto, a interação professor/estudantes é fundamental, pois possibilita compreender como vivem, suas necessidades, seus anseios, seu projeto de vida e o que pode motivá-los para ter uma aprendizagem significativa. Por meio dessa interação, é possível explorar problemas reais e buscar as informações de maneira coletiva, reconhecendo que os próprios estudantes podem ser a fonte de conhecimento. É importante encorajar a troca e a construção entre eles e se envolver nas discussões e nos trabalhos.

Esta relação com os estudantes também é uma fórma de criar, valorizar e manter uma cultura de paz dentro das salas de aula e, consequentemente, na comunidade escolar como um todo. De acôrdo com as orientações da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (unêsco), para promover a cultura de paz nas escolas é preciso construir, no dia a dia, um ambiente pacífico e conciliador. Nesse âmbito, o professor pode desempenhar papel fundamental criando um ambiente de confiança, colocando-se à disposição para ouvir os estudantes e fornecendo condições para que tenham uma conduta respeitosa entre si na sala de aula e além dos muros da escola.

Trabalhar de fórma colaborativa com outros professores da escola e também com os demais profissionais da comunidade escolar como secretários, inspetores, merendeiras etcétera (caso estes tenham interesse) permite criar uma comunidade de aprendizagem que pode ser propícia para a concepção e execução de projetos que respondam às demandas do desenvolvimento humano integral e podem trazer retôrno para a própria comunidade ao redor da escola.

INTERDISCIPLINARIDADE

Partindo do pressuposto que o conhecimento não é compartimentado, é necessário investir numa visão interdisciplinar da sua concepção a fim de garantir sua construção de uma fórma global. A interdisciplinaridade, tão discutida desde o século passado, é quando dois ou mais componentes curriculares se relacionam para aprofundar o conhecimento, integrando os saberes e superando essa visão fragmentada.

Podemos dizer que é uma fórma de encontrar conexões entre as áreas do conhecimento para o estudo de um tema de interesse, objetivando responder aos questionamentos por ele gerados. Esse processo dá significação e significado à aprendizagem, permitindo ao estudante estabelecer também ligações com conceitos já estudados e com o seu cotidiano. O que reforça a ideia de que interdisciplinaridade e aprendizagem significativa caminham imbricadas entre si.

Quando um estudante se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e Dufour (2002) observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensão, que não necessariamente se restringem aos componentes curriculares; entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relação entre as diferentes áreas do conhecimento para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar.

Assim, nesta Coleção, são favorecidas situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação e a tomada de decisão.

Tudo isso corrobora com a visão interdisciplinar e estabelece um diálogo com a Bê êne cê cê e as competências gerais de aprendizagem, uma vez que permite, também, compreender a realidade, investigar, levantar hipóteses, defender ideias, respeitar a si e ao outro, contextualizando a aprendizagem com as necessidades e os interesses do estudante e favorecendo a tomada de decisões pautadas na ética.

Dessa maneira, o professor, que é pesquisador de sua prática, buscará os melhores caminhos para planejar boas estratégias e exercitar a interdisciplinaridade.

Um deles é o uso das metodologias ativas, como a aprendizagem baseada em projetos. A seção É hora de extrapolar, por exemplo, oferece oportunidades para que sejam desenvolvidos projetos que envolvam temáticas com potencial de mobilizar conhecimentos de diferentes áreas.

Vale ressaltar que, utilizando a ótica de escuta e observação, também é possível elaborar sequências de atividades envolvendo temas de interesse dos estudantes, sem constituir um projeto, mas com o foco interdisciplinar.

Atitudes interdisciplinares

Para que a interdisciplinaridade seja colocada em prática, é necessário que a escola invista na formação continuada de todos os segmentos, de fórma a promover o estudo das necessidades prementes da turma e das novas

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estratégias para serem colocadas em prática. Aprofundar o conhecimento do professor nas metodologias ativas, por exemplo, permite a prática interdisciplinar.

Criar momentos de interações e trocas entre as equipes gestoras e os professores abre espaço para a discussão das diferentes ideias e da própria prática, por meio de experiências exitosas que permitirão ressignificá-la. Além disso, investir nas reflexões sobre a gestão do tempo em sala de aula é uma fórma de buscar organizar as atividades.

Planejar as sequências do que será trabalhado seja em conjunto com outros professores, seja consigo mesmo é fundamental, bem como garantir momentos para replanejar o que não está dando certo ou que precisa de ajustes.

Outro ponto é trabalhar a pesquisa, aspecto que requer bastante atenção, uma vez que este é um procedimento que precisa ser ensinado e retomado constantemente. Aprender a pesquisar ajuda a investigar as hipóteses e encontrar as soluções.

O uso da gueimificação é também uma fórma de promover a interdisciplinaridade. A gueimificação consiste em utilizar elementos de jogos e técnicas de design de jogos em contextos diferentes. Em atividades ou propostas gamificadas, espera-se que os estudantes se engajem na resolução de problemas ou na superação de desafios, que aceitem as regras do jôgo, que concordem em jogar com pessoas diferentes e que aceitem feedback corretivo para alcançar o resultado desejado. Em resumo, a gueimificação não é transformar qualquer atividade em um guêimi, mas, sim, aprender a partir dos games, ou seja, aproveitar elementos dos games que podem melhorar uma experiência de aprendizagem sem ignorar o mundo real.

O trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido por uma equipe comprometida. Além disso, os professores, mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. Para auxiliar nesse processo, esta Coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo das Orientações, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acôrdo com a sua realidade. Nesse sentido, cabe a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente com as propostas da escola e que seja enriquecedor para o estudante.

TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS (tê cê tês)

Em 1996, os Parâmetros Curriculares Nacionais (pê cê ênes) traziam os temas transversais, os quais contemplavam temáticas relacionadas à vida cotidiana e à vida das pessoas. Não eram novas disciplinas curriculares, mas sim áreas do conhecimento que perpassavam os campos disciplinares. Em outras palavras, buscavam inserir questões sociais como objeto de aprendizagem.

Com a Bê êne cê cê, tais conceitos foram ampliados, e os temas contemporâneos transversais foram introduzidos, objetivando explicitar a ligação entre os diferentes componentes curriculares e as situações vivenciadas pelo estudante no cotidiano. Essas situações podem ser relacionadas aos problemas do mundo atual que afligem os estudantes, afetando a vida humana em escala local, regional e global.

Os tê cê tês estão distribuídos em seis macroáreas temáticas: Cidadania e Civismo, Ciência e Tecnologia, Economia, Meio Ambiente, Multiculturalismo e Saúde, englobando 15 temas contemporâneos.

Esquema. No centro, quadro com a legenda: Temas Contemporâneos Transversais BNCC. Em volta, 6 setas apontando para 6 quadros. Acima, quadro com a legenda: MEIO AMBIENTE - Educação Ambiental; Educação para o Consumo. Abaixo, quadro com a legenda: CIDADANIA E CIVISMO - Vida familiar e social; Educação para o Trânsito; Educação em Direitos Humanos; Direitos da Criança e do Adolescente; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso. Na parte superior direita, quadro com a legenda: ECONOMIA - Trabalho; Educação financeira; Educação fiscal. Na parte inferior direita, quadro com legenda: SAÚDE - Saúde; Educação Alimentar e Nutricional. Na parte superior esquerda, quadro com a legenda: CIÊNCIA E TECNOLOGIA - Ciência e Tecnologia. Na parte inferior esquerda, quadro com a legenda: MULTICULTURALISMO - Diversidade Cultural; Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras. — BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais na Bê êne cê cê: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, Distrito Federal: Méqui, 2019. página 13 . Disponível em: https://oeds.link/8QEVqz. Acesso em: 19 julho 2022.

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Para que o trabalho aconteça em sala de aula, é imprescindível refletir sobre o que estamos ensinando e o que os estudantes precisam aprender no que se refere a estas temáticas, mapeando quais tê cê tês poderão ser trabalhados atendendo a tais necessidades. Analisar como esses temas podem perpassar a área de conhecimento a partir do conteúdo a ser trabalhado é outro aspecto importante. Por exemplo, ao trabalhar porcentagem em Matemática é possível discutir o consumo e o consumismo (o que realmente necessitamos obter e o que compramos desnecessariamente), bem como a distribuição da renda e o trabalho.

Para isto a leitura e a pesquisa são fundamentais juntamente com as trocas estabelecidas a partir do trabalho em grupo, a socialização das ideias e a sistematização de discussões.

Os tê cê tês na Coleção

Os tê cê tês são abordados em diferentes momentos da Coleção: seções, boxes e atividades diversas. Nesse trabalho, os estudantes são incentivados a refletir, defender suas opiniões e a pesquisar sobre diferentes assuntos. O trabalho muitas vezes dialoga com as competências específicas e gerais da Bê êne cê cê.

Na Coleção, utilizam-se ícones para identificar a possibilidade de trabalho com os tê cê tês.

Ícones que indicam o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais

Cada um destes ícones se relaciona com uma das macroáreas temáticas conforme mostra o quadro a seguir.

RELAÇÃO ENTRE AS MACROÁREAS TEMÁTICAS E OS ÍCONES DA COLEÇÃO
Macroáreas temáticas	Meio ambiente	Economia	Saúde	Cidadania e civismo	Multiculturalismo	Ciência e tecnologia
Ícones da Coleção

O quadro a seguir apresenta um panorama geral de como o trabalho com os temas contemporâneos transversais é distribuído ao longo dos capítulos do volume 9.

O TRABALHO COM OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS NO VOLUME 9

Capítulo 3.	Capítulos 1, 2 e 3.	Capítulos 1, 3, 4, 5 e 7.	Capítulos 1, 3, 5, 7, 11 e 12.	Capítulos 10, 11 e 12.	Capítulos 1, 4, 8 e 10.

Além dos momentos sinalizados no Livro do Estudante, outros são sugeridos nas Orientações presentes neste Manual do Professor, podendo enriquecer ainda mais as atividades propostas.

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A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos estudantes a percepção de que a Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu ao longo do tempo e continua se desenvolvendo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos estudantes, com o objetivo de promover a compreensão do desenvolvimento histórico de diferentes conceitos e, consequentemente, ampliar os horizontes da aprendizagem matemática.

No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer elementos sobre sua história, os locais onde a Geometria se desenvolveu, as características sociais e geográficas desses locais pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto matemático em estudo se desenvolveu.

A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Nesta Coleção, o boxe Um pouco de história busca trazer informações que podem servir de ponto de partida para a complementação e o aprofundamento dos conteúdos abordados.

AS TECNOLOGIAS DIGITAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Atualmente, tanto a computação como as tecnologias digitais de informação e comunicação (tê dê i cê) estão presentes na sociedade, moldando a comunicação, o meio de transporte, as relações interpessoais e influenciando a vida das pessoas. A ciência e a tecnologia evoluem rapidamente, e essa constante transformação reflete diretamente no funcionamento da sociedade e, consequentemente, no mundo do trabalho e da educação.

A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os estudantes para o uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e que saibam se prevenir.

No que diz respeito à utilização das tecnologias digitais no ensino de Matemática, deseja-se que este uso possibilite a expansão das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para a aprendizagem da Matemática devem favorecer, entre outras coisas, a busca por novas estratégias para a resolução de problemas ou o desenvolvimento do raciocínio lógico. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008, página 64):

A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática podem desafiar o estudante a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo.

É importante que o uso do computador na escola não se limite apenas à função do uso dos editores de texto ou de slides; os estudantes devem aprender a utilizá-lo como uma ampliação das faculdades cognitivas e capacidades humanas. A sociedade contemporânea demanda um grande conhecimento tecnológico, não apenas em relação ao uso das tecnologias de maneira eficaz, mas também referente à elaboração de soluções para problemas cotidianos simples ou complexos de qualquer natureza.

Nesta Coleção, o uso de tecnologias digitais é incentivado por meio da seção Tecnologias digitais em foco e também por meio de atividades identificadas pelo ícone Calculadora e softwares:

Ícone. Celular emitindo ondas. Abaixo, o texto: Calculadora e sottwares.

Calculadora e softwares

A intenção é colocar os estudantes diante de situações em que devem resolver problemas, experimentar, formular hipóteses e argumentar. As propostas podem envolver estratégias como o uso de calculadoras, planilhas eletrônicas e sófitiuérs de Geometria dinâmica como o GeoGebra. Nesse contexto, espera-se criar um ambiente favorável para que eles se sintam motivados a aprender cada vez mais e de maneira significativa os conteúdos da disciplina.

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PENSAMENTO COMPUTACIONAL

A expressão “pensamento computacional” surgiu em 2006, no artigo Computational Thinking, da pesquisadora Jeanéte Uingue. Nele, Uín relaciona o termo à resolução de problemas de maneira sistemática, decompondo um problema complexo em subproblemas e automatizando a solução, de fórma que pudesse ser executada por uma máquina.

O pensamento computacional se apoia em quatro pilares. São eles:

• Decomposição: consiste em quebrar um problema em partes menores (subproblemas) ou etapas, de maneira que a resolução de cada uma das partes ou etapas resulte na resolução do problema inicial. Dessa maneira, um problema ou uma situação complexa podem ser resolvidos aos poucos, com estratégias e abordagens diversas.

• Reconhecimento de padrões: ocorre ao se perceber similaridade da situação enfrentada com outra previamente resolvida, o que permite o reaproveitamento de uma estratégia conhecida. Esse reconhecimento de padrões pode se dar entre instâncias distintas de um problema ou dentro dele mesmo, quando há repetições de etapas ou padrões em sua resolução.

• Abstração: no contexto do pensamento computacional, significa filtrar as informações e os dados relevantes à resolução, eliminando dados desnecessários. Permite-se, assim, uma modelagem do problema mais limpa e eficaz.

• Algoritmo: a aplicação dos pilares anteriores pode facilitar o surgimento de um algoritmo, que é uma generalização da resolução e permite resolver toda uma família de problemas similares. Um algoritmo pode ser definido como uma sequência finita de passos cuja finalidade é resolver um problema ou executar uma tarefa.

É importante salientar que, dependendo do problema, nem todos os pilares serão necessários e estarão presentes. Além disso, para desenvolver o pensamento computacional e trabalhar com ele em sala de aula, apesar de a intenção ser a implementação computacional de uma solução, não é necessário um computador.

O pensamento computacional na Coleção

A Bê êne cê cê considera que a aprendizagem de Álgebra contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, uma vez que precisam mobilizar diferentes linguagens para traduzir situações-problema. Além disso, o documento destaca que:

Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que podem ser objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que permite resolver um determinado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um procedimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos (BRASIL, 2018, página 271).

Nesta Coleção, são propostas diferentes atividades envolvendo construção, leitura e interpretação de fluxogramas. Essas atividades favorecem o desenvolvimento da competência especifica 6 de Matemática e da competência geral 4 da Bê êne cê cê e são identificadas pelo ícone Pensamento computacional.

Pensamento computacional

Na Coleção, os fluxogramas também são utilizados na sistematização de alguns conteúdos.

De modo geral, o pensamento computacional também está presente, na Coleção, por meio da aplicação de algoritmos e procedimentos (algoritmos das operações, métodos para determinar o ême ême cê ou ême dê cê de números naturais, aplicação da fórmula resolutiva de equações do 2º grau etcétera), reconhecimento de padrões em sequências numéricas ou de figuras e, também, quando se propõe a elaboração e/ou resolução de problemas.

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SUGESTÕES DE CRONOGRAMAS

O quadro a seguir oferece ao professor possibilidades de trabalho com os capítulos do volume 9 da Coleção durante o ano letivo. O professor pode e deve se sentir à vontade para adaptar as sugestões aqui indicadas de acôrdo com a realidade e as necessidades da turma e da escola, uma vez que a aprendizagem depende da combinação de muitos fatores e, por conseguinte, os métodos e as estratégias que se mostram eficientes com um grupo de estudantes podem não ter o mesmo resultado com outro.

O arranjo desse quadro possibilita ao professor a previsão de uma organização bimestral, trimestral ou semestral.

SUGESTÕES DE CRONOGRAMAS (BIMESTRAL, TRIMESTRAL E SEMESTRAL)
	Capítulos do volume 9	Bimestres	Trimestres	Semestres
UNIDADE 1	Capítulo 1 ‒ Potenciação e radiciação com números reais	1º bimestre	1º trimestre	1º semestre
	Capítulo 2 ‒ Matemática financeira
	Capítulo 3 ‒ Segmentos proporcionais e semelhança
UNIDADE 2	Capítulo 4 ‒ Fatoração e equações do 2º grau	2º bimestre
	Capítulo 5 ‒ Função afim		2º trimestre
	Capítulo 6 ‒ Função quadrática
UNIDADE 3	Capítulo 7 ‒ Relações métricas no triângulo retângulo	3º bimestre		2º semestre
	Capítulo 8 ‒ Circunferência, arcos e ângulos
	Capítulo 9 ‒ Polígonos regulares		3º trimestre
UNIDADE 4	Capítulo 10 ‒ Vistas ortogonais e volume	4º bimestre
	Capítulo 11 ‒ Construção de gráficos estatísticos
	Capítulo 12 ‒ Probabilidade e estatística

ORIENTAÇÕES PARA AVALIAÇÃO

Avaliar é algo complexo e muito discutido entre as equipes escolares, principalmente quando almeja-se uma avaliação focada na evolução e no desenvolvimento das aprendizagens dos estudantes. Para isso, é necessário ir além da simples demonstração dos resultados, trazendo o “percurso, os obstáculos e os novos caminhos a serem percorridos para o alcance dos objetivos ainda não atingidos”.

A Bê êne cê cê vem propor uma ressignificação da avaliação, uma vez que há uma progressão na aquisição das habilidades, o que implica buscar mecanismos que mostrem o desenvolvimento do estudante no processo de ensino e de aprendizagem, no que se refere à aquisição ou não de tais habilidades.

Para isso é preciso refletir sobre o que avaliar e como fazê-lo. O professor precisa ter claro o que espera que cada turma aprenda em cada situação didática planejada. Necessita planejar intervenções que levem em consideração as orientações nacionais, mas também as necessidades de cada turma e cada estudante em particular.

É importante que as avaliações sejam aplicadas de fórma contínua ao longo do processo educativo. A análise dos dados obtidos ao longo desse caminhar permitirá ao professor reorientar o processo de ensino e de aprendizagem. Ao estudante, fornecerá elementos para reforçar e incentivar a aprendizagem, tornando-se, assim, parte ativa do seu processo de aprendizagem.

Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, de fórma a melhorar as oportunidades para que o estudante mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor dúvidas e, especialmente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.

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Cabe ao professor, com base no conhecimento que tem de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios utilizados devem ser explicitados aos estudantes.

Entretanto, independentemente do instrumento escolhido, é necessário registrar os resultados obtidos por meio de pautas de observação, registros escritos ou audiovisuais e portfólios, a fim de acompanhar o desenvolvimento de cada um. A seguir, apresentamos uma sugestão de quadro que você pode utilizar para avaliar algumas capacidades desenvolvidas pelos estudantes ao longo do ano letivo.

SUGESTÃO DE QUADRO PARA REGISTRO DA AVALIAÇÃO DE CAPACIDADES DESENVOLVIDAS PELOS ESTUDANTES
Capacidade avaliada	Desempenho individual
Nome: _____
Turma: _____	Data: ___/___/___
Capacidade avaliada	Plenamente satisfatório	Satisfatório	Insatisfatório
Elaborar e resolver problemas.
Compreender conceitos e procedimentos.
Realizar cálculos mentais.
Mobilizar diferentes linguagens e registros.
Compreender textos publicados em diferentes mídias.
Mobilizar conhecimentos de diferentes unidades temáticas.
Realizar investigações utilizando tecnologias digitais.
Criticar, criar e propor.
Argumentar.
Inferir.
Construir, ler e interpretar tabelas e gráficos estatísticos.
Trabalhar em equipe.

O professor pode e deve se sentir à vontade para definir o critério que vai utilizar durante o preenchimento do quadro e até mesmo pode mudar as capacidades avaliadas, de acôrdo com a realidade da sua turma ou da escola em que trabalha. Também podem ser feitas versões similares do mesmo quadro, levando em consideração as habilidades e competências da Bê êne cê cê.

Outro ponto é a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do estudante deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também, devem ser considerados. Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem papel fundamental nesse processo.

Na Coleção, as atividades da seção Revisão de conteúdos de anos anteriores podem compor avaliações diagnósticas e as atividades da seção Revisão dos conteúdos deste capítulo, por sua vez, podem servir para que sejam elaboradas avaliações formativas.

Página vinte e nove

Propomos a seguir sugestões de avaliações de caráter formativo (uma relacionada a cada capítulo do Livro do Estudante) e uma sugestão de avaliação de preparação para exames de larga escala.

Sugestões de avaliação formativa

Para o capítulo 1: Potenciação e radiciação com números reais

Questões	Objetivos
1	Calcular uma expressão numérica com números reais.
2	Resolver problema envolvendo notação científica.
3	Efetuar cálculos e comparar radicais.
4	Racionalizar denominador.

1. O valor da expressão

\frac{{(\frac{1}{5})}^{‒ 2} ‒ 5}{{(0, 2)}^{4} \cdot 25}

é:

a) ‒124

‒ \frac{124}{625}

\frac{20}{25}

d) 500

2. No último fim de semana, foi realizada uma campanha de vacinação em determinada cidade durante dois dias. No sábado, foram vacinadas 5,89 ⋅ 10elevado a 5 pessoas, e, no domingo, 1,341 ⋅ 10elevado a 6 pessoas receberam a vacina. O número que expressa a quantidade de pessoas vacinadas no fim de semana é:

a) .723100

b) ..1930000

c) ..7231000

d) ..19300000

3. Considere que n é um número inteiro maior do que zero e observe os seguintes números.

A =

\sqrt[3]{n}

B =

\sqrt[5]{n}

C =

\sqrt[9]{n}

D =

\frac{A \cdot C}{B}

No caderno, escreva esses números em ordem crescente.

4. Ao racionalizar

\frac{\sqrt{15}}{15 ‒ \sqrt{15}}

, chegamos em:

\frac{1}{15}

\frac{\sqrt{15} + 1}{15}

\frac{\sqrt{15} + 1}{14}

\frac{\sqrt{15} ‒ 1}{14}

Respostas

1. alternativa d

2. alternativa b

3. C < B < D < A

4. alternativa c

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três. Durante a resolução dessa questão, os estudantes podem utilizar diferentes estratégias para calcular a expressão. Caso tenham dúvidas, pode-se propor a eles que escrevam cada número como uma potência de 5, levando-os a perceber que

{(\frac{1}{5})}^{‒ 2} = 5^{2}

e que

{(0,2)}^{4} = {(\frac{1}{5})}^{4} = 5^{‒ 4}

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero quatro. Essa questão envolve uma situação-problema que deve ser resolvida por adição de números dados em notação científica. Para calcular a soma, os estudantes podem escrever os números com uma potência de 10 de mesmo expoente ou escrever cada número sem o uso de potências. Caso optem pelo item a, pode ser que os estudantes tenham calculado 5,89 + 1,341 e multiplicado por 10elevado a 5. Caso optem pelo item c, eles podem ter calculado a mesma soma e multiplicado por 10elevado a 6. O item d pode ter sido escolhido ao calcularem 5,89 + 13,41 e multiplicarem por 10elevado a 6.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três. Essa questão envolve a comparação de raízes de um número inteiro positivo qualquer. Em caso de dificuldades, recorde as propriedades e as operações com radicais e a escrita de radicais como potências de expoente fracionário. Espera-se que eles calculem a expressão

\frac{\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[9]{n}}{\sqrt[5]{n}}

e cheguem em

D = \sqrt[45]{n^{11}}

. Com isso, é possível comparar os demais números

A = \sqrt[45]{n^{15}}

B = \sqrt[45]{n^{9}}

C = \sqrt[45]{n^{5}}

. Assim, eles podem concluir que C < B < D < A.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero dois. Essa é uma questão prática de racionalização de denominadores. Em caso de dificuldades, podem-se apresentar exemplos de racionalização de denominadores para que os estudantes analisem e identifiquem padrões.

Para o capítulo 2: Matemática financeira

Questões	Objetivos
1	Resolver situação-problema envolvendo compra a prazo.
2	Comparar aplicações a juro simples e composto.
3	Avaliar sistemas de aplicação de juro e porcentagens.

1. Heitor comprará um produto em uma loja que oferece as seguintes condições:

• à vista: R$ 320,00trezentos e vinte reais;

• a prazo: entrada de R$ 100,00cem reais e acréscimo de 10% sobre o valor restante, parcelado em duas vezes.

Caso Heitor opte pelo pagamento a prazo, o valor de cada parcela será:

a) R$ 99,00noventa e nove reais

b) R$ 110,00cento e dez reais

c) R$ 121,00cento e vinte e um reais

d) R$ 126,00cento e vinte e seis reais

2. Lúcia tem R$ 3.600,00três mil seiscentos reais para realizar algum investimento e está em dúvida entre estas opções.

Opção	Regime	Taxa de juro	Intervalo de tempo
A	juro simples	2% a.m.	5 meses
B	juro simples	1% a.m.	10 meses
C	juro composto	5% a.m.	2 meses
D	juro composto	0,5% a.m.	2 meses

A opção que vai render maior montante a Lúcia é:

a) A

b) B

c) C

d) D

3. Leia cada afirmação e indique se é verdadeira ou falsa.

a) Uma aplicação a juro composto sempre vai render mais do que uma aplicação a juro simples.

b) No cálculo de juro, o intervalo de tempo e a taxa da aplicação devem estar em uma mesma unidade de medida de tempo.

c) Para calcular o valor a pagar por um produto que custava x reais e foi vendido com desconto de 2%, basta calcular 0,98x.

d) Um produto custava x reais e foi vendido com 20% de desconto. Para retornar ao preço original dele, basta multiplicar o preço de venda por 1,2.

Página trinta

Respostas

1. alternativa c

2. alternativa c

3. a. Falsa; b. Verdadeira; c. Verdadeira; d. Falsa

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco. Essa questão apresenta uma situação-problema de compra a prazo. Os estudantes precisam identificar o valor de entrada (R$ 100,00cem reais) para, depois, calcular o acréscimo de 10% e dividir por dois, descobrindo o valor de cada parcela. Caso optem pelo item a, calcularam um desconto de 10% em vez do acréscimo. Caso optem pelo item b, provavelmente se esqueceram de calcular o acréscimo de 10%. Caso optem pelo item d, calcularam o acréscimo sobre o valor total, antes de subtrair a entrada. Em caso de dificuldades, pode-se propor que escrevam cada passo da opção a prazo, analisando os valores obtidos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três. Essa questão envolve a comparação de quatro aplicações, sendo duas a juro simples e duas a juro composto. Espera-se que os estudantes percebam que as aplicações a e B, que estão a juro simples, vão render o mesmo valor, pois o juro é calculado pelo produto do capital, da taxa de juro e do intervalo de tempo. Assim, basta comparar a taxa das aplicações C e D, que estão no mesmo intervalo de tempo, e perceber que a C tem uma taxa maior e, portanto, vai render mais que a D. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que elaborem outras situações envolvendo juro simples e composto, aplicados com um mesmo capital, a fim de verificar semelhanças e diferenças.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco. Essa questão retoma conceitos de juro e porcentagem. Para mostrar que a primeira afirmação é falsa, basta apresentar um exemplo de que uma aplicação a juro simples renda mais do que uma aplicação a juro composto. Espera-se que os estudantes percebam que aplicações dependem da taxa de juros, do intervalo de tempo e do capital. A segunda afirmação é verdadeira, pois a taxa de juro e o intervalo de tempo precisam estar na mesma unidade de medida de tempo: bimestre, semestre, mês, ano etcétera A terceira afirmação é verdadeira, pois 2% = 0,02; logo, o produto passou a custar 100% ‒ 2% = 98% = 0,98. Para mostrar que a quarta afirmação é falsa, basta apresentar um exemplo que envolva as porcentagens mencionadas. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que retomem o estudo de porcentagens e o conceito de juro simples e composto.

Para o capítulo 3: Segmentos proporcionais e semelhança

Questões	Objetivos
1	Aplicar o teorema de Tales em retas paralelas cortadas por transversal.
2	Reconhecer polígonos semelhantes.
3	Aplicar o teorema de Tales em triângulos.
4	Calcular medidas de comprimento dos lados de triângulos semelhantes a partir da razão de semelhança.
5	Aplicar semelhança de triângulos para calcular medidas de comprimento.

1. Considere que, na figura a seguir, á cê = 10, DF = 12 e dê ê = 6.

Ilustração. 3 retas paralelas, AD, BE e CF, cortadas por duas retas transversais AC e DF. A intersecção dessas retas gera os pontos A, B, C, D, E e F.

A medida A bê é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7,2

d) 20

2. Márcia representou um retângulo cujas medidas de comprimento dos lados são 26 centímetros e 32 centímetros. Com base nessa informação, sinalize se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) Todo retângulo é semelhante ao retângulo de Márcia, pois tem ângulos retos.

b) Um retângulo com lados correspondentes medindo 13 centímetros e 19 centímetros de comprimento é semelhante ao de Márcia.

c) Um retângulo com lados correspondentes medindo 13 centímetros e 16 centímetros de comprimento é semelhante ao de Márcia.

d) Ao cortar o retângulo de Márcio pela metade, obtém-se um retângulo semelhante ao dela.

3. Elis representou o seguinte triângulo em uma cartolina e resolveu traçar um segmento de reta paralelo ao lado

\overline{A C}

de modo que passe pelo ponto médio do lado

\overline{B C}

. Ao fazer isso, o segmento de reta traçado vai passar pelo ponto médio de

\overline{A B}

. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Explique sua resposta.

4. Considere dois triângulos semelhantes com razão de semelhança igual a 1,6. Sabendo que o comprimento do maior lado do maior triângulo mede 20 centímetros, então o comprimento do maior lado do outro triângulo mede:

a) 20 centímetros

b) 12,5 centímetros

c) 18,4 centímetros

d) 32 centímetros

5. Para um experimento da escola, Letícia e Carlos foram até a entrada da cidade onde vivem. Nela, há letras grandes fincadas perpendicularmente ao chão com o nome da cidade. Eles levaram um pedaço de madeira de 45 centímetros e Carlos fincou perpendicularmente ao chão, enquanto Letícia media o comprimento da sombra que a letra I fazia naquele exato momento. Sabendo que esse comprimento media 6 métros e o pedaço de madeira fazia uma sombra de 30 centímetros, calcule a medida da altura da letra I desse local.

Página trinta e um

Respostas

1. alternativa a

2. a. Falsa; b. Falsa; c. Verdadeira; d. Falsa

3. Verdadeira

4. alternativa b

5. 9 métros

Comentários

A questão 1 trabalha com a aplicação do teorema de Tales, a partir das medidas de comprimento dadas no enunciado. Os estudantes precisam escrever a proporção correta entre as medidas, ou seja,

\frac{A C}{D F} = \frac{A B}{D E} \Rightarrow \frac{10}{12} = \frac{A B}{6} \Rightarrow A B = 5

. Ao optar pelo item b, eles devem ter considerado A bê = DE. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de proporção.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Essa questão trabalha com o conceito de semelhança de retângulos. Os estudantes precisam recordar que retângulos semelhantes têm medidas de abertura de ângulos correspondentes congruentes e medidas de comprimento dos lados correspondentes proporcionais; portanto, nem todos os retângulos são semelhantes ao de Márcia, mesmo todos tendo medidas de abertura de ângulos correspondentes congruentes. Em caso de dificuldades, pode-se recordar semelhança de polígonos.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Nessa questão, os estudantes podem utilizar o teorema de Tales aplicado em um triângulo para julgar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que indiquem medidas de comprimento para verificar alguns exemplos ao aplicar o teorema de Tales e, em seguida, retomar esse teorema em triângulos.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois. Essa questão trata do conceito de razão de semelhança em triângulos. Os estudantes precisam recordar que a razão é calculada a partir da correspondência entre as medidas de comprimento dos lados. A razão de semelhança 1,6 pode ser obtida dividindo-se a medida de comprimento do maior lado do maior triângulo pela medida de comprimento do maior lado do outro triângulo. Ao optar pelo item a, os estudantes não consideraram a razão de semelhança e consideraram os triângulos congruentes. Ao optar pelo item c, os estudantes subtraíram a razão de semelhança da medida de comprimento do maior lado. Ao optar pelo item d, os estudantes multiplicaram a razão de semelhança pela medida de comprimento do maior lado. Em caso de dificuldades, pode-se recordar o conceito de razão de semelhança.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois. Essa questão trabalha com uma aplicação da semelhança de triângulos na obtenção de medidas de comprimento. Os estudantes precisam perceber que a letra I e o pedaço de madeira formam dois triângulos semelhantes com suas respectivas sombras, já que o comprimento de cada sombra está sendo medida no mesmo momento. Ao considerar a medida x da altura da letra I e todas as medidas de comprimento em centímetro, eles podem montar a seguinte proporção:

\frac{x}{45} = \frac{600}{30}

. É importante que eles utilizem a mesma unidade de medida de comprimento para realizarem os cálculos. Em caso de dificuldades, pode-se recordar o conceito de proporção.

Para o capítulo 4: Fatoração e equações do 2º grau

Questões	Objetivos
1	Escrever expressões algébricas que representem medida da área de figuras planas.
2	Identificar produtos notáveis.
3	Identificar trinômio quadrado perfeito.
4	Resolver situação-problema utilizando equação do 2º grau incompleta.
5	Utilizar equação do 2º grau para resolver problemas.
6	Analisar o discriminante de equação do 2º grau.
7	Analisar equação completa do 2º grau.

1. Camila representou o seguinte trapézio retângulo de modo que um dos vértices do triângulo amarelo é ponto médio do lado do trapézio. A expressão que representa a medida da área azul dessa figura é:

Ilustração. Trapézio retângulo composto por um triângulo retângulo amarelo e um quadrilátero azul. Um dos lados paralelos mede a mais 0,5 e o outro lado paralelo mede a. E um lado não paralelo mede a.

a^{2} + 0, 25 a

0, 75 a^{2} + 0, 25 a

1, 25 a^{2} + 0, 25 a

2, 5 a ‒ 0, 5 a^{2}

2. Copie no caderno e associe cada produto notável a sua expressão desenvolvida.

(2y – x)elevado a 2

(2x – y)(2x + y)

(–2x + y)elevado a 2

–yelevado a 2 + 4xelevado a 2

4xelevado a 2 + yelevado a 2– 4xy

– 4xy + xelevado a 2+ 4yelevado a 2

3. Observe o seguinte polinômio.

\frac{12}{16} m^{2} + p^{2} ‒ \frac{3}{2} m p

Para que ele seja um trinômio quadrado perfeito, é necessário:

a) adicionar m3.

b) adicionar

\frac{3}{4} p^{2}

c) subtrair

\frac{3}{16} m^{2}

d) subtrair

\frac{9}{14} m^{2}

4. Jonas desenhou um quadrado e um retângulo que têm mesma medida de área. Sabendo que o comprimento da base do retângulo mede 30 centímetros e o comprimento da altura dele mede metade do comprimento do lado do quadrado, a medida de área do retângulo é:

a) 112,5 centímetros quadrados

b) 225 centímetros quadrados

c) 450 centímetros quadrados

d) 900 centímetros quadrados

5. Da soma do dôbro do quadrado de um número com o quíntuplo desse número, subtrai-se 25 e obtém-se zero. O menor número que pode ser esse número é:

a) ‒5

b) ‒2,5

c) 2,5

d) 5

6. Qual é o menor número inteiro que pode ser colocado no lugar de k de modo que a equação

5 x^{2} ‒ 6 x + k = 0

não tenha raízes reais?

a) ‒1

b) ‒2

c) 1

d) 2

Página trinta e dois

7. Considere a equação

2 x^{2} + 7 x ‒ 4 = 0

e, depois, sinalize se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) A fórma fatorada dessa equação é 2

(x ‒ \frac{1}{2}) (x + 4)

= 0.

b) O discriminante dessa equação é igual a zero.

c) Essa equação tem duas raízes iguais.

d) As raízes dessa equação são

‒ \frac{1}{2}

e 4.

Respostas

1. alternativa b

3. alternativa c

4. alternativa b

5. alternativa a

6. alternativa d

7. a. Verdadeira; b. Falsa; c. Falsa; d. Falsa

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Para resolver essa questão, os estudantes precisam perceber que a medida de área azul é obtida pela diferença entre a medida de área do trapézio e a medida de área do triângulo. Assim, eles podem escrever uma expressão algébrica que represente esse valor, por exemplo,

\frac{(a + a + 0, 5) \cdot a}{2} ‒ \frac{0, 5 a \cdot a}{2}

e simplificá-la. Ao optar pelo item a, os estudantes escreveram a expressão da medida de área do trapézio. Ao optar pelo item c, os estudantes calcularam a soma da medida da área do trapézio com a do triângulo. Em caso de dificuldades, podem-se recordar o cálculo da medida da área de figuras planas e o conceito de expressão algébrica.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Nessa questão, os estudantes precisam analisar o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos para identificar a fórma desenvolvida deles. Os estudantes podem cometer equívocos com os expoentes e os sinais dos produtos que aparecem na questão. Caso isso ocorra, pode-se propor a eles que reescrevam os produtos e apliquem a propriedade distributiva da multiplicação.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Com essa questão, os estudantes podem analisar um polinômio e verificar o que precisa ser adicionado ou subtraído para que ele se torne trinômio quadrado perfeito. Isso vai ajudá-los na resolução de equações do 2º grau. Em caso de dificuldades, podem-se apresentar outros exemplos de trinômios quadrados perfeitos para que os estudantes analisem semelhanças e padrões.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Para resolver essa questão, os estudantes podem considerar a medida de comprimento do lado do quadrado como x; portanto, as medidas de comprimento da base e da altura do retângulo medem, respectivamente, 30 centímetros e

\frac{x}{2}

. Com isso, eles podem escrever uma equação do 2º grau e relacionando as medidas de área, descobrir a medida de comprimento da altura do retângulo e calcular a medida da área dele. Se surgirem dificuldades, podem-se propor aos estudantes que façam um esboço da situação e analisem as medidas mencionadas pela questão.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Para resolver essa questão, os estudantes precisam transpor o texto para a linguagem algébrica. Ao fazer isso, podem chegar na equação

2 x^{2} + 5 x ‒ 25 = 0

e resolvê-la, descobrindo duas raízes (‒5 e 2,5). Basta, então, analisar qual delas é a menor. Em caso de dificuldades, pode-se relembrar o que significa ser raiz de uma equação para que eles substituam os valores dos itens na equação obtida.

A questão 6 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Para resolver essa questão, os estudantes precisam lembrar da relação entre o número de raízes reais de uma equação do 2º grau e o discriminante dela. Ao escrever uma inequação em que o discriminante é menor que zero, conseguem descobrir que k > 1,8. É importante que eles observem que o enunciado pede o menor número inteiro que atende à condição dada, portanto 2. Em caso de dificuldades, pode-se retomar a definição de discriminante de uma equação do 2º grau.

A questão 7 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove. Nessa questão, os estudantes precisam analisar a fórma fatorada, as raízes e o discriminante da equação dada. É um momento de retomada de alguns conceitos de equação do 2º grau. Em caso de dificuldades, pode-se propor que resolvam a equação utilizando alguma das estratégias estudadas, a fim de avaliar cada afirmação. Ao considerar o item a como afirmação verdadeira, eles podem deduzir que as demais são falsas, já que pela fórma fatorada é possível identificar as raízes da equação.

Para o capítulo 5: Função afim

Questões	Objetivos
1	Calcular valores de uma função e compreender a relação entre as variáveis.
2	Escrever lei de formação de funções que representam situações.
3	Resolver situação-problema utilizando função.
4	Analisar a representação gráfica de funções afim.
5	Identificar inequações equivalentes.

1. Considere a função

p = ‒ 4 x^{2} + \frac{1}{4}

e sinalize se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) O valor dessa função é zero quando x = 0.

b) Nessa função, p é a variável dependente e x é a independente.

c) O valor dessa função é zero quando x =

‒ \frac{1}{4}

ou x =

\frac{1}{4}

d) Se p = 4, então x =

‒ \frac{\sqrt{15}}{4}

ou x =

\frac{\sqrt{15}}{4}

2. Em um programa computacional, Rodrigo consegue desenhar blocos retangulares em segundos. Para isso, ele criou um programa que relaciona as medidas do comprimento, da largura e da altura de um bloco retangular com as respectivas expressões: 3x,

\frac{3}{2} x

\frac{1}{2} x

. Se ele tiver que digitar uma função v(x) para calcular a medida de volume desses blocos, Rodrigo deve digitar:

v (x) = 5 x^{3}

v (x) = \frac{9}{4} x^{3}

v (x) = \frac{81}{16} x^{3}

v (x) = \frac{9}{2} x^{3}

Página trinta e três

3. Bruno vende caixas de bombons, como a mostrada na imagem.

Fotografia. Caixa com 11 bombons em forma de coração.

Ele gasta R$ 0,15zero reais e quinze centavos pela produção de cada bombom e R$ 0,80zero reais e oitenta centavos pela caixa. Para a última encomenda que recebeu, Bruno precisa entregar 200 caixas dessas. Com essa produção, ele gastará:

a) R$ 190,00cento e noventa reais

b) R$ 490,00quatrocentos e noventa reais

c) R$ 530,00quinhentos e trinta reais

d) R$ 2.090,00dois mil noventa reais

4. Observe a representação gráfica de duas funções a seguir.

Plano cartesiano. Função g, representada por uma reta vermelha que passa pelos pontos x igual a 0 e y igual a menos 2, e x igual a 1 e y igual a zero. Função f, representada por uma reta verde que passa pelos pontos x igual a 0 e y igual a 5, e x igual a 2 vírgula 5 e y igual a zero.

Agora, sinalize se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) As duas funções são constantes e lineares, pois não têm curvas.

b) O zero das duas funções é 1,75.

c) A função g é positiva quando x > 1.

d) Para x = 4, o valor da função f é menor do que o valor da função g.

5. Repare na imagem a seguir que representa uma balança com algumas bolas.

Ilsutração. Balança de dois pratos. No prato esquerdo levantado, uma bola azul com o número 5 e quatro bolas menores na cor amarelas e sem números. No prato direito abaixado, uma bola vermelha grande com o número 10.

Sabendo que as bolas de mesma cor têm mesma medida de massa e que o número indicado representa a medida de massa da bola correspondente em quilograma, copie no caderno as inequações que são equivalentes à inequação que representa essa situação, sendo x a medida de massa de cada bola laranja.

4 x + 5 < 10

4 x > 5

20 x + 25 < 50

4 x < 5

20 x + 10 < 20

4 x + 5 > 10

Respostas

1. a. Falsa; b. Verdadeira; c. Verdadeira; d. Falsa

2. alternativa b

3. alternativa b

4. a. Falsa; b. Falsa; c. Verdadeira; d. Verdadeira

5. 4x + 5 < 10, 4x < 5 e 20x + 25 < 50.

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Essa questão trabalha com o conceito de variável dependente e independente, além do cálculo de valores da função. Os estudantes precisam recordar que o valor da função é zero quando p = 0; assim, podem resolver a equação do 2º grau e descobrir os valores que anulam a função. No item d, pode acontecer um equívoco dos estudantes em relação ao sinal que aparece dentro da raiz quadrada. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de valor da função e resolução de equação do 2º grau incompleta.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Para resolver essa questão, os estudantes precisam recordar o cálculo da medida de volume de blocos retangulares. Tendo as expressões que representam as medidas das dimensões de um bloco retangular, podem multiplicá-las e obter a função da medida do volume. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o cálculo da medida do volume de blocos retangulares.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Durante a resolução dessa questão, os estudantes podem escrever a função v(x) que representa o valor gasto pela produção em relação à quantidade x de caixas vendidas, por exemplo,

v (x) = (0, 15 \cdot 11 + 0, 80) \cdot x

e considerar 200 caixas de encomenda. Ao optar pelo item a, os estudantes consideraram apenas um bombom por caixa. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que calculem o custo de 1 caixa, 2 caixas e 3 caixas e analisem a relação entre os valores.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Nessa questão, os estudantes precisam analisar comportamento, zeros e valores das funções representadas a partir do gráfico. Ao considerar o item b verdadeiro, os estudantes devem ter confundido o ponto de intersecção das funções (quando elas têm mesmo valor) com o zero delas. Para aprofundar a questão, pode-se propor que determinem a lei de formação das funções (f(x) = ‒2x + 5 e g(x) = 2x ‒ 2) e calculem alguns valores. Em caso de dificuldades, pode-se retomar a análise gráfica de outras funções afim.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Durante a resolução dessa questão, os estudantes precisam compreender o conceito de inequação equivalente, bem como identificar a inequação que representa a relação entre as medidas de massa das bolas que estão na balança. Em caso de dificuldades, podem-se propor inequações mais simples e pedir aos estudantes que as representem por meio de figuras.

Página trinta e quatro

Para o capítulo 6: Função quadrática

Questões	Objetivos
1	Analisar representação gráfica de função quadrática.
2	Calcular os zeros de uma função quadrática.
3	Relacionar as coordenadas do vértice aos coeficientes da função quadrática.
4	Analisar ponto de mínimo ou máximo em gráfico de função quadrática.
5	Construir gráfico de função quadrática.

1. Confira os gráficos de funções quadráticas desenhados a seguir.

Plano cartesiano. Gráficos de parábolas nas cores vermelha, verde, azul e roxa. O gráfico da parábola de cor vermelha tem concavidade voltada para baixo e o vértice está nos pontos x igual a menos 1 e y igual a 3. O gráfico da parábola de cor verde tem concavidade voltada para cima e o vértice está nos pontos x igual a menos 1 e y igual a menos 3. O gráfico da parábola de cor azul tem concavidade voltada para baixo e o vértice está nos pontos x igual a 1 e y igual a menos 1. O gráfico da parábola de cor roxa tem concavidade voltada para cima e o vértice está nos pontos x igual a 1 e y igual a 1.

No caderno, copie as frases a seguir completando com as cores adequadas.

a) A função f(x) = xelevado a 2 + 2x ‒ 2 está representada pelo gráfico da cor

b) A função g(x) = ‒xelevado a 2 + 2x ‒ 2 está representada pelo gráfico da cor

c) A função h(x) = ‒xelevado a 2 ‒ 2x + 2 está representada pelo gráfico da cor

d) A função i(x) = ‒xelevado a 2 ‒ 2x + 2 está representada pelo gráfico da cor

2. O gráfico da função

f (x) = ‒ \frac{x^{2}}{2} ‒ x + \frac{3}{2}

intersecta o eixo das abscissas nos pontos de pares ordenados:

a) (3, 0) e (1, 0).

b) (3, 0) e (‒1, 0).

c) (‒3, 0) e (‒1, 0).

d) (‒3, 0) e (1, 0).

3. Para que a função

f (x) = ‒ 5 x^{2} + p x + k

tenha (2, ‒1) como coordenadas do vértice da parábola que a representa, é necessário que:

a) p = 20 e k = ‒31.

b) p = 20 e k = ‒21.

c) p = ‒21 e k = 20.

d) p = ‒31 e k = 20.

4. Considere o gráfico da função representada a seguir e indique se as afirmações são verdadeiras ou falsas.

Plano cartesiano. Gráfico da parábola na cor vermelha com concavidade voltada para cima e o vértice está nos pontos x igual a 2 e y igual a menos 2. Os zeros da função são x igual a 0 e x igual a 4.

a) O gráfico dessa função tem ponto de máximo.

b) Essa função é do tipo y = axelevado a 2 + bx.

c) O valor mínimo dessa função é ‒2.

d) A diferença entre o valor mínimo e o valor máximo dessa função é 4.

5. Construa, em seu caderno, o gráfico de uma função que tenha as seguintes características:

• intersecta o eixo das ordenadas em (0, 2);

• y = ‒0,25 é o valor mínimo da função.

• x = 2 é um dos zeros da função;

• a lei de formação da função é do tipo y = xelevado a 2 + 3kx + 2.

Respostas

1. a. verde; b. azul; c. vermelha; d. lilás

2. alternativa d

3. alternativa b

4. a. Falsa; b. Verdadeira; c. Verdadeira; d. Falsa

Plano cartesiano. Gráfico da parábola na cor roxa com concavidade voltada para cima. Os zeros da função são x igual a 1 e x igual a 2.

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Nessa questão, os estudantes precisam analisar os coeficientes das funções quadráticas dadas nos itens e comparar com os pontos de intersecção no eixo das ordenadas e a concavidade das parábolas para decidir a cor de cada gráfico. Não há necessidade de calcularem os zeros das funções. Em caso de dificuldades, pode-se propor a eles que calculem algum valor da função e verifiquem se o par ordenado encontrado pertence ao gráfico analisado.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Para descobrir os pares ordenados em que o gráfico da função dada intersecta o eixo das abscissas, podem-se calcular os zeros da função ou substituir cada par ordenado dos itens e verificar se a igualdade se mantém. Em caso de dificuldades, pode-se relembrar com os estudantes como determinar os zeros de uma função quadrática.

Página trinta e cinco

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Nessa questão, os estudantes precisam recordar que as coordenadas do vértice podem ser obtidas a partir dos coeficientes da função f(x) = axelevado a 2 + bx + c como

x_{v} = ‒ \frac{b}{2 a}

e f(xv). Assim, podem calcular o valor de p e substituir na função para calcular o valor de k. Em caso de dificuldades, pode-se relembrar o conceito de coordenadas dos vértices da parábola e apresentar exemplos de funções quadráticas mais simples, completas e incompletas, para que eles identifiquem essas coordenadas.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Nessa questão, os estudantes retomam o conceito de vértice da parábola como ponto de mínimo ou ponto de máximo, bem como o valor referente a ele. Em caso de dificuldades, pode-se apresentar o esboço de funções completas e incompletas para que os estudantes analisem o vértice e definam se é ponto de mínimo ou ponto de máximo.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis. Os estudantes devem construir o gráfico da função com base nas informações dadas. A primeira informação indica o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas. A segunda informação indica o valor mínimo da função, portanto a concavidade é para cima. Pela terceira e pela quarta informação, os estudantes podem substituir (2, 0) em y = xelevado a 2 + 3kx + 2 para determinar o valor de k e descobrir a lei de formação da função. Com isso, determina-se o outro zero da função e eles podem calcular a abscissa do vértice. Em caso de dificuldades, podem-se apresentar alguns gráficos de funções quadráticas e as respectivas leis de formação para que os estudantes identifiquem padrões e relações entre os coeficientes e as parábolas.

Para o capítulo 7: Relações métricas no triângulo retângulo

Questões	Objetivos
1	Aplicar relações métricas do triângulo retângulo.
2	Aplicar o teorema de Pitágoras em situação-problema.
3	Aplicar o teorema de Pitágoras em quadrados e triângulos equiláteros.
4	Resolver situação-problema aplicando razões trigonométricas do triângulo retângulo.
5	Determinar medida de abertura de ângulo consultando tabela de razões trigonométricas.

1. O geoplano é um material que pode ser feito com uma placa de madeira e pregos igualmente espaçados na horizontal e na vertical. Ao colocar elásticos neles, pode-se obter o contôrno de polígonos. Repare no triângulo a seguir feito em um geoplano virtual.

Ilustração. Geoplano formado por 25 pregos dispostos em 5 linhas e 5 colunas, igualmente espaçados. Um triângulo retângulo é formado dentro do geoplano com um elástico. O primeiro vértice do triângulo está localizado no primeiro prego da quinta linha, o segundo vértice do triângulo está localizado no quarto prego da primeira linha e o último vértice está localizado no quarto prego da quinta linha.

Considerando que a medida de distância entre cada prego consecutivo na vertical e na horizontal é 5 centímetros, a medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa desse triângulo é:

a) 2,4 centímetros.

b) 12 centímetros.

c) 20 centímetros.

d) 25 centímetros.

2. Inês está distribuindo o seguinte adesivo para ajudar em uma campanha de preservação ambiental.

Ilustração. Adesivo verde parecido com uma árvore formada por um triângulo isósceles e um retângulo de altura 3 centímetros. A base do triângulo mede 10 centímetros e o lado mede 13 centímetros.

A imagem é formada por um triângulo isósceles e um retângulo cujo comprimento da altura mede 3 centímetros. A altura desse adesivo mede:

a) 9 centímetros.

b) 12 centímetros.

c) 13 centímetros.

d) 15 centímetros.

3. Considere um quadrado e um triângulo equilátero cujos lados medem x de comprimento. Analise se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) O comprimento da diagonal desse quadrado mede xelevado a 2.

b) O comprimento da altura desse triângulo mede

\frac{x \sqrt{3}}{2}

c) Ao traçar as diagonais desse quadrado, obtêm-se quatro triângulos retângulos cujos catetos medem

\frac{x}{4}

de comprimento.

d) A diagonal desse quadrado é maior do que a altura desse triângulo.

4. Irene vai construir um percurso para isqueitistas, formado por duas rampas idênticas e uma parte horizontal, conforme esquema a seguir.

Ilustração. Trapézio com um dos lados paralelos de medida 4 metros e o outro de medida 2 metros. Os lados não paralelos têm a mesma medida.

Considerando que a medida de abertura do ângulo de subida em relação ao chão é 28graus, quantos metros aproximadamente terá percorrido um esqueitista que passar em linha reta sobre esse percurso? (Considere as aproximações: seno de 28graus = 0,469, cosseno de 28graus = 0,883 e tangente de 28graus = 0,532.)

a) 3,1 métros

b) 4,2 métros

c) 6,2 métros

d) 6,6 métros

5. Daniel desenhou um triângulo retângulo cujo comprimento da hipotenusa mede 15 centímetros e identificou a medida de abertura de um ângulo agudo como x. Sabendo que o cateto adjacente a esse ângulo mede 9,24 centímetros de comprimento e consultando a tabela a seguir, determine as medidas de abertura dos ângulos internos desse triângulo.

x	sen x	cos x	tg x
46°	0,719	0,695	1,036
47°	0,731	0,682	1,072
48°	0,743	0,669	1,111
49°	0,755	0,656	1,150
50°	0,766	0,643	1,192
51°	0,777	0,629	1,235
52°	0,788	0,616	1,280
53°	0,799	0,602	1,327
54°	0,809	0,588	1,376

Página trinta e seis

Respostas

1. alternativa b

2. alternativa d

3. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Falsa

d) Verdadeira

4. alternativa b

5. 90graus, 52graus e 38graus.

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um três. Essa questão traz uma oportunidade de discutir a utilização do geoplano no estudo da Geometria. Os estudantes precisam compreender que a figura é um triângulo retângulo, cujos catetos medem 15 centímetros e 20 centímetros de comprimento. Ao aplicar o teorema de Pitágoras, eles devem descobrir a medida de comprimento da hipotenusa (25 centímetros). Ao relacionar essas medidas com a medida de comprimento h da altura relativa à hipotenusa, chegam na seguinte equação: 15 centímetros ⋅ 20 centímetros = h ⋅ 25 centímetros. Ao optar pelo item a, os estudantes não consideraram que a medida de distância entre cada prego consecutivo na vertical e na horizontal é 5 centímetros. Ao optar pelo item c, os estudantes indicaram a medida de comprimento de um cateto. Ao optar pelo item d, os estudantes indicaram a medida de comprimento da hipotenusa. Em caso de dificuldades, podem-se apresentar exemplos de triângulos retângulos e suas medidas de comprimento para que os estudantes recordem as relações entre elas.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Nessa questão, os estudantes precisam identificar que o triângulo isósceles pode ser dividido ao meio pela altura, formando um triângulo retângulo cujo comprimento da hipotenusa mede 13 centímetros e o comprimento de um cateto mede 5 centímetros. Após calcular a medida de comprimento do outro cateto desse triângulo, basta adicionar essa medida à medida de comprimento da altura do retângulo para obter a medida da altura do adesivo. Ao optar pelo item b, os estudantes não adicionaram as medidas de comprimento das alturas do retângulo e do triângulo. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que dividam a figura em triângulos retângulos para analisarem melhor as medidas e destaque que a medida da altura do adesivo corresponde às medidas de comprimento das alturas do retângulo e do triângulo.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Para avaliar a validade de cada afirmação, os estudantes podem fazer esboços das figuras e indicar medidas de comprimento fictícias ou deduzir as medidas de comprimento da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero, por meio do teorema de Pitágoras. Para o item d, se considerar pertinente, podem-se apresentar valores aproximados para

\sqrt{2}

\sqrt{3}

, entretanto, espera-se que os estudantes consigam comparar as medidas de comprimento sem a necessidade de aproximação. Em caso de dificuldades, pode-se relembrar a definição de triângulo equilátero e diagonal do quadrado.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro.Nessa questão, os estudantes precisam perceber que o percurso tem formato de trapézio isósceles e, portanto, pode ser dividido em um retângulo e dois triângulos retângulos com um cateto que mede 1 métro de comprimento e ângulo adjacente a ele que mede 28graus de abertura. Utilizando a razão cosseno, podem determinar a medida de comprimento aproximada da hipotenusa (1,1 métro), ou seja, a medida de comprimento de uma das partes inclinadas. Calculando a adição das medidas de comprimento dos lados não paralelos e da base menor do trapézio, determinam a medida de comprimento do percurso. Ao optar pelo item a, os estudantes não adicionaram a medida de comprimento de uma das partes inclinadas.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Para ajudar os estudantes nessa questão, pode-se propor a eles que façam um esboço da situação, a fim de perceberem que são dadas as medidas de comprimento da hipotenusa e do cateto adjacente a um ângulo. Com isso, os estudantes podem escrever a razão cosseno:

\cos x = \frac{9, 24}{15} = 0, 616

. Basta consultar a tabela trigonométrica para identificar que a abertura desse ângulo mede 52graus. A partir disso, considerando que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, tem-se a medida de abertura do outro ângulo agudo.

Para o capítulo 8: Circunferência, arcos e ângulos

Questões	Objetivos
1	Utilizar a propriedade da reta secante a uma circunferência.
2	Analisar posição relativa entre circunferências.
3	Calcular a medida de comprimento de segmentos de reta tangentes a uma circunferência.
4	Relacionar medidas de comprimento de quadrado circunscrito a uma circunferência.
5	Reconhecer a relação entre as medidas de abertura de ângulos inscritos e centrais em circunferências.

1. Ricardo representou uma circunferência com 30 centímetros de medida de comprimento do diâmetro e uma reta secante que intersectou essa circunferência nos pontos B e C, conforme mostra a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência de centro A cortada por uma reta BC. Os pontos BC pertencem à circunferência. Um triângulo é formado pelos pontos A, B e C.

Sabendo que BC = 18 centímetros, o comprimento da altura do triângulo á bê cê mede:

a) 12 centímetros.

b) 18 centímetros.

c) 24 centímetros.

d) 29 centímetros.

2. Lucimara desenhou duas circunferências secantes. Sabendo que o comprimento do diâmetro de uma circunferência mede 8 centímetros e o da outra mede 5 centímetros, indique quais números a seguir podem representar a medida da distância, em centímetro, entre os centros.

0 1 2 6 7 8 10 13 14

3. Na figura a seguir,

\overline{B C}

\overline{B D}

são tangentes à circunferência e as medidas de comprimento indicadas estão em centímetro.

Ilustração. Circunferência de centro A com duas retas BC e BD (de mesma origem, o ponto B), tangentes à ela. Os pontos C e D pertencem a circunferência. O segmento BC mede 2x mais 0 vírgula 5 e o segmento BD mede 3 meios de x mais 10 vírgula 5.

Página trinta e sete

Qual é a medida de cada um desses segmentos?

a) 20 centímetros.

b) 40,5 centímetros.

c) 44,5 centímetros.

d) 81 centímetros.

4. Vilma vai desenhar uma circunferência no quadro a seguir de modo que ela tangencie internamente os quatro lados.

Fotografia. Dois vasos cilíndricos com plantas e um quadro com tela branca.

Sabendo que esse quadro tem formato de um quadrado cujo comprimento da diagonal interna mede

50 \sqrt{2}

centímetros, qual deve ser a medida de comprimento do raio da circunferência de Vilma?

a) 25 centímetros.

b) 50 centímetros.

50 \sqrt{2}

centímetros.

d) 100 centímetros.

5. Considere a seguinte circunferência e o ângulo inscrito

C \hat{B} D

Ilustração. Circunferência de centro A e dois segmentos de reta BC e BD. Os pontos B, C e D pertencem à circunferência. O segmento BC passa pelo centro da circunferência. Destaque para o ângulo CBD de 42 graus formado pelos segmentos BC e BD.

Indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) A abertura do ângulo

C \hat{A} D

mede 84graus.

B \hat{A} D

C \hat{A} D

são ângulos centrais com mesma medida de abertura.

c) As medidas das aberturas dos ângulos internos do triângulo

C \hat{B} D

são 42graus, 48graus e 90graus.

d) As medidas das aberturas dos ângulos internos do triângulo

A \hat{B} D

são 42graus, 48graus e 90graus.

Respostas

1. alternativa a

2. 2 e 6

3. alternativa b

4. alternativa a

5. a. Verdadeira; b. Falsa; c. Verdadeira; d. Falsa

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um. Para resolver essa questão, os estudantes precisam lembrar que uma reta secante a uma circunferência é perpendicular a uma reta que passa pelo centro da circunferência, percebendo que o triângulo á bê cê é isósceles. Considerando o comprimento do raio com medida de 15 centímetros, eles podem aplicar o teorema de Pitágoras e determinar a medida de comprimento da altura do triângulo. Ao optar pelo item b, os estudantes consideraram que a medida de comprimento da altura do triângulo é igual a bê cê. Em caso de dificuldades, pode-se propor que desenhem o triângulo retângulo à parte, indicando a medida de comprimento de cada lado.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um. Nessa questão, os estudantes precisam verificar quais valores podem servir para indicar a medida da distância entre os centros das circunferências secantes. Calculando a diferença e a soma das medidas de comprimento dos raios, eles conseguem perceber que a medida da distância d é tal que 1,5 centímetro < d < 6,5 centímetros. Um equívoco que eles podem cometer é calcular a diferença e a soma das medidas de comprimento dos diâmetros. Em caso de dificuldades, pode-se propor que façam um esboço da situação.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um. Para os estudantes calcularem a medida de comprimento de cada segmento de reta, eles precisam determinar o valor de x. Isso pode ser feito igualando as expressões e resolvendo a equação

2 x + 0, 5 = \frac{3}{2} x + 10, 5

, descobrindo que x = 20. Ao optar pelo item a, os estudantes indicaram o valor de x. Ao optar pelo item d, os estudantes calcularam a soma das medidas de comprimento de cada segmento de reta. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de segmentos de reta tangentes a uma circunferência.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um. Para resolver essa questão, os estudantes precisam perceber que a medida de comprimento do diâmetro da circunferência é igual à medida de comprimento do lado do quadrado interno. Conhecendo a medida de comprimento da diagonal do quadrado, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras para determinar a medida de comprimento do lado dele. Assim, o comprimento do raio mede metade disso. Ao optar pelo item b, os estudantes indicaram a medida de comprimento do diâmetro. Ao optar pelo item c, os estudantes consideraram que o comprimento do raio mede o mesmo que a diagonal do quadrado. Em caso de dificuldades, pode-se recordar o teorema de Pitágoras aplicado em quadrados.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um. Para avaliar as afirmações, os estudantes precisam perceber que

C \hat{A} D

é um ângulo central e a medida de sua abertura é o dôbro da medida da abertura do ângulo inscrito

C \hat{B} D

. Para verificar se

B \hat{A} D

C \hat{A} D

têm mesma medida de abertura, é necessário identificar que são suplementares e que a abertura do ângulo

C \hat{A} D

mede 84graus, então a abertura do ângulo

B \hat{A} D

mede 96graus. Para os itens c e d, é necessário lembrar que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus para identificar a medida de abertura de cada ângulo dos triângulos indicados. Em caso de dificuldades, pode-se propor que desenhem os triângulos que encontram na figura, a fim de indicar a medida de abertura de cada ângulo.

Para o capítulo 9: Polígonos regulares

Questões	Objetivos
1	Aplicar a propriedade dos ângulos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência.
2	Analisar características de polígonos regulares.
3	Compreender a medida do ângulo central de um polígono regular.
4	Analisar triângulo equilátero inscrito em uma circunferência.

Página trinta e oito

1. Observe o seguinte polígono inscrito em uma circunferência e as medidas de abertura dadas em grau.

Ilustração. Circunferência de centro A e dois segmentos de reta BC, CD e DE. Os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Destaque para o ângulo BCD medindo 132 graus, formado pelos segmentos BC e CD, o ângulo CDE medindo y mais 30 graus, formado pelos segmentos CD e DE, o ângulo DEB medindo 20 graus mais 2x, formado pelos segmentos DE e EB, e ângulo EBC medindo 2y, formado pelos segmentos EB e BC.

Qual é a medida de abertura de x e y?

a) x = 31graus e y = 20graus.

b) x = 14graus e y = 50graus.

c) x = 56graus e y = 30graus.

d) x = 80graus e y = 90graus.

2. Após estudar polígonos regulares, quatro estudantes fizeram as seguintes afirmações.

Bianca: “O retângulo possui os quatro ângulos congruentes, portanto, ele é um polígono regular.”

Breno: “Um losango que possui os quatro ângulos congruentes é um polígono regular.”

Juliana: “O ângulo interno e o ângulo externo correspondente em um polígono regular são suplementares.”

Rubens: “Podemos decompor qualquer polígono regular em triângulos equiláteros a partir do centro do polígono e dois vértices consecutivos.”

Identifique os estudantes que fizeram afirmações corretas.

3. Mirela vai construir uma mesa cujo tampo tenha formato de polígono regular para ser utilizada em um evento. Em cada lado da mesa, será colocada uma cadeira para cada participante. Sabendo que a abertura do ângulo central do polígono que Mirela vai utilizar como rascunho mede 24graus, quantas pessoas vão participar do evento?

a) 7

b) 12

c) 15

d) 24

4. Luís desenhou este triângulo isósceles e marcou o ponto médio D de

\overline{B C}

Ilustração. Triângulo isósceles ABC com ponto médio D no lado BC. Destaque para os ângulos ABC, medindo 30 graus, e o ACB, medindo 30 graus.

Depois, colocou a ponta fixa de um compasso em a e traçou uma circunferência cujo comprimento do raio mede A bê. Finalmente, ele traçou a semirreta

\vec{D A}

que intersectou a circunferência em ê.

Com base nessas informações, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) O triângulo ê bê cê tem apenas dois lados de mesma medida de comprimento.

b) A abertura do ângulo central do triângulo ê bê cê mede 60graus.

\overline{A D}

é apótema do triângulo ê bê cê.

\overline{A E}

tem a mesma medida de comprimento de

\overline{A B}

Respostas

1. alternativa b

2. Breno e Juliana

3. alternativa c

4. a. Falsa; b. Falsa; c. Verdadeira; d. Verdadeira

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco. Para resolver essa questão, os estudantes precisam recordar que os ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência são suplementares, ou seja, a soma das medidas de abertura dos ângulos opostos é igual a 180graus. Assim, podem resolver as equações 2y + y + 30graus = 180graus e 132graus + 20graus + 2x = 180graus para descobrir as medidas de abertura x e y. Ao optar pelo item c, os estudantes igualaram as medidas de abertura dos ângulos opostos. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de ângulos suplementares, além da propriedade que envolve essa questão.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco. Para resolver essa questão, os estudantes precisam analisar se as afirmações apresentadas estão de acôrdo com a definição de polígono regular e seus elementos. Espera-se que eles recordem que, para um polígono ser regular, precisa ter os ângulos congruentes e os lados com mesma medida de comprimento. Pode acontecer equívoco ao avaliarem a afirmação de Rubens, confundindo triângulo equilátero com isósceles. Em caso de dificuldades, pode-se propor que desenhem dois polígonos regulares e o dividam conforme a afirmação de Rubens para verificar as medidas de abertura dos ângulos dos triângulos obtidos.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco. Para determinar a quantidade de pessoas que vão participar do evento, os estudantes precisam calcular a quantidade de lados do polígono regular que Mirela está utilizando como rascunho, dividindo 360graus por 24graus. Em caso de dificuldades, podem-se recordar a definição de ângulo central e sua relação com a quantidade de lados do polígono regular.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco. Para avaliar cada afirmação, os estudantes precisam visualizar geometricamente a construção de Luís; portanto, pode-se recomendar que façam o passo a passo dessa construção para perceberem que o triângulo obtido é equilátero e inscrito na circunferência. Em caso de dificuldades, podem-se retomar os elementos e as relações métricas do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência.

Para o capítulo 10: Vistas ortogonais e volume

Questões	Objetivos
1	Identificar a projeção ortogonal de figuras.
2	Identificar um sólido geométrico a partir de suas vistas.
3	Calcular medida de volume de prisma de base hexagonal regular.
4	Calcular medida de capacidade de recipiente com formato de cilindro reto.

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1. Regiane representou um triângulo em um pedaço de papel e o recortou. Utilizando uma lanterna, ela projetou a sombra do triângulo na parede. Com base nessas informações, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) A projeção ortogonal desse triângulo pode ser um triângulo menor.

b) A projeção ortogonal desse triângulo pode ser um quadrado.

c) A projeção ortogonal desse triângulo pode ser um ponto.

d) A projeção ortogonal desse triângulo pode ser um segmento de reta.

2. Benício representou duas vistas, em uma malha quadriculada, de um modelo de sólido geométrico.

Ilustração. Malha quadriculada com 9 linhas e 6 colunas. Dentro da malha duas figuras azuis. Um retângulo com as diagonais em evidência, base medindo 4 quadradinhos e altura medindo 3 quadradinhos, e um triângulo com base medindo 4 quadradinhos e altura medindo 3 quadradinhos.

O modelo que Benício utilizou foi:

a) um paralelepípedo.

b) um prisma de base retangular.

c) uma pirâmide de base triangular.

d) uma pirâmide de base retangular.

3. Isabela faz vasos com formato de prismas para colocar plantas. Repare no vaso a seguir produzido por ela.

Fotografia. Vaso de formato parecido com prisma de base hexagonal com uma planta.

Considere que o interior desse vaso tem formato de prisma de base hexagonal regular cuja altura mede 12 centímetros e o comprimento do lado da base mede 4 centímetros. Qual é a medida de volume da parte interior desse vaso? (Considere a aproximação:

\sqrt{3} = 1, 7

a) 20,4 centímetros cúbicos

b) 81,6 centímetros cúbicos

c) 244,8 centímetros cúbicos

d) 489,6 centímetros cúbicos

4. Joana comprou uma lata de tinta, como as apresentadas a seguir.

Considerando que a lata tem 15 centímetros de medida da altura, veio completamente cheia de tinta e o comprimento do diâmetro da base mede 14 centímetros, quantos litros de tinta, aproximadamente, Joana comprou? (Considere a aproximação: π = 3,14.)

a) 1,2 litros.

b) 2,3 litros.

c) 4,6 litros.

d) 9,2 litros.

Respostas

1. a. Verdadeira; b. Falsa; c. Falsa; d. Verdadeira

2. alternativa d

3. alternativa d

4. alternativa b

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um sete. Para avaliar cada afirmação, os estudantes precisam imaginar como a projeção ortogonal do triângulo pode gerar o elemento de cada item. Espera-se que eles percebam que, dependendo de como o triângulo está posicionado ou inclinado, a projeção ortogonal dele na parede pode gerar determinada figura. Em caso de dificuldades, pode-se realizar a questão experimentalmente com a turma para conferir as respostas.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um sete. Os estudantes precisam imaginar o sólido geométrico de cada item e verificar se as vistas que Benício desenhou são correspondentes a ele. Em caso de dificuldades, podem-se apresentar outros modelos de sólidos geométricos e pedir aos estudantes que desenhem algumas vistas, a fim de observarem características importantes desses sólidos geométricos.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove. Para calcular a medida do volume do vaso, os estudantes precisam perceber que podem decompor a base do prisma em seis triângulos equiláteros e calcular a medida de área deles. Assim, descobrem que se trata de um prisma cuja área da base mede 40,8 centímetros quadrados e a altura mede 12 centímetros. Ao optar pelo item b, os estudantes calcularam a medida do volume de um prisma de base triangular regular. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que façam um esboço da base do prisma e a decomponha em triângulos equiláteros.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um nove. Para resolver essa questão, os estudantes precisam perceber que a lata tem formato de cilindro reto com medida de comprimento do diâmetro de 14 centímetros, ou seja, o comprimento do raio mede 7 centímetros. Assim, podem calcular a medida de área da base, utilizando 3,14 como aproximação para π. Além disso, a medida do volume é obtida em centímetro cúbico, portanto, se faz necessária a conversão para litro. Um equívoco que os estudantes podem cometer é utilizar a medida de comprimento do diâmetro no cálculo da medida da área da base. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de cilindro reto e pedir aos estudantes que façam um esboço da situação.

Para o capítulo 11: Construção de gráficos estatísticos

Questões	Objetivos
1	Analisar dados em gráfico de segmentos.
2	Analisar tabela de distribuição em classes e histograma.
3	Analisar a medida de abertura do ângulo central de cada setor de um gráfico de setores.
4	Avaliar o gráfico mais adequado para determinada situação.

Página quarenta

1. Observe, no gráfico a seguir, a quantidade de multas de trânsito aplicadas em Vinhedo (São Paulo) no 1º semestre de 2021.

Gráfico. Gráfico de segmentos que mostra as multas de trânsito no primeiro semestre de 2021 em Vinhedo, São Paulo. No eixo vertical, estão indicadas as quantidades de multas de trânsito: 0, mil, 2 mil, 3 mil, 4 mil, 5 mil, 6 mil e 7 mil. No eixo horizontal, estão indicados os meses: Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Maio e Junho. Em Janeiro, a quantidade de multas de trânsito foi de 4 mil 311, em Fevereiro a quantidade de multas de trânsito foi de 3 mil e 19, em Março a quantidade de multas de trânsito foi de 3 mil 771, em Abril a quantidade de multas de trânsito foi de 3 mil 932, em Maio a quantidade de multas de trânsito foi de 5 mil 480 e em Junho a quantidade de multas de trânsito foi de 6 mil 385. — Dados obtidos em: Prefeitura de Vinhedo. Transportes e Defesa Social. Disponível em: <https://oeds.link/zX9h4z>. Acesso em: 1ºagosto 2021.

No semestre analisado, a média de multas aplicadas:

a) foi .6385.

b) ficou abaixo de .3000.

c) ficou entre .3000 e .4000.

d) ficou entre .4000 e .5000.

2. Em uma pesquisa sobre alimentação e hábitos saudáveis feita em 2023, foram levantados diversos dados sobre os entrevistados. A tabela a seguir mostra apenas informações referentes à medida de massa deles.

DISTRIBUIÇÃO DA MEDIDA DE MASSA DOS ENTREVISTADOS NA PESQUISA
Medida de massa (em kg)	Quantidade de pessoas (frequência)
30 ⟝ 42	1
42 ⟝ 54	1
54 ⟝ 66	3
66 ⟝ 78	4
78 ⟝ 90	6
90 ⟝ 102	2
102 ⟝ 114	1

Dados obtidos pela pesquisa sobre alimentação e hábitos saudáveis em 2023.

Com base nesses dados, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) A amplitude da classe é 14 quilogramas.

b) A classe 78 ⟝ 90 apresenta a maior frequência.

c) Quanto maior for a amplitude da classe, mais detalhes serão mostrados no histograma.

d) Ao construir o histograma desses dados, não deve haver espaço entre cada retângulo.

3. Joelma vai construir um gráfico de setores para representar os dados de uma pesquisa sobre o lazer preferido dos estudantes do 9º ano que ela realizou na 1ª semana de 2024. Cada estudante escolheu apenas uma opção. Copie a tabela a seguir em seu caderno e a complete com a medida de abertura do ângulo central de cada setor do gráfico construído por Joelma.

LAZER PREFERIDO DOS ESTUDANTES DO 9º ANO
Lazer preferido	Quantidade de votos	Medida de abertura do ângulo central
Assistir a filmes	9
Ler	6
Passear em parque	12
Outros	3

Dados obtidos por Joelma na 1ª semana de 2024.

4. Guilherme vai realizar uma pesquisa sobre práticas esportivas com os estudantes do 9º ano e representará o resultado em um gráfico. Ele vai entrevistar todos os estudantes das turmas a e B. Será feita a seguinte pergunta: “Você pratica algum esporte?”. Os estudantes podem responder “sim” ou “não”. Com base nessa situação, indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) Guilherme deve usar um gráfico de segmentos.

b) Guilherme pode usar cores para cada turma ou cada resposta.

c) O gráfico mais adequado não pode ser feito em planilha eletrônica.

d) Guilherme pode usar um gráfico de barras.

Respostas

1. alternativa d

2. a) Falsa

b) Verdadeira

c) Falsa

d) Verdadeira

LAZER PREFERIDO DOS ESTUDANTES DO 9º ANO
Lazer preferido	Quantidade de votos	Medida de abertura do ângulo central
Assistir a filmes	9	108°
Ler	6	72°
Passear em parque	12	144°
Outros	3	36°

Dados obtidos por Joelma na 1ª semana de 2024.

4. a. Falsa; b. Verdadeira; c. Falsa; d. Verdadeira

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois. Essa questão traz um gráfico de segmentos que apresenta a quantidade de multas de trânsito, a cada mês, em Vinhedo (São Paulo). Para estimar a média dessa quantidade, sem precisar realizar cálculo, os estudantes podem analisar cada item e verificar os valores do gráfico. Para o item a, percebe-se que .6385 é o maior valor do gráfico. Para o item b, percebe-se que não há multas abaixo de .3000. Para o item c, percebe-se que, entre .3000 e .4000, há três valores do gráfico, sendo dois deles próximos de .4000; entre .4000 e .5000, há um valor; entre .5000 e .6000, há um valor; e acima de .6000, também há um valor; portanto, a média não poderia ficar entre .3000 e .4000.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois. Essa questão apresenta uma tabela com classes e frequências. Os estudantes precisam perceber que essas informações podem ser transpostas para um histograma de modo que cada classe vai indicar a base do retângulo e cada frequência correspondente vai indicar a medida da altura. Assim, podem analisar a veracidade de cada afirmação.

Página quarenta e um

Espera-se que eles lembrem que a amplitude da classe é calculada pela diferença entre os extremos da classe. No item c, é esperado que os estudantes percebam que, se as classes de um histograma têm amplitude muito grande, pode acontecer de ele abranger muitos dados, não mostrando detalhes. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que façam um esboço do histograma.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois dois. Os estudantes precisam perceber que foram 30 estudantes entrevistados. Com isso, podem calcular a porcentagem de cada resposta e, utilizando proporção, determinar a medida de abertura do ângulo central de cada setor correspondente. Em caso de dificuldades, pode-se recordar com eles a relação entre as medidas de abertura dos ângulos centrais de setores e o círculo. Para ampliar a questão, pode-se pedir a eles que façam o esboço do gráfico no caderno.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento das habilidades ê éfe zero nove ême ah dois um e ê éfe zero nove ême ah dois dois. Ao interpretar a situação que Guilherme vai vivenciar, os estudantes precisam identificar como representar graficamente essa situação. Caso eles tenham dificuldades, pode-se propor que construam uma tabela fictícia com respostas possíveis das turmas a e B a analisem de que modo podem representar essas informações.

Para o capítulo 12: Probabilidade e estatística

Questões	Objetivos
1	Compreender o conceito de probabilidade e analisar eventos.
2	Reconhecer eventos dependentes e eventos independentes.
3	Calcular a probabilidade de eventos dependentes.
4	Calcular a probabilidade de eventos independentes.
5	Identificar pesquisa amostral e censitária.
6	Calcular medidas de tendência central.

1. Leia cada afirmação e indique quais são verdadeiras ou falsas.

a) A probabilidade de obter um número menor do que 4 no lançamento de um “dado honesto” de seis faces é igual à probabilidade de obter um número menor do que 4 no lançamento de um “dado honesto” de oito faces.

b) A probabilidade de um evento acontecer será igual a zero se o número de elementos do espaço amostral for zero.

c) Se a previsão do tempo informou que há 42% de chances de chuva, então há 58% de chances de não chover.

d) Uma urna está com dez bolas numeradas, cada uma de 1 até 10. Elas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas se tiverem as mesmas dimensões e as mesmas medidas de massa.

2. Leia cada situação a seguir e indique se são eventos dependentes ou independentes.

a) Um sorteio com bolas da cor verde, lilás e preta em uma urna será feito assim: primeiro, será retirada uma bola e anotada a cor. Depois, ela será colocada novamente na urna. Finalmente, será retirada outra bola e anotada a cor. Deseja-se saber a probabilidade de ambas as bolas serem verdes.

b) Para verificar a qualidade na produção de peças metálicas em uma indústria, será retirada uma peça da amostra e realizadas as medições. Depois, sem reposição, será retirada outra peça e realizadas as medições. Pergunta-se a probabilidade de retirar duas peças e uma delas estar com algum defeito.

3. Uma loja distribuiu hoje a seus clientes um papel contendo uma vogal e dois algarismos diferentes. O dono da loja vai realizar um sorteio de uma peça de roupa. Em uma urna, ele colocou um papel para cada vogal e, em outra urna, colocou dez papéis com números de 0 até 9. Após cada retirada da urna, ele não vai repor o papel. A probabilidade de alguém ganhar a peça de roupa nesse sorteio é:

\frac{1}{500}

\frac{1}{360}

\frac{1}{450}

\frac{1}{50}

4. Laura está participando de um jôgo de tabuleiro em que é necessário retirar uma carta colorida de um monte, colocá-la novamente e embaralhar para retirar outra carta desse mesmo monte. Sabendo que esse jôgo é formado por 4 cartas amarelas, 6 cartas azuis e 5 cartas vermelhas, todas de mesmas dimensões, a probabilidade de Laura retirar uma carta vermelha e, depois, uma carta azul é:

\frac{11}{15}

\frac{2}{15}

\frac{2}{14}

\frac{1}{225}

5. Analise a descrição de cada pesquisa a seguir e indique se é amostral ou censitária.

a) Luana vai visitar a casa dos estudantes da turma dela e entrevistar os moradores para saber informações referentes à idade, à ocupação profissional à e escolaridade.

b) A prefeitura da cidade onde Breno vive vai realizar uma festa temática. Para decidir o tema, metade da equipe responsável pela festa foi em seis bairros da cidade e perguntou aos moradores das casas de número par. O restante da equipe foi em outros sete bairros e perguntaram aos moradores das casas de número ímpar.

6. Rebeca fez uma pesquisa com os familiares dela para saber a idade em que eles começaram a trabalhar. Ela anotou os resultados em uma folha de papel.

Ilustração. Folha de papel com os números 16, 22, 17, 20, 18, 18, 22, 26, 20, 17, 18, 18, 19, 21, 17 e 22.

Com base nos dados coletados por Rebeca, copie o texto no caderno e complete-o com as informações que faltam.

“Em minha pesquisa estatística, constatei que a moda do meu conjunto de dados é

, ou seja, a maior parte dos meus familiares começou a trabalhar com

anos. A média de idade aproximada com que minha família começou a trabalhar foi aos

anos. Para calcular a mediana, eu coloquei os dados em ordem crescente. Como o conjunto de dados tem quantidade par de elementos, ao centro ficaram as idades

anos, portanto, a mediana das idades é

anos.”

Respostas

1. a) Falsa

b) Falsa

c) Verdadeira

d) Verdadeira

2. a) Eventos independentes

b) Eventos dependentes

3. alternativa c

4. alternativa b

5. a) Pesquisa censitária

b) Pesquisa amostral

6. 18; 18; 19,4; 18; 19; 18,5

Página quarenta e dois

Comentários

A questão 1 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois zero. Para avaliar a veracidade de cada afirmação, os estudantes precisam saber o conceito de probabilidade e seu cálculo: a razão entre o número de elementos favoráveis ao evento e o número de elementos do espaço amostral. No item a, espera-se que eles percebam que a probabilidade no primeiro caso (“dado honesto” com 6 faces) será maior do que no segundo caso (“dado honesto” com 8 faces). No item c, devem lembrar que a soma das probabilidades de um evento e do seu complementar é 100%. Em caso de dificuldades, pode-se retomar o conceito de probabilidade e seu cálculo por meio de exemplos.

A questão 2 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois zero. Nessa questão, os estudantes precisam perceber se o que está sendo retirado da amostra será colocado novamente ou não. Com isso, podem avaliar qual situação trata de eventos dependentes e qual se refere a eventos independentes. Em caso de dificuldades, pode-se propor a eles que pensem em uma situação para cada tipo de evento, a fim de perceber as características deles.

A questão 3 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois zero. Para calcular a probabilidade dessa questão, os estudantes precisam perceber que o sorteio dos números se trata de eventos dependentes, pois, após retirar o primeiro número, o dono da loja não colocará novamente o papel na urna. Além disso, o sorteio da vogal e o sorteio do primeiro número são eventos independentes, já que estão em urnas separadas. Considerando 5 vogais e 10 números, a probabilidade pode ser dada por

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{450}

. Ao optar pelo item a, os estudantes consideraram que o papel do primeiro número seria colocado novamente na urna. Ao optar pelo item d, os estudantes consideraram o sorteio de uma vogal e um número. Em caso de dificuldades, pode-se propor aos estudantes que apresentem alguns resultados possíveis de serem obtidos nesse sorteio e analisem o que acontece no processo de sorteio.

A questão 4 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois zero. Para resolver essa questão, os estudantes precisam perceber que o sorteio das cartas se trata de eventos independentes, pois elas são colocadas novamente. Assim, a probabilidade de Carla retirar uma carta vermelha e, depois, uma carta azul pode ser dada por

\frac{5}{15} \cdot \frac{6}{15} = \frac{30}{225} = \frac{2}{15}

. Ao optar pelo item c, os estudantes consideraram que os eventos são dependentes. Em caso de dificuldades, pode-se recordar o conceito de eventos dependentes a partir de exemplos para que os estudantes analisem as características.

A questão 5 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três. Essa questão leva os estudantes a analisarem as características de uma pesquisa amostral e de uma pesquisa censitária. Espera-se que eles percebam que a censitária abrange todos os elementos de uma população de interesse. Em caso de dificuldades, pode-se apresentar outros exemplos de pesquisas e pedir a eles que observem o público-alvo de cada uma delas, analisando se há algum elemento fora da população de interesse.

A questão 6 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah dois três. Com essa questão, os estudantes conseguem calcular medidas de tendência central e completar um relatório fictício, explicitando essas medidas. Em caso de dificuldades, pode-se recordar o conceito de moda, média e mediana de um conjunto de dados.

Sugestão de avaliação para a preparação para exames de larga escala

Questões	Objetivos
1	Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
2	Resolver problema que envolva porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais.
3	Calcular medida de comprimento aplicando o teorema de Tales em um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais.
4	Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis.
5	Identificar a lei de formação de uma função em uma situação cotidiana.
6	Identificar a parábola que não corresponde a um gráfico de função quadrática.
7	Reconhecer relações métricas no triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras.
8	Estabelecer relação entre arcos e ângulos inscritos na circunferência.
9	Analisar relações métricas em hexágono circunscrito a uma circunferência
10	Reconhecer vistas ortogonais de um sólido geométrico.
11	Identificar elementos em um gráfico de setores.
12	Calcular a probabilidade de ocorrência de eventos dependentes.

1. Se a = 0,0000001; b =

10^{\frac{3}{2}}

; c =

{(10^{\frac{1}{2}})}^{7}

, então o valor da expressão

\frac{a \cdot c}{b}

é:

a) 10

b) 10elevado a 5

c) 10elevado a menos 5

\frac{1}{10}

2. Rodrigo foi a uma loja de eletrodomésticos para comprar uma máquina de lavar roupas. A máquina escolhida estava em promoção com 8% de desconto. Quando foi pagar, ele descobriu que, se pagasse à vista, receberia um desconto de 5% sobre o valor promocional. Sabendo que o preço sem desconto da máquina de lavar é R$ 998,00novecentos e noventa e oito reais, podemos afirmar que pagando à vista:

a) Rodrigo terá um desconto de 13%.

b) Rodrigo deverá pagar R$ 868,26oitocentos e sessenta e oito reais e vinte e seis centavos pela máquina de lavar.

c) Rodrigo receberá um desconto maior que 13%.

d) Rodrigo pagará menos de R$ 900,00novecentos reais pela máquina de lavar.

3. Na figura representada a seguir, temos: r // s // t

Ilustração. Três retas paralelas dispostas de cima pra baixo: r, s e t. Essas retas são cortadas por duas retas transversais u e v. As retas u e v se cruzam em um ponto que pertence à reta s. Os pontos que surgem da intersecção das retas r, s e u, formam um segmento de reta que mede 12 centímetros. Os pontos que surgem da intersecção das retas r, s e v, formam um segmento de reta que mede 18 centímetros. Os pontos que surgem da intersecção das retas s, t e u, formam um segmento de reta que mede 30 centímetros. Os pontos que surgem da intersecção das retas s, t e v, formam um segmento de reta que mede x.

Página quarenta e três

A medida de comprimento x é:

a) 20 centímetros.

b) 24 centímetros.

c) 36 centímetros.

d) 45 centímetros.

4. Assinale a alternativa que apresenta uma sentença verdadeira.

a) aelevado a 2 ‒ belevado a 2 = (a ‒ b) ⋅ (a ‒ b)

b) (a ‒ b)elevado a 2 = a elevado a 2 ‒ 2ab ‒ belevado a 2

c) (a + b)elevado a 2 = a elevado a 2 + belevado a 2 + 2ab

d) aelevado a 2 + belevado a 2 = (a + b)elevado a 2

5. A empresa em que Roberta trabalha ofereceu aos funcionários uma opção de cartão-refeição que poderia ser adotada em vez do desconto do vale-refeição. Optando pelo cartão, Roberta teria que pagar uma mensalidade de R$ 40,00quarenta reais e R$ 3,00três reais por refeição. Seja x a quantidade de refeições, qual alternativa traz uma representação algébrica da função f correspondente a essa opção de cartão-refeição?

a) f(x) = 40 + 3x

b) f(x) = 3 + 40x

c) f(x) = 3 ‒ 40x

d) f(x) = 40 ‒ 3x

6. Assinale o gráfico que não representa uma função quadrática.

Item a. Plano cartesiano.
Gráfico de parábola com concavidade voltada para cima.

Item b. Plano cartesiano.
Gráfico de parábola com concavidade voltada para baixo.

Item c. Plano cartesiano. Gráfico de parábola com concavidade voltada para a direita.

Item d. Plano cartesiano. Gráfico de parábola voltada para cima.

7. Observe a figura a seguir.

Ilustração. Triângulo retângulo ABC. O cateto AB mede b, o cateto BC mede c e a hipotenusa AC mede a. O ponto D pertence à hipotenusa AC e a divide em AD, cuja medida é m, e DC, cuja medida é n. O segmento BD, altura do triângulo, mede h.

Considerando as relações métricas no triângulo retângulo, assinale a alternativa incorreta.

a) aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

b) b ⋅ c = a ⋅ h

c) belevado a 2 = m ⋅ n

d) celevado a 2 = n ⋅ a

8. Observe a figura representada a seguir.

Ilustração. Circunferência com 4 segmentos de reta na parte interna. As pontas dos segmentos pertencem à circunferência. Dois desses segmentos se cruzam num ponto e os outros dois segmentos não se cruzam. Os 4 segmentos formam 2 triângulos e esses 2 triângulos têm um vértice em comum. Um dos triângulos possui um vértice representado pela letra T e o ângulo em destaque mede 50 graus.
O outro triângulo possui um vértice representado pela letra V e o ângulo em destaque mede x.

Agora, assinale a alternativa que apresenta a medida de abertura x do ângulo

\hat{V}

a) 25graus

b) 35graus

c) 40graus

d) 50graus

9. Considere um hexágono regular cujo comprimento do lado mede a e está circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede r. A medida de comprimento do raio dessa circunferência pode ser obtida por:

a) r = a

b) r =

a \sqrt{3}

c) r =

\frac{a \sqrt{3}}{3}

d) r =

\frac{a \sqrt{3}}{2}

10. Observe algumas vistas ortogonais de um sólido geométrico.

Ilustração. Plano alfa com um retângulo azul no centro. Abaixo vista ortogonal frontal. Ilustração. Plano fi com um triângulo azul no centro. Abaixo vista ortogonal lateral esquerda. Ilustração. Plano beta com um retângulo azul no centro. Abaixo vista ortogonal superior.

Considerando essas vistas ortogonais, podemos afirmar que esse sólido geométrico é:

a) uma pirâmide de base triangular.

b) um prisma de base triangular.

c) uma pirâmide de base quadrada.

d) um prisma de base quadrada.

11. A associação de moradores de um bairro fez uma pesquisa entre os moradores para saber a intenção de votos para a próxima eleição dos dirigentes da entidade. O resultado foi divulgado no gráfico a seguir.

Gráfico de setores. 55 por cento do gráfico está na cor amarela e 45 por cento está na cor azul. Legenda: cor amarela representa Gestão atual e cor azul representa Concorrência.

Qual alternativa indica algo que não está faltando para que o gráfico

fique correto?

a) Proporção entre os setores

b) Título

c) Fonte

d) Eixos

12. Para propor uma questão de Matemática, Joana colocou estas bolas dentro de uma caixa.

Ilustração. 6 bolas na cor cinza escuro, 6 bolas na cor cinza claro e 4 bolas na cor branca.

Página quarenta e quatro

Ela pediu a um estudante que retirasse duas bolas da caixa, uma de cada vez, sem devolver a primeira bola à caixa. Considerando essa situação, podemos afirmar que a probabilidade de o estudante ter retirado:

a) uma bola preta e, em seguida, uma bola branca é

\frac{5}{8}

b) duas bolas pretas é

\frac{3}{4}

c) uma bola branca e, em seguida, uma bola cinza é

\frac{1}{10}

d) uma bola preta e, em seguida, uma bola cinza é

\frac{1}{4}

Respostas

1. alternativa c

2. alternativa d

3. alternativa d

4. alternativa c

5. alternativa a

6. alternativa c

7. alternativa c

8. alternativa d

9. alternativa d

10. alternativa b

11. alternativa d

12. alternativa c

Comentários da avaliação

Na questão 1, primeiro o estudante deve substituir os valores das incógnitas na expressão e, depois, fazer os cálculos com números reais, inclusive as potências com expoentes fracionários. Caso ocorra êrro, verifique se os estudantes cometeram algum equívoco ao substituir os valores das incógnitas na expressão. Se julgar necessário, retome o estudo sobre propriedades da potenciação e cálculo de potências com expoentes fracionários e expoentes negativos.

Na questão 2, caso os estudantes tenham optado pelos itens a ou b, é possível que consideraram que bastava adicionar os descontos apresentados no enunciado. Nesse caso, saliente que, após o desconto de 8%, o valor da máquina de lavar roupas é alterado e o desconto de 5% deve ser calculado sobre o novo valor. Caso assinalem o item c, solicite que calculem o valor do desconto de 13% e o valor dos descontos sucessivos de 8% e 5%, considerando a alteração do valor inicial após o primeiro desconto. Espera-se que, ao calcularem esses descontos, percebam que o valor final dos descontos sucessivos é menor que o valor do desconto de 13%; portanto, esse item é incorreto. Se julgar necessário, retome o estudo sobre porcentagens e a aplicação de percentuais sucessivos.

Na questão 3, caso ocorra êrro, verifique se os estudantes perceberam que devem usar o teorema de Tales para calcular a medida de comprimento x, pois temos um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais. Se julgar necessário, retome que as medidas de comprimento dos segmentos de reta determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos de reta correspondentes determinados sobre a segunda transversal. Logo:

\frac{12}{30} = \frac{18}{x}

Então, podemos concluir que x = 45 centímetros.

Na questão 4, os estudantes devem empregar seus conhecimentos sobre fatoração de expressões algébricas e sua relação com produtos notáveis para identificar a sentença verdadeira. Se eles tiverem dificuldades, solicite que substituam os valores de a e b por números naturais, como 1 e 2, e faça os cálculos para perceber se o resultado será igual ou diferente em cada membro da igualdade.

Na questão 5, releia o enunciado do problema com os estudantes e solicite que anotem as informações apresentadas. Observe se percebem que Roberta terá de pagar o valor fixo da mensalidade de R$ 40,00quarenta reais e que, por refeição, serão acrescidos R$ 3,00três reais a esse valor. Se julgar oportuno, oriente-os a montar um quadro indicando o valor que Roberta pagará de acôrdo com a quantidade de refeições e verifique se identificam alguma regularidade. Caso seja necessário, retome o estudo da representação algébrica de uma função afim.

Na questão 6, solicite aos estudantes que analisem os gráficos apresentados e verifiquem se, em algum deles, há mais de um valor de y para cada x. Se julgar necessário, mostre-lhes que, no item c, quando y é diferente de zero, existem dois valores de y para cada x, sendo um negativo e um positivo; portanto, não é função.

Na questão 7, verifique se os estudantes percebem que o item aapresenta o teorema de Pitágoras: o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos. Caso seja necessário, leve-os a entender que o item c apresenta uma relação métrica incorreta, pois a correta seria: o quadrado da medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa (helevado a 2 = m ⋅ n). Se julgar necessário, represente um triângulo retângulo na lousa e retome o estudo das relações métricas.

Na questão 8, verifique se os estudantes perceberam que os ângulos

\hat{T}

\hat{V}

são ângulos inscritos, pois seus vértices são pontos da circunferência e seus lados são secantes à circunferência, e determinam o mesmo arco na circunferência, portanto, eles têm medidas de abertura iguais. Se julgar necessário, retome o estudo sobre relações entre arcos e ângulos inscritos na circunferência.

A questão 9 auxilia no desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco. Para resolver essa questão, sugere-se que os estudantes façam um esboço da situação e verifiquem que o hexágono regular circunscrito a uma circunferência pode ser dividido em seis triângulos equiláteros cuja medida de comprimento da altura é igual à medida de comprimento do raio r da circunferência. Como o comprimento da altura do triângulo equilátero mede

\frac{a \sqrt{3}}{2}

quando o comprimento do lado do triângulo mede a, então o comprimento do raio mede

\frac{a \sqrt{3}}{2}

Na questão 10, para que os estudantes possam conferir sua resposta, se possível, acesse um software que permita a criação de projeções ortogonais a partir de sólidos geométricos ou disponibilize objetos parecidos com os sólidos geométricos mencionados nos itens. Se julgar necessário, acompanhe a análise de cada figura. Caso ocorra êrro, retome com os estudantes o estudo sobre vistas ortogonais.

Na questão 11, converse com os estudantes sobre a importância dos elementos mencionados nas alternativas. Destaque que o título identifica o assunto do gráfico; a fonte identifica a origem dos dados apresentados no gráfico e contribui para lhe dar credibilidade; a proporção entre os setores é fundamental para que a leitura de um gráfico de setores não seja equivocada. Observe se eles percebem que a falha nesses elementos pode levar à interpretação enganosa dos dados.

Na questão 12, verifique se os estudantes percebem que a situação apresentada envolve eventos dependentes, pois a retirada da primeira bola da caixa, sem haver reposição, torna diferente o número de bolas na caixa para a segunda retirada. Observe se eles identificam que, inicialmente, a caixa tem 16 bolas e, depois da primeira retirada, terá 15 bolas. Analise cada afirmação com os estudantes e relembre que, para calcular a probabilidade de cada item, é preciso multiplicar a probabilidade de um evento pela probabilidade do outro. Se julgar necessário, retome o estudo sobre experimentos aleatórios, com eventos independentes e dependentes, e peça aos estudantes que calculem a probabilidade de ocorrência nos dois casos.

Página quarenta e cinco

SUGESTÕES PARA PESQUISA OU CONSULTA PARA O PROFESSOR

Sugestões de livros

BOALER, J. Mentalidades matemáticas: estimulando o potencial dos estudantes por meio da matemática criativa, das mensagens inspiradoras e do ensino inovador. Tradução de: Daniel Bueno. Porto Alegre: Penso, 2018.

O livro aponta por que a Matemática é vista como vilã pelas pessoas. Por meio de pesquisas, mostra aos professores e pais como ajudar os estudantes a transformar as experiências negativas com a Matemática em mentalidades de crescimento. Aborda ainda a questão do êrro como uma fórma de crescimento e traz atividades práticas que podem ser aplicadas dentro e fora da sala de aula.

BOALER, J.; MUNSON, J.; uilian, C. Mentalidades matemáticas na sala de aula: ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2019.

Este livro traz atividades práticas e desafiadoras – alinhadas à Bê êne cê cê – que permitem ao professor engajar seus estudantes a partir de uma nova concepção de Matemática, mais aberta e criativa e que promove o protagonismo dos estudantes.

bréquiman, C. P. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação do Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre: u éfe érre gê ésse, 2017.

Essa pesquisa teve como objetivo verificar a possibilidade de desenvolver o pensamento computacional na Educação Básica utilizando exclusivamente atividades desplugadas (sem o uso de computadores). Nesse trabalho encontram-se diferentes sugestões de atividades que podem ser realizadas em sala de aula sem o uso do computador.

NACARATO, A. M.; CUSTÓDIO, I. A. (organizador). O desenvolvimento do pensamento algébrico na educação básica [livro eletrônico]: compartilhando propostas de sala de aula com o professor que ensina (ensinará) matemática. Brasília: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2018.

A obra compartilha propostas de sala de aula relacionadas ao Pensamento Algébrico que vão da Educação Infantil ao Fundamental dois Traz tarefas elaboradas e colocadas em prática, bem como os resultados obtidos com esse trabalho nas diferentes turmas pelos integrantes do Grucomat (Grupo Colaborativo de Matemática). O link de acesso para a obra está disponível em: https://oeds.link/aAkXIR.

PONTE, J. P. et al. Investigações matemáticas na sala de aula. quarta edição Belo Horizonte: Autêntica, 2019.

O livro mostra como práticas de investigação desenvolvidas por matemáticos podem ser usadas na sala de aula e as vantagens e as dificuldades de se trabalhar nessa perspectiva.

TORRES, J. D. S. Jogos de Matemática e de Raciocínio Lógico. segunda edição Petrópolis: Vozes, 2013.

O livro apresenta uma coletânea de jogos de matemática e raciocínio lógico, que podem ser propostos em qualquer momento do ano letivo. São propostos jogos com números, jogos com xadrez e dominó, sofismas e diferentes tipos de enigma.

Sugestões de sites

• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM):

https://oeds.link/lb9F2Z

Acesso em: 5 junho 2022.

Disponibiliza informações sobre eventos regionais, nacionais e internacionais na área de educação matemática.

• Educação Matemática e Tecnologia Informática (Edumatec):

https://oeds.link/9hnp7K

Acesso em: 5 junho 2022.

O site oferece softwares, atividades, artigos e links de interesse para o professor de Matemática.

• Laboratório de Ensino de Matemática (LEM)

https://oeds.link/4YrYcr

Acesso em: 5 junho 2022.

Site do Laboratório de Ensino de Matemática objetiva difundir o ensino de Matemática por meio do computador, trazendo softwares educacionais, apostilas e informações nessa área.

• Plataforma Laplace

https://oeds.link/RvGtfc

Acesso em: 5 junho 2022.

A plataforma traz questões com resoluções completas, jogos, resumos teóricos e videoaulas por assunto ou habilidade. O professor pode ainda gerar provas digitais e simulados dos principais vestibulares com correção automática.

• Plataforma Youcubed:

https://oeds.link/QDTlNL

Acesso em: 5 junho 2022.

A plataforma foi desenvolvida pela Universidade de Stanford, pelas professoras Jo Boaler e Cathy Willians. Foi traduzido pelo Instituto Sidarta e Itaú Social. Traz conteúdos como atividades, jogos, aplicativos e videoaulas para ensinar Matemática de fórma criativa. É baseado nas ideias do livro Mentalidades matemáticas, de Jo Boaler.

• Rede Mentalidades Matemáticas (Rede ême ême):

https://oeds.link/FDvIim

Acesso em: 19 julho 2022.

O site é uma criação do Instituto Sidarta em parceria com o Centro de Pesquisas Youcubed, da Universidade de Stanford, com o suporte do Itaú Social. Traz informações, recursos, cursos, artigos científicos e atividades variadas para a aplicação das ideias das mentalidades matemáticas, propagadas pela professora Jo Boaler.

• Site oficial da família e dos admiradores do matemático Malba Tahan:

https://oeds.link/SOhmBi

Acesso em: 19 julho 2022.

O site traz teses, dissertações, artigos e relatos referentes a esse matemático que esteve à frente do seu tempo, propondo uma Matemática com significado. Possui desafios matemáticos.

• Nova escola:

https://oeds.link/oJstGh

Acesso em: 8 agosto 2022.

Disponibiliza diversos recursos digitais gratuitos que poderão ajudá-lo na inclusão de estudantes com deficiência.

Sugestões de vídeos

• Coleção Matemática Multimídia, da Universidade de Campinas (unicâmpi):

https://oeds.link/Lmtg7P

Acesso em: 5 junho 2022.

O site traz diversos vídeos com conteúdos de Matemática voltados para o Ensino Médio. Alguns desses conteúdos podem ser trabalhados com estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental e são acompanhados de um “Guia do Professor”. Além dos vídeos, no site é possível encontrar experimentos, softwares e áudios.